选修2-2导数及其简单应用
_高中数学第一章导数及其应用2
f(x)＝1x
f ′(x)＝－x12＝－x－2
f(x)＝ x
f ′(x)＝21 x＝12x－12
f(x)＝x3
f′(x)＝3x2
结论：若f(x)＝xα(α为有理数)，则f′(x)＝αxα－1.
1．y＝c表示平行于x轴的直线，或与x轴重合的直线， 其斜率为0，故y＝c上任一点处的导数值为____0____， 直线y＝x的斜率为1，故直线y＝x上任一点处的导数值 为___1_____.
[分析] 只需求出K、Q两点的横坐标即可．
[解析]
设P(x0，y0)，则kl1＝y′|x＝x0＝2
1 x0
.
∵直线l1与l2垂直，则kl2＝－2 x0，
∴直线l2的方程为y－y0＝－2 x0(x－x0)．
∵点P(x0，y0)在曲线y＝ x上，∴y0＝ x0.
在直线l2的方程中令y＝0，则－ x0＝－2 x0(x－x0)．
2．当y＝c表示路程关于时间的函数时，常数c表明路 程不变化，因此一直处于__静__止____状态，故瞬时速度 为___0_____，因此y′＝____0____；
当y＝x表示路程关于时间的函数时，路程的改变量等 于时间的改变量，因此物体做匀速直线运动，瞬时速 度为___1_____，故y′＝____1____.
当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切 线的斜率为k＝3x20.
∵A在曲线上，∴y0＝x30，∴xx300－－82＝3x20，
∴x30－3x20＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0， ∴x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3， 此时切线方程y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0和 3x－y＋2＝0. [警示] 求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲 线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论．
_高中数学第一章导数及其应用2
[提示] ΔΔyx＝x＋Δx2＋xΔ＋2xΔx－x2＋2x
＝2x＋Δx＋xx－＋2Δx
∴ lim Δx→0
2x＋Δx＋xx－＋2Δx
＝2x－x22.
Байду номын сангаас
[问题3] F(x)的导数与f(x)、g(x)的导数有何关系？ [提示] F(x)的导数等于f(x)、g(x)导数和．
[问题 4] 试说明 y＝cos3x－π4如何复合的． [提示] 令 u＝g(x)＝3x－π4，y＝f(u)＝cos u，
(3)y′＝(2x2＋3)′·(3x－2)＋(2x2＋3)·(3x－2)′
＝4x·(3x－2)＋(2x2＋3)·3
＝18x2－8x＋9.
(4)y′＝xl＋n x1′－(2x)′
＝1xx＋x＋1－ 12ln
x －2xln
2
＝1＋x1x＋－1ln2
x －2xln
2.
二. 复合函数的导数
例题 2 求下列函数的导数：
(1)y＝1－12x3；
(2)y＝cos x2；
(3)y＝sin3x－π4； (4)y＝lg(2x2＋3x＋1)．
• [思路点拨] 解答本题可先分析复合函数的复合过 程，然后运用复合函数的求导法则求解．
解析： (1)设 y＝u13，u＝1－2x， 则 y′x＝y′u·u′x ＝u13′·(1－2x)′ ＝－3u－4·(－2) ＝1－62x4. (2)设 y＝cos u，u＝x2， 则 y′x＝y′u·u′x＝(cos u)′·(x2)′ ＝－sin u·2x ＝－2x·sin x2.
(4)开始学习求复合函数的导数要一步步写清楚，熟 练后中间步骤可省略．
特别提醒：只要求会求形如f(ax＋b)的复合函数的导 数．
高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.2知识点总结含同步练习题及答案
′
解：（1）y ′ = (e3x+2 ) = e3x+2 ⋅ (3x + 2)′ = 3e3x+2 ； （2）y ′ = (ln(2x − 1))′ =
1 2 ． ⋅ (2x − 1)′ = 2x − 1 2x − 1
2.利用导数求函数的切线方程 描述： 利用导数求函数的切线方程 步骤一：求出函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数 f ′ (x0 ) ； 步骤二：根据直线方程的点斜式，得到切线方程为 y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 )． 例题： 求曲线 y = ex + 1 在 (0, 2) 处的切线方程． 解：因为 y = ex + 1，所以 y ′ = ex ，故曲线 y = ex + 1在 (0, 2)处的切线斜率为
解：（1）因为 y =
所以在点 P 处的切线的斜率等于 4 ．所以在点 P 处的切线方程是
y−
即
8 = 4(x − 2), 3
12x − 3y − 16 = 0.
（2）设切点为 (x 0 , y 0 )，则由（1）知切线的斜率 k = x2 ，切线方程为 y − y 0 = x2 (x − x 0 ) ． 0 0 又切线过点 P (2,
8 1 ) 且 (x0 , y 0 ) 在曲线 y = x3 上，所以 3 3 ⎧ ⎪ 8 − y = x2 (2 − x0 ), 0 0 ⎨3 1 ⎪ ⎩ y = x3 , ⎪ 0 3 0 − 3x2 + 4 = 0, x3 0 0
整理得
即
(x0 − 2)2 (x0 + 1) = 0.
数学选修2-2第一章导数及其应用
数学选修2-2第一章导数及其应用1．一质点的运动方程是253s t =-，则在一段时间[11]t +∆，内相应的平均速度为（ ） Ａ．3()6t ∆+ Ｂ．3()6t -∆+ Ｃ．3()6t ∆- Ｄ．3()6t -∆-2．下列说法正确的是（ ）Ａ．函数的极大值就是最大值 Ｂ．函数的极小值就是函数的最小值 Ｃ．函数的最值一定是极值 Ｄ．闭区间上的连续函数一定存在最值3．抛物线214y x =在点(21)Q ，处的切线方程（ ） Ａ．10x y -++= Ｂ．30x y +-= Ｃ．10x y -+= Ｄ．10x y +-=4．设21()(1)f x x =-，则(0)f '等于（ ） Ａ．2-Ｂ．1- Ｃ．1 Ｄ．25．0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件 (D ）非充分非必要条件6．曲线y=x 3+x-2 在点P 0处的切线平行于直线y=4x ，则点P 0的坐标是（ ） A ．(0,1) B.(1,0) C.(-1,-4)或（1,0） D.(-1,-4)7．函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A .5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -168．已知201()212x x f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩，，，， ≤≤ ≤则20()f x dx =⎰（ ）Ａ．56 Ｂ．76 Ｃ．43 Ｄ．53 9．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是（ ）10．设313y x ax c =-+在()-+，∞∞上单调递增，则（ ） Ａ．0a <且0c = Ｂ．0a >且c 是任意实数 Ｃ．0a <且c 是任意实数 Ｄ．0a <且0c ≠11．从边长为10cm 16cm ⨯的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为（ ） Ａ．312cmＢ．372cmＣ．3144cmＤ．3160cm12．如图，由曲线32y x x =-与2y x =所围图形的面积为（ ） Ａ．512Ｂ．3712Ｃ．94 Ｄ．8313．若对于任意x ，有3()4(1)1f x x f '==-，，则此函数解析式为 ． 14.函数32x x y -=的单调增区间为 ，单调减区间为__________________； 15.函数()323922y x x x x =---<<有极大值 ，极小值 ；16.若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于 ；17、已知3)2(3123++++=x b bx x y 是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是 18.设321()252f x x x x =--+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为 ； 19．计算下列定积分。
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.1.3
第一章 导数及其应用
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1.1.3 导数的几何意义
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[思路点拨]
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求曲线上某点(x0，y0)处切线方程的步骤： 求出f′x0即切线斜率 ↓ 写出切线的点斜式方程 ↓ 化简切线方程
时，割线 PQ 逼近点 P 的切线 l，从而割线的斜率逼近切线 l 的
斜率．因此，函数 f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 l 的斜率 k， 即
k＝ lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0＝f′(x0)．
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1 ． 设 f′(x0) ＝ 0 ， 则 曲 线 y ＝ f(x) 在 点 (x0 ， f(x0)) 处 的 切 线
()
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴相交
解析： 在点(x0，f(x0))处切线斜率为0的直线与x轴平行或 重合，故选B.
