8.1.2多项式教案公开课
八年级数学《多项式的运算》代数技巧教案
八年级数学《多项式的运算》代数技巧教案教学目标：1. 掌握多项式的基本概念及运算法则。
2. 熟练运用代数技巧解决多项式运算问题。
3. 培养学生的逻辑思维和解题能力。
教学过程：一、导入（10分钟）1. 导入前述知识，复习多项式的定义和相关术语。
2. 引入新知识，介绍多项式的运算法则。
二、多项式的加减法（15分钟）1. 定义多项式的加法和减法。
2. 示例演示，解释运算规则。
3. 练习题，巩固加减法的运算技巧。
三、多项式的乘法（20分钟）1. 定义多项式的乘法。
2. 示例演示，解释运算规则。
3. 练习题，训练乘法的运算技巧。
四、多项式的除法（15分钟）1. 定义多项式的除法。
2. 示范演示，解释运算规则。
3. 练习题，强化除法的运算技巧。
五、多项式的展开与因式分解（20分钟）1. 解释多项式的展开和因式分解的概念。
2. 示范演示，展示展开和因式分解的步骤。
3. 练习题，培养学生的解题技巧和思维能力。
六、综合运用（20分钟）1. 案例分析，结合实际问题进行综合运用。
2. 学生合作，解决多项式的实际问题。
3. 教师点评，展示优秀解答方法。
七、总结与拓展（10分钟）1. 小结多项式的运算法则和代数技巧。
2. 拓展思考，提出一些扩展问题。
八、作业布置（5分钟）1. 布置相应的练习题，巩固今天的知识。
2. 引导学生查找相关拓展阅读材料。
教学反思：通过本课的教学，学生能够正确理解和运用多项式的运算法则，掌握代数技巧解决多项式运算问题。
同时，我们注重培养学生的逻辑思维和解题能力，通过案例分析和综合运用，提高学生的应用能力和问题解决能力。
在教学过程中，我们还引入了合作学习的方式，促进学生之间的互动和合作，共同解决问题。
多项式(公开课)
2.已知多项式-2x2y2n+1z+3x2y+1是八次三项式, 求n的值.
解: 因为2+(2n+1)+1=8 则 n=2
已知多项式-
1 2 x y 3
2
m 1
+ xy
2
-3x +6是六次四项式，
3
单项式3x 2n y
m+n的值
的次数与这个多项式的次数相同。求
系数：单项式中的数字因数。 单项式 次数:所有字母的指数的和。 整 式
（３）单项式里所有字母的指数的和叫做单项
式的次数。
2 什么是多项式？什么是多项式的项、项数 及次数？
(2) x–y 2 (5) 3x - 5x +7 5 (6) x - 1
(7) x 4y2– x3 y+x-1
(9) x2 y + xy2 – xy +x + y+ 1
(1)几个单项式的和叫做多项式。 (“和”为代数和）
（１）常数项； （２）一次项； (2)多项式里的每一个单项式叫做多项式的项。（３）二次项； （４）三次项； ……等等。 (3)多项式里项的个数的多少的数叫做项数。 (4)多项式里次数最高的单项式的次数叫做多项式的次数。
检测
(1) ab (2) x–y 2 (3) 6a 2 2 (4) πr (5) 3x - 5x +7 5 (6) x - 1
2a
7 3 的系数是2,次数是10 .(
×
) √
)
2 （4）3a- __ +4是多项式。 （ b
（5）5R +2 是四次二项式。 （
） ） （ ） （ ）
3 2 （6）2x +xy+3y 是七次三项式。
《多项式教案》
《多项式教案》word版一、教学目标：1. 让学生理解多项式的概念，掌握多项式的定义及其相关性质。
2. 培养学生运用多项式进行数学运算的能力，提高解决问题的能力。
3. 培养学生团队协作精神，提高学生数学思维能力。
二、教学内容：1. 多项式的定义与相关性质2. 多项式的运算规则3. 多项式在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 重点：多项式的概念、性质及运算规则。
2. 难点：多项式在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解多项式的定义、性质及运算规则。
2. 运用案例分析法，分析多项式在实际问题中的应用。
3. 组织小组讨论，培养学生的团队协作精神。
五、教学过程：1. 引入：通过生活中的实际例子，引导学生思考多项式的概念。
2. 讲解：详细讲解多项式的定义、性质及运算规则。
3. 案例分析：分析多项式在实际问题中的应用。
4. 小组讨论：学生分组讨论，分享各自的解题思路。
5. 总结：对本节课的内容进行归纳总结，强调重点知识点。
6. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 评价学生对多项式概念的理解程度，通过课堂提问和作业批改进行评估。
2. 评价学生多项式运算的熟练程度，通过课堂练习和小测验进行评估。
3. 评价学生在实际问题中应用多项式的能力，通过案例分析和课后项目进行评估。
七、教学资源：1. 教材：《高中数学教材》相关章节。
2. 课件：制作多媒体课件，辅助讲解多项式的定义和性质。
3. 练习题：准备一系列的多项式运算练习题，用于课堂练习和学生自学。
4. 案例分析材料：收集一些实际问题，用于引导学生应用多项式解决问题。
八、教学进度安排：1. 第一课时：介绍多项式的定义和基本性质。
2. 第二课时：讲解多项式的运算规则。
3. 第三课时：案例分析，展示多项式在实际问题中的应用。
4. 第四课时：小组讨论，学生展示自己的解题过程。
5. 第五课时：总结本单元内容，布置课后作业。
九、课后作业：1. 完成教材后的多项式练习题。
高中数学人教B版必修第三册 第八章 8.1.2
