(完整版)线性代数应用实例
浅谈线性代数的一些应用实例
简形矩 阵，进而可 以判断矩 阵 Ａ的列向量组是否线性相关 ， 并 找出列 向量组的最大无 关组 。 且可用该最大线性无关组来表 而
６５ ４ 运算、 向量组 的线性 相关性、 阵方程 、 矩 特征值和特征 向量都是 本地学生回家 的比率为 ５ ． ％。 二、 向量组 的线性相关性的应用 线性代数 的基本知识 ，一般教材关于它们 的实 际应用非 常少 。 下面 分别给 出它们 的一些应用实例。这些实例非常易于被 学生
况选择最优 行动方案。如果决策 目标是利润 、 效益等最大， 则采 以不 同用途的混凝土需要不 同的原料配 比。比如一个混凝土生 用期望值最大 的行 动方案； 如果决策 目标是成本 、 损失等最 小， 产 企业 的设 备只能生产存 储三种基本类型 的混 凝土 ，即超强
通用型和 长寿型。它们的配方如下 ： 超强型 Ａ含水泥、 、 水 则采用期望值最小的行 动方案。用 ｘ表示各行动方案 的集合 ， 型 、 石、 ０ １ 、０ １ 、 ； 水 砂 石 Ｎ 表示各具体行动方案所处各种状态 的集合 ， 它们 的概率 写成 砂 、 灰分 别为 ２ 、 ０２ 、０ ０ 通用型 Ｂ含水泥、 、 、 、 ８ １、 ５５ ２ 长寿型 Ｃ含水 泥、 、 、 、 分别 水 砂 石 灰 向量 Ｐ 效益值 写成矩阵 Ａ（ 中， 向量代表不 同的随机 变量 灰 分别为 １ 、０ ２ 、 、 ； ， 其 列 ２ １ 、５ １ 、 。于是每一种基本类型混凝土就可 以用一个 在各 种 状态 的取 值） Ｎ （ ，Ｏ Ｐ （。 ）… ，ｎ Ｏ ， 为 ｌ 、０ １ 、５ ８ ： ＝ Ｎ … Ｎ ， ＝Ｐ（ ， Ｐｆ ）Ｘ＝ Ｎ。 Ｎ 生产 企业希望 ， 客户所订购 的其他混凝 。 则数学期望 Ｅｘ）（（ ） ，（ ） Ｐ 五维 的列 向量来表示 ， （ ＝ Ｅｘ。… Ｅｘｎ＝ Ａ， ＝ ， ） １假如某客户 决策就是确定 向量 Ｅ ｘ 的最大 分量或最小分量所 对应 的行 动 土都 由这三种基本类型按一定 比例混合而 成。 （） （） 要求的混凝土的五种成分为 １ ，０ ２ ， ，，试问 Ａ， Ｃ三种 ６ １ ，１ ９４ Ｂ， 方案 。 ０ｋ 三种 例某 投资者要在两种产 品间作投资选择 ： 生产领带或旅游 类型应各 占多少 比例 ？如果客户总共需要 ２ ０ｇ混凝土 ， （ ，ｍ， ｌ ｘ， ｘ ）Ａ （ … －
浅谈线性代数的一些应用实例
浅谈线性代数的一些应用实例一、关于矩阵运算的应用1．数学期望值准则。
把各种行动方案看成不同的随机变量，每个方案对应若干种状态，假设它们的概率是已知的，每个方案在各种状态下的效益看成随机变量的取值。
数学期望准则就是将每个行动方案的数学期望计算出来，视其决策目标的情况选择最优行动方案。
如果决策目标是利润、效益等最大，则采用期望值最大的行动方案；如果决策目标是成本、损失等最小，则采用期望值最小的行动方案。
用X表示各行动方案的集合，N表示各具体行动方案所处各种状态的集合，它们的概率写成向量P，效益值写成矩阵A（其中，列向量代表不同的随机变量在各种状态的取值）：N=(N1,・・・,Nn)，P=(P1(N1),・・・,Pn(Nn))，X=(X1,・・・,Xm)，A=(aij)m×n。
则数学期望E(X)=(E(X1),・・・,E(Xn))=PA，决策就是确定向量E(X)的最大分量或最小分量所对应的行动方案。
例某投资者要在两种产品间作投资选择：生产领带或旅游鞋。
生产领带需投资800万元，生产旅游鞋需投资1000万元。
两者的生产年限都是8年，估计在此期间两个方案的产品销售状况出现好、中、差的概率都是0.5、0.3、0.2。
生产领带在好、中、差的状况下的年纯利润分别为400万元、300万元、50万元；生产旅游鞋在好、中、差的状况下的年纯利润分别为500万元、400万元、120万元。
试按数学期望值准则对这两种方案进行决策。
解：P=(0.5,0.3,0.2)，A=■T，X1=产领带，X2=产旅游鞋。
令Y=8X－Y0，这里Y0=(800,1000)，则EY=8(EX)－Y0=8PA－Y0=(1600,2152)，因此应采取生产旅游鞋方案。
2．矩阵乘幂的应用。
例某高校所在地本地学生度周末有回家和在校两种选择。
统计数据显示，本周末回家的学生，下周末回家的几率为2/5，本周末在校的学生下周末在校的几率是1/5。
已知第一周末有30%本地学生回家。
行列式实际应用案例
行列式实际应用案例行列式是线性代数中的一个重要概念，它在数学中有着广泛的应用。
然而，除了在数学理论中的抽象运用外，行列式在现实生活中也有着许多实际应用案例。
在本文中，我们将介绍一些行列式在实际中的应用案例，以便更好地理解行列式的重要性和实用性。
首先，行列式在工程领域中有着重要的应用。
在工程设计中，经常需要求解多元线性方程组，而行列式可以用来判断线性方程组的解的情况。
通过计算行列式的值，可以确定方程组是否有唯一解、无解或者有无穷多解，这对于工程设计师来说是非常重要的信息。
比如，在建筑设计中，需要确定柱子和横梁的受力情况，就可以通过求解线性方程组来得到所需的信息。
其次，行列式在经济学中也有着重要的应用。
在经济学中，经常需要进行投资组合的优化，而行列式可以用来计算投资组合的收益和风险。
通过构建投资组合的收益-风险矩阵，可以得到一个n阶方阵，其行列式的值可以用来评估投资组合的风险和收益的关系，从而帮助投资者做出更加明智的投资决策。
此外，行列式在计算机图形学中也有着重要的应用。
在计算机图形学中，经常需要进行三维空间的变换和投影，而行列式可以用来表示和计算这些变换的矩阵。
