第七章__矩阵分解

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矩阵分解及其应用

《线性代数与矩阵分析》课程小论文矩阵分解及其应用学生姓名：******专业：*******学号：*******指导教师：********2015年12月Little Paper about the Course of "Linear Algebra and MatrixAnalysis"Matrix Decomposition and its ApplicationCandidate:******Major:*********StudentID:******Supervisor:******12,2015中文摘要将特定类型的矩阵拆解为几个矩阵的乘机称为矩阵的分解。

本文主要介绍几种矩阵的分解方法，它们分别是矩阵的等价分解、三角分解、谱分解、奇异值分解和 Fitting 分解等。

矩阵的分解理论和方法是矩阵分析中重要的部分，在求解矩阵的特征值、解线性方程组以及实际工程中有着广泛的运用。

因此，本文将介绍矩阵等价分解、三角分解、奇异值分解的理论运用以及三角分解的工程运用。

关键词：等价分解,三角分解,奇异值分解,运用AbstractMany particular types of matrix are split into the product of a matrix of several matrices, which is called decomposition of matrix. In this paper, we introduce some methods of matrix decomposition, which are equivalent decomposition, triangular decomposition, spectral decomposition, singular value decomposition, Fitting decomposition and so on. The decomposition theory and method of matrix is an important part of matrix analysis, which is widely used in solving the characteristic value, solving linear equations and the practical engineering. In this paper, we will introduce the theory of matrix equivalence decomposition, triangular decomposition, singular value decomposition and the engineering application of triangular decomposition.Key words：Equivalent Decomposition, Triangular Decomposition, Singular Value Decomposition, Application目录中文摘要 (1)ABSTRACT (1)1 绪论 (1)2 矩阵分解的常用方法 (1)2.1矩阵的等价分解 (1)2.2矩阵的三角分解 (2)2.2.1 矩阵的三角分解 (2)2.2.2 矩阵的正三角分解 (2)2.3矩阵的谱分解 (5)2.3.1 单纯形矩阵的谱分解 (5)2.3.2 正规矩阵与酉对角化 (6)2.3.3 正规矩阵的谱分解 (6)2.4矩阵的奇异值分解 (7)2.4.1 矩阵的奇异值分解（SVD分解） (7)2.5矩阵的FITTING分解 (7)3矩阵分解的理论应用 (8)3.1矩阵等价分解的理论应用 (8)3.2矩阵三角分解的理论应用 (8)3.3矩阵奇异值分解的理论应用 (9)4 矩阵分解在递推系统辨识中的应用 (10)4.1递推系统辨识中的困难 (10)4.1.1 病态问题 (10)4.1.2 效率和计算量问题 (10)4.2QR分解的实现方法 (11)4.2.1 GIVENS变换 (13)4.3递推算法 (13)5 结论 (18)6 参考文献 (18)1 绪论矩阵的分解是将一个矩阵分解为较为简单的或具有某种特性的若干矩阵的乘积，这是矩阵理论及其应用中比较常见的方法。