答案： B
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第一章 导数及其应用
高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章 导数及其应用1.5.3
1.5.3 定积分的概念明目标、知重点1．了解定积分的概念，会用定义求定积分．2．理解定积分的几何意义．3．掌握定积分的基本性质．探究点一定积分的概念思考1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．思考2 怎样正确认识定积分ʃb a f(x)d x?答(1)定积分ʃb a f(x)d x是一个数值(极限值)．它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另外ʃb a f(x)d x与积分区间a，b]息息相关，不同的积分区间，所得值也不同．(2)定积分就是和的极限lim n →∞∑i ＝1nf (ξi )·Δx ，而ʃba f (x )d x 只是这种极限的一种记号，读作“函数f (x )从a 到b 的定积分”．(3)函数f (x )在区间a ，b ]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)． 例1 利用定积分的定义，计算ʃ10x 3d x 的值． 解 令f (x )＝x 3. (1)分割在区间0,1]上等间隔地插入n －1个分点，把区间0,1]等分成n 个小区间i －1n ，in](i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.(2)近似代替、求和取ξi ＝i n(i ＝1,2，…，n )，则ʃ10x 3d x ≈S n ＝∑ni ＝1f (in)·Δx ＝∑ni ＝1(i n )3·1n＝1n 4∑ni ＝1i 3＝1n 4·14n 2(n ＋1)2＝14(1＋1n)2. (3)取极限ʃ10x 3d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ 14(1＋1n )2＝14. 反思与感悟 (1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤． (2)从过程来看，当f (x )≥0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积． 跟踪训练1 用定义计算ʃ21(1＋x )d x .解 (1)分割：将区间1,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋in (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为 Δx ＝1n.(2)近似代替、求和：在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n 上取点ξi ＝1＋i －1n(i ＝1,2，…，n )，于是f (ξi )＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n ，从而得∑i ＝1n f (ξi )Δx ＝∑i ＝1n(2＋i －1n )·1n ＝∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋i －1n 2＝2n ·n ＋1n20＋1＋2＋…＋(n －1)]＝2＋1n 2·n (n －1)2＝2＋n －12n .(3)取极限：S ＝lim n →∞ ⎝⎛⎭⎪⎫2＋n －12n ＝2＋12＝52. 因此ʃ21(1＋x )d x ＝52.探究点二 定积分的几何意义思考1 从几何上看，如果在区间a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么ʃba f (x )d x 表示什么？答 当函数f (x )≥0时，定积分ʃba f (x )d x 在几何上表示由直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．思考2 当f (x )在区间a ，b ]上连续且恒有f (x )≤0时，ʃba f (x )d x 表示的含义是什么？若f (x )有正有负呢？答 如果在区间a ，b ]上，函数f (x )≤0时，那么曲边梯形位于x 轴的下方(如图①)． 由于b －an>0，f (ξi )≤0，故 f (ξi )b －a n ≤0.从而定积分ʃb a f (x )d x ≤0，这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值，即ʃbaf (x )d x ＝－S.当f (x )在区间a ，b ]上有正有负时，定积分ʃba f (x )d x 表示介于x 轴、函数f (x )的图象及直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )之间各部分面积的代数和(在x 轴上方的取正，在x 轴下方的取负)．(如图②)，即ʃba f (x )d x ＝－S 1＋S 2－S 3. 例2 利用几何意义计算下列定积分： (1)ʃ3－39－x 2d x ；(2)ʃ3－1(3x ＋1)d x .解 (1)在平面上y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆， 其面积为S ＝12·π·32.由定积分的几何意义知ʃ3－39－x 2d x ＝92π.(2)由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0，以及y ＝3x ＋1所围成的图形，如图所示： ʃ3－1(3x ＋1)d x 表示由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形在x 轴上方的面积减去在x 轴下方的面积，∴ʃ3－1(3x ＋1)d x ＝12×(3＋13)×(3×3＋1)－12(－13＋1)×2＝503－23＝16. 反思与感悟 利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定． 跟踪训练2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值： (1)ʃ1－1x d x ；(2)ʃ2π0cos x d x ；(3)ʃ1－1|x |d x . 解 (1)如图(1)，ʃ1－1x d x ＝－A 1＋A 1＝0. (2)如图(2)，ʃ2π0cos x d x ＝A 1－A 2＋A 3＝0.(3)如图(3)，∵A 1＝A 2，∴ʃ1－1|x |d x ＝2A 1＝2×12＝1.(A 1，A 2，A 3分别表示图中相应各处面积)探究点三 定积分的性质思考1 定积分的性质可作哪些推广？ 答 定积分的性质的推广①ʃb a f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ±…±ʃba f n (x )d x ； ②ʃb a f (x )d x ＝ʃc 1a f (x )d x ＋ʃc 2c 1f (x )d x ＋…＋ʃb c n f (x )d x (其中n ∈N *)． 思考2 如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？ 答 奇、偶函数在区间－a ，a ]上的定积分①若奇函数y ＝f (x )的图象在－a ，a ]上连续不断，则ʃa－a f (x )d x ＝0. ②若偶函数y ＝g (x )的图象在－a ，a ]上连续不断，则ʃa －a g (x )d x ＝2ʃa0g (x )d x . 例3 计算ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x 的值． 解 如图，由定积分的几何意义得ʃ3－39－x2d x＝π×322＝9π2，ʃ3－3x3d x＝0，由定积分性质得ʃ3－3(9－x2－x3)d x＝ʃ3－39－x2d x－ʃ3－3x3d x＝9π2.反思与感悟根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算．跟踪训练3 已知ʃ10x3d x＝14，ʃ21x3d x＝154，ʃ21x2d x＝73，ʃ42x2d x＝563，求：(1)ʃ203x3d x；(2)ʃ416x2d x；(3)ʃ21(3x2－2x3)d x.解(1)ʃ203x3d x＝3ʃ20x3d x＝3(ʃ10x3d x＋ʃ21x3d x)＝3×(14＋154)＝12；(2)ʃ416x2d x＝6ʃ41x2d x＝6(ʃ21x2d x＋ʃ42x2d x)＝6×(73＋563)＝126；(3)ʃ21(3x2－2x3)d x＝ʃ213x2d x－ʃ212x3d x＝3ʃ21x2d x－2ʃ21x3d x＝3×73－2×154＝7－152＝－12.1．下列结论中成立的个数是( )①ʃ10x3d x＝∑i＝1n i3n3·1n；②ʃ10x3d x＝limn→∞∑i＝1n(i－1)3n3·1n；③ʃ10x3d x＝limn→∞∑i＝1n i3n3·1n.A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析 ②③成立．2．定积分ʃba f (x )d x 的大小( )A ．与f (x )和积分区间a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与f (x )有关，与区间a ，b ]以及ξi 的取法无关C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间a ，b ]无关D ．与f (x )、积分区间a ，b ]和ξi 的取法都有关 答案 A3．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子： ①ʃ10x d x ________ʃ10x 2d x ； ②ʃ204－x 2d x ________ʃ202d x . 