通过计算变换矩阵的行列式，可以判断变换是否可逆，从而确定变换的性质和效果。
这对于计算机图形学的研究和应用具有重要的意义。
最后，行列式在生物学和化学中也有着一些应用。
在生物学和化学中，经常需要进行分子结构的分析和计算，而行列式可以用来表示和计算分子的结构和性质。
通过计算分子的行列式，可以得到分子的能量、稳定性和反应性等重要信息，这对于生物学和化学的研究具有重要的意义。
综上所述，行列式在实际生活中有着许多重要的应用案例，涉及到工程、经济、计算机图形学、生物学和化学等多个领域。
通过对这些应用案例的了解和掌握，我们可以更好地理解行列式的重要性和实用性，从而更好地应用行列式解决实际问题。
希望本文能够帮助读者更好地理解行列式的实际应用，以及行列式在不同领域中的重要作用。
(完整版)大学数学工程数学线性代数教材
第一章n阶行列式在初等数学中讨论过二阶、三阶行列式，并且利用它们来解二元、三元线性方程组. 为了研究n元线性方程组，需要把行列式推广到n 阶，即讨论n阶行列式的问题. 为此，下面先介绍全排列等知识，然后引出n阶行列式的概念.§1 全排列及其逆序数先看一个例子.引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解这个问题相当于说，把三个数字分别放在百位、十位与个位上，有几种不同的放法？显然，百位上可以从1、2、3三个数字中任选一个，所以有3种放法；十位上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有两种放法；个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有1种放法. 因此，共有⨯⨯种放法.3=162这六个不同的三位数是：123，132，213，231，312，321.在数学中，把考察的对象，如上例中的数字1、2、3叫做元素. 上述问题就是：把3个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？对于n个不同的元素，也可以提出类似的问题：把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列，简称排列.n个不同元素的所有排列的种数，通常用P n表示. 有引例的结果可知P3 = 3 . 2 . 1 = 6 .12为了得出计算P n 的公式，可以仿照引例进行讨论：从n 个元素中任取一个放在第一个位置上，有n 种取法；又从剩下的n －1个元素中任取一个放在第二个位置上，有n －1种取法；这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第n 个位置上，只有1种取法. 于是P n =n .（n －1）. … . 3 . 2 . 1 = n ! .对于n 个不同的元素，我们规定各元素之间有一个标准次序（例如n 个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列.下面我们来讨论计算排列的逆序数的方法.不失一般性，不妨设n 个元素为1至n 这n 个自然数，并规定由小到大为标准次序. 设n p p p 21为这n 个自然数的一个排列，考虑元素 ),,2,1(n i p i =，如果比i p 大的且排在i p 前面的元素有i t 个，就说i p 这个元素的逆序数是i t . 全体元素的逆序数之总和∑==+++=ni i n t t t t t 121 ，即是这个排列的逆序数.例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中，33排在首位逆序数为0；2的前面比2大的数只有一个“3”，故逆序数为1； 5是最大数，逆序数为0；1的前面比1大的数有三个“3、2、5”，故逆序数为3； 4的前面比4大的数只有一个“5”，故逆序数为1； 于是排列的逆序数为513010=++++=t .§2 n 阶行列式的定义为了给出n 阶行列式的定义，我们先研究三阶行列式的结构. 三阶行列式定义为：)1(.312213332112322311322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=容易看出：①（1）式右边的每一项都恰是三个元素的乘积，这三个元素位于不同的行、不同的列. 因此，（1）式右端的任意项除正负号外可以写成321321p p p a a a . 这里第一下标（称行标）排成标准排列123，而第二个下标（称列标）排成321p p p ，它是1、2、3三个数的某个排列. 这样的排列共有6种，对应（1）式右端共含6项。
线性代数的应用
线性代数的应用陈宇摘要：线性代数有什么用？ 1、如果你想继续深造，考研，必须学好线代。
2、如果你想提高自己的科研能力，不被现代科技发展潮流所抛弃，也必须学好。
3、想搞电子工程，好，电路分析、线性信号系统分析、数字滤波器分析设计等需要线代，因为线代就是研究线性网络的主要工具。
4、想搞经济研究。
好，知道列昂惕夫（Wassily Leontief）吗？哈佛大学教授，他打开了研究经济数学模型的新时代的大门。
是用线性方程组来描述的，被称为列昂惕夫“投入-产出”模型。
并因此获得了1973年的诺贝尔经济学奖。
作为一个大商场的老板，线性规划可以帮助你合理的安排各种商品的进货，以达到最大利润。
5、对于其他工程领域，没有用不上线代的地方。
