高三数列强化训练二
高考数学模拟试题与解析(数列)-普通用卷
数学强化训练（数列）1. 等比数列{a n }中，a 4，a 8是关于x 的方程x 2+10x +4=0的两个实根，则a 2a 6a 10=（ ）A. 8B. −8C. 4D. 8或−82. 已知等差数列{a n }{b n }的前n 项和分别为S n ，T n (n ∈N ∗)若S nT n=2n−1n+1则实数a 12b 6( ) A. 154B. 158C. 237D. 33. 定义数列{a n }的“项的倒数的n 倍和数”为T n =1a 1+2a 2+⋯+na n(n ∈N ∗)，已知T n =n 22（n ∈N *），则数列{a n }是 （ ）A. 单调递减的B. 单调递增的C. 先增后减的D. 先减后增的4. 已知数列{a n }中，a 1=2，a n =-1an−1（n ≥2），则a 2010等于 （ ）A. −12B. 12C. 2D. −25. 数列{a n }满足a n +a n +1=（-1）n •n ，则数列{a n }的前20项的和为 （ ）A. −100B. 100C. −110D. 110 6. 等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6+a 4a 7=18，则log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10=（ ）A. 1+log 35B. 2+log 35C. 12D. 10 7. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n =2a n -2n +1（n ∈N +），则数列{a n }的通项公式为______． 8. 在数列{a n }中，若a 1=1，a n+1=2a n +3(n ∈N ∗)，则数列的通项公式是______ ． 9. 已知数列{a n }满足a n +2-2a n +1+a n =0，且a 4=π2，若函数f （x ）=sin2x +2cos 2x2，记y n =f（a n ），则数列{y n }的前7项和为______．10. 已知数列{a n }的通项公式为a n =n +λn ，若{a n }为递增数列，则实数λ的取值 范围是________.11. 设{a n }是首项为a 1，公差为-1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为______．12. 已知数列a 1，a 2-a 1，a 3-a 2，…，a n -a n -1，…是首项为1，公差为1的等差数列，则数列{a n }的通项公式a n =______．13. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =a n +n 2−1(n ∈N ∗)． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式（Ⅱ）定义x =[x ]+＜x ＞，其中[x ]为实数x 的整数部分，＜x ＞为x 的小数部分， 且0≤＜x ＞＜1，记c n =＜a n a n+1S n＞，求数列{c n }的前n 项和T n ．14.设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n+1．（1）证明：数列{a n}为等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）求数列{n•（a n+1）}的前n项和T n．15.已知n为正整数，数列{a n}满足a n＞0，4（n+1）a n2-na n+12=0设数列{b n}满足b n=a n2t n}为等比数列；（2）若数列{b n}是等差数列，求实数t的值：（1）求证：数列{n√n（3）若数列{b n}是等差数列，前n项和为S n，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S n-a14n2=16b m成立，求满足条件的所有整数a1的值．答案和解析1.【答案】B解：根据题意，等比数列{a n}中，有a4a8=a2a10=（a6）2，a4，a8是关于x的方程x2+10x+4=0的两个实根，则a4a8=4，a4+a8=-10，则a4＜0，a8＜0，则有a6=a4q2＜0，即a6=-2，a2a6a10=（a6）3=-8；2.【答案】A解：由题意可设，，，（k≠0）．则a12=S12-S11=288k-12k-242k+11k=45k．b6=T6-T5=36k+6k-25k-5k=12k．∴实数=．3.【答案】A解：当n=1时，，解得a1=2．当n≥2时，，所以，综上有，所以a1＞a2＞a3＞…，即数列{a n}是单调递减的．（或用）．4.【答案】A解：数列{a n}中，a1=2，a n=-（n≥2），则a2=-=-，a3=-=2，a4=-=-，a5=-=2，…，则数列{a n}为最小正周期为4的数列，则a2010=a4×502+2=a2=-，5.【答案】A解：∵数列{a n}满足，∴a2k-1+a2k=-（2k-1）．则数列{a n}的前20项的和=-（1+3+……+19）=-=-100．6.【答案】D解：∵等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，∴a5a6=a4a7=9，∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3（a1×a2×…×a10）=log3（a5a6）5==10．7.【答案】a n=（n+1）•2n解：∵S n=2a n-2n+1（n∈N+），∴n=1时，a1=2a1-4，解得a1=4；n≥2时，a n=S n-S n-1=2a n-2n+1-，化为：a n-2a n=2n，∴=1，∴数列是等差数列，公差为1，首项为2．∴=2+（n-1）=n+1，∴a n=（n+1）•2n．8.【答案】a n=2n+1-3解：∵a n+1=2a n+3，两边同时加上3，得a n+1+3=2a n+6=2（a n+3）∴=2数列{a n+3}是一个等比数列，首项a1+3=4，公比为2故数列{a n+3}的通项公式是a n+3=4•2n-1=2n+1，∴a n=2n+1-3，9.【答案】7解：根据题意数列{a n}满足a n+2-2a n+1+a n=0则数列{a n}是等差数列，又由a4=，则a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4=π，函数f（x）=sin2x+2cos2=sin2x+cosx+1，f（a1）+f（a7）=sin2a1+cosa1+1+sin2a7+cosa7+1=sin2a1+cosa1+1+sin2（π-a1）+cos（π-a1）+1=2，同理可得：f（a2）+f（a6）=f（a3）+f（a5）=2，f（a4）=sinπ+cos+1=1，则数列{y n}的前7项和f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a4）+f（a5）+f（a6）+f（a7）=7；10.【答案】（-∞，2）解：∵数列{a n}的通项公式为a n=n+（n=1，2，3，…），数列{a n}是递增数列，∴a n+1-a n=(n+1)-n+=＞0恒成立所以=∴当n=1时，有最小值2，即实数λ的取值范围是（-∞，2）．11.【答案】-1解：由题意可得，a n=a1+（n-1）（-1）=a1+1-n，S n==2，再根据若S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，即=a1•（4a1-6），解得a1=-12.【答案】1n（n+1）解：因为a1，a2-a1，a3-a2，…，a n-a n-1，…是首项为1、2公差为1的等差数列，所以当n≥2时a n=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（a n-a n-1）=n+，又因为a1=1满足上式，所以，13.解：（Ⅰ）∵S n=a n+n2−1(n∈N∗)，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=a n +n 2−1−[a n−1+(n −1)2−1]， 整理得：a n -1=2n -1，∴a n =2n +1； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，S n =n 2+2n ， ∴a n a n+1S n=(2n+1)(2n+3)n 2+2n =4n 2+8n+3n 2+2n=4+3n 2+2n ．∴当n =1时，c 1=＜4+1＞=0，当n ≥2时，有0＜3n 2+2n ＜1．∴c n =3n 2+2n =32(1n −1n+2)（n ≥2）． ∴T n =c 1+c 2+…+c n=0+32(12−14+13−15+14−16+⋯+1n−1−1n+1+1n −1n+2) =32(12+13−1n+1−1n+2)=5n 2+3n−84n 2+12n+8．验证n =1成立，∴T n =5n 2+3n−84n 2+12n+8． 14.（1）证明：a 1=1，a n +1=2a n +1．可得：a n +1+1=2（a n +1）．∴数列{a n +1}是等比数列，公比为2，首项为2．∴a n +1=2n ，可得a n =2n -1．（2）解：n •（a n +1）=n •2n ．数列{n •（a n +1）}的前n 项和T n =2+2×22+3×23+…+n •2n ， ∴2T n =22+2×23+…+（n -1）•2n +n •2n +1， ∴-T n =2+22+…+2n -n •2n +1=2(2n −1)2−1-n •2n +1=（1-n ）•2n +1-2，故T n =（n -1）•2n +1+2．15.（1）证明：数列{a n }满足a n ＞0，4（n +1）a n 2-na n +12=0，∴2√n +1a n =√n a n +1，即n+1√n+1=2n √n ，∴数列{n√n }是以a 1为首项，以2为公比的等比数列．（2）解：由（1）可得：n √n =a 1×2n−1，∴a n 2=n a 12•4n -1．∵b n =a n 2tn，∴b 1=a 12t，b 2=a 22t2，b 3=a 32t3， ∵数列{b n }是等差数列，∴2×a 22t2=a 12t+a 32t3，∴2×2a 12×4t=a 12+3a 12×42t2， 化为：16t =t 2+48，解得t =12或4．（3）解：数列{b n }是等差数列，由（2）可得：t =12或4． ①t =12时，b n =na 12⋅4n−112n=na 124×3n，S n =n(a 1212+na 124×3n)2，∵对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使得8a 12S n -a 14n 2=16b m 成立，∴8a 12×n(a 1212+na 124×3n )2-a 14n 2=16×ma 124×3m，∴a 12(n3+n 23n −n 2)=4m 3m ，n =1时，化为：-13a 12=4m3m ＞0，无解，舍去． ②t =4时，b n =na 12⋅4n−14n=na 124，S n =n(a 124+na 124)2，对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使得8a 12S n -a 14n 2=16b m 成立，∴8a 12×n(a 124+na 124)2-a 14n 2=16×ma 124，∴n a 12=4m ，∴a 1=2√m n．∵a 1为正整数，∴√m n=12k ，k ∈N *．∴满足条件的所有整数a 1的值为{a 1|a 1=2√mn，n ∈N *，m ∈N *，且√m n=12k ，k ∈N *}．。
高三数列专题练习30道带答案(2)
〔2〕若数列满足，求的前项和．
13．已知数列是等比数列，满足，数列满足，且是等差数列.
〔I〕求数列和的通项公式；
〔II〕求数列的前n项和.
14．设数列满足，.
〔1〕求数列的通项公式；
〔2〕设，求数列的前项和.
