轴向拉压时杆件的变形
工程力学16 轴向拉伸与压缩杆的变形
伸长量；(2)C截面相对B截面的位移
(相对位移）和C截面的绝对位移。 解：（2） 位移：指物体上的一些点、
B
B
B′
l2＝200
线、面在空间位置上的改变。 显然，两个截面的相对位移，
C
C
C′
在数值上等于两个截面之间的
F＝40 kN
那段杆件的伸长（或缩短）。 因A截面固定，所以C截面
因此，C截面与B 截面的
掌握：胡克定律表达式的应用 ； 轴向变形— —伸长量的计算 ——难点+重点
谢 谢!
解：（1） 变形：物体受力以后 发生尺寸和形状的改变。
B
B
B′
l2＝200
l1
FN l1 EA1
40 103 N 210 109 Pa
300 103 m 400 106 m2
0.143103m=0.143mm（伸长）
C
C
C′
F＝40 kN
l2
FN l2 EA2
40 103 N 210 109 Pa
实验表明,在材料正应力没有超过比例极限时，横向线应变与纵 向线应变之比为常数，用绝对值表示为
v
或写成
v
v称为横向变形因数或泊松比
无量纲，由实验测定
例1 已知： AB段:A1 ＝400mm2
A
BC段:A2 =250mm2 ,E=210GPa
l1＝300
求：(1)AB、BC段的伸长量及杆 的总伸长量；(2)C截面相对B截面 的位移和C截面的绝对位移。
200 103 m 250 102 0.143mm+0.152mm
0.152103m=0.152mm（伸长） 0.295mm（伸长）
例1 已知： AB段:A1 ＝400mm2
工程材料力学第四章轴向拉压杆的变形
拉(压)杆的纵向变形 （轴向变形） 基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：
纵向总变形Δl = l1-l （反映绝对变形量）
l 纵向线应变 （反映变形程度） l
1
fl
f ( x x)
x
f
l
x
x
沿杆长均匀分布 的荷载集度为 f 轴力图
fx
微段的分离体
y
pbd 2b 0
pd 2
13
所以
pd (2 10 Pa)(0.2m) -3 2 2(510 m)
6
4010 Pa 40 MPa
6
14
2.
如果在计算变形时忽略内压力的影响，则可认为
薄壁圆环沿圆环切向的线应变e(周向应变)与径向截面上
的正应力s 的关系符合单轴应力状态下的胡克定律，即
ν
亦即
- n
低碳钢(Q235)：n = 0.24~0.28。
7
思考：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积A和材料的 弹性模量E。
1.列出各段杆的纵向总变形ΔlAB，ΔlBC，ΔlCD以及整个 杆纵向变形的表达式。
2.横截面B, C及端面D的纵向位移与各段杆的纵向总变
形是什么关系？
uB L1
22
作业：4-7,4-91 Pa ~ 2.101011 Pa 200GPa ~ 210GPa
l 1 FN 胡克定律的另一表达形式： l E A
E
←单轴应力状态下的胡克定律
6
横向变形因数(泊松比)(Poisson’s ratio)
单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，
杆件的基本变形形式
杆件的基本变形形式
杆件的基本变形形式有以下几种：
1. 拉伸和压缩：当杆件受到沿其轴向的力时，杆件会发生拉伸或压缩变形。
拉伸时杆件长度增加，压缩时杆件长度减小。
2. 剪切：当杆件受到垂直于其轴向的力时，杆件会发生剪切变形。
剪切变形表现为杆件的横截面发生相对错动。
3. 扭转：当杆件受到绕其轴线的力矩时，杆件会发生扭转变形。
扭转变形使得杆件的横截面绕轴线旋转。
4. 弯曲：当杆件受到垂直于其轴线的横向力时，杆件会发生弯曲变形。
弯曲变形导致杆件的轴线发生弯曲。
这些基本变形形式是杆件在不同加载条件下的主要响应方式。
在工程和力学领域中，了解杆件的基本变形形式对于设计和分析结构非常重要。