答案 ①> ②<4．若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________． 答案 3解析 令f (x )＝x 2. (1)分割将区间0，T ]n 等分，则Δx ＝Tn. (2)近似代替、求和取ξi ＝T i n(i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑i ＝1n(T i n )2·T n ＝T 3n 3∑i ＝1n i 2＝T 3n 3(12＋22＋…＋n 2)＝T 3n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＝T 36(1＋1n )(2＋1n)． (3)取极限S ＝lim n →∞T 36×2＝T 33＝9, ∴T 3＝27，∴T ＝3. 呈重点、现规律]1．定积分ʃbaf (x )d x 是一个和式∑i ＝1nb －anf (ξi )的极限，是一个常数． 2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.一、基础过关1．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则ʃa－a f (x )d x ＝0 B ．若f (x )是连续的偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa0f (x )d x C ．若f (x )在a ，b ]上连续且恒正，则ʃba f (x )d x >0D ．若f (x ) 在a ，b ]上连续且ʃba f (x )d x >0，则f (x )在a ，b ]上恒正 答案 D解析 对于A ，f (－x )＝－f (x )，ʃa－a f (x )d x＝ʃ0－a f (x )d x ＋ʃa 0f (x )d x ＝－ʃa 0f (x )d x ＋ʃa0f (x )d x ＝0，同理B 正确；由定积分的几何意义知，当f (x )>0时，ʃb a f (x )d x >0即C 正确；但ʃb a f (x )d x >0，不一定有f (x )恒正，故选D. 2．已知定积分ʃ60f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则ʃ6－6f (x )d x 等于( )． A ．0 B ．16 C ．12 D ．8 答案 B解析 偶函数图象关于y 轴对称， 故ʃ6－6f (x )d x ＝2ʃ60f (x )d x ＝16，故选B. 3．已知ʃt 0x d x ＝2，则ʃ0－t x d x 等于( ) A ．0 B ．2 C ．－1 D ．－2 答案 D解析 ∵f (x )＝x 在－t ，t ]上是奇函数， ∴ʃt －t x d x ＝0.而ʃt －t x d x ＝ʃ0－t x d x ＋ʃt0x d x ， 又ʃt0x d x ＝2，∴ʃ0－t x d x ＝－2.故选D.4．由曲线y ＝x 2－4，直线x ＝0，x ＝4和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( ) A ．ʃ40(x 2－4)d x B.||ʃ40(x 2－4)d x C ．ʃ40|x 2－4|d xD ．ʃ20(x 2－4)d x ＋ʃ42(x 2－4)d x 答案 C5．设a ＝ʃ10x 13d x ，b ＝ʃ10x 2d x ，c ＝ʃ10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c >a >bB ．a >b >cC ．a ＝b >cD ．a >c >b答案 B解析 根据定积分的几何意义，易知ʃ10x 3d x <ʃ10x 2d x <ʃ10x 13d x ，a >b >c ，故选B.6．若ʃa－a |56x |d x ≤2 016，则正数a 的最大值为( ) A ．6 B ．56 C ．36 D ．2 016 答案 A解析 由ʃa －a |56x |d x ＝56ʃa－a |x |d x ≤2 016， 得ʃa－a |x |d x ≤36，∴ʃa－a |x |d x ＝2ʃa0x d x ＝a 2≤36， 即0<a ≤6.故正数a 的最大值为6.7.lim n →∞ln n(1＋1n )2(1＋2n )2…(1＋n n)2等于( )A ．ʃ21ln 2x d x B ．2ʃ21ln x d x C ．2ʃ21ln(1＋x )d x D ．ʃ21ln 2(1＋x )d x答案 B解析 lim n →∞ln n(1＋1n )2(1＋2n )2…(1＋n n)2＝lim n →∞2n ln ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋1n )(1＋2n)…(1＋n n ) ＝2lim n →∞ ∑ni ＝1ln (1＋i n )n ＝2ʃ21ln x d x (这里f (x )＝ln x ，区间1,2]或者2lim n →∞ ∑ni ＝1ln (1＋in )n＝2ʃ10ln(1＋x )d x ，区间0,1])．二、能力提升8．由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝－π，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是S ＝________. 答案 －ʃ0－πsin x d x解析 由定积分的意义知，由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝－π，y ＝0围成图形的面积为S ＝－ʃ0－πsinx d x .9．计算定积分ʃ1－14－4x 2d x ＝________. 答案 π解析 由于ʃ1－14－4x 2d x ＝2ʃ1－11－x 2d x 表示单位圆的面积π，所以ʃ1－14－4x 2d x ＝π. 10．设f (x )是连续函数，若ʃ10f (x )d x ＝1，ʃ20f (x )d x ＝－1，则ʃ21f (x )d x ＝________. 答案 －2解析 因为ʃ20f (x )d x ＝ʃ10f (x )d x ＋ʃ21f (x )d x ，所以ʃ21f (x )d x ＝ʃ20f (x )d x －ʃ10f (x )d x ＝－2.11．利用定积分的定义计算ʃ21(－x 2＋2x )d x 的值，并从几何意义上解释这个值表示什么． 解 令f (x )＝－x 2＋2x . (1)分割在区间1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间1,2]等分为n 个小区间1＋i －1n ，1＋in](i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.(2)近似代替、求和取ξi ＝1＋in(i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑ni ＝1f (1＋i n )·Δx ＝∑ni ＝1－(1＋i n )2＋2(1＋i n )]·1n＝－1n 3(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n2(n ＋1)＋(n ＋2)＋(n ＋3)＋…＋2n ]＝－1n 32n (2n ＋1)(4n ＋1)6－n (n ＋1)(2n ＋1)6]＋2n 2·n (n ＋1＋2n )2＝－13(2＋1n )(4＋1n )＋16(1＋1n )(2＋1n )＋3＋1n .(3)取极限ʃ21(－x 2＋2x )d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞－13(2＋1n )(4＋1n )＋16(1＋1n )(2＋1n )＋3＋1n ]＝23， ʃ21(－x 2＋2x )d x ＝23的几何意义为由直线x ＝1，x ＝2，y ＝0与曲线f (x )＝－x 2＋2x 所围成的曲边梯形的面积．12．用定积分的意义求下列各式的值：(1)ʃ30(2x ＋1)d x ；(2)⎰x .解 (1)在平面上，f (x )＝2x ＋1为一条直线，ʃ30(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x ＝3与x 轴围成的直角梯形OABC 的面积，如图(1)所示，其面积为S ＝12(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知ʃ30(2x ＋1)d x ＝12.(2)由y ＝1－x 2可知，x 2＋y 2＝1(y ≥0)图象如图(2)，由定积分的几何意义知⎰1－x 2d x等于圆心角为120°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和．S 弓形＝12×23π×12－12×1×1×sin 23π＝π3－34，S 矩形＝|AB |·|BC |＝2×32×12＝32，∴⎰1－x 2d x ＝π3－34＋32＝π3＋34.三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3， x ∈[－2，2)2x ， x ∈[2，π)cos x ， x ∈[π，2π]，求f (x )在区间－2,2π]上的积分．解 由定积分的几何意义知 ʃ2－2x 3d x ＝0，ʃπ22x d x ＝(π－2)(2π＋4)2 ＝π2－4， ʃ2ππcos x d x ＝0， 由定积分的性质得ʃ2π－2f (x )d x ＝ʃ2－2x 3d x ＋ʃπ22x d x ＋ʃ2ππcos x d x ＝π2－4.。
高中数学人教(A版)选修2-2导数及其应用1.1 变化率与导数
f ( x0 x ) f ( x0 ) y lim lim f ( x0 ) x 0 x x 0 x
称它为函数y f ( x )在x x0处的导数. ' ' 记作f ( x ( x0 ) y lim lim f ( x0 ) x 0 x x 0 x
2 1
0.62>0.16
所以气球半径增加得越来越慢
P3 思考?