15．数列的前项和满足，且成等差数列．
〔1〕求数列的通项公式；
〔2〕设，求数列的前项和．
考点：1、等差等比知识；2、裂项相消求和．
11．〔1〕；〔2〕．
【解析】
试题分析：〔1〕根据，令解得，进而得数列的通项公式为；〔2〕由〔1〕，进而得是首项为,公比为的等比数列,再由等比数列前项和公式可得结果．
试题解析：〔1〕，则，又，得，等差数列的公差，所以数列的通项公式为．
〔2〕,所以数列是首项为,公比为的等比数列,．
【方法点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 〔其中是各项均不为零的等差数列，c为常数〕的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和〔如本例〕，还有一类隔一项的裂项求和，如或.
2．〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕
【解析】
试题分析：〔Ⅰ〕将已知条件转化为首项和公差表示，解方程组可得到基本量，从而确定数列的通项公式；〔Ⅱ〕首先化简数列得到的通项公式，结合特点采用裂项相消法求和
试题解析：〔Ⅰ〕依题意得
………2分
解得， …………4分
. ………………………6分
〔Ⅱ〕， …………………7分
……………………9分
∴ ………………………………12分
考点：数列求通项公式及数列求和
3．〔1〕；〔2〕．
【解析】
试题分析：〔1〕设数列的公比为，由，，称等差数列，求解，即可求解数列的通项公式；〔2〕由〔1〕可知，利用乘公比错位相减法，求解数列的和，再根据不等式恒成立，利用关于单调性，即可求解的取值范围．
高中数列强化练习题及讲解
高中数列强化练习题及讲解在这个阳光明媚的午后，让我们来一场数学的奇幻之旅，探索数列的奥秘。
数列，就像是一串珍珠，每一颗都闪耀着智慧的光芒。
而我们今天要玩的，就是把它们串起来，变成一串美丽的项链。
首先，让我们来点“倒装”修辞，把问题倒过来看。
比如说，数列\( a_n = n^2 \)，如果我们倒过来看，就是 \( a_n = 2^n \)，这是不是有点像把苹果倒过来看，变成了橙子呢？哈哈，开个小玩笑，数学可不会这么调皮。
接下来，我们来点“排比”，让数列的项排成一队，像是在排队买票。
比如，数列 \( a_n = 2n - 1 \)，它的前几项就是 1, 3, 5, 7... 看，它们排得多整齐，一个接一个，像是在说：“我比前一个多2哦！”再来点“设问”，让我们自问自答。
比如，有人问：“数列 \( a_n = n \) 是等差数列吗？”我们回答：“是的，它的公差是1，所以每一项都比前一项多1，就像我们每天比昨天多活了一天。
”现在，让我们来点“夸张”，给数列加点料。
比如，数列 \( a_n = 100n \)，如果我们说：“这个数列的项，每一项都比前一项多100倍！”是不是感觉这个数列的增长速度像是坐火箭一样快？最后，我们来点“反问”，让我们的数列自己说话。
比如，数列\( a_n = 1/n \)，如果我们问：“这个数列的项，是不是越到后面越小？”它可能会回答：“当然，我可是越来越谦虚的。
”好了，数列的奇幻之旅就到这里。
希望这些幽默风趣的修辞手法，能让你在数学的世界里找到欢乐。
记住，数学不仅仅是冰冷的公式和数字，它也可以是充满乐趣和惊喜的冒险。
下次再见，别忘了带上你的数学魔杖，我们一起去探索更多的数学奥秘！。
高三数学 提高题专题复习数列多选题练习题含答案
高三数学 提高题专题复习数列多选题练习题含答案一、数列多选题1．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数A ，使得对任意*n N ∈，都有n S A <，则称数列{}n a 为“T 数列”.则以下结论正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <，则数列{}n a 是“T 数列”B ．若{}n a 是等比数列，且公比q 满足||1q <，则数列{}n a 是“T 数列”C ．若12(1)2n n n a n n ++=+，则数列{}n a 是“T 数列”D ．若2241n n a n =-，则数列{}n a 是“T 数列 【答案】BC 【分析】写出等差数列的前n 项和结合“T 数列”的定义判断A ；写出等比数列的前n 项和结合“T 数列”的定义判断B ；利用裂项相消法求和判断C ；当n 无限增大时，n S 也无限增大判断D ． 【详解】在A 中，若{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <，则2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当n 无限增大时，n S 也无限增大，所以数列{}n a 不是“T 数列”，故A 错误. 在B 中，因为{}n a 是等比数列，且公比q 满足||1q <， 所以()11111112111111n nn n a q a a q a a q aS qq q q q q-==-+<------，所以数列{}n a 是“T 数列”，故B 正确. 在C 中，因为11211(1)22(1)2n n n n n a n n n n +++==-+⋅+⋅，所以122311111111111||122222322(1)22(1)22n n n n S n n n ++=-+-++-=-<⨯⨯⨯⨯⋅+⋅+⋅∣∣.所以数列{}n a 是“T 数列”，故C 正确.在D 中，因为22211141441n n a n n ⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭，所以222111114342143141n S n n ⎛⎫=+++++⎪⨯-⨯--⎝⎭，当n 无限增大时，n S 也无限增大，所以数列{}n a 不是“T 数列”，故D 错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()122121n n n +--()()()()1121212121n n n n ++---=--1112121n n +=---；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.2．已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,……，其中第一项是02，接下来的两项是012,2,再接下来的三项是0122,2,2,依次类推…，第n 项记为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．6016a =B ．18128S =C ．2122k k k a -+=D ．2221kk k S k +=--【答案】AC 【分析】对于AC 两项，可将数列进行分组，计算出前k 组一共有()12k k +个数，第k 组第k 个数即12k -，可得到选项C由C 得到9552a =，60a 则为第11组第5个数，可得60a 对于BD 项，可先算得22k kS +，即前k 组数之和18S 即为前5组数之和加上第6组前3个数，由21222k k k S k ++=--结论计算即可.【详解】A.由题可将数列分组第一组：02 第二组：012,2, 第三组：0122,2,2, 则前k 组一共有12++…()12k k k ++=个数 第k 组第k 个数即12k -，故2122k k k a -+=，C 对又()10101552+=，故9552a = 又()11111662+=，60a 则为第11组第5个数第11组有数：0123456789102,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2 故460216a ==，A 对对于D. 每一组的和为0122++ (1)2122121k k k --+==-- 故前k 组之和为1222++…()122122221k k k k k k +-+-=-=---21222k k k S k ++=--故D 错. 对于B.由D 可知，615252S =--()551152+=，()661212+=01261815222252764S S =+++=--+=故B 错 故选：AC 【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为20【答案】BCD 【分析】由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，求得等差数列的通项n a 和n S ，由二次函数的最值求法和二次不等式的解法可得所求值，判断命题的真假． 【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，可得2739a a a =，即2111(6)(2)(8)a d a d a d +=++，化为1100a d +=，② 由①②解得120a =，2d =-， 则202(1)222n a n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-， 由221441()24n S n =--+，可得10n =或11时，n S 取得最大值110； 由0n S >，可得021n <<，即n 的最大值为20． 故选：BCD 【点睛】方法点睛：数列最值常用的方法有：（1）函数（单调性）法；（2）数形结合法；（3）基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.4．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中0m >).已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．3m =B ．18181103354kk i a =⨯+=∑C ．(31)3ij ja i =-⨯ D ．()1(31)314n S n n =+- 【答案】ABD 【分析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a ，列式即可求出m ，从而求出通项ij a ，进而可得ii a ，根据错位相减法可求得181kki a=∑，再按照分组求和法，每一行求和可得S ，由此可以判断各选项的真假． 【详解】∵a 11＝2，a 13＝a 61+1，∴2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 12=-（舍去），A 正确； ∴()()11113213313j j j ij i a a i m i ---⎡⎤=⋅=+-⨯⋅=-⋅⎣⎦，C 错误； ∴()1313i ii a i -=-⋅，0171811223318182353533S a a a a =+++⋯+=⨯+⨯+⋯+⨯①12181832353533S =⨯+⨯+⋯+⨯②,①-②化简计算可得：1818103354S ⨯+=,B 正确；S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn )()()()11211131313131313nnnn a a a ---=+++---()()231131.22nn n +-=- ()1=(31)314n n n +-，D 正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.5．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <. 【答案】ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <，所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.6．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n a 为等比数列B ．数列{}n S n +为等比数列C ．数列{}n a 中10511a =D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---【答案】BCD 【分析】由已知可得11222n n n n S n S nS n S n++++==++，结合等比数列的定义可判断B ；可得2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断A ；由{}n a 的通项公式，可判断C ；由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D. 【详解】因为121n n S S n +=+-，所以11222n n n n S n S nS n S n++++==++．又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故B 正确；所以2n n S n +=，则2nn S n =-．当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11121a -≠-，故A 错误；由当2n ≥时，121n n a -=-可得91021511a =-=，故C 正确；因为1222n n S n +=-，所以2311222...2221222...22n n S S S n ++++=-⨯+-⨯++-()()()23122412122...2212 (22412)2n n n n n n n n n ++--⎡⎤=+++-+++=-+=---⎢⎥-⎣⎦ 所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---，故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】关键点点睛：在数列中，根据所给递推关系，得到等差等比数列是重难点，本题由121n n S S n +=+-可有目的性的构造为1122n n S S n n +++=+，进而得到11222n n n n S n S nS n S n++++==++，说明数列{}n S n +是等比数列，这是解决本题的关键所在，考查了推理运算能力，属于中档题,7．已知等比数列{}n a 满足11a =，其前n 项和()*1,0n n S pa r n N p +=+∈>．（ ）A ．数列{}n a 的公比为pB ．数列{}n a 为递增数列C ．1r p =--D ．当14p r-取最小值时，13-=n n a 【答案】BD 【分析】先结合已知条件，利用1n n n a S S -=-找到,p q 的关系，由11p q =-判断选项A 错误，由11pq p+=>判断B 正确，利用{}n a 通项公式和前n 项和公式代入已知式计算r p =-判断C 错误，将r p =-代入14p r-，利用基本不等式求最值及取等号条件，判断D 正确. 【详解】依题意，等比数列{}n a ，11a =，其前n 项和()*1,0n n S pa r n N p +=+∈>，设公比是q ，2n ≥时，11n n n n S pa rS pa r +-=+⎧⎨=+⎩，作差得，1n n n pa a pa +-=，即()11n n p a pa +=+，故11n n a p a p ++=，即1p q p +=，即11p q =-.