四川大学2018微积分(1)期末考试及详细答案
2018年秋季学期微积分期末试卷解答
一． 填空题 1. 答案： 解析：
. 当 时，
所以 若
.综上， .
2. 答案：1
解析：
，
，则必有
1
3. 答案：
解析：
，
4. 答案： 解析：由泰勒定理得，
，其中
.于是，
.
2
5. 答案： 解析：
6. 答案： 解析：
7. 答案：
解析：
.
8. 解析：设
或 ，
，得
.
或
，
，
，
.代入
，得
3
.代入 .因此，
. 或者
， ， .因此，
，
，
，
.代入
，
，得
.
，
.代入
，得
，
.
二． 解析：由
时，
，可知
三． 解析： ，
.
，代入点
得
.
，代入点 得
，
.
，
4
四． 解析：
，整理得
，两边求得得， .
当 时， (
).因此，
，
，故
，得 .
五． 解析：由柯西中值定理得，存在 ，即
.
使得 ，
六． 解析：双纽线的极坐标方程为
，则
பைடு நூலகம்
.
，则由
得
，与
矛盾.
，解得
综上，
.
或者
得，
，
，所以数列 单调递减，且
，
由单调有界准则可知，极限
存在，且
.若
，则
.由
得
，得
矛盾.因此，
.
(2)因为
大一微积分期末试卷及答案[1]
![大一微积分期末试卷及答案[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/e8d0b679e45c3b3567ec8bf7.png)
微积分期末试卷 一、选择题（6×２）1~6 DDBDBD二、填空题1 In 1x + ;2 322y x x =-;3 2log ,(0,1),1xy R x =-; 4(0,0)5解：原式=11(1)()1mlim lim 2(1)(3)3477,6x x x x m xm x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 三、判断题1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ）2、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ）3、 设函数ｆ(x)在[]0,1上二阶可导且'()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有1~5 FFFFT四、计算题1用洛必达法则求极限2120lim x x x e →解：原式=222111330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞-2 若34()(10),''(0)f x x f =+求解：33223333232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+⋅=+=⋅++⋅⋅+⋅=⋅+++∴= 3 240lim(cos )x x x →求极限4 (3y x =-求5 3tan xdx ⎰6arctan x xdx ⎰求五、证明题。
1、 证明方程310x x +-=有且仅有一正实根。
证明：设3()1f x x x =+-2、arcsin arccos 1x 12x x π+=-≤≤证明（） 六、应用题1、 描绘下列函数的图形3.4.补充点7179(2,).(,).(1,2).(2,)2222---50lim (),()0x f x f x x →=∞∴=有铅直渐近线 6如图所示：2.讨论函数22()f x x Inx =-的单调区间并求极值 由上表可知f(x)的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-和单调递增区间为(1,0)1-+∞和（，）且f(x)的极小值为f(-1)=f(1)=1。
《微积分》课程期末考试试卷(A)及参考答案
3、若函数
f (x, y)
x y ，则
x y
f
(
1 x
,
y)
（
）
A、 x y
x y
B、 1 xy
1 xy
C、 1 xy
1 xy
4、设 D 由 y x, y 2x, y 1围成，则 dxdy （ ）
D
A、 1
2
B、 1
4
C、1
5、（ ）是一阶微分方程
3x 2
3y2
（6
分）。
2、
z y
xy
ln
x （3
分）；
2z y 2
xy
ln 2
x
（6
分）。
3、
f
1 x
(
x,
y)
1
x x2
y2
（5
分）；
f
1 x
(3,4)
2 （6
5
分）。
4、
z x
y
1 y
,
z y
x
x y2
（4
分）；
dz
(y
1 )dx y
(x
x y2
六、求方程 yy' x 的通解。（6 分）
七、判别级数 n1
2n n3n
的敛散性。（6
分）
《微积分》课程期末考试试卷（A）参考答案
一、 填空题（每题 3 分，共 36 分）。
1、
x3 y3
2x
xy y
3xy
2、 1
四川大学高数微积分I(上)考前复习用2018年期末真题试卷(含答案)
x
1
x4
2
x2
d 1
x
而
1 0
x4
2x 2x2
dx 1
1 2d x 2，
0
1
x4
2x 2x2
dx 1
1
2 x3
d
x
1，
故原无穷限广义积分也收敛.