8．1.2 向量数量积的运算律学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用公式.2.会利用向量的数量积证明垂直、求向量的夹角、模(长度)等．知识点 向量数量积的运算律 1．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律)．(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(数乘结合律)． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)． 2．向量数量积的运算性质多项式乘法 向量数量积 (a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2 (a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 (a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2 (a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 (a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2思考 若a ·b ＝b ·c (b ≠0)，是否可以得出结论a ＝c ? 答案 不可以． 理由如下：如图，a ·b ＝|a ||b |cos β＝|b ||OA |， b ·c ＝|b ||c |cos α＝|b ||OA |.所以a ·b ＝b ·c ，但是a ≠c .1．λ·(a ·b )＝λa ·λb .( × )2.AB →·AC →＋AB →·CD →＝AB →·(AC →＋CD →)＝AB →·AD →.( √ ) 3．若(λa )·b ＝0，则a ⊥b .( × ) 4．|a |2－|b |2＝(a ＋b )·(a －b )．( √ )一、求两向量的数量积例1 (1)已知|a |＝4，|b |＝7，且向量a 与b 的夹角为120°，求(2a ＋3b )·(3a －2b )． 解 (2a ＋3b )·(3a －2b ) ＝6a 2－4a ·b ＋9b ·a －6b 2 ＝6|a |2＋5a ·b －6|b |2＝6×42＋5×4×7·cos 120°－6×72 ＝－268.(2)在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 是CD 的中点，求AE →·BD →的值． 解 AE →·BD →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋12AB →·(AD →－AB →)＝AD →2－12AB →2－12AB →·AD →＝1－12×4－12×2×1×12＝－32.反思感悟 求两向量的数量积的两种常见题型(1)类似向量线性运算之后再求数量积的题型，只需按照向量运算律展开即可求解． (2)在平面图形中求两向量的数量积，一般先找好基底，用基底表示所求向量，再进行基底之间的运算即可求解．跟踪训练1 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，∠BAC ＝60°，点E ，F 满足AE →＝2EB →，AC →＝2FC →，点D 为BC 的中点．求EF →·AD →.解 如图所示，E 为AB 的三等分点，F 为AC 的中点，设AB →＝a ，AC →＝b ，∴|a |＝3，|b |＝4且〈a ，b 〉＝60°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝3×4×12＝6，∴EF →·AD →＝(AF →－AE →)·⎝⎛⎭⎫12AB →＋12AC →＝⎝⎛⎭⎫12b －23a ·⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＝－13a 2－112a ·b ＋14b 2＝－13×9－112×6＋14×16＝12.二、求向量的模和夹角例2 (1)已知|a |＝|b |＝5，且|3a －2b |＝5，则|3a ＋b |＝________. 答案 20解析 ∵|3a －2b |2＝9|a |2－12a ·b ＋4|b |2 ＝9×25－12a ·b ＋4×25＝325－12a ·b ， ∵|3a －2b |＝5， ∴325－12a ·b ＝25， ∴a ·b ＝25.∴|3a ＋b |2＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝9×25＋6×25＋25＝400， 故|3a ＋b |＝20.(2)设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角． 解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°， ∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12.|a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n＝4×1＋1＋4×12＝7，|b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m·n ＝4×1＋9×1－12×12＝7，a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2 ＝12－6×1＋2×1＝－72.