探究四点共圆的条件--点评

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数学人教版九年级上册《探究四点共圆的条件》教学反思

《探究四点共圆的条件》教学评价与反思
一、（1）教材只是数学活动的素材，教师根据需要进行调整。

采用“操作（观察）——猜想——验证——归纳——例题——应用与拓展”的模式展开，激发学生的探究热情，为探究活动提供动力。

（2）、经过一点、两点、三点能作几个圆？过四点呢？这并不是一个可有可无的过程，它可以培养学生一种导入、归纳的思维方法，对学生探究有一个很好铺垫和引导作用。

二、重视展现数学知识的形成过程
经历知识的形成过程，有利于学生更好地理解数学、应用数学，增强学好数学的信心。

通过探究后对“四点共圆的条件”的回答，使学生亲身感受结论的形成过程和结论的确定性。

有助于学生经历真正的“做数学”和“用数学”过程，发展学生的应用意识和推理能力。

三、为学生提供充分的探究和展示自己的机会
数学教学是数学活动2的教学，向学生提供充分的从事数学活动的机会，生生互动，师生互动，学友先回答，师傅补充，讲解，老师只在引、导,调动学生的积极性。

在活动中激发学习潜能，促使学生在探究和交流中理解和掌握数学知识、技能和思想方法，有利于教师发现学生解决问题过程中存在的问题。

更好地指导学生的学习和因材施教。

四、注意改进的方面
（1）学生的探究活动时间要得到保证，让学生真正成为学习的主人，教师只是组织者、引导者，讲在关键处。

（2）教学过程中发现少数困难生在探究活动中欠积极，教师要及时给予指导、引导、肯定和鼓励，焕起他们学习的信心和积极性。

《数学活动：探究四点共圆的条件》教案

《数学活动：探究四点共圆的条件》教案知能演练提升一、能力提升1.如果一个扇形的弧长等于它的半径,那么此扇形称为“等边扇形”,则半径为2的“等边扇形”的面积为( )A.πB.1C.2D.2π32.如图,在扇形OAB 中,已知∠AOB=90°,OA=√2,过AB ⏜的中点C 作CD ⊥OA ,CE ⊥OB ,垂足分别为D ,E ,则图中阴影部分的面积为( )A.π-1B.π2-1C.π-12D.π2−123.如图,半径为10的扇形AOB 中,∠AOB=90°,C 为AB⏜上一点,CD ⊥OA ,CE ⊥OB ,垂足分别为D ,E.若∠CDE 为36°,则图中阴影部分的面积为( )A.10πB.9πC.8πD.6π4.如图,水平地面上有一面积为30π cm 2的扇形OAB ,半径OA=6 cm,且OA 与地面垂直.在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止,则点O 移动的距离为( )A.20 cmB.24 cmC.10π cmD.30π cm5.某花园内有一块五边形的空地如图所示,为了美化环境,现计划在以五边形各顶点为圆心,2 m长为半径的扇形区域(阴影部分)内种上花草,那么种上花草的扇形区域总面积是()A.6π m2B.5π m2C.4π m2D.3π m26.如图,△ABC是正三角形,曲线CDE……叫做“正三角形的渐开线”,其中CD⏜,DE⏜,EF⏜……的圆心依次按A,B,C循环,它们依次相连接,若AB=1,则曲线CDEF的长是.7.如图,在四边形ABCD中,AB=CB,AD=CD,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.筝形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.以点B为圆心,BO长⏜的长为半径画弧,分别交AB,BC于点E,F.若∠ABD=∠ACD=30°,AD=1,则EF为.(结果保留π)⏜是一段圆弧,AC,BD是线段,8.图中的粗线CD表示某条公路的一段,其中AmB⏜相切于点A,B,线段AB=180 m,∠ABD=150°.且AC,BD分别与圆弧AmB(1)画出圆弧AmB ⏜ 的圆心O ; (2)求A 到B 这段弧形公路的长.★9.如图,AB 为☉O 的直径,CD ⊥AB ,OF ⊥AC ,垂足分别为E ,F. (1)请写出三条与BC 有关的正确结论;(2)当∠D=30°,BC=1时,求圆中阴影部分的面积.二、创新应用★10.图①是某学校存放学生自行车的车棚的示意图(尺寸如图),车棚顶部是圆柱侧面的一部分,其展开图是矩形.图②是车棚顶部截面的示意图,AB ⏜所在圆的圆心为O.车棚顶部是用一种帆布覆盖的,求覆盖棚顶的帆布的面积.(不考虑接缝等因素,计算结果保留π)知能演练·提升一、能力提升1.C 使用扇形的面积公式S=12lR 可求出其面积,即S=12×2×2=2. 2.B 3.A4.C 点O 移动的距离即扇形OAB 所对应的弧长,先运用扇形的面积公式S 扇形=nπR 2360求出扇形的圆心角n=300°,再由弧长公式l=nπR180,得l=10π cm .5.A6.4π 关键是确定圆心角和半径.因为△ABC 是边长为1的正三角形,所以CD⏜,DE ⏜,EF ⏜的圆心角都为120°,对应的半径分别为1,2,3. 因此CD ⏜=2π3,DE ⏜=4π3,EF ⏜=6π3=2π.所以曲线CDEF 的长是2π3+4π3+2π=4π. 7.π28.解 (1)如图,过点A 作AO ⊥AC ,过点B 作BO ⊥BD ,AO 与BO 相交于点O ,O 即为圆心.