二面角平面角求法1教材
《二面角的平面角求法》课件
复习： 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
O
二二面面角角的的求求法法
(1)定义法——直接在二面角的棱上取一 点（特殊点）分别在两个半平面内作棱的 垂线，得到平面角.
(2)三垂线法——利用三垂线定理或 逆定理作出平面角，通过解直角三角 形求角的大小.
S
E
D
A
C
B
解：（1）因为SB＝BC，E为SC的中点，
Байду номын сангаас
所以BE SC，又DE SC
S
因此SC 平面BDE
E
（2）由SC 平面BDE，得BD SC
D
又由SA 平面ABC，得BD SA
A
C
则BD 平面SAC
B
因此CDE为二面角E－BD－C的平面角
由AB BC，AB＝a，BC= 2a，得AC＝ 3a
2. 实施解题过程仍要注意“作、证、求” 三环节，计算一般是放在三角形中，因 此，“化归”思想很重要.
作业：
1.四棱锥P-ABCD的底面 P
是边长为4的正方形，
PD⊥面ABCD，PD=6，
C
M,N是PB,AB的中点，求
二面角M－DN－C的平 D
面角的正切值？
2.如图，在平面角为600的二面
角 -l-内有一点P，过P作PC P
2BM MN
3
则BMN arccos 6 . 3
例2.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1， P是AD的中点,求二面角A－BD1－P的大小.
C1
B1
D1
求二面角平面角的方法
求二面角平面角的方法
一、二面角平面角的定义
二面角平面角即指由两条平面线段组成的角度，它是由两个平面相交产生的，其值可能为0°（重合）到180°（平行）之间，也就是直角，钝角和锐角。
二、二面角平面角的测量
1.如果要测量二面角平面角，首先要把两条平面线段放到同一个水平面上，这样就可以做出一个直角。
2.然后，由一条水平平面线段和一条垂直平面线段组成的绝对角度，可以用一个水平尺来量出。
3.如果把水平尺顺时针或逆时针移动一定的角度，可以测量出另一条平面线段与水平尺之间的夹角。
4.接下来，可以用一个尺角尺来测量夹角，尺角尺可以用来测量任何角度，用它可以很容易的找到两条平面线段形成的二面角的值。
5.最后，可以用仪器仪表如三角尺等来测量二面角。
在使用三角尺测量夹角时，要尽可能把测量装置稳定地放在水平面上，这样就可以得出准确的结果。
三、二面角平面角的用途
二面角平面角经常用于机械工程设计、建筑学、运算几何以及工业自动化等方面。
其中机械工程设计和建筑学中，常用二面角的测量来进行机械零件和建筑物的强度设计，用于确定链接、螺栓和连接体形等的角度等。
求二面角 (平面与平面所成的角) 高中数学教案
§2.3.2求二面角——平面与平面所成的角一、教学目标1、知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
2、过程与方法（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
3、情态与价值通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。
二、教学重点、难点。
重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小。
三、学法与教学用具。
1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。
2、教学用具：二面角模型（两块硬纸板）四、教学设计（一）创设情景，揭示课题问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？（二）研探新知1、二面角的有关概念老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）2、二面角的度量二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。
教师特别指出：（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L”，OB⊥L；（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平面的位置关系怎样？承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，βB获得两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
9.7.2二面角(1)
B A D
练 习:
1、如图，AB是圆的直径，PA垂 P 直圆所在的平面，C是圆上任一点， 则二面角P-BC-A的平面角为: A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 A 2、已知P为二面角 l 内一 点，且P到两个半平面的距离都 等于P到棱的距离的一半，则这 个二面角的度数是多少？ 60º
解：由已知 AB, AB BD, CA, BD 1800 600 1200 , 2 CA 2 CD | (CA AB BD) | 2 2 2 | CA | | AB | | BD | C 2CA AB 2 AB BD 2BD CA
A
B O A
∠AOB
二面角C－AB－ D
C
BLeabharlann 3、二面角的记法： 点1－棱－点2
l
5
D
E
B
F
A
二面角－ l－
A
D
B
C
二面角C－AB－ E
二、二面角的平面角:
1、二面角的平面角的定义： O
定义一：（定义法） 以二面角的棱上任意一点为端 点，在两个半平面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成的 角∠A0B叫做二面角的平面角。 定义二： （垂面法） 一个平面垂直于二面角 的棱，并与两半平 面分别相交于射线PA、PB 垂足为P，则∠APB叫做二 面角 的平面角.
