北师大版高中数学必修2课件-球

(3)球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面．
()
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于 ( )
A.12
B．1
C．2Hale Waihona Puke Baidu
D．3
D [由题设球半径为 r，则 4πr2＝43πr3，可得 r＝3，故选 D.]
3．表面积为 Q 的多面体的每一个面都与表面积为 64π 的球相切， 则这个多面体的体积为( )
A.13Q B．Q C.43Q D．2Q C [4πR2＝64π⇒R＝4，∴V＝31QR＝43Q，故选 C.]
4．某几何体的三视图如图所示(单位：m)： (1)求该几何体的表面积(结果保留 π)； (2)求该几何体的体积(结果保留 π)．
[解] 由三视图可知，该几何体是一个四棱柱和一个半球构成的 组合体，且半球的直径为 2，该四棱柱为棱长为 2 的正方体．
课堂 小结 提素 养
1．球的体积和表面积公式 设球的半径为 R (1)体积公式：V＝43πR3. (2)表面积公式：S＝4πR2.
2．用一个平面截球所得截面的特征 (1)用一个平面去截球，截面是圆面． (2)球心和截面圆心的连线垂直于截面． (3)球心到截面的距离 d 与球的半径 R 以及截面的半径 r，有下面 的关系 r＝ R2－d2.
(1)该几何体的表面积为 S＝2πR2＋6×2×2－π×R2＝π＋24(m2)． (2)该几何体的体积为 V＝21×34πR3＋23＝23π＋8(m3)．
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A．3∶2 C．1∶2
B．2∶3 D．1∶1
D [设球的半径为 R，则球的表面积 S 表＝4πR2，圆柱的侧面积 S 侧＝2πR×2R＝4πR2，所以 S 表∶S 侧＝1∶1.]
3．将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的
体积为( )
4π A. 3
B. 32π
C. 23π
π D.6
所以1235π＝π×52×h，所以 h＝35(cm)， 即若取出这两个小球，则容器的水面将下降53 cm.
与球有关的切、接问题 [探究问题] 1．一个正方体的内切球与其外接球的体积之比是多少？ 提示：设正方体的棱长为 a，则它的内切球的半径为12a，它的外 接球的半径为 23a，故所求的比为 1∶3 3.
[思路探究] 设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高 度，由水面下降后减少的体积来建立一个关系式解决．
[解] 设△PAB 所在平面为轴截面，AB 为水平 面，设球未取出时，水面高 PC＝h，球取出后水面高 PH＝x，如图所示．
∵AC＝ 3r，PC＝3r， ∴以 AB 为底面直径的圆锥的容积为 V 圆锥＝31πAC2·PC ＝13π( 3r)2·3r＝3πr3，V 球＝43πr3.
3．常见的几何体与球的切、接问题的解决策略： 解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或 半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题 转化为平面问题来计算．
1．思考辨析
(1)球的表面积等于它的大圆面积的 2 倍．
()
(2)两个球的半径之比为 1∶2，则其体积之比为 1∶4. ( )
又正方体的棱长为 4，故其体对角线长为 4 3， 从而 V 外接球＝43πR3＝34π×(2 3)3＝32 3π， V 内切球＝43πr3＝43π×23＝323π.
2．本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面 积 S1 与其内切球的表面积 S2 的比值为多少？
[解] 设正四面体棱长为 a，则正四面体表面积为 S1＝4·43·a2＝
2．长方体一个顶点上的三条棱长分别为 3,4,5，若它的八个顶点
都在同一个球面上，则这个球的表面积是多少？
提示：设长方体的体对角线长为 l，球半径为 R，则
l＝2R， l2＝32＋42＋52，
所以 R＝522，
所以 S 球＝4πR2＝50π.
【例 3】 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球
因此底面中心到各顶点的距离均等于 3，所以该正四棱锥的外接 球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为 3.
空间几何体与球接、切问题的求解方法： (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截 面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识 寻找几何中元素间的关系求解． (2)若球面上四点 P，A，B，C 构成的三条线段 PA，PB，PC 两两互相 垂直，且 PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内 接长方体，利用 4R2＝a2＋b2＋c2 求解(其 R 为球的半径)．
A [由题意得，球的直径为正方体的棱长，即球的半径为 1，所 以 V 球＝43π×13＝43π.]
4．用一个平面截半径为 25 cm 的球，截面圆的面积是 225π cm2， 则球心到截面的距离为________ cm.
