第四章 平面问题的有限单元法
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弹性力学平面问题的有限单元法
(c)
深梁（离散化结构）
14
§6.2 有限单元法的概念
例如：将深梁划分为许多三角形单元，这
些单元仅在角点用铰连接起来。
图（c）与图( a）相比，两者都是离散 化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而 图（c）的单元是三角形块体（注意：三角 形单元内部仍是连续体）。
15
§6.2 有限单元法的概念
2.单元分析
f y )T 。
f y )T 。
T
面力: f ( f x 应变:
应力:
位移函数: d (u ( x, y ) , v( x, y )) 。
ε (ε x ε y γxy )T 。 σ (σ x σ y τ xy )T 。
F ( Fix Fiy Fjx Fjy )T 。
T δ ( u v u v ) 。 结点位移列阵: i i j j
5.本章介绍平面问题的FEM 仅叙述按位移求解的方法。 且一般都以平面应力问题来表示。
7
§6.1 基本量和基本方程的矩阵表示
采用矩阵表示,可使公式统一、简洁， 且便于编制程序。 本章无特别指明，均表示为平面应力 问题的公式。
8
§6.1 基本量和基本方程的矩阵表示
基本物理量： 体力: f ( f x
25
§6.3 单元的位移模式与解答的收敛性
1 ~ 6
xi , yi ,及ui , vi ,。
将式（a）按未知数 ui , vi , 归纳为:
u N i ui N j u j N m u m , v N i vi N j v j N m vm。
或用矩阵表示为:
结点力列阵:
9
§6.1 基本量和基本方程的矩阵表示
第4章 平面问题的有限元法-4收敛准则
1 2 3 4 5 6 7 1 3 5 7 9 11 13
8
9 10 11 12 13 14
2
4
6
8 10 12 14
(a)
(b)
图4-13
四. 单元节点i、j、m的次序 在前面章节中，我们曾指出，为了在计算中保证单元的 面积 不会出现负值，节点i、j、m的编号次序必须是逆时 针方向。事实上，节点i、j、m的编号次序是可以任意安排 的，只要在计算刚度矩阵的各元素时，对取绝对值，即可 得到正确的计算结果。在实际计算时，应该注意所选有限元 分析软件的使用要求。 五. 边界条件的处理及整体刚度矩阵的修正 在前面讨论整体刚度矩阵时，已经提到，整体刚度矩阵 的奇异性可以提高考虑边界约束条件来排除弹性体的刚体位 移，以达到求解的目的。
B =2(d+1)
若采取带宽压缩存储，则整体刚度矩阵的存储量N 最 多为N =2nB = 4n(d+1) 其中：d为相邻节点的最大差值，n为节点总数。 例如在图4-13中，(a)与(b)的单元划分相同，且节点 总数都等于14，但两者的节点编号方式却完全不同。(a) 是按长边进行编号， d =7， N =488；而(b)是按短边进行 编号，d =2，N =168。显然(b)的编号方式可比(a)的编号 方式节省280个存储单元。
为了保证解答的收敛性，要求位移模式必须满足以下三 个条件，即 ⑴ 位移模式必须包含单元的刚体位移。也就是说，当 节点位移是由某个刚体位移所引起时，弹性体内将不会产生 应变。所以，位移模式不但要具有描述单元本身形变的能力 ，而且还要具有描述由于其它单元形变而通过节点位移引起 单元刚体位移的能力。 例如，三角形三节点单元位移模式中，常数项1、4 就 是用于提供刚体位移的。 ⑵ 位移模式必须能包含单元的常应变。每个单元的应变 一般都是包含着两个部分：一部分是与该单元中各点的坐标 位置有关的应变（即所谓各点的变应变）；另一部分是与位 置坐标无关的应变（即所谓的常应变）。从物理意义上看，
8
9 10 11 12 13 14
2
4
6
8 10 12 14
(a)
(b)
图4-13
四. 单元节点i、j、m的次序 在前面章节中，我们曾指出，为了在计算中保证单元的 面积 不会出现负值，节点i、j、m的编号次序必须是逆时 针方向。事实上，节点i、j、m的编号次序是可以任意安排 的，只要在计算刚度矩阵的各元素时，对取绝对值，即可 得到正确的计算结果。在实际计算时，应该注意所选有限元 分析软件的使用要求。 五. 边界条件的处理及整体刚度矩阵的修正 在前面讨论整体刚度矩阵时，已经提到，整体刚度矩阵 的奇异性可以提高考虑边界约束条件来排除弹性体的刚体位 移，以达到求解的目的。
B =2(d+1)
若采取带宽压缩存储，则整体刚度矩阵的存储量N 最 多为N =2nB = 4n(d+1) 其中：d为相邻节点的最大差值，n为节点总数。 例如在图4-13中，(a)与(b)的单元划分相同，且节点 总数都等于14，但两者的节点编号方式却完全不同。(a) 是按长边进行编号， d =7， N =488；而(b)是按短边进行 编号，d =2，N =168。显然(b)的编号方式可比(a)的编号 方式节省280个存储单元。
为了保证解答的收敛性，要求位移模式必须满足以下三 个条件，即 ⑴ 位移模式必须包含单元的刚体位移。也就是说，当 节点位移是由某个刚体位移所引起时，弹性体内将不会产生 应变。所以，位移模式不但要具有描述单元本身形变的能力 ，而且还要具有描述由于其它单元形变而通过节点位移引起 单元刚体位移的能力。 例如，三角形三节点单元位移模式中，常数项1、4 就 是用于提供刚体位移的。 ⑵ 位移模式必须能包含单元的常应变。每个单元的应变 一般都是包含着两个部分：一部分是与该单元中各点的坐标 位置有关的应变（即所谓各点的变应变）；另一部分是与位 置坐标无关的应变（即所谓的常应变）。从物理意义上看，
有限元讲义弹性力学平面问题有限单元法(四结点四边形等参元,八结点曲线四边形等参元,问题补充)分析