选项A 中，若公比为p ，则11p q q ==-，即210q q --=，即p q ==时，数列{}n a 的公比为p ，否则数列{}n a 的公比不为p ，故错误；选项B 中，由0p >知，1111p q p p +==+>，故111111n n n n a a q q p ---=⋅==⎛⎫+ ⎪⎝⎭是递增数列，故正确；选项C 中，由1n n S pa r +=+，11n n q S q-=-，11p q =-，1nn a q +=知，1111111n n n n q p q q a qr S p q +--=-⋅=-=---=，故C 错误；选项D 中， 因为r p =-，故()1111444p p p r p p -=-=+≥=⋅-，当且仅当14p p =，即12p =时等号成立，14p r-取得最小值1，此时13p q p +==，113n n n a q --==，故正确.故选：BD. 【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解；2、当两个正数,a b的积为定值，要求这两个正数的和式的最值时，可以使用基本不等式a b +≥，当且仅当a b =取等号.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值【答案】AC 【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值.【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；二、平面向量多选题9．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．//PB CQ B ．2133BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅< D ．2S =【答案】BCD 【分析】本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确. 【详解】解：因为20PA PC +=，2QA QB =，所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；因为()121333BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+-=+，故选项B 正确； 因为112223132APQ ABCAB hS S AB h ⨯⨯==⋅△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.10．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（ ） A ．a 为单位向量 B ．//b BCC ．a b ⊥D ．()6a b BC +⊥【答案】ABD 【分析】求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】 对于A 选项，3AB a =，13a AB ∴=，则113a AB ==，A 选项正确； 对于B 选项，3AC ab AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正确；对于C 选项，21123cos 0333a b AB BC π⋅=⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误； 对于D 选项，()()()2260a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，()6a b BC +⊥，D 选项正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.。
2020年高考数学二轮复习第1部分重点强化专题专题2数列突破点4等差数列等比数列学案文
突破点4 等差数列、等比数列[核心知识提炼]提炼1 等差数列、等比数列的运算 (1)通项公式等差数列：a n ＝a 1＋(n －1)d ； 等比数列：a n ＝a 1·q n －1.(2)求和公式 等差数列：S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －12d ；等比数列：S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q(q ≠1)．(3)性质 若m ＋n ＝p ＋q ，在等差数列中a m ＋a n ＝a p ＋a q ； 在等比数列中a m ·a n ＝a p ·a q . 提炼2 等差数列、等比数列的判定与证明数列{a n }是等差数列或等比数列的证明方法： (1)证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法 ①利用定义，证明a n ＋1－a n (n ∈N *)为同一常数； ②利用中项性质，即证明2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)． (2)证明{a n }是等比数列的两种基本方法 ①利用定义，证明a n ＋1a n(n ∈N *)为同一常数； ②利用等比中项，即证明a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2). 提炼3 数列中项的最值的求法(1)根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数f (n )＝a n ，利用求解函数最值的方法(多利用函数的单调性)进行求解，但要注意自变量的取值必须是正整数． (2)利用数列的单调性求解，利用不等式a n ＋1≥a n (或a n ＋1≤a n )求解出n 的取值范围，从而确定数列单调性的变化，进而确定相应的最值．(3)转化为关于n 的不等式组求解，若求数列{a n }的最大项，则可解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1；若求数列{a n }的最小项，则可解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1，求出n 的取值范围之后，再确定取得最值的项．[高考真题回访]回访1 等差数列基本量的运算1．(2015·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( ) A.172B ．192C ．10D ．12B [∵公差为1， ∴S 8＝8a 1＋8×8－12×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6. ∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.故选B.]2．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( )A ．5B ．7 C.9D ．11A [法一：∵a 1＋a 5＝2a 3，∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，∴a 3＝1， ∴S 5＝5a 1＋a 52＝5a 3＝5，故选A.法二：∵a 1＋a 3＋a 5＝a 1＋(a 1＋2d )＋(a 1＋4d )＝3a 1＋6d ＝3，∴a 1＋2d ＝1， ∴S 5＝5a 1＋5×42d ＝5(a 1＋2d )＝5，故选A.]3．(2014·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( ) A ．n (n ＋1) B ．n (n －1) C.n n ＋12D.n n －12A [由a 2，a 4，a 8成等比数列，得a 24＝a 2a 8，即(a 1＋6)2＝(a 1＋2)(a 1＋14)，∴a 1＝2，∴S n ＝2n ＋n n －12×2＝2n ＋n 2－n ＝n (n ＋1)．]回访2 等比数列基本量的运算4．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12D.18C [法一：∵a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 24＝4(a 4－1)，∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8，∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C.法二：∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)， 将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝12，故选C.]5．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________.6 [∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 又∵S n ＝126，∴21－2n1－2＝126，∴n ＝6.]热点题型1 等差、等比数列的基本运算题型分析：以等差(比)数列为载体，考查基本量的求解，体现方程思想的应用是近几年高考命题的一个热点，题型以客观题为主，难度较小．【例1】(1)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝30，S 4＝120，设b n ＝1＋log 3a n ，那么数列{b n }的前15项和为( )【导学号：04024053】A ．152B ．135C ．80D ．16(2)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( ) A ．2 B ．－2 C.12D ．－12(1)B (2)D [(1)设等比数列{a n }的公比为q ， 由a 1＋a 3＝30，a 2＋a 4＝S 4－(a 1＋a 3)＝90， 所以公比q ＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝3，首项a 1＝301＋q2＝3，所以a n ＝3n，b n ＝1＋log 33n＝1＋n ，则数列{b n }是等差数列，前15项的和为15×2＋162＝135，故选B.(2)由题意知S 1＝a 1，S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6，因为S 1，S 2，S 4成等比数列， 所以S 22＝S 1·S 4，即(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12，故选D.][方法指津]在等差(比)数列问题中最基本的量是首项a 1和公差d (公比q )，在解题时往往根据已知条件建立关于这两个量的方程组，从而求出这两个量，那么其他问题也就会迎刃而解．这就是解决等差、等比数列问题的基本量的方法，这其中蕴含着方程的思想． 提醒：应用等比数列前n 项和公式时，务必注意公比q 的取值范围．[变式训练1] (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋3，S n 为{a n }的前n 项和，若S n ＝51，则n ＝__________.(2)(2017·东北三省四市联考)等比数列{a n }中各项均为正数，S n 是其前n 项和，且满足2S 3＝8a 1＋3a 2，a 4＝16，则S 4＝________.(1)6 (2)30 [(1)由a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3， 所以数列{a n }是首项为1，公差为3的等差数列． 由S n ＝n ＋n n －12×3＝51，即(3n ＋17)(n －6)＝0， 解得n ＝6或n ＝－173(舍)．(2)设数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2S 3＝2a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝8a 1＋3a 1q ，a 1q 3＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2，所以S 4＝21－241－2＝30.]热点题型2 等差、等比数列的基本性质题型分析：该热点常与数列中基本量的运算综合考查，熟知等差(比)数列的基本性质，可以大大提高解题效率．【例2】(1)(2016·南昌一模)若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为814，则前4项倒数的和为( )【导学号：04024054】A.32B.94C ．1D ．2(2)(2017·中原名校联考)若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝( )A ．10B ．20C ．30D ．40(1)D (2)B [(1)由题意得S 4＝a 11－q 41－q ＝9，所以1－q 41－q ＝9a 1.由a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝(a 21q 3)2＝814得a 21q 3＝92.由等比数列的性质知该数列前4项倒数的和为1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1q 41－1q＝q 4－1a 1q 3q －1＝1a 1q 3·9a 1＝9a 21q 3＝2，故选D.(2)∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，∴11x n ＋1－11x n＝x n ＋1－x n ＝d ，∴{x n }是等差数列，∵x 1＋x 2＋…＋x 20＝200＝20x 1＋x 202，∴x 1＋x 20＝20，又∵x 1＋x 20＝x 5＋x 16，∴x 5＋x 16＝20.][方法指津]1．若{a n }，{b n }均是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和，则{ma n ＋kb n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 仍为等差数列，其中m ，k 为常数．2．若{a n }，{b n }均是等比数列，则{ca n }(c ≠0)，{|a n |}，{a n ·b n }，{ma n b n }(m 为常数，m ≠0)，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 仍为等比数列．3．公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…成等比数列，且公比为a 3－a 2a 2－a 1＝a 2－a 1qa 2－a 1＝q .4．(1)等比数列(q ≠－1)中连续k 项的和成等比数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，其公比为q k.