三、解答题（每小题 10 分，共 20 分）
1.设两曲线为 l1 : y x2 ，l2 : x y 2 .
n1
n n1 n
(1)n1 1 xn
n1
n
f
(2017) (0)
a2017
2017!
2 2017
2017!
2 2016!
注 前一问 6 分，后一问 2 分.
6.判断无穷限广义积分
0
x4
2x 2x2
d 1
x
的敛散性.
解 1
2x
f ( x2 y) (2xy x2 dy ) e x y (1 dy ) 1
dx
dx
解之得 dy dx
f
( x2 f (
y x
)
2
2xy e x y) x2 e
x
y
y
1
.
y) 2xy e x y f ( x2 y) x2 e x y
(2) 由(1)知， x0 为极值点，所以 f ( x0 ) 0. 将函数 f ( x) 在点 x x0 处展开，得
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
大一期末考试微积分试题带答案汇编
第一学期期末考试试卷一、填空题(将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每小题3分，共15分.）1. =→xx x 1sin lim 0___0_____.2. 设1)1(lim )(2+-=∞→nx xn x f n ，则)(x f 的间断点是___x=0_____.3. 已知(1)2f =，41)1('-=f ,则12()x df x dx -== _______.4. ()ax x '=_______.5. 函数434)(x x x f -=的极大值点为________.二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题3分，共15分.） 1. 设)(x f 的定义域为)2,1(, 则)(lg x f 的定义域为________. A.)2lg ,0( B. ]2lg ,0[ C. )100,10( D.)2,1(.2. 设对任意的x ，总有)()()(x g x f x ≤≤ϕ，使lim[()()]0x g x x ϕ→∞-=，则lim ()x f x →∞______.A.存在且一定等于零B. 存在但不一定等于零C.不一定存在D. 一定存在. 3. 极限=-→xx x xe 21lim0________.A. 2eB. 2-eC. eD.不存在.4. 设0)0(=f ，1)0(='f ，则=-+→xx f x f x tan )2()3(lim0________.A.0B. 1C. 2D. 5.5. 曲线221xy x=-渐近线的条数为________. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3. 三、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 求20sin 1lim sin x x e x x →--. 四、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求21lim(cos )x x x +→. 五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）确定常数,a b , 使函数2(sec )0()0x x x x f x ax b x -⎧>=⎨+≤⎩处处可导.六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）设21()arctan ln(1)2f x x x x =-+,求dy .dy=arctanxdx七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 已知2326x xy y -+=确定y 是x 的函数,求y ''. 八、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）列表求曲线523333152y x x =-+的凹向区间及拐点.九、证明题（请写出推理步骤及结果，共6+6=12分.）1. 设)(x f 在[,]a b 上连续，且(),(),f a a f b b <>证明在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使()f ξξ=.2. 设函数)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导, 且0)1(=f ,求证:至少存在一点)1,0(∈ξ,使得3'()()0f f ξξξ+=.第一学期期末考试参考答案与评分标准一、填空题（3×5=15）1、02、 0x = 3 、4- 4、()1ln 1ax a x x a x -⋅+ 5、3x = 二、单项选择题（3×5=15）1、C2、C3、A4、B5、D三、（8×1=8）220000sin 1sin 1lim lim 2sin cos lim 62sin 1lim 822x x x x x x x x e x e x x x e xxe x →→→→----=-=+==L L L L L L L L L 分分分 四、（8×1=8）()200ln cos 1lim1sin cos lim 112lim (cos )268x x x x x x x xx e ee +→++→→-⋅--===L L L L L L L L L 分分分五、（8×1=8）因为()f x 在(),-∞+∞处处可导，所以()f x 在0x =处连续可导。
四川大学2018-2019学年 第二学期期末高等数学考试试卷
