高数 分部积分法
高数求积分方法总结
高数求积分方法总结高等数学求积分(Integration)方法总结1、换元法(Substitution Method)换元法是指计算积分时，根据被积函数和被积的变量的关系，将被积的变量由一个变量改变成另一个变量，以便转换待积函数的形式，使得函数变得更加简单，进而求解积分。
2、积分变形法(Integration Transformation Method)积分变形法就是在求解积分时先对被积函数做变形，通过将积分中的被积函数分解成多个部分，并对这些部分分别做不同的变换，使用不同的积分公式或积分变换公式，从而得出积分的解。
3、分部积分法(Partial Integration Method)分部积分法也称作展开积分法，它是将多项式的积分运算定义为求取多个式子的和，通过重项定理可以将多项式的积分分解成更简单的积分运算。
5、解析法(Analytic Function Method)解析法指的是将待积函数转换为某种常用标准函数，并应用相应积分公式进行求解积分，这可以有效地将复杂的函数形式转换成简单的函数形式，大大简化计算积分的求解工作。
6、复合分部积分法(Multiple Partial Integration)复合分部积分法是指在进行积分计算时，对被积函数进行分部展开，但是分部展开的函数又包含不同的其他多项式，这时可以就每一部分函数单独进行求积分处理，直至将所有部分积分完成，最后将积分结果求和，获得最终的积分解析结果。
7、级数法(Series Method)级数法是指将被积函数按级数的形式表达出来以后，把积分转换成求和公式，然后将每一层级按照一定的几何级数关系依次求解，最后将所求的积分求和而得出解析函数的积分表达。
8、蒙特卡洛算法(Monte Carlo Method)蒙特卡洛算法是采用抽样统计的方法来求解待积函数的积分，它可以将复杂的积分转换成随机变量的抽样统计，当抽样次数足够多时，便可以获得较为准确的积分值。
高等数学 第四章 第三节 分部积分法
（再次使用分部积分法）u x , e x dx dv
x e 2( xe e ) C .
2 x x x
结论
若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为 u, 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
例3 求积分 x arctan xdx . 2 x dv 解 令 u arctan x , xdx d
微分部分
积分部分
+
x
2
cos x
sin x
cos x
sin x
2x
2
结束
0
+
2 2 x cos xdx x sinx 2 x cos x 2 sinx C
例13 求积分 x e dx .
微分部分
2
x
竖式算法
选 u x 2 , v' e x
积分部分
+
x
2
e
x
2x
sec x tan x tan x sec xdx
2
sec x tan x (sec 2 x 1) sec xdx
这是一个 sec x tan x (sec 3 x tan x )dx 循环积分
sec x tan x I ln cos x
1 解出I即可 I (se cx tan x lncos x ) C 2
2 x e e
2 x2
x2
C.
例9
解：原式 x ln(1 x ) xd ln(1 x )
2 2
求 ln( x 1)dx
2
2x x ln( 1 x ) x dx 2 1 x
高数4.3 分部积分法
cos x sin x 2 C x
说明: 此题若先求出
再求积分反而复杂.
2 sin x 2 cos x cos x d x x f ( x) dx 2 x x
本节小结
分部积分公式
u v dx u v uv dx u v v du
例4 求 e x sin x dx . （课本例7）
解: 令
v e x , 则 v ex
x x e e sin x ∴ 原式 cos x dx
再令
x
v e x , 则 v ex
e sin x e x cos x e x sin x dx
故 原式 =
2. 求不定积分 解： 方法1 (先分部 , 再换元)
d (e x 1)
令 则
方法2 (先换元,再分部)
令 则
故
3. 求 I sin ( ln x) dx 解: 令 则 x et , d x et d t
I e t sin t d t
et sin t et cos t d t
为三角函数 , 但两次所设类型 说明: 也可设 必须一致 .