• 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀
率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
气球的平均膨胀率即气球半径的平均变化率 气球半径的平均变化率可以刻画气球半径 变化快慢
• 问题2 高台跳水 • 运动员相对于水面的高度h(单位：米)
瞬时速度
当t 2，t 0时，平均速度v就趋近 于t 2时刻的瞬时速度.表示为：
为方便表示，我们用：
h(2 t ) h(2) lim 13.1, t t 0 表示t 2时刻的瞬时速度.
在t0时刻的瞬时速度呢？
当t t 0时，t趋近于0时，平均速度 v就趋近 于t 0时刻的瞬时速度 .表示为：
函数
微积分（牛顿，莱布尼兹）
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函
数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; • 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。
•
导数是微积分的核心概念之一它是研究 函数增减、变化快慢、最大（小）值等 问题最一般、最有效的工具。
h(t0 t ) h(t0 ) lim t t 0
气球体积为V0时的瞬时膨胀率如何表示？
r (V0 V ) r (V0 ) r lim lim V 0 V V 0 V
选修2-2——基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
1．2 导数的计算1．2.1 几个常用函数的导数1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一), [学生用书P 11])1．问题导航(1)函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x －1，y ＝x 2，y ＝x 1的导数分别是什么？能否得出y ＝x n 的导数公式？(2)正余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公式分别是什么？如何应用这些公式？2．例题导读通过对P 14例1的学习，应注意以下两个问题： (1)用导数公式直接求函数的导数．(2)变化率的实际意义及利用导数知识解决实际问题的优越性．1．几个常用函数的导数(1)若y ＝f (x )＝c ，则f ′(x )＝0． (2)若y ＝f (x )＝x ，则f ′(x )＝1． (3)若y ＝f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ．(4)若y ＝f (x )＝1x ，则f ′(x )＝－1x2＝－x －2．(5)若y ＝f (x )＝x ，则f ′(x ).2．基本初等函数的导数公式(1)若f (x )＝c (c 为常数)，则f ′(x )＝0．(2)若f (x )＝x α(α∈Q *)，则f ′(x )＝αx α－1． (3)若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos_x ． (4)若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝－sin_x ． (5)若f (x )＝a x ，则f ′(x )＝a x ln_a ． (6)若f (x )＝e x ，则f ′(x )＝e x ．(7)若f (x )＝log a x ，则f ′(x )＝1x ln a ．(8)若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若y ＝x 3＋2，则y ′＝3x 2＋2.( )(2)若y ＝1x ，则y ′＝1x2.( )(3)若y ＝2x，则y ′＝x ·2x －1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．余弦曲线y ＝cos x 在(0，1)处的切线的斜率为( ) A ．1 B ．0 C.π2D ．－1 答案：B3．若y ＝25，则y ′＝________． 答案：04．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－4，则α＝________． 答案：41．对常数函数导数的几何意义与物理意义的两点说明(1)常数函数的导数为0，其几何意义为f (x )＝c 在任意点处的切线平行于x 轴或与x 轴重合，其斜率为0.(2)若y ＝c 表示路程关于时间的函数，则y ′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．2．函数y ＝kx (k 为常数)的导数值k 与该函数增减快慢之间的关系(1)函数y ＝kx (k >0)增加的快慢与k 有关系，即与函数的导数有关系，k 越大，函数增加得越快，k 越小，函数增加得越慢．(2)函数y ＝kx (k <0)减少的快慢与|k |有关系，即与函数导数的绝对值有关系，|k |越大，函数减少得越快，|k |越小，函数减少得越慢．利用导数公式求函数的导数[学生用书P 12]求下列函数的导数： (1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝⎝⎛⎭⎫12x ；(5)y ＝2cos 2x 2－1.[解] (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝()x 35′＝35x －25＝355x2.(4)y ′＝⎝⎛⎭⎫12x ln 2－1＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2. (5)y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝－sin x .用公式求函数导数的方法：(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．(2)对于不能直接利用公式的类型，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y ＝1x4可以写成y ＝x －4，y ＝5x 3可以写成y ＝x 35等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．1．(1)已知函数f (x )＝1x3，则f ′(－3)＝( )A ．81B ．243C ．－243D ．－127解析：选D.∵f (x )＝x －3，∴f ′(x )＝－3x －4＝－3x 4，∴f ′(－3)＝－3（－3）4＝－127. (2)已知f (x )＝ln x 且f ′(x 0)＝1x 20，则x 0＝________．解析：∵f (x )＝ln x (x >0)，∴f ′(x )＝1x，∴f ′(x 0)＝1x 0＝1x 20，∴x 0＝1. 答案：1导数的几何意义(1)求曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线方程． [解] ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线斜率为e 0＝1， 又∵切线过点(0，1)，∴切线方程为y －1＝x －0， 即x －y ＋1＝0.(2)已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．[解] 由于y ＝sin x ，y ＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)， 所以两条曲线在P (x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0， k 2＝y ′|x ＝x 0＝－sin x 0.若使两条切线互相垂直， 必有cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin 2x 0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．利用导数的几何意义解决曲线切线问题的方法：2．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a 等于________．解析：∵y ′＝－12x －32，∴切线的斜率k ＝－12a －32，∴切线方程是y －a －12＝－12a －32(x －a )．令x ＝0，得y ＝32a －12，令y ＝0，得x ＝3a ，∴三角形的面积S ＝12·3a ·32a －12＝18，解得a ＝64.答案：64导数几何意义的综合应用[学生用书P 12](1)设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1，1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 的值为( )A.1nB.1n ＋1C.n n ＋1D ．1 [解析] 对y ＝x n ＋1(n ∈N *)求导得y ′＝(n ＋1)x n . 