(2)因为AO ,BO 都是圆弧AmB ⏜ 的半径,O 是其所在圆的圆心, 所以∠OBA=∠OAB=150°-90°=60°. 所以△AOB 为等边三角形, 即AO=BO=AB=180 m . 所以AB⏜=60×π×180180=60π(m),即A 到B 这段弧形公路的长为60π m . 9.解 (1)答案不唯一,只要合理均可.例如: ①BC=BD ;②OF ∥BC ; ③∠BCD=∠A ; ④BC 2=CE 2+BE 2; ⑤△ABC 是直角三角形;⑥△BCD 是等腰三角形.(2)连接OC (图略),则OC=OA=OB.∵∠D=30°,∴∠A=∠D=30°. ∴∠AOC=120°.∵AB 为☉O 的直径, ∴∠ACB=90°.在Rt △ABC 中,BC=1,∴AB=2,AC=√3. ∵OF ⊥AC ,∴AF=CF. ∵OA=OB ,∴OF 是△ABC 的中位线. ∴OF=12BC=12.∴S △AOC =12AC ·OF=12×√3×12=√34,S 扇形AOC =13π·OA 2=π3.∴S 阴影=S 扇形AOC -S △AOC =π3−√34.二、创新应用10.分析车棚的顶棚的展开图是矩形,顶棚的横截面是弓形,求出弓形的弧长,即得到了展开图的宽.解连接OB ,过点O 作OE ⊥AB ,垂足为点E ,并延长交AB⏜于点F ,如图.由垂径定理,知E 是AB 的中点,F 是AB ⏜的中点,从而EF 是弓形的高. 故AE=12AB=2√3 m,EF=2 m . 设半径为R m, 则OE=(R-2)m .在Rt △AOE 中,由勾股定理, 得R 2=(R-2)2+(2√3)2. 解得R=4(m). 在Rt △AEO 中,AO=2OE ,故∠OAE=30°,∠AOE=60°,∠AOB=120°. 所以AB⏜的长为120×4π180=8π3(m). 即帆布的面积为8π3×60=160π(m 2).。

四点共圆怎么判定

四点共圆怎么判定
四点共圆的判定方法：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆等。

扩展资料
判定定理
方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的`同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。

（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）
方法2：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。

（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）
相关计算
圆的半径：r。

直径：d。

圆周率：π(数值为3.1415926至3.1415927之间……无限不循环小数)，通常采用3.14作为π的数值。

圆面积：S=πr2；S=π(d/2)2。

半圆的面积：S半圆=(πr2；)/2。

圆环面积：S大圆-S小圆=π(R2-r2)(R为大圆半径，r为小圆半径)。

圆的周长：C=2πr或c=πd。

半圆的周长：d+(πd)/2或者d+πr。

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四点共圆

四点共圆的判定五：
相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD其对角线AC、BD交于P，若PA·PC=PB·PD，则A、B、C、D四点共圆。
解析：对角线AC、BD交于P，若PA·PC=PB·PD 则A,B,C,D四点共圆
知识点
四点共圆的判定六：
割线定理的逆定理：对于凸四边形ABCD两边AB、DC的延长线相交于P，若PB·PA=PC·PD，则A、B、C、D四点共圆。
第一讲四点共圆的性质及判定
CONTENTS
1 技巧讲解 2 例题讲解 3 对应习题 4 课程总结
初中数学知识点精讲课程
P a r t 1 四点共圆的性质及判定
知识点
一.四点共圆的判定方法：
1、若四个点到一定点的距离相等，则这四个点在同一个圆上（即这四点共圆）。 2、若一个四边形的一组对角的和等于180度，则这个四边形的四个顶点共圆。 3、若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆。 4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。 5、若、两线段相交于点，且，则、、、四点共圆。 6、若、两线段延长后相交于点，且，则、、、四点共圆。 7、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆。
A
E
B
D
图7
F C
知识点
四点共圆的判定七：
若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆
解析：四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积
ABCD AD BC AC BD
则A,B,C,D四点共圆
下次课见
A
E
B
D
图7
F C
知识点