解题技巧: 把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的 反: 反三角函数 顺序, 前者为 后者为 例5（补充题）求 解: 令
v 1 , 则
vx
原式 = x arccos x
x 1 x 2
对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数
et (sin t cos t ) I
1 t I e (sin t cos t ) C 2 1 x [sin(ln x) cos(ln x)] C 2
高数求解积分技巧例题
高数求解积分技巧例题积分是高等数学中的重要内容，有时我们需要运用一些技巧来解决复杂的积分问题。
本文将介绍几个常见的积分技巧，并通过例题来说明。
1. 分部积分法分部积分法是求解含有两个函数相乘的积分的方法。
其公式为：∫uvdx = ∫udv + ∫vdu其中，u和v是原函数。
例题：求解∫x*sin(x)dx解：选择 u = x， dv = sin(x)dx，则 du = dx，v = -cos(x)根据分部积分法的公式，可以得到：∫x*sin(x)dx = ∫udv + ∫vdu= x*(-cos(x)) - ∫(-cos(x))dx= -x*cos(x) + ∫cos(x)dx= -x*cos(x) + sin(x) + C其中，C为常数。
因此，∫x*sin(x)dx = -x*cos(x) + sin(x) + C2. 换元积分法换元积分法是将积分中的变量进行替换，从而简化积分问题的方法。
其公式为：∫f(g(x))*g'(x)dx = ∫f(u)du其中，u = g(x)，du = g'(x)dx。
例题：求解∫x*e^(x^2)dx解：选择 u = x^2，du = 2xdx。
则原积分可以化简为：∫x*e^(x^2)dx = (1/2)∫e^udu= (1/2) ∫e^udu= (1/2) e^u + C= (1/2) e^(x^2) + C其中，C为常数。
因此，∫x*e^(x^2)dx = (1/2) e^(x^2) + C3. 三角函数积分三角函数积分是指对于包含三角函数的积分问题的解决方法。
a. ∫sin^n(x)dx 或∫cos^n(x)dx（n为正整数）当 n 为奇数时，可以利用递推关系进行求解。
即，∫sin^n(x)dx = -1/n*sin^(n-1)(x)*cos(x) + (n-1)/n*∫sin^(n-2)(x)dx当 n 为偶数时，可以利用换元积分法进行求解。
高数课件-分部积分法
2021-10-3
bx
b
a (a f (t)dt)dx a (b x) f (x)dx .
证
bx
x
b
b
x
( f (t)dt)dx x f (t)dt xd( f (t)dt)
aa
a
a
a
a
b
b
ba f (t)dt a xf (x)dx
b
b
a bf (x)dx a xf (x)dx
22-1
例5 求積分
sin(ln x)dx.
解 sin(ln x)dx xsin(lnx) xd[sin(lnx)]
x
sin(ln
x)
x
cos(ln
x)
1 x
dx
xsin(lnx) xcos(lnx) xd[cos(lnx)]
x[sin(lnx) cos(lnx)] sin(lnx)dx
2
2
d
(arctan
x)
x2 arctan x
2
x2 2
1
1 x
2
dx
x2 arctan x
2
1 2
(1
1
1 x
2
)dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C .
2
2
例4 求積分
x3 ln xdx.
解
u ln x, x3dx d x4 dv,
4
x3
ln
b
a (b x) f (x)dx
22-1
例 5.5.12 证明
2021-10-3
In
2 sinn xdx
0
2 0
cosn
高等数学分部积分法
17
例14 已知 f (x) 的一个原函数是 e x 2 , 求 xf (x)dx. 解 xf (x)dxxd[f(x)]x(fx)f(x)dx
f(x)dxex2C,
两边同时对x求导，得 f(x)2xex2,
xf(x)dx xf(x)f(x)dx
Inn 1sin n 1xco x snn 1In2
注意循环形式
I3
sin3 xdx
1sin 2xcoxs2
3
3
sin xdx
1si2n xcox s2cox sC.