北极
66 °34 ´
地球轨道面
↓ ↑ 23°26´
(黄道平面)
南极
1、掌握二面角定义及其表示方法；
2、掌握二面角的平面角定义；
3、掌握二面角的平面角的作法; 4、掌握二面角的平面角的求法。
二面角的四种求法-2021-2022学年高一数学(人教A版2019必修第二册)(解析版)
立体几何专题：二面角的四种求法一、二面角1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。
3、二面角的大小范围：[0°，180°] 二、求二面角大小的步骤是： （1）作：找出这个平面角；（2）证：证明这个角是二面角的平面角；（3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小． 三、确定二面角的平面角的方法：1、定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律（1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．（2）具体演示：如图所示，以二面角的棱a 上的任意一点O 为端点， 在两个面内分别作垂直于a 的两条射线OA ，OB ，则∠AOB 为此二面角的平面角2、三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用（1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角（2）具体演示：在平面α内选一点A 向另一个平面β作垂线AB ，垂足为B ，再αβaOAB过点B 向棱a 作垂线BO ，垂足为O ，连接AO ，则∠AOB 就是二面角的平面角。
3、垂面法（空间一点垂面法）（1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
（2）具体演示：过二面角内一点A 作AB ⊥α于B ，作AC ⊥β于C ， 面ABC 交棱a 于点O ，则∠BOC 就是二面角的平面角。
4、射影面积法求二面角coss S射影（1）方法：已知平面β内一个多边形的面积为S ，它在平面α内的射影图形的面积为S射影，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则COSθ=S射影S.这个方法对于无棱二面角的求解很简便。
二面角(新教材试验修订本)
CA · AB ＝ 0 ， AB · BD ＝ 0 2 CD | | ＝ （ CA ＋ AB ＋ BD ） 2 ∴ 2 2 2 CA AB BD | | ＋ | | ＋ | | ＋ 2 CA · BD ＝ CA | 2 ＋ | AB | 2 ＋ | BD | 2 ＋ 2 | CA | × |BD |c o s CA BD | ＝ ＜ ，
？
？
a
A
β
α
③以直线AB为棱，平面CAB、 平面DAB为半平面的二面角 记作： “C—AB—D” 等等。
？
(5)二面角的平面角——
垂直于二面角的棱的任一平面 与两个半平面的交线所成的角 。 O 。 叫做二面角的平面角。 或： 从二面角的棱上任一点在 两个半平面内分别作垂直于棱 的射线，则这两条射线所成的 角叫做二面角的平面角。
B B A A α
β
小结： 1.二面角就是用它的平面
。 O 角来度量的。一个二面角的平 面角多大，我们就说个二面角 是多少度的二面角 。 等角定理 若一个角的两边与 O1 。 另一个角的两边分别平行且方 复习回顾 2.二面角的平面角与点（或 向相同，则这两个角相等。 垂直平面）的位置无任何关系，
只与二面角的张角大小有关。
A1(1，0，1)，C1(0，1，1) ∴BD＝(0，0，0)－(1，1，0)＝（－1，－1，0）
1 1 1 1 OA ＝(1，0，1) － ( ， ，0)＝（ ，－ ，1） 2 2 2 2
1
1 1 1 1 OC ＝(0，1，1) － ( ， ， ，1） 2 2 ，0)＝（－ 2 2
1
∴
BD ● OA
2 ∴ ∠ E H A ＝ a r c t a n 。
H
1、二面角的定义
新教材高中数学1.2.4二面角课件新人教B版选择性必修第一册
(2)若 PQ∥平面 ABB1A1,二面角 P-QD-A 的
3
余弦值为7,求四面体 ADPQ 的体积.
