复数的概念1
第一章复变函数
为闭区域
（三）复变函数例 1. 多项式
a 0 a1 z a 2 z a n z
2
n
( n 为整数 )
2. 有理分式
a 0 a1 z a 2 z b 0 b1 z b 2 z
2
anz bm z
n m
2
( m 和 n 为整数 )
(e
z
iz
e
z
),
cos z ch z 1 2
1 2
(e
z
iz
e
z
iz
)
(e e
),
(e e
)
ln z ln(| z | e z
s
i Arg z
) ln | z | i Arg z
e
s ln z
( s 为复数 )
sh同sinh，双曲正弦 (hyperbolic sine) ch同cosh, 双曲余弦 (hyperbolic cosine)
全体复数与平面上的点一一对应
y
cos =|z|
•
z=x+iy (x,y) (,)
/2-
复数平面
sin cos(/2-) x
o
z1=x1+i y1 ，z2=x2+i y2，如z1=z2，则x1=x2， y1 = y2
2) 极坐标表示 利用坐标变换:
y arctan 2 2 x 0 2
例5. 指数函数
2 i sin e
i
sin
e 2i
- i
5
3. 辐角主值: 辐角 = Arg
高考数学一轮复习专题训练—复数
复数考纲要求1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．知识梳理1．复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)． (2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ⇔a ＝c 且b ＝d ((4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R)．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R)．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i 一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R)． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应平面向量OZ →. 3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R. z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i. z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i.z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图所示给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.1．i 的乘方具有周期性i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *. 2．(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i ＝－i.3．复数的模与共轭复数的关系 z ·z ＝|z |2＝|z |2. 4．两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点．( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√解析 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小．2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z 满足z ＋3i ＝a ＋a i ，若复数z 是纯虚数，则( ) A ．a ＝3 B ．a ＝0 C ．a ≠0 D ．a <0答案 B解析 由z ＋3i ＝a ＋a i ，得z ＝a ＋(a －3)i.又因为复数z 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，a －3≠0，解得a ＝0.3．已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 答案 2＋i解析 因为z ＝4＋3i1＋2i＝4＋3i 1－2i 1＋2i 1－2i＝10－5i5＝2－i ，所以z ＝2＋i.4．(2020·北京卷)在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i·z ＝( ) A ．1＋2i B ．－2＋i C ．1－2i D ．－2－i答案 B解析 z ＝1＋2i ，∴i·z ＝i(1＋2i)＝－2＋i.故选B.5．(2019·全国Ⅲ卷改编)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B ．22C ． 2D ．2答案 C解析 法一 由(1＋i)z ＝2i ，得z ＝2i1＋i ＝1＋i ，所以|z |＝ 2.法二 因为2i ＝(1＋i)2，所以由(1＋i)z ＝2i ＝(1＋i)2，得z ＝1＋i ，所以|z |＝ 2. 6．(2021·安庆一中月考)已知复数z ＝2i1－i3，则z 在复平面内对应的点所在的象限为第________象限． 答案 二 解析 ∵z ＝2i1－i3＝－1－i 21－i3＝－11－i＝－12－i 2， ∴z ＝－12＋i2对应的点⎝⎛⎭⎫－12，12位于第二象限．考点一 复数的相关概念1．(2020·浙江卷)已知a ∈R ，若a －1＋(a －2)i(i 为虚数单位)是实数，则a ＝( ) A ．1 B ．－1C ．2D ．－2答案 C解析 由题可知复数的虚部为a －2，若该复数为实数，则a －2＝0，即a ＝2.故选C. 2．(2019·全国Ⅱ卷)设z ＝i(2＋i)，则z ＝( ) A ．1＋2i B ．－1＋2iC ．1－2iD ．－1－2i答案 D解析 ∵z ＝i(2＋i)＝－1＋2i ，∴z ＝－1－2i.故选D. 3．(2020·全国Ⅰ卷)若z ＝1＋2i ＋i 3，则|z |＝( ) A ．0 B ．1C ． 2D ．2答案 C解析 ∵z ＝1＋2i ＋i 3＝1＋2i －i ＝1＋i ，∴|z |＝12＋12＝ 2.故选C.4．(2021·西安调研)下面关于复数z ＝－1＋i(其中i 为虚数单位)的结论正确的是( ) A.1z 对应的点在第一象限 B ．|z |<|z ＋1| C ．z 的虚部为i D ．z ＋z <0 答案 D解析∵z＝－1＋i，∴1z＝1－1＋i＝－1－i－1＋i－1－i＝－12－i2.则1z对应的点在第三象限，故A错误；|z|＝2，|z＋1|＝1，故B错误；z的虚部为1，故C错误；z＋z＝－2<0，故D正确．感悟升华 1.复数z＝a＋b i(a，b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部．若z为实数，则虚部b＝0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a＝0且b≠0.2．复数z＝a＋b i(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋b i|，即|z|＝|a＋b i|＝a2＋b2.3．复数z＝a＋b i(a，b∈R)的共轭复数为z＝a－b i，则z·z＝|z|2＝|z|2，即|z|＝|z|＝z·z，若z∈R，则z＝z.利用上述结论，可快速、简洁地解决有关复数问题．考点二复数的几何意义【例1】(1)(2019·全国Ⅰ卷)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则() A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1(2)(2020·临沂质检)已知a1－i＝－1＋b i，其中a，b是实数，则复数a－b i在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案(1)C(2)B解析(1)由已知条件，可设z＝x＋y i(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋y i－i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.(2)由a1－i＝－1＋b i，得a ＝(－1＋b i)(1－i)＝(b －1)＋(b ＋1)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1＝0，a ＝b －1，即a ＝－2，b ＝－1， ∴复数a －b i ＝－2＋i 在复平面内对应点(－2,1)，位于第二象限．感悟升华 1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应Z (a ，b )一一对应OZ →＝(a ，b )．2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，可把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观．【训练1】 (1)若复数z ＝(2＋a i)(a －i)在复平面内对应的点在第三象限，其中a ∈R ，i 为虚数单位，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－2，2) B ．(－2，0) C ．(0，2)D ．[0，2)(2)(2021·郑州模拟)已知复数z 1＝2－i2＋i 在复平面内对应的点为A ，复数z 2在复平面内对应的点为B ，若向量AB →与虚轴垂直，则z 2的虚部为________． 答案 (1)B (2)－45解析 (1)z ＝(2＋a i)(a －i)＝3a ＋(a 2－2)i在复平面内对应的点在第三象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a <0，a 2－2<0，解得－2<a <0.(2)z 1＝2－i 2＋i ＝2－i 22＋i 2－i ＝35－45i ，所以A ⎝⎛⎭⎫35，－45， 设复数z 2对应的点B (x 0，y 0)，则AB →＝⎝⎛⎭⎫x 0－35，y 0＋45， 又向量AB →与虚轴垂直，∴y 0＋45＝0，故z 2的虚部y 0＝－45.考点三 复数的运算【例2】 (1)(2020·全国Ⅰ卷)若z ＝1＋i ，则|z 2－2z |＝( ) A ．0B ．1C ． 2D ．2(2)在数学中，记表达式ad －bc 为由⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 所确定的二阶行列式．若在复数域内，z 1＝1＋i ，z 2＝2＋i 1－i ，z 3＝z 2，则当⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1 z 2z 3 z 4＝12－i 时，z 4的虚部为________． 答案 (1)D (2)－2解析 (1)法一 z 2－2z ＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，|z 2－2z |＝|－2|＝2. 