圆锥曲线的方程(教师版)

圆锥曲线的方程

一、单选题

1．（2020·全国课时练习）一动圆P 过定点(4,0)M -，且与已知圆22:(4)16N x y -+=相切，则动圆圆心

P 的轨迹方程是（ ）

A ．22

1(2)412x y x -= B ．221(2)412

x y x -=- C ．22

1412

x y -= D ．221412

y x -= 【答案】C

【解析】

【分析】 分两圆内切和外切两种情况进行讨论可得4PN PM -=，结合双曲线的定义可求出其圆心的轨迹方程.

【详解】

由已知得(4,0)N ，当两圆内切时，定圆N 在动圆P 的内部，有||||4PN PM =-；

当两圆外切时有||||4PN PM =+，故4PN PM -=，由双曲线的定义知，

点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线，且24,4a c ==，所以224,12a b ==，

故圆心P 的轨迹方程为22

1412

x y -=. 故选：C

【点睛】

本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线轨迹方程的求解，考查了两圆相切问题，属于基础题.

2．（2020·全国课时练习）已知点(,)P x y =P 的轨迹是（ ）

A ．椭圆

B ．双曲线

C ．两条射线

D ．双曲线的一支

【答案】B

【解析】

【分析】

根据两点间距离公式化简条件，再根据双曲线定义判断，即可选择.

【详解】

设(1,0),(1,0)A B -，则由已知得||PA PB -=‖∣P 到两个定点A ､B 的距离之差的绝对值等于常

，又||2AB =2<，所以根据双曲线的定义知，动点P 的轨迹是双曲线.

故选：B

【点睛】

本题考查双曲线的定义，考查基本分析判断能力，属基础题.

3．（2020·全国课时练习）已知平面上的定点12,F F 及动点M ，甲：12MF MF m -=(m 为常数)，乙：点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的双曲线，则甲是乙的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

根据双曲线的定义以及必要不充分条件的定义可得答案.

【详解】

根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲乙，只有当120m F F <<时，点M 的轨迹才是双曲线. 故选：B.

【点睛】

本题考查了双曲线的定义，考查了必要不充分条件，属于基础题. 4．（2020·全国课时练习）若方程22

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y x m -=+表示双曲线，则实数m 的取值范围是（ ） A ．13m -<<

B ．1m >-

C ．3m >

D ．1m <-

【答案】B

【解析】

【分析】

根据双曲线的标准方程列式可得结果.

【详解】

依题意有10m +>，所以1m >-.

故选：B.

【点睛】

本题考查了双曲线的标准方程，属于基础题.

5．（2020·全国课时练习）已知双曲线22

22:1(0,0)x y E a b a b

-=>>.若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，,AB CD 的中点为E 的两个焦点，且||3,||2AB BC ==，则双曲线E 的标准方程是（ ）

A ．22143x y -=

B ．22131

44x y -= C ．2213y x -= D ．22113

44

x y -= 【答案】D

【解析】

【分析】

由题意可求出1c =，结合双曲线的定义可求出214

a =，进而可求出234

b =，即可得到双曲线的标准方程. 【详解】

如图，由题意知||||2MN BC ==.设,AB CD 的中点分别为M ，N ，在Rt BMN 中， ||22MN c ==，所以1c =

，5||2BN ===， 由双曲线的定义可得532||||122a BN BM =-=-=，即214

a =，所以234

b =， 故双曲线E 的标准方程为22

113

44

x y -=.