(2)等差数列中连续k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，公差为k 2d .5．若A 2n －1，B 2n －1分别为等差数列{a n }，{b n }的前2n －1项的和，则a n b n ＝A 2n －1B 2n －1.[变式训练2](1)已知各项不为0的等差数列{a n }满足2a 2－a 27＋2a 12＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 3b 11等于( )A ．16B ．8 C.4D ．2(2)(2017·武汉二模)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A ．12 B ．10 C ．8D ．2＋log 35(1)A (2)B [(1)∵{a n }是等差数列，∴a 2＋a 12＝2a 7， ∴2a 2－a 27＋2a 12＝4a 7－a 27＝0.又a 7≠0，∴a 7＝4. 又{b n }是等比数列，∴b 3b 11＝b 27＝a 27＝16. (2)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 4a 7＝9，所以log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2a 3…a 10) ＝log 3(a 5a 6)5＝log 395＝10，故选B.]热点题型3 等差、等比数列的证明题型分析：该热点在考查数列的通项公式，前n 项和公式的同时，考查学生的推理论证能力．【例3】 (2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6.(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． [解] (1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 11＋q ＝2，a 11＋q ＋q2＝－6.2分 解得q ＝－2，a 1＝－2．4分 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n． 6分(2)由(1)可得S n ＝a 11－q n 1－q ＝－23＋(－1)n 2n ＋13．8分由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋－1n2n ＋13＝2S n ， 10分 故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．12分[方法指津] 判断或证明数列是否为等差或等比数列，一般是依据等差数列、等比数列的定义，或利用等差中项、等比中项进行判断．提醒：利用a 2n ＝a n ＋1·a n －1(n ≥2)来证明数列{a n }为等比数列时，要注意数列中的各项均不为0.[变式训练3] (2014·全国卷Ⅰ)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n＋2－a n＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．[解] (1)证明：由题设知a n a n＋1＝λS n－1，a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1，两式相减得a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1，2分由于a n＋1≠0，所以a n＋2－a n＝λ． 4分(2)由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1. 5分由(1)知，a3＝λ＋1．6分令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4. 7分故a n＋2－a n＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3. 9分{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1. 11分所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2，因此存在λ＝4，使得数列{a n}为等差数列．12分。
《最高考》聚焦小题强化训练50练（提升版）（含详细解答）
(第 7 题) 6.已知函数 f(x)＝sinx(x∈[0，π])和函数 g(x)＝12tanx 的图象交于 A，B，C 三点，则△ABC 的面 积为________． 7.如图，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱 O1O2 的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则VV12的值是________． 8.已知函数 f(x)＝mx3x＋＋x22＋，mx>，1，0≤x≤1，若函数 f(x)有且只有两个零点，则实数 m 的取值范围是 ________．
11.(本小题满分 16 分) 某农场有一块农田，如图，它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN(P 为此圆弧的中点)和线段 MN 构成．已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米．现规划在此农田上修建两个温 室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求 A，B 均在 线段 MN 上，C，D 均在圆弧上．设 OC 与 MN 所成的角为 θ. (1)用 θ 分别表示矩形 ABCD 和△CDP 的面积，并确定 sinθ 的取值范围； (2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值 之比为 4∶3.求当 θ 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
小题强化训练二
一、填空题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分． 1.已知复数 z 满足(z－2)i＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数 z 的共轭复数 z 在复平面内对应的点位 于第________象限． 2.设集合 A＝{x|y＝ln(x2－3x)}，B＝{y|y＝2x，x∈R}，则 A∪B＝____________． 3.若 θ∈(0，π4)，且 sin2θ＝14，则 sin(θ－π4)＝________． 4.已知一个正方体的外接球体积为 V1，其内切球体积为 V2，则VV12的值为________. 5.记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1＝3，且数列{ Sn }也为等差数列，则 a11＝________． 6.在▱ABCD 中，∠BAD＝60°，E 是 CD 上一点，且A→E＝12A→B＋B→C，|A→B|＝λ|A→D|.若A→C·E→B＝12A→D 2，则 λ＝________． 7.设函数 f(x)＝lnx＋mx ，m∈R，若对任意 x2＞x1＞0，f(x2)－f(x1)＜x2－x1 恒成立，则实数 m 的 取值范围是__________． 8.已知实数 x，y 满足 x2＋y2＝1，则（x－1y）2＋（x＋1y）2的最小值为________． 二、解答题：本大题共 4 小题，共 60 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤． 9.(本小题满分 14 分) 在平面四边形 ABCD 中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5. (1)求 cos∠ADB 的值； (2)若 DC＝2 2，求 BC 的值．
高三数列提速练习题
高三数列提速练习题在高三数学学习中，数列是一个重要的概念和内容。
为了帮助同学们提高对数列的理解和应用能力，下面将提供一些数列的练习题，帮助同学们提速。
一、选择题（每题2分，共20分）1. 设数列an的通项公式为an = 3n + 2，则该数列的首项为：A. 2B. 5C. 3D. 12. 已知数列bn的前n项和为Sn = n^2 + 2n，则数列bn的首项为：A. 1B. 0C. 2D. -13. 数列cn的通项公式为cn = 2^n + 3，则数列cn的公比为：A. 2B. 3C. 4D. 54. 若数列dn的公差为3，且d4 = 13，则数列dn的前n项和Sn为：A. 6n - 6B. 3n^2 - 3nC. 2n^2 - nD. n^2 + n5. 数列en的前n项和Sn = 2n^2 + 4n，则数列en的首项为：A. 2B. 3C. 4D. 16. 设数列fn的通项公式为fn = n^3 + n^2 + n，则数列fn的首项为：A. 3B. 6C. 5D. 17. 若数列gn满足g1 = 1，g2 = 2，且gn = 2gn-1 - gn-2，则数列gn的前5项依次为：A. 1, 2, 3, 4, 5B. 1, 2, 4, 8, 16C. 1, 2, 0, -4, -8D. 1, 2, -2, -6, -108. 若数列hn的公差为2，且h3 = -1，则数列hn的前n项和Sn为：A. n^2B. n^2 - 2C. n^2 - 3nD. n^2 - 4n9. 已知数列kn的前n项和为Sn = 2n^2 + 3n，则数列kn的公差为：A. 0B. 1C. 2D. 310. 设数列ln的通项公式为ln = 4n - 3，则数列ln的第6项为：A. 15B. 18C. 21D. 24二、填空题（每题4分，共40分）1. 对于等差数列an，若公差为3，前n项和为Sn = 2n^2 + 5n，则数列an的通项公式为_____________________。
2014高考数列考前强化训练 学生
2014高考数列考前强化训练1. 数列{}n a 满足a 1=2，*110()n n a a n N +-+=∈，则此数列的通项a n 为=2. 在等差数列{}n a 中，前15项之和15S =90，则8a =3．已知{a n }是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6=25，那么a 3＋a 5的值等于4．在等比数列{b n }中，S 4=4，S 8=20，那么S 12= .5．数列{}n a 的前ｎ项的和S n =3n 2＋ n ＋1，则此数列的通项公式a n =__ ．6．已知数列{}n a 中，a n ≠０，a 1＝21，a 1+n ＝nn a a 21+（n ∈N +）求a n =__ 7已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式__ 题型一 利用方程思想，求数列通项公式1已知数列{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 2a 6=55，a 2+a 7=16（1）求数列{a n }的通项公式；（2）数列{a n }和数列{b n }满足等式a n =（n ∈N *），求数列{b n }的前n 项和S n ．2.已知{a n }是等差数列，a 1=3, Sn 是其前n 项和;在各项均为正数的等比数列{b n }中， b 1=1且b 2+S 2=1O, S 5 =5b 3+3a 2.(I )求数列{a n }, {b n }的通项公式； (II )设n c =n }的前n 项和为T n ,求证23<n T题型二 利用Sn 与n a 关系，求通项公式1.已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和23n n n S a +=。
（1）求2a ，3a ；（2）求a n =__ . 2．已知数列{a n }的前n 项和为S n （0n S ≠），且*11120(2,),.2n n n a S S n n a -+=∈=N ≥ （1）求证：1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求a n ；（3）若2(1)(2)n n b n a n =-≥，求证：22223 1.n b b b +++<3 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2-a n ，n=1，2，3，…. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n }满足b 1=1，且b n+1=b n +a n ，求数列{b n }的通项公式；(Ⅲ)设c n =n(3-b n )，求数列{c n }的前n 项和T n .4设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N ．（Ⅰ）设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．题型三 已知递推关系，求通项公式1已知数列{}n a 中，a 1＝３，a n ＝21a 1-n ＋１（n ∈N +）求数列{}n a 的通项公式 2数列.23,5,2}{1221n n n n a a a a a a -===++满足（1）求证：数列}{1n n a a -+是等比数 列；（2）求数列{n a }的通项公式；3.已知数列{}n a 为等差数列，且11=a ，55=a ；设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2n n b S =-（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若(1,2,3,),n n n c a b n =⋅=…求数列{}n c 的前n 项和.n T。
高三数列专题练习30道带答案复习课程