20 [由题意知，球的半径 R＝25(cm)，易知截面圆的半径 r＝ 15(cm)，则球心到截面的距离 d＝ 252－152＝20(cm)．]
球取出后水面下降到 EF，水的体积为 V 水＝13πEH2·PH ＝13π(PH·tan 30°)2·PH＝91πx3. 而 V 水＝V 圆锥－V 球， 即19πx3＝3πr3－43πr3，∴x＝3 15r. 故球取出后水面的高为3 15r.
1．画出截面图是解答本题的关键． 2．球的体积和表面积有着非常重要的应用．在具体问题中，要 分清涉及的是体积问题还是表面积问题，然后再利用等量关系进行计 算．
思考：球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？ 提示：球没有底面，球面不能展开成平面图形．
1．如果两个球的体积之比为 8∶27，那么这两个球的表面积之
比为( )
A．8∶27
B．2∶3
C．4∶9
D．2∶9
C [43πr3∶43πR3＝8∶27， ∴r∶R＝2∶3，∴S1∶S2＝4∶9.]
2．如图所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表 面积与圆柱的侧面积之比是( )
4π5hπ2h2＝
25.]
求球的体积与表面积的方法 1要求球的体积或表面积，必须知道半径 R 或者通过条件能求 出半径 R，然后代入体积或表面积公式求解. 2半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两个要素，计算 球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.
[跟进训练] 1．(1)已知球的直径为 2，求它的表面积和体积； (2)已知球的体积为1038π，求它的表面积．
面上，若 AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球 O 的直径为( )
3 17 A. 2
B．2 10
C．13
D．3 10
C [如图，由已知条件可知，当 AB⊥AC 时，BC 中点 D 为△ABC 外接圆的圆心，
因为三棱柱是直三棱柱，所以 DE 中点 M 为球心，又 DE＝AA1 ＝12，
3a2，其内切球半径 r 为正四面体高的41，即 r＝14·36a＝126a，因此
内切球表面积为
S2＝4πr2＝π6a2，则SS12＝
π3aa22＝6
π
3 .
6
3. 本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是 3 2的正四 棱锥”，则其外接球的半径是多少？
[解] 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为 3 2× 2＝6， 高为 3 22－12×62＝3，
(2)设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l，球的半径为 R，
则由题意得13πr2·h＝34πR3， r＝2R，
∴13π(2R)2·h＝43πR3，∴R＝h，r＝2h，
∴l＝ r2＋h2＝ 5h，
∴S 圆锥侧＝πrl＝π×2h× 5h＝2 5πh2，S 球＝4πR2＝4πh2，
∴S圆锥侧＝2 S球
[解] (1)因为直径为 2，所以半径 R＝1， 所以表面积 S 球＝4πR2＝4π×12＝4π， 体积 V 球＝43πR3＝43π×13＝34π. (2)因为 V 球＝34πR3＝1308π， 所以 R3＝27，R＝3，所以 S 球＝4π×32＝36π.
球的表面积及体积的应用
【例 2】 一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形．在 此容器内注入水并且放入一个半径为 r 的铁球，这时水面恰好和球 面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？
[跟进训练] 2．圆柱形容器的内壁底面半径为 5 cm，两个直径为 5 cm 的玻 璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下 降多少？
[解] 设取出小球后，容器中水面下降 h cm，两个小球的体积为 V 球＝2×43π×523＝1235π，此体积即等于它们在容器中排出水的体积 V ＝π×52×h，
设△ABC 外接圆半径为 r，则 r＝ AB22＋AC2＝52.
即 EC1＝52.
球 O 的半径 R＝|MC1|＝ 故球的直径为 13.]
EC21＋D2E2＝123.
1．本例若将直三棱柱改为“棱长为 4 的正方体”，则此正方体 外接球和内切球的体积各是多少？
[解] 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直 径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为 R，内切球的半径为 r.
第一章 立体几何初步
§7 简单几何体的再认识 7．3 球
学习目标
核心素养
1.了解球的体积和表面积公式．(重 1.通过学习球的体积、表面积公式
点)
培养直观想象素养.
2.会用球的体积和表面积公式解 2.通过求球的体积和表面积提升
决实际问题. (难点)
数学运算素养.
自主 预习 探新 知
1．球的体积 球的半径为R，那么它的体积V球＝ 43πR3 . 2．球的表面积 球的半径为R，那么它的表面积S球＝ 4πR2 .
合作 探究 释疑 难
球的体积与表面积
【例 1】 (1)球的体积是332π，则此球的表面积是( )
A．12π
B．16π
16π C. 3
64π D. 3
(2)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，
则圆锥侧面积与球面面积之比是________．
(1)B
(2)
5 2
[(1)34πR3＝332π，故 R＝2，球的表面积为 4πR2＝16π.