通过对这些变形形式的研究，可以确定杆件在负载下的应力、应变分布以及可能的破坏模式。
需要注意的是，实际工程结构中的杆件可能同时受到多种变形形式的组合作用。
例如，在一个梁的设计中，可能同时存在弯曲和剪切变形。
因此，在分析杆件的变形和应力时，需要综合考虑各种变形形式的影响。
希望这些信息对你有所帮助！如果你有其他问题，请随时提问。
简述轴向拉压杆的受力特点和变形特点
简述轴向拉压杆的受力特点和变形特点
轴向拉压杆是一种受到拉力或压力作用的杆件。
其受力特点主要
有两点：
1. 受力方向：轴向拉压杆受力方向与其轴线方向相同或相反。
当受到拉力时，轴向拉压杆会向外展开；当受到压力时，轴向拉压杆
会向内收缩。
受力方向与轴线方向共线，使得杆件能够承受较大的拉
力或压力。
2. 受力均匀：轴向拉压杆受力均匀分布在其截面上。
由于受力
方向与轴线方向相同或相反，杆件内部的各个截面上的应力相对均匀。
这样的受力特点能够保证杆件的强度和刚度。
轴向拉压杆的变形特点主要有两点：
1. 长度变化：轴向拉压杆在受到拉力或压力作用时会发生长度
的变化。
当受到拉力时，轴向拉压杆会发生伸长变形；当受到压力时，轴向拉压杆会发生缩短变形。
杆件的长度变化与受力的大小成正比。
2. 弯曲变形：轴向拉压杆在受力作用下有可能发生弯曲变形。
当受到较大的压力或拉力时，杆件可能会产生塑性弯曲或弹性弯曲。
这种变形可能会影响杆件的稳定性和工作性能。
综上所述，轴向拉压杆的受力特点是受力方向与轴线方向相同或
相反，受力均匀；变形特点是发生长度变化和有可能出现弯曲变形。
这些特点需要在杆件的设计和使用过程中进行考虑，以保证其性能和
安全。
第四节：轴向拉伸和压缩时的变形
杆件在外力作用下会发生变形，当外力取消 时不消失或不完全消失而残留下来的变形。
第四节 轴向拉伸和压缩时的变形
二、纵向变形和胡克定律：
1、纵向变形 杆件在轴向力作用下，杆的长度会发生变化，杆件长度的改
变量叫做纵向变形，用△l 表示。若杆件变形前长度为l ，变形后 长度为l
1
第四节 轴向拉伸和压缩时的变形
第四节 轴向拉伸和压缩时的变形
杆件的纵向变形与杆长l 有关，在其它条件相同时， 杆件愈长则纵向变形愈大。为了消除杆长对变形的影响， 常用单位长度的变形来描述杆件变形的程度。单位长度的 变形叫做线应变，用ε表示。
NI
E I EA N 或
I
I EA E
上式是胡克定律的的另一种形式，它表明在弹性受 力范围内，应力与应变成正比。
第四节 轴向拉伸和压缩时的变形
例：图示为一两层的木排架，作用在横木上的荷载传给
立 柱 ， 其 中 一 根 柱 的 受 力 图 如 图 b 所 示 ， P1=30KN ， P2=50KN。柱子为圆截面，直径d=150mm。木材的弹性模量 E=10Gpa。求木柱的总变形。
解：木柱AB和BC两段轴力不同，应分 别求出两段变形，然后求其总和 （1）求轴力ຫໍສະໝຸດ 第四节 轴向拉伸和压缩时的变形
三、横向变形 拉压杆产生纵向变形时，横向也产生变形。若杆件
变形前的横向尺寸为α，变形后为，则横向变形为向应变
为 ： 1
横向应变为
杆件受拉时，横向尺寸缩小，ε′为负值；杆件受 压时横向尺寸变大，ε′为正值。可见，轴向拉、压杆的 线应变与横向应变的符号总是相反。
第四节 轴向拉伸和压缩时的变形
一、弹性变形与塑性变形 用手拉一根弹簧，当拉力不大时就放松，弹簧
拉压杆的变形
EA称为杆的拉压刚度，它是单位长度的杆产生单位长度的变形 所需的力。所以拉压刚度EA代表了杆件抵抗拉伸（压缩）变形 的能力。
因σ＝FN/A、ε＝Δl/l，故式（2-5）变为 σ＝Eε （2-6
上式是胡克定律的另一表达式。它表明：在弹性限度内，正应力 与线应变成正比。
1.2横向变形
设图2-12所示拉、压杆在变形前、后的横向尺寸分别为d与d1， 则其横向变形Δd为
【例2-6】如图2-14（a）所示等截面直杆，已知 其原长l、横截 面积A、材料的容重γ、弹性模量E、受杆件自重和下端处集中力 F作用。求该杆下端面的位移ΔB。