【规范答题】
(1)证明 由题设知,AA1,AB,AD两两垂直,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直
线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则相关各点的坐标
面角的平面角)为23°26'.黄道面与天球相交的大圆称为“黄道”.黄道及其附
近的南北宽9°以内的区域称为黄道带,太阳及大多数行星在天球上的位置
常在黄道带内.黄道带内有十二个星座,
称为“黄道十二宫”.从春分(节气)点起,每30°
便是一宫,并冠以星座名,如白羊座、狮子座、
双子座等等,这便是星座的由来.
知识点拨
1.二面角及其度量
微思考
两个平面相交时,它们所成角的取值范围是什么?
提示 (0°,90°]
微练习
(1)如图,AB是圆的直径,PA⊥AC,PA⊥BC,C是圆上一点(不同于A,B),且
PA=AC,则二面角P-BC-A的平面角为(
A.∠PAC
B.∠CPA
C.∠PCA
D.∠CAB
)
答案 C
解析 ∵C是圆上一点(不同于A,B),AB是圆的直径,
|1 ·2 |
= |1 ||2 | 成立.
|1 ·2 |
名师点析利用公式cos<n1,n2>=
(n1,n2分别为两平面的法向量)进行
|1 ||2 |
求解,注意<n1,n2>与二面角大小的关系,是相等还是互补,需结合图形进行
判断.
如图②④中<n1,n2>就是二面角α-l-β的平面角的补角;如图①③中<n1,n2>
课件1：1.2.4 二面角
2．用空间向量求二面角的大小 如果 n1，n2 分别是平面 α1，α2 的一个法向量，设 α1 与 α2 所成角的 大小为 θ．则 θ＝〈n1，n2〉或 θ＝π－〈n1，n2〉，sin θ＝_s_in_〈__n_1_，__n_2_〉．
【初试身手】
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二面角的范围是0，π2．(
则nn11··AA→→BE1＝＝00，，
x1＋z1＝0， 即x1＋12y1＝0，
令 y1＝2，则 x1＝－1，z1＝1，所以 n1＝(－1,2,1)． 设平面 AD1F 的法向量为 n2＝(x2，y2，z2)，
则nn22··AA→→DF＝1＝00，，
y2＋z2＝0， 即12x2＋y2＝0.
令 x2＝2，则 y2＝－1，z2＝1．所以 n2＝(2，－1,1)．
【合作探究】
类型一 用定义法求二面角 【例 1】 如图，设 AB 为圆锥 PO 的底面直径，PA 为母线，点 C 在底面圆周上，若△PAB 是边长为 2 的正三角形，且 CO⊥AB， 求二面角 P-AC-B 的正弦值．
[解] 如图，取 AC 的中点 D，连接 OD，PD， ∵PO⊥底面，∴PO⊥AC， ∵OA＝OC，D 为 AC 的中点， ∴OD⊥AC，又 PO∩OD＝O， ∴AC⊥平面 POD，则 AC⊥PD， ∴∠PDO 为二面角 P-AC-B 的平面角．
1 3
[如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，
则 D(0,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，D→A1＝(1,0,1)，D→B＝(1,1,0)．
设 n＝(x，y，z)是平面 A1BD 的一个法向量， 则nn··DD→→BA1＝＝00，， 即xx＋＋zy＝＝00，， 令 x＝1，则 y＝－1，z＝－1，∴n＝(1，－1，－1)． 同理，求得平面 BC1D 的一个法向量 m＝(1，－1,1)， 则 cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝13， 所以二面角 A1-BD-C1 的余弦值为13．]
二面角的求法(教师教材)
—高三一轮复习专题讲座
海阳市第二中学高三数学组 侯振良
青苗辅导
1
前言：
二面角是高中数学立体几何中“三大角”之一，
是历年高考考查的重点内容。 二面角的求解有很多种不同的方法，在探究其解
法的过程中，能同时对学生考察空间作图能力、空间 想象能力、逻辑推理能力等，能通过对二面角的考查 来考查学生对立体几何中大多数知识的掌握和运用情 况。
求：平面BFD1与平面ABCD所 成的二面角的大小。
D1 A1
FD A
C1 B1
C B
要求：1、各人思考；2、小组讨论；
3、小组交流展示；4、总结。
青苗辅导
13
解法一：
如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连 接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面 ABCD的交线。