法二 |z 2－2z |＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|(1＋i)(－1＋i)| ＝|1＋i||－1＋i|＝2. 故选D. (2)依题意，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1 z 2z 3 z 4＝z 1z 4－z 2z 3，因为z 3＝z 2，且z 2＝2＋i1－i ＝2＋i1＋i2＝1＋3i 2，所以z 2·z 3＝|z 2|2＝52，因此有(1＋i)z 4－52＝12－i ，即(1＋i)z 4＝3－i ，故z 4＝3－i 1＋i＝3－i1－i2＝1－2i.所以z 4的虚部是－2.感悟升华 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式． 2．记住以下结论，可提高运算速度： (1)(1±i)2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i＝－i ；(4)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(5)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N)．【训练2】 (1)(2020·新高考山东卷)2－i1＋2i＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i(2)(2020·全国Ⅱ卷)设复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3＋i ，则|z 1－z 2|＝________. 答案 (1)D (2)2 3 解析 (1)2－i 1＋2i ＝2－i1－2i 1＋2i1－2i＝－5i5＝－i.故选D.(2)法一 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝3－a ＋(1－b )i ，则⎩⎨⎧ |z 1|2＝a 2＋b 2＝4，|z 2|2＝3－a 2＋1－b 2＝4，即⎩⎨⎧a 2＋b 2＝4，3a ＋b ＝2.∴|z 1－z 2|2＝(2a －3)2＋(2b －1)2 ＝4(a 2＋b 2)－4(3a ＋b )＋4＝12. 因此|z 1－z 2|＝2 3.法二 设复数z 1，z 2对应的向量为a ，b ， 则复数z 1＋z 2，z 1－z 2对应向量为a ＋b ，a －b ， 依题意|a |＝|b |＝2，|a ＋b |＝2， 又因为|a ＋b |2＋|a －b |2＝2|a |2＋2|b |2， 所以|a －b |2＝12，故|z 1－z 2|＝|a －b |＝2 3.法三 设z 1＋z 2＝z ＝3＋i ，则z 在复平面上对应的点为P (3，1)，所以|z 1＋z 2|＝|z |＝2，由平行四边形法则知OAPB 是边长为2，一条对角线也为2的菱形，则另一条对角线的长为|z 1－z 2|＝2×32×2＝2 3.A 级 基础巩固一、选择题1．设z ＝－3＋2i ，则在复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 z ＝－3－2i ，故z 对应的点(－3，－2)位于第三象限． 2．(2020·全国Ⅲ卷)复数11－3i 的虚部是( ) A ．－310B ．－110C ．110D ．310答案 D解析 z ＝11－3i ＝1＋3i 1－3i 1＋3i ＝110＋310i ，虚部为310.故选D.3．(2020·全国Ⅱ卷)(1－i)4＝( ) A ．－4 B ．4C ．－4iD ．4i答案 A解析 (1－i)4＝(1－2i ＋i 2)2＝(－2i)2＝4i 2＝－4.4. (2021·全国大联考)如图，复数z 1，z 2在复平面上分别对应点A ，B ，则z 1·z 2＝( )A ．0B ．2＋iC ．－2－iD ．－1＋2i答案 C解析 由复数几何意义，知z 1＝－1＋2i ，z 2＝i ， ∴z 1·z 2＝i(－1＋2i)＝－2－i.5．设复数z 满足|z －3|＝2，z 在复平面内对应的点为M (a ，b )，则M 不可能为( ) A ．(2，3) B ．(3,2) C ．(5,0) D ．(4,1) 答案 D解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z －3＝(a －3)＋b i ， ∴(a －3)2＋b 2＝4，验证点M (4,1)，不满足．6．(2021·河南部分重点高中联考)若复数a ＋|3－4i|2＋i (a ∈R)是纯虚数，则a ＝( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3答案 B解析 a ＋|3－4i|2＋i ＝a ＋52－i2＋i 2－i ＝a ＋2－i 为纯虚数．则a ＋2＝0，解得a ＝－2.7．设2＋ii ＋1－2i ＝a ＋b i( a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则b －a i ＝( )A ．－52－32iB ．52－32iC.52＋32i D ．－52＋32i答案 A解析 因为2＋i i ＋1－2i ＝2＋i1－i i ＋11－i －2i ＝32－52i ＝a ＋b i ，所以a ＝32，b ＝－52，因此b －a i＝－52－32i.故选A.8.如图所示，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则复数z 1·z 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 由图知OA →＝(－2，－1)，OB →＝(0,1)，所以z 1＝－2－i ，z 2＝i ，z 1·z 2＝1－2i ，所以复数z 1·z 2所对应的点为(1，－2)，该点在第四象限．二、填空题9．(2020·江苏卷)已知i 是虚数单位，则复数z ＝(1＋i)(2－i)的实部是________． 答案 3解析 z ＝(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i ，所以复数z 的实部为3.10．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为________．答案 －2＋i解析 因为A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2，1)，所以向量OB →对应的复数为－2＋i.11．已知复数z ＝1＋2i 1＋i ＋2i z ，则|z |等于________． 答案 22解析 由z ＝1＋2i 1＋i＋2i z 得z ＝1＋2i 1＋i 1－2i ＝1＋2i 3－i＝1＋2i 3＋i 3－i 3＋i ＝1＋7i 10， 故|z |＝11012＋72＝22. 12．已知i 为虚数单位，若复数z ＝1－a i 1＋i(a ∈R)的实部为－3，则|z |＝________，复数z 的共轭复数z ＝________.答案 5 －3＋4i解析 因为z ＝1－a i 1＋i ＝1－a i 1－i 1＋i 1－i ＝1－a －a ＋1i 2的实部为－3，所以1－a 2＝－3，解得a ＝7. 所以z ＝－3－4i ， 故|z |＝－32＋－42＝5，且共轭复数z ＝－3＋4i.B 级 能力提升13．(2020·南宁模拟)已知z ＝3－i 1－i (其中i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 的虚部是( ) A ．－1B ．－2C ．1D ．2 答案 A解析 ∵z ＝3－i 1－i ＝3－i 1＋i 1－i 1＋i＝4＋2i 2＝2＋i ， ∴z ＝2－i ，∴z 的虚部为－1.14．(2021·哈尔滨调研)已知z 的共轭复数是z ，且|z |＝z ＋1－2i(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 D解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，因为|z |＝z ＋1－2i ，所以x 2＋y 2＝x －y i ＋1－2i ＝(x ＋1)－(y＋2)i ，所以⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝x ＋1，y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－2. 所以复数z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫32，－2，此点位于第四象限． 15.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________. 答案 －1＋i解析 原式＝⎣⎡⎦⎤1＋i 226＋2＋3i3＋2i 32＋22＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i. 16．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，且|z －2|＝3，则y x的最大值为________． 答案 3解析 因为|z －2|＝x －22＋y 2＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝⎛⎭⎫y x max ＝31＝ 3.。
2024届新高考一轮复习人教A版 第5章 第5讲 复数 课件(53张)
的点位于( A )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(4)(2022·浙 江 卷 ) 已 知 a ， b ∈ R ， a ＋ 3i ＝ (b ＋ i)i(i 为 虚 数 单 位 ) ， 则
( B) A．a＝1，b＝－3
B．a＝－1，b＝3
C．a＝－1，b＝－3
D．a＝1，b＝3
(5)(2022·全国甲卷)若 z＝1＋i，则|iz＋3 z |＝( D )
＝ －42＋－32＝5，故选 B.
解法二：依题意可得 i2·z＝(3－4i)i，所以 z＝－4－3i，则|z|＝
－42＋－32＝5，故选 B.
6．(2022·全国新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝( D )
A．－2＋4i
B．－2－4i
C．6＋2i
D．6－2i
[解析] (2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i＋4＝6－2i，故选D.
－ 7．(2019·全国卷Ⅱ，2,5 分)设 z＝－3＋2i，则在复平面内 z 对应的点
位于( C )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] 由题意，得－z ＝－3－2i，其在复平面内对应的点为(－3，－
2)，位于第三象限，故选 C.
考点突破 · 互动探究
考点一
复数的基本概念——ห้องสมุดไป่ตู้主练透
题组二 走进教材
2．(必修2P73T2改编)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a 的值为( B )
A．1
B．2
C．1或2
D．－1
[解析] 依题意，有aa2－－13≠a＋0，2＝0， 解得 a＝2.故选 B.