| | | | | | | |装| | | | |订|| | | | |线| | | | | | | | |四川大学2018~ 2019学年 第二学期期末考试试卷高等数学试卷（A ） 班级 理工类本科专业 答题时间120分钟一、填空题（本大题5小题，每题3分，共15分）1. 点M 位于第Ⅱ卦限，向量OM 与y 轴和z 轴的夹角分别为4π和3π，且4OM =，则点M 坐标为______________. 2. 二次积分202(,)xdx f x y dy -⎰极坐标形式的二次积分为_____________.3. 设()2,3,,3a b a b π===，则以3a b -和4a b +为边的平行四边形面积为___________.4. 设xz u y =，则du =___________________.5. 曲面2223z x y =-在点(2,1,5)的法线方程为_____________. 二、 选择题（本大题5小题，每题3分，共15分）6. 直线34272x y z++==--和平面4234x y z --=-的位置关系为（ ） A. 平行 B.垂直 C.斜交 D.在平面内7.考虑二元函数(,)f x y 下面的四条性质(1)(,)f x y 在点00(,)x y 连续；(2)(,)x f x y 和(,)y f x y 在点00(,)x y 连续；(3)(,)f x y 在点00(,)x y 可微；（4）00(,)x f x y 和00(,)y f x y 存在，用P Q ⇒表示由性质P 可推出Q ，则下列四个选项正确的是（ ）A. (3)(2)(1)⇒⇒B. (2)(3)(1)⇒⇒C. (3)(4)(1)⇒⇒D. (3)(1)(4)⇒⇒8.22(,)23)f x y x y =+在点0(1,2)P = 处减少最快的方向为（ ）A. 3i j -B.j C. j D. j +9. 12.设()f x 为连续函数，1()(),(1)ttyF t dy f x dx t =>⎰⎰，则'(2)F =( )A.2(2)fB. (2)f -C. (2)fD.0 10.幂级数1(2)32n n n x n∞=-⋅∑的收敛域为( )A.[1,5]-B. (1,5)-C. [1,5)-D. (1,5]-三、 偏导数计算（每题7分，共14分）11.若f 具有二阶连续偏导数，(,,)xyu f xy y z=，求2,u u z z x ∂∂∂∂∂12.若(,)u v Φ具有连续偏导数，证明由方程(,)0cx az cy bz Φ--=所确定的函数(,)z f x y =满足.z za b c x y∂∂+=∂∂四、 重积分计算（每题7分，共14分）13.计算二重积分22ln(1)DI x y d σ=++⎰⎰，其中D 是由圆周221x y +=及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域。
大一微积分练习题及答案
大一微积分练习题及答案(共5页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-《微积分（1）》练习题一． 单项选择题1．设()0x f '存在，则下列等式成立的有（ ） A ． ()()()0000limx f x x f x x f x '=∆-∆-→∆ B ．()()()0000lim x f xx f x x f x '-=∆-∆-→∆C ．()()()00002limx f h x f h x f h '=-+→ D ．()()()0000212lim x f h x f h x f h '=-+→2．下列极限不存在的有（ ）A ．201sin lim xx x → B ．12lim 2+-+∞→x x x xC ． xx e1lim → D ．()xx xx +-∞→632213lim3．设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ）A ．x e 22--B ．x e 2-C ．x e 24-D ． x xe 22--4．函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为（ ）间断点。
A ．跳跃间断点；B ．无穷间断点；C ．可去间断点；D ．振荡间断点5． 设函数()x f 在[]b a ,上有定义，在()b a ,内可导，则下列结论成立的有（ ）A ．当()()0<b f a f 时，至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0=ξf ；B ．对任何()b a ,∈ξ，有()()[]0lim =-→ξξf x f x ；C ．当()()b f a f =时，至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0='ξf ；D ．至少存在一点()b a ,∈ξ，使()()()()a b f a f b f -'=-ξ； 6． 已知()x f 的导数在a x =处连续，若()1lim -=-'→ax x f ax ，则下列结论成立的有（ ）A ．a x =是()x f 的极小值点；B ．a x =是()x f 的极大值点；C ．()()a f a ,是曲线()x f y =的拐点；D ．a x =不是()x f 的极值点，()()a f a ,也不是曲线()x f y =的拐点； 二． 填空：1．设⎪⎭⎫ ⎝⎛=x f y 1arcsin ，f 可微，则()='x y2．若32325-+-=x x x y ，则()=6y3．过原点()1,0作曲线x e y 2=的切线，则切线方程为4．曲线()2142-+=x x y 的水平渐近线方程为 铅垂渐近线方程为 5．设x x f +='1)(ln ，则()='x f ()=x f 三． 计算题：（1）321lim 221-+-→x x x x （2）32lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛-x x x x（3）xx x x 3sin )1ln(lim 20+→ （4）()[]221ln x y -= 求dy（5）053=-+x y exy求=x dxdy四． 试确定a ，b ，使函数()()⎩⎨⎧<-≥+++=0,10,2sin 1x e x a x b x f ax在0=x 处连续且可导。