令x ＝1，得在点(1，1)处的切线的斜率k ＝n ＋1， ∴在点(1，1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x n －1)，令y ＝0，则x n ＝nn ＋1，∴x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n －1n ×n n ＋1＝1n ＋1，故选B.[答案] B (2)(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝________．[解析] ∵ f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴ f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴ 切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵ 切线过点(2，7)，∴ 7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. [答案] 1利用导数的几何意义求解曲线的切线与坐标轴所围成的三角形的面积问题，切线与数列的交汇问题，公切线问题等，首先要熟记导数公式，对函数能够正确求导，再注意转化思想，数形结合思想及构造法、配方法的运用．3．已知直线x ＋2y －4＝0与抛物线y 2＝4x 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试在抛物线弧AOB ︵上求一点P ，使△ABP 的面积最大．解：如图所示，|AB |为定值，要使△P AB 面积最大，只要使P 到AB 的距离最大，所以点P 是抛物线的平行于AB 的切线的切点．设P (x ，y )，由图知，点P 在x 轴下方的图象上，所以y ＝－2x .由导函数的定义不难求得y ′＝－1x. 因为k AB ＝－12，所以－1x＝－12，即x ＝2，x ＝4.由y 2＝4x (y <0)，得y ＝－4，所以P (4，－4)．下列结论：①若y ＝3x ，则y ′＝133x ；②若y ＝x 3，则y ′＝3x 2；③若f (x )＝x 2，则f ′(3)＝9.其中正确的序号是________．[解析] y ＝3x ，y ′＝(3x )′＝()x 13′ ＝13x －23＝133x 2. ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，则f ′(3)＝2×3＝6. [答案] ② [错因与防范](1)求导时易出现的错误是解析式化简出错，符号处理不清，理解不到位，从而出错． (2)对用根式形式表示的函数要化商成指数式，能够化商后变为基本初等函数的函数求导问题是易错点．4．求下列函数的导数． (1)y ＝7x 3； (2)y ＝lg x ；(3)y ＝cos t (t 为常数)． 解：(1)∵y ＝7x 3＝x 37，∴y ′＝(7x 3)′＝(x 37)′＝37x －47＝377x 4.(2)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.(3)y ′＝(cos t )′＝0.1．若f (x )＝sin x ，f ′(α)＝12，则下列α的值中满足条件的是( )A.π3B.π6C.23πD.56π 解析：选A.∵f (x )＝sin x ，∴f ′(x )＝cos x .又∵f ′(α)＝cos α＝12，∴α＝2k π±π3(k ∈Z )．当k ＝0时，α＝π3，故选A.2．(2015·广州高二检测)已知直线y ＝kx 是曲线y ＝3x 的切线，则k 的值为( ) A.13B ．eln 3C ．log 3 eD ．e 解析：选B.设切点为(x 0，y 0)， 因为y ′＝3x ln 3， 所以k ＝3x 0ln 3， 所以y ＝3x 0ln 3·x ，又因为(x 0，y 0)在曲线y ＝3x 上， 所以3x 0ln 3·x 0＝3x 0，所以x 0＝1ln 3＝log 3 e.所以k ＝eln 3. 3．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数，且a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________．解析：在点(a k ，a 2k )处的切线方程为：y －a 2k ＝2a k (x －a k )，当y ＝0时，解得x ＝a k 2，∴a k ＋1＝a k2，∵a 1＝16，∴a 2＝8，a 3＝4，a 4＝2，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21.答案：21[A.基础达标]1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝1x，则y ′＝－12xC ．若y ＝x ，则y ′＝12xD ．若y ＝x ，则y ′＝1解析：选B.A 、D 显然正确；对于B ，y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝(x －12)′＝－12x －32＝－12x 3，不正确；对于C ，y ′＝(x )′＝12x －12＝12x.正确．2．曲线y ＝12x 2在点⎝⎛⎭⎫1，12处的切线的倾斜角为( ) A ．－π4 B ．1C.π4D.34π 解析：选C.y ′＝x ，∴切线的斜率k ＝tan α＝1，∴α＝π4.3．曲线y ＝x 过点(1，1)的切线方程为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝12x ＋12C ．y ＝－12x ＋32D ．y ＝x解析：选 B.∵y ′＝12x，∴在点(1，1)处的切线的斜率为12，由点斜式得过点(1，1)的切线方程为y ＝12x ＋12.4．下列结论中不正确的是( ) A ．若f (x )＝x 4，则f ′(2)＝32B ．若f (x )＝1x，则f ′(2)＝－22C ．若f (x )＝1x 2·x，则f ′(1)＝－52D ．若f (x )＝x －5，则f ′(－1)＝－5解析：选B.对于A ，∵f ′(x )＝4x 3，∴f ′(2)＝4×23＝32，正确；对于B ，∵f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝(x －12)′＝－12x －32，∴f ′(2)＝－12×2－32＝－12×123＝－142＝－28，不正确；对于C ，∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2·x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 52′＝(x －52)′＝－52x －72，∴f ′(1)＝－52，正确；对于D ，∵f ′(x )＝－5x －6，∴f ′(－1)＝－5，正确． 5．曲线f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条解析：选C.f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＝1.解得切点坐标为⎝⎛⎭⎫33，39或⎝⎛⎭⎫－33，－39.∴切线有2条． 6．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________．解析：法一：∵ y ＝x ＋ln x ，∴ y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2.∴ 曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为 y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵ y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴ a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)．∵ y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴ y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋（a ＋2）＝2，ax 20＋（a ＋2）x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.答案：87．质点的运动方程是s ＝1t4(其中s 的单位是m ，t 的单位是s)．则质点在t ＝3s 时的速度是________．解析：∵s ＝t －4，∴s ′＝－4t －5，∴质点在t ＝3 s 时的速度是(－4)×135＝－4243(m/s)．答案：－4243m/s8．已知f (x )＝a 2(a 为常数)，g (x )＝ln x ，若2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝1，则x ＝________． 解析：∵f (x )＝a 2(a 为常数)， ∴f ′(x )＝0.又∵g (x )＝ln x (x >0)，∴g ′(x )＝1x，∴2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝1，即2x －1x＝1，解之得x ＝1. 