设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a·b|a||b |＝－727×7＝－12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3.反思感悟 (1)求解向量模的问题就是要灵活应用a 2＝|a |2，即|a |＝a 2，勿忘记开方． (2)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝a·b |a||b|求出夹角的余弦值，再求角．注意向量夹角的范围是[0，π]．跟踪训练2 已知非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，求a 与a －b 的夹角．解 方法一 如图所示，在平面内取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，使|OA →|＝|OB →|，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则四边形OACB 为菱形，OC 平分∠AOB ， ∴BA →＝a －b . 由于|a |＝|b |＝|a ＋b |， 即|OA →|＝|AC →|＝|OC →|，∴∠AOC ＝60°，∠AOB ＝120°， ∴∠OAB ＝30°，即a 与a －b 的夹角为30°. 方法二 |a |＝|b |＝|a ＋b |，∴a 2＝b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2，∴a 2＝b 2＝－2a ·b ， ∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝a 2－⎝⎛⎭⎫－12a 2＝32a 2. |a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝3a 2＝3|a |，∴cos 〈a ，a －b 〉＝a ·(a －b )|a |·|a －b |＝32a 2|a |·3|a |＝32.又0°≤〈a ，a －b 〉≤180°， ∴〈a ，a －b 〉＝30°， ∴a 与a －b 的夹角为30°. 三、与垂直有关的问题例3 已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94 D ．－94答案 B解析 由题意知，cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝m ·n 34|n |2＝13，所以m ·n ＝14|n |2＝14n 2，因为n ·(t m ＋n )＝0， 所以t m ·n ＋n 2＝0， 即14t n 2＋n 2＝0， 所以t ＝－4.反思感悟 解决有关垂直问题时利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0.跟踪训练3 已知向量a ，b ，且|a |＝1，|b |＝2，(a ＋2b )⊥(3a －b )，求向量a 与b 夹角的大小． 解 设a 与b 的夹角为θ，由已知得(a ＋2b )·(3a －b )＝3a 2＋5a ·b －2b 2 ＝3＋10cos θ－8＝0， 所以cos θ＝12，又0°≤θ≤180°， 所以θ＝60°， 即a 与b 的夹角为60°.平面几何中利用向量数量积证明垂直问题典例 已知O 为△ABC 的外心，E 为三角形内一点，满足OE →＝OA →＋OB →＋OC →，求证：AE ⊥BC . 证明 AE →＝OE →－OA →＝OB →＋OC →，BC →＝OC →－OB →， ∵AE →·BC →＝(OB →＋OC →)·(OC →－OB →)＝OC →2－OB →2， 又O 为△ABC 的外心．∵|OA →|＝|OC →|＝|OB →|，∴OC →2－OB →2＝0， ∴AE →·BC →＝0， ∴AE →⊥BC →，∴AE ⊥BC .[素养提升] 用向量表示题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题体现了逻辑推理的核心素养．1．设e 1和e 2是互相垂直的单位向量，且a ＝3e 1＋2e 2，b ＝－3e 1＋4e 2，则a ·b 等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 B解析 因为|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，所以a ·b ＝(3e 1＋2e 2)·(－3e 1＋4e 2)＝－9|e 1|2＋8|e 2|2＋6e 1·e 2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1. 2．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 答案 A解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝10，① |a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝6，② 由①－②得4a ·b ＝4， ∴a ·b ＝1.3．