高三数列专题练习30道带答案高三数列专题训练二学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．在公差不为零的等差数列{}n a 中，已知23a =，且137a a a 、、成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，记292n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，且1116S +，2S ，3S 成等差数列，数列{}n b 满足2n b n =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，若对任意*n N ∈，不等式121212n n c c c S λ+++≥+-…恒成立，求λ的取值范围．4．已知等差数列{n a }的公差2d =，其前n 项和为n S ，且等比数列{n b }满足11b a =，24b a =，313b a =．（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式和数列{n b }的前n 项和n B ； （Ⅱ）记数列{1nS }的前n 项和为n T ，求n T ． 5．设数列（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式； （3）设()3n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 6．已知差数列等{}n a 的前n 项和n S ，且对于任意的正整数n满足1n a =+.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）设11n n n b a a +=, 求数列{}n b 的前n 项和n B .7．对于数列}{n a 、}{n b ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，且n a S n S n n n ++=+-+)1(1，111==b a ，231+=+n n b b ，*∈N n .（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式； （2）令)1()(2++=n n n b n n a c ，求数列}{n c 的前n 项和n T .8．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1212112()a a a a +=+， 34534511164()a a a a a a ++=++． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设21()n n nb a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 9．已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为nS ，且1210n n S S n +---=（*n ∈N ）.（Ⅰ） 求证：数列{1}n a +为等比数列； （Ⅱ） 令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .10．已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足312a 是13a 与22a 的等差中项，且123a a a =．（Ⅱ）设3log n n b a =，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，求数列12{}nnS S +的前n 项和n T ．11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,2121,2n n n a S a a ==+． （1）求数列{}n a的通项公式；（2）若2n a n b =,求13521...n b b b b +++++．12．设公差不为0的等差数列{}n a 的首项为1，且2514,,a a a 构成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足*121211,2n n n b b b n N a a a +++=-∈，求{}n b 的前n 项和n T ．13．已知数列{}n a 是等比数列，满足143,24a a ==，数列{}n b 满足144,22b b ==，且{}n n b a -是等差数列.（I ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （II ）求数列{}n b 的前n 项和。
高三理科数学二轮复习专题能力提升训练：数列的综合应用问题(含答案解析).pdf
训练 数列的综合应用问题 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．设{an}是等比数列，则“a1＜a2＜a3是递增数列”的( )． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．在等差数列{an}中，若a1，a2 011为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a2＋a1 006＋a2 010＝( )． A．10 B．15 C．20 D．40 3．已知正项组成的等差数列{an}的前20项的和为100，那么a6·a15的最大值为( )． A．25 B．50 C．100 D．不存在 4．已知数列{an}的前n项和为Sn，过点P(n，Sn)和Q(n＋1，Sn＋1)(nN*)的直线的斜率为3n－2，则a2＋a4＋a5＋a9的值等于( )． A．52 B．40 C．26 D．20 5．已知各项都是正数的等比数列{an}中，存在两项am，an(m，nN*)使得＝4a1，且a7＝a6＋2a5，则＋的最小值是( )． A. B. C. D. 二、填空题(每小题5分，共15分) 6．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校200名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如图．由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到4.9之间的学生数为b，则a，b的值分别为________． 7．在等比数列{an}中，首项a1＝，a4＝(1＋2x)dx，则公比q为________． 8．已知数列{an}中，a1＝1，且P(an，an＋1)(nN*)在直线x－y＋1＝0上，若函数f(n)＝＋＋＋…＋(nN*，且n≥2)，函数f(n)的最小值是________． 三、解答题(本题共3小题，共35分) 9．(11分)已知数列{an}是等差数列，满足a2＝5，a4＝13.数列{bn}的前n项和是Tn，且Tn＋bn＝3. (1)求数列{an}及数列{bn}的通项公式； (2)若cn＝an·bn，试比较cn与cn＋1的大小． 10．(12分)首项为正数的数列{an}满足an＋1＝(a＋3)，nN*. (1)证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，an都是奇数； (2)若对一切nN*都有an＋1＞an，求a1的取值范围． 11．(12分)等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列第二列第三列第一行3 2 10第二行6 4 14第三行9 8 18(1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列{bn}的前n项和Sn.参考答案 1．C [“a1＜a2＜a3”“数列{an}是递增数列”．] 2．B [由题意，知a1＋a2 011＝a2＋a2 010＝2a1006＝10，所以a2＋a1 006＋a2 010＝15，故选B.] 3．A [S20＝＝10(a1＋a20)＝100，故a6＋a15＝a1＋a20＝10，a6·a15≤）2＝25.] 4．B [由题意得，＝3n－2，Sn＋1－Sn＝3n－2，即an＋1＝3n－2，an＝3n－5，因此数列{an}是等差数列，a5＝10，而a2＋a4＋a5＋a9＝2(a3＋a7)＝4a5＝40，故选B.] 5．A [记等比数列{an}的公比为q(q＞0)，依题意有a5q2＝a5q＋2a5，由a5≠0，得q2－q－2＝0，解得q＝2， 又(a1·2m－1)·(a1·2n－1)＝16a， 即2m＋n－2＝24，m＋n－2＝4，m＋n＝6， ＋＝（＋）(m＋n)＝[5＋＋）]≥ (5＋4)＝.] 6．解析 第一组的频数为：0.1×0.1×200＝2， 第二组的频数为：0.3×0.1×200＝6，故第三组的频数为：18，第四组的频数为：54. a＝＝0.27.后五组的频数共有：200－80＝120. 又后六组成等差数列，所以第七组的频数为24，第五、六组的频数共为78，故b＝54＋78＝132. 答案 0.27,132 7．解析 a4＝＝(4＋42)－(1＋12)＝18，∴q3＝＝27，∴q＝3. 答案 3 8．解析 由题意知，an－an＋1＋1＝0，即an＋1－an＝1，数列{an}是等差数列，公差d＝1，an＝n，当n≥2时，f(n)＝＋＋＋…＋，∵f(n＋1)－f(n)＝＋＋＋…＋－＋＋＋…＋＝＋－＝－＞0，∴f(2)＜f(3)＜…，∴[f(n)]min ＝f(2)＝＋＝. 答案 9．解 (1)a2＝5，a4＝13，a4＝a2＋2d，即13＝5＋2d. d＝4，a1＝1，an＝4n－3. 又Tn＋bn＝3，Tn＋1＋bn＋1＝3， 2bn＋1－bn＝0，即bn＋1＝bn. b1＋b1＝3，b1＝， 数列{bn}为首项是，公比是的等比数列， bn＝）n－1＝. (2)cn＝anbn＝，cn＋1＝， cn＋1－cn＝－＝. 当n＝1时，cn＋1－cn＞0，cn＋1＞cn；当n≥2(nN*)时，cn＋1－cn＜0，cn＋1＜cn. 10．(1)证明 已知a1是奇数，假设ak＝2m－1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得ak＋1＝＝m(m－1)＋1是奇数． 根据数学归纳法，对任何nN*，an都是奇数． (2)解 法一 由an＋1－an＝(an－1)·(an－3)知，an＋1＞an当且仅当an＜1或an＞3. 另一方面，若0＜ak＜1，则0＜ak＋1＜＝1； 若ak＞3，则ak＋1＞＝3. 根据数学归纳法，0＜a1＜10＜an＜1，n∈N*，a1＞3an＞3，n∈N*. 综上所述，对一切nN*都有an＋1＞an的充要条件是0＜a1＜1或a1＞3. 法二 由a2＝＞a1，得a－4a1＋3＞0，于是0＜a1＜1或a1＞3.an＋1－an＝－＝， 因为a1＞0，an＋1＝，所以所有的an均大于0，因此an＋1－an与an－an－1同号． 根据数学归纳法，n∈N*，an＋1－an与a2－a1同号． 因此，对一切nN*都有an＋1＞an的充要条件是0＜a1＜1或a1＞3. 11．解 (1)当a1＝3时，不合题意； 当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意； 当a1＝10时，不合题意．因此a1＝2，a2＝6，a3＝18. 所以公比q＝3.故an＝2·3n－1. (2)因为bn＝an＋(－1)nln an＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1) ＝2·3n－1＋(－1)n[ln 2＋(n－1)ln 3]＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3， 所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3. 所以当n为偶数时， Sn＝2×＋ln 3＝3n＋ln 3－1； 当n为奇数时， Sn＝2×－(ln 2－ln 3)＋·ln 3 ＝3n－ln 3－ln 2－1. 综上所述，Sn＝。
三角函数、平面向量、数列强化训练
ʏ河南省许昌高级中学 孙英环一、选择题1.设函数f (x )=c o s x +b s i n x (b 为常数),则 b =0 是 f (x )为偶函数 的( )㊂A.充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .既不充分也不必要条件D .充分必要条件2.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 3+a 4=5,则S 6=( )㊂A.15 B .20 C .25 D .303.已知等比数列a n的各项均为正数,且a 3=9,则l o g 3a 1+l o g 3a 2+l o g 3a 3+l o g 3a 4+l o g 3a 5=()㊂A.52 B .53C .10D .154.已知t a n θ=3,则s i n 2θ+2c o s 2θ=( )㊂A.45 B .65 C .35 D .755.已知向量a =3,1 ,b =3,-1,则a 在b 上的投影向量为( )㊂A.3,1 B .3,-1 C .32,12D .32,-126.在әA B C 中,若A B ң2-B C ң2=A B ң㊃A C ң,则әABC 是( )㊂A.等腰三角形 B .直角三角形C .等腰直角三角形 D .等边三角形7.设等比数列{a n }的公比为q ,其前n 项和为S n ,前n 项积为T n ,并满足条件a 1>1,且a 2020a 2021>1,(a 2020-1)(a 2021-1)<0,则下列结论错误的是( )㊂A.S 2020<S 2021B .a 2020a 2022-1<0C .数列{T n }无最大值D .T 2020是数列{T n }中的最大值8.函数f (x )=s i n (πx )x2的图像大致为图1中的( )㊂图19.将函数y =2s i n x s i n x +π4的图像向右平移3π8个单位长度,再向下平移12个单位长度,所得图像对应的函数为g (x ),则g (x )在区间π6,π3上的最大值为( )㊂A.-64 B .23 C .32 D .6410.在锐角әA B C 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b 2=a (a +c ),则角A 的取值范围为( )㊂A.0,π4 B .0,π6 C .π6,π4 D .π4,π311.已知函数y =f (x +1)是偶函数且在(-ɕ,0)上递减,若α,β是锐角三角形的两个锐角,则下面关系式正确的是( )㊂A.f (1)>f (s i n α)B .f (1+s i n α)>f (1+c o s β)C .f (1+s i n α)<f (1+c o s β)D .f (1+s i n α)<f (1-c o s β)12.已知O 是әA B C 内的一点,若әB O C ,әA O C ,әA O B 的面积分别记为S 1,S 2,S 3,则S 1㊃O A ң+S 2㊃O B ң+S 3㊃O C ң=0㊂这个定理对应的图形与 奔驰 轿车的24 演练篇 核心考点A B 卷 高考数学 2022年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.l o go 很相似,故形象地称其为 奔驰定理 ㊂如图2,已知O 是әA B C 的垂心,且O A ң+2O B ң+3O C ң=0,则t a n øB A C ︰t a n øA B C ︰t a n øA C B =( )㊂A.1︰2︰3 B .1︰2︰4C .2︰3︰4D .2︰3︰6图2二㊁填空题13.在әA B C 中,若M 是线段B C 上靠近B 的三等分点,N 是线段A M 的中点,则B N ң=㊂14.已知函数f (x )=a t a n 3x +b s i n x +3,若f (m )=1,则f (-m )=㊂15.给出下列命题:①函数f (x )=4c o s 2x +π3的一个对称中心为-5π12,0;②若α,β为第一象限角,且α>β,则t a n α>t a n β;③若s i n 2A =s i n 2B ,则әA B C 是等腰三角形;④函数y =s i n 2x 的图像向左平移π4个单位长度,得到y =s i n 2x +π4的图像㊂其中正确命题的序号是(把你认为正确的序号都填上)㊂16.