如搞建筑工程，那么奥运场馆鸟巢的受力分析需要线代的工具；石油勘探，勘探设备获得的大量数据所满足的几千个方程组需要你的线代知识来解决；飞行器设计，就要研究飞机表面的气流的过程包含反复求解大型的线性方程组，在这个求解的过程中，有两个矩阵运算的技巧：对稀疏矩阵进行分块处理和进行LU分解；6商业领域，作餐饮业，对于构造一份有营养的减肥食谱也需要解线性方程组；大名鼎鼎的最小二乘算法广泛应用在各个工程领域里被用来把实验中得到的大量测量数据来拟合到一个理想的直线或曲线上，最小二乘拟合算法实质就是超定线性方程组的求解；二次型常常出现在线性代数在工程（标准设计及优化）和信号处理（输出的噪声功率）的应用中，他们也常常出现在物理学（例如势能和动能）、微分几何（例如曲面的法曲率）、经济学（例如效用函数）和统计学（例如置信椭圆体）中，某些这类应用实例的数学背景很容易转化为对对称矩阵的研究。
关键词：线性代数应用经济研究工程领域商业领域线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。
向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。
线性代数-行列式(完整版)
01
对于二元一次方程组，可以直接应用克拉默法则求解
未知数。
02
对于三元一次方程组，需要先判断系数矩阵的行列式
是否为零，若不为零，则可以使用克拉默法则求解。
03
对于更高元次的线性方程组，克拉默法则同样适用，
但计算量会随着元次的增加而急剧增大。
矩阵可逆性判别方法
01
一个方阵可逆的充分必要条件是其行列式不等于零。
行列式基本性质
行列式中如果有两行（或两列）元素成比例，则此行列式等于零。
若行列式的某一行（或某一列）的元素都是两数之和，例如第i行的元素都是两数之 和：$a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}$，则此行列式等于两个行列式之和，这两个行列式的第i行 分别为$b_{ij}$和$c_{ij}$，其余各行与原行列式的相应的行相同。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|或det(A)， 是一个数值。
行列式的值可以通过对矩阵元素进行特定的运算 得到，该运算满足一定的性质。
行列式基本性质
行列式与它的转置行列式相等。
交换行列式的两行（或两列），行列式变号。 行列式的某一行（或某一列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘 此行列式。
克拉默法则介绍
克拉默法则（Cramer's Rule）是线性 代数中一个关于求解线性方程组的定理。
该法则适用于具有相同数量方程的方程组， 且系数矩阵的行列式不为零的情况。
克拉默法则通过计算系数矩阵的行 列式以及将系数矩阵的某一列替换 为常数项列后得到的新矩阵的行列 式，来求解方程组的解。
克拉默法则在方程组求解中应用
应用领域
范德蒙德行列式在多项式插值、数值分析等领域有广 泛应用。
范德蒙德行列式在多项式拟合中应用
线性代数在实际生活中应用实例
0
（１） 某医院要购买这七种特效药，但药厂的第 ３ 号药和第 ６ 号 药已经卖完，请问能否用其它特效药配制出这两种脱销的药品？ （２） 现在医院想用这 ７ 种草药配制三种新的特效药，表 ２ 给出 了三种新的特效药的成份，请问能否配制？如何配制？
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ Ｇ Ｈ Ｉ １ 号新药 ４０ ６２ １４ ４４ ５３ ５０ ７１ ４１ １４ ２ 号新药 １６２ １４１ ２７ １０２ ６０ １５５ １１８ ６８ ５２ ３ 号新药 ８８ ６７ ８ ５１ ７ ８０ ３８ ２１ ３０
xc1 0.94 0.02 0.3 0.2960 x1 = Ax0 = x = ⋅ = 0.7040 s1 0.06 0.98 0.7
从初始到 ｋ 年，此关系保持不变，因此上述算式可扩展为 x= Axk −= A2 xk −= = Ak x0 ． 2 k 1 经 Ｍａｂｌａｂ 计算可得：
解：（１）把每一种特效药看成一个九维列向量，分析 ７ 个列 向量构成向量组的线性相关性。 若向量组线性无关，则无法配制脱销的特效药； 若向量组线性相关，并且能找到不含 ｕ３，ｕ６ 的一个最大线性无 关组，则可以配制 ３ 号和 ６ 号药品。 经计算该向量组线性相关，一个最大无关组为 ｕ１，ｕ２，ｕ４，ｕ５，ｕ７ 且 ｕ３＝ｕ１＋２ｕ２，ｕ６＝３ｕ２＋ｕ４＋ｕ５． 所以可以配置处这两种脱销的药品。
解 将 Ｍ 和 Ｐ 相乘，得到的矩阵设为 Ｑ，Ｑ 的第一行第一列元 素为 Ｑ（１，１）＝０．１０×４０００＋０．３０×２０００＋０．１５×５８００＝１８７０ 其中 Q =
1870 3450 1670
2220 4020 1940 2070 3810 1830 1960
1740
(完整版)线性代数重要知识点及典型例题答案
线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式TD D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。
化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵n （零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注：把分出来的小块矩阵看成是元素N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆倍乘阵 倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩 若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