大一微积分期末试题附答案
微积分期末试卷一、选择题（6×２）cos sin 1.()2,()()22()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π==1设在区间（0，）内（ ）。
Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数2x 1n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin21C X (1) xn e x x n a D a π→-=--==>、x 时，与相比是（ ）Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ）Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1X cosn=200000001()5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X oC X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ）Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线二、填空题1d 12lim 2,,x d xax ba b →++=ｘｘ２２１１、（ ）＝ｘ+1、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。
这条直线方程为：ｘ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-3三、判断题1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ）2、 0sin limx xx→-∞+∞在区间（，）是连续函数（）3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（）4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ）5、 设函数ｆ(x)在[]0,1上二阶可导且'()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有四、计算题1用洛必达法则求极限212lim x x x e →2 若34()(10),''(0)f x x f =+求3 24lim(cos )xx x →求极限4 (3y x =-求5 3tan xdx ⎰五、证明题。
四川大学期末考试试卷A卷
四川大学期末考试试卷（A 卷）（2014—2015年第二学期）科目：微积分（I ）-2 课程号： 考试时间：120分钟注：请将答案写在答题纸规定的方框内，否则记0分。
一、填空题(每小题3分，共18分)1．函数22ln(2)z x y =++在x =2，y =1时的全微分为2．已知曲线23,,x t y t z t ===上的点M 处的切线平行于平面24x y z ++=，则M 的坐标 是3．二重积分()22222sin 34x y a x x y d σ+≤-++⎰⎰的值等于4．设L 为连接(1,0), (0,1)两点的线段，曲线积分()L x y ds +⎰的值等于5. 设∑为平面1x y z ++=在第一卦限的部分，曲面积分2(1)dS x y ∑++⎰⎰的值等于 6．微分方程ln dy y x y dx x=的通解是 二、计算题 (每小题8分，共48分)1．设 5431z xz yz -+=，求2(0,0)z x y ∂∂∂． 2．设(2,sin )z f x y y x =-，其中f 具有连续二阶偏导数，求2 , 24x y z x yπ==∂∂∂． 3．计算2z dxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是两个球2222xy z R ++≤，2222 (0)x y z Rz R ++≤>所围成的闭区域．4．利用格林公式计算积分232()(2)Lx xy dx y xy dy -+-⎰Ñ，其中L 顶点为(0,0), (2,0), (2,2)和(0,2)的正方形区域的正向边界．5．计算222()()()SI y x dydz z y dzdx x z dxdy =-+-+-⎰⎰,其中S 为抛物面222z x y =--位于0z ≥内的部分的上侧．6．求微分方程tan sec dy y x x dx-=满足初始条件00x y ==的特解．三、应用题 (每小题10分，共20分)1．抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求原点到此椭圆的最长和最短距离．2．设函数()x ϕ连续， 且满足00()()()x x x x e t t dt x t dt ϕϕϕ=+-⎰⎰， 求()x ϕ． 四、分析证明题 (每小题7分，共14分)1．设222222),0(,)0,0x y x y f x y x y ++≠=⎨⎪+=⎩，讨论(,)f x y 在(0,0)处的可微性．2．设()[,],()0f x C a b f x ∈>，证明2()()()bb a a dx f x dx b a f x ≥-⎰⎰．。
常微分方程期末考试试题与答案
(2)首先，用分离变量法求得dx/dt=ax有通解x(t)=c exp(at)。