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{b n }的前n 项和为T n ,满足a 1=1,3S n =(n +m )a n (m ɪR ),且a n b n =15㊂若对任意的n ɪN *,都有λ>T n 成立,则实数λ的最小值为㊂三㊁解答题17.已知әA B C 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b s i n A =a c o s B -π6㊂(1)求角B 的大小;(2)若a ,b ,c 依次成等比数列,求1t a n A+1t a n C的值㊂18.已知әA B C 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a =2,b =5,B =π4㊂(1)求c ;(2)若点D 在边A B 上,且әA D C 的面积为1,求C D 的长㊂19.S n 为等比数列{a n }的前n 项和,已知a 4=9,S 3=13,且公比q >0㊂(1)求a n 及S n ;(2)是否存在常数λ,使得数列{S n +λ}是等比数列若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由㊂20.记数列{a n }的前n 项和为S n ,且2n ,a n ,2S n -a n 成等差数列(n ɪN *)㊂(1)证明:数列{a n +1}是等比数列,并求{a n }的通项公式;(2)记b n =a n +1a n a n +1,数列{b n }的前n 项和为T n ,求T n ㊂21.数列{a n }满足a 1+2a 2+3a 3+ +n a n =(n -1)㊃2n +1+2(n ȡ1)㊂(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2n +1a n,S n 为数列{b n }的前n 项和,求S n ㊂22.在әA B C 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知向量m =(a ,c ),n =(c o s C ,c o s A ),且满足m ㊃n =2b c o s A ㊂(1)求A ;(2)若a =3,当c o s 2B -4c o s A s i n B 取最小值时,求әA B C 的周长;(3)求s i n B s i n C 的取值范围㊂23.已知f (x )=x 2-3x ,数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =f (n )㊂(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足b n =a n4ˑ3n,数列{b n }的前n 项和为T n ,且对于任意的n ɪN *,总存在x ɪ[2,4],使得T n >m f (x )成立,求实数m 的取值范围㊂24.已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且对任意的n ɪN *,都有a n +1-a n =2(b n +1-b n )成立㊂(1)若A n =n 2,b 1=2,求B n ;(2)若对任意的n ɪN *,都有a n =B n 及b 2a 1a 2+b 3a 2a 3+b 4a 3a 4+ +b n +1a n a n +1<13成立,求正实数b 1的取值范围㊂(责任编辑 王福华)34演练篇 核心考点A B 卷 高考数学 2022年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
2021年高考数学三轮冲刺 数列课时提升训练(2)
2021年高考数学三轮冲刺数列课时提升训练（2）1、已知各项均不为零的数列{an}，定义向量。
下列命题中真命题是（）A．若n∈N*总有∥成立，则数列{an }是等差数列 B．若n∈N*总有∥成立，则数列{an}是等比数列C．若n∈N*总有⊥成立，则数列{an }是等差数列 D．若n∈N*总有⊥成立，则数列{an}是等比数列2、设实数成等差数列，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.3、已知等比数列{}中，各项都是正数，且a1, a3，2a2成等差数列，则＝（）A．1－ B．1＋ C．2 D．－14、已知数列满足：且，是数列的前项和。
则满足的正整数对的个数为（）个A． B． C． D．5、已知是等比数列，，＝，则( )A. B.C. D.6、已知等比数列的各项均为正数，公比≠1，设＝，＝，则与的大小关系是( )A.≥ B.＜ C.≤ D.＞7、若数列{a n}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有a n+T=a n成立，则称数列{a n}为周期数列，周期为T．已知数列{a n}满足a1=m（m＞0），则下列结论中错误的是（）A．若a3=4，则m可以取3个不同的值B．若，则数列{a n}是周期为3的数列C．∀T∈N*且T≥2，存在m＞1，使得{a n}是周期为T的数列D．∃m∈Q且m≥2，使得数列{a n}是周期数列8、设f（x）是定义在R上恒不为0的函数，对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a1=，a n=f（n）（n为常数），则数列{a n}的前n项和S n的取值范围是（）A．[，2）B．[，2] C．[，1] D．[，1）9、在数列{a n}中，若a n2﹣a n﹣12=p（n≥2，n∈N*，p为常数），则称{a n}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；①若{a n}是等方差数列，则{a n2}是等差数列；②{（﹣1）n}是等方差数列；③若{a n}是等方差数列，则{a kn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列；④若{a n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．其中正确命题序号为（）A．①②③B．①②④C．①②③④D．②③④10、已知数列：，依它的前10项的规律，这个数列的第xx项a xx满足（）A．B．C．1≤a xx≤10D．a xx＞1011、若数列的前n项和为，则下列命题：（1）若数列是递增数列，则数列也是递增数列；（2）数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数；（3）若是等差数列（公差），则的充要条件是（4）若是等比数列，则的充要条件是其中，正确命题的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个12、设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D且x1+x2=2a，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究并利用函数f（x）=x3﹣3x2﹣sin（πx）的对称中心，可得=（）A．4023 B．﹣4023 C．8046 D．﹣804613、等差数列{a n}的公差d∈（0，1），且，当n=10时，数列{a n}的前n项和S n取得最小值，则首项a1的取值范围为（）A．B．[] C．[﹣] D．14、定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（）A．①②B．③④C．①③D．②④15、在数列{a n}中，，其中θ为方程的解，则这个数列的前n项和S n为（）A．B．C．D．16、数列{a n}中，a1=3，a n﹣a n a n+1=1（n=1，2，…），A n表示数列{a n}的前n项之积，则A xx=（）A．﹣B．C．3 D．﹣117、已知等比数列{a n}满足a n＞0，n=1，2，…，且a5•a2n﹣5=22n（n≥3），则当n≥1时，log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=（）A．（n﹣1）2B．n2C．（n+1）2D．n2﹣118、已知数列的前项和为，若点在函数的图像上，则的通项公式是（）A、 B、 C、 D、19、等差数列的公差且，则数列的前项和取得最大值时的项数是( )A．5 B．6 C．5或6 D．6或720、数列的前xx项的和为A. B. C. D.21、设等差数列｛｝{ }的前n 项和为，，若，则 =A. B. C. D.22、在等差数列，则的值等于A. -xxB.xxC.xxD. -xx23、设数列的前项和为，，，若，则的值为（）A．1007 B．1006 C．xx D．xx24、已知数列的通项公式为(n)，现将该数列的各项排列成如图的三角数阵：记表示该数阵中第a行的第b个数，则数阵中的数xx对应于（）第1行 1第2行 3 5第3行 7 9 11第4行 13 15 17 19…………………………………A. B. C. D.25、公差不为0的等差数列中, ,数列是等比数列，且,则（） A．4 B．8 C．16 D．3626、已知函数的定义域为R，当时，，且对任意的实数，，等式恒成立.若数列{}满足，且=，则的值为（）A.4016B.4017C.4018D.401927、已知数列{}满足，且，且则数列{}的通项公式为（）A. B. C. D.28、实数满足且，由、、、按一定顺序构成的数列（）A.可能是等差数列，也可能是等比数列；B. 可能是等差数列，但不可能是等比数列；C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列；D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列；29、等差数列中有两项和满足（其中，且），则该数列前项之和是（）A．B．C．D．30、若实数列的前n项和为，则下列命题：（1）若数列是递增数列，则数列也是递增数列；（2）数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数；（3）若（）是等比数列，则的充要条件是其中，正确命题的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个31、（理科做）已知数列的前项和为，，，则的值为A． B． C． D．32、已知等比数列的前10项的积为32，则以下说法中正确的个数是（）①数列的各项均为正数；②数列中必有小于的项；③数列的公比必是正数；④数列中的首项和公比中必有一个大于1．A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个33、已知曲线及两点和，其中.过，分别作轴的垂线，交曲线于，两点，直线与轴交于点，那么（A）成等差数列（B）成等比数列（C）成等差数列（D）成等比数列34、已知数列的通项公式为，那么满足的整数（A）有3个（B）有2个（C）有1个（D）不存在35、设，且则( )A． B． C． D．36、已知等差数列的公差，且成等比数列，则（）A、 B、 C、 D、37、已知等差数列的公差和等比数列的公比都是，且，，，则和的值分别为( )A． B．C． D．38、已知数列的前项和为，且，()数列满足，则数列的前项和为A. B. C. D.39、过圆内一点（5,3）,有一组弦的长度组成等差数列，最小弦长为该数列的首项，最大弦长为数列的末项，则的值是（）A、10 B、 18 C、45 D、5440、已知、都是定义在R上的函数，≠0，，且,（a>0，且a≠1），若数列的前n项和大于62，则n的最小值为A．6 B．7 C．8 D．91、A2、D3、B4、B5、C 解析：由＝知＝，而新的数列仍为等比数列，且公比为＝.又＝4×2＝8，故(1－)．6、D 解析：＝＝，＝.∵，∴，∴＞.又∵在(0，＋∞)上单调递减，∴＜，即.故选D.7、解：对于选项A，因为，所以，因为a3=4，所以a2=5或，又因为，a1=m，所以m=6或m=或m=，所以选项A正确；对于选项B，＞1，所以；所以，所以，所以数列{a n}是周期为3的数列，所以选项B正确；对于选项C，当B可知当＞1时，数列{a n}是周期为3的周期数列，所以C正确．故错误的是D．故选D．8、解析：f（2）=f2（1），f（3）=f（1）f（2）=f3（1），f（4）=f（1）f（3）=f4（1），a1=f（1）=，∴f（n）=（）n，∴S n==1﹣∈[，1）．答案：D9、解：①∵{a n}是等方差数列，∴a n2﹣a n﹣12=p（p为常数）得到{a n2}为首项是a12，公差为p的等差数列；∴{a n2}是等差数列；②数列{（﹣1）n}中，a n2﹣a n﹣12=[（﹣1）n]2﹣[（﹣1）n﹣1]2=0，∴{（﹣1）n}是等方差数列；故②正确；③数列{a n}中的项列举出来是，a1，a2，…，a k，…，a2k，…数列{a kn}中的项列举出来是，a k，a2k，…，a3k，…，∵（a k+12﹣a k2）=（a k+22﹣a k+12）=（a k+32﹣a k+22）=…=（a2k2﹣a2k﹣12）=p∴（a k+12﹣a k2）+（a k+22﹣a k+12）+（a k+32﹣a k+22）+…+（a2k2﹣a2k﹣12）=kp∴（a kn+12﹣a kn2）=kp∴{a kn}（k∈N*，k为常数）是等方差数列；故③正确；10、：数列可看成，，，以此类推，第N大项为等此时有1+2+3+4+…+N=，当N=62时，共有1953项当N=63时，共有xx项故a xx=，故选B．11、B12、解：由题意可知要求的值，易知，所以函数（x）=x3﹣3x2﹣sin（πx）图象的对称中心的坐标为（1，﹣2），即x1+x2=2时，总有f（x1）+f（x2）=﹣4∴+f（）+…+f（）+f（）=﹣4×4023∴=﹣8046故选D．13、解：sin（a2+a6）=sin2a4于是cos2a6﹣cos2a2=﹣2sin2a4﹣2sin（a6+a2）sin（a6﹣a2）=﹣2sin2a4．sin4d=1，0＜d＜1．于是d=．因为数列{a n}的前10项和S10取得最小值，于是a10≤0且a11≥0a1+9d≤0，且a1+10d≥0得．故选C．14、解：由等比数列性质知，①=f2（a n+1），故正确；②≠=f2（a n+1），故不正确；③==f2（a n+1），故正确；④f（a n）f（a n+2）=ln|a n|ln|a n+2|≠=f2（a n+1），故不正确；故选C15、解：∵，∴，∴2sin（2θ﹣）=2，∴2θ﹣=2kπ+，k∈Z，解得，k∈Z．∴===﹣，∴数列{a n}是首项为，公比为q=的等比数列，∴这个数列的前n项和S n==﹣．16、解：a1=3，3﹣3a2=1，a2=，﹣a3=1，a3=﹣，﹣﹣（﹣）a4=1，a4=3，∴a4=a1，a5=a2，a6=a3，下标之差为3的倍数，以此类推，a xx=a1=3=668A xx=[3××（﹣）]668×3=3．17、解：∵a5•a2n﹣5=22n=a n2，a n＞0，∴a n=2n，∴log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=log2（a1a3…a2n﹣1）=log221+3+…+（2n﹣1）=log2=n2．故选B．18、B19、C 20、C 21、B 22、B 23、A 24、C25、D 26、D27、B 28、【答案】B【解析】（1）若a＞b＞0，则有＞＞＞，若能构成等差数列，则，即此时无法构成等差数列；若能构成等比数列，则，即此时无法构成等比数列。