2.6 四结点四边形单元(The four-node quadrilateral element)前面介绍了四结点的矩形单元其位移函数:xy y x U 4321αααα+++=xy y x V8765αααα+++=为双线性函数，应力，应变在单元内呈线性变化，比常应力三角形单元精度高。
但它对边界要求严格。
本节介绍的四结点四边形等参元，它不但具有较高的精度，而且其网格划分也不受边界的影响。
对任意四边形单元（图见下面）若仍直接采用前面矩形单元的位移函数，在边界上它便不再是线性的（因边界不与x,y 轴一致），这样会使得相邻两单元在公共边界上的位移可能会出现不连续现象（非协调元），而使收敛性受到影响。
可以验证，利用坐标变换就能解决这个问题，即可以通过坐标变换将整体坐标中的四边形（图a ）变换成在局部坐标系中与四边形方向无关的边长为2的正方形。
正方形四个结点i,j,m,p 按反时钟顺序对应四边形的四个结点i j m p 。
正方形的 1-=η 和 1=η 二条边界，分别对应四边形的i ，j 边界和p,m 边界；ξ=-1和ξ=+1分别对应四边形的i ，p 边界和j ，m 边界。
如果用二组直线等分四边形的四个边界线段，使四边形绘成一个非正交网格，那么该非正交网格在正方形上对应着一个等距离的规则网格（见图a, b ）。
当然, 局部坐标上的A 点与整体坐标的A 点对应。
一、四结点四边形等参单元的形函数及坐标变换由于可以将整体坐标下的四边形单元变换成局部坐标下的正方形单元，对于这种正方形单元，自然仍取形函数为： ξηαηαξαα2321+++=U ξηαηαξαα8765+++=V引入边界条件，即可得位移函数：∑=ijmpi i U N Ui ijmpi V N V ∑==写成矩阵形式：{}{}[]{}ee p i p i ed N d N N N N V U f =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=000 式中形函数: ()()()ηηξξηξi i i N ++=1141, ()p m j i ,,, 按照等参元的定义,我们将坐标变换式亦取为: p p m m j j i i i ijmpi x N x N x N x N x N x +++==∑p p m m j j i i i ijmpi y N y N y N y N y N y +++==∑ ()162-- 式中形函数N 与位移函数中的完全一致。
平面单元的有限元法
u
1
5
3
2
y
2x
3
5
2
y
则单元刚体位移为
v
4
5
2
3
x
6
y
3
2
5
u
1
5
3
2
y
v
4
5
2
3
x
记为
u v
1 4
0 y 0x
显然，位移函数包含 了单元的刚体位移 （平动和转动）
u v
j j
um
vm
[I]是单位矩阵，
[N]称为形函数矩阵，
Ni只与单元节点坐标有关，称为 单元的形状函数
4-2 平面问题的常应变(三角形)单元
据弹性力学几何方程得单元的应变分量
u
x y
xy
x
4-1 有限单元法的计算步骤
弹性力学平面问题的有限单元法包括五个主要步骤： 1、所分析问题的数学建模 2、离散化 3、单元分
析 4、整体分析与求解 5、结果分析
图 3-1
4-2 平面问题的常应变(三角形)单元
有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合 体来代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为 由有限个单元组成的离散体。对于平面问题，最简 单，因而最常用的单元是三角形单元。因平面问题 的变形主要为平面变形，故平面上所有的节点都可 视为平面铰，即每个节点有两个自由度。单元与单 元在节点处用铰相连，作用在连续体荷载也移置到 节点上，成为节点荷载。如节点位移或其某一分量 可以不计之处，就在该节点上安置一个铰支座或相 应的连杆支座。如图3-1
第4章 平面问题有限单元法2ppt课件
vm
m (xm , ym)
y
ox
um
vi
i (xi , yi)
e
vj
uj
ui
j (xj , yj)
Fmy m (xm , ym)
Fiy
i (xi , yi)
e Fix
y
ox
Fmx
Fjy
Fjx j (xj , yj)
单元节点位移
单元等效节点力
ui
e
i j
m
vi
u v
j j
KeeFe0
精品课件
12
一、 单元刚度矩阵的物理意义及其性质
已经求出了下列关系
Fe (6) BTtA
(6╳3)
(3)
D (3)
(3╳3)
e
B
(3╳6)
S [ D][ B]
(3╳6)
Ke [ B]T[ D][ B]tA
(6╳6)
精品课件
13
一、 单元刚度矩阵的物理意义及其性质
节点力和节点位移的关系：(以简单平面桁架为例)
vm
该单元为常应变单元
精品课件
{}[B]{}e
[B]矩阵称为应变矩阵
8
单元分析流程
（3）应变
应力
解决办法：弹性力学物理方程 D
代入 {}[B]{}e
回顾
得 DBe
SDB
[S]矩阵称为应力矩阵。
精品课件
{}[S]{}e
9
例：对于平面应力问题
B21Abc0ii
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
一、 单元刚度矩阵的物理意义及其性质
单元刚度矩阵的性质：
1)对称性： K e 是对称矩阵 2)奇异性： K e 是奇异矩阵 Ke 0
平面问题有限单元法教程共82页
平面问题有限单元法教程
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
Байду номын сангаас 谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
有限元分析第四章
19
4）形函数的性质
形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具 有以下性质： 性质1 形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点 上的值等于0。对于本单元，有
