高数 分部积分法

sin t e
t
cos t t e
sin t et
et sin t et cos t d t
et (sin t cos t ) I 可用表格法求 1 t I e (sin t cos t ) C 多次分部积分 2 1 x [sin(ln x) cos(ln x)] C 2
18
例10. 证明递推公式
I n tan n 2 x (sec 2 x 1) dx 证: tan n 2 x d(tan x) I n2
tan x I n2 n 1
注:
n 1
或
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说明:
分部积分题目的类型:
1) 直接分部化简积分 ;
2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;
(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C ) 例4
3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 .
20
例12. 求 I
earctan x
3
(1 x 2 ) 2 解法1 先换元后分部 令 t arctan x , 即 x tan t , 则 et I 3 sec 2 t d t e t cos t d t sec t e t sin t e t sin t d t
按 “ 反对幂指三” 顺序, 前者为 u 后者为 v. 的
3
例1. 求
解: 令 u x , v cos x , 则 u 1, v sin x
∴ 原式 xsin x sin x dx
x sin x cos x C
思考: 如何求
2 提示: 令 u x , v sin x, 则
第三节 分部积分法
由导数公式 积分得:
第四章
(Integration by parts)
(uv) u v uv
uv u vdx u v dx
分部积分公式
uv dx uv uv dx 或 ud v u v v d u
1) v 容易求得 ;
8
e x sin x dx . 例6. 求 x 解: 令 u sin x , v e , 则
cos x , v e x u
e x sin x e x cos x dx ∴ 原式 ex , 则 再令 u cos x , v u sin x , v e x e x sin x e x cos x e x sin x dx
I
1 x 2 1 x
2
e
arctan x
C
22
例13. 已知 解:
的一个原函数是
求
x f ( x) dx x d f ( x) x f (x) f ( x) dx
cos x cos x C x x x cos x sin x 2 C x
14
例. 求
sec
3
xdx
15
例11. 求 解: 令 x t , 则 x t 2 , dx 2 t d t
2 t e t d t 原式 u t , v e t 令
et ) C 2(t e
t
2e
x
( x 1) C
16
例9. 求
1 2n x , v 1, 则 u 2 ,v x 解: 令 u 2 2 n 2 n 1 (x a ) (x a ) x2 x In 2 2 n 2 dx ( x a 2 ) n 1 ( x a 2 )n 2 2 2 x (x a ) a 2 dx 2 n 2 n 2 2 n 1 (x a ) (x a ) x 2 2 n I n 2 n a 2 I n1 ( x a 2 )n
再求积分反而复杂.
说明: 此题若先求出
cos x 2 sin x 2 cos x d x x f ( x) dx 2 x x
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内容小结
分部积分公式
u v dx u v u v dx
1. 使用原则 : v 易求出, u v dx 易积分
e
4u
1 e 4u 45
1 4u 4 3 3 3 2 3 u u u u C 原式 = e 4 8 4 32 1 4 3 2 3 3 4 3 C x ln x ln x ln x ln x 4 4 8 32 26
思考与练习
1. 下述运算错在哪里? 应如何改正?
2 2
a 2 x a dx
2 2
1 a2 2 2 ∴ 原式 = x x a ln ( x x 2 a 2 ) C 2 2
12
总结

a x 1 2 2 a x dx x a x arcsin C 2 a 2
2 2
2
a2 1 2 2 2 2 x x a ln ( x x a ) C 2 2
容易计算 .
1
分部积分公式 formula of integration by parts
分部积分法常见类型: (1)指数函数或三角函数与多项式的乘积. 例如,
p( x)eax dx , p( x)sin bx dx, p( x) cos bx dx...
(2)对数函数或反三角函数与多项式的乘积. 例如,
11
例8. 求 解: 令 u x 2 a 2 , v 1, 则
u
x2 x a
2 2
x x 2 a
, vx 2

x a dx x x a
2 2
2
2

2
dx
x x a
2 2

( x 2 a 2 ) a 2 x a
2
dx
dx x 2 a 2
x x a
7
例5. 求
1 ,则 解: 令 u ln cos x , v cos 2 x u tan x , v tan x
tan x ln cos x tan 2 x dx 原式 = tan x ln cos x (sec 2 x 1) dx tan x ln cos x tan x x C
x2 x a
2 2
, vx 2