人教版高三数学第二学期数列多选题单元专题强化试卷学能测试试题
人教版高三数学第二学期数列多选题单元专题强化试卷学能测试试题一、数列多选题1．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（ ） A ．12n k += B ．133n n a a +=- C ．()2332n a n n =+D ．()133234n n S n +=+- 【答案】ABD 【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可. 【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k = 第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k = 第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时 7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k = 第n 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2 此时21n k =-所以12n k +=，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得： 123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩123333(*)n n a n N ⇒=++++∈用等比数列求和可得()33132n n a -=+则 ()121331333322n n n a+++--=+=+23322n +=+ 又 ()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+ 所以 133n n a a +=-，故B 项正确；由B 项分析可知()()331333122n nn a -=+=+即()2332n a n n ≠+，故C 项错误. 123n n S a a a a =++++23133332222n n +⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭()231331322nn --=+ 2339424n n +=+-()133234n n +=+-，故D 项正确. 故选：ABD. 【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.2．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数()2k k ≥，使得对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是“间隔递增数列”，k 是{}n a 的“间隔数”，下列说法正确的是（ ） A ．公比大于1的等比数列一定是“间隔递增数列” B ．若()21nn a n =+-，则{}n a 是“间隔递增数列”C ．若(),2n ra n r r n*=+∈≥N ，则{}n a 是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为r D ．已知22021n a n tn =++，若{}n a 是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为3，则54t -<≤-【答案】BCD 【分析】利用新定义，逐项验证是否存在正整数()2k k ≥，使得0n k n a a +->，即可判断正误. 【详解】选项A 中，设等比数列{}n a 的公比是()1q q >，则()1111111n k n n n k k n a a a a q q q a q +---+=-=--，其中1k q >，即()110n k q q -->，若10a <，则0n k n a a +-<，即n k n a a +<，不符合定义，故A 错误；选项B 中，()()()()()21212111n kn n k n k n a a n k n k ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤++--+-=+---⎣⎦-=⎣⎦⎣⎦，当n 是奇数时，()211kn k n a a k +=---+，则存在1k时，0n k n a a +->成立，即对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义；当n 是偶数时，()211kn k n a a k +-=+--，则存在2k ≥时，0n k n a a +->成立，即对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义.综上，存在2k ≥时，对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义，故B 正确；选项C 中，()()1n k n r r kr r a a n k n k k n k n n k n n k n +⎡⎤-⎛⎫⎛⎫++-+=+=-⎢⎥ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎢⎣-⎦=⎥()2n kn r k n k n +-=⋅+，令2()f n n kn r =+-，开口向上，对称轴02k -<，故2()f n n kn r =+-在n *∈N 时单调递增，令最小值(1)10f k r =+->，得1k r >-，又k *∈N ，2k ≥，,2r r *∈≥N ，故存在k r ≥时，0n k n a a +->成立，即对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义，“间隔数”的最小值为r ，故C 正确；选项D 中，因为22021n a n tn =++，是“间隔递增数列”，则()()()2222021202012n k n a a n k t n k kn k t n n k t +⎡⎤-=-=++>⎣++++⎦++，即20k n t ++>，对任意n *∈N 成立，设()2g n k n t =++，显然在n *∈N 上()g n 递增，故要使()20g n k n t =++>，只需(1)20g k t =++>成立，即2t k --<. 又“间隔数”的最小值为3，故存在3k ≥，使2t k --<成立，且存在k 2≤，使2t k --≥成立，故23t --<且22t --≥，故54t -<≤-，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题的解题关键在于读懂题中“间隔递增数列”的定义，判断是否存在正整数()2k k ≥，使0n k n a a +->对于任意的n *∈N 恒成立，逐项突破难点即可.3．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，201920212020S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则下列结论中正确的是（ ） A ．20200a >B ．20210a <C ．2019202020212022a a a a ⋅>⋅D ．2019n =时，n T 取得最大值【答案】ABC 【分析】根据题设条件，得到2021202020212020201920200,0S S a S S a -=<-=>，进而求得201920220a a >->，20192020a a >20212022a a ，再结合“裂项法”求得12121112n n n T d a a a a ++⎫⎛=-⎪⎝⎭，结合0d <，即可求解.设等差数列{}n a 的公差为d ，因为201920212020S S S <<，可得2021202020210S S a -=<，2020201920200S S a -=>，20212019S S -=202120200a a +>，即202020210a a >->，202020210a d a d ->-->，即201920220a a >->， 所以20192020a a >20212022a a ，0d <，即数列{}n a 递减， 且10a >，20a >，…，20200a >，20210a <， 又由12n n n n b a a a ++=，可得1211n n n n b a a a ++==1121112n n n n d a a a a +++⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则122323341121211111111122n n n n n T d a a a a a a a a a a a a d a a +++⎛⎫⎛=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪⎝⎝⎭121n n a a ++⎫⎪⎭，由0d <，要使n T 取最大值，则121211n n a a a a ++⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最小值， 显然1210n n a a ++>，而23a a >34201920202021202220222023a a a a a a a a >⋅⋅⋅>><<⋅⋅⋅， 所以当2020n =时，121211n n a a a a ++⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最小值. 综上可得，正确的选项为ABC. 故选：ABC. 【点睛】本题主要考查了数列的综合应用，其中解答中熟练应用通项n a 和n S 的关系式，数列的“裂项法”求和，以及数列的单调性进行求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.4．设n S 是公差为()d d ≠0的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（ ） A ．若0d <，则数列{}n S 有最大项 B ．若数列{}n S 有最大项，则0d <C ．若对任意*n N ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列D ．若数列{}n S 是递增数列，则对任意*n N ∈，均有0n S > 【答案】ABC 【分析】由等差数列的求和公式可得()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，可看作关于n 的二次函数，由二次函数的性质逐个选项验证可得.由等差数列的求和公式可得()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， 选项A ，若0d <，由二次函数的性质可得数列{}n S 有最大项，故正确； 选项B ，若数列{}n S 有最大项，则对应抛物线开口向下，则有0d <，故正确； 选项C ，若对任意*n ∈N ，均有0n S >，对应抛物线开口向上，0d >， 可得数列{}n S 是递增数列，故正确；选项D ，若数列{}n S 是递增数列，则对应抛物线开口向上， 但不一定有任意*n ∈N ，均有0n S >，故错误. 故选：ABC . 【点睛】本题考查等差数列的求和公式的应用，()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭可看成是二次函数，然后利用二次函数的性质解决问题，考查分析和转化能力，属于常考题.5．某集团公司有一下属企业A 从事一种高科技产品的生产.A 企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A 企业从第一年开始，每年年底上缴资金t 万元（800t <），并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底A 企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元.则（ ） A ．22800a t =- B ．175n n a a t +=- C ．1n n a a +> D ．当400t =时，33800a >【答案】BC 【分析】先求得第一年年底剩余资金1a ，第二年底剩余资金2a ，即可判断A 的正误；分析总结，可得1n a +与n a 的关系，即可判断B 的正误；根据题意，求得n a 的表达式，利用作差法即可比较1n a +与n a 的大小，即可判断C 的正误，代入400t =，即可求得3a ，即可判断D 的正误，即可得答案. 【详解】第一年年底剩余资金12000(140%)2800a t t =⨯+-=-， 第二年底剩余资金211712(140%)392055a a t a t t =⨯+-=-=-，故A 错误； 第三年底剩余资金3227109(140%)5488525t a a t a t =⨯+-=-=-，⋅⋅⋅所以第n +1年年底剩余资金为17(140%)5n n n a a t a t +=⨯+-=-，故B 正确； 因为212277777()()55555n n n n a a t a t t a t t ---=-=--=--12217777()[1()()]5555n n a t --=-+++⋅⋅⋅+117[1()]75()(2800)7515n n t t ---=---=11757()(2800)[()1]525n n t t -----=1775()(2800)522n t t --+， 所以111722775277[()(2800)]()(2800)555522552n n n n n n n t t ta a a t a a t t --+-=--=-=-+-=-，因为800t <，所以7280002t->， 所以11277()(2800)0552n n n ta a -+-=->，即1n n a a +>，故C 正确； 当400t =时，310910940054885488374438002525t a ⨯=-=-=<，故D 错误； 故选：BC 【点睛】解题的关键是根据123,,a a a ，总结出n a ，并利用求和公式，求得n a 的表达式，综合性较强，考查计算化简的能力，属中档题.6．（多选）在递增的等比数列{}n a 中，已知公比为q ，n S 是其前n 项和，若1432a a =，2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）A ．