在▱ABCD 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，N 为DC 的中点，M 为BC 上一点，且BM →＝2MC →，则AM →·NM →等于( )A ．48B ．36C ．24D ．12答案 C解析 AM →·NM →＝(AB →＋BM →)·(NC →＋CM →) ＝⎝⎛⎭⎫AB →＋23AD →·⎝⎛⎭⎫12AB →－13AD → ＝12AB →2－29AD →2 ＝12×82－29×62＝24，故选C. 4．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a ·b ＝1，则向量a 与a －b 的夹角为________． 答案 π6解析 |a －b |＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝3，设向量a 与a －b 的夹角为θ，则 cos θ＝a ·(a －b )|a ||a －b |＝22－12×3＝32，又θ∈[0，π]， 所以θ＝π6.5．已知向量a ·b 满足|a |＝3，|b |＝4，且|a ＋b |＝|a －b |，则|2a －3b |＝________. 答案 6 5解析 ∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴(a ＋b )2＝(a －b )2， 得a ·b ＝0， ∴|2a －3b |＝(2a －3b )2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2 ＝4×9＋9×16＝6 5.1．知识清单：(1)向量数量积的运算律．(2)利用向量数量积证明垂直、求夹角、模．2．方法归纳：数形结合，转化与化归． 3．常见误区：忽视向量数量积不满足结合律．1．已知a ，b 方向相同，且|a |＝2，|b |＝4，则|2a ＋3b |等于( ) A ．16 B ．256 C ．8 D ．64 答案 A解析 方法一 ∵|2a ＋3b |2＝4a 2＋9b 2＋12a ·b ＝16＋144＋96＝256，∴|2a ＋3b |＝16. 方法二 由题意知2a ＝b ， ∴|2a ＋3b |＝|4b |＝4|b |＝16.2．已知|a |＝4，|b |＝2，a 与b 的夹角为120°，则(a ＋b )·(2a －b )等于( ) A ．32 B ．24 C ．26 D ．8 答案 B解析 依题意a ·b ＝4×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－4， ∴(a ＋b )·(2a －b )＝2a 2＋a ·b －b 2＝32－4－4＝24.3．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 答案 C解析 ∵(2a ＋b )⊥b ，∴(2a ＋b )·b ＝0， ∴2a ·b ＋b 2＝0，∵a ·b ＝－12b 2，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12b 2|b ||b |＝－12，又0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝120°.4．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于( ) A.32 B ．－32 C ．±32 D ．1 答案 A解析 ∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0，∴λ＝32.5.如图，在△ABC 中，若AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝60°，DC →＝2BD →，则AD →·BC →等于( )A.32 B ．－92C.12 D ．－32答案 D解析 令AB →＝a ，AC →＝b ，则|a |＝|b |＝3，cos 〈a ，b 〉＝12，∴a ·b ＝3×3×12＝92，∴BC →＝b －a ，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23a ＋13b .∴AD →·BC →＝⎝⎛⎭⎫23a ＋13b ·(b －a )＝－23a 2＋13a ·b ＋13b 2＝－23×9＋13×92＋13×9＝－32. 6．已知向量a ，b 满足(2a ＋b )·(a －b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________． 答案 π3解析 设a 与b 的夹角为θ，依题意有(2a ＋b )·(a －b )＝2a 2－a ·b －b 2＝7－2cos θ＝6， 所以cos θ＝12，因为0≤θ≤π，故θ＝π3.7．已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________. 答案 9解析 ∵OA →⊥AB →，∴OA →·AB →＝OA →·(OB →－OA →) ＝OA →·OB →－OA →2＝OA →·OB →－9＝0，即OA →·OB →＝9.8．在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝33，且∠BAC ＝30°，点D 为BC 的中点，则AD 的长为________． 