【解】如图2-14（b）所示。距B端为x的横截面上的轴力为 FN（x）＝F＋γAx
微段dx如图2-14（c）所示。 略去两端内力的微小差值，则微段的变形为
＝-0.975×10-3m＝-0.975mm
各段柱的纵向线应变为
εBC＝ΔlBC/lBC=-0.5mm/2000mm＝2.5×10-4
εAB＝ΔlAB/lAB=-0.975mm/1500mm=-6.5×10-4 全柱的总变形为两段柱的变形之和，即
Δl=ΔlBC+ΔlAB=-0.5mm-0.975mm=-1.475 mm
【解】由于上下两段柱的轴力不等，故两段柱 的变形要分别计算。各段柱的轴力为
FNBC＝-100 kN 各段柱的纵向变形为
FNAB＝-260 kN
ΔlBC＝FNBC/EA ＝ -100×103N×2m/10×109Pa× （0.2m）2 ＝-0.5×10-3m＝-0.5mm
图2-13
ΔlAB＝FNAB/EA＝ 260×103N×1.5m/10×109Pa×（0.2m）2
大量的实验表明，当杆的变形为弹性变形时，杆的纵向变形Δl与 外力F及杆的原长l成正比，而与杆的横截面面积A成反比，即
杆件的轴向拉压变形及具体强度计算
根据强度条件，可以解决三类强度计算问题
1、强度校核：
max
FN A
2、设计截面：
A
FN
3、确定许可载荷： FN A
目录
拉压杆的强度条件
例题3-3
F
F=1000kN，b=25mm，h=90mm，α=200 。
〔σ〕=120MPa。试校核斜杆的强度。
解：1、研究节点A的平衡，计算轴力。
目录
——横截面上的应力
目录
FN
A
——横截面上的应力
该式为横截面上的正应力σ计 算公式。正应力σ和轴力FN同号。 即拉应力为正，压应力为负。
根据杆件变形的平面假设和材料均匀连续性假设 可推断：轴力在横截面上的分布是均匀的，且方向垂 直于横截面。所以，横截面的正应力σ计算公式为：
目录
• 拉(压)杆横截面上的应力
FN 2 45° B
F
FN1 28.3kN FN 2 20kN
2、计算各杆件的应力。
B
1
FN1 A1
28.3103 202 106
4
F
90106 Pa 90MPa
x
2
FN 2 A2
20103 152 106
89106 Pa 89MPa
目录
三、材料在拉伸和压缩时的力学性质
教学目标：1.拉伸、压缩试验简介； 2.应力-应变曲线分析； 3.低碳钢与铸铁的拉、压的力学性质； 4.试件的伸长率、断面收缩率计算。
教学重点：1.应力-应变曲线分析； 2.材料拉、压时的力学性质。
教学难点：应力-应变曲线分析。 小 结: 塑性材料与脆性材料拉伸时的应力-应变曲线分析。 作 业: 复习教材相关内容。
工程力学-第7章-轴向拉压杆件的强度与变形计算
7
Guang Zhou Auto College
工程力学
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州 汽
斜拉桥承受拉力的钢缆 车 学 院
8
Guang Zhou Auto College
工程力学
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州 汽 车 学 院9来自 7-1轴向拉压杆横截面上的应力
胡克定律
车
学
院
工程力学
17
轴向拉压的变形分析
P
P
A 细长杆受拉会变长变细，
P
B 受压会变短变粗
C 长短的变化，沿轴线方向， 称为纵向变形
l+Dl l
d-Dd d
D 粗细的变化，与轴线垂直，
称为横向变形
P
P
P
7-3轴向拉压杆的变形计算 胡克定律
工程力学
Guang Zhou Auto College
变形量的代数和：
汽
车
Δ
l
＝
FNi li FNi ADlEADA＋i
＝Dl AD DlDE DlEB Dl
FNDElDE ＋ FNEBlEB ＋ FNBClBC
BC
学
Ec AAD
Ec ADE
Es AEB
Es ABC
＝1.2106 m 0.6106 m 0.285106 m 0.428106 m
广
承受轴向载荷的拉（压）杆在工程中的