四点共圆基本判断方法(超全)

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假设四点不共圆，然后根据圆的性质和几何定理进行推理，得出矛盾。通过排除法，证明四点必须共圆。
利用角平分线性质证明四点共圆
总结词
利用角平分线的性质，结合三角形内外角关系，证明四点共圆。
详细描述
根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等。结合三角形内外角关系，可以推导出四点共圆的条件。具体来说，如果一个角的角平分线将另外两个角分为两个相等的部分，则这四个点共圆。
详细描述
欧拉定理指出，对于任意一个凸多边形，其所有边的长度之和等于其所有顶点的内角之和。此外，对于任意一个凹多边形，其所有边的长度之和小于其所有顶点的内角之和。通过比较四个点的坐标和对应的角度，可以利用欧拉定理来判断四点是否共圆。
塞瓦定理
总结词
塞瓦定理是判断四点共圆的另一种重要定理，它基于三角形和线的性质，通过比较三角形的高和对应的距离来判断四点是否共圆。
四点共圆基本判断方法( 超全)
• 判断四点共圆的定理 • 判断四点共圆的条件 • 判断四点共圆的证明方法 • 判断四点共圆的实际应用
01
判断四点共圆的定理
托勒密定理
总结词
托勒密定理是判断四点共圆的重要定理之一，它基于三角形和圆的性质，通过比较三角形的边长和对应的半弦长来判断四点是否共圆。
详细描述
托勒密定理指出，对于任意一个四边形，其对角线互相平分，则该四边形的四个顶点共圆。反之，如果四个点共圆，则其对角线必互相平分。托勒密定理的应用非常广泛，可以通过它来判断四点是否共圆，也可以用来证明一些与圆和三角形相关的性质和定理。
欧拉定理
总结词
欧拉定理是几何学中的重要定理之一，它涉及到多边形的边长、内角和及对应顶点的坐标。通过比较多边形的边长和内角和，可以判断四点是否共圆。

数学人教版九年级上册数学活动——探究四点共圆的条件

数学活动——探究四点共圆的条件一内容和内容解析1.内容：探究四点共圆的条件2.内容解析：四点共圆的条件是在学生学习了经过一个点的圆、经过不在同一直线上的三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆的条件的探究。

在四点共圆的条件的探究过程中，首先学生在已学的圆相关知识基础上，对四点共圆的条件进行合理猜想：圆内接四边形对角互补，相应的，对角互补的四边形的四个顶点共圆；再利用计算机工具，对特殊的四边形（平行四边形、矩形、等腰梯形）、一组对角同时等于九十度的四边形、任意对角互补的四边形以及任意四边形等，在几何画板上进行测量检验，用实验的方法验证猜想的正确性；然后对正方形、矩形、一组对角同时等于九十度的四边形、任意对角互补的四边形四个顶点共圆进行理论推理验证，最终得出结论。

学生全程感受并经历了发现并提出问题——猜想——实验验证——理论推理验证——得出结论的活动过程，在“做”的过程和“思考”的过程中，积累数学活动的经验；在验证的过程中体现了特殊到一般的思想，同时，在研究中，类比将四边形转化成三角形来研究，从三点共圆入手探究四点共圆的条件，体现了转化的思想。

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：四点共圆的条件的探究。

二目标和目标分析1.目标（1）理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件。

（2）通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想，积累数学活动的经验。

2.目标解析达成目标（1）的标志是：知道对角互补的四边形的四个顶点共圆的结论，会应用反证法证明这一结论，能应用对角互补的四边形四个顶点共圆判断给定的四边形的四个顶点是否可以做一个圆。

达成目标（2）的标志是：通过猜想，实验验证、理论推理验证得出结论，体会数学活动的完整过程，在过程中积累经验；通过几何画板画图，测量，比较，分析平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形、直角梯形、一组对角等于九十度的四边形、一般的对角互补的四边形的四个顶点能否共圆，得到：对角互补的四边形四个顶点共圆的更一般的结论。