矩阵分解——精选推荐

矩阵分解矩阵分解矩阵分解是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积，可分为三⾓分解、满秩分解、QR分解、Jordan分解和SVD（奇异值）分解等，常见的有三种.矩阵的三⾓分解、正交三⾓分解、满秩分解将矩阵分解为形式⽐较简单或性质⽐较熟悉的⼀些矩阵的乘积,这些分解式能够明显地反映出原矩阵的许多数值特征,如矩阵的秩、⾏列式、特征值及奇异值等. 另⼀⽅⾯, 构造分解式的⽅法和过程也能够为某些数值计算⽅法的建⽴提供了理论依据. 接下来就讨论⼀下矩阵的三⾓分解.1 矩阵的三⾓分解1.1 矩阵的三⾓分解基本概念与定理定义1.1[]5设m n∈和上三⾓矩L C?A C?∈,如果存在下三⾓矩阵m n阵n m∈, 使得A=LU, 则称A可作三⾓分解或LU分解.U C?定义1.2设A为对称正定矩阵, D为⾏列式不为零的任意对⾓矩阵,则T=成⽴：A A=, U为⼀个单位上三⾓矩阵, 且有A LDU1) 如果L是单位下三⾓矩阵, D是对⾓矩阵, U是单位上三⾓矩阵, 则称分解D=为LD U分解.A L U2) 如果L=LD是下三⾓矩阵, ⽽U是单位上三⾓矩阵, 则称三⾓分解A LUCrout分解;= 为克劳特()3) 如果U DU是单位下三⾓矩阵, U 为上三⾓矩阵, 则称三⾓=分解A LUDoolittle分解;= 为杜利特()U --=== , 称为不带平⽅根的乔累斯基()Cholesky 分解;5) 如果12L D L = , 12D U U= , 则1122A LD U LD D U LU=== , 由于T UL = , 则T A LL= , 称为带平⽅根的乔累斯基()Cholesky 分解. 定理 1.1 n阶⾮奇异矩阵A可作三⾓分解的充要条件是k 0A ≠()1,2,,1k n =- ,这⾥A k为A 的k 阶顺序主⼦阵, 以下同.证明必要性. 设⾮奇异矩阵A 有三⾓分解A L U=, 将其写成分块形式k12k122122212222A L 0U =A A 0U kA U L L这⾥A k ,k L 和k U 分别为A, L和U 的k 阶顺序主⼦阵. ⾸先由0⽽L 0k ≠,U 0k ≠; 因此A =L U0kkk ≠()1,2,,1k n =-.充分性. 对阶数n 作数学归纳法. 当n=1时, 1A =（11a ）=（1）（11a ）,结论成⽴. 设对n k =结论成⽴, 即k =k k A L U , 其中k L 和k U 分别是下三⾓矩阵和上三⾓矩阵. 若k 0A ≠,则由kA =L k k U 易知L k 和k U 可逆. 现证当1n k =+时结论也成⽴, 事实上-1k k k k1TT 1T 1-1k+1,1k 1,1k k k A c 0c A =10c kkk T kk k k k k L U L r a r U a r U L +--+++??= ? ?-.由归纳法原理知A 可作三⾓分解.定理 1.1 给出了⾮奇异矩阵可作三⾓分解的充要条件, 由于不满⾜定理1.1的条件, 所以它不能作三⾓分解. 但110000110011211011202A ?????????? ?===.上例表明对于奇异矩阵,它还能作三⾓分解未必要满⾜定理1.1的条件.⾸先指出,⼀个⽅阵的三⾓分解不是唯⼀的, 从上⾯定义来看,杜利特分解与克劳特分解就是两种不同的三⾓分解,其实,⽅阵的三⾓分解有⽆穷多, 这是因为如果D 是⾏列式不为零的任意对⾓矩阵, 有1()()A LU C D D U LU-== ,其中,LU 也分别是下、上三⾓矩阵, 从⽽A LU = 也使A 的⼀个三⾓分解. 因D 的任意性, 所以三⾓分解不唯⼀. 这就是A 的分解式不唯⼀性问题, 需规范化三⾓分解.定理 1.2 （LD U 基本定理）设A 为n 阶⽅阵,则A 可以唯⼀地分解为A =LD U(1.1)的充分必要条件是A 的前1n -个顺序主⼦式k 0A ≠()1,2,,1k n =- .其中L,U分别是单位下、上三⾓矩阵, D是对⾓矩阵D=diag ()12,,,n d d d ,1k k k A d A -=()1,2,,kn = , 01A =.证明充分性. 若k 0A ≠()1,2,,1k n =- , 则由定理1.1, 即实现⼀个杜利特分解A LU= , 其中L 为单位下三⾓矩阵, U 为上三⾓矩阵,记1112122==()()()()()()1111112122222n n n nn a a a a a a ??=()n A , 因为()u 0i ii ii a ≡≠()1,2,,1i n =- .下⾯分两种情况讨论：1) 若A ⾮奇异,由式(1)有n ?=()()() 121122n nn a a a =A ≠, 所以()n nn nna u =≠,这时令()()()()121122diag n nn D a a a = , 则() ()()1121122111,,,n nn D diag a a a -??= ?.LD D U LDU -=== (1.2)是A 的⼀个LD U 分解.2)若A 奇异,则()u 0i iiii a ≡=,此时令()()()12111221,1(,,,,0)n n n D diag a a a ---= ,()()()()121n-111221,1,,,n n n D diag a a a ---= , α=()1n1u,,,Tn u n - ,则10n T UU α-??≡ =1111110=DU 0001n n n n T T U D U D α------,因此不论哪种情况, 只要k0A ≠()1,2,,1k n =- , 总存在⼀个LD U分解式(1.1),1a kk k kk k A d A -==()1,2,,1kn =- ,01A =.均⾮奇异.若还存在另⼀个LD U 分解111A L D U =, 这⾥1L ,1D , 1U 也⾮奇异,于是有111L D U L D U =(1.3)上式两端左乘以11L -以及右乘以1U -和1D -, 得111111L L D U U D---=, (1.4)但式(1.4)左端是单位下三⾓矩阵, 右端是单位上三⾓矩阵, 所以都应该是单位阵, 因此1LL I-=,1111D U UDI--=,即1L L =,111--=. 由后⼀个等式类似地可得11U UI-=,11D D I-=,即有1U U=,1D D=.2) 若A 奇异, 则式(1.3)可写成分块形式1111100001000110001T T T T T L D U L D U ααββ= ? ? ? ? ? ???????????, 其中1L, 1L 是1n -阶单位下三⾓阵; U , 1U 是1n -阶上三⾓阵; D,1D 是1n -阶对⾓阵; α, 1α,β, 1β是1n -维列向量. 由此得出111111=D U D DUD ααββαββα???? ? ???, 其中1L, 1D , 1U 和L ,D, U均⾮奇异, 类似于前⾯的推理, 可得1L =L ,1D =D , 1U =U ,1=αα,T T1=ββ.必要性. 假定A 有⼀个唯⼀的LD U 分解, 写成分块的形式便是1111A 00=0101n n n n T T nn n x D L U ya d αβ----,(1.5)其中1n L -,1D n -, 1n U -, 1n A -分别是L,A的1n -阶顺序主⼦矩阵;x , y, α,β为1n -维列向量. 由式(1.5)有下⾯的矩阵⽅程:1111n n n n A L D U ----=, (1.6)11TTn n yD U β--=,(1.7)11n n x L D α--=, (1.8)1Tnn n na D d βα-=+. (1.9)否则, 若10n A -=, 则由式(1.6)有111110n n n n n A L D U D -----===.于是有1110n n n L D D ---==, 即11n n L D --奇异. 那么对于⾮其次线性⽅程组(1.8)有⽆穷多⾮零解, 不妨设有α', 使11n n L D x α--'=, ⽽α'=α.同理, 因11n n D U --奇异, ()1111TTT n n n n L D U D ----=也奇异,故有ββ'≠, 使11TTn n U D yβ--=, 或11TTn n D U yn nn n d a D βα-'''=-, 则有1111000101n n n n T T nn nA x D L U y a d αβ----'= ? ? ? ?'',这与A 的LD U 分解的唯⼀性⽭盾, 因此10n A -≠.考察1n -阶顺序主⼦矩阵1n A -由式(1.6)写成分块形式, 同样有2222n n n n A L D U ----=. 由于10n D -≠, 所以20n D -≠, 可得222220n n n n n A L D U D -----==≠, 从⽽20n A -≠. 依此类推可得0k A ≠()1,2,,1k n =- .综上所述, 定理证明完毕.推论 1[]3 设A 是n 阶⽅阵, 则A 可惟⼀进⾏杜利特分解的充分必要条件是A 的前1n -个顺序主⼦式11110k k k kka a A a a =≠,1,2,,1k n =- , 其中L 为单位上三⾓矩阵, 即有11121212223132121111n nnn n n n n u u u l u u l l A u l l l -=并且若A 为⾮奇异矩阵, 则充要条件可换为: A的各阶顺序主⼦式全不为零, 即:0k A ≠,1,2,,k n = .推论 2[]3 n 阶⽅阵A 可惟⼀地进⾏克劳特分解111212122212111n nn n nnl u u ll u A LUl l l==的充要条件为11110k k k kka a A a a =≠, 1,2,,1k n =- .若A 为奇异矩阵, 则0nn l =, 若A 为⾮奇异矩阵, 则充要条件也可换为0k A ≠, 1,2,,k n = .定理 1.3[]3 设A 为对称正定矩阵, 则A 可惟⼀地分解为T A LDL =, 其中L 为下三⾓矩阵, D 为对⾓矩阵, 且对⾓元素是L 对⾓线元素的倒数. 即2212n n nnl l l L l l l ?? ?=, 1122111nn l l D l ?? ? ? ? ?=. 其中11/j ijij ik jk kkk l a l l l -==-∑,1,2,,ni = , 1,2,,j i = .。