线性的代数应用实例
线性的代数应用实例
线性代数是一门学习现代数学和应用程序的基本工具，它涉及向量、空间、矩阵、行列式和方程组等概念。
1. 数学建模：数学建模是用数学理论来模拟和分析实际问题的过程，线性代数可以用来处理大量的约束条件和优化目标，帮助我们解决真实世界中的问题。
例如，在经济管理中，可以使用线性代数的方法来优化资源配置。
2. 天文学：天文学是一门研究宇宙空间物理现象的学科，线性代数能够帮助人们理解宇宙结构的形成、恒星运行的轨道以及行星等体之间的相互作用等物理现象。
3. 机器学习：机器学习是一门研究如何让计算机自动“学习”并从大量数据中自动提取知识的领域。
线性代数是机器学习中不可或缺的一部分，常用于逻辑回归、神经网络等技术的实现。
线性方程组应用实例
1.1 交通流量
图 4-1 是某城市的公路交通网络图，交叉路口由两条单向车道组成．图中给出了交通高 峰时段每小时进入和离开路口的车辆数，试计算两个交叉路口间车辆的数量．
1.1 交通流量
解：在每一路口，进入车辆与离开车辆肯定相等，所以得到非齐次线性方程组：
x1 450 x2 610 ， x1 x2
0 0
1 0
0 1
1 1
170
210
1 0 0 1 330 0 0 0 0 0
得同解方程组
x1 x2
x4 x4
330 170
， ，
x3 x4 210 ．
若知道某一路口的车辆数量，则其他路口的车辆数量即可求得．
1.2 化学方程式
在光合作用下，植物利用太阳提供的辐射能，将二氧化碳和水转化为葡萄糖和氧气，该 化学反应的方程式为
160 ，
x2 x3
520 390
x3 x4
480 600
， ，即
x2 x3 40 ， x3 x4 210 ，
x4 640 x1 310 ， x1
x4 330 ，
则有
1 1 0 0 160 1 0 0 1 330
A
0 0
1 1 0 0 1 1
40 210
0， 0，
2x2
12x4 ， 2x2
12x4 0 ，
得到 x1 x2 x3 6x4 ．若令 x4 1 ，则 x1 x2 x3 6 ，化学方程式的形式为 6CO2 6H2O 6O2 C6H12O6 ．
注：在实际问题中，要考虑各变量的实际意义．例如，化学方程式中的各变量应为非负
整数．
线性代数
x1CO2 x2H2O x3O2 x4C6H12O6 ． 为了平衡该方程式，需适当选择 x1 ，x2 ，x3 ，x4 ，使得方程式两边的碳、氢、氧原子数量 分别相等．
线性代数在实际生活中应用实例
而我国高职教育在教学方式上很多需要重点应用模拟实验的学科在硬件设备和课程安排上都起不到很好的效果甚至我国的高职教育越来越倾向于普通高等教育高职院校都在申请成为普通本科学校在学术研究上面下的功夫太大造成了高职院校重理论而轻实践的错误倾向高职学生尤其是像室内设计这样专业的学生并不适合
ＮＥＷ ＳＩＬＫ ＲＯＡＤ ＨＯＲＩＺＯＮ
0.10
4000 5800
1 若令 bij = 0 ，其中
0.10
0.30 0.40 0.20
4500 2800 6200
0.15 0.25 , 0.15
4500 2400 6000 4000 2200 6000
ｂｉｊ＝１ 表示 ｉ 城市到 ｊ 城市有航线；ｂｉｊ＝０ 表示
１ 交通问题 四个城市的单向航线图如下
① ②
③
④
（２）三种新药用 ｖ１，ｖ２，ｖ３ 表示，问题化为 ｖ１，ｖ２，ｖ３ 能否由 ｕ１—ｕ７ 线性表示，若能表示，则可配制；否则，不能配制。 经计算可得：ｖ１＝ｕ１＋３ｕ２＋２ｕ４，ｖ２＝３ｕ１＋４ｕ２＋２ｕ４＋ｕ７，ｖ３ 则不能被 线性表示，所以无法配药。 ３ 产品成本的计算 某厂生产三种成品， 每件产品的成本及每季度生产件数已知。 试提供该厂每季度在每种产品上的成本表。 成本矩阵为 Ｍ， M = 0.30
线性代数应用实例
线性代数应用实例求插值多项式右表给出函数f(t)上4个点的值，试求三次插值多项式p(t) a 0 a-|t a 2t 2 a 3t 3 ,并求f (1.5)的近似值。
角军：令三次多项式函数 p(t) a 0 a 1t a 2t 2表中已知的4点，可以得到四元线性方程组：a 。
3 a o a 1 a 2 a 3 0 a o2a 1 4a 2 8a 3 1 a o3a 19a 227a 36对于四元方程组，笔算就很费事了。
应该用计算机求解了，键入:2 32,a 3 1，三次多项函数为 p(t) 3 2t2t t ,故f(1.5)近似等于 p(1.5) 3 2(1.5) 2(1.5)2 (1.5)31.125。
在一般情况下，当给出函数f(t)在n+1个点t i (i 1,2,卅，n 1)上的值f(tj 时，就可以用n 次多项式p(t) a 。
a 1t a ?t 2卅 a n t n对f (t)进行插值。
在数字信号处理中的应用——数字滤波器系统函数数字滤波器的网络结构图实际上也是一种信号流图。
它的特点在于所有的相加节点都 限定为双输入相加器；另外，数字滤波器器件有一个迟延一个节拍的运算，它也是一个线 性算子，它的标注符号为z 1o 根据这样的结 构图，也可以用类似于例 7.4的方法，求它的输入输出之间的传递函数，在数字信号处 理中称为系统函数。
图1表示了某个数字滤波器的结构图， 现在要求出它的系统函数，即输出 y 与输入 u 之比。
先在它的三个中间节点上标注信号 的名称x1,x2,x3，以便对每个节点列写方程。