人教版九年级上册数学活动：探究四点共圆的条件优秀教学案例

三、教学策略
（一）情景创设
1.利用多媒体课件展示现实生活中的四点共圆现象，如圆形桌面、车轮等，让学生感受四点共圆的存在，激发学生的学习兴趣。
2.设计问题情境，让学生思考：为什么圆形的桌面不会倒下？四点共圆的条件是什么？
3.创设实践情境，让学生动手画出四点共圆的图形，并尝试找出四点共圆的条件。
（二）问题导向
1.提出问题：什么是四点共圆？四点共圆的条件是什么？
2.引导学生思考：如何判断四个点共圆？有哪些方法可以验证四点共圆的条件？
3.鼓励学生提出问题：在探究过程中，你们遇到了哪些困难？如何解决？
（三）小组合作
1.将学生分成若干小组，每组四人，以便于合作探究。
2.分配任务：每组需找出四点共圆的条件，并进行验证。
（五）作业小结
1.布置作业：让学生运用所学知识解决实际问题，巩固四点共圆的条件。
2.鼓励学生在课后进行深入思考和探究，培养他们的独立学习能力。
（二）过程与方法
1.培养学生观察、操作、猜想、验证的探究能力，使其掌握科学研究的方法。
2.引导学生运用合作交流的方式，提高团队协作能力和沟通能力。
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提升创新实践能力。
为实现这一目标，我设计了丰富的教学活动。首先，通过多媒体课件展示生活中的四点共圆现象，引导学生观察和思考。其次，让学生动手画出四点共圆的图形，并提出可能的判定条件。在此基础上，组织学生进行小组讨论，交流各自的猜想，并进行验证。最后，我将实际问题引入课堂，让学生运用所学知识解决，提高他们的实践能力。
2.组织小组讨论：让学生交流自己的猜想，互相启发，共同解决问题。
3.教师巡回指导：关注学生在讨论过程中的需求和困难，给予及时的指导和帮助。

数学活动——探究四点共圆的条件

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：四点共圆的条件的探究。

二目标和目标分析1.目标（1）理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件。

（2）通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想，积累数学活动的经验。

复平面上四点共圆的充要条件

复平面上四点共圆的充要条件复平面上四点共圆的充要条件是这四点构成一个共轭四边形，即四个点依次连接起来形成一个四边形，且相对顶点所对的角互补。

下面将详细介绍这个条件及其性质。

共轭四边形是指以相互垂直相交的对角线为对称轴的四边形。

四个点A、B、C、D在复平面上依次连接起来组成的四边形ABCD就是一个共轭四边形，如果满足下面两个条件，即可证明这四个点共圆。

第一个条件是四边形的对角线相互垂直。

即AC和BD是垂直的，可以表示为AC⊥BD。

这意味着这两条对角线的斜率之积为-1。

如果我们分别用复数表示四个点A(a1,a2)、B(b1,b2)、C(c1,c2)、D(d1,d2)，那么我们可以用坐标形式表示为：AC⊥BD ⟺ ((c2-a2)/(c1-a1))*((d2-b2)/(d1-b1)) = -1第二个条件是四边形相对顶点所对的角互补。

也就是说，角ABC和角CDA是互补角，角ABD和角CAD是互补角。

互补角是指两个角的和为90度。

我们可以用复数表示角的度量，并利用向量之间的夹角公式来表示这个条件。

假设θ是两个向量的夹角，那么：角ABC互补于角CDA ⟺ arg((b2-a2)/(b1-a1)) + arg((d2-c2)/(d1-c1)) = π/2角ABD互补于角CAD ⟺ arg((b2-a2)/(b1-a1)) + arg((c2-d2)/(c1-d1)) = π/2当上述两个条件都满足时，我们可以断定四个点A、B、C、D共圆。