矩阵的分解

§9. 矩阵的分解矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，这是矩阵理论及其应用中常见的方法。

由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方面反映了原矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，因而使其对分解矩阵的讨论和计算带来极大的方便，这在矩阵理论研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值。

这里我们主要研究矩阵的三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解及特殊矩阵的分解等。

一、矩阵的三角分解——是矩阵的一种有效而应用广泛的分解法。

将一个矩阵分解为酉矩阵（或正交矩阵）与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积，这对讨论矩阵的特征、性质与应用必将带来极大的方便。

首先我们从满秩方阵的三角分解入手，进而讨论任意矩阵的三角分解。

定义1 如果(1,2,,)ii a i n =均为正实数，()(,1,2,1;∈<=-ij a C R i j i n1,2,),=++j i i n 则上三角矩阵11121222000⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭n n nn a a a a a R a 称为正线上三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n ==时，R 称为单位上三角复（实）矩阵。

定义2如果(1,2,,)ii a i n =均为正实数，()(,1,2,1;∈>=-ij a C R i j i n1,2,),=++j i i n 则下三角矩阵11212212000⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭n n nn a a a L a a a称为正线下三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n ==时，L 称为单位下三角复（实）矩阵。

定理1设,⨯∈n nnA C 则A 可唯一地分解为 1=A U R其中1U 是酉矩阵，R 是正线上三角复矩阵；或者A 可唯一地分解为2=A LU其中2U 是酉矩阵，L 是正线下三角复矩阵。

矩阵论矩阵的分解

对称和反对矩称矩阵阵：A，T=A，则AT=A–A。可以分解为下列半正定矩阵的和。
A=v1v1H+v2v2H+…vkvkH
§3.2 Schur 分解和正规矩阵
已知：欧氏空间中的对称矩阵A可以正交
相似于对角形。
讨论：一般方阵A ，在什么条件下可以
酉相似于对角矩阵？
在内积空间中讨论问题，涉及：
空间 Cn、 Cnn，酉矩阵U，UHU=I， U – 1=UH 酉相似： UHAU=J U–1 AU=J 相似关系
在内积空间中讨论问题，涉及：
Hermite 矩阵的谱分解矩阵A可以相似对角化当且仅当矩阵A有谱分解
相似于对角形。
例题3 设A Rn n，AT=–A，证明
定理3 .6（P.73）设A是秩为k的半正定的Hermite 则A的谱={ 1， 2，， s}。
74 ）对矩阵A Cn n，存在酉矩阵U和上三角矩阵T，使得
nn LU分解：A Fn n，有下三角形矩阵L ，上三角形矩阵U ，使得A=LU。
2 Schur 分解和正规矩阵
推论：正规AC A有个标准正交的特征向 1 常见的矩阵标准形与分解
证明：源于Schmidt正交化方法（P.
nn
量构成空间C 的标准正交基。 UHAU=T=
n
矩阵化简的方法与矩阵技术
定理3.11（P.80 ）（正规矩阵的谱分解） 1 常见的矩阵标准形与分解
方阵的LU和LDV分解（P.61）
LU分解：AFnn，有下三角形矩阵L ，上三角形矩阵U ，使得A=LU。
LDV分解：AFnn， L、V分别是主对角线元素为1的下三角形和上三角形矩阵，D为对角矩阵，使得A=LDV。
已知的方法：Gauss-消元法

矩阵分析与计算--05-矩阵分解-02-Schur、SVD

1
酉矩阵： U U
H
1
U 为酉矩阵 U的列(行)向量为C n的标准正交基
任意复方阵都可以酉相似于一个上三角矩阵
U AU R=+N
H
定理证明：对n作数学归纳法
当n =1，结论显然成立。假设结论对n-1的矩阵成立，下面考虑A为n方阵取矩阵A的一个特征值为 1 ，设其对应的单位特征向量为 1 ，则有