州
应用非常广泛。
汽
由汽缸、活塞、连
杆所组成的机构中，不
车
仅连接汽缸缸体和汽缸
盖的螺栓承受轴向拉力，
学
带动活塞运动的连杆由
轴向拉压杆件的受力特点
轴向拉压杆件的受力特点
轴向拉压杆件是指在受力时，受力方向与杆件轴线重合的杆件。
其受力特点主要表现为受力方向沿杆件轴线，因此其受力状态可以简化为拉力或压力。
在受拉力时，杆件会发生拉伸变形，而在受压力时，杆件会发生压缩变形。
此外，轴向拉压杆件的受力特点还包括以下几个方面：
1. 受力方向的集中性：轴向拉压杆件的受力方向集中在杆件轴线上，因此其受力状态相对简单，易于计算。
2. 受力方向的稳定性：由于受力方向与杆件轴线重合，因此轴向拉压杆件的受力方向相对稳定，不易发生偏转或扭曲。
3. 受力面积的小：轴向拉压杆件的受力面积相对较小，因此其承受的应力较大，需要选择合适的材料和截面形状以满足强度要求。
4. 受力方向的单一性：轴向拉压杆件的受力方向单一，因此其在设计和制造时需要考虑受力方向的影响，如选择合适的连接方式和加强措施等。
轴向拉压杆件的受力特点主要表现为受力方向沿杆件轴线，受力面积小，受力方向稳定且集中，需要选择合适的材料和截面形状以满足强度要求，并在设计和制造时考虑受力方向的影响。
2021铁道工程技术 2.3轴向拉压杆件的变形
轴向拉（压）杆的变形•胡克定理拉（压）杆受轴向力作用时，沿杆轴方向会产生伸长（或缩短），称为纵向变形；同时杆的横向尺寸将减小（或增大），称为横向变形。
如图（a ）、（b ）所示。
一、纵向变形设杆件变形前长为l ，变形后长为1l ，则杆件的纵向变形为 l l l -=∆1拉伸时纵向变形为正，压缩时纵向变形为负。
纵向变形l ∆的单位是m 或mm 。
纵向变形的大小与杆的原长l 有关，为了度量杆的变形程度，需用单位长度的变形量。
单位长度的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。
对于轴力为常量的等截面直杆，其纵向变形在杆内分布均匀，故线应变为ll∆=ε （） 拉伸时ε为正，压缩时ε为负。
二、胡克定律实验证明，当杆的应力未超过某一限度，纵向变形l ∆与外力P 、杆长l 及横截面面积A 之间存在着如下的比例关系：EAPll =∆ （） 在内力不变的杆段中，P N =，可将上式改写为用内力表达的形式 EANll =∆ （） 式（）称为胡克定律，表明当杆件应力不超过某一限度（比例极限）时，其纵向变形与轴力及杆长成正比，与横截面面积成反比。
P图 2.10(a)(b)将ε=∆l l 及σ=AN代入（）式，可得 εσ⋅=E （）式（）是胡克定律的另一表达形式，它表明当应力不超过比例极限时，应力与应变成正比。
比例系数E 称为材料的弹性模量，它与材料的性质有关，是衡量材料抵抗弹性变形能力的指标。
各种材料的E 值由试验测定，其单位与应力的单位相同。
EA 称为杆件的抗拉（压）刚度，它反映了杆件抵抗拉（压）变形的能力，对长度相同，受力相等的杆件，EA 越大，变形l ∆就越小；反之，EA 越小，变形l ∆就越大。
三、横向变形拉（压）杆产生纵向变形时，横向也产生变形。
设杆件变形前的横向尺寸为a ，变形后为1a （图)()(b a 、），则横向变形为 a a a -=∆1 横向应变为aa∆='ε （） 杆件伸长时a ∆为负值，也为负值；杆件压缩时a ∆为正值，也为正值。
工程材料力学第四章轴向拉压杆的变形
杆件几何尺寸的改变，是个标量；位移是指结点位置的移动，
是个矢量，它除了与杆件的变形有关以外，还与各杆件所受 约束有关。
21
求图示结构在荷载作用下Ｂ点的水平位 移和铅垂位移。（只列出几何关系）
A L1 B
L1
uB
a
B1
B2
L2
C
L2
Ｆ
vB
B'
解：变形图如图2， B点位移至B'点，由图知：
L2 vB L1ctg a sin a
y
pbd 2b 0
pd 2
13
所以
pd (2 10 Pa)(0.2m) -3 2 2(510 m)
6
4010 Pa 40 MPa
6
14
2.