这是因为共轭四边形满足的条件实际上是正交圆的特征。

如果我们连接AD和BC，它们必定会相交于圆的圆心。

因此，这四点构成的四边形ABCD必然是一个正交圆。

这个定理具有重要的应用和指导意义。

通过这个定理，我们可以用复数的方法判断四个点是否共圆。

这在几何问题的解决中是非常有用的。

同时，我们还可以利用这个定理来证明其他几何定理。

例如，如果已知两个圆相交于两个点，并且通过这两个点引圆心连线，那么这条连线将垂直于两个圆的切线。

四点共圆相关定理

四点共圆相关定理四点共圆相关定理是几何学中的一个重要定理，它描述了四个点共圆的条件。

在本文中，我们将详细介绍这个定理的原理和应用。

让我们来了解一下什么是四点共圆。

四点共圆就是指四个点在同一个圆上。

那么，四点共圆的条件是什么呢？根据四点共圆相关定理，四个点A、B、C、D共圆的充分必要条件是，它们所在的任意两条弦互相垂直。

也就是说，如果我们可以找到两条相互垂直的弦，那么这四个点就一定共圆。

接下来，我们来看一下这个定理的证明过程。

假设AB和CD是两条相互垂直的弦，且它们相交于点O。

我们需要证明，点A、B、C、D 共圆。

我们可以得出AO与BO、CO与DO都是直径。

因为AO与BO是AB的中垂线，所以AO与BO互相垂直，并且它们的交点O在AB的中点上。

同理，CO与DO也互相垂直，并且它们的交点O在CD的中点上。

根据直径的性质，我们可以得出AO与BO、CO与DO都是直径，那么它们都是以O为圆心的直径。

因此，点A、B、C、D在同一个圆上，即四点共圆。

接下来，我们来看一下这个定理的应用。

四点共圆相关定理在解决几何问题时非常有用。

例如，我们可以利用这个定理证明一个四边形是一个圆形。

只需要证明四个顶点共圆即可。

四点共圆相关定理还可以应用于解决三角形的问题。

例如，我们可以利用这个定理证明三角形的外心存在。

只需要取三角形的三条中垂线的交点，即为三角形的外心。

除了以上应用，四点共圆相关定理还可以用于解决圆与直线的位置关系问题。

例如，我们可以利用这个定理证明一个圆与一条直线相切。

只需要找到一个点在圆上，而另一个点在直线上，并且两点的连线与直线垂直即可。

四点共圆相关定理是几何学中的一个重要定理，它描述了四个点共圆的条件。

通过证明过程和应用示例，我们可以看出这个定理的重要性和实用性。

在解决几何问题时，我们可以利用这个定理来简化问题，提高解题效率。

希望本文对大家的几何学学习有所帮助。

初中数学四点共圆的判定

初中数学四点共圆的判定“哎呀，这初中数学的四点共圆可真难啊！”我愁眉苦脸地对着同桌说。

记得那是一个阳光明媚的上午，我们正在上数学课。

数学老师在黑板上画了几个图形，然后就开始讲四点共圆的判定。

我一开始还听得津津有味的，觉得挺有意思。

可听着听着，就感觉脑袋越来越迷糊了。

“同学们，四点共圆的判定方法有好几种哦。

”老师微笑着说，“比如，如果四个点到一个定点的距离相等，那么这四个点就在同一个圆上。

”我在心里默默重复着，可还是不太理解。

我捅了捅同桌：“你听懂了没？”同桌摇摇头：“不太明白呢。

”下课后，我和同桌还在讨论这个四点共圆。

“这到底是怎么回事啊？”我苦恼地说，“感觉好抽象啊。

”同桌也皱着眉头：“是啊，真不好懂。

”我们决定一起去找学霸小明问问。

找到小明后，我迫不及待地问：“小明，四点共圆你能给我们讲讲不？”小明笑了笑说：“当然可以啦。

你们看啊，就像我们几个是好朋友，经常在一起玩，那就好像在一个圆里一样。

”我瞪大了眼睛：“这也能类比啊？”小明接着说：“对啊，这就是一种理解方式嘛。

比如四个点如果有共同的特征或者关系，那不就像我们一样在一个‘圆’里嘛。

”听了小明的解释，我和同桌好像有点明白了。

“哎呀，原来还可以这样想啊！”我恍然大悟。

经过这次讨论，我发现数学也不是那么枯燥难懂嘛。

虽然四点共圆还是有点难，但只要我们多思考，多和同学交流，总会搞明白的。

就像生活中的很多事情一样，一开始觉得很难，可只要我们不放弃，努力去探索，就一定能找到解决的办法。

所以啊，面对困难不要怕，勇敢地去挑战它，我们一定能战胜它！。

证明四点共圆的基本方法

证明四点共圆的基本方法
方法一：利用圆的定义
根据圆的定义，可以通过证明四点到圆心的距离相等来证明四点共圆。

设四点分别为A、B、C和D，圆心为O。

首先，可以计算出四点到圆心O
的距离AO、BO、CO和DO。

然后，证明AO=BO=CO=DO即可证明四点A、B、
C和D共圆。

方法二：利用相交弦的性质
如果四点共圆，则它们所在的圆上的任意两条弦应满足一定的性质。

可以通过证明四点所在的两条弦相交于同一点，或者四点所在的两条弦互
相垂直，来证明四点共圆。

方法三：利用圆心角的性质
若四点共圆，则它们所在的圆上的任意两条弦所对应的圆心角应满足
一定的关系。

可以通过计算四点所对应的圆心角，并证明这些圆心角相等，来证明四点共圆。

方法四：利用欧拉定理
欧拉定理指出，对于任意一个三角形，三个特殊点，外心、重心和垂心，以及三条特殊线，外心连线、重心连线和垂心连线，这些特殊点和特
殊线都共线。

可以利用欧拉定理来证明四点共圆。

方法五：利用共轴性
如果四点共圆，则可以找到与该圆相切的另外一条圆，并通过证明四