2.概念：酉相抵

1. 酉相抵：
酉
F 上的m n矩阵A与B称为酉相抵，如果有m阶和n阶酉方阵U 和V , 使UAV B, 记为A B
酉相抵关系是一种等价关系！也称为“酉等价”

酉相抵标准型定理：
酉相抵标准型定理
定理3
设A F mn ,rankA = r ,记
2 specAH A 12 , 2 ,
i Ai
T i
Ai 为A的投影阵
单纯矩阵的谱分解
三、矩阵的奇异值分解
Singular value decomposition
(SVD)
1.概述

前面介绍的Jordan分解、Schur分解、谱分解只适用于方阵。对角矩阵比上三角矩阵更容易计算奇异值分解把矩阵分解称为酉矩阵与对角矩阵的乘积奇异值分解基本适用于内积空间中与矩阵秩相关的问题 A的奇异值分解依赖于正规矩阵A HA的酉相似分解的。
Matrix Analysis and Computations
矩阵分析与计算 ——矩阵分解（二）
Matrix Decomposition 理学院 2011年10月
本讲主要内容 Schur分解、谱分解与奇异值分解

复数矩阵分解的拆解思路（矩阵求逆特征值分解）

复数矩阵分解的拆解思路（矩阵求逆特征值分解）作者：桂。

时间：2017-10-26 07:11:02前⾔主要记录特征值分解的硬件实现思路。

⼀、实数矩阵转化在FPGA运算中，对实数运算通常优于对复数运算。

假设C为复数矩阵：C= A+iB;且C = C H从⽽A = A T;B = -B T；若C的奇异值所对应的奇异向量为u + iv，且满⾜：对应有：借助矩阵形式表⽰：根据A、B的性质，存在：⼀个NxN的Hermitian矩阵分解，转化为2Nx2N的实对称矩阵分解。

⼆、Jacobi算法（Givens旋转）对于对称矩阵：其中Givens参数：该公式可进⼀步转化：tan(2theta)=2a ij/(a jj−a ii);theta可以借助求解。

此处可以借助Cordic求解⾓度，也可以利⽤CORDIC求根号的思路进⾏sin、cos的计算：aii= 1;ajj = 3;aij = 1.2;tan_2 = (2*aij/(ajj-aii));theta = 1/2*atan(tan_2);tao = 1/tan_2;t = sign(tao)/(abs(tao)+sqrt(1+tao.^2));cos_1 = 1/sqrt(1+t^2)cos_1_new = cos(theta)sin_1 = t/sqrt(1+t^2)sin_1_new = sin(theta)使⽤Givens旋转左乘A，可以得到对⾓阵，右乘同样可以得出。

只使⽤左乘\右乘的Givens旋转称为单边Givens旋转。

与之不同，对nxn对称矩阵A同时采⽤左乘、右乘的⽅法，称为双边Givens旋转。

具体代码实现，参见：印象笔记-005常⽤算法-0020Jacobi算法。

借助之前，矩阵求逆的硬件实现，也可以在此基础上直接实现。

(此处实对称矩阵，利⽤：特征向量x特征值取反x特征向量转置，即完成矩阵求逆)clc;clear all;x = rand(4,100)*20+1i*rand(4,100)*20;R = x*x'/100;A = real(R);B = imag(R);R_cat = [A -B;B A];[D,V]=Jacobi(R_cat);% V = V';U_est = V(1:4,1:2:end)+1i*V(5:end,1:2:end);D0 = diag(D);D0 = 1./D0(1:2:end);R_inv = U_est*diag(D0)*U_est'三、并⾏拆解思路对于nxn的矩阵分解，⼀种思路是寻找矩阵所有⾮对⾓元素中绝对值较⼤者进⾏双边Jacobi变换，使得该⾮对⾓线元素变为0.接着进⾏第⼆次变换，直到收敛⾄精度要求，O（n2）复杂度。

矩阵分解_精品文档

矩阵分解在矩阵运算中，把矩阵分解成形式比较简单或具有其中一种特性的一些矩阵的乘积，在矩阵理论的研究和应用中，具有重要的意义。

一方面，矩阵分解能够明显反映出原矩阵的一些数值特征，如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异值等，令一方面分解的方法与过程往往提供了一些有效地数值计算方法和理论分析根据。

常见的矩阵分解方法有：三角分解、QR分解、满秩分解、奇异值分解。

下面将主要从这四个方面进行分别介绍。

一、三角分解定义：设ACnnn，如果存在下三角矩阵LCnnn和上三角矩阵RCnnn，使得ALR（1）则成A可以作三角分解。

A可以作三角分解的充分必要条件是A的k阶顺序主子式。

kdetAk0(k1,2,n1)，而Ak为A的k阶顺序主子式（证明略）如果A可以分解成ALR，其中L是对角元素为1的下三角矩阵（称为单位下三角矩阵），R是上三角矩阵，则称之为A的Doolittle分解；L 是下三角矩阵，R为对角元素为1的上三角矩阵，则称之为A的Crout分解。

如果A可以分解为ALDR，其中L为单位下三角矩阵，D为对角矩阵，R为单位上三角矩阵，则称之为A的LDR分解。

设ACnnn，则A有唯一LDR分解的充分必要条件是k0(k1,2,,n1)。

此时对角矩阵Ddiag(d1,d2,,dn)的元素满足d11,dk证明从略。

假设ACnn是Hermite正定矩阵，则存在下三角矩阵GCnn，使得AGGH,则称之为A的Choleky分解。

综合分析：方阵的三角分解存在的充要条件是：A的k阶顺序主子式kdetAk0(k1,2,n1)，但是方阵的三角分解不是唯一的，比如A可以表示成ALR(LD)(D1R),其中，D为对角元素均不为0的对角矩阵。