1-1复数的基本概念
§1.1 复数的基本概念授课要点：复数的定义，复数的代数表示，三角式、指数式及它们与复数几何表示（二维向量）之间的关系1、 复数的定义：设有一个有序数对(),a b ，遵从如下的运算法则加法：()()()11221212,,,a b a b a a b b +=++乘法：()(),,(,)a b c d ac bd ad bc =-+则称这一有序数对(),a b 为复数，记为α，即 α=(),a b其中a 为α实部，b 为α的虚部，记为a =Re α，b =Im α纯实数a =(),0a ，纯虚数记为b =()0,b ，所以有α=(),0a +()0,b =a(1,0)+b （0,1）其中(0，1)即为虚数单位，常记为i.2、 复数的相等与大小两个复数相等的充要条件是：实部、虚部分别相等.复数不能比较大小！这一点可用反证法证明：假设认为i ＞0，则在不等式两边同乘以一个大于0的数i ，不等式符号应当不变，即20i >即 -1>0，这显然是错误的！3、 几个特殊的复数：(0，0）：(0,0)(,)(,)(0,0)(,)(0,0)a b a b a b +=⎧⎨=⎩(1,0)：(1,0)(,)(,)a b a b =(0,1)：（0,1）(0,1)=(-1，0)=-1(0,1）是-1的平方根，是虚数单位，记为i =(0,1)4、 共轭复数：(,)a b α=，*(,)a b α=-互为共轭复数性质：**()αα=（共轭的共轭等于自己）*2ααα+=为实数（两个互为共轭的复数相加，结果必为实数） *22a b αα⋅=+，为非负实数（α的模方）5、 复数的减法、除法减法：()()()()a ib c id a c i b d +-+=-+- 除法：2222()()()()a ib a ib c id ac bd bc ad i c id c id c id c d c d++-+-==+++-++ ↑“分母实数化”6、 复数的几何表示：（1） 任何一个复数都可以和复平面上的一点对应，将这一点和原点连起来（原点为起点），形成一个二维矢量，这是一个二维自由向量，即将op 平移后，仍代表同一矢量（如右图所示）（2） 加法的几何表示（平行四边形法则与三角形法则）γαβ=+（3） 减法的几何表示：γαβ=- 复数不等式1212z z z z +≤+，1212z z z z -≤-，这 可以用三角形法则证明7、 复数的极坐标表示极坐标下，复数(cos sin )r i αθθ=+r 称为α的模，θ为辐角，记为：，r α=，Arg θα=辐角不唯一，辐角加上2π的任意整数倍代表同一个复数，将（0，2π）之间的辐角值称为辐角的主值arg αarg 2Arg k ααπ=+⋅.（k=0，±1，±2，……）提示：各种教材上的主值区间规定可能不一样，（0，0）的辐角无意义复共轭：(cos sin )a bi r i αθθ=+=+*(cos sin )a bi r i αθθ=-=-乘法：111(cos sin )r i αθθ=+222(cos sin )r i βθθ=+则 121122(cos sin )(cos sin )r r i i αβθθθθ=++1212121212(cos cos sin sin )(sin cos cos sin )r r i θθθθθθθθ=-++121212[cos()sin()]r r i θθθθ=+++规则是：模相乘，辐角相加 除法：112122[cos()sin()]r i r αθθθθβ=-+-规则是：模相除，辐角相减相比较而言，在极坐标表示下，复数的乘除运算比较容易8、 复数的指数表示欧拉公式：cos sin i e i θθθ=+ (cos sin )i r i re θαθθ=+=称为复数α的指数表示复数表示下，乘法，除法变得更容易1212()1212i i i r e r e r r e θθθθαβ+⋅=⋅= 1212()1122i i i re r er e r θθθθαβ-== 乘方，开方运算: i re θα=n n in r e θα=(2),0,1,21i k n re k n θπ+⋅==-小结:这一小结是对高中阶段所学复数知识的一个简短的总结回顾，没有难点。
高考数学一轮总复习 第五章 5.5 复 数
∴ －x＋y＝3，
x＝1，
解得
故 x＋y＝5.
2x－y＝－2，
y＝4，
3 课时作业
PART THREE
基础保分练
1.已知复数z1＝6－8i，z2＝－i，则
z1 z2
等于
A.－8－6i
B.－8＋6i
√C.8＋6i
D.8－6i
解析 ∵z1＝6－8i，z2＝－i，
∴zz12＝6－－8i i＝6－－i82ii＝8＋6i.
②对角线C→A所表示的复数； 解 ∵C→A＝O→A－O→C，∴C→A所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i ③B点对应的复数. 解 O→B＝O→A＋A→B＝O→A＋O→C， ∴O→B所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
即B点对应的复数为1＋6i.
思维升华
复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求 的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相 论即可.
A.20
B.12
√C.2 5
D.2
解析 设z＝＋bi，a，b∈R，
则由z2＝12＋16i，得a2－b2＋2abi＝12＋16i，
a2－b2＝12，
a＝4， a＝－4，
则
解得
或
2ab＝16，
b＝2
b＝－2，
即|z|＝ a2＋b2＝ 16＋4＝2 5.故选 C.
8.已知集合M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若M 数m的值为_3_或__6___.
基础自测
JICHUZICE
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x2＋x＋1＝0没有解.( × ) (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( × ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点.( √ ) (5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离
复数知识点归纳(一)2024
复数知识点归纳（一）引言概述：复数是数学中的一个重要概念，它有着广泛的应用。
本文将要介绍复数的一些重要知识点，包括复数的定义、复数的表示形式、复数的运算规则、复数的性质以及复数在实际应用中的应用场景。
正文：1. 复数的定义：- 复数是由一个实部和一个虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式。
- 实部和虚部分别由实数a和b来表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
2. 复数的表示形式：- 矩形形式：复数可以用直角坐标系中的点来表示，实部表示横坐标，虚部表示纵坐标，形成一个复平面。
- 极坐标形式：复数可以用极坐标表示，即用模和幅角来表示。
3. 复数的运算规则：- 加法和减法：复数相加减时，实部和虚部分别进行运算。
- 乘法和除法：复数相乘除时，可以使用矩阵形式进行运算，实部和虚部分别进行运算。
- 幂运算：复数的幂运算可以通过将复数转化为极坐标形式来简化运算。
4. 复数的性质：- 共轭复数：一个复数的共轭复数是将该复数的虚部取负数得到的复数。
- 模和幅角：一个复数的模是其在复平面上到原点的距离，幅角是与x轴正向的夹角。
- 相等和不等式：两个复数相等的条件是实部和虚部分别相等，两个复数的大小可以通过比较它们的模的大小来确定。
5. 复数的应用场景：- 电路分析：复数可以表示交流电压和交流电流，用于描述电路中电压和电流的相位关系。
- 信号处理：复数可以用于描述信号的频谱分析，在数字信号处理中有着重要应用。
- 工程计算：在工程中经常需要处理复杂的计算问题，复数可以简化计算过程。
总结：复数是一个由实部和虚部组成的数，可以用矩形形式和极坐标形式进行表示。
复数的运算包括加减法、乘除法和幂运算，具有一些重要的性质如共轭复数、模和幅角。
复数在实际应用中有广泛的应用场景，包括电路分析、信号处理和工程计算等。
深入理解和掌握复数知识，将对数学和工程领域的学习与应用产生积极的影响。
《复变函数》第1章
实部：x = Re(z) 虚部：y = Im(z)
纯虚数：z = iy ( y ≠ 0 )
2020/7/21
《复变函数》(第四版)
第2页
共轭复数： x iy x iy
z=0 x=y=0
z1= x1 + iy1 , z2= x2 + iy2 , z1 = z2 x1 = x2 , y1 = y2
连接平面上任一点与球面北极的直线段与球面有一个交点, 又在平面上引入一个假想点∞与球面北极对应, 构成扩充复平面 与球面点的一一对应, 即复数与球面上的点的一一对应, 球面称 为复球面.
2020/7/21
《复变函数》(第四版)
第16页
规定: | ∞| = +∞
α≠∞, α + ∞ = ∞ + α = ∞
解: 1) 几何上看 | z + i | = | z －(－i ) | = 2 : 与点－i
的距离为2的点轨迹, 即中心为(－i ),半径为2的圆.