如果在计算变形时忽略内压力的影响，则可认为
薄壁圆环沿圆环切向的线应变e(周向应变)与径向截面上
的正应力s 的关系符合单轴应力状态下的胡克定律，即
E 2.001011 Pa ~ 2.101011 Pa 200GPa ~ 210GPa
l 1 FN 胡克定律的另一表达形式： l E A
E
←单轴应力状态下的胡克定律
6
横向变形因数(泊松比)(Poisson’s ratio)
单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，
某一方向的线应变 与和该方向垂直的方向(横向)的线应 变'的绝对值之比为一常数，此比值称为横向变形因数或 泊松比(Poisson’s ratio)：
ν
亦即
- n
低碳钢(Q235)：n = 0.24~0.28。
7
思考：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积A和材料的 弹性模量E。
轴向拉压杆件的受力特点和变形特点
轴向拉压杆件的受力特点和变形特点哎呀，我的妈呀！什么是轴向拉压杆件呀？这名字听起来可真够复杂的！不过没关系，让我这个好奇宝宝来好好研究研究。
先来说说轴向拉压杆件的受力特点吧！你想想看，一根杆子，就像拔河比赛中的绳子一样，两边有人使劲儿拉或者使劲儿压。
要是两边都用力往两边拉，这杆子不就受到拉力了嘛？那要是两边都用力往中间压，这杆子不就受到压力了嘛？这多简单！
比如说，起重机吊起一个重物，那连接重物的那根杆子，不就是受到拉力了吗？这不就和我们拔河的时候，绳子被两边拉是一个道理嘛？再比如，我们用千斤顶把车子顶起来，那千斤顶里的杆子，不就是受到压力了吗？这不就和我们使劲儿把气球往里面压一样嘛？
那轴向拉压杆件的变形特点又是什么呢？当杆子受到拉力的时候，它会变长变细，就好像我们拉一根橡皮筋，它是不是就被拉长了，还变细了？当杆子受到压力的时候，它会变短变粗，这就好像我们把一块面团往一起压，面团是不是就变短变厚了？
我们来想象一下，如果有一根细细的竹子，当成轴向拉压杆件。
当我们用力拉它的时候，它是不是就会被拉得长长的，而且中间还会变得更细，感觉随时都会断掉似的？要是我们用力压它，它是不是就会被压得短短的，粗粗的，像个矮胖墩儿？
我再给你举个例子，假如有一根金属杆子，用来支撑大桥。
如果桥上的车太多太重了，这根杆子受到的压力太大，它可能就会被压得变形，说不定大桥都会变得不安全啦！这多可怕呀！
所以说呀，了解轴向拉压杆件的受力特点和变形特点可太重要啦！要是工程师们不明白这些，盖的房子、造的桥说不定哪天就出问题了，那得多危险呀！
总之，轴向拉压杆件的受力和变形特点虽然听起来有点复杂，但是只要我们多想想生活中的例子，就不难理解啦！。
材料力学 杆件的变形计算
40kN A
60kN B
20kN C
400
400
9
40kN A
60kN B
20kN
C
1）求出轴力，并画出轴力图
400
400
FN KN 40
2）求伸长量
+
x l l AB lBC
－
20
l AB
FNABl AB EAAB
40 10 3 400 200 10 3 800
0.1mm
伸长
lBC
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
FNBC l BC EABC
x0 x
5、杆的横向变形：
ac ac ac
6、x点处的横向线应变：
ac
ac
2
二、拉压杆的弹性定律
1、等内力拉压杆的弹性定律
P
P
2、变内力拉压杆的弹性定律
NN（(xx)）
x dx 内力在n段中分别为常量时
dL PL A
dL PL NL EA EA
※“EA”称为杆的抗拉压刚度。
(dx) N ( x)dx EA( x)
C
C2
C1
因此，C节点变形后将位于C3点
C3 C0
由于材料力学中的小变形假设，可