为了规范化才有了Doolittle分解和Crout分解形式。

矩阵的LDR分解建立在普通LR分解的基础上。

而Choleky分解则是A为Hermite正定矩阵时的一种特殊形式。

二、QR分解定义：设ACnn，如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角矩阵R，使得AQR（3）则称之为A的QR分解或酉-三角分解。

矩阵谱分解例题

矩阵谱分解例题矩阵谱分解（MatrixSpectralDecomposition，MSD）是一种常用的线性代数方法，可以将一个复杂的矩阵分解为若干子矩阵的乘积，其中每个子矩阵都具有特定的特性，使得它们之间存在明确的关系。

矩阵谱分解是一种无损压缩算法，用于将大型矩阵压缩到更小的空间，同时保留有用的结构和内容。

科学计算、图像处理、机器学习等领域，矩阵谱分解已经成为一种基本的技术手段。

本文旨在介绍矩阵谱分解的基本原理和例题，为读者提供一种理解矩阵谱分解的方法。

一、矩阵谱分解的基本原理矩阵谱分解的基本原理是将一个大的复杂的矩阵分解为若干小的矩阵的乘积，同时保留有用的结构和内容。

它通过分析一个矩阵的特征值（Eigenvalues）和特征向量（Eigenvectors），将矩阵分解为一系列子矩阵，每个子矩阵都可以通过特征值和特征向量来表示。

例如，原始矩阵A可以表示为A=EVV*，其中V是特征向量，E是特征值。

传统的矩阵谱分解算法包括以下三步：（1）计算矩阵A的特征值和特征向量；（2）将矩阵A的特征值和特征向量连接起来，得到一个新的矩阵S；（3）将矩阵S进行分解，得到一系列子矩阵，其中每个子矩阵都可以通过特征值和特征向量得到。

二、矩阵谱分解的例题下面将对矩阵谱分解的例题进行分析：例题1：有一个2阶矩阵A，其中A=$begin{bmatrix}3 & -1 2 & 4end{bmatrix}$将A分解为若干子矩阵的乘积。

首先，计算矩阵A的特征值和特征向量。

A的特征值为$lambda_1=5$，$lambda_2=1$，其特征向量为$vecv_1=(frac{1}{4},frac{3}{4})^T$，$vecv_2=(-frac{3}{4},frac{1}{4})^T$。

将特征值和特征向量连接起来，得到矩阵S，即$S=begin{bmatrix}5 & 0 0 & 1end{bmatrix}begin{bmatrix}frac{1}{4} & -frac{3}{4} frac{3}{4} & frac{1}{4} end{bmatrix}$最后，将矩阵S进行分解，得到$A=begin{bmatrix}5 & 0 0 & 1end{bmatrix}begin{bmatrix}frac{1}{4} & -frac{3}{4} frac{3}{4} & frac{1}{4} end{bmatrix}begin{bmatrix}3 & -1 2 & 4end{bmatrix}$综上，矩阵A可以分解为三个子矩阵的乘积，分别是：$A=begin{bmatrix}5 & 0 0 & 1end{bmatrix}begin{bmatrix}frac{1}{4} & -frac{3}{4} frac{3}{4} & frac{1}{4} end{bmatrix}begin{bmatrix}3 & -1 2 & 4end{bmatrix}$例题2：有一个4阶矩阵A，其中A=$begin{bmatrix}2 & -1 & 4 & 0 0 & -2 & 5 & 1 1 & -1 & 2 & 0 2 & -1 &3 & 4end{bmatrix}$将A分解为若干子矩阵的乘积。

（完整word版）矩阵分解及其简单应用

（完整word版）矩阵分解及其简单应用对矩阵分解及其应用矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质若干矩阵之积或之和，大体分为三角分解、QR分解、满秩分解和奇异值分解。

矩阵的分解是很重要的一部分内容，在线性代数中时常用来解决各种复杂的问题，在各个不同的专业领域也有重要的作用。

秩亏网平差是测量数据处理中的一个难点，不仅表现在原理方面，更表现在计算方面，而应用矩阵分解来得到未知数的估计数大大简化了求解过程和难度。

1.矩阵的三角分解如果方阵A可表示为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U之积，即A=LU，则称A可作三角分解。

矩阵三角分解是以Gauss消去法为根据导出的，因此矩阵可以进行三角分解的条件也与之相同，即矩阵A的前n-1个顺序主子式都不为0，即?k≠0.所以在对矩阵A进行三角分解的着手的第一步应该是判断是否满足这个前提条件，否则怎么分解都没有意义。

矩阵的三角分解不是唯一的，但是在一定的前提下，A=LDU的分解可以是唯一的，其中D是对角矩阵。

矩阵还有其他不同的三角分解，比如Doolittle分解和Crout分解，它们用待定系数法来解求A 的三角分解，当矩阵阶数较大的时候有其各自的优点，使算法更加简单方便。

矩阵的三角分解可以用来解线性方程组Ax=b。

由于A=LU，所以Ax=b可以变换成LU x=b，即有如下方程组：{Ly=b Ux=y先由Ly=b依次递推求得y1, y2,......，y n，再由方程Ux=y依次递推求得x n，x n?1， (x1)必须指出的是，当可逆矩阵A不满足?k≠0时，应该用置换矩阵P 左乘A以便使PA的n个顺序主子式全不为零，此时有：{Ly=pb Ux=y这样，应用矩阵的三角分解，线性方程组的解求就可以简单很多了。