t i0 1 2 3 f(t i )3-16得到x = 1 0 0 0 30 10 -20 0 1 0 -20 0 0 1 1 um ---2X 1y-i ---- 11 -- 1—z 1■ V1/4J 1 1/4■* x 2二―]X3z 1,.3/8图1某数字滤波器结构图>>A=[1,0,0,0;1,1,1,1;1,2,4,8;1,3,9,27], b=[3;0;-1;6], s=rref([A,b]) 得到 a 0 3,a 12, a 2描述n 阶线性时不变(LTI )连续系统的微分方程为d n yd n 1ydy」d mu」du 」an ，an 1 y b1 mbmbm 1u，a1 n a 2dt dtdt dt dty 及其各阶导数的初始值为 y (0)，y ⑴(0)，…，y (n -1)(0)，求系统的零输入响应。
线性代数ppt课件
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线性代数的特点
线性代数具有抽象性、实用性、广泛性等 特点，是数学中重要的分支之一。
线性代数的历史背景
线性代数的起源
线性代数起源于17世纪，主要目的 是为了解决线性方程组的问题。
线性代数的发展
随着数学的发展，线性代数逐渐成为 一门独立的数学分支，并在20世纪得 到了广泛的应用和发展。
线性代数的应用领域
转置矩阵
一个矩阵A的转置矩阵是满足$A^T_{ij}=A_{ ji}$的矩阵
行列式与高斯消元
03
法
行列式的定义及性质
总结词
行列式是线性代数中重要的工具之一，它具有特殊的性质和计算规则。
详细描述
行列式是由一组方阵中的元素按照一定规则组成的，它是一个方阵是否可逆的判断标准，同时也有一 些重要的性质和计算规则，如交换两行或两列、对角线上的元素相乘等。了解行列式的定义和性质是 学习线性代数的基础。
矩阵的运算规则
加法
两个相同大小的矩阵，对应位置的元素相加
数乘
用一个数乘以矩阵的每一个元素
减法
两个相同大小的矩阵，对应位置的元素相减
乘法
要求两个矩阵满足乘法运算的规则，即第一 个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数
矩阵的逆与转置
逆矩阵
一个矩阵A的逆矩阵是满足$AA^{-1}=I$的矩阵，其中$I$是单位矩阵
高斯消元法的原理
总结词
高斯消元法是一种解线性方程组的直接方法 ，其原理是将方程组转化为阶梯形矩阵。
详细描述
高斯消元法的基本思想是通过一系列的行变 换将线性方程组转化为阶梯形矩阵，这样就 可以直接求解方程组。高斯消元法包括三种 基本的行变换：将两行互换、将一行乘以非 零常数、将一行加上另一行的若干倍。通过 这些行变换，我们可以将矩阵转化为阶梯形 矩阵，从而求解方程组。
浅谈线性代数在实际生活中的应用
浅谈线性代数在实际生活中的应用一、本文概述线性代数，作为数学的一个重要分支，其在理论研究和实际应用中都扮演着至关重要的角色。
本文将深入探讨线性代数在实际生活中的应用，旨在揭示其广泛的影响力和实用性。
我们将从线性代数的基本概念出发，逐步展开其在不同领域中的应用，包括计算机科学、物理学、经济学、工程学等。
通过具体案例和实例分析，我们将展示线性代数如何被用来解决现实问题，以及它在实际操作中的优势和效果。
本文旨在为读者提供一个全面了解线性代数应用的窗口，同时也希望激发读者对线性代数及其在实际生活中应用的兴趣和热情。
二、线性代数基础知识回顾线性代数作为数学的一个重要分支，它研究的对象是线性方程组、向量空间、线性变换和矩阵等。
在日常生活和实际应用中，线性代数的基础知识为我们提供了强大的工具和方法。
向量：向量是线性代数中的基本概念，可以看作是有方向和大小的量。
在实际生活中，我们可以将许多事物抽象为向量，如速度、力、位移等。
向量不仅可以表示单个量，还可以表示多个量之间的关系，如力的合成与分解等。
矩阵：矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，是线性代数中另一个核心概念。
矩阵可以用来表示线性方程组，实现向量的线性变换，以及进行数据的组织和处理。
在实际应用中，矩阵被广泛应用于图像处理、数据分析和机器学习等领域。
线性方程组：线性方程组是由线性方程组成的方程组。
通过矩阵的方法，我们可以方便地求解线性方程组，找出满足所有方程的未知数的值。
这在解决实际问题中非常有用，如资源分配、经济预测等。
线性变换：线性变换是保持向量空间结构不变的变换，它可以通过矩阵来实现。
在实际生活中，许多现象都可以通过线性变换来描述，如弹性力学中的应力应变关系、电路分析中的电压电流关系等。
回顾这些基础知识，我们可以看到线性代数在实际生活中的应用非常广泛。
通过掌握和运用这些基础知识，我们可以更好地理解和解决实际问题。
三、线性代数在实际生活中的应用案例线性代数作为一种基础数学工具，在实际生活中的应用广泛而深入。
线性代数课件(完整版)同济大学
二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
求解公式为
x1
x2
b1a22 a11a22 a11b2 a11a22
a12b2 a12a21 b1a21 a12a21
请观察，此公式有何特点？ ➢分母相同，由方程组的四个系数确定. ➢分子、分母都是四个数分成两对相乘再
a31 a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
规律：
1. 三阶行列式共有6项，即3!项．
2. 每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
3. 每一项可以写成 a1p1a2 p（2 a3正p3负号除外），其中
是1、2、3的某个排列.