∵ F是AA1的中点，∴可得A也是PD的中 点，∴AP=AB,
1、垂面法。见例一和例二的解法一； 2、三垂线法。见例二的解法二； 3、射影面积法。见例二的解法三； 4、法向量夹角法。见例二的解法四。
其中垂面法和三垂线法也是直接找平面角的 方法 ，也称为 直接法；射影面积法和法向量 法是没有找出平面角而求之的方法，也称之为 间接法。
青苗辅导
19
点评
这几种方法是现在求二面角的常用 的方法，在高考中经常被考查；尤其是 向量法，更有着广泛的被考查性，在应 用的时候主要注意以下两点： 1、合理建系。本着“左右对称 就地取 材”的建系原则。 2、视图取角。由于法向量的取定有人为 的因素，其夹角不一定正好是二面角的 平面交的大小，我们要视原图形的情况 和题意条件进行正确的选择大小，即要 么是这个角，要么是它的补角。
同解法一可知，等腰△APB, ∠P=300， Rt△APB中，可求得AE= 1 ，（设四棱柱 的棱长为2）又AF= 1, ∴∠AEF=450，即为 所求。
求二面角平面角的方法
寻找二面角的平面角的方法二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点．对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法．我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型． 1.1 二面角的相关概念新教材]1[在二面角中给出的定义如下：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.定义只给出二面角的定性描述，关于二面角的定量刻画还必须放到二面角的平面角中去研究.教材如下给出了二面角的平面角的概念：二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角.2. 二面角的求解方法对二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，从而将三维空间中的求角问题转化为二维空间并可以通过三角形的边角问题加以解决.定位出二面角为解题的关键环节，下面就二面角求解的步骤做初步介绍：一、“找”：找出图形中二面角，若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形定位二面角的平面角 二、“证”：证明所找出的二面角就是该二面角的平面角 三、“算”：计算出该平面角 由于定位二面角的难度较大，对于求解二面角还有一种思路就是绕开定位二面角这一环节，通过一些等价的结论或公式或用空间向量等方法来直接求出二面角的大小.本文将根据这两种解题思路对二面角的解题方法做一一介绍.2.1 定位二面角的平面角，求解二面角二面角常见题型中根据所求两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角.对于前者的二面角的定位通常采用找点、连线或平移等手段来定位出二面角的平面角；而对于无棱二面角我们还必须通过构造图形如延展平面或找公垂面等方法使其有“无棱”而“现棱”再进一步定位二面角的平面角.一、根据平面角的定义找出二面角的平面角 例1 在60的二面角βα--a 的两个面内，分别有A 和B 两点．已知A 和B 到棱的距离分别为2和4，且线段10=AB ，试求：（1）直线AB 与棱a 所构成的角的正弦值； （2）直线AB 与平面α所构成的角的正弦值．分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出60角在哪儿．如果解决了这个问题，这道题也就解决了一半．根据题意，在平面β内作a AD ⊥；在平面α内作α⊥BE ，EBCD //，连结BC 、AC ．可以证明a CD ⊥，则由二面角的平面角的定义，可知ADC ∠为二面角βα--a α图1的平面角．以下求解略．例1 正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD-C1的大小为 . 例2(2006年江苏试题)如图2(1)，在正三角形ABC中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 上的点，满足AE ： EB=CF ：FA=CP ：BP=1：2.如图2(2)，将△AEF 折起 到△A1EF 的位置，使二面角A1-EF-B 成直二面角，连 接A1B 、A1P.