2.矩阵的QR分解矩阵的QR分解是指，如果实非奇异矩阵A可以表示为A=QR，其中Q为正交矩阵，R为实非奇异上三角矩阵。

QR分解的实际算法各种各样，有Schmidt正交方法、Givens方法和Householder方法，而且各有优点和不足。

矩阵svd分解算法

矩阵svd分解算法矩阵SVD分解算法是一种常用的矩阵分解方法。

SVD代表奇异值分解，在现代数学和计算机科学中具有广泛的应用。

矩阵SVD分解算法是一种将矩阵分解成若干个特征向量和特征值的方法，可以用于矩阵压缩、信号处理、图像处理、语音处理等领域。

下面将具体介绍矩阵SVD分解算法的实现过程。

1.矩阵的奇异值分解假设有一个矩阵A，形式如下：A=U∑V*其中，U是一个m×m的酉矩阵，Σ是一个m×n的矩阵，对角线上的元素称为奇异值，用σ1,σ2,...,σr表示，U的列向量称为左奇异向量，V的列向量称为右奇异向量。

*代表矩阵的共轭转置，也称为伴随矩阵。

2.矩阵的分解接下来我们将具体介绍矩阵SVD分解算法的实现过程。

（1）创建矩阵A，假设A是一个m×n的矩阵。

（2）求出矩阵A*A的特征向量和特征值，得到特征向量矩阵U 和特征值矩阵Σ。

（3）求出矩阵AA*的特征向量和特征值，得到特征向量矩阵V和特征值矩阵Σ。

（4）对Σ矩阵进行对角化处理，即将对角线上的元素按照降序排列。

（5）将U矩阵的各列按照Σ的降序排列，得到左奇异向量矩阵U1。

（6）将V矩阵的各列按照Σ的降序排列，得到右奇异向量矩阵V1。

（7）根据A=U1ΣV1*的形式，得到分解后的矩阵A。

3.矩阵的压缩矩阵SVD分解算法可以用于矩阵压缩。

假设A是一个m×n的矩阵，我们可以将其分解成A=U1Σ1V1*的形式，然后只保留其中的前k 个奇异值和对应的左奇异向量和右奇异向量，得到一个压缩后的矩阵Ak=UkΣkVk*，其中Uk、Σk、Vk*分别是U1、Σ1、V1*的前k列。

由于大部分的信息都被包含在前面的奇异值中，所以只保留前面的奇异值和对应的奇异向量，就能够实现对矩阵的有效压缩。

总之，矩阵SVD分解算法是一种重要的矩阵分解方法，可用于矩阵压缩、信号处理、图像处理、语音处理等领域。

SVD的分解过程包括特征向量和特征值的求解及对角化，求解过程较为复杂，但实现后可以大幅度提高矩阵计算的效率和精度。

矩阵分解的常用方法(全文)

矩阵分解的常用方法一、矩阵的三角分解定义：如果方阵可分解成一个下三角形矩阵L和上三角形矩阵U的的乘积，则称可作三角分解或LU分解。

定理1：高斯消元过程能够进行到底的充分必要条件是的前n-1个顺序主子式都不为零，即k ≠0，k=1，2，…，n-1。

（1）当条件（1）满足时，有L（n-1）…L（2）L（1）=U。

其中U为上三角形矩阵L（k）=lik=，i=k+1，…，n。

容易得出，detL（k）≠0（k=1，2，…，n-1），故矩阵L（k）可逆，于是有=（L（1））-1（L（2））-1…（L（N-1））-1U。

由于（L（K））-1是下三角形矩阵，故它们的连乘积仍然是下三角矩阵。

令L=（L（1））-1（L（2））-1…（L（N-1））-1=则得=LU。

即分解成一个单位下三角形矩阵L和一个上三角形矩阵U的的乘积。

二、矩阵的QR（正交三角）分解定义：如果实（复）非奇异矩阵能化成正交（酉）矩阵Q 与实（复）非奇异上三角矩阵R的乘积，即=QR，则称上式为的QR分解。

定理2：任何实的非奇异n阶矩阵可以分解成正交矩阵Q 和上三角形矩阵R的乘积，且除去相差一个对角线元素之绝对值等于1的对角矩阵D外，分解成=QR是唯一的。

矩阵QR的分解具体做法如下：令的各列向量依次为α1，α2，…，αn，由于是非奇异的，所以α1，α2，…，αn线性无关，按照施密特正交法正交化得到个标准的正交向量β1，β2，…，βn，且β=bαβ=bα+b22α2β=bα+b2nα2+…+bnnαn这里bij都是常数，且由正交化过程知bii≠0（i=1，2，…，n）写成矩阵形式有（β1，β2，…，βn）=（α1，α2，…，αn）β，即Q=B。

其中B=是上三角矩阵（bii≠0，i=1，2，…，n）。

显然B可逆，而且B=R-1也是上三角矩阵，由于Q的各列标准正交，所以Q 正交矩阵，从而有=QR。

三、矩阵的奇异值分解定理3 （奇异之分解定理）设是一个m×n的矩阵，且r （）=r，则存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，使得UHV=（2），其中？撞=dig（1…r），且1≥2≥…≥r≥0。