p1 p2 p3
4. 当 p1 p2是p3偶排列时，对应的项取正号； 当 p1 p是2 p奇3 排列时，对应的项取负号.
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
例2 计算行列式
1 2 -4 D -2 2 1
-3 4 -2
解 按对角线法则，有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4 11 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
p1 p2 p3
其中 表示对1、2、3的所有排列求和. p1 p2 p3
二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形.
二、n 阶行列式的定义
a11 a12 L a1n
D a21 a22 L MM
a2n
M (1) a a L a p1 p2L pn
t ( p1 p2L pn )
线性代数及其应用PPT课件
金融数据的线性模型分析
线性回归模型
利用线性代数中的矩阵运算和线性方 程组求解方法，对金融数据进行回归 分析，预测未来趋势。
主成分分析
通过线性代数中的特征值和特征向量 计算，将金融数据降维，提取主要影 响因素，便于分析和决策。
图像处理中的矩阵运算
图像变换
利用矩阵运算对图像进行缩放、旋转 、平移等几何变换，实现图像的精确 控制。
征值和Байду номын сангаас征向量。
特征值计算 的算法
特征值计算是矩阵分析中的重要内容，可以用于解决 许多实际问题，如振动分析、控制论、经济学等。
数据降维与可视化
数据降维的必要性
数据降维的方法
可视化的意义
可视化的工具和技术
在处理高维数据时，数据的维 度可能非常高，导致数据难以 分析和处理。数据降维可以将 高维数据降为低维数据，便于 分析和可视化。
矩阵分解与特征值计算
矩阵分解是将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易 于处理的矩阵，以便进行计算和分析。
输入 矩阵标分题解的
方法
常见的矩阵分解方法包括LU分解、QR分解、SVD分 解等。这些方法可以将一个矩阵分解为一个下三角矩 阵、一个上三角矩阵和一个正交矩阵等。
矩阵分解的 定义
特征值计算 的应用
特征值计算的常用算法有QR算法、Jacobi方法、 Power方法等。这些算法可以用于计算给定矩阵的特
数值计算稳定性
数值计算稳定性
在进行数值计算时，由于计算机的舍入误差，可能会导致 计算结果的误差。线性代数中的一些算法和技巧可以帮助 提高数值计算的稳定性，减少误差。
数值稳定性的评估
评估数值稳定性的方法包括观察计算结果的收敛性和稳定 性，以及比较不同算法的误差和稳定性。
线性代数应用举例
线性代数应用举例作者：白梅花来源：《科技资讯》 2012年第35期白梅花(内蒙古科技大学数理与生物工程学院内蒙古包头 014010)摘要:通过举例给出了线性代数在实际中的应用,从而使学生易于理解和掌握线性代数概念及理论。
关键词:线性代数应用中图分类号:O151 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2012)12(b)-0167-01线性代数课程的教学中最大的困惑在于,学生通常对所学的内容感到枯燥乏味,以至于很多学生错误地认为所学东西没有多大用处。
因此,在线性代数实际教学过程中添加其应用例子,有效地引导学生理解线性代数的基本概念及理论是线性代数教学的重点和难点问题。
下面举三个应用实例,这些例子可以引导学生理解线性代数的基本概念的本质及意义。
1 应用问题举例1.1 矩阵乘法应用举例某两种合金均含有某三种金属,其成分如表1所示。
现有甲种合金30 t,乙种合金20 t,求三种金属的数量。
解:两种合金的成分构成矩阵记为:由英文字母与整数之间的对应关系即得密信内容为“I LOVE YOU”。
1.3 方程组应用举例某农场饲养的一种动物可能的最长寿命为6岁,将其分成3个年龄段组:第1组0～2岁,第2组3～4,第3组5～6,动物从第2年龄组开始繁殖后代,经长期统计,第2年龄组的动物在其年龄段内平均繁殖5个后代,第3年龄组的动物在其年龄段内平均繁殖3个后代,第1年龄组和第2年龄组能顺利进入下个年龄组的存活率分别是2/3和1/3,现农场有3个年龄段的动物各90只,问饲养6年之后,农场3个年龄段的动物各有多少只？故饲养6年之后,农场第1,2,3年龄段的动物各有2460只,260只和160只。
2 结语本文列举了三个实例,而这三个实例用线性代数基本知识很容易就能解决。
在线性代数的教学过程中经常举些应用例子的好处是,能引起学生对线性代数的学习兴趣,能使学生易于理解和掌握其基本概念及理论,达到较好地教学效果。
参考文献[1] 同济大学数学系.工程数学.线性代数[M].5版.北京:高等教育出版社,2007.[2] 何良材,李新.线性代数[M].重庆:重庆大学出版社,2007.[3] 陈怀琛,高淑萍.工程线性代数(MATLAB版)[M].北京:电子工业出版社,2007.。
等和线例题
等和线例题（实用版）目录1.线性代数简介2.线性方程组的解法3.特征值与特征向量4.矩阵的行列式5.应用实例正文线性代数是数学中的一个分支，主要研究线性方程组、向量、矩阵和线性变换等概念。
在工程、物理和经济学等领域都有广泛的应用。
今天我们将讨论线性代数的一些基本概念和解题方法。
首先，让我们来看一下线性方程组。
线性方程组是指由一组线性方程所组成的方程组，例如：{ax + by = c, dx + ey = f}。
解线性方程组有多种方法，如高斯消元法、矩阵求逆等。
在实际应用中，我们通常使用高斯消元法，因为它比较简单且易于实现。
接下来，我们要讨论的是特征值与特征向量。
对于给定的矩阵 A，如果存在非零向量 x 和标量λ，使得 Ax = λx，那么λ就称为矩阵 A 的特征值，x 称为对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量在矩阵对角化和线性变换中具有重要作用。
然后，我们来看一下矩阵的行列式。