(Ⅰ)与(Ⅱ)略；(Ⅲ)求二面角B-A1P-F 的余弦值 tan ∠COC 1=2分析与略解：在例1中，图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用，在这里更离不开图形的这种对称和谐性.若取BP 的中点Q ，连接EQ ，则在正三角形ABC 中，很容易证得△BEQ ≌△PEQ ≌△PEF ≌△AEF ，那么在图2(2)中，有A 1Q=A 1F.作FM ⊥A 1P 于M ，连接QH 、QF ，则易得△A 1QP ≌△A 1FP ，△QMP ≌△FMP ，所以∠PMQ=∠PMF=90o ，∠QMF 为二面角B-A 1P-F 的平面角，使题解取得了突破性的进展.设正三角形的边长为3，依次可求得A 1P=5，QM=FM=552，在△QMF 中，由余弦定理得cos ∠QMF=87-。
二面角(一)(新编2019教材)
要点·疑点·考点 课 ·考点
1. 二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫二面 角，其大小通过二面角的平面角来度量.
2. 二面角的平面角： (1)定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面 内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角 叫做二面角的平面角. (2)范围：[0，π ]
3.二面角的平面角的作法：
(1)定义法 (2)三垂线定理法 (3)作棱的垂面法
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二面角的平面角的求法
二面角的平面角的求法知识点拨1、二面角的定义以一条直线出发的两个半平面所成的图形叫做二面角，记作：二面角α—l —β。
二面角出现的状态形式有：竖立式、横卧式、倒向式2、二面角的平面角的定义以二面角的顶点任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于边的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的平面角的定义要注意三个重要的词组:“棱上”、“面上”、“垂直”, 事实上, 二面角的平面角具有三个要素:(1)过棱上任意一点;(2)分别在两个面内引射线;(3)射线垂直于棱。
其中(1)(2)决定了平面角的两边是在同一平面内。
所以才有“平面角”之称, (3)是决定了平面角的数值的唯一性。
由二面角的平面角的定义可知: 二面角的棱垂直于二面角的平面角所在平面。
平面角是直角的二面角叫做直二面角．3、二面角大小求法的要领二面角的大小，可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度.（ 也可转化为求三角形内角问题）4、求二面角大小的基本方法我们总结一下作二面角平面角的几种基本方法. （1）定义法；（2）垂面法；（3）三垂线法；（4）面积法cos θ=S 射影多边形/S 多边形(射影面积公式)。
(1)如何利用定义作二面角的平面角呢?在二面角的棱a 上任意取一点O 为端点，在面α，β内分别引垂直于棱a 的两条射线OA ，OB ，则∠AOB 为该二面角的平面角.(2)如何利用三垂线定理（或其逆定理）作二面角的平面角呢?在二面角α-a-β的面α上任取一点A ，过A 分别作棱a 和另一面β的垂线AO 和AB(O ，B 分别是垂足)，连BO ；或者过A 作面β的垂线AB ，又过垂足B 引棱a 的垂线BO ，连AO ；则∠AOB 为该二面角的平面角.(3)如何用作垂面的办法作二面角的平面角呢?过二面角的棱a上任一点O，作平面γ与该棱垂直(作棱的垂面)，平面γ与α，β分别交于OA，OB，则可用∠AOB来度量二面角α-a-β的大小.（4）射影面积公式用此方法可避免寻找二面角的平面角的繁琐步骤。
二面角平面角大小范围求法求二面数学几何高中数学立体几何
二面角平面角大小范围求法求二面数学几何高中数学立体几何- 二面角知识大全目录1平面角2大小范围3求法4求二面角大小的…5与平面角的关系平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
平面角是直角的二面角叫做直二面角。
两个平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
大小范围0<θ≤π两个半平面重合时无二面角，故θ≠0；相交时0＜θ＜π，共面时θ＝π求法有六种：1.定义法（分别向交线作垂线，求两线的夹角）2.三垂线法：过某一半平面内一点向另一半平面和交线作垂线，作出射影由tan角求解；3.垂面法：找出交线的垂面，并作出垂面与半平面的交线，求夹角；4.射影面积法：二面角的余弦值等于某一个半平面在另一个半平面的射影的面积和该平面自己本身的面积的比值5.空间向量法;分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。