答案792解析 由题意得AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AD →2＝14(AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2)＝14⎝⎛⎭⎫16＋2×4×33×32＋27＝794，∴|AD →|＝792. 9．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求|a ＋b |；(2)求向量a 在向量a ＋b 上的投影的数量．解 (1)(2a －3b )·(2a ＋b )＝4a 2－3b 2－4a ·b ＝4×16－3×9－4a ·b ＝61，解得a ·b ＝－6， ∴|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝16＋9－12＝13，∴|a ＋b |＝13. (2)设a 与a ＋b 的夹角为θ，a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝10， ∴a 在a ＋b 上的投影的数量为|a |cos θ＝a ·(a ＋b )|a ＋b |＝101313.10.如图，等腰梯形ABCD ，AB ∥CD ，且AB ＝2AD ＝2DC .证明：AC ⊥BC .证明 令AB →＝a ，AD →＝b ， 则DC →＝12a ，且|a |＝2|b |，∴AC →＝AD →＋DC →＝b ＋12a ，BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b ，∵AC →·BC →＝⎝⎛⎭⎫12a ＋b ·⎝⎛⎭⎫－12a ＋b ＝b 2－14a 2 ＝b 2－14×4b 2＝0，∴AC →⊥BC →，∴AC ⊥BC .11．已知非零向量a ，b ，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，则〈a ，b 〉等于( ) A.π6 B.2π3 C.π3 D.5π6 答案 C解析 由向量垂直，得⎩⎪⎨⎪⎧ (a ＋3b )·(7a －5b )＝0，(a －4b )·(7a －2b )＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋16a ·b ＝15b 2，7a 2－30a ·b ＝－8b 2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ＝12|b |2，|a |＝|b |，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12|b |2|b |2＝12. 又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π3. 12．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则β的余弦值为( )A ．－23B ．－223 C.223 D.23 答案 C解析 因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a |＝3，b 2＝(3e 1－e 2)2＝9－2×3×1×cos α＋1＝8，所以|b |＝22，a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8， 所以cos β＝a ·b |a ||b |＝83×22＝223. 13．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________． 答案 [0,1]解析 ∵b·(a －b )＝a·b －|b |2＝|a||b |cos θ－|b |2＝0，∴|b |＝0或|b |＝|a |cos θ＝cos θ (θ为a 与b 的夹角)，θ∈[0，π]，∴0≤|b |≤1.14．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．答案 12解析 因为E 为CD 的中点，所以BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12DC →＝AD →－12AB →，AC →＝AD →＋AB →，因为AC →·BE →＝1，所以AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝⎛⎭⎫AD →－12AB →＝AD →2－12AB →2＋12AB →·AD →＝1，即1－12AB →2＋12|AB →|cos 60°＝1，所以－12AB →2＋14|AB →|＝0，解得|AB →|＝12.15．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58 B.18 C.14 D.118答案 B解析 如图所示，∵AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋34AC →， BC →＝AC →－AB →，∴AF →·BC →＝⎝⎛⎭⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →) ＝－12|AB →|2－14AB →·AC →＋34|AC →|2 ＝－12×1－14×1×1×12＋34＝18. 