惠州市2020届高三第一次调研考试

惠州市2020届高三第一次调研考试惠州市2020届高三第一次调研考试理科数学参考答案及评分细则一、选择题：1．【解析】由M 中不等式得()20x x -<，解得02x <<，即()02M =，，{}1M N ∴=，故选B ．2．【解析】由()()()2i 3i 35i x y +-=++，得()()632i 35i x x y ++-=++， ∴63325x x y +=-=+⎧⎨⎩，解得34x y =-=⎧⎨⎩，∴i 34i 5x y +=-+=．故选A ．3．【解析】由频率分布直方图可得，320名学生中每周的自习时间不足225．小时的人数是()3200020072572⨯+⨯=．．．人．故选B ． 4．【解析】除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，故选A.5．【解析】因为点E 是CD 的中点，所以12EC AB =，点F 是BC 的中点，所以1122CF CB AD ==-， 所以1122EF EC CF AB AD =+=-，故选C ． 6．【解析】由题意得1q ≠±．由639S S =得()()631111911a q a q qq--=⨯--，∴319q +=，∴2q =．又()515112316212a S a -===-，∴12a =．故选B ．7.【解析】因为抛物线的焦点为(1,0),所以22212c b a c a b=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得221545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，双曲线方程为225514y x -=.故选C. 8．【解析】函数sin y x =的图象向左平移2π个单位后，得到函数()sin()cos 2f x x x π=+=的图象，()cos f x x =为偶函数，排除A ；()cos f x x =的周期为2π，排除B ；因为()cos=022f ππ=，所以()f x 的图象不关于直线2x π=对称，排除C. 故选D ．9．【解析】对于A ，若存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a ，使得a ∥α，a ∥β，所以选项A 的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B ，C 的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于D ，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D 的内容是α∥β的一个充分条件。