二面角就是该夹角或其补角。
6.转化法二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。
过这个点分别在两平面做相交线的垂线，然后把两条垂线放到一个三角形中考虑。
有时也经常做两条垂线的平行线，使他们在一个更理想的三角形中。
由公式S射影=S斜面cosθ，作出二面角的平面角直接求出。
运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得也可以用解析几何的办法，把两平面的法向量n1,n2的坐标求出来。
然后根据n1·n2=｜n1｜｜n2｜cosα，θ=α为两平面的夹角。
这里需要注意的是如果两个法向量都是垂直平面，指向两平面内，所求两平面的夹角θ=π-α二面角的通常求法：（1）由定义作出二面角的平面角；（2）作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角；（3）利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角；（4）空间坐标求二面角的大小。
二面角的平面角及求法-精品
二面角的平面角及求法1、二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.棱为AB、面分别为a、0的二面角记作二面角a-45-0.有时为了方便，也可在a、P内（棱以外的半平面部分）分别取点尸、0,将这个二面角记作夕-AB-Q.如果棱记作/,那么这个二面角记作二面角a-/-0或尸2、二面角的平面角在二面角a-/-0的棱/上任取一点0,以点0为垂足，在半平面a和0内分别作垂直于棱/的射线。
4和08,则射线04和06构成的N4O6叫做二面角的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的平面角NZ06的大小与点。
的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱/上的点0.3、二面角的平面角求法：（1）定义；（2）三垂线定理及其逆定理；①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直.②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角.（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角.；（4）平移或延长（展）线（面）法；（5）射影公式;（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；(7)向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：设平面a和0的法向量分别为:和若两个平面的夹角为仇则(1)当O〈Vu，v>^—，e=Vu，v>，此时cose=cosVu，v>=-7-^—.2 lullvl―♦―♦—♦1]■V (2)当——<<u，V>W TT时，0=cos(n-Vu，v>)=-cos<u，v>=-=———2 lullvl。
第八章求二面角的平面角的常见解法
2020-2021学年高一数学必修二第8章《立体几何初步》微专题3求二面角的平面角的常见解法
二面角是立体几何中最重要的知识点，是高考的热点和重点.求二面角的常见方法有定义法，三垂线法，垂面法.
一、定义法
利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法.
例1在三棱锥V－ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝
3，求二面角V－AB－C的
大小.
解
取AB的中点D，连接VD，CD，
∵△VAB中，VA＝VB＝AB＝2，
∴△VAB为等边三角形，
∴VD⊥AB且VD＝3，
同理CD⊥AB，CD＝3，
∴∠VDC为二面角V－AB－C的平面角，
而△VDC是等边三角形，∠VDC＝60°，
∴二面角V－AB－C的大小为60°.
二、三垂线法
是利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法.这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线.此方法是属于较常用的.