以近似用C1和C2处的圆弧的切线来代替 圆弧（以切代弧法），得到交点C0
14
[解]
1）分析节点C,求AC和BC的轴力（均预
A
先设为拉力）
F
B
30oC2
C
C1
y
FAC
F
30
FBC
C x
FAC sin 30 F 0 FAC 2F 80kN 拉 伸长
是刚刚走到这个知识领域的边缘，然而一旦对它有了充分的认 识，就将会在我们面 前展现出一个迄今为止只被人们神话般
轴向拉(压)杆的变形
轴向拉（压）杆的变形
1.4 泊松比
实验表明，对于同一种材料，当应力不超过比例极
限时，横向线应变与纵向线应变之比的绝对值为常数。比
值ν称为泊松比，亦称横向变形系数。即
(5-9a)
由于这两个应变的符号恒相反，故有
ε'=-νε
(5-9b)
泊松比ν是材料的另一个弹性常数，由实验测得。工
程上常用材料的泊松比见表5-1。
轴向拉（压）杆的变形
工程力学
引入比例常数E，则上式可写为 （5-7）
上式称为胡克定律，这是胡克定律的另一形式。 由式（5-7）可看出，EA越大，杆件的变形Δl就越小，故称EA 为杆件抗拉（压）刚度。工程上常用材料的弹性模量见表5-1。
轴向拉（压）杆的变形
1.3 横向变形
在轴向力作用下，杆件沿轴向的方向伸长（缩 短）的同时，横向尺寸也将缩小（增大）。设横向 尺寸由b变为b1，如图5-8(b)所示，Δb= b1-b，则 横向线应变为
工程力学
轴向拉（压）杆的变形
轴向拉伸（或压缩）时，杆件的变 形主要表现为沿轴向的伸长（或缩短）， 即纵向变形。由实验可知，当杆沿轴向 伸长（或缩短）时，其横向尺寸也会相 应缩小（或增大），即产生垂直于轴线 方向的横向变形。
轴向拉（压）杆的变形
1.1 纵向变形
设一等截面直杆原长为l，横截面面积为A。在轴向拉力F 的作用下，长度由l变为l1，如图5-8（a）所示。杆件沿轴线方 向的伸长为Δl=l1－l，拉伸时Δl为正，压缩时Δl为负。
图5-8
轴向拉（压）杆的变形
杆件的伸长量与杆的原长有关，为了消除杆件长度 的影响，将Δl除以l，即以单位长度的伸长量来表征杆件 变形的程度，称为线应变或相对变形，用ε表形
轴向拉伸和压缩—轴向拉(压)杆的变形(建筑力学)
纵向线应变
l
l
线应变--每单位长 度的变形，无量纲。
△l以杆件伸长时为正，缩短时为负； 的正负号与△l
一致，因此，拉应变为正，压应变为负。
FP
a1
a
FP
l l1
杆的横向变形为
∆a =a1－a
杆在轴向拉伸时的横向变形为负值，压缩时为正值。
同理，将杆件的横向变形 除以杆的原截面边长，得杆件单
轴向拉伸与压缩
对于长度相同，轴力相同的杆件，分母EA越大，杆的纵向 变形⊿ l 就越小。
可见EA反映了杆件抵抗拉（压）变形的能力，称为杆件的 抗拉（压）刚度。
胡克定律的另一表达形式 或 E
E
在弹性范围内，正应力与线应变成正比。
对于各段杆件截面面积不同或内力分段不同的拉压杆 ，在计算杆件变形量时，应分段计算，然后叠加，即：
位长度的横向变形
' a
a
ε′称为横向线应变。ε′的正负号与⊿a 相同，压缩时为正 值，拉伸时为负值；ε′也是一个无量纲的量。
'
泊松比μ是一个无量纲的量。它的值与材料有关，可由实 验测出。
由于杆的横向线应变ε′与纵向线应变ε总是正、负号相反， 所以
-
轴向拉伸与压缩
第四节 轴向拉（压）杆的变形
一、纵向变形和横向变形
FP
a1
a
FP
l l1
纵向变形 l l1 - l
长度量纲
将杆件的绝对伸长量△l 除以杆的原长l，得到杆件单位
FNl EA
轴向拉伸与压缩
例7-6 试求 例7-5中砖柱顶面位移。已知E=3GPa， lAB=3m， lBC=4m。
解 由于砖柱底端是固定端，所以 柱顶面位移等于全柱的总缩短变形。
材料力学 杆件的变形计算
B
30oC2
C
C1
1.44mm
胡：请问，“ 弛其弦，以绳缓援之” 是什么意思 ?