20
Ni ( xi , yi ) 1 Ni ( x j , y j ) 0 Ni ( xm , ym ) 0
（i、j、m）
利用 N i 1 (ai bi x ci y )和ai、bi、ci公式证明 2A
对于一个具体问题进行分析，不管采用什么样的单元， 分析过程与思路是一样的，所不同的只是各种单元的位移模 式和单元刚度矩阵不一样，其他的包括整体刚度矩阵的组装 过程都完全一样，所以我们仅仅对矩形单元位移模式的求取 和单元刚度矩阵的求解加以介绍。
4.7 收敛准则
可以证明，对于一个给定的位移模式，其刚度系统的数 值要比精确值大。所以，在给定载荷的作用下，有限元计算 模型的变形要比实际结构的变形小。因而，当单元网格分得 越来越细时，位移的近似解将由下方收敛于精确解，即得到 真实解的下界。 为了保证解答的收敛性，要求选取的位移模式必须满足 以下三个条件： 1）位移模式必须包含单元的刚体位移 也就是说，当节点位移是某个刚体位移所引起时，弹 性体内将不会产生应变。所以位移模式不但要具有描述单元 本身形变的能力，而且还要具有描述由其他变形而通过节点 位移引起单元刚体位移的能力。例如，三角形三节点位移模 式中，常数项就是用于提供刚体位移的。
Ni(x、y)
1 i(xi，yi) x xi
x xi N i ( x, y ) 1 x j xi
N m ( x, y ) 0
证
N
y j (xj，yj)
m (xm，ym)
xj
x
N i ( x, y )
有限元方法课件 第四章 平面三角形单元
第四章 平面三角形单元
第四章 平面三角形单元
§4–1 有限元法的基本思想 §4–2 三角形常应变单元 §4–3 形函数的性质 §4–4 刚度矩阵 §4–5 等效节点力载荷列阵 §4–6 有限元分析的实施步骤 §4–7 计算实例
§4-1 有限元法的基本思想
一、有限元法的基本思想 假想的把一连续体分割成数目有限的小体（单元），
vi (Vi )
i ui (Ui )
m
um (Um )
o
x
图4-2 平面三角形单元
将 (d) 式代入 (b) 式的第一式，经整理后得到
u 1 2ai源自bi x ci yuiaj
bjx cj y
uj
am bm x cm yum
(e)
其中 同理可得
ai
xj xm
yj ym
x j ym xm y j
这样，位移模式 (e) 和 (f) 就可以写为
u Ni ui N j u j N mum v Nivi N jv j Nmvm
(4-11)
也可写成矩阵形式
f
u v
Ni I
NjI
NmI e N e
(4-12)
式中 I是二阶单位矩阵；Ni 、Nj 、Nm 是坐标的函数， 它们反映了单元的位移状态，所以一般称之为形状函数，简 称形函数。矩阵 [N] 叫做形函数矩阵。三节点三角形单元的 形函数是坐标的线性函数。单元中任一条直线发生位移后仍 为一条直线，即只要两单元在公共节点处保持位移相等。则 公共边线变形后仍为密合。
f N e
（4-1）
f ——单元内任一点的位移列阵； e——单元的结点位移列阵；
N ——单元的形函数矩阵；（它的元素是任一点位置坐
第四章 平面三角形单元
§4–1 有限元法的基本思想 §4–2 三角形常应变单元 §4–3 形函数的性质 §4–4 刚度矩阵 §4–5 等效节点力载荷列阵 §4–6 有限元分析的实施步骤 §4–7 计算实例
§4-1 有限元法的基本思想
一、有限元法的基本思想 假想的把一连续体分割成数目有限的小体（单元），
vi (Vi )
i ui (Ui )
m
um (Um )
o
x
图4-2 平面三角形单元
将 (d) 式代入 (b) 式的第一式，经整理后得到
u 1 2ai源自bi x ci yuiaj
bjx cj y
uj
am bm x cm yum
(e)
其中 同理可得
ai
xj xm
yj ym
x j ym xm y j
这样，位移模式 (e) 和 (f) 就可以写为
u Ni ui N j u j N mum v Nivi N jv j Nmvm
(4-11)
也可写成矩阵形式
f
u v
Ni I
NjI
NmI e N e
(4-12)
式中 I是二阶单位矩阵；Ni 、Nj 、Nm 是坐标的函数， 它们反映了单元的位移状态，所以一般称之为形状函数，简 称形函数。矩阵 [N] 叫做形函数矩阵。三节点三角形单元的 形函数是坐标的线性函数。单元中任一条直线发生位移后仍 为一条直线，即只要两单元在公共节点处保持位移相等。则 公共边线变形后仍为密合。
f N e
（4-1）
f ——单元内任一点的位移列阵； e——单元的结点位移列阵；
N ——单元的形函数矩阵；（它的元素是任一点位置坐
第4章 平面问题的有限元法-1离散化
e
T i
T j
T T m
u
i
vi
T
uj
vj
um
vm
T
(4-7)
其中的子矩阵
i ui
vi
（i，j，m 轮换） (a)
式中 ui、vi 是节点i在x轴和y轴方向的位移。
在有限单元法中，虽然是用离散化模型来代替原来 的连续体，但每一个单元体仍是一个弹性体，所以在其 内部依然是符合弹性力学基本假设的，弹性力学的基本 方程在每个单元内部同样适用。 从弹性力学平面问题的解析解法中可知，如果弹性 体内的位移分量函数已知，则应变分量和应力分量也就 确定了。但是，如果只知道弹性体中某几个点的位移分 量的值，那么就不能直接求得应变分量和应力分量。因 此，在进行有限元分析时，必须先假定一个位移模式。 由于在弹性体内，各点的位移变化情况非常复杂，很难 在整个弹性体内选取一个恰当的位移函数来表示位移的 复杂变化，但是如果将整个区域分割成许多小单元，那 么在每个单元的局部范围内就可以采用比较简单的函数 来近似地表示单元的真实位移，将各单元的位移式连接
结构离散化后，要用单元内节点的位移通过插值(?)来 获得单元内各点的位移。在有限元法中，通常都是假定 单元的位移模式是多项式，一般来说，单元位移多项式 的项数应与单元的自由度数相等。它的阶数至少包含常 数项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单元 的类型而定。 （4-1） f N e
