第五章定积分的应用

dV A(x) d x
因此所求立体体积为
b
V a A(x) d x
A(x)
a x x dx b x
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例5. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并
与底面交成 角, 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .
解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为
x2 y2 R2
解: 由
y2 x y x2
y
得交点 (0, 0) , (1, 1)
1
AdA0
x x2 dx
2
3
x2
1
x3
1
3 30
1
3
y2 x (1,1) y x2
ox 1 x xdx
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例2. 计算抛物线 y2 2x 与直线 y x 4 所围图形
的面积 .
解: 由 y2 2x 得交点 y x4
第二步：求出每个部分量的近似值，
ΔFi f (i )Δxi (i 1,2,,n);
第三步：写出整体量F 的近似值，
F
n
ΔFi
i1
n
i1
f
(i )Δxi
n
第四步：取 max{Δxi} 0 时的 f (i )Δxi
i1
极限，则得
n
b
F
lim 0 i1
f (i )Δxi
f (x)dx
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA 1 ( )2 d
2
所求曲边扇形的面积为
r ( ) d
A 1 2 ( ) d 2
x
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例4. 求双纽线 r 2 a 2cos 2 所围图形面积 .
解: 利用对称性 , 则所求面积为
dA 1 ( )2 d
2
y
4
垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为
A(x) 1 (R2 x2 ) tan (R x R)
2
利用对称性
V 2 R 1 (R2 x2 ) tan d x
02
2 tan R2x 1 x3 R 2 R3 tan
3 03
y
ox
R x
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思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 此时截面面积函数是什么 ?
a
“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ”
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观察上述四步我们发现，第二步最关键， 因为最后的被积表达式的形式就是在这一步被确定的，
这只要把近似式 f (i )Δxi 中的变量记号改变一下即可 i换为x, xi换为dx
而第三、第四两步可以合并成一步：
在区间 a,b 上无限累加，即在 a,b 上积分.
第七章 定积分的应用
第一节 定积分的几何应用 一 、定积分应用的微元法 二、 平面图形的面积 三、已知平行截面面积函数的 立体体积
*四、 平面曲线的弧长
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一、 定积分应用的微元法
用定积分计算的量的特点：
(1) 所求量（设为 F）与一个给定区间 a,b
有关，且在该区间上具有可加性. 就是说，F
y b
a
A 40 y d x
利用椭圆的参数方程
o xxdxa x
x y
a cos t bsin t
(0 t 2 )
应用定积分换元法得
A 4
0
bsin t
(a sin t) dt
4ab
2 sin2 t dt
0
4
2
ab
12
2
ab
当 a = b 时得圆面积公式
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如何用定积分表示体积 ? 提示:
A( y) 2x y tan 2 tan y R2 y2
V 2 tan Ry R2 y2 dy 0
一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程
x x(t)
y
y(t)
t
给出时,
( 对应 x a)
则曲边梯形面积 A y(t) x(t)dt
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2. 极坐标情形
设()在[,]上连续, () 0 ,求由曲线 r ( )及
射线 , 围成的曲边扇形的面积 . 在区间[ , ]上任取小区间 [ , d ]
是确定于 a,b 上的整体量，当把 a,b分成许多小区间时，
整体量等于各部分量之和，即
n
F Fi
(2) 所求量
F
在区间a,b
i1
上的分布是不均匀的，
也就是说， F 的值与区间 a,b 的长不成正比.
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用定积分概念解决实际问题的四个步骤：
n
第一步：将所求量 F 分为部分量之和，即: F ΔFi i1
oa
x
x
dbx
x
dA f (x) dx
b
A a f (x) dx
y y f1(x) y f2 (x)
右下图所示图形面积为
b
A a f1(x) f2 (x) dx
o axxdx b x
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例1. 计算两条抛物线 y2 x , y x2 在第一象限所围
所围图形的面积 .
至于第一步，它只是指明所求量具有可加性，这是
F 能用定积分计算的前提，
于是，上述四步简化后形成实用的微元法.
于是，上述四步简化后形成实用的微元法. 定积分应用的微元法：
(一) 在区间 a,b 上任取一个微小区间 x, x dx
然后写出在这个小区间上的部分量 ΔF 的近似值， 记为 dF f (x)dx (称为F的微元）
A 4
4
1 a2 cos2 d
02
a2 4 cos 2 d (2 ) 0
a2sin 2 4 a2
0
o
ax
4
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二、已知平行截面面积函数的立体体积
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), A(x)在[a,b] 上连续, 则对应于小区间[x , x dx] 的体积元素为
（二） 将微元 dF在[a,b] 上积分（无限累加），
即得
F
b a
f
( x)dx.
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二、用定积分求平面图形的面积
1. 直角坐标系下的面积计算
y y 源自文库 (x)
设曲线 y f (x) ( 0) 与直线
x a , x b (a b) 及 x 轴所围曲
边梯形面积为 A , 则
(8, 4)
y y2 2x
yd y
(2, 2) , (8, 4)
y
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
AdA 4
2
(
y
4
1 2
y2
)
dy
o
yx4 x
(2, 2)
1 2
y2
4y
1 6
y3
4 2
18
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例3.
求椭圆
x2 a2
y2 b2
1
所围图形的面积
.
解: 利用对称性 , 有 d A y dx