2013年全国高校自主招生数学模拟试卷6

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷六

一、选择题(36分)

1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是

(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049

2．设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y +b=0和曲线bx 2+ay 2=ab 的图形是

y

x

O O

x y

O x

y

y

x O A. B. C.

D.

3．过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于

A 、

B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 的长等于

(A)

163

(B) 8

3 (C)

16

3

3 (D) 8

3

4．若x ∈[－512 ，－3 ]，则y=tan(x +2

3 )－tan(x +6 )+cos(x +6 )的最大

值是

(A) 125

2 (B) 116

2 (C) 116

3 (D) 125

3

5．已知x ，y 都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数u=44－x 2+9

9－y 2

的最小值

是

(A) 8

5 (B) 24

11 (C) 12

7 (D) 12

5

6．在四面体ABCD 中， 设AB=1，CD=3，直线AB 与CD 的距离为2，夹角

为3

，则四面体ABCD 的体积等于 (A) 32 (B) 12 (C) 13 (D) 3

3

二．填空题(每小题9分，共54分)

7．不等式|x |3－2x 2－4|x |+3<0的解集是 ．

8．设F 1、F 2是椭圆x 29+y 2

4=1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1，

则△PF 1F 2的面积等于 ．

9．已知A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }，

B={x |21－x +a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x ∈R }

若A B ，则实数a 的取值范围是 ．

10．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且log a b=3

2，log c d=5

4

，若a －c=9，则b －

d= ．

11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相

邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于 ．

12． 设M n ={(十进制)n 位纯小数0.－a 1a 2…a n |a i 只取0或1(i=1，2，…，n －1)，

a n =1}，T n 是M n 中元素的个数，S n 是M n 中所有元素的和，则lim n →∞S n

T n

= ．

三、（20分）

13．设3

2≤x ≤5，证明不等式

2

x +1+2x －3+15－3x <219．

四、(20分)

14．设A 、B 、C 分别是复数Z 0=a i ，Z 1=1

2+b i ，Z 2=1+c i(其中a ，b ，c 都是实数)

对应的不共线的三点．证明：曲线

Z=Z 0cos 4t +2Z 1cos 2t sin 2t +Z 2sin 4t (t ∈R ) 与△ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点．

五、(本题满分20分)

15．一张纸上画有一个半径为R的圆O和圆内一个定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点A刚好与点A重合．这样的每一种折法，都留下一条折痕．当A取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷六

参考答案

一、选择题(每小题6分，共36分)

1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是

(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049

解：452=2025，462=2116．

在1至2025之间有完全平方数45个，而2026至2115之间没有完全平方数．故1至2025中共有新数列中的2025－45=1980项．还缺2003－1980=23项．由2025+23=2048．知选C．

2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是

A. B. C. D.

解：曲线方程为

x2

a+

y2

b

=1，直线方程为y=ax+b．

由直线图形，可知A、C中的a<0，A图的b>0，C图的b<0，与A、C中曲线为椭圆矛盾．

由直线图形，可知B 、D 中的a >0，b <0，则曲线为焦点在x 轴上的双曲线，故选

B ．

3．过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于

A 、

B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 的长等于

(A)

163

(B) 8

3 (C)

16

3

3 (D) 8

3

解：抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB 所在直线方程为y=3x ，弦的中点在y=

p

k =

4

3上，即AB 中点为(43，43)，中垂线方程为y=－33(x －43)+4

3

，令y=0，得点P

的坐标为16

3

．

∴ PF=

163

．选A ．

4．若x ∈[－512 ，－3]，则y=tan(x +2

3)－tan(x +6)+cos(x +6)的最大值是

(A)

125

2 (B)

116

2 (C)

116

3 (D)

125

3

解：令x +6=u ，则x +23=u +2，当x ∈[－5

12，－3]时，u ∈[－4，－6

]，

y=－(cot u +tan u )+cos u=－

2

sin2u +cos u ．在u ∈[－4，－6

]时，sin2u 与cos u

都单调递增，从而y 单调递增．于是u=－6时，y 取得最大值

11

6

3，故选C ．