矩阵的行列式是指一个方阵所围成的有向图形的面积，它具有一些重要的性质，如行列式的值等于其转置矩阵的行列式的值，行列式的值等于其反对称矩阵的行列式的相反数等。
行列式在计算矩阵的逆矩阵和判断矩阵的秩等方面有着重要作用。
最后，我们来看一个应用实例。
假设有一个线性方程组：{2x + 3y =7, 5x - 4y = 11}，我们可以使用高斯消元法求解该方程组。
首先，将方程组写成增广矩阵的形式，然后进行初等行变换，使得矩阵的主对角线上的元素为 1，最后求解得到 x 和 y 的值。
总之，线性代数是数学中一个重要的分支，它在各个领域都有着广泛的应用。
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线性代数应用实例 ● 求插值多项式右表给出函数()f t 上4个点的值，试求三次插值多项式230123()p t a a t a t a t =+++，并求(1.5)f 的近似值。
解：令三次多项式函数230123()p t a a t a t a t =+++过表中已知的4点，可以得到四元线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=+++=+++=627931842033210321032100a a a a a a a a a a a a a 对于四元方程组，笔算就很费事了。
应该用计算机求解了，键入： >>A=[1,0,0,0;1,1,1,1;1,2,4,8;1,3,9,27], b=[3;0;-1;6], s=rref([A,b]) 得到x = 1 0 0 0 3 0 1 0 0 -2 0 0 1 0 -2 0 0 0 1 1得到01233,2,2,1a a a a ==-=-=，三次多项函数为23()322p t t t t =--+，故(1.5)f 近似等于23(1.5)32(1.5)2(1.5)(1.5) 1.125p =--+=-。
在一般情况下，当给出函数()f t 在n+1个点(1,2,,1)i t i n =+上的值()i f t 时，就可以用n 次多项式2012()n n p t a a t a t a t =++++对()f t 进行插值。
● 在数字信号处理中的应用----- 数字滤波器系统函数数字滤波器的网络结构图实际上也是一种信号流图。
它的特点在于所有的相加节点都限定为双输入相加器；另外，数字滤波器器件有一个迟延一个节拍的运算，它也是一个线性算子，它的标注符号为z -1。
根据这样的结构图，也可以用类似于例7.4的方法，求它的输入输出之间的传递函数，在数字信号处理中称为系统函数。
图1表示了某个数字滤波器的结构图，现在要求出它的系统函数，即输出y 与输入u 之比。
先在它的三个中间节点上标注信号的名称x1,x2,x3，以便对每个节点列写方程。
由于迟延算子z -1不是数，要用符号代替，所以取q = z -1，按照图示情况，可以写出：1223312311844x qx ux q x u x x =+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭=写成矩阵形式为11223300231100844010q x x x q x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-+⇒ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦x u x =Qx -Pu经过移项后，系统函数W 可以写成：W =x/u =inv(I -Q)*P 现在可以列写计算系统函数的MATLAB 程序ea705，syms q% 规定符号变量Q(1,2)=q; Q(2,3)=3/8*q -1/4; Q(3,1)=1; % 给非零元素赋值 Q(3,3)=0; % 给右下角元素Q （3,3）赋值后，矩阵中未赋值元素都自动置零 P=[2;1/4;0]% 给P 赋值W=inv(eye(3)-Q)*P% 用信号流图求传递函数的公式程序运行的结果为W = [-16/(-8+3*q^2-2*q)-2*q/(-8+3*q^2-2*q) ][ -2*(3*q -2)/(-8+3*q^2-2*q)-2/(-8+3*q^2-2*q)] [-16/(-8+3*q^2-2*q)-2*q/(-8+3*q^2-2*q)]我们关心的是以y =x3作为输出的系统函数，故再键入 pretty(W(3)) 整理后得到 1222116288(3)832 1.54 1.54y q q z W u q q q q z z -----++====-+--++-++用线性代数方法的好处是适用于任何复杂系统，并能用计算机解决问题。
信号与系统课程中的应用-----线性时不变系统的零输入响应描述n 阶线性时不变（LTI ）连续系统的微分方程为,d d d d d d d d d d 111121u b t u b tu b y a t y a t y a t y a m m m m n n n n n ++-+++=++++ n ≥m已知y 及其各阶导数的初始值为y (0)，y (1)(0)，…，y (n -1)(0)，求系统的零输入响应。
解：当LTI 系统的输入为零时，其零输入响应为微分方程的齐次解（即令微分方程等号右端为0），其形式为（设特征根均为单根）t p n t p t p n C C C t y e e e )(2121+++=其中p 1，p 2，…，p n 是特征方程a 1λn +a 2λn -1+…+ a n λ+ a n +1 =0的根，它们可用roots(a)语句求得。
各系数C 1，…，C n 由y 及其各阶导数的初始值来确定。