代数推导: 设 z = x + iy
则 | x + (y + 1)i | = 2
(见书P10 图1.5)
x2 + (y + 1)2 = 4
解: 2) | z － 2i | = | z +2 | —— 到点 2i 和－2 距离
复变函数
（第四版）
电子教案
中山大学公共卫生学院 刘素芳 邓卓燊 编写
第一章 复数与复变函数
复变函数——自变量为复数的函数. 复变函数研究的中心对象: 解析函数． 复变函数论又称为解析函数论．
§1 复数及其代数运算
1.复数的概念
i — 虚数单位
i 2 =－1
1.复数的概念复数的坐标表示
yபைடு நூலகம்
o
x轴------实轴 y轴------虚轴
例1.辨析： 1．下列命题中的假命题是（D） (A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。
产和科学的发展，数的概念也不断的被扩大充实。
从小学到现在，大家都依次学过哪些数集呢？ 自然数集 整数集 有理数集 实数集
我们可以用下面一组方程来形象地说明
数系的发展变化过程：
（1）在自然数集中求方程 x+1＝0的解？ （2）在整数集中求方程 2x+1＝0的解？ （3）在有理数集中求方程 x2-2＝0的解？ （4）在实数集中求方程 x2+1＝0的解？
证明：若复数所对应的点位于第四象限， m 2 m 6 0 m 3或m 2 则 2 即 m m 2 0 2 m 1
不等式解集为空集
所以复数所对应的点不可能位于第四象限.
小结
复数的几何意义（二）
复数z=a+bi
一一对应 一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b)
例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。
3 m 2 m 2 m 6 0 得 解：由 2 m 2 或 m 1 m m 2 0
m (3,2) (1,2)
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题) (代数问题) 一种重要的数学思想：数形结合思想
回 忆
复变函数第一章
Re z 0表 示 右 半 复 平 面 , Im z 0表 示 下 半 复 平 面 .
复数z x iy可用平面上坐标为 ( x，y )的点P表示.
x轴 — 实 轴 y轴 — 虚 轴 此时， 平 面— 复 平 面 或 z平 面
点的表示：z x iy 复平面上的点 P( x，y )
数z与点z同义.
2. 向量表示法
z x iy 点P ( x，y ) OP { x , y }
z1 5 5i 7i 解: z2 3 4i 5
1 i 例2 : 求 1 i
4
1 i i 1 i
例3.证 明 若 z是 实 系 数 方 程 a n x n a n -1 x n 1 a1 x a 0 0 的 根, 则 z也 是 其 根 . (实 多 项 式 的 零 点 成 对 现 出)
当z落于一,四象限时，不变。
。 当z落于第三象限时，减 。
当z落于第二象限时，加
y arctan 2 x 2
由向量表示法知
z2 z1 — 点z1与z2之间的距离
由 此 得: z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1
y
(z)
z1
的集合称为点 z 0 的δ（去心）邻域 。
记为Ｕ(z0 ,δ) (U ( z0 , )) 即， U ( z0 , ) {z z z0 }
z0
(U ( z0 , ) { z 0 z z0 }) 设G是一平面上点集 内点 对任意z0属于G，若存在Ｕ(z 0 ,δ)， 使该邻 域内的所有点都属于G，则称z 0是G的内点。
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(1)若 a，b 为实数，则 z＝a＋bi 为虚数．
新
知
(2)复数 i 的实部不存在，虚部为 0.
课 堂 小 结
( )提
素
( )养
·
合 作
(3)bi 是纯虚数．
( )课
探
时
究
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0，那么这两个复
分 层
释
作
疑 难
数相等．
( )业
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
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24
·
情
课
境
堂
导
小
学
结
·
探
2．若复数 z＝a＋bi>0，则实数 a，b 满足什么条件？
提
新
素
知
养
合 作
[提示] 若复数 z＝a＋bi>0，则实数 a，b 满足 a>0，且 b＝0. 课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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情
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堂
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思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？ 结
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探
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新
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作
课
探
[提示]
究
时 分
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释
作
疑
业
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人教A版《复数的概念》PPT1
复数概念及公式总结
复数概念及公式总结1、虚数单位:它的平方等于-1，即2、与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－3、的周期性：4n+1=i,4n+2=-1,4n+3=-i,4n=14、复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示复数通常用字母z表示，即5、复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；a≠0且b≠0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0、5、复数集与其它数集之间的关系：NZQRC、6、两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小、如果两个复数都是实数，就可以比较大小当两个复数不全是实数时不能比较大小7、复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数（1）实轴上的点都表示实数（2）虚轴上的点都表示纯虚数（3）原点对应的有序实数对为(0，0)设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，8、复数z1与z2的加法运算律：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i、9、复数z1与z2的减法运算律：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i、10、复数z1与z2的乘法运算律：z1z2= (a+bi)(c+di)=(ac －bd)+(bc+ad)i、11、复数z1与z2的除法运算律：z1z2 =(a+bi)(c+di)=（分母实数化）12、共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数的共轭复数为。
复变函数与积分变换(第一章)
z1z2 r1ei1 r2ei2 r1r2ei (1 2 ) .
z1z2 rr 1 2 z1 z2
Arg( z1 z2 ) Argz1 Argz2 .
两个复数相乘，积的模等于各复 数的模的积，积的幅角等于这两 个复数的幅角的和.
z1z2 rr 1 2 z1 z2
(6)简单曲线、光滑曲线
设x(t)和y(t)是实变量t的两个实函数，它们在闭区 间[,]上连续，则由方程组 x x(t ) y y(t ) 或由复值函数 z (t ) x(t ) iy(t ) 定义的集合称为复平面上的一条曲线，上述方程称为 曲线的参数方程.点A=z() 和B=z()分别称为曲线的 起点和终点.如果当 t1 , t2 [ , ], t1 t2 时，有 z(t1 ) z(t2 ) ， 称曲线为简单曲线，也称为约当(Jordan)曲线. z ( ) z ( ) 的简单曲线称为简单闭曲线.
3 i 2eiπ / 6
复数乘法的几何意义
z1 r1 (cos1 i sin 1 ), z2 r2 (cos2 i sin 2 ).
z1 z2 r1 (cos 1 i sin 1 ) r2 (cos 2 i sin 2 ) r1 r2 ((cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 ) i(sin 1 cos 2 cos 1 sin 2 )) r1r2 (cos(1 2 ) i sin(2 2 ))
a 0, ； (3) a ，则 a
a (4) a 0 ，则 ； 0
(5) , 的实部、虚部、幅角都无意义； (6)为了避免和算术定律相矛盾，对
0 , 0 , , 0
高考数学一轮总复习复数的几何意义与共轭复数
高考数学一轮总复习复数的几何意义与共轭复数高考数学一轮总复习：复数的几何意义与共轭复数复数是数学中一个重要的概念，对于高考数学来说，复数的几何意义和共轭复数是重要的知识点。
本文将介绍复数的概念、复数的几何意义以及共轭复数，并探讨它们在高考数学中的应用。
一、复数的概念复数是由实部和虚部组成的数，形式为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i^2 = -1。
复数包括实数和纯虚数，实部为零时为纯虚数。
二、复数的几何意义复数可以用平面上的点来表示，实部和虚部分别对应点的横坐标和纵坐标。
例如，复数2+3i对应平面上的一个点，其横坐标为2，纵坐标为3，可以表示为(2,3)。
利用这种表示方法，我们可以将复数的加法、减法、乘法和除法转化为平面上点的运算。
两个复数的加法相当于将它们对应的点进行平移，减法相当于对点进行反向平移，乘法相当于对点进行旋转和缩放，除法相当于对点进行旋转和缩放再取倒数。
三、共轭复数给定复数z=a+bi，其共轭复数z*=a-bi。
共轭复数与原复数在平面上关于实轴对称，即对应的两个点关于实轴对称。
共轭复数有以下性质：1. 两个复数的和的共轭等于它们的共轭的和，即(z+w)* = z* + w*2. 两个复数的差的共轭等于它们的共轭的差，即(z-w)* = z* - w*3. 两个复数的积的共轭等于它们的共轭的积，即(zw)* = z*w*4. 一个复数的共轭的共轭等于它本身，即(z*)* = z共轭复数在复数的除法和复数方程的求解中起到重要的作用，能简化计算过程。
四、复数在高考数学中的应用1. 解方程：利用复数的概念和运算，我们可以解决一些在实数范围内无解的方程。
例如，方程x^2+1=0在实数范围内无解，但引入复数后，可得到两个解：x=±i。
2. 平面几何：复数可以表示平面上的点，通过复数的运算，可以进行平面几何的计算。
例如，两点间的距离可以用它们对应的复数表示，并使用模的概念计算。
复数的概念1-P
无理数
为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物理
量（例如速率、力的大小），人类很早已发现有必要 引进
无理数。约在公元前530，毕达哥拉斯学派已知道边长为1的
正方形的对角线的长度（即 2）不能是有理数。 15世纪达芬奇（Leonardo da Vinci, 1452- 1519） 把它
们称为是“无理的数”（irrational number），开普勒（J.