设方程有形如x(t)=c(t) exp(at)的解。代入方程得dc/dt= exp(-as) f(s),
从而得到特解x(t)= exp(at)exp(-as) f(s)ds和通解
(a)f连续，(b) f连续且对x有界，
(c) f连续且对x可微，(d) f连续且对x连续可微。
(5)在(4)中考虑的初值问题解对初值连续依赖的条件是__c___。
(a)f连续，(b) f连续且对x有界，
(c)连续且对x是Lipschitz的，(d) f连续且对x可微。
(6)设系统dx/dt=f(x)的初值问题具有存在唯一性且满足f(0)=0。系统关于初值x(0)=x0的解记为x(t,x0)。系统零解的渐近稳定性是指其零解稳定并且__d__。
[解](1)特征方程为2+1=0,=i, -i。通解为x(t)=C1exp(it)+C2exp(-it).
实通解为x(t)=C1cos(t)+C2sin(t).[5分]
(2)考虑算子形式的复系统(D2+1)z=exp(it).从而
z(t)= exp(it){1/( (D+i)2+ 1)}1= exp(it)(1/( (D2+2iD))1
=(x/y) d(xy3)+ 4x2d(xy)
=(x/y) {d(xy3)+ 4xy d(xy) }
=(x/y) d{xy3+ 2(xy)2}，[4分]
从而得到xy3+ 2(xy)2=C。[1分]
微积分期末测试题及答案
微积分期末测试题及答案 Prepared on 22 November 2020一 单项选择题(每小题3分,共15分)1.设lim ()x af x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)limh f a h f a h h→+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ).①(-1,1) ②,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分)sin lim sin x x x x x→∞-=+. 31lim(1)x x x+→∞+=.3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________.三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1x x x →-- 2.t t x e y te ⎧=⎨=⎩,求22d y dx3.ln(y x =,求dy 和22d y dx .4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx . 5.设1111,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.6.lim(32x x →∞=,求常数a ,b . 四 证明题(每小题10分,共30分)1.设f (x )在(-∞,+∞)上连续,且()()lim lim 0x x f x f x x x→+∞→-∞==,证明:存在(,)ξ∈-∞+∞,使 ()0f ξξ+= .2.若函数f (x )在[a ,+∞]上可导,对任意x ∈(a,+∞),有()f x M '≤,M 是常数,则2()lim 0x f x x→+∞=. 3.证明函数1sin y x=在(c ,1)内一致连续,但在(0,1)内非一致连续. 答案一 单项选择题(每小题3分,共15分)1.④2.①3.④4.③5.②二 填空题(每小题5分,共15分)sin lim sin x x x x x→∞-=+ . 2.31lim(1)x x x+→∞+= __e_.3.()f x =那么左导数(0)f -'=__-1__,右导数(0)f +'=__1__.三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分)2.t t x e y te⎧=⎨=⎩,求22d y dx3.ln(y x =,求dy 和22d y dx .4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx. 5.设1111,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.6.lim(32x x →∞=,求常数a ,b . 四 证明题(每小题10分,共30分)1.设f (x )在(-∞,+∞)上连续,且()()lim lim 0x x f x f x x x→+∞→-∞==,证明:存在(,)ξ∈-∞+∞,使 ()0f ξξ+= .2.若函数f (x )在[a ,+∞]上可导,对任意x ∈(a,+∞),有()f x M '≤,M 是常数,则2()lim 0x f x x →+∞=. 3.证明函数1sin y x=在(c ,1)内一致连续,但在(0,1)内非一致连续.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x2y3 sin z4dxdydz = 0. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分
Ω
由截面法褬 注意到 Dz = {(x, y) ∈ R2| x2 +y2 z2} · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分
代入初始条件褬 可得C = 2017.于是方程的解为
y = x2 + 2017x. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分
褲
二、解答题：（每题褸分，共褴褰分）
褱、交换二次积分I =
1 0
dx
1 x3
3
y2 ey dy的积分次序并计算I .