答案：19．(2015·长沙高二检测)求过曲线f (x )＝cos x 上一点P ⎝⎛⎭⎫π3，12且与曲线在这点的切线垂直的直线方程．解：因为f (x )＝cos x ，所以f ′(x )＝－sin x ，则曲线f (x )＝cos x 在点P ⎝⎛⎭⎫π3，12的切线斜率为f ′⎝⎛⎭⎫π3＝－sin π3＝－32，所以所求直线的斜率为233，所求直线方程为y －12＝233⎝⎛⎭⎫x －π3.即y ＝233x －239π＋12.10．(2015·苏州高二检测)设曲线y ＝e x (x ≥0)在点M (t ，e t )处的切线l 与x 轴、y 轴所围成的三角形的面积为S (t )，求S (t )的解析式．解：对y ＝e x 求导可得f ′(x )＝(e x )′＝e x ， 故切线l 在点M (t ，e t )处的斜率为f ′(t )＝e t ， 故切线l 的方程为y －e t ＝e t (x －t )． 即e t x －y ＋e t (1－t )＝0，令y ＝0可得x ＝t －1.令x ＝0可得y ＝e t (1－t )，所以S (t )＝12|(t －1)·e t (1－t )|＝⎪⎪⎪⎪－12（t －1）2e t ＝12(t －1)2e t .(t ≥0) [B.能力提升]1．曲线y ＝x n在x ＝2处的导数为12，则n 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C.∵y ′＝n ·x n －1，∴y ′|x ＝2＝n ·2n －1＝12，∴n ＝3. 2．(2015·北京高二检测)已知曲线y ＝x 3在点(2，8)处的切线方程为y ＝kx ＋b ，则k －b ＝( )A ．4B ．－4C ．28D ．－28解析：选C.∵y ＝x 3，∴y ′＝3x 2， y ′|x ＝2＝12，∴在点(2，8)处的切线方程为y ＝12x －16， ∴k ＝12，b ＝－16. ∴k －b ＝28. 3．若质点P 的运动方程是s ＝3t 2(s 单位为m ，t 单位为s)，则质点P 在t ＝8时的瞬时速度是________．解析：∵s ′＝(3t 2)′＝(t 23)′＝23t －13，∴当t ＝8时，s ′＝23×8－13＝23×2－1＝13.∴质点P 在t ＝8时的瞬时速度为13m/s.答案：13m/s4．设直线l 1与曲线y ＝x 相切于点P ，直线l 2过点P 且垂直于l 1，若l 2交x 轴于点Q ，又作PK 垂直于x 轴于点K ，则KQ 的长为________．解析：如图所示，设P (x 0，y 0)，∵y ′＝12x ，∴kl 1＝12x 0.∵直线l 1与l 2垂直，则kl 2＝－2x 0，∴直线l 2的方程为y －y 0＝－2x 0(x －x 0)． ∵点P (x 0，y 0)在曲线y ＝x 上，∴y 0＝x 0.在直线l 2的方程中令y ＝0，则－x 0＝－2x 0(x －x 0)．∴x ＝12＋x 0，即x Q ＝12＋x 0.又x K ＝x 0，∴|KQ |＝x Q －x K ＝12＋x 0－x 0＝12.答案：125．(2015·淮南高二检测)已知 P (－1，1)，Q (2，4)是曲线y ＝x 2上的两点，(1)求过点P ，Q 的曲线y ＝x 2的切线方程； (2)求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程． 解：(1)因为y ′＝2x ，P (－1，1)，Q (2，4)都是曲线y ＝x 2上的点． 过P 点的切线的斜率k 1＝y ′|x ＝－1＝－2， 过Q 点的切线的斜率k 2＝y ′|x ＝2＝4， 过P 点的切线方程：y －1＝－2(x ＋1)， 即：2x ＋y ＋1＝0.过Q 点的切线方程：y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)因为y ′＝2x ，直线PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1，切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点M ⎝⎛⎭⎫12，14， 与PQ 平行的切线方程：y －14＝x －12，即：4x －4y －1＝0.6.如图，已知曲线f (x )＝2x 2＋a (x ≥0)与曲线g (x )＝x (x ≥0)相切于点P ，且在点P 处有相同的切线l .求点P 的坐标及a 的值．解：设切点P (x 0，y 0)，由直线l 与曲线f (x )相切于点P ，得切线l 的斜率为f ′(x 0)＝4x 0， 由直线l 与曲线g (x )相切于点P ，得切线l 的斜率为g ′(x 0)＝12x 0，由f ′(x 0)＝g ′(x 0)，得4x 0＝12x 0，解得x 0＝14.所以y 0＝x 0＝12，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫14，12. 由点P ⎝⎛⎭⎫14，12在曲线f (x )上，得2×⎝⎛⎭⎫142＋a ＝12，解得a ＝38.所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫14，12，a 的值为38.。
选修2-2第一章导数及其应用归纳整合
边梯形面积的区别．
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解读高考
专题一 应用导数解决与切线相关的问题 根据导数的几何意义，导数就是相应切线的斜率，从而就可 以应用导数解决一些与切线相关的问题．
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【例 1】 设函数 f(x)＝4x2－ln x＋2，求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1)) 处的切线方程． 1 解 f′(x)＝8x－ x. 所以在点(1，f(1))处切线的斜率 k＝f′(1)＝7， 又 f(1)＝4＋2＝6， 所以切点的坐标为(1,6)， 所以切线的方程为 y－6＝7(x－1)，即 y＝7x－1.
(2)求函数最值的步骤
一般地，求函数y ＝f(x) 在[a ，b] 上最大值与最小值的步骤如下： ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其 中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
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7．应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数 关系)，如果函数在区间内只有一个点x0，使f′(x0)＝0，则f(x0)是 函数的最值．
为增(或减)函数的充分条件．
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5．利用导数研究函数的极值要注意 (1) 极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧领域而言 的．
(2) 连续函数f(x) 在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能
没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函 数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小． (3)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零 的点，不一定是该函数的极值点．因此导数为零的点仅是该点
3．利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基
高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.4知识点总结含同步练习题及答案
1 1 1 25 ． + +⋯+ < n+1 n+2 2n 36
即
2n 1 1 1 1 n + +⋯+ <∫ dx = ln x| 2 n = ln 2n − ln n = ln 2， n+1 n+2 2n x n
因为ln 2 ≈ 0.6931 ， 25 ≈ 0.6944 ，所以ln 2 < 25 ．所以
3 1
π 2 dx；（3）∫ 0 2 (sin x − cos x)dx． x
∫
(1 + x + x2 ) = ∫
3 1
1 2 3 1 x | 1 + x3 | 3 1 2 3 1 1 = (3 − 1) + (3 2 − 1 2 ) + (3 3 − 1 3 ) 2 3 44 = . 3 = x| 3 1 +
∑ f (ξi )Δx = ∑
i =1 i =1 n n
b−a f (ξi )， n
当 n → ∞ 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f (x) 在区间 [a, b] 上的定积分（definite integral），记作 ∫ ab f (x)dx，即
∫
b a
f (x)dx = lim ∑
∫
b a
f (x)dx = F (x)| b a = F (b) − F (a).