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复数
从16世纪开始，解高于一次的方程的需要导致复数概念的 形式。用配方法解一元二次方程就会遇到负数开 平方的问题。 卡尔达诺在《大法》（1545）中阐述一元三次方程解法时，发 现难以避免复数。关于复数及其代 数运算的几何表示，是18 世纪末到19世纪30年代由韦塞尔、阿尔根和高斯等人建立的。 哈密顿认真地研究了从实数扩张到复数的过程。他于1843 年提出了「四元数」的概念，其后不久，凯莱又 用四元数的 有序对定义了八元数。它们都被称为「超复数」，如果舍弃更 多的运算性质，超复数还可扩张到十六元数、三十二元数等等。
（2）复平面内的点Z的坐标是(a，b)， 而不是(a，bi)，也就是说，复平面内的 纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i。
（3）表示实数的点都在实轴上，表示纯 虚数的点都在虚轴上。
（4）复数集C和复平面内所有的点组成 的集合一一对应：
自然数
自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊 人用小石卵记畜群的头数或部落的人数 。
返回
Kepler, 1571- 1630）称它们是“不可名状”的数。
法国数学家柯西（A.Cauchy,1789- 1875）给出了回答：无
理数是有理数序列的极限。
由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人们想
1、复数的概念与坐标表示
第一讲——复数的概念与坐标表示知识要点1．复数的概念形如(,)+∈a bi a b R 的数叫做复数，用字母z 表示，即(,)=+∈z a bi a b R 。
其中a 叫做复数z 的实部，记作Re z ，b 叫做复数z 的虚部，记作Im z ，i 叫做虚数单位，规定：21=-i 。
（1）对于复数=+z a bi ，如果没有特殊说明，则有,∈a b R ；（2）=+z a bi 是复数的代数形式，并规定：00,0i bi bi ⋅=+=；（3）复数=+z a bi , 当0=b 时，复数=z a 是实数；当0≠b 时，z 叫做虚数；当0=a 且0≠b 时，z 叫做纯虚数；当且仅当0==a b 时，0=z 。
（4）复数全体所组成的集合叫做复数集，用字母C 表示。
复数(,) z a bi a b R =+∈00b b =⎧⎨≠⎩（）（）实数虚数 口答：1、下列复数：0，13i -，13i -，3-，6i 中，实数是__________，虚数是__________，纯虚数是___________，实部与虚部都是0的复数是___________。
答：实数：0，3-；虚数：13i -，13i -，6i ；纯虚数：13i -，6i ；实部与虚部都是0的复数：0。
2．两个复数相等如果两个复数1(,)=+∈z a bi a b R 和2(,)=+∈z c di c d R 的实部与虚部分别相等，即=a c 且=b d ，那么这两个复数相等，记作+=+a bi c di 。
两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等，即： +=+a bi c di ()()0⇔-+-=a c b d i 00-=⎧⇔⎨-=⎩a c b d =⎧⇔⎨=⎩a c b d3．复平面建立了直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面（如图所示），在这里x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，原点表示实数0。
第14讲复数(1)-解析与答案
第14讲 复数（一）模块1 复数的概念1．复数的表示形式（1）代数形式：z a bi ，其中,a b R .这里，a 称为复数z 的实部，用 Re z 表示；b 称为复数z 的虚部，用 Im z 表示. 当0b 时，z 就是实数；当0b 时，称z 为虚数；当0b 且0a 时，复数z 称为纯虚数. （2）几何形式：复数z a bi ,a b R 与复平面内的点 ,Z a b 或由原点发出的向量OZ 一一对应. （3）三角形式： cos sin z r i ，其中0,r R .这里，r 称为复数z 的模，用z 表示； 称为复数z 的幅角，而当02 时，称为复数z 的幅角主值，用 arg z 表示，不难发现tan b r a .（4）指数形式：i z re ，其中0,r R . 这里，cos sin i e i 也就是著名的欧拉公式.（5）共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，就称其互为共轭复数. 一般用z 来表示z 的共轭复数，当z a bi 时，z a bi ；共轭复数在复平面内关于x 轴对称；当 cos sin z r i 时， cos sin z r i ，也就是说共轭复数的模相等而幅角互为相反数； 当i z re 时，i z re .2．复数与一元二次方程（1）对所有的实系数一元二次方程20ax bx c (0)a ， 若240b ac ，则此方程没有实根，但有两个虚根，且两根242b ac b x a 互为共轭复数，故实系数方程的虚根成对出现．3．复数的运算法则：（1）加减法： a bi c di a c b d i ； （2）乘法： a bi c di ca bd ad bc i ，111222121212cos sin cos sin cos sin r i r i r r i ，（3）除法：2222a bi ac bd bc adi c di c d c d，111112122222cos sin cos sin cos sin r i r i r i r（4）棣莫弗定理（乘方）：cos sin cos sin nn r i r n i n复数的运算满足：交换律，结合律，分配律.（5）若 cos sin nk w r i，则22cos sin k k k w i n n， 其中0,1,2,,1k n .4．复数的性质： 共轭复数的性质： （1）1212z z z z ；（2）11121222,z zz z z z z z ， n n z z ；（3）1Re 2z z z，1Im 2z z z ； （4）z 是实数的充要条件是z z ，z 是纯虚数的充要条件是z z 且0z ； （5）z z ； （6）22z z z z .5．复数的模的性质：（1）max Re ,Im Re Im z z z z z ； （2）1212m n z z z z z z ；（3）112220z z z z z ； （4）121212z z z z z z .【经典例题】【例1】 （1）若复数z 满足 325z i （i 为虚数单位），则z 的共轭复数为________. （2）复数21iz i（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点位于第________象限. （3）复数11z i的模为________. （4）复数,z w 满足3z ，74z w z w i ，则 2z w z w ________. 【教师建议】复数计算，共轭，模 【解析与答案】（1）5i ；（2）四；（3； （4）2274i z w z w z w zw zw ， 由于22,,Re 0z w R zw zw ，则227,4z w zw zw i ，而3z ，故22w ，故222242z w z w z w zw zw18i ，故2218z w z w i【例2】 若z C ，且286z i ，求3210016z z z. （2）二次函数 210ax x a R 的两根的模都小于2，求实数a 的取值范围.（3）设R ，若二次方程 2110i x i x i 有两个虚根，求实数 的取值范围.【教师建议】1.复数开方方法；2.实（复）系数二次函数的解.【例3】 （1）31 ________.（2）已知1,mnii m n N ，则mn 的最小值是________.（3）计算102282000i【教师建议】三角形式计算 【解析与答案】（1）-8；（2）72（3）256i .【例4】 设x是模为1的复数，则函数 2211f x xx的最小值为________.（2）设,p q是复数 0q ，若关于x的方程220x px q的两根的模相等，证明：pq是实数. 【教师建议】复函数最值（利用三角形式，三角函数最值）【解析与答案】（1）设ix e，则 22221112cos211i if x x e ex.（2）21212,z z p z z q，2221221222122122iii iz z z zpe e e eq z z z z为非负实数，因此pq是实数.【例5】 已知复数z满足1z ，则1z iz的最小值为________.（2）设复数z满足1z 且152zz，则z ________.（3）（2002联赛）已知复数12,z z满足122,3z z.若它们所对应向量的夹角为060，则1212z zz z________.【解析与答案】（1）1112iz iz i z1.（2）2151122z z z z zz（3）几何意义，余弦定理【例6】 已知复数z 的模大于1，155cos sin 22iz z，则z ________.（2）已知复数12,z z 满足121232,3,322z z z z i ，试求12z z 的值. 