3
3
20
例16 求
xe x dx.
ex 1
解 被积函数是两类函数的乘积，所以用分部积分法
xcoxsdx
设函数 uu(x)及 v v(x)具有连续导数. 则 (uv) uvuv,移项 uv(u)vuv
则 uvdxuvuvdx.
即 udvuv vdu 即为分部积分公式
利用分部积分公式求积分的方法叫分部积分法.
作用：化难为易
2
udvuvvdu
21
例16 求
xe x dx.
Байду номын сангаас
ex 1
另解 令 ex 1 u, 则du u22u1du,
(u21)lnu2 (1) 2u
原式=
u
u21du
2lnu(21)du2ulnu(21)4
u2 u21du
2uln u2(1)4u4arcu tC an
2x ex 14ex14arce txa 1n C .
总结 若被积函数是幂函数和对数函数(或反三角函
数)的乘积，就考虑设对数函数(或反三角函数)
高等数学4.5分部积分法
例7 使用两种方法计算
1 dx 1 2x
解1
1 dx
1 2x
1 2 x t
tdt t
dt
t C
12xC
例7 使用两种方法计算
1 dx 1 2x
解2
1 dx 1 2x
12
1 d(12x) 12x
12xC
练习 求 ① x10 lnxdx
② x2ex dx ③使用两种方法计算
1 dx
河北工业职业技术学院
高等数学
主讲人 宋从芝
4.5 分部积分法
本讲概要 ➢分部积分公式 ➢典型例题讲解
引入
求 xcos xdx x ln xdx
arctanxdx
一.分部积分公式
定理 设函数u=u(x) 及v=v(x) 具有连续导数，
由乘积的微分法则和dv选取的关键：
d(uv) = vdu +udv
ln xdx x ln x
x
1 dx x
xlnxdx
xlnx x C
被积函数是单一的对数函数或反三角函数，可看做
被积表达式已经自然分成u和dv的形式，直接用公式。
例5 求 x2 sinxdx
解 x2 sinxdx x 2 d(cosx)
x2 cosx
x co s x 2 x dx 降
x2cosx2xdsinx 幂 x
x 2c o sx 2 x s in x 2 s in x d x降
x 2 c o s x 2 x s in x 2 c o s x C 幂
注意： 分部积分法可以连续使用。
例6 求 ex cos dx
此积分要使用两次分部积分法：
第一次使用分部积分法时，哪个函数为u均可； 第二次使用分部积分法时，u的选取必须与第一次 的选取方法一致。
高数分部积分法
高数分部积分法
是微积分中的一类积分办法。
对于那些由两个不同函数组成的被积函数，不便于进行
换元的组合分成两部份进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。
定积分的分部积分法公式是（uv）'=u'v+uv'，代入∫u'vdx=uv-∫uv'dx，得u'v=（uv）'-uv'，即∫u'vdx=uv-∫uv'dx。
的定分数就是分数的一种，就是函数在区间上分数和的音速。
一个函数，可以存有不
定积分，而不存有的定分数；也可以存有的定分数，而不存有不定积分。
一个连续函数，
一定存有的定分数和不定积分；若只有非常有限个间断点，则的定分数存有；若存有弹跳
间断点，则原函数一定不存有，即为不定积分一定不存有。
分部积分，integral by parts，是适用于三种情况的积分方法： 1、可以逐步降低
幂次的积分例如：∫x?sinxdx = -∫x?dcosx = -x?cosx + 4∫x3cosxdx + c 这样一来，x 的幂次就降低了，以此类推，就积出来了。
2、可以将对数函数转化成代数函数的积分
例如：∫x3lnxdx = (1/4)∫lnxdx? = (1/4)x?lnx - (1/4)∫x3dx + c 这样一来，lnx
就消失了，就轻而易举地可以积出来了。
3、可以将积分过程当成解代数方程一样解的积
分例如∫(e^x)sinxdx∫(e^x)cosxdx∫(e^-2x)sin3xdx、∫(e^-4x)cosxdx。
高数分部积分法公式
高数分部积分法公式
分部积分法公式是∫ u'v dx = uv - ∫ uv' dx。
分部积分法简介
分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。
它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。