例题： 利用定积分定义计算： （1）∫ 1 (1 + x)dx；（2）∫ 0 xdx． 解：（1）因为 f (x) = 1 + x 在区间 [1, 2] 上连续，将区间 [1, 2] 分成 n 等份，则每个区间的
高中数学选修2-2《导数及其简单应用》一堂练试题
《导数及其简单应用》一堂练一、选择题：每小题10分，共50分1、30(),'()6,f x x f x ==则0x = （ ）AB、 C、D 、1± 2、设连续函数()0f x >，则当a b <时，定积分()ba f x dx ⎰的符号是 ( )A 、必为正数B 、必为负数C 、0a b <<时为正数，0a b <<时为负数D 、不确定 3、若20(23)0kx x dx -=⎰，则k = ( )A 、1B 、0C 、1或0D 、以上都不对4、设ln y x x =-，则此函数在区间(0,1)内为 ( )A 、单调递增B 、有增有减C 、单调递减D 、不确定5、若函数()f x 在区间(,)a b 内的导数为正，且()0f b ≤，则函数()f x 在(,)a b 内有 ( )A 、()0f x >B 、()0f x <C 、()0f x =D 、无法确定 二、填空题：每小题10分，共30分6、抛物线2(12)y x =-在32x =处的切线方程是 7、用定积分的几何意义，则3-=⎰8、若32()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围是三、解答题：任选一题解答，满分20分9、计算下列积分：（1）220(3sin )x x dx π+⎰ （2）220|1|x dx -⎰ （3）321(2)y y dy -⎰ （1） （2） （3）10、求抛物线2y x =与直线20x y +-=所围成的图形的面积班级 姓名 座号 得分。
高中数学选修2-2第一章-导数及其应用
第一章 导数及其应用目录
§1.1.1变化率问题（新授课）
§1.1.2导数的概念（新授课）
§1.1.3导数的几何意义（新授课）
§1.2.1几个常用函数的导数（新授课）
§1.2.2第一课时：基本初等函数的导数公式及
导数的运算法则（新授课）
§1.2.2第二课时：复合函数的求导法则（新授课）
§1.3.1函数的单调性与导数（2课时）(新授课)
二、教学重点与难点：
重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；
难点：平均变化率的概念．
三、教学过程：
（一）．创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
§3.3.2函数的极值与导数（2课时）（新授课）
§1.3.3函数的最大（小）值与导数（2课时）（新授课）
§1.4生活中的优化问题举例（2课时）（新授课）
§1.5.1曲边梯形的面积（新授课）
§1.5.2汽车行驶的路程（新授课）
§1.5.3定积分的概念（新授课）
§1.6微积分基本定理（新授课）
§1.7定积分的简单应用（两课时）（新授课）
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知， ，
所以 ，
虽然运动员在 这段时间里的平均速度为 ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.1知识点总结含同步练习及答案
导数的几何意义当点趋近于点时，割线
趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P n P (,f ()) x 0x 0 P P n P P
)．
．
．
．
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解析：图像中每点的斜率均表示这一时刻的速度．
答案：解析：4. 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 时刻五角星露出水面部分的图形面积为
，则导函数 的图象大致为
．
A ．
B ．
C
．D ．
A
导函数 为单位时间内五角星出水的面积率，由图可知当一个角出来时，面积率由 开始，逐渐增多，当一个角
都出完了，则面积率一下由最大开始减小，当出最后两个角时，面积率会先增加，然后减小到 ．
t S (t )(S (0)=0)y =(t )S ′()y =(t )S ′0。
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.2.1、2(1)
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
求简单函数的导函数有两种基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； (2)用导数公式求导 ，可以简化运算过程、降低运算难 度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调 整，再选择合适的求导公式．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
A．(0,0)
B．(0,1)
C．(1,0)
D．以上都不是
解析： (x3)′＝3x2，若切线平行或重合于x轴则切线斜率k
＝0，即3x2＝0得x＝0，
∴y＝0，即切点为(0,0)．故选A.
答案： A
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第一章 导数及其应用
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3．函数f(x)＝sin x，则f′(6π)＝________. 解析： f′(x)＝cos x，所以f′(6π)＝1. 答案： 1
6分 8分
10 分 12 分
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第一章 导数及其应用
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1.求过点P的切线方程时应注意，P点在曲线 上还是在曲线外，两种情况的解法是不同的．
2．解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系： 一是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线 的方程；三是切线的斜率是曲线在此切点处的导数值．
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(1)y′＝－3x－4.(2)y′＝3xln 3.
(4)y′＝xln1 5.(5)y＝sin x，y′＝cos x. (6)y′＝0.(7)y′＝1x.(8)y′＝ex.
[高二数学]数学选修2-2-导数及其应用
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三、函数的单调性与导数 1.导数与函数单调性 函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导，如果f′(x)＞0，则 y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)＜0，则y=f(x)在 这个区间内单调递减.
2.讨论函数单调性应注意的问题 (1)在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的 定义域，解决问题的过程只能在定义域内通过讨论导数的符号 来判断函数的单调区间. (2)一般利用使导数等于零的点来分函数的单调区间. (3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么 这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“，”或“和” 字隔开.
二、导数的计算
1.基本初等函数的导数公式
(1)(c)′=0，(c为常数).
(2)(xα)′=αxα-1(α∈Q*).
(3)(sinx)′=cosx.
(4)(cosx)′=-sinx.
(5)(ax)′=axlna(a>0且a≠1).
(6)(ex)′=ex.
(7)(logax)′=
1 x ln a
(a>0且a≠1).
(4)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在 该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件，而不是充要条件 (例如，f(x)=x3). (5)如果函数在某个区间内恒有f′(x)=0，则f(x)为常数函数. (6)利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数的几何意义 在研究曲线变化规律中的一个应用，它充分体现了数形结合思 想. (7)若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有 f′(x)＞0，则f(x)在该区间上仍为增函数.
七、微积分基本定理
定理内容
符号表示
作用
如果f(x)是区间［a,b］上 的连续函数，并且 F′(x)=f(x)，那么
高中数学苏教版选修2-2第一章1.4导数在实际生活的应用课件
解题回顾
1.本题求解电功率的最大值问题用了导数法，
可见数学是物理研究的工具和手段.
2.解题中，出现多个字母时，要认清哪个是变量，
哪个是常量.
例4 强度分别为, 的两个点光源，间的
距离为，试问：在连结两光源的线段上，
何处照度最小？试就 = , = , = 时回
答上述问题.（照度与光的强度成正比，与光
当0 < < 1000时，′ < 0 ；当 > 1000时，′ > 0 .
所以，当 = 1000时， 取得极小值，也是最小值，
也就是此时边际成本最低.
（2）由 = 100 − 0.01得收益函数 = (100 − 0.01)，
则利润函数 = −
例2 某种圆柱形饮料罐的容积一定，
如何确定它的高与底半径，才能使它
的用料最省？
解 设圆柱的高为，底半径为，
则表面积S=2 + .
又圆柱体积 = （定值），则 =
，故
= ∙
+
=
+
> .
′
由 = − + = ， 解 得
后用导数法求目标函数的最值，最后回
到实际问题.