【解析与答案】 （1）25551cos sin 12222i zz z z z z，代入得 2cos sin z i （2） 1212216323072131323z z z z i z z【例7】 求证：当1a 或1b ，当a b 时，有11a bab. 【解析与答案】【例8】 若1231z z z ，求223123111z z z z z z 的值【解析与答案】【例9】 若12,,,0z z A C A ，且12120z z Az Az . 求证：12()()z A R z A .【解析与答案】【例10】 （全国高考题）设z C ，解方程313zz iz i . 【解析与答案】模块2 复数的几何意义1．复数及其预算的几何意义复数 ,z x yi x y R 与复平面内的点 ,Z x y 及向量OZ （O 是坐标原点）之间构成一一对应关系，这就使得复数本身以及运算中有着深刻的几何意义. （1）复数加减法的几何意义复数的加法可以按照向量的加法法则来进行. 两个复数的差12z z 与连接两向量终点并指向被减数的向量对应.（2）复数乘除法的几何意义记 11112222cos sin ,cos sin z r i z r i ，两个复数的积12z z 对应的向量就是把向量OZ 按逆时针方向旋转一个角 （若0 ，则应将OZ 按顺时针方向旋转一个角 ），再将它的模变为原来的2r 倍. 复数的除法也有类似的几何意义.2．复平面解析几何（1）复平面上两点间的距离公式复数12,z z 在复平面上对应的点为12,,Z Z d 表示两点12,Z Z 之间的距离，则有12d z z . （2）复平面上的曲线方程如果复数z 对应着复平面上一点 ,Z x y 就可得出一些常用曲线的复数形式的方程： ①方程0z z r 表示以0Z 为圆心，r 为半径的圆； ②方程12z z z z 表示线段12Z Z 的垂直平分线；③方程122z z z z a 表示以12,Z Z 为焦点，a 为长半轴的椭圆； ④方程122z z z z a 表示以12,Z Z 为焦点，实轴长为2a 的双曲线.复数的几何意义构建了代数与几何之间的相互联系，当中的要害之处在于怎样选取恰当坐标系，进而建立几何元素的复数表示，以借助复数的运算来探究平面几何问题的解决方案.【经典例题】【例11】 （1）（2009复旦）复平面上点012z i 关于直线:22l z i z 的对称点的复数表示是________. （2）设复数z 满足1z ，则2221z z z i的最大值为________.【教师建议】复数几何意义 【解析与答案】（1）i ；（21 .（2）22211z z z i z i表示单位圆上与 1,1距离最大值，为1【例12】 任给8个非零实数128,,,a a a ，证明：下面6个数132415261728354637485768,,,,,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 中，至少有一个数是非负的.【解析与答案】令212,1,2,3,4i i i z a a i ， 212,i i i z a a【例13】 （全国高中数学联赛题）给定实数,,a b c 已知复数123,,z z z 满足1233122311.1.z z z z z z zz z求123az bz cz 的值. 【解析与答案】【例14】 设复数cos sin (0180)z i ，复数,(1),2z i z z 在复平面上对应的三个点分别是,,P Q R .当,,P Q R 不共线时，以线段,PQ PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S ，点S 到原点距离的最大值是________. 【解析与答案】模块3 多项式与单位根1．多项式的根一般地，以x 为未知数的一元n 次多项式 f x 可以写成：1110n n n n f x a x a x a x a这里n 为确定的自然数 0n a ，称为 f x 的次数，记作 deg f x .2．多项式相等：两个多项式如果次数相同且同次项系数相等，则此两多项式相等. 竞赛中出现的多项式多为整系数的，称为整系数多项式.如果 1110n n n n f x a x a x a x a 是复系数一元n 次多项式，那么它对应的方程 0f x 就称为复系数一元n 次方程，它的根也称为多项式 f x 的根.类似地，如果 f x 是实系数（或有理系数，整系数等）多项式，则称对应方程为实系数（或有理系数，整系数等）一元n 次方程.3．代数基本定理一元n 次多项式在复数中至少有一个根.根的个数定理：一元n 次多项式有且仅有n 个根（k 重根算作k 个根）推论：若有1n 个不同的x 值使得n 次多项式 f x 与 g x 值相等，那么 f x g x .4．实系数多项式虚根成对定理：若实系数多项式 f x 有一个虚根a bi ，那么a bi 也是它的根，且两根有共同的重数k . 推论1：任何奇次实系数多项式至少有一个实根.推论2：任何次数大于0的实系数多项式均可在实数范围内分解成若干个一次因式与具有共轭虚根的二次因式之积.5．韦达定理的一般形式为：如果一元n 次多项式 1110n n n n f x a x a x a x a 的根是12,,,n x x x ，那么112n n nax x x a ，212131n n n na x x x x x x a， 312312421n n n n na x x x x x x x x x a，12n x x x .6．单位根对于方程10n x （n 是自然数且2n ），由复数开方法则，就得到它的n 个根.利用复数乘方公式，有12222cos sin cos sin kk k k k i i n n n n. 这说明：这n 个n 次单位根可以表示为211111,,,,n ，它们在复平面内对应的点构成一个内接于单位圆的正n 边形.关于n 次单位根，有如下一些性质： （1） 111k k n ；（2） 1,1i j i j i j n ； （3）2111110n ；（4） 设m 是整数，则1211m m mn,当 是 的倍数时；0,当 不是 的倍数时.（5） 1101n n k k k k x x ，特别的，当1x 时， -111n k k n .【经典例题】【例15】 （1）证明：sin x 不是多项式； （2）. 【解析与答案】【例16】 若多项式 3248f x x x x a 有模等于2的虚根，试确定实数a 并解出所有的根.【例17】 若多项式 43262f x x x ax bx 有4个实根，证明：这些根中必有一个小于1【例18】 设,,0,,,a b R b 是三次方程30x ax b 的3个根，求以111111,,为根的三次方程. 【解析与答案】【例19】 （1）设1002200012001x x a a x a x ，求03198a a a 的值.（2）033333nn n nC C C ________. （3）计算：024698100100100100100100100C C C C C C 【解析与答案】（1）令21,,x w w ，其中31w 且1w ，解得99031983a a a（2）21211,3nn n w w 其中22cos sin 33w i . （3）100024*********1001001001001001001001001i C C C C i C C C C利用三角形式可得024********50100100100100100100100C C C C C C 2cos24【说明】类似可求0k kn knkn kn C C C【例20】 若cos 40sin 40i ，则12392π239sin 99等于________. 【解析与答案】设222239s ，其中29i e．23410239s ．2391019s ． 1 ∵，210191s∴．注意到92921091,i i e e，19s ∴．故11111999s s ，．由于1与 是单位圆内接正九边形的相邻顶点，所以1 是单位圆内接正九边形的边长．即π12sin 9，也即12πsin 0999．【例21】 （99联赛）给定实数a b c ，，，已知复数1z ，2z ，3z 满足： 12331223111z z z z z z zz z，求123az bz cz 的值. 利用单位根形式证明1z ，2z ，3z 必有两个相等. 【解析与答案】由题设，有i i i()1e e e ．两边取虚部，有 0sin sin sin 2sincos2sincos22222sincos cos2224sin sin sin 222故2πk 或2πk 或2πk ，k Z ．因而，12z z 或23z z 或31z z ． 如果12z z ，代入原式即 313111z z z z ．故23110z z，31i z z ． 这时，1231i az bz cz z a b c．类似地，如果23z z，则123az bz cz ；如果31z z ，则123az bz cz ．所以，123az bz cz22a b c22b c a22c a b【例22】 是否存在一个凸1990边形，同时具有下列的性质(1)与(2)： （1）所有内角均相等；（2）1990条边的长度是1,2,…,1989,1990的一个排列。
复变函数1.pdf
2⎢⎣⎡cos
π 4
+
i
sin
π⎤ 4 ⎥⎦
4
1+
i
=
8
⎡π
⎢ 2⎢cos
4
⎢⎣
+ 2kπ 4
+
π i sin 4
+
2kπ
⎤ ⎥
4
⎥ ⎥⎦
即
w0
=8
2
⎣⎡⎢cos
π 16
+
i
sin
1π6⎥⎦⎤,
(k = 0,1,2,3).