(c)
由(c)式左边的三个方程可以求得
1
1 uj 2 um ui xi xj xm 1 y j ,2 1 uj 2 ym 1 um yi 1 ui 1 y j , 1 1 xj 2 ym 1 xm yi 1 xi ui uj um
平面问题有限单元法
u i 1 xi u j 1 x j u 1 x m m y i a1 yj a 2 ym a3
[T]* [T] T
1
令
1 xi 1 x j 1 x m
yi yj T ym
vm
o
x
m (xm , ym)
6个方程
6个系数
um
e
vi i (xi , yi) ui
vj j (xj , yj) uj
二、平面问题三角形单元分析
矩阵表达和运算
ui a1 a2 xi a3 yi u j a1 a2 x j a3 y j um a1 a2 xm a3 ym
单元的划分原则
根据误差分析，应力及位移的误差都和单元的最小内角 正弦成反比，所以单元的边长力求接近相等。即单元的三 （四）条边长尽量不要悬殊太大。
4.节点的编号
应尽量使同一单元的节点编号相差小些，以减少整体 刚度矩阵的半带宽，节约计算机存储。
上图，节点顺短边编号为好。
二、平面问题三角形单元分析
ci x j xm 0
b j ym yi 0
a j xm yi xi ym 0
c j xm xi a
m i
j
am xi y j x j yi a 2 bm yi y j a
cm xi x j a
a2 由三角形的面积 A 2 1 1 x Ni (ai bi x ci y ) 2 (0 ax 0) 2A a a
建立三角形单元节点力与单元节点位移之间的关系 单元分析的目的： 弹性力学基本理论 (基本变量，基本方程，边界条件) 单元分析的理论基础：
[T]* [T] T
1
令
1 xi 1 x j 1 x m
yi yj T ym
vm
o
x
m (xm , ym)
6个方程
6个系数
um
e
vi i (xi , yi) ui
vj j (xj , yj) uj
二、平面问题三角形单元分析
矩阵表达和运算
ui a1 a2 xi a3 yi u j a1 a2 x j a3 y j um a1 a2 xm a3 ym
单元的划分原则
根据误差分析，应力及位移的误差都和单元的最小内角 正弦成反比，所以单元的边长力求接近相等。即单元的三 （四）条边长尽量不要悬殊太大。
4.节点的编号
应尽量使同一单元的节点编号相差小些，以减少整体 刚度矩阵的半带宽，节约计算机存储。
上图，节点顺短边编号为好。
二、平面问题三角形单元分析
ci x j xm 0
b j ym yi 0
a j xm yi xi ym 0
c j xm xi a
m i
j
am xi y j x j yi a 2 bm yi y j a
cm xi x j a
a2 由三角形的面积 A 2 1 1 x Ni (ai bi x ci y ) 2 (0 ax 0) 2A a a
建立三角形单元节点力与单元节点位移之间的关系 单元分析的目的： 弹性力学基本理论 (基本变量，基本方程，边界条件) 单元分析的理论基础：
第4章 平面问题的有限元法-3刚度矩阵
二、整体刚度矩阵
讨论了单元的力学特性之后，就可转入结构的整体分析
。假设弹性体被划分为N个单元和n个节点，对每个单元 按前述方法进行分析计算，便可得到N组形如（4-25）
式的方程。将这些方程集合起来，就可得到表征整个弹 性体的平衡关系式。
1
i
j
m
n
1
外力在虚位移上所做的虚功
V
F1
* 1
F2
* 2
F3
* 3
* T
F
单位体积内的虚应变能
x
* x
y
* y
z
* z
xy
* xy
yz
* yz
zx
* zx
*
T
整个物体的的虚应变能
U * T dxdydz
e
ui
vi
u j
v j
um
T
vm
且假设单元内各点的虚位移为{f *}，并具有与真实位移
相同的位移模式。
故有
f N e
(c)
参照（4-13）式，单元内的虚应变{ *}为
B e
(d)
于是，作用在单元体上的外力在虚位移上所做的功可写为
br cs
1
2
cr bs
cr cs
1
2
brb s
( r = i、j、m；s = i、j、m ) (4-28)
平面问题有限元解法(公式推导讲解)
z
4. 位移
一点的位移 —— 矢量S 量纲：m 或 mm
u —— x方向的位移 分量； 位移分量： v —— y方向的位移 分量；
2020/1/4
w—— z方向的位移 分量。
x
w
P
S
u Pv
O
y
工程力学问题建立力学模型的过程中，一般 从三方面进行简化：
结构简化 如空间问题向平面问题的简化，向轴对称 问题的简化，实体结构向板、壳结构的简化。 受力简化 如：根据圣维南原理，复杂力系简化为等效 力系等。 材料简化 根据各向同性、连续、均匀等假设进行简化。
载荷
作用在单元节点上的外力
载荷
（集中力、分布力）
约束
限制某些节点的某些自由度
弹性模量（杨式模量）E
泊松比（横向变形系数）μ 密度
约束
2020/1/4
单元 节 点
节点力
弹性力学的内容及基本假定
1. 研究内容
内容：弹性体在外力或温度作用下的应力、 变形、位移等分布规律。
任务：解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。
zx xz
x
zx
zy
z
yx xz
y yz x
zy
xy
zx
yz yx y
O
y z
应力正负号的规定：
正应力—— 拉为正，压为负。 切应力—— 坐标正面上，与坐标正向一致时为正；
坐标负面上，与坐标正向相反时为正。
2020/1/4
弹性力学中的几个基本概念
假定物体内一点的力学性质在所有各个方向都相同。 作用： 弹性常数（E、μ）——不随坐标方向而变化；
（5）. 小变形假定