1q =B ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列【答案】BC 【分析】 计算可得2q，故选项A 错误；8510S =，122n n S ++=，所以数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确；lg lg 2n a n =⋅，所以数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误.【详解】∵142332,12,a a a a =⎧⎨+=⎩∴23142332,12,a a a a a a ==⎧⎨+=⎩ 解得234,8a a =⎧⎨=⎩或238,4a a =⎧⎨=⎩，∵{}n a 为递增数列，∴234,8a a =⎧⎨=⎩∴322a q a ==，212a a q ==，故选项A 错误； ∴2nn a =，()12122212nn nS +⨯-==--，∴9822510S =-=，122n n S ++=，∴数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确； 又lg 2lg 2lg nn n a ==⋅，∴数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：证明数列的性质，常用的方法有：（1）定义法；（2）中项公式法.要根据已知灵活选择方法证明.7．已知数列{}n a 的前n 项和为2n 33S n n =-，则下列说法正确的是（ ）A ．342n a n =-B ．16S 为n S 的最小值C ．1216272a a a +++=D ．1230450a a a +++=【答案】AC 【分析】利用和与项的关系，分1n =和2n ≥分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A; 根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是正值可计算判定C;注意到121617193300()a a a S a a a +++=+----16302S S =-可计算后否定D.【详解】1133132a S ==-=,()()()2213333113422n n n a S S n n n n n n -=-=---+-=-≥,对于1n =也成立，所以342n a n =-，故A 正确；当17n <时，0n a >,当n=17时n a 0=,当17n >时，n a 0<,n S ∴只有最大值，没有最小值，故B 错误；因为当17n <时，0n a >,∴21216163316161716272a a a S +++==⨯-=⨯=，故C 正确；121617193300()a a a S a a a +++=+----2163022272(333030S S =-=⨯-⨯-）54490454=-=， 故D 错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查数列的和与项的关系，数列的和的最值性质，绝对值数列的求和问题，属小综合题.和与项的关系()()1112n nn S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩,若数列{}n a 的前 k 项为正值，往后都是小于等于零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-，若数列{}n a 的前 k 项为负值，往后都是大于或等于零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-+.若数列的前面一些项是非负，后面的项为负值，则前n 项和只有最大值，没有最小值，若数列的前面一些项是非正，后面的项为正值，则前n 项和只有最小值，没有最大值.8．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <. 【答案】ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <， 所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >，所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.9．已知数列{}n a ，下列结论正确的有（ ） A ．若12a ＝，11n n a a n +++＝，则20211a ＝.B ．若11132n n a a a ++＝，＝，则71457a =C ．若12nn S =3+，则数列{}n a 是等比数列 D ．若11212n n n a a a a ++＝，＝()*n N ∈，则15215a ＝ 【答案】AB 【分析】直接利用叠加法可判断选项A ，从而判断，利用构造新数列可求出B,D 中数列的通项公式，可判断，选项C 求出数列的前3项从而可判断. 【详解】选项A. 由11n n a a n +=++，即11n n a a n +-=+ 则()()()()19191818120207121a a a a a a a a a a =-+-+-++-+20191822211=+++++=故A 正确.选项B. 由132n n a a +=+，得()1311n n a a +=++，所以数列{}1n a +是以112a +=为首项，3为公比的等比数列.则1123n n a -+=⨯，即1231n n a -=⨯-，所以672311457a =⨯-=，故B 正确.选项C. 由12nn S =3+，可得当1n =时，11722a =+=3 当2n =时，得2211193622a S S ⎛⎫⎛⎫=-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3n =时，得332112791822a S S ⎛⎫⎛⎫=-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 显然2213a a a ≠，所以数列{}n a 不是等比数列，故C 错误. 选项D. 由122nn n a a a +=+，可得11112n n a a +-= 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，12为公差的等差数列.所以()1111122n n n a +=+-=，则1511826a ==，即1518a =，故D 错误. 故选：AB 【点睛】关键点睛：本题考查利用递推关系求数列的通项公式，解答的关键是掌握求数列通项公式的常见方法，由叠加法可得()()()()19191818120207121a a a a a a a a a a =-+-+-++-+，利用构造新数列()1311n n a a +=++，11112n n a a +-=解决问题，属于中档题.10．（多选）设数列{}n a 是等差数列，公差为d ，n S 是其前n 项和，10a >且69S S =，则（ ） A ．0d > B ．80a =C ．7S 或8S 为n S 的最大值D ．56S S >【答案】BC 【分析】根据69S S =得到80a =，再根据10a >得到0d <，可得数列{}n a 是单调递减的等差数列，所以7S 或8S 为n S 的最大值，根据6560S S a -=>得65S S >，故BC 正确. 【详解】由69S S =得，960S S -=， 即7890a a a ++=，又7982a a a +=，830a ∴=，80a ∴=，∴B 正确；由8170a a d =+=，得17a d =-，又10a >，0d ∴<， ∴数列{}n a 是单调递减的等差数列，()()0,70,9n n a n N n a n N n **⎧>∈≤⎪∴⎨<∈≥⎪⎩， 7S ∴或8S 为n S 的最大值，∴A 错误，C 正确； 6560S S a -=>，65S S ∴>，所以D 错误. 故选：BC ．【点睛】关键点点睛：根据等差中项推出80a =，进而推出0d <是解题关键.。
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数列强化训练二
一、选择题
1.（2008天津）若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =( )
A.12
B.13
C.14
D.15
2.（2008陕西）已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ ） A ．64 B ．100 C ．110 D ．120
3.（2008广东）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =
，420S =，则6S =（ ） A ．16 B ．24 C ．36
D ．48 4.（2008浙江）已知{}n a 是等比数列，
41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =（ ）A.16（n --41） B.6（n --21） C.332（n --41） D.3
32（n --21） 5.（2008四川）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是()
A.(],1-∞-
B.()(),01,-∞+∞
C.[)3,+∞
D.(][),13,-∞-+∞
6.（2008福建)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为( ) A.63 B.64 C.127 D.128
7.（2007重庆）在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．8
8.（2007安徽）等差数列{}n a 的前n 项和为x S 若＝则432,3,1S a a ==（ ）
A ．12
B ．10
C ．8
D ．6
9.（2007辽宁）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ）A ．63 B ．45 C ．36 D ．27
10.(2007湖南) 在等比数列{}n a （n ∈N *）中，若11a =，418
a =，则该数列的前10项
和为（ ）A ．4122- B ．2122- C ．10122- D ．11122
- 11.(2007湖北)已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且
7453n n A n B n +=+，则使得n n
a b 为整数的正整数n 的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
12.(2007宁夏)已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（ ）A ．3 B ．2 C ．1 D ．2-
13.(2007四川)等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n=（ ）
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
14.（2006湖北）若互不相等的实数 成等差数列， 成等比数列，且310a b c ++=，
则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4
15.（2005福建）已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是 （ ）
A ．15
B ．30
C ．31
D ．64
16.（2005江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，则a 3+ a 4+ a 5=( ) A .33 B. 72 C. 84 D .189
二、填空题
17.（2008四川）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4510,15S S ≥≤，则4a 的最大值为______.
18.（2008重庆)设S n =是等差数列{a n }的前n 项和，a 12=-8,S 9=-9,则S 16= .
19.(2007全国I) 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ．
20.（2007江西）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++= ．
,,a b c ,,c a b
21.（2007北京）若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=，，，，则此数列的通项公式为 ；数列{}n na 中数值最小的项是第 项．
22.（2006湖南）数列{}n a 满足：1.2,111===+n a a a n n ，2，3….则=+++n a a a 21 .
三、解答题
23.（2008四川卷）． 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21n
n n ba b S -=- （Ⅰ）证明：当2b =时，{}
12n n a n --⋅是等比数列；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式
24.（2008江西卷）数列{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且113,1a b ==，数列{}n a b 是公比为64的等比数列，2264b S =.
（1）求,n n a b ；（2）求证
1211134
n S S S +++<.
25..（2008湖北）.已知数列{}n a 和{}n b 满足： 1a λ=,124,(1)(321),3
n n n n n a a n b a n +=+-=--+其中λ为实数，n 为正整数. （Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列； （Ⅱ）试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论； （Ⅲ）设0a b <<,n S 为数列{}n b 的前n 项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有n a S b <<?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.
26.（2005北京）数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，113n n a S +=，n =1，2，3，……，求 （I ）a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式； （II ）2462n a a a a ++++的值.
27.（2005福建）已知{n a }是公比为q 的等比数列，且231,,a a a 成等差数列. （Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）设{n b }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比较S n 与b n 的大小，并说明理由.。