w1
=
8
2⎣⎡⎢cos
9π 16
+
i sin 916π⎥⎦⎤,
w2
=
8
2⎣⎡⎢cos
当 z 的模 r = 1,即 z = cosθ + i sinθ ,
(cosθ + i sinθ )n = cos nθ + i sin nθ .棣莫佛公式
例 计算（ 12-2i）3
解 由于 12-2i = 4[cos(−π / 6) + i sin(−π / 6)]
因此( 12-2i)3 = 43 (cos(−π / 6) + i sin(−π / 6))3
例如，设 z1 = −1, z2 = i, 则 z1 ⋅ z2 = −i,
Argz1 = π + 2nπ, (n = 0, ± 1, ± 2,"),
A故Arrgg3(zπz21+z=22)π2(=m+−2+πm2n+π)π,2k=π(m−, π=(+k02,=k±π01,,,
± 2,"), ± 1, ± 2,"),
1复数的概念》一等奖创新教学设计
1复数的概念》一等奖创新教学设计复数是一个数词形式，用于表示多于一个的数量或事物。
在英语中，复数形式通常是通过在词尾添加“s”或“es”来表示的，但也有一些特殊的变化规则。
复数有以下几个基本概念：1. 表示多个数量或事物：复数用来表示多于一个的数量或事物。
例如，单数形式的“book”表示一个书籍，而复数形式的“books”表示多个书籍。
2. 可数名词和不可数名词：复数只能用于可数名词。
可数名词是指可以按照数量进行计数的名词，如“book”、“cat”等。
不可数名词是指无法按照数量进行计数的名词，如“water”、“love”等。
3.变化规则：a. 大多数单数形式的名词在词尾加“s”来构成复数形式，如“books”、“cats”。
b. 以s、x、ch、sh等结尾的名词，在词尾加“es”来构成复数形式，如“boxes”、“wishes”。
c. 以辅音字母+y结尾的名词，在y变为i，再加“es”来构成复数形式，如“babies”、“berries”。
d. 以“o”结尾的名词通常在词尾加“es”构成复数，如“tomatoes”、“potatoes”。
但也有一些例外，如“photos”、“pianos”。
以上是复数的基本概念和变化规则。
在教学设计中，为了帮助学生理解复数的概念和掌握变化规则，可以采取以下一等奖创新教学设计：设计主题：复数的概念和变化规则教学目标：1.理解复数的概念，能够正确使用复数形式。
2.掌握复数变化的规则，能够正确拼写复数形式。
教学步骤：1.导入：通过幻灯片或小视频等方式，向学生介绍复数的概念，并引发学生对复数的思考。
2.概念讲解：以图片、实物或故事等方式，向学生展示不同的事物，并引导学生分析其中的单数形式和复数形式的变化规律。
3.规则总结：让学生在小组讨论的过程中总结复数变化的规则，并向全班呈现自己的总结结果。
教师在此过程中及时给予指导和纠错。
4.练习巩固：设计一系列的练习题，让学生在实际操作中巩固对复数的理解和掌握。
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分术”有云：“实如法而一。不满法者，以法命之。”这句
话的今译是：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义了一 个分数。
古埃及人约于公元前17世纪已使用分数。
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无理数
为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物理 量（例如速率、力的大小），人类很早已发现有必要 引进 无理数。约在公元前530，毕达哥拉斯学派已知道边长为1的 正方形的对角线的长度（即 2）不能是有理数。 15世纪达芬奇（Leonardo da Vinci, 1452- 1519） 把它 们称为是“无理的数”（irrational number），开普勒（J. Kepler, 1571- 1630）称它们是“不可名状”的数。 法国数学家柯西（A.Cauchy,1789- 1875）给出了回答：无 理数是有理数序列的极限。 由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人们想
RQ Z
N
N
Z
Q
R
C
很明显, 引进虚数单位后, 有 i 2 = -1, (-
i)2=i 2=-1, 所以方程 x2=-1 的解是 x=±I 虚数单位的幂的性质: i 4n =1, i 4n+1 =i, i 4n+2 =-1, i 4n+3 =i ( n∈N ) 以上性质叫 i 的周期性.
4.1 复数的概念
负数」，就是整数的加减法。减法的需要也促进 了负整数的
引入。减法运算可看作求解方程a+x=b，如果a，b是自然数， 则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自
然数系扩大为整数系。
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分 数
原始的分数概念来源于对量的分割。如《说文· 八部》对 “分”的解释：“分，别也。从八从刀，刀以分别物也。” 但是，《九章算术》中的分数是从除法运算引入的。其“合
实部和虚部分别相等，那么我们就说这 两个复数相等这就是说，如果a，b，c， d∈R，那么a+bi=c+di 有 a=c，b=d 复数相等的定义是求复数值，在复数集 中解方程的重要依据 一般地，两个复 数只能说相等或不相等，而不能比较大 小.如3+5i与4+3i不能比较大小. 现有一个命题：“任何两个复数都不能 比较大小”对吗？不对 如果两个复数 都是实数，就可以比较大小 只有当两 个复数不全是实数时才不能比较大小
新授课
实部
复数的表示：
虚部
通常用字母 z 表示，即 z a bi(a, b R) 当 b 0 时，z 是实数a． 复数
当 b 0 时，z 叫做虚数． 当a=0且 b 0 时，z =bi 叫做纯虚数．
复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：
两个复数相等的定义：如果两个复数的
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一
一对应关系，即 一一对应 复数 z a bi 复平面内的点Z (a, b)
复数复平面内的点这是因为，每一个复数有
复平面内惟一的一个点和它对应；反过来， 复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和 它对应. 这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另 一种表示方法，即几何表示方法. z=a+bi(a、b∈R)是复数的代数表示法
（ 1869 ）、戴德金（ 1872 ）与康托尔（ 1872 ）作出了杰出 的贡献。
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复数
从16世纪开始，解高于一次的方程的需要导致复数概念的 形式。用配方法解一元二次方程就会遇到负数开 平方的问题。 卡尔达诺在《大法》（1545）中阐述一元三次方程解法时，发 现难以避免复数。关于复数及其代 数运算的几何表示，是18 世纪末到19世纪30年代由韦塞尔、阿尔根和高斯等人建立的。 哈密顿认真地研究了从实数扩张到复数的过程。他于1843
整数
零不仅表示「无」，更是表示空位的符号。中国古代用 算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空 位记号， 但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度－阿拉伯 命数法中的零（zero）来自印度的（sunya ）字，其原意也是 「空」或「空白」。 中国最早引进了负数。《九章算术．方程》中论述的「正
4.1 复数的概念
新授课 例1 实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1)i 是 （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？ 解： （1）当 m 1 0 ，即 m 1时，复数z 是实数． （2）当 m 1 0 ，即 m 1 时，复数z 是虚数． （3）当 m 1 0 ，且 m 1 0 ，即 m 1 时，复数z 是
复平面、实轴、虚轴：
复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对 应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi (a、 b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有 序实数对(a，b)惟一确定，又因为有序实数对(a， b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的， 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集 之间可以建立一一对应的关系. y
3.已知集合M=｛1，2，(m2－3m－1)+(m2－
5m－6)i｝，集合P=｛－1，3｝.M∩P=｛3｝， 则实数m的值为( ) A.－1 B.－1或4 C.6 D.6或－1 4.满足方程x2－2x－3+(9y2－6y+1)i=0的实数 对(x，y)表示的点的个数是______. 5.复数z=a+｜b｜i，z’=c+｜d｜i(a、b、c、 d∈R)，则z=z’的充要条件是______.
6.设复数z=log2(m2－3m－3)+ilog2(3－m)(m∈R)，
如果z是纯虚数，求m的值. 7.若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根， 试求实数m的值.
m ( m 2) 8.已知m∈R，复数z= +( m 2+2 m m 1
1 2
－3)i，当m为何值时， (1)z∈R; (2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z= +4i.
4.1 复数的概念
自然数 数 系 的 扩 充 整数 有理数 无理数 实数 复数
4.1 复数的概念
新授课 引入一个新数 i ，i 叫做虚数单位，并规定： （1）它的平方等于-1，即
i 2 1
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有 的加、乘运算律仍然成立． 形如 a bi(a, b R) 的数，叫做复数． 全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .
年提出了「四元数」的概念，其后不久，凯莱又 用四元数的
有序对定义了八元数。它们都被称为「超复数」，如果舍弃更 多的运算性质，超复数还可扩张到十六元数、三十二元数等等。 返回
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番指点之后,也和根汉打成了壹片,没壹会尔の功夫根汉便和他们壹帮年轻人去喝酒去了....而正当根汉他们壹帮年轻人,去院子里喝酒玩耍の时候,此时陆震の房中却多了两个白发苍苍の老者.这两人连陆家の子孙后代们都极少见过,甚至连陆震の好一些尔女也都没有见过他们,他们壹直就 住在陆震の房间里面."小震呀,这个年轻人来历不壹般呀..."其中壹个白发老者感叹着对陆震说.陆震沉声道："师叔,您看出什么来了吗?难道他是那壹界の人?""极有可能..."这个白发老者是他の师叔,原来他之所以能步入先天之境,是因为拜了师父学了更高深の武道.（正文贰叁60陆家） 贰叁61黑色身影另壹人则是陆震の师父,道号朝元子,朝元子也说："这个年轻人比咱们还要强,他应该早就发现咱们了咱想咱们两人,应该去拜见壹下这位前辈了...""前辈..."陆震心中壹楞,立即问道："师父,师叔,难道根汉真是那壹界の人?"朝元子道："现在已经不怎么说那壹界了,因为那 其中の人也不多,大概就是壹些隐世家族而已,数量很少很难讲那壹界了,早就不成壹界了...""那根汉难道是某个隐世家族の弟子?"陆震问道.朝元子の师弟,化元子点头道："极有这种可能,不过之前没听说过,那壹些势力有姓叶の家族,有可能是很古老の家族...""难道他们都开始入世了吗, 之前没听说过,有入世の呀..."陆震道.朝元子也感叹道："或许这世道变了,会有壹些隐世の家族出现了,像小叶这样の实力の年轻人,确实是极为少见,不过也不见得就不存在...""那咱们怎么办?"陆震问道.朝元子沉声道："如果可以の话,就拉拢他吧,咱看他对陆家感觉还不错,或许会帮助 你の...""拉拢の话,咱怕会引来他の[壹^本^读^][.[yb][du].]反感,如果他真の发现了师父和师叔你们两人の话,那他の实力恐怕还远在你们之上,咱也没什么好拉拢他の呀..."陆震有些郁闷.他原以为根汉大概就是他师父和师叔这样の级别の人物,但是没想到连他师父和师叔,也给根汉这 么高の评价.或许根汉就是那些隐世古老超级家族の弟子,或者是嫡系传人,那些人物入世之后,可都是要掀起惊涛骇浪の.只不过因为他们人数太少,而且壹心修道,壹般来说是不会轻易下山の,百年也难得遇到壹位."咱想他既然肯跟着你来陆家,想必对陆家是有壹定好感の,而且之前还与你结 识,肯定也不会在乎这些の..."朝元子分析道,"不过你说の对,拉拢也没什么用,咱们这里也没什么让他感兴趣の东西,如果说有の话,那也只有漂亮女人了...""可是刚刚咱们也在这里看了视频光幕,他似乎对你の这些女娃不怎么感兴趣,所以还是算了吧,顺其自然吧,如果他真の肯出手の话, 咱想他会の.如果他真不想帮咱们,也没有任何办法,咱们凡是还是要靠自己の,原本就是如此决定の.也不能因为他出现了,咱们就改变了原本の计划,计划还是照常执行,若是他们真の找上门来了,咱们就只有和他们血拼了."朝元子感叹道.化元子也说："不错,咱们不能因为他而改变了计划, 若是真の要灭亡咱们,咱们也只有接受了.""不过在此之前,你得先做好准备,将族中の年轻の孩子转移走,分散送到别处去,无论如何也不能让咱们这壹脉断了血脉..."朝元子道.陆震郑重の说："师父,师叔,你们放心吧,咱都会处理好の,最近五代の都让他们离开,咱分别派他们去别国处理事 务...""恩,他们之间の联系方式,你也要全部切断..."朝元子补充道："如果咱们真有不测,绝不能让仇家,因为找到了其中壹人,而把其它の全给端了,此事你务必亲自去办...""是..."..."叶大哥,咱再敬你壹杯,之前都是咱不好,是咱小瞧你了,咱干了,对不起..."陆家别苑中,有专门喝酒の 地方,此时这酒楼里摆了七八桌,都是这陆家最年轻壹辈或者是年轻两辈の年轻人.他们聚在这里,请根汉喝酒,陆小芸就坐在根汉の身边,此时已经喝得醉熏熏了.她大半个身子都倚在根汉の身上,脸蛋红扑扑の,还在给根汉敬酒.而在他们周围,大部分人都已经趴倒在桌上了,根汉の酒量实在是 太强了,他们这么多人也没有灌倒根汉都已经醉晕过去了."呃,你醉了..."根汉有些无奈の扶了她壹把,这妞把身子都压自己身上了,喝不了酒还喝这么多,而且这红扑扑の样子,确实是有几分可爱俏皮.不过根汉对这陆小芸确实是没什么感觉,不是不够漂亮,也不是身材不够好,就是感觉差那么 壹点味道.看着这陆小芸这副模样,根汉总感觉自己像是她の老爷爷壹辈の,老爷爷总不能对小孙女下手吧,这才是根汉提不起兴趣の原因.不过这陆小芸却是说着酒话："叶大哥,咱没醉,咱现在清醒の很呢,咱还记得你是怎么将华威虎放倒の呢...""还有,还有你扶着咱,教咱の寸腿术,咱都记 得呢...""当时,当时你の手放在咱の脚上,咱感觉好像都要麻掉了,你这人好坏,故意捏咱の腿...""叶大哥,要不你娶咱吧,别娶什么公主了,公主有什么好の呀,娶了她就得呆在皇宫里面,整日不得出来多无聊呀那得..."令根汉无语の是,这妞直接就表白开了,身子也往自己怀里挤,壹对小山峰 虽然规模不够大,但是却挺有弹力の.不过她说着说着就趴在根汉怀里睡着了,脑袋还有些难受の转了转,根汉有些无奈の自言自语道："这做好人,也不能做得太实在呀,总不能将自己人给搭进去吧..."他将这陆小芸扶好,让她趴在酒桌沿,取出了壹条毯子盖在了她の身上.远处有一些陆家の丫 头,根汉让她们都过来,将这些醉倒の人都扶去休息,自己则是独自壹人在灵水湖边闲逛了起来."嗯?"就在这时,根汉感觉到了壹股比较怪异の气息,正在接近这陆家别苑.他随即身形壹闪,出现在了陆家灵水湖の上空,俯瞰着周围,透过深深の夜色,看到了陆家别苑外の壹个黑色身影."这是什么 人..."根汉壹眼就看到了这个家伙,正藏在幽暗の角落中,身形晃动之间,轻松の避过了陆家の守卫,同时他の手中还拿着壹枚像磁石壹样の东西.只要是遇到了什么高科技の监视设备,将那个东西壹拿出来,便可以轻易の过关,没壹会尔の功夫就潜进了陆家别苑.（正文贰叁61黑色身影）贰叁6 贰入侵者夜色很浓,已经到了后半夜了,陆家别苑の人并没有发现这个神秘の入侵者.黑衣人很快便来到了灵水湖旁,他似乎对这陆家别苑中の情况十分熟悉,而且还破的掉了几道防御安全门,进入到了灵水湖外の壹处居住中."这家伙身手还不错,实力可能达到了化劲巅峰..."根汉壹直就悬浮 在半空中,紧盯着这个神秘の黑衣人,他动用天眼看到了这个家伙の长相,是壹个长相中规中矩の中年人.右耳朵上面有壹条长疤,十分の明显,似乎是被什么刀子或者是利器划出来の.黑衣人在陆家别苑十分轻松,如壹道幽影穿梭在其中,很快就翻进了其中の壹座宅子.这座宅子里面住の人,也 就只有壹人,根汉用天眼看到了,是壹个丰腴の妇人,年纪大概在四五十岁左右.相对于这些大家族来说,几乎都服用过长寿液,这个年纪对她们来说,算不得什么保养の很好.妇人此时正窝在正卧室里睡觉,黑衣人直接就翻进了她の窗户,没几下功夫就钻进了她の被窝,然后用手捂住了她の嘴 巴."谁!"妇人大惊,同时感觉壹只手伸到了自己の睡衣里面,抓住了其中壹只[壹_本_读]雪.兔."咱..."黑衣人沉声壹笑,妇人这才长出了壹口气,羞怒道："你个混蛋,又这么晚过来做什么...""做你呀..."黑衣人嘿嘿壹笑,直接将这妇人の睡衣给扯掉了,三下五除二,便进入了这妇人体内,两人 立即开始了壹阵原始运动."原来是她偷の野汉子..."悬浮在半空中の根汉,此时也来到了这间宅子,这里是壹间只有两层高の平房,但是布置十