4. 位移
一点的位移 —— 矢量S 量纲：m 或 mm
u —— x方向的位移 分量； 位移分量： v —— y方向的位移 分量；
2020/1/4
w—— z方向的位移 分量。
x
w
P
S
u Pv
O
y
工程力学问题建立力学模型的过程中，一般 从三方面进行简化：
结构简化 如空间问题向平面问题的简化，向轴对称 问题的简化，实体结构向板、壳结构的简化。 受力简化 如：根据圣维南原理，复杂力系简化为等效 力系等。 材料简化 根据各向同性、连续、均匀等假设进行简化。
载荷
作用在单元节点上的外力
载荷
（集中力、分布力）
约束
限制某些节点的某些自由度
弹性模量（杨式模量）E
泊松比（横向变形系数）μ 密度
约束
2020/1/4
单元 节 点
节点力
弹性力学的内容及基本假定
1. 研究内容
内容：弹性体在外力或温度作用下的应力、 变形、位移等分布规律。
任务：解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。
zx xz
x
zx
zy
z
yx xz
y yz x
zy
xy
zx
yz yx y
O
y z
应力正负号的规定：
正应力—— 拉为正，压为负。 切应力—— 坐标正面上，与坐标正向一致时为正；
坐标负面上，与坐标正向相反时为正。
2020/1/4
弹性力学中的几个基本概念
假定物体内一点的力学性质在所有各个方向都相同。 作用： 弹性常数（E、μ）——不随坐标方向而变化；
（5）. 小变形假定
第4章_平面问题的有限元法
µ
1− µ ci 1 − 2µ bi 2(1 − µ ) ci
》
bi E (1 − µ ) µ b [Si ] = [D][Bi ] = i 2(1 + µ )(1 − 2µ )∆ 1 − µ 1 − 2µ ci 2(1 − µ )
4.3 单元刚度矩阵
单元结点力列阵
《
弹 性《 力土 学力 与 有学 限 元
{R }e
= Ui
∗ e
[
= R iT Vi
[
RT j U
j
T Rm
]
T
y
Vj
Um
Vm
]
Vi
T
vi
Vm vm m ( x m , y m ) U m um Fy
Ui
Fx
单元结点虚位移
i( xi , yi )
ui
{δ } = [δ u
v = Nivi + Njvj + Nmvm = ∑Nivi
u = Niui + Njuj + Nmum = ∑Niui
[
]
第4章 平面问题的有限元法
2、单元应变分析
1 u = Nui +N juj + Nmum = ∑Nu) i 形函数 Ni = ( ai +bx + ciiy i i 2∆ v = Nvi + Njvj + Nmvm = ∑Nvi i i
vi ] (i, j , m轮换)
T
i ( xi , yi )
0
vi = α4 +α5 xi +α6 yi vj = α4 +α5 xj +α6 y j vm = α4 +α5 xm +α6 ym
1− µ ci 1 − 2µ bi 2(1 − µ ) ci
》
bi E (1 − µ ) µ b [Si ] = [D][Bi ] = i 2(1 + µ )(1 − 2µ )∆ 1 − µ 1 − 2µ ci 2(1 − µ )
4.3 单元刚度矩阵
单元结点力列阵
《
弹 性《 力土 学力 与 有学 限 元
{R }e
= Ui
∗ e
[
= R iT Vi
[
RT j U
j
T Rm
]
T
y
Vj
Um
Vm
]
Vi
T
vi
Vm vm m ( x m , y m ) U m um Fy
Ui
Fx
单元结点虚位移
i( xi , yi )
ui
{δ } = [δ u
v = Nivi + Njvj + Nmvm = ∑Nivi
u = Niui + Njuj + Nmum = ∑Niui
[
]
第4章 平面问题的有限元法
2、单元应变分析
1 u = Nui +N juj + Nmum = ∑Nu) i 形函数 Ni = ( ai +bx + ciiy i i 2∆ v = Nvi + Njvj + Nmvm = ∑Nvi i i
vi ] (i, j , m轮换)
T
i ( xi , yi )
0
vi = α4 +α5 xi +α6 yi vj = α4 +α5 xj +α6 y j vm = α4 +α5 xm +α6 ym
弹性力学平面问题的有限单元法
§2.3 三角形单元分析
从离散体系中任取一个单元，如图所示。三 个结点按反时针方向顺序编号为i、j、m。结点坐 标分别为(xi,yi)(xj,yj)(xm,ym)。
一、单元的结点位移和结点力向量
由弹性力学平面问题可知，一个连续体，每点
应有两个位移，因此每个结点应有两个位移分量，
则三角形共有六个自由度：ui,vi,uj,vj,um,vm 。如图 b所示。各结点位移向量可写成
入上式，同时考虑到矩阵相乘的转置规则，式（b）可改写为
({}e )T {P}e
({}e )T ([N]Tb ){Q}
{F}o K o{}o
式中，[K] o是6×6阶矩阵，称为单元刚度矩阵。 单元分析先要建立单元内的应变、应力分别与结点位
移的关系，这不光是推导上式的需要，也为最后求出 结点位移后再顺利求得单元内的应变和应力作好准备。
2-9
二、单元位移模式 有限单元法虽然对计算对象的整体作了物理近
似，但在每个单元内部，则仍然认为符合弹性力学 的基本假设，因此弹性力学的基本方程在每个单元 内部仍然适用。
ym
A为三角形单元的面积。
2-12
经过运算得用单元结点位移表示的单元位移模式为
{
f
}o
u(x, { v(x,
y) }
y)
Ni (x,
0
y)
0 Ni (x, y)
N j (x, y) 0
0 N j (x, y)
Nm (x, y) 0Biblioteka Nm0 (x,
y){}o
(2-1)
式中的Ni、Nj、Nm由下式轮换得出
{δΔ}o=[δui,δvi,δuj,δvj,δum,δvm]T 单元内的虚位移则为
第4章 平面问题有限单元法3.