三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条
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B
A C
O
β
常见的图形
讲解例题
α
三 角 形 ABC 在 平 面 N 内 的 射 影 为 BCO 三 角 形 ABC 的 面 积 为S，三角形BCO的 面积为S射 cos = S 射
S
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例4、如图，设E为正方体的边CC1的中点，求平面 AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余弦值。
△AB1E在底面A1B1C1D1上的射影为△A1B1C1，故这两个 平面所成二面角的余弦值为
二面角的平面角
求二面角的平面角方法
小
①点P在棱上 —定义法 ②点P在一个半平面上 —三垂线法
结
③点P在二面角内 —垂面法 ④射影法
ι
α
β
p
A
B
pβ
α
B
A
ι
β
B
p
O
α
ι
A
A
二面角的平面角的三个特征:
l
O
B
1.点在棱上
2.边在面内
3.边与棱垂直
二面角的平面角范围：00 1800
二面角
二面角的平面角
求(作）二面角的平面角方法
①点P在棱上 —定义法
②点P在一个半平面上 —三垂线法
③点P在二面角内 —垂面法
④射影法
ι
α
β
p
A
B
pβ
α
B
A
ι
β
B
p
O
α
ι
A
二面角 返回主页
已知三棱锥D ABC的三个侧面与底面全等，
且AB AC 3，BC 2，求二面角D BC A的
大小. 90°
D
C A
O
B
返回主页
三垂线法
点P在一个半平面上
β p
α
B
A
ι
讲解例题
常见的图形
二面角 返回主页
例2．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是
底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= ，求二
1 2
O
C P
2
∴所求的二面角P-AB-C 的正切值为
2 2
E
O
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垂面法 点P在二面角内
β
B
O
ι
讲解例题
常见的图形
p
α
A
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例3．如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5， PB=8，AB=7，求这二面角的度数。
解：过PA、PB的平面PAB与
棱ι 交于O点 ∵PA⊥α ∴PA⊥ι ∵PB⊥β ∴PB⊥ι
面角P-A2B-C的正切值。
解：取AB 的中点为E，连PE，OE
P
∵O为 AC 中点， ∠ABC=90º
∴OE∥BC且 OE OE⊥AB ，因此
BC12 PE⊥AB
E
A
B
∴∠PEO为二面角P-AB-C 的平面角
在Rt△PBE中，BE ，12 PB=1，PE
3 2
在Rt△POE中， OE ，22PO ∴ tan PEO 2
S A1B1C1
S AB1E
2 3
D1
C1
A1
B1
E
D A
C B
二面角的求法总结
⑴定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个 顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。 此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是 我们首选的方法。
⑵三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个 顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这 个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计 算简便，所以我们常用此法。
C Mα
在β内作OD⊥AB交PN于D，
APO
B
连CD，可得
∠COD是二面角α-AB-β的平面角 设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45º
D Nβ
∴CO=a， DO=a， PC
又∵∠MPN=60º
a ， P2D
a 2 C
∴CD=PC a 2
P aO
二面角
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二面角的定义
从空间一直线出发的
两个半平面所组成的
图形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱，
每个半平面叫做二面角的
α
面
ι
β
记作 l
二面角的平面角
二面角的平面角的定义
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内 分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角 叫做二面角的平面角
⑶垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这 一点不好选择，所以此法一般不用。
⑷以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。
⑸射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射 影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式, 这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用。
二面角
βB
ιO
P Aα
∴ι⊥平面PAB
∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角
又∵PA=5，PB=8，AB=7 由余弦定理得 cosP 1
2
∴∠P= 60º ∴∠AOB=120º
∴这二面角的度数为120º
变式：P为1200的二面角 a 内一点, P到和的距离均为10,
求P到棱a的距离.
P
M ON
a
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讲解例题
定义法 点P在棱上
α
常见的图形 ι β
A
p
B
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例1.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别
在 α 、 β 内 引 射 线 PM 、 PN ， 且 ∠ MPN=60º
∠BPM=∠BPN=45º ，求此二面角的度数。
解：在PB上取不同于P 的一点O，
在α内过O作OC⊥AB交PM于C，