它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。
常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂指三”。
分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。
分部积分公式：∫u'vdx=uv-∫uv'dx。
分部积分：
(uv)'=u'v+uv'
得：u'v=(uv)'-uv'
两边积分得：∫u'vdx=∫(uv)'dx-∫uv'dx。
即：∫u'vdx=uv-∫uv'dx，这就是分部积分公式，也可简写为：∫vdu=uv-∫udv。
积分基本公式
1、∫0dx=c
2、∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c
3、∫1/xdx=ln|x|+c
4、∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5、∫e^xdx=e^x+c
6、∫sinxdx=-cosx+c
7、∫cosxdx=sinx+c
8、∫1/(cosx)^2dx=tanx+c
9、∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c。
高数求解积分技巧口诀
高数求解积分技巧口诀高等数学中求解积分是一个重要的部分，而掌握一些积分技巧可以极大地简化求解过程。
下面是一些常见的求解积分的技巧口诀，总结为以下几类：一. 基本积分法则：1. 基本积分公式：根据基本积分公式可以将各种常见函数的积分求解出来，例如幂函数、指数函数、三角函数等。
2. 垂直配对：对于一个函数，如果它的导函数可以表示为另一个函数的导函数，则可以通过反求导的方式求解出原函数的积分。
3. 基本换元法：通过引入一个新的变量，使得被积函数变得更加简单，从而简化求解过程。
二. 分部积分法：1. 分部积分法：通过将被积函数进行分解，再对其中的一部分进行求导，另一部分进行积分，可以将原函数的积分转化为另一个积分问题，从而简化求解过程。
2. 递归运用：分部积分法可以反复运用，即多次进行分部积分，从而求解出复杂的积分问题。
三. 特殊代换法：1. 倒代换法：当被积函数中含有一个较大的指数函数时，可以通过引入一个新的变量，将被积函数转化为一个更简单的形式。
2.三角代换法：对于含有三角函数的积分问题，可以通过引入一个新的变量，将被积函数转化为一个含有简单三角函数的形式。
四. 分式分解法：1. 部分分式分解法：当被积函数为一个分式时，可以通过将其分解为若干个简单的分式相加的形式，从而简化求解过程。
五. 积分表法：1. 积分表：熟练掌握常见函数的积分表，可以在求解积分时直接查表，从而快速得到答案。
2. 查表运算：在求解较为复杂的积分时，可以尝试将被积函数进行适当的变换，使其形式接近于积分表中的形式，从而查表求解。
六. 几何应用法：1. 几何意义：对于一些平面或空间几何问题，可以通过求解相应的积分问题来得到几何量的大小。
2. 镜像对称：利用几何镜像对称的特点，可以将原函数的积分问题简化为一个更简单的形式。
七. 换元积分法：1. 符号变换：对于一些特殊的积分问题，可以通过符号的变化来使被积函数更易于处理。
2. 复合换元法：通过引入复合函数的形式，可以将被积函数的形式转化为一个更易于处理的形式。
高数：分部积分法,有理函数积分法
x 6
1+ e2 + e3 + e6 1 3 3t + 3 6 dt = ∫ − = 6∫ dt − 2 2 t (1 + t )(1 + t ) t 1+ t 1+ t
3 3t + 3 6 dt = ∫ − − 2 t 1+ t 1+ t 2 1 3 d (1 + t ) dt − 3∫ = 6 ln t − 3 ln(1 + t ) − ∫ 2 2 1+ t 2 1+ t 3 2 = 6 ln t − 3 ln(1 + t ) − ln(1 + t ) − 3 arctan t + C 2
∵ x + 3 = A( x − 3) + B( x − 2), ∴ x + 3 = ( A + B ) x − ( 3 A + 2 B ),
A + B = 1, A = −5 , ⇒ ⇒ − ( 3 A + 2 B ) = 3, B = 6 3 6 −5 . ∴ = + 2 x − 5x + 6 x − 2 x − 3
A B C 1 , = + + 例2 2 2 x ( x − 1) x − 1 x ( x −1 )