①
i
V(3) i
U(1) i
V(4) i
i
U(3) i
i
U(4) i
③
④
(b)
Vi(e ) ①
i
③
U(ie )
④
(c)
组装原理：
节点位移协调条件 节点平衡条件
位移协调条件：各单元共享节点的位移相等
节点平衡条件：各单元内力与节点外力构成平衡力系
回顾 总体刚度矩阵组装的另一种解释
回顾平面连续体的虚功原理： 内力总虚功＝外力总虚功
(r i, j, m)
cr br
单元刚度矩阵： k1 BT DBAt
k k 上述过程，对1～8号单元循环，得各单元刚度矩阵： 1
8
单元节点载荷： Q1 0,0,0, qlt,0, qltT 单元节点载荷： Q2 0,0,0, qlt,0, qltT
k1010 v5 y5
展开
k11u1 k12v1 k13u2 k21u1 k22v1 k23u2
k110v5 x1 k210v5 y1
k101u1 k102v1 k103u2
k1010v5 y5
对于已知位移的行
令 k11=1 k12=0 …… k110=0 k44=1 k41=0 …… k410=0
计算实例
三、组装总刚度矩阵和总体节点外载荷向量
8
总体刚度矩阵： K T eT k e T e e1
总体外载荷向量：
QT
8
TeT
Qe
T
0,-qlt,0,0,0,0,0,-2qlt,0,0,0,0,0,0,0,-qlt,0,0
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单元刚度矩阵形成后，要将单元组成一个整体结构，即整体分析， 基本方法是刚度集成法，即整体刚度矩阵是单元刚度矩阵的集成。 整体刚度矩阵的集成是按对号入座的方式叠加的。 用下面的三角形薄板作为示例： 共计4个单元，单元节点编号为：
整体刚度矩阵的形成
各个单元的刚度矩阵为：
整体刚度矩阵的形成
如果是二维问题，则总自由度数为2N个， 相应的整体刚度矩阵大小为2N×2N阶方阵。
1 1 x xj xk xi xj xk y yj yk yi yj yk
N i ( x, y )
1 i i x i y 1 1
1 1
同理：
三角单元的位移函数
位移函数运用示例： 已知各节点位移为：
求P点位移 P点的位移可由节点位移近似表示为
三角单元的位移函数
1
3 6 2
4
8
单元e
5
ui
e
vi
uj
vj
uk
vk
ul
vl
8节点单元
T
平面应力单元网格划分
应力梯度变化比较大的地方，网格应密一些 有应力集中的地方，网格应密一些 单元边界长度不要相差过大 单元各边夹角不要太大 集中载荷处要设置节点 结构不同材料交界面处要设置节点并作为单元边界 结构厚度突变处要设置节点并作为单元边界 分布载荷突变处要设置节点 施加位移约束处要设置节点 注意单元间的连接
应变的离散过程
• 应变的离散过程 • 根据弹性力学中的几何关系，单元内任一点(x,y)的应变表达 式为
矩阵形式
应变的离散过程
• 应变的离散过程 • 单元内任一点(x,y)的位移(u,v)可以采用节点位移近似表示：
• 将其代入应变表达式，则
应变的离散过程
• 应变的离散过程 • 为书写方便，应变分量矩阵可用分块矩阵表示
• 其具体可计算为：
虚功原理建立控制方程
• 外力虚功等于内力虚功。
• 结果： • 考虑到节点虚位移的任意性：
• 上式即为有限元控制方程。 • 此处K称为“刚度矩阵”
刚度矩阵
• 如果将求解域划分为多个单元，则
• 即
总体刚度矩 阵（总刚）
单元刚度 矩阵（单 刚）
单元刚度矩阵
三节点等厚三角形单元中B和D的分量均为常量， 则单元刚度矩阵可以表示为
• 简写为：
B也称为“应变矩阵”
应变的离散过程
• 应变的离散过程 • 由于形函数 • 所以刚才的矩阵事实上可表示为
• B矩阵中的所有元素已经由三角形单元的节点坐标确定。 • 应变在单元内为常数，所以又称为常应变单元。
应力的离散过程
• 应力的离散过程 • 根据广义虎克定律，对于平面应力问题：
物理方程
应满足： 单元内位移模式必须是连续的，公共边上位移必 须协调 位移模式必须反映单元的刚体位移 位移模式必须反映单元的常应变 可以证明三节点三角形单元是收敛的
完备单元和协调单元
三条准则： 1、位移模式必须包含单元的刚体位移 2、位移模式必须能包含单元的常应变 3、位移模式在单元内要连续、并使相邻单元间的位移必 须协调 满足条件1、2的单元为完备单元 满足条件3的单元为协调单元
σ , τ
z
zx
, τ zy z δ 0
2
由于薄板很薄，应力是连续变化的，又无z向外力，可认为：
σ , τ
z
zx
, τ zy 0, (在V中)
其值与z无关
简化为平面应力问题，仅剩：
σ x , σ y , xy
弹性力学的平面应变问题
基本条件 （1）很长的常截面柱； （2）体力作用于体内，平行于横截面，沿柱体长度方向不变； （3）面力作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变； （4）约束作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变。
整体刚度矩阵的存储
各行的半带宽D怎么计算：
整体刚度矩阵的存储
可用一维数组A来存储半带宽内的元素，而不必储存所有元素。 本例中：总带宽
则可以采用如下方式存储：
整体刚度矩阵的存储
最大半带宽是多少？ 相邻节点的编码最大差值+1）×NDOF Dmax=(10-6+1)×2=10 设整体刚度矩阵K是一个n×n的矩阵, 其最大半带宽为D，那么利用带状矩 阵的特点和对称性，只需要存储以D 为固定宽度的元素，这种存储方法称 为二维等带宽存储 。
矩阵形式
应力的离散过程
• 应力的离散过程 • 如果令：
• 物理方程简写为 • D又称为“弹性矩阵” • 将前面应变的表达式代入，则
虚位移与虚应变
• 我们已经知道了应变与位移的关系
• 那么很自然的 • 如果发生了虚位移 • 则会发生虚应变
虚功原理建立控制方程
• 外力虚功等于内力虚功。
• 外力虚功 • 内力虚功
多项式的项数越多，结果就越精确，但取多少项由单元形式决定。
三角单元的位移函数
节点上只有六个位移分量，所以
单元内部位移函数的待定参数不
能超过这个数目。可假设单元内 部位移为x、y的线性函数：
参数ai由位移边界条件确定。
三角单元的位移函数
节点i
u ( xi , yi ) ui a1 a2 xi a3 yi