点共轴来证明它们共圆。

以上是常见的证明四点共圆的基本方法。

在实际证明中，可以根据具体问题选择合适的方法，并根据具体情况灵活应用。

证明四点共圆时，关键是通过计算和推理来得到所需的结论，一步步论证，使得结论得到充分的证明。

四点共圆的性质与判定

四点共圆的性质、判定及应用（一）柳州市龙城中学谭兵一、四点共圆的概念：二、四点共圆的性质：（1（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。

三、四点共圆的判定方法：判定方法1：四点到某一定点的距离都相等四点共圆．判定方法2：从被证的四点中先选出三点作一圆，若另一点也在这个圆上四点共圆．判定方法3：若凸四边形的对角互补四个顶点共圆判定方法4：若凸四边形的一个外角等于其邻补角的内对角判定方法5：共斜边的两个直角三角形四个顶点共圆，且斜边为直径判定方法6：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧四个顶点共圆．判定方法7：（相交弦定理的逆定理）凸四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于P ，若PD⋅BP =PC ⋅AP 四个顶点共圆．判定方法8：（割线定理的逆定理）若凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于PD ⋅PC =PB ⋅PA 四个顶点共圆若四边形ABCD 内接于圆 BD ⋅AC = BC ⋅AD + CD ⋅AB ．此四边形必内接于圆。

若BD ⋅AC = BC ⋅AD + CD ⋅AB 四边形ABCD 内接于圆．―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 3．已知：如图所示，四边形ABCD 内接于圆，CE ∥BD 交AB 的延长线于E ．求证：AD · BE ＝BC · DC ．D ED C A D CA6．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠B，△ABD的外接圆和BC交于E．求证：AD＝EC．性质1．如图，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC．求证：B、E、F、C四点共圆．判定*5．正方形ABCD的中心为O，面积为1989 cm2．P为正方形内一点，且∠OPB＝45°，PA∶PB＝5∶14．求PB判定．A B7．已知：梯形ABCD中，AD＝BC，AB∥CD．求证：BD2＝BC2＋AB ·CD．托勒密定理DC9．在△ABC 中，∠A 的内角平分线AD 交外接圆于D ．连结BD,CD ．求证：)．托勒密*8．如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连结AO ，如果AB ＝4，AO ＝26，求AC 的长.**10．如图，AD 、BC 为过圆的直径AB 两端点的弦，且BD 与AC 相交于E 。

证明四点共圆的原理是什么

证明四点共圆的原理是什么5分回答：2 浏览：2203 提问时间：2007-09-13 00:30四点共圆证明四点共圆基本方法：方法1 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．方法2 把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．为什么由这些条件就能够推得四点共圆，其中的原理是什么谢谢最佳答案此答案由提问者自己选择，并不代表爱问知识人的观点揪错┆评论情真意切[圣人]四点共圆的判定是以四点共圆的性质的基础上进行证明的。

四点共圆的性质：（1）同弧所对的圆周角相等（2）圆内接四边形的对角互补（3）圆内接四边形的外角等于内对角以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。

四点共圆的判定定理：方法1 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那末这二点和线段二端点四点共圆）方法2 把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角。

那末这四点共圆）我们可都可以用数学中的一种方法；反证法开进行证明。

现就“若平面上四点连成四边形的对角互补。

那末这四点共圆”证明如下（其它画个证明图如后）已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180°求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B，C，D四点共圆）证明：用反证法过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，刚C在圆外或圆内，若C在圆外，设BC交圆O于C’，连结DC’，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180°，∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。