例题解析
例3 在如图所示的电路中，已知电源的内
阻为，电动势为.当外电阻为多大时，
才能使电功率最大？最大电功率是多少？
2
解 电功率 = ，其中 =
则 =
2
+
′ =
2
′
=
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河南省伊川高中II 部2010-2011学年高二下学期第一次月考理 数 试 题 命题人：张晓锋一、选择题（共有12个小题，每小题5分，共60分）1、若()()()kx f k x f x f k 2lim,20000--='→则的值为 （ ）A ．-2 B. 2 C.-1 D. 12、曲线y=x 3+x-2在点P 0处的切线平行于直线y=4x ，则点P 0的坐标是（ ） A ．(0,1) B.(1,0) C.(-1,-4)或（1,0） D.(-1,-4) 3、下列求导运算正确的是 （ ） A ．(x +211)1xx +=' B ．(log 2x )′=2ln 1xC ．(3x )′=3x log 3eD ．(x 2cos x )′=－2x sin x4、()()=+-=x f x xx f 则设函数,122（ ）A ．在（－∞，＋∞）单调递增B ．在（－∞，＋∞）单调递减C ．在（－1，1）单调递减，其余区间单调递增D ．在（－1，1）单调递增，其余区间单调递减5、已知函数f (x )的导数为x x x f 44)(3-='，当函数f (x )取得极大值时，x 的值应为（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．±16、函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是 （ ） A. 5 , -15 B. 5 , 4 C. -4 , -15 D. 5 , -167、设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 （ ）A ．B ．C ．D ．8、两曲线3212xy y b ax x y +-=++=与相切于点（1，－1）处，则a ，b 值分别为 （ ） A ．0，2 B ．－1，－1 C ．－1，1 D ． 1，－39、f (x )是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g(x )=af (x )+b ，则下列关于函数g （x ）的叙述正确的是 （ ）A ．若a <0,则函数g （x ）的图象关于原点对称.B ．若a ≠0,b =2,则方程g （x ）=0有两个实根.C ．若a =－1，－2<b <0,则方程g （x ）=0有大于2的实根.D ．若a ≥1,b <2,则方程g （x ）=0有三个实根10、设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为 （ ）Ａ．15-Ｂ．0Ｃ．15Ｄ．511、11dx xxm e dx =⎰⎰e1与n=的大小关系是 （ ） A ．m n > B ．m n < C ．m n = D ．无法确定12、设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩，则20()f x dx ⎰等于 （ ）A ．34 B ．45 C ．56D ．不存在 二、填空题（共有4个小题，每小题5分，共20分）13、质点运动的速度2(183)/v t t m s =-，则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是___________________.14、若f(x)=x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是__________________.15、已知函数2()321f x x x =++，若11()2()f x dx f a -=⎰成立，则a ＝______.16、已知x R ∈，奇函数32()f x x ax bx c =--+在[1,)+∞上单调，则字母,,a b c应满足的条件是 _________ .河南省伊川高中II部2010-2011学年高二下学期第一次月考理数试题命题人：张晓锋一、选择题（共有12个小题，每小题5分，共60分）二、填空题（共有4个小题，每小题5分，共20分）13、___________________ 14、___________________15、___________________ 16、___________________三、解答题（共有6个小题，共70分，解答必须写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示，且与y=0在原点相切，若函数的极小值为－4，（1）求a、b、c的值；（2）求函数的递减区间．18、已知函数f(x)=4x3+ax2+bx＋5在x=－1与x=32处有极值。
(1)写出函数的解析式；(2)求出函数的单调区间；(3)求f(x)在[-1,2]上的最值。
19、做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为20元，侧面的材料每单位面积价格为15元，问锅炉的底面直径与高的比为多少时，造价最低？20、直线y kx =分抛物线2y x x =-与x 轴所围成的图形为面积相等的两部分，求k 的值及直线的方程。
21、已知函数323()(1)1,32a f x x x a x =-+++其中a 为实数。
（1）、函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（2）、不等式'2()1f x x x a >--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围。
22、已知过函数f （x ）=123++ax x 的图象上一点B （1，b ）的切线的斜率为－3．（1）求a 、b 的值；（2）求A 的取值范围，使不等式f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立； （3）令()()132++--=tx x x f x g ．是否存在一个实数t ，使得当]1,0(∈x 时，g （x ）有最大值1？河南省伊川高中2010-2011学年高二下学期第一次月考数 学 试 题（导数及其简单应用）参考答案一、选择题（共有12个小题，每小题5分，共60分）二、填空题（共有4个小题，每小题5分，共20分）13、 108m 14、a>2 或 a<-115、 1- 或1316、 0,3a c b ==≤ 三、解答题（共有6个小题，共70分，解答必须写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、（1）函数的图象经过（0，0）点∴ c=0，又图象与x 轴相切于（0，0）点，'y =3x 2+2ax +b ∴ 0=3×02+2a ×0+b ，得b =0 ∴ y =x 3+ax 2，'y =3x 2+2ax当a x 32-<时，0'y <，当a x 32->时，0'y > 当x =a 32-时，函数有极小值－4∴ 4)32()32(23-=+-a a a ，得a =－3（2）'y =3x 2－6x ＜0，解得0＜x ＜2∴ 递减区间是（0，2）18、 (1) a=－3,b=－18,f(x)=4x 3-3x 2-18x+5(2)增区间为(-∞，-1)，(32，+∞)，减区间为(-1，32) (3)[ f(x)]max = f(-1)=16 [f(x)]min = f(32)=－61419.直径与高的比为4:320、1k =-21、（1）1a = （2）20x -≤≤ 22、解：（1）()x f'=ax x 232+依题意得k =()1'f =3+2a =－3， ∴a =－3()1323+-=∴x x x f ，把B （1，b ）代入得b =()11-=f∴a =－3，b =－1 （2）令()x f'=3x 2－6x =0得x =0或x =2∵f （0）=1，f （2）=23－3×22＋1=－3 f （－1）=－3，f （4）=17∴x ∈[－1，4]，－3≤f （x ）≤17要使f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立，则f （x ）的最大值17≤A －1987 ∴A ≥2004．（3）已知g （x ）=－()tx x tx x x x +-=++-+-32231313 ∴()t x x g +-=2'3∵0＜x ≤1，∴－3≤－3x 2＜0， ① 当t ＞3时，t －3x 2＞0，()0'>x g 即 ∴g （x ）在]1.0(上为增函数，g （x ）的最大值g （1）=t －1=1,得t=2（不合题意,舍去） ② 当0≤t ≤3时, ()t x x g +-=2'3 令()x g '=0,得x =3t 列表如下:g （x ）在x =3t 处取最大值－33⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t ＋t 3t=1 ∴t=3427=2233＜3∴此时x =3t <1符合题意，∴t=2233③ t ＜0时，()t x x g +-=2'3＜0，∴g （x ）在]1.0(上为减函数， ∴g （x ）在]1.0(上为无最大值，∴t ＜0舍去故,存在一个a =2233，使g （x ）在]1.0(上有最大值1．。