弹性力学的平面应变问题
坐标系：
oz x ox z
y
y
• 由于截面、外力、约 束沿z 向不变，外力、 约束平行xy面，柱体 非常长：故任何z 面 （截面）均为对称面。
w 0, 只有u,v; （平面位移问题）
简化为平面应变问题：
w 0 ε z 0, τ zx , τ zy 0 zx , zy 只有 x , y , xy . 其值与z无关 0, （平面应变问题）
其具体形式为
单元刚度矩阵
对于平面应力问题，其具体可计算如下：
单元刚度矩阵的物理意义
把前面获得的有限元控制方程展开：
那么 事实上就是当节点j产生单位位移时，在节点i上需要施加的 节点力。
单元刚度矩阵的物理意义
更具体一点：
当节点i在垂直方向产生单位位移时，在节点i上需要施加的垂直节点力 当节点j在水平方向产生单位位移时，在节点j上需要施加的水平节点力 当节点j在垂直方向产生单位位移时，在节点i上需要施加的水平节点力 当节点i在水平方向产生单位位移时，在节点j上需要施加的垂直节点力
1 2 3 4
二维单元
u ( x, y) 1 2 x 3 y 4 x 2 5 xy 6 y 2 m y n
v( x, y) 1 2 x 3 y 4 x 2 5 xy 6 y 2 m y n
设单元节点总数为N，每个节点的自由度数为NDOF。 (对于一维情况，NDOF=1；对于二维情况，NDOF=2；三维，NDOF=3)。
整体刚度矩阵的意义与性质
Kij 表示j自由度发生单位位移，其他位移为零时， 第i个自由度上必须施加的节点力。 总体刚度矩阵中的元素具有如下性质： （1）主对角元素Kii >0 （2）总体刚度矩阵K是对称的奇异矩阵
N u
i 1 i
3
i
三角单元的位移函数
表达为矩阵形式：
这里：
Ni,Nj,Nk是坐标的函数，它们反映了单元的位移形态，故
称为三角单元的形态函数（或形函数）
三角单元的位移函数
形函数具有明确的几何意义： 如图所示三角单元IJK，P为三角单 元内任意一点，其坐标为(x,y) P点在三角单元各角点上产生的形 函数分别是Ni,Nj,Nk
三角单元的位移函数
如果令
则：
根据线性代数的知识，可知：
三角单元的位移函数
T*为T的伴随矩阵
其中：
三角单元的位移函数
把求得的系数
代入位移函数公式： 得到：
u ( x, y )
N i ui N j u j N k u k
1 i i x i y ui j j x j y u j k k x k y uk
整体刚度矩阵的存储
元素Krs在整刚矩阵K中的行列编码记为r，s，在二维等带宽矩 阵K*中的行列编码为r*，s*
边界条件的处理
非节点载荷的移植： 集中力： 最好在集中力处设置节点 分布面力：
分布体力：
边界条件的处理
事实上，由于整体刚度矩阵的奇异性，仍然是没有办法求解。 原因在于位移边界条件没有引入。 方法一：划零置一法 若已知边界条件：
单元刚度矩阵的性质
性质1：对称性
单元刚度矩阵的性质
性质2：对角线上元素恒为正
单元刚度矩阵的性质
性质3：此矩阵为奇异矩阵 意义：没有对节点施加位移约束，所以单元产生任何的刚性位移 都是可以的，由力得不到位移的唯一解。 性质4：此矩阵的各行元素之和为零，由于对称性，各列元素之 和 也为零阵。
整体刚度矩阵的存储
由于整体刚度矩阵具有对称性、稀疏性和非零元素带状分布的 特点，所以没有必要将全部的整体刚度矩阵进行存储。 （1）利用对称性： 只保存整体刚度矩阵上三角的零元素即可； （2）利用稀疏性： 在用分块表示的整体刚度矩阵中，与相关节点对应的分块才 能具有非零的元素，其他位置上的分块矩阵的元素为零 （3）利用带状分布： 整体刚度矩阵的非零元素分布在以对角线为中心的带状区域 中，每行具有元素的元素的个数叫做“半带宽”，用D表示。
于是：
三角单元的位移函数
形函数的本质 计算点(x,y)的位移u(x,y)、v(x,y)可用单元内各节点的
位移值ui,vi的加权之和来近似表示，其中，各节点位移
加权系数为关于计算点(x,y)的函数，即为形函数 三角形单元形函数的性质 1、单元节点产生的形函数值为1或0
整体刚度矩阵的形成
各个单元的刚度矩阵为：
整体刚度矩阵的形成
如果是二维问题，则总自由度数为2N个， 相应的整体刚度矩阵大小为2N×2N阶方阵。
1 1 x xj xk xi xj xk y yj yk yi yj yk
N i ( x, y )
1 i i x i y 1 1
1 1
同理：
三角单元的位移函数
位移函数运用示例： 已知各节点位移为：
求P点位移 P点的位移可由节点位移近似表示为
三角单元的位移函数
1
3 6 2
4
8
单元e
5
ui
e
vi
uj
vj
uk
vk
ul
vl
8节点单元
T
平面应力单元网格划分
应力梯度变化比较大的地方，网格应密一些 有应力集中的地方，网格应密一些 单元边界长度不要相差过大 单元各边夹角不要太大 集中载荷处要设置节点 结构不同材料交界面处要设置节点并作为单元边界 结构厚度突变处要设置节点并作为单元边界 分布载荷突变处要设置节点 施加位移约束处要设置节点 注意单元间的连接
应变的离散过程
• 应变的离散过程 • 根据弹性力学中的几何关系，单元内任一点(x,y)的应变表达 式为
矩阵形式
应变的离散过程
• 应变的离散过程 • 单元内任一点(x,y)的位移(u,v)可以采用节点位移近似表示：
• 将其代入应变表达式，则
应变的离散过程
• 应变的离散过程 • 为书写方便，应变分量矩阵可用分块矩阵表示
• 其具体可计算为：
虚功原理建立控制方程
• 外力虚功等于内力虚功。
• 结果： • 考虑到节点虚位移的任意性：
• 上式即为有限元控制方程。 • 此处K称为“刚度矩阵”
刚度矩阵
• 如果将求解域划分为多个单元，则
• 即
总体刚度矩 阵（总刚）
单元刚度 矩阵（单 刚）
单元刚度矩阵
三节点等厚三角形单元中B和D的分量均为常量， 则单元刚度矩阵可以表示为
• 简写为：
B也称为“应变矩阵”
应变的离散过程
• 应变的离散过程 • 由于形函数 • 所以刚才的矩阵事实上可表示为
• B矩阵中的所有元素已经由三角形单元的节点坐标确定。 • 应变在单元内为常数，所以又称为常应变单元。
应力的离散过程
• 应力的离散过程 • 根据广义虎克定律，对于平面应力问题：
物理方程
应满足： 单元内位移模式必须是连续的，公共边上位移必 须协调 位移模式必须反映单元的刚体位移 位移模式必须反映单元的常应变 可以证明三节点三角形单元是收敛的