解：画出积分区域：
考生签名：
注：考试时间 120 分钟。请将答案写在答题纸规定的方框内，否则记 0 分。 一、计算题(每小题 5 分，共 30 分)
1. 求曲线 x cos t, y sin t, z t cos t 上点 (1, 0, 0) 处的切线方程.
2. 求曲面 z xy 在点（ 2, 3, 6）处的切平面方程.
三、应用题：（每题褹分，共褱褸分） 褱、求圆x2 + y2 = 1上一点褬 使得该点到A(0, 0)、B(3, 0)、C(0, 4)的距离的 平方之和最小褮 解褺 令f (x, y, λ) = x2 + y2 + (x − 3)2 + y2 + x2 + (y − 4)2 + λ(x2 + y2 − 1)褮
1
∴ 原式 = dz zdxdy
0 Dz
1
= πz3dz
0
= π . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 4
褵、设Γ是起点为(1, 0, 1)、 终点为(0, 1, 1)的有向线段褬 求 (y2 + z − x)dy.
Γ
解褺 Γ的参数方程x = 1−t, y = t, z = 1，t : 0 → 1，· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分
3x + 2y + z + 6 = 0. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分
褳、设D = {(x, y) ∈ R2| x + y 1, x 0, y 0}，求 xdxdy.
D
解褺
1
1−x
xdxdy = dx
xdy · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分
(x,
y)
=
(0,
0) 褬
褨褱褩求 ∂f
(0,
0)和 ∂f
(0,
0)褻
0,
∂x
∂y
(x, y) = (0, 0)
√√
褨褲褩判断f (x, y)在点(0, 0)处是否可微褻 褨褳褩设向量l = (
2 ,−
2 )褬 求 ∂f (0, 0)褮
22
∂l
解褺
褨褱褩因为f (x, 0)
=
0褬
∂f (0, 0)
∂x
四川大学期末考试试题（闭卷） （2017——2018 学年第 2 学期） A 卷
课程号：201138040 适用专业年级：
课序号： 学生人数：
课程名称：微积分（I）-2
印题份数：
学号：
任课教师： 姓名：
成绩：
考生承诺
我已认真阅读并知晓《四川大学考场规则》和《四川大学本科学生考试违纪作弊处分规定 （修订）》，郑重承诺： 1、已按要求将考试禁止携带的文具用品或与考试有关的物品放置在指定地点； 2、不带手机进入考场； 3、考试期间遵守以上两项规定，若有违规行为，同意按照有关条款接受处理。
第 2 页，共 2 页 试卷编号：
2018 微积分（1）-2 参考解答
一、计算题：（每题褵分，共褳褰分） 褱、求曲线x = cos t, y = sin t, z = t cos t上点(1, 0, 0)处的切线方程褮 解褺 对曲线方程关于t求导可得切向量为
(− sin t, cos t, cos t − t sin t). · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分
22
l
三、应用题 (每小题 9 分，共 18 分)
1. 求圆 x2 y2 1 上一点, 使得该点到 A0, 0 、 B 3, 0 、 C 0, 4 的距离的平方之和最小.