1 = A( x − 1) 2 + Bx + Cx ( x − 1)
代入特殊值来确定系数 A, B , C 取 x = 0, ⇒ A = 1 取 x = 1, ⇒ B = 1 取 x = 2, 并将 A, B 值代入 (1) ⇒ C = −1
∫
∫ x cos xdx = ∫ xd sin x = x sin x − ∫ sin xdx
高数定积分的分部积分法
例1 计算 2 arcsin xdx. 0
解 令 u arcsin x, dv dx,
则 du
dx , 1 x2
v x,
1
2 arcsin xdx
0
x
arcsin
x
1 2
0
1
2 0
xdx 1 x2
1 26
1
1 2
20
1 d(1 x2 ) 1 x2
12
1 3
1 x2
2
0
f
(2)
3，
f
(2)
5
，求 1 0
xf
(2
x
)dx
.
思考题解答
1
0
xf
(2
x
)dx
1 2
1
0
xdf
(2
x)
1 xf
2
(2
x )10
1 2
1
f (2x)dx
0
1 2
f
(2)
1
4
f
(2 x )10
5 1 f (2) f (0) 2.
24
练习题
一、填空题：
1、设 n 为正奇数，则 2 sinn xdx ___________； 0
1 2
, 2
I2m1
2m 2m
1
2m 2m
2 1
6 7
4 5
2. 3
例6 设 f ( x ) 连续 证明
x
xt
( x t ) f (t )dt f (u)dudt
0
x
0 0
证一 记 F ( x) ( x t) f (t)dt
0
xt
G( x) f (u)dudt 则
高数——分部积分法
3
定理5.2 (分部积分法) 设u u(x), v v(x)有连续的到函数,则有如下的分部积分公式
u(x)v '(x)dx u(x)v(x) v(x)u '(x)dx 或 udv uv vdu
例 1 求下列不定积分
(1) xexdx (3) ln xdx (5) xsin xdx
ex sin x ex cos xdx ex sin x cos xdex ex sin x ex cos x exd cos x ex sin x ex cos x ex sin xdx 这是一个关于的 ex sin xdx方程，解之可得
2 ex sin xdx ex sin x ex cos x C1
x arcsin xdx
1 2
arcsin xdx2
1 2
x2
arcsin
x
1 2
x2
d
arcsin x
1 x2 arcsin x 1 1 x2 1 dx
2
2 1 x2
12
1 x2 arcsin x 1 1 x2 dx 1 dx
2
2
2 1 x2
1 2
x2
arcsin
x
1 2
1 2
1 t4 arctan t 1
2
2
t
4 1 1 t2
1dt
1 t4 arctan t 1 t2 1 1 dt
2
2
1 t2
1 t4 arctan t 1 t3 1 t 1 arctan t C
2
6 22
1 x2 arctan
x
1
3
x2
x 1 arctan
高数分部积分法
举例2：计算 ∫ ln x cos x dx
同样将ln x视为u，cos x 视为dv，通过分部积分 法得到结果。
在这些例子中，分部积 分法展示了其在处理复 杂函数积分时的有效性。 通过选择合适的u和dv， 我们可以逐步简化积分 表达式，最终得到积分 的解析解。
05
分部积分法的注意事项
积分公式的选择
THANKS
感谢观看
举例2：计算 ∫ e^x cos x dx
将e^x视为u，sin x视为 dv，应用分部积分法进行 求解。
同样将e^x视为u，cos x 视为dv，通过分部积分法 得到结果。
对数函数与三角函数的积分
01
02
03
04
05
举例1：计算 ∫ ln x sin x dx
将ln x视为u，sin x视为 dv，应用分部积分法进 行求解。
03
与其他积分方法（如换元法、分式分解法等）结合 使用，提高求解效率。
02
分部积分法的基本原理
微积分基本定理
微积分基本定理建立了定积分与不定 积分之间的联系，为分部积分法提供 了理论基础。
通过微积分基本定理，可以将一个复 杂的积分表达式转化为另一个相对简 单的积分表达式，从而简化计算过程。
分部积分公式
高数分部积分法
• 引言 • 分部积分法的基本原理 • 分部积分法的计算步骤 • 分部积分法的应用举例 • 分部积分法的注意事项 • 总结与展望
01
引言