完备单元和协调单元
三条准则： 1、位移模式必须包含单元的刚体位移 2、位移模式必须能包含单元的常应变 3、位移模式在单元内要连续、并使相邻单元间的位移必 须协调 满足条件1、2的单元为完备单元 满足条件3的单元为协调单元
σ , τ
z
zx
, τ zy z δ 0
2
由于薄板很薄，应力是连续变化的，又无z向外力，可认为：
σ , τ
z
zx
, τ zy 0, (在V中)
其值与z无关
简化为平面应力问题，仅剩：
σ x , σ y , xy
弹性力学的平面应变问题
基本条件 （1）很长的常截面柱； （2）体力作用于体内，平行于横截面，沿柱体长度方向不变； （3）面力作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变； （4）约束作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变。
整体刚度矩阵的存储
各行的半带宽D怎么计算：
整体刚度矩阵的存储
可用一维数组A来存储半带宽内的元素，而不必储存所有元素。 本例中：总带宽
则可以采用如下方式存储：
整体刚度矩阵的存储
最大半带宽是多少？ 相邻节点的编码最大差值+1）×NDOF Dmax=(10-6+1)×2=10 设整体刚度矩阵K是一个n×n的矩阵, 其最大半带宽为D，那么利用带状矩 阵的特点和对称性，只需要存储以D 为固定宽度的元素，这种存储方法称 为二维等带宽存储 。
矩阵形式
应力的离散过程
• 应力的离散过程 • 如果令：
• 物理方程简写为 • D又称为“弹性矩阵” • 将前面应变的表达式代入，则
虚位移与虚应变
• 我们已经知道了应变与位移的关系
• 那么很自然的 • 如果发生了虚位移 • 则会发生虚应变
虚功原理建立控制方程
• 外力虚功等于内力虚功。
• 外力虚功 • 内力虚功
多项式的项数越多，结果就越精确，但取多少项由单元形式决定。
三角单元的位移函数
节点上只有六个位移分量，所以
单元内部位移函数的待定参数不
能超过这个数目。可假设单元内 部位移为x、y的线性函数：
参数ai由位移边界条件确定。
三角单元的位移函数
节点i
u ( xi , yi ) ui a1 a2 xi a3 yi
弹性力学的平面应变问题
坐标系：
oz x ox z
y
y
• 由于截面、外力、约 束沿z 向不变，外力、 约束平行xy面，柱体 非常长：故任何z 面 （截面）均为对称面。
w 0, 只有u,v; （平面位移问题）
简化为平面应变问题：
w 0 ε z 0, τ zx , τ zy 0 zx , zy 只有 x , y , xy . 其值与z无关 0, （平面应变问题）
其具体形式为
单元刚度矩阵
对于平面应力问题，其具体可计算如下：
单元刚度矩阵的物理意义
把前面获得的有限元控制方程展开：
那么 事实上就是当节点j产生单位位移时，在节点i上需要施加的 节点力。
单元刚度矩阵的物理意义
更具体一点：
当节点i在垂直方向产生单位位移时，在节点i上需要施加的垂直节点力 当节点j在水平方向产生单位位移时，在节点j上需要施加的水平节点力 当节点j在垂直方向产生单位位移时，在节点i上需要施加的水平节点力 当节点i在水平方向产生单位位移时，在节点j上需要施加的垂直节点力
1 2 3 4
二维单元
u ( x, y) 1 2 x 3 y 4 x 2 5 xy 6 y 2 m y n
v( x, y) 1 2 x 3 y 4 x 2 5 xy 6 y 2 m y n
设单元节点总数为N，每个节点的自由度数为NDOF。 (对于一维情况，NDOF=1；对于二维情况，NDOF=2；三维，NDOF=3)。
整体刚度矩阵的意义与性质
Kij 表示j自由度发生单位位移，其他位移为零时， 第i个自由度上必须施加的节点力。 总体刚度矩阵中的元素具有如下性质： （1）主对角元素Kii >0 （2）总体刚度矩阵K是对称的奇异矩阵
N u
i 1 i
3
i
三角单元的位移函数
表达为矩阵形式：
这里：
Ni,Nj,Nk是坐标的函数，它们反映了单元的位移形态，故
称为三角单元的形态函数（或形函数）
三角单元的位移函数
形函数具有明确的几何意义： 如图所示三角单元IJK，P为三角单 元内任意一点，其坐标为(x,y) P点在三角单元各角点上产生的形 函数分别是Ni,Nj,Nk
三角单元的位移函数
如果令
则：
根据线性代数的知识，可知：
三角单元的位移函数
T*为T的伴随矩阵
其中：
三角单元的位移函数
把求得的系数
代入位移函数公式： 得到：
u ( x, y )
N i ui N j u j N k u k
1 i i x i y ui j j x j y u j k k x k y uk
整体刚度矩阵的存储
元素Krs在整刚矩阵K中的行列编码记为r，s，在二维等带宽矩 阵K*中的行列编码为r*，s*
边界条件的处理
非节点载荷的移植： 集中力： 最好在集中力处设置节点 分布面力：
分布体力：
边界条件的处理
事实上，由于整体刚度矩阵的奇异性，仍然是没有办法求解。 原因在于位移边界条件没有引入。 方法一：划零置一法 若已知边界条件：
单元刚度矩阵的性质
性质1：对称性
单元刚度矩阵的性质
性质2：对角线上元素恒为正
单元刚度矩阵的性质
性质3：此矩阵为奇异矩阵 意义：没有对节点施加位移约束，所以单元产生任何的刚性位移 都是可以的，由力得不到位移的唯一解。 性质4：此矩阵的各行元素之和为零，由于对称性，各列元素之 和 也为零阵。
整体刚度矩阵的存储
由于整体刚度矩阵具有对称性、稀疏性和非零元素带状分布的 特点，所以没有必要将全部的整体刚度矩阵进行存储。 （1）利用对称性： 只保存整体刚度矩阵上三角的零元素即可； （2）利用稀疏性： 在用分块表示的整体刚度矩阵中，与相关节点对应的分块才 能具有非零的元素，其他位置上的分块矩阵的元素为零 （3）利用带状分布： 整体刚度矩阵的非零元素分布在以对角线为中心的带状区域 中，每行具有元素的元素的个数叫做“半带宽”，用D表示。
于是：
三角单元的位移函数
形函数的本质 计算点(x,y)的位移u(x,y)、v(x,y)可用单元内各节点的
位移值ui,vi的加权之和来近似表示，其中，各节点位移
加权系数为关于计算点(x,y)的函数，即为形函数 三角形单元形函数的性质 1、单元节点产生的形函数值为1或0