矩阵分解_拉普拉斯正则_概述及解释说明

矩阵分解拉普拉斯正则概述及解释说明1. 引言1.1 概述矩阵分解是一种重要的数学方法，用于将一个复杂的矩阵分解为多个简化的子矩阵，以便更好地理解和处理数据。

而拉普拉斯正则作为一种常见的正则化技术，则广泛应用于机器学习、数据挖掘等领域。

该正则化方法在保持模型泛化能力的同时，能够降低模型的过拟合风险。

1.2 文章结构本文将首先介绍矩阵分解的定义和背景知识，包括常见的矩阵分解方法及其应用领域。

接着，我们将详细讲解拉普拉斯正则化技术的原理与公式推导，并探讨其在机器学习中的具体应用。

随后，我们会对拉普拉斯正则化进行优缺点及改进方法的讨论。

最后，我们将概述和解释说明矩阵分解与拉普拉斯正则之间的关系，并通过实例来说明它们在实际问题中的作用和效果。

此外，我们也会对矩阵分解和拉普拉斯正则化存在的局限性和潜在问题展开讨论。

最后，我们将总结本文的主要研究结果，并提出对未来研究的建议。

1.3 目的本文的目的是全面概述和解释矩阵分解和拉普拉斯正则化技术，分析它们在不同领域中的应用，并探讨它们之间的关系。

通过对这些方法进行详细研究和讨论，旨在为读者深入了解矩阵分解和拉普拉斯正则化提供一定的理论基础和实践指导。

同时，在总结文章主要内容和提出未来研究建议之后，我们希望能够促进相关领域工作者们对这两种方法在实际问题中更深入、更广泛的应用探索。

2. 矩阵分解2.1 定义与背景矩阵分解是一种数学运算方法，用于将一个矩阵表示为几个小规模的矩阵相乘的形式。

它在数学、计算机科学和统计学领域有广泛的应用。

通过矩阵分解，我们可以将复杂的数据结构转化为易于处理和理解的形式。

2.2 常见的矩阵分解方法常见的矩阵分解方法包括奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）、QR分解（QR Decomposition）、LU分解（LU Decomposition）等。

这些方法基于不同的原理和应用场景，能够帮助我们提取出矩阵中隐藏的信息，并进行数据压缩、特征提取等操作。

第七章LU分解

ji ji
l ji ( a ji l jk uki ) / uii
k 1
在计算机程序中常常用这种方法解线性代数方程组。它的优点是存储量很省。L和U中的三角零元素都不必存储，就是U的对角元素也因为都是1没有必要再记录在程序中，这样只用一个n阶方阵就可以把L和 U贮存起来。即：下三角（包括对角元）存储L各元素而上三角存储U的元素。再考察公式S会发现A中任一元素aij只在计算lij（j<=i）和uij（j>i)中用到一次以后就不再出现了，因而完全可以利用原始数组A的单元，一个个逐次贮存L或U中的相应元素，即：

a ij
aij lik ukj
k 1
n
maxi , j
l
k 1
ik
ukj
根据矩阵乘法及相等的定义,有 n 1 a1 j l1k ukj l1k ukj l u1 j u1 j
a11 a12 a13 … a1n a21 a22 a23 … a2n a31 a32 a33 … a3n an1 an2 an3 … ann … … u11 u12 u13 … u1n l21 u22 u23 … u2n l31 l32 u33 … u3n … … … ln1 ln2 ln3 … unn
定理如果上带宽为q，下带宽为p的n阶带状矩阵A有Doolittle
分解。A=LU，则L是下带宽为p的单位下三角矩阵，U是上带宽为q的上三角矩阵。
阵Doolittle 分解形式 c1 b1 1 a p b2 c2 2 2 a n 1 bn 1 c n 1 an bn 由矩阵乘法及相等定义，有： q1 b1 p k q k 1 a k， q k p k k 1 bk， k 1 c k 1 q1 b1 p k a k q k 1 ( k 2,3, , n ) 于是得计算L的元素p i 及U的qi 和 i的计算公式，为： 1 p3 1 pn q1 1

矩阵分解原理

矩阵分解原理
矩阵分解是将一组矩阵分解为更小的形式的过程。

其主要目的是为了简化复杂的计算或者寻找隐藏在数据背后的模式。

在数学中，矩阵分解指将一个矩阵（或向量）分解成多个矩阵（或向量）乘积的形式。

常见的矩阵分解包括LU分解、QR分解、SVD分解、Cholesky分解等。

矩阵分解在数据处理中也有广泛应用。

例如，在推荐系统中，可以将用户对商品的评分矩阵分解成用户对潜在特征的喜好矩阵和商品潜在特征的矩阵等；在图像压缩和分析中，可以将图像分解成多个基本元素（如小波分解）和它们的权重等。

总体来说，矩阵分解在数学和应用领域都有广泛应用，并且在一些问题的解决中起到了重要作用。

矩阵因式分解

矩阵因式分解（LU分解）与列昂惕夫投入产出模型矩阵的因式分解是把一个矩阵A表示为两个或更多个矩阵的乘积，是将复杂的数据进行分解，其中有多种方法，例如：LU分解，秩分解，QR分解，奇异值分解，谱分解等。

这里主要介绍对LU分解的认识。

根据参考的书籍，这里的LU分解只限于一系列具有相同系数矩阵的线性方程：Ax=b1, Ax=b2, … , Ax=b p （1）当A为可逆矩阵时，可计算A-1，然后计算A-1 b1，A-1 b2，等等。

但是，真正在社会实践的运用中，又是如何计算并使用的呢？实际而言，（1）中的第一个方程是由行变换解出的，并同时得出矩阵A的LU分解。

设A为m×n阶矩阵，则A m×n可进行化简为阶梯形，此时不必行对换，那么A可写成形式A=LU，L是m×m下三角矩阵，主对角线元素全是1，U是A的一个等价的m×n阶梯形矩阵。