郑：这是讲测量弓力时，先将弓的弦 松开，另外用绳子松松地套住弓 的两端，然后加重物，测量。
胡：我明白了。这样弓体就没有初始应力，处于自然状态。
郑：后来，到了唐代初期，贾公彦对我的注释又作了注疏，他说： 郑又云假令弓力胜三石，引之 中三尺者，此即三石力弓也。
400
400
FN KN 40
2）求伸长量
+
x l l AB lBC
－
20
l AB
FNABl AB EAAB
40 10 3 400 200 10 3 800
0.1mm
伸长
lBC
FNBC l BC EABC
20103 400 0.167mm
200103 240
缩短
l lAB lBC 0.1 0.167 0.067mm 缩短
A
1m
F
B
30o
C
分析
A
B
通过节点C的受力分析可以判断AC 杆受拉而BC杆受压，AC杆将伸长，而 F BC杆将缩短。
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
F NBC 56 . 6 kN （压力） F NBA 40 kN
（拉力）
（2）由强度条件确定各杆截面尺寸 对BA杆
A BA
d
4
2
F NBA
s
d
4 F NBA
s
17 . 8 mm
可取
d 18 mm
F NBC
对BC杆
A BC a
2
w
a
F NBC
【例】已知AB梁为刚体，CD为拉杆，拉杆直径
d=2cm,E=200GPa,FP=12kN, 求B点位移。
C 0.75m A D B
1m
1.5m
FP
解：(1)受力分析，求轴力
FN
F Ax
A
D
B
F Ay
1m
1.5m
FP
M
A
0
F P AB F N AD sin
FN
解：（1）受力分析， 求各杆轴力
F NBD
F x 0, Fy 0
2 F P 31 . 4 kN
（2）求各杆应力
BD
F NCD F P 22 . 2 kN
F NBD A BD F NCD A CD 22 . 2 kN 31 . 4 kN
CD
3
m
DD BB
AD AB
B B D D /(
AD AB
)
4 . 17 10
3
m
7.4 轴向拉压杆的强度计算
• 工作应力
FN A
• 失效：工作应力超过了杆件材料所能承受的极 限应力；
直杆轴向拉压的变形
单击此处添加标题
式中E 称为材料的弹性模量，与材料的性质有关， 由实验测定，它反映了某种材料抵抗变形的能 力，在国际单位制中常用单位为兆帕（MPa）。
它表明：在弹性受力范围内，应力与应变成正比。
3.6 直杆轴向拉、压在工程中的应用
应用分析：自从1956 年瑞士建成第一座现代化的斯特勒姆桑德斜拉桥以来，世界各国相继修建了300 多座斜拉 桥，我国就占了100 多座。在图a、b 所示的某斜拉桥中，钢质拉索就属于轴向受拉构件。在施工与使用过程中， 要采取有效的措施（如对钢索外加防护套、内注水泥浆）防止钢索发生锈蚀。道路与桥梁工程中许多桥墩属于轴 向受压构件，其截面通常采用圆形（图c）或方形。由于桥墩是轴向受压构件，故其纵向受力钢筋沿周边均匀分 布（图d）。
3. 螺栓连接，杆件也可绕结点作微小的转动，计算时，结点也可以简化为铰链连接，各根通过结 点连接的杆件，也可看成二力杆，通常上弦杆和腹杆受压，下弦杆受拉。为保证屋顶的稳定性 和安全性，在施工过程中，必须保证结点的施工质量和屋架的垂直度、水平度等。
单击此处添加大标题内容