故选D 。

10．【解析】由题意得点F 的坐标为1(0,)8，设点M 的坐标()00,x y ，点N 的坐标(),0a ，所以向量：001(,)8FM x y =-，()00,MN a x y =--， 由向量线性关系可得：03x a =，00124y y -=-，解得：0112y =，代入抛物线方程可得：0x =a =， 由两点之间的距离公式可得：58FN =．故选A ．11．【解析】 由题意，120对都小于1的正实数(,)x y ，满足0101x y <<⎧⎨<<⎩，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形的三边的数对()x y ,，满足221x y +<且0101x y <<⎧⎨<<⎩，面积为142π-，∵统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对()x y ,的个数为34m =， 则34112042π=-，∴4715π=，故选B ．12．【解析】∵())ln f x x =-，∴()))()lnlnf x x x f x =-=+=-，∴()()f x f x =-，∴函数()f x 是偶函数，∴当0x >时，易得())lnf x x =为增函数，∴()()33log 0.2log 5a f f ==，()()111133c f f =-=．．，∵31log 52<<，02031-<<．，1133>．，∴()()()110233log 53f f f ->>．．，∴c a b >>，故选C ． 二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．7 14 15．21n a n =- 16．4313．【解析】y ＝4x ＋14x －5＝(4x －5)＋14x －5＋5≥2＋5＝7.当且仅当4x －5＝14x －5，即x ＝32时取等号．14．【解析】由题意得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝2＋9－62·22＝5，即AC ＝5，则BC sin A ＝AC sin B ，3sin A ＝522，得sin A ＝31010. 15．【解析】设等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，则12452,103,202S d S d S d =-=-=-，因为2214S S S =⋅，所以2(103)(52)(202)d d d -=--，整理得25100,0,2d d d d -=≠∴=，3(3)52(3)21n a a n d n n =+-=+-=-．16．【解析】如图所示，由外接球的表面积为16π，可得外接球的半径为，则=4AB设AD x =，则BD BD 变式上的高=1CH ， 当CH ⊥平面ABD 时，棱锥A BCD -的体积最大，此时1132V x =⨯⋅= 当28x =时，体积最大，此时最大值为43.三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（本小题满分12分） 解：（1）由正弦定理可得a b c bc a b c-+=+- ……………………1分 化简得222b c a bc +-=， ……………………2分由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=得1cos 22bc A bc ==， ……………4分 又因为0A <<π，……………………………5分（注1：无此步骤，本得分点不能给分）所以3A π=． …………………………………………………………………………6分（2）解法一：由正弦定理得22sin 2sin sin 3a R a R A A π=⇒=== ………8分由余弦定理得2232b c bc bc bc bc =+--=≥， …………9分 即3bc ≤，（当且仅当b c =时取等号） ………………………………10分故11sin 32224S bc A =⨯⨯=≤（当且仅当b c =时取等号）．……11分即ABC ∆面积S 的最大值为4……12分（注2：无此步骤，本得分点不能给分） （注3：最大值正确但无取等号的说明，扣1分）解法二：由正弦定理：22sin sin b cR B C===，∴2sin ,2sin b B c C ==11sin (2sin )(2sin )sin sin 223S bc A B C B C π==⨯⨯⨯=， ………………7分∵A B C π++=,∴1sin sin()sin()sin 32B A C C C C π=+=+=+ ………8分∴233sin cos sin 2cos 2)24S C C C C C =+=- ………………………9分12cos 2))26C C C π=⋅-+…………………10分 ∵203C π<<，∴当262C ππ-=，即3C π=时，…………………………………11分 即ABC ∆面积S的最大值为4…………………………………………12分 （注：本题解题过程的缺少“0A <<π”（4分点）和“203C π<<”（11分点）不重复扣分）18.（本小题满分12分）（1）证明：因为PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，所以PC DE ⊥.…………1分由2,CE CD DE ===得CDE ∆为等腰直角三角形，故CD DE ⊥．………………2分 又PCCD C =，且PC ⊂面PCD ，CD ⊂面PCD ，……3分（注：此步骤中写出任意一个可得1分；全部不写，本得分点不给分） 故DE ⊥平面PCD ．……………4分（2）解：如图所示，过点D 作DF 垂直CE 于F ， 易知1DF FC FE ===，又1EB =，故2FB =．由2ACB π∠=，得//DF AC ，23DF FB AC BC ==， 故3322AC DF ==．………………………………5分以点C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向， 建立如图空间直角坐标系C xyz -， ……………………………………6分(0,0,0)C ，(0,0,3)P ，3(,0,0)2A ，(0,2,0)E ，(1,1,0)D ，PEDCBA1(1,1,0),(1,1,3),(,1,0)2ED DP DA =-=--=- ……………………………………7分设平面PAD 的法向量为()1111,,n x y z =，则10n DP ⋅=，即1111130102x y z x y --+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，……………………………………8分令12x =，则111,1y z ==，故可取1(2,1,1)n =．…………9分（注：与1n 共线的非零向量都可给分） 由（1）可知DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量2n 可取为ED ，即2=(1,1,0)n -.………10分则121212cos ,2||n n n n n n ⋅===，……11分（注：根据法向量方向不同结果可正可负，都可给分） 又二面角A PD C --为锐二面角， 所以二面角A PD C --的余弦值为6．………12分（注：无此步骤，本得分点不能给分） 19．（本小题满分12分）解：（1）设动点(),M x y ，则3MA yk x =+()3x ≠-，………………………………………1分 3MB yk x =-()3x ≠，…………………………………………………………………2分 19MA MBk k ⋅=-，即1339y y x x ⋅=-+-．化简得：2219x y +=，………………3分由已知3x ≠±，故曲线C 的方程为2219x y +=()3x ≠±．………………………4分 （注：方程正确，只要在解答过程出现过3x ≠±，就不扣分；否则扣1分）（2）由已知直线l 过点()1,0T ，设l 的方程为1x my =+，……………………………5分则联立方程组22199x my x y =++=⎧⎨⎩，消去x 得()229280m y my ++-=，………………6分 设()11,P x y ，()22,Q x y ………………………………………………7分 直线SP 与SQ 斜率分别为SPk =，SQ k =，……8分9分当03x =时，m R ∀∈，SPk k ⋅ ………………………10分当03x =-时，m R ∀∈，SP k k ⋅………………………11分 所以存在定点()3,0S ±，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值．……………………12分 20．（本小题满分12分）解：（1）函数()f x 的定义域是(1,＋∞)．……………………………1分因为12(2)()=2[(1)]11x x f x x x x -'--=---，………………2分 又1x >，令()0f x '>，解得12x <<，……………………3分所以函数()f x 的单调递增区间是(1,2)． ……………………4分 （注：单调区间也可以是(1,2]，写成其它形式，本得分点不能给分）（2）由2()30f x x x a +--=，得12ln(1)0x a x ++--=令()12ln(1)g x x a x =++--，……………………………………………5分 则23()111x g x x x -'=-=--（1x >）………………………………. ………6分 由()0g x '>，得3x >，由()0g x '<，得13x <<………………………7分 所以函数()g x 在[2，3]内单调递减，在[3，4]内单调递增，…………………8分 画出草图，可知方程2()30f x x x a +--=在区间[2，4]内恰有两个相异的实根，则(2)0(3)0(4)0g g g ≥⎧⎪<⎨⎪≥⎩，………………………9分（注：此步骤中，写对任意一个可得1分） 即3042ln 2052ln 30a a a +≥⎧⎪+-<⎨⎪+-≥⎩，…………………10分 解得2ln352ln 24a -≤<-，………………11分综上所述，实数a 取值范围是[2ln35,2ln 24)--．…12分（注：此步骤中，最终结果可以是集合、区间或不等式。