对此有C 1+ C 2+…+C n = y 0 y 0 = y (0)p 1C 1+ p 2C 2+…+ p n C n =D y 0 (D y 0表示y 的导数的初始值y (1)(0)) …………………………………011212111D y C p C p C p n n n n n n ----=+++写成矩阵形式为 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----0100211121121D D 111y y y C C C p p p p p p n n n n n n n 即 V ·C = Y 0 ， 其解为 C =V \ Y 0式中 112000[,,,];[,D ,,D ]n n C C C y y y -==T T 0C Y⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=---1121121111n n n n n p p p p p pV V 为范德蒙矩阵，在MATLAB 的特殊矩阵库中有vander 函数可直接生成。
MATLAB 程序ea703.ma=input('输入分母系数向量a=[a1，a2，...]= '); n=length(a)-1;Y0=input('输入初始条件向量 Y0=[y0，Dy0，D2y0，...]= '); p=roots(a);V=rot90(vander(p));c= V\Y0'; dt=input('dt='); tf=input('tf= ') t=0:dt:tf; y=zeros(1，length(t)); for k=1:n y= y+c(k)*exp(p(k)*t);end plot(t ，y)，grid⏹ 程序运行结果用这个通用程序来解一个三阶系统，运行此程序并输入a=[3，5，7，1]; dt=0.2; tf=8;而Y0取[1，0，0];[0，1，0];[0，0，1]三种情况，用hold on 语句使三次运行生成的图形画在一幅图上，得到图2。
● 减肥配方的实现设三种食物每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量如下表，表中还给出了80年代美国流行的剑桥大学医学院的简捷营养处方。
现在的问题是：如果用这三种食物作为每天的主要食物，那么它们的用量应各取多少？才能全面准确地实现这个营养要求。
营养 每100g 食物所含营养(g)减肥所要求的每日营养量脱脂牛奶 大豆面粉乳清 蛋白质 36 51 13 33 碳水化合物 52 34 74 45 脂肪71.13设脱脂牛奶的用量为x 1个单位（100g ），大豆面粉的用量为x 2个单位（100g ），乳清的用量为x 3个单位（100g ），表中的三个营养成分列向量为：图2 三阶系统的零输入响应12136511352,34,74,07 1.1a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦则它们的组合所具有的营养为11223312336511352347407 1.1x a x a x a x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦使这个合成的营养与剑桥配方的要求相等，就可以得到以下的矩阵方程：123365113335234744507 1.13x x Ax b x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⇒=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦用MATLAB 解这个问题非常方便，列出程序ag763如下：A=[36,51,13;52,34,74;0,7,1.1] b=[33;45;3] x=A\b程序执行的结果为：0.2772 0.3919 0.2332x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦即脱脂牛奶的用量为27.7g ，大豆面粉的用量为39.2g ，乳清的用量为23.3g ，就能保证所需的综合营养量。
人口迁徙模型设在一个大城市中的总人口是固定的。
人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。
每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区。
假如开始时有30%的居民住在市区，70%的居民住在郊区，问十年后市区和郊区的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？这个问题可以用矩阵乘法来描述。
把人口变量用市区和郊区两个分量表示，即,ck k sk x x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中x c 为市区人口所占比例，x s 为郊区人口所占比例，k 表示年份的次序。
在k=0的初始状态：0000.30.7c s x x x ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
一年以后，市区人口为x c1= (1-0.02) x c0+0.06x s0，郊区人口x s1= 0.02x c0 + (1-0.06)x s0，用矩阵乘法来描述，可写成：11010.940.020.3 0.29600.060.980.7 0.7040c s x x Ax x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦此关系可以从初始时间到k 年,扩展为2120k k k k x Ax A x A x --====,用下列MATLAB 程序进行计算：A=[0.94,0.02;0.06,0.98] x0=[0.3;0.7] x1=A*x0, x10=A^10*x0 x30=A^30*x0 x50=A^50*x0程序运行的结果为：1103050 0.2960 0.2717 0.2541 0.2508,,,, 0.7040 0.7283 0.7459 0.7492x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦无限增加时间k ，市区和郊区人口之比将趋向一组常数 0.25/0.75。
为了弄清为什么这个过程趋向于一个稳态值，我们改变一下坐标系统。
在这个坐标系统中可以更清楚地看到乘以矩阵A 的效果。
选u 1为稳态向量[0.25,0.75]T 的任意一个倍数，令u 1=[1,3]T 和u 2=[-1,1]T 。