某房屋工程为预应力混凝土管桩基础，采用干打锤击沉桩方法（如图）进 行沉桩时桩身应垂直，垂直度偏差不得超过0.5%，并用两台成90。方向 的经纬仪校准。应用分析：管桩是按轴向受压构件为主设计的，它承受房 屋传来的竖直向下的荷载作用。 管桩在锤击沉桩过程中，受到冲击动荷载的作用。冲击动荷载的大小与锤 重、落锤高度、锤击速度有关，冲击动荷载能有效地把管桩沉入地基中。 在沉桩施工过程中，桩身、桩帽、送桩和桩锤应
纵向绝对变形
单击此处添加标题
单击此处添加标题
规定拉伸时ε 为正，反之为负，线应变量纲为1。
实验表明：在弹性受力范围内，杆件的纵向变 形与杆件所受的轴力及杆件长度成正比，与杆 件的横截面面积成反比，这就是胡克定律。其 表达式为：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
♦轴向拉压时杆件的变形
解：⑴列平衡方程。
Fx = 0 FN2 sin a - FN1 sin a = 0
Fy - 0 FN1cosa + FN2 cos a - F =
0
‘,
得到.FN1 = FN2 =-
F 2cosa
♦轴向拉压时杆件的变形
(2)计算两杆的变形。 B
"22 = FEAL = lEAcosa
= =
卩 8
E
迫爾 0< “ 0.5 铜泡沫“ =-0.39 G =
♦轴向拉压时杆件的变形
兀■胡克定律
Fl △ l xd A
Thomas Young
罗伯特•胡克
E弹性模量 EA抗拉（压）刚度
♦轴向拉压时杆件的变形
五、杆件的变形计算
例题1图示为一变截面圆杆4BCD。已知
F1=20kN , F2=35kN , F3=35kN , /1=/3=300mm , /2=400mm , 4=12mm , ^2=16mm , ^3=24mmo 试
求：8截面的位移及"杆的变形。
♦轴向拉压时杆件的变形
50
♦轴向拉压时杆件的变形
解：B截面的位移及杆的变形
MAB = ^111 = 2.53 x 10-4m
AB EA1
AlBC = = -1.42 x 10-4m
BC EA2
AlCD = M3 = -1.58 x 10-4m
CD EA3
FN1 =20kN (+) FN2 =-15kN (-)
第二章拉伸压缩与剪切
2.1轴向拉压的内力计算 ◄2.2 画轴力图 ◄2.3拉（压）杆横截面上的应力 ◄2.4拉（压）杆斜截面上的应力 ◄2.5材料拉伸时的力学性能
第二章拉伸压缩与剪切
2.6材料压缩时的力学性能 ◄2.7失效、许用应力和强度计算 ◄2.8轴向拉压时杆件的变形 ◄2.9 应力集中的概念
(伸长)
变形后，两杆仍应铰结在一起。
A"
♦轴向拉压时杆件的变形
汨 AA
AAff
也 ― A A = AA = =
cos a 2 EA cos a
1.293mm (J)
A2
以BAi和GA?为半径作圆弧 相交于A" 过Ai，A?分别做两杆的垂线相交于A'
FN3 =- 50kN (-)
' =-0.3 mm
UB = A CD + X'BC
A/AD = A/AB + AlBc + A【CD = -0.47 x 10-4mm
♦轴向拉压时杆件的变形
例题2如图所示杆系由两根钢杆1和2组成。已知 杆 端铰接，两杆与铅垂线均成0=30°的角度，长度 均 为I = 2m，直径均为d=25mm，钢的弹性模量为 £=210GPa。设在点处悬挂一重物F=100 kN，试求
2.10剪切和挤压的实用计算
轴向拉压时杆件的变形
♦轴向拉压时杆件的变形
一、纵向变形
1.纵向变形 2.纵向应变
M = 11 -1
8 =T
♦轴向拉压时杆件的变形
1. 横向变形 、b = b1 - b
矽 2. 横向应变
ห้องสมุดไป่ตู้
=b1-b =业
bb
♦轴向拉压时杆件的变形
三、泊松比
S,
卩 卩 一 一 称为泊松比