x a dx x x a
2 2
2
2
dx
x x a
2 2 2 2
( x 2 a 2 )a 2 x a
2 2
dx
dx x2 a2
x 2 a 2 dx a 2 x x a
1 a2 2 2 2 2 ∴ 原式 = x x a ln ( x x a ) C 2 2
原式
4
例2. 求 x ln x dx .
Hale Waihona Puke Baidu
解: 令 u ln x , v x 1 1 2 u , v x 则 x 2 1 2 1 原式 = x ln x x dx 2 2 1 2 1 2 x ln x x C 2 4
5
例3. 求 x arctan x dx .
a2 1 2 2 2 2 ln ( x x 2 a 2 ) C x a dx x x a 2 2

13
有了以上的六个基本积分公式,我们就可以计算以下的
两类不定积分:


dx ax 2 bx c
(a 0)


ax2 bx c dx
(a 0)
方法: 配元, 化为标准型, 然后根据上述公式即可得.
dx .
1 x2
e t sin t e t cos t e t cos t d t 故 I 1 (sin t cos t ) e t C 2 1 x 1 arctan x C 2 2 e 1 x 2 1 x
x
t 1
21
解法2 用分部积分法 e arctan x I dx 3 1 (1 x 2 ) 2 I d e arctan x 1 x2 arctan x 1 arctan x e xe dx 3 2 1 x (1 x 2 ) 2 1 x arctan x e de arctan x 1 x2 1 x2 1 earctan x (1 x) I 1 x2
2. 使用经验 : “反对幂指三” , 前 u 后 3. 题目类型 : 分部化简 ; 循环解出;
v
递推公式
4. 计算格式 :
u
u v v
24
练习. 求 I sin ( ln x) dx 解: 令 则 x et , d x et d t
I e t sin t d t
故 原式 =
1 e x (sin x cos 2
x) C
说明: 也可设 必须一致 .
为三角函数 , 但两次所设类型
9
例. 求
eax sin bx dx 与 eax cos bx dx
10
例7. 求 解: 令 u x a , v 1, 则 u
2 2
x x2 a
p( x) ln x dx , p( x)arc sin bx dx, p( x)arc cos bx dx...
(3)指数函数与三角函数的乘积. 例如, 反: 反三角函数
e
ax
sin bx dx , e cos bx dx...
ax
解题技巧:
对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数
1 x 2 n 1 I 得递推公式 I n1 2 2 2 n 2 n 2 n a (x a ) 2na
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1 x 2 n 1 I 递推公式 I n1 2 2 2 n 2 n 2 n a (x a ) 2na 1 x 说明: 已知 I1 arctan C 利用递推公式可求得 I n . a a 例如, 1 x 3 2 I2 I3 2 2 2 2 4a ( x a ) 4a 1 x 3 1 x 1 2 2 2 2 2 2 I1 2 2 2 4a ( x a ) 4a 2a x a 2a 1 x 3 x 3 x 2 2 4 2 5 arctan C 2 2 2 a 4a ( x a ) 8a x a 8a
6
例4. 求 解: 令 u arccos x , v 1 , 则
u
1 1 x 2
, vx
原式 = x arccos x

x 1 x 2
2
dx
1
x arccos
x1 2
(1 x ) 2 d(1 x 2 )
x arccos x 1 x 2 C
解: 令 u arctan x , v x 1 1 2 则 u , v x 2 2 1 x 2 1 2 1 x ∴ 原式 x arctan x dx 2 2 2 1 x 1 1 1 2 ) dx x arctan x (1 2 2 2 1 x 1 2 1 x arctan x ( x arctan x) C 2 2
cos(a x b)
a sin(a x b)
a 2 cos(a x b)
cos x sin x dx cos x 1 dx sin x cos x cos x dx d x 1, sin x sin x
得0=1
ln sin x C
答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 .
27
2. 求
提示:
25
练习. 求
u u 解: 令 u ln x , 则 x e , dx e d u
原式 e3 u u 4 eu d u u 4 e 4 u d u
u4

4u 3
1 e 4u 4

12u 2
1 e 4u 42
24 u
1 e 4u 43

24
1 e 4u 44

0