2. 设函数 y f ( x) 处处二阶可导, 其函数图像上任意一点（x, y）处的切线与 y 轴的交点为
0, u( x) , 若 u u y 2x2 , 并且 f (1) f (1) 4 e , 求函数 y f ( x) .
四、证明题 (每小题 6 分，共 12 分)
1. 设可微函数 f ( x, y, z) 满足: f (ta x, tb y, tc z) tabc f ( x, y, z), t 0 , 其中 a , b , c 都是正
f ( x, y, z) f ( x, y, z) f ( x, y, z)
+
) y2
=
(x2 + y2)2
=
.
(x2 + y2)2
既然 Py = Qx褬 于是曲线积分与路径无关褻
褳分
褳
√ 取新的路径 L : y = 9 − x2褬 起点为(3, 0)褬 终点为(−3, 0)褮 L 的参数方程
x = 3 cos θ, y = 3 sin θ褬 其中θ从褰变化到π褮
褲分
代入曲线积分可得
∆x→0
(∆x)2 + (∆y)2
∆y→0
3 (∆x)2(∆y)4
3 (∆x)2(k∆x)4
k4/3
= lim
= lim
=
.
∆x→0 (∆x)2 + (∆y)2 ∆x→0 (∆x)2 + (k∆x)2 1 + k2
∆y→0
因此褬由定义可知函数 f (x, y)在点(0, 0)处不可微褮
褳分
√√
褨褳褩因为 l = (
原式 = 1
π
(9 sin2 θ + 9 cos2 θ)dθ = π.
3分
90
褴、设曲面Σ是球面z = 2 − x2 − y2与锥面z = x2 + y2围成立体的表面褬 Σ的方向指向外侧褬 求 x2dydz + y2dzdx + z2dxdy褮
Σ
解褺 由高斯公式褬
原式 =
(2x + 2y + 2z)dxdydz.
褲分
y y = x3 (1, 1)
0
x
I=
1 0
dy
√3 y 0
3
y 2 ey dx
=
1 0
yey
dy
3分
=
yey
1 0
−
1 0
ey
dy
= e − (e − 1) = 1.
3分
x2 + y2 + z2 = 1
褲、设曲线Γ的方程为
褬 求 (x + 1)2ds褮
x + y + z = 0
Γ
解褺 由Γ的轮换对称性褬 可得
第 1 页，共 2 页 试卷编号：
3 x2 y4
,
5. f ( x, y) x2 y2
0,
( x, y) (0, 0)
f
f
, (1)求 (0, 0) 和 (0, 0) ;
x
y
( x, y) (0, 0)
2 2 f
(2)判断 （f x, y）在点（0, 0）处是否可微; (3)设向量 l ( , ) , 求 (0, 0).
1
−
x2 9
褬
起点为(3,
0)褬
终点为(−3,
0)褬
求
L
xdy x2
− +
ydx y2 褮
解褺
首先褬
Py
=
∂ −y
(
)
∂y x2 + y2
=
−(x2 + y2) + 2y2 (x2 + y2)2
=
y2 − x2 ,
(x2 + y2)2
∂x
(x2 + y2) − 2x2 y2 − x2
Qx
=
( ∂x x2
褳分 由方程组
fx = 4x + 2(x − 3) + 2λx = 0
1
原式 = (t2 + t)dt
0
=
5 .·
·
·
·······
·
·
·······
·
·
3分
6
xy − y = x2
褶、求微分方程初值问题
的解褮
y(1) = 2018
解褺
由( y ) x
=
xy − y x2
= 1，可得褺
y x
= x + C. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分
x2
xdy ydx
3. 设平面曲线 L 为 y 2 1 , 起点为（3, 0）, 终点为（ 3, 0）, 求
.
9x2 y2L来自4. 设曲面 是球面 z 2 x2 y2 与锥面 z x2 y2 围成立体的表面， 的方向指向外侧,
求 x2dydz y2dzdx z2dxdy.
xy y x2
6. 求微分方程初值问题