分部积分法的定义
ห้องสมุดไป่ตู้
定义
分部积分法是一种求解不定积分的方 法，通过将被积函数拆分为两个函数 的乘积，并分别对这两个函数进行积 分和微分，从而简化求解过程。
逐步进行分部积分
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cos x sin x dx cos x 1 dx sin x cos x cos x dx d x 1, sin x sin x
得0=1
ln sin x C
答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 .
27
2. 求
提示:
故 原式 =
1 e x (sin x cos 2
x) C
说明: 也可设 必须一致 .
为三角函数 , 但两次所设类型
9
例. 求
eax sin bx dx 与 eax cos bx dx
10
例7. 求 解: 令 u x a , v 1, 则 u
2 2
x x2 a
再求积分反而复杂.
说明: 此题若先求出
cos x 2 sin x 2 cos x d x x f ( x) dx 2 x x
23
内容小结
分部积分公式
u v dx u v u v dx
1. 使用原则 : v 易求出, u v dx 易积分
25
练习. 求
u u 解: 令 u ln x , 则 x e , dx e d u
原式 e3 u u 4 eu d u u 4 e 4 u d u
u4
4u 31 e源自4u 412u 2
1 e 4u 42
24 u
1 e 4u 43
24
1 e 4u 44
0
1 x 2 n 1 I 得递推公式 I n1 2 2 2 n 2 n 2 n a (x a ) 2na
17
1 x 2 n 1 I 递推公式 I n1 2 2 2 n 2 n 2 n a (x a ) 2na 1 x 说明: 已知 I1 arctan C 利用递推公式可求得 I n . a a 例如, 1 x 3 2 I2 I3 2 2 2 2 4a ( x a ) 4a 1 x 3 1 x 1 2 2 2 2 2 2 I1 2 2 2 4a ( x a ) 4a 2a x a 2a 1 x 3 x 3 x 2 2 4 2 5 arctan C 2 2 2 a 4a ( x a ) 8a x a 8a
解: 令 u arctan x , v x 1 1 2 则 u , v x 2 2 1 x 2 1 2 1 x ∴ 原式 x arctan x dx 2 2 2 1 x 1 1 1 2 ) dx x arctan x (1 2 2 2 1 x 1 2 1 x arctan x ( x arctan x) C 2 2
dx .
1 x2
e t sin t e t cos t e t cos t d t 故 I 1 (sin t cos t ) e t C 2 1 x 1 arctan x C 2 2 e 1 x 2 1 x
x
t 1
21
解法2 用分部积分法 e arctan x I dx 3 1 (1 x 2 ) 2 I d e arctan x 1 x2 arctan x 1 arctan x e xe dx 3 2 1 x (1 x 2 ) 2 1 x arctan x e de arctan x 1 x2 1 x2 1 earctan x (1 x) I 1 x2
14
例. 求
sec
3
xdx
15
例11. 求 解: 令 x t , 则 x t 2 , dx 2 t d t
2 t e t d t 原式 u t , v e t 令
et ) C 2(t e
t
2e
x
( x 1) C
16
例9. 求
1 2n x , v 1, 则 u 2 ,v x 解: 令 u 2 2 n 2 n 1 (x a ) (x a ) x2 x In 2 2 n 2 dx ( x a 2 ) n 1 ( x a 2 )n 2 2 2 x (x a ) a 2 dx 2 n 2 n 2 2 n 1 (x a ) (x a ) x 2 2 n I n 2 n a 2 I n1 ( x a 2 )n
sin t e
t
cos t t e
sin t et
et sin t et cos t d t
et (sin t cos t ) I 可用表格法求 1 t I e (sin t cos t ) C 多次分部积分 2 1 x [sin(ln x) cos(ln x)] C 2
容易计算 .