如下：这样的一个分解称为LU分解，矩阵L是可逆的，我们称L为单位下三角矩阵。

由上，我们可知，当A=LU时，方程Ax=b可写成L（Ux）=b，把Ux写成y，可以有解下面一对方程来求解x：Ly=bUx=y首先解Ly=b然后解Ux=y求得x，如下，每个方程都比较容易解，因和都是三角矩阵。

下面，举出一道例题;例：求下列矩阵的LU分解：因为A有4行，故L为4×4矩阵，L的计算方式为第一列是A的第一列除以它的第一行主元元素，L如下：比较A与L的第一列。

把A的第一列的后3个元素变换为零同时也为L的后三列变换，下面是A变为阶梯形U:将上述A到U的行变化结果放入L中：故得到所求出的L和U满足LU=A，利用LU分解，我们可以进行线性方程组的计算，简化这种计算。

后我又参考了网络上的最新信息，得到即使矩阵不可逆，LU仍然可能存在。

实际上，如果一个秩为k的矩阵的前k个顺序主子式不为零，那么它就可以进行LU分解，但反之则不然。

目前，在任意域上一个方块矩阵可进行LU分解的充要条件已经被发现，这些充要条件可以用某些特定子矩阵的秩表示。

海森堡矩阵分解

海森堡矩阵分解全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：海森堡矩阵分解（Heisenberg Matrix Decomposition）是一种用于将矩阵分解为基础矩阵的数学工具，其命名来源于量子物理学家维尔纳·海森堡（Werner Heisenberg）。

海森堡矩阵分解在数学、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用，被用来解决各种问题，包括线性代数、信号处理、图像处理、机器学习等领域。

海森堡矩阵分解可以将一个矩阵分解成多个基础矩阵的乘积形式。

这种分解技术提供了一种有效的方法来降低原始矩阵的维度，从而简化问题的求解过程。

通过海森堡矩阵分解，我们可以将原始矩阵表示为一组基础矩阵的线性组合，这些基础矩阵通常是正交的，具有独立性和互补性质。

海森堡矩阵分解的基本思想是将原始矩阵表示为一组正交矩阵的乘积形式。

这些正交矩阵通常是特征向量或奇异值向量构成的，它们可以提供原始矩阵的主要成分及其相关性，并帮助我们理解原始矩阵的结构和特征。

海森堡矩阵分解可以看作是一种“数据压缩”技术，通过去除冗余信息和保留主要成分来减少数据的复杂性和噪声影响。

海森堡矩阵分解在信号处理领域中有着重要的应用，可以用来提取信号的主要成分和特征，去除噪声和干扰，从而改善信号的质量和可读性。

在图像处理领域中，海森堡矩阵分解可以用来分解图像的亮度、色彩和纹理等特征，从而实现图像压缩、增强和分割等处理操作。

在机器学习和模式识别领域中，海森堡矩阵分解也被广泛应用于降维、特征提取和数据压缩等任务中，用来简化数据集、提高模型的泛化能力和效率。

海森堡矩阵分解的数学原理比较复杂，但其核心思想和方法还是比较直观和易于理解的。

在实际应用中，我们通常会利用一些数值计算方法和算法来实现海森堡矩阵分解，例如奇异值分解（SVD）、特征值分解等。

这些方法可以帮助我们快速、准确地进行矩阵分解，并获取到矩阵的主要成分和特征信息。

海森堡矩阵分解是一种非常有用的数学工具，可以帮助我们处理各种复杂的数据和问题。

单应矩阵分解

单应矩阵分解1. 引言单应矩阵分解是计算机视觉领域中一种常见的技术方法，用于在图像处理任务中解决对象的投影变换问题。

在计算机视觉中，图像的投影变换是指将一个图像从一个坐标系映射到另一个坐标系的过程。

单应矩阵分解能够通过分解变换矩阵来精确地描述这种变换过程。

本文将详细介绍单应矩阵分解的原理、应用以及计算方法。

首先介绍单应矩阵的定义和性质，然后介绍单应矩阵分解的基本原理和常见的分解方法。

接下来，将探讨单应矩阵分解在计算机视觉中的应用，包括图像配准、图像拼接以及运动估计等方面。

最后，我们将介绍如何使用Python实现单应矩阵分解，并给出一个示例代码。

2. 单应矩阵的定义与性质在计算机视觉中，单应矩阵是用于描述一个平面到另一个平面的投影变换的矩阵。

设有两个平面，分别为平面A和平面B，对应的坐标系为和?′?′?′。

则从平面A到平面B的单应矩阵记为?，其定义如下：= [11 12 13] [21 22 23] [31 32 33]单应矩阵的性质包括：•单应矩阵是非奇异矩阵，即其行列式为非零。

•单应矩阵的逆矩阵存在，并且也是一个单应矩阵。

•单应矩阵的行向量和列向量都是线性相关的。

•单应矩阵的秩为2。

•单应矩阵能够保持直线上的点仍然在同一直线上。

3. 单应矩阵分解的原理单应矩阵分解是指将一个单应矩阵分解为一个旋转矩阵和一个缩放矩阵的乘积的过程。

分解后的每个矩阵都能够提供更具有解释性和可解释性的特征。

常见的单应矩阵分解方法包括：•SVD分解：即奇异值分解，将单应矩阵分解为一个旋转矩阵、一个对角矩阵和一个转置旋转矩阵的乘积。

•QR分解：将单应矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。

•LU分解：将单应矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。

这些分解方法能够提供不同精度和解释性的结果，根据具体应用场景的要求，选择适合的分解方法。

4. 单应矩阵分解的应用单应矩阵分解在计算机视觉中有着广泛的应用。

下面我们将介绍单应矩阵分解在图像配准、图像拼接和运动估计中的应用。