1
分部积分公式 formula of integration by parts
分部积分法常见类型: (1)指数函数或三角函数与多项式的乘积. 例如,
p( x)eax dx , p( x)sin bx dx, p( x) cos bx dx...
(2)对数函数或反三角函数与多项式的乘积. 例如,
按 “ 反对幂指三” 顺序, 前者为 u 后者为 v. 的
3
例1. 求
解: 令 u x , v cos x , 则 u 1, v sin x
∴ 原式 xsin x sin x dx
x sin x cos x C
思考: 如何求
2 提示: 令 u x , v sin x, 则
(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C ) 例4
3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 .
20
例12. 求 I
earctan x
3
(1 x 2 ) 2 解法1 先换元后分部 令 t arctan x , 即 x tan t , 则 et I 3 sec 2 t d t e t cos t d t sec t e t sin t e t sin t d t
cos(a x b)
a sin(a x b)
a 2 cos(a x b)
p( x) ln x dx , p( x)arc sin bx dx, p( x)arc cos bx dx...
(3)指数函数与三角函数的乘积. 例如, 反: 反三角函数
e
ax
sin bx dx , e cos bx dx...
ax
解题技巧:
对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数
I
1 x 2 1 x
2
e
arctan x
C
22
例13. 已知 解:
的一个原函数是
求
x f ( x) dx x d f ( x) x f (x) f ( x) dx
cos x cos x C x x x cos x sin x 2 C x
原式
4
例2. 求 x ln x dx .
解: 令 u ln x , v x 1 1 2 u , v x 则 x 2 1 2 1 原式 = x ln x x dx 2 2 1 2 1 2 x ln x x C 2 4
5
例3. 求 x arctan x dx .
第三节 分部积分法
由导数公式 积分得:
第四章
(Integration by parts)
(uv) u v uv
uv u vdx u v dx
分部积分公式
uv dx uv uv dx 或 ud v u v v d u
1) v 容易求得 ;
e
4u
1 e 4u 45
1 4u 4 3 3 3 2 3 u u u u C 原式 = e 4 8 4 32 1 4 3 2 3 3 4 3 C x ln x ln x ln x ln x 4 4 8 32 26
思考与练习
1. 下述运算错在哪里? 应如何改正?
11
例8. 求 解: 令 u x 2 a 2 , v 1, 则
u
x2 x a
2 2
x x 2 a
, vx 2
x a dx x x a
2 2
2
2
2
dx
x x a
2 2
( x 2 a 2 ) a 2 x a
2
dx
dx x 2 a 2
x x a
7
例5. 求
1 ,则 解: 令 u ln cos x , v cos 2 x u tan x , v tan x
tan x ln cos x tan 2 x dx 原式 = tan x ln cos x (sec 2 x 1) dx tan x ln cos x tan x x C
a2 1 2 2 2 2 ln ( x x 2 a 2 ) C x a dx x x a 2 2
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有了以上的六个基本积分公式,我们就可以计算以下的
两类不定积分:
dx ax 2 bx c
(a 0)
ax2 bx c dx
(a 0)
方法: 配元, 化为标准型, 然后根据上述公式即可得.
x2 x a
2 2
, vx 2
x a dx x x a
2 2
2
2
dx
x x a
2 2 2 2