故选B.16．已知向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且|a |＝3，|b |＝5，|c |＝7.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)是否存在实数μ使μa ＋b 与a －2b 垂直？解 (1)∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，∴|a ＋b |＝|c |.∴(a ＋b )2＝c 2，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝c 2，∴a ·b ＝c 2－a 2－b 22＝|c |2－|a |2－|b |22＝49－9－252＝152. 又∵a ·b ＝|a ||b |cos θ，∴152＝3×5×cos θ， ∴cos θ＝12，θ＝60°. (2)假设存在，∵(μa ＋b )⊥(a －2b )， ∴(μa ＋b )·(a －2b )＝0，∴μa 2－2b 2－2μa ·b ＋a ·b ＝0，∴9μ－2×25－2μ×152＋152＝0，∴μ＝－8512. ∴存在μ＝－8512， 使得μa ＋b 与a －2b 垂直．。
多项式的教案
多项式的教案标题：多项式的教案教案目标:- 理解多项式的基本概念、术语和符号，并能够正确使用它们。
- 掌握多项式的加法和减法运算，能够进行简单的多项式运算。
- 理解多项式的乘法规则和特殊情况，能够使用这些规则进行多项式的乘法运算。
- 了解多项式的因式分解，能够简化和分解给定的多项式。
- 应用多项式解决实际问题。
教案步骤:引入阶段:1. 创造兴趣: 通过提出一个有趣的数学问题或引言，激发学生对多项式的兴趣，如“你有没有过一次多项式运算的经历？”或者“你想知道如何因式分解一个多项式吗？”。
2. 激活思维: 向学生展示几个简单的代数表达式，并引导他们思考这些表达式之间是否存在某种关系。
讲解阶段:3. 多项式基础知识: 介绍多项式的定义、术语和符号，如项、系数、次数等。
提供一些具体的例子来解释这些概念。
4. 多项式的加法和减法: 解释多项式的加法和减法运算规则，并通过一些实例演示如何进行多项式的相加和相减运算。
5. 多项式的乘法: 介绍多项式的乘法规则和特殊情况，如同底数幂相乘、乘方公式等。
提供一些实例来说明这些规则的应用。
6. 多项式的因式分解: 讲解多项式的因式分解方法，并演示如何根据特定因式分解公式将多项式简化或分解。
7. 实际问题应用: 给学生提供一些实际问题，要求他们将其转化为多项式，并解决这些问题。
引导学生使用所学的知识和技巧来解决问题。
练习阶段:8. 练习与巩固: 给学生一些练习题，包括多项式的加减运算、乘法运算和因式分解题目。
鼓励学生积极参与解题过程，并及时纠正他们的错误。
9. 考核与评估: 设计一些评估题目，考察学生对多项式的理解和应用能力。
可以包括选择题、填空题或解答题。
总结阶段:10. 总结与回顾: 回顾本节课所学的内容，并概括其中的重点和难点。
强调多项式在数学中的重要性和应用领域。
11. 拓展与延伸: 提供一些相关的学习资源或推荐阅读，以便有兴趣的学生进一步扩展他们对多项式的理解和应用能力。
多项式说课稿
多项式说课稿一、教学目标本节课的教学目标主要包括以下几个方面：1. 知识目标：通过本节课的学习，学生能够掌握多项式的基本概念、多项式的加减乘除运算规则以及多项式的因式分解方法。
2. 能力目标：通过本节课的学习，学生能够运用多项式的知识解决实际问题，培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
3. 情感目标：通过本节课的学习，培养学生对数学的兴趣和好奇心，增强学生的自信心和解决问题的能力。
二、教学重点和难点1. 教学重点：多项式的基本概念、多项式的加减乘除运算规则以及多项式的因式分解方法。
2. 教学难点：多项式的因式分解方法。
三、教学准备1. 教学工具：黑板、彩色粉笔、投影仪、多项式的实例题。
2. 教学材料：教材、练习册、多项式相关的实例题。
四、教学过程1. 导入（5分钟）老师可以通过一个生活中的问题导入本节课的内容，如：小明买了若干本数学书和若干本英语书，其中数学书的价格是每本20元，英语书的价格是每本15元，小明一共花了120元。
请问小明买了多少本数学书和多少本英语书？通过这个问题，引导学生思考如何用数学的方式解决问题，引出多项式的概念。
2. 概念讲解（15分钟）通过投影仪展示多项式的定义和基本概念，包括多项式的项、次数、系数等。
并通过几个实例帮助学生理解多项式的概念。
3. 加减乘除运算规则（20分钟）通过投影仪展示多项式的加减乘除运算规则，并通过实例进行详细解释和演示。
引导学生掌握多项式的加减乘除运算方法。
4. 因式分解方法（30分钟）通过投影仪展示多项式的因式分解方法，包括提公因式法、配方法、分组分解法等。
并通过实例进行详细解释和演示。
引导学生掌握多项式的因式分解方法。
5. 练习与巩固（20分钟）布置一些练习题，让学生独立完成，并进行批改和讲解。
通过练习巩固学生对多项式的掌握程度。
6. 总结与展望（5分钟）对本节课的内容进行总结，并展望下节课的内容。
五、教学反思本节课通过生活中的问题引入多项式的概念，使学生能够更好地理解和掌握多项式的知识。
最新版初中数学教案《多项式2》精品教案(2022年创作)
2.1 整式第3课时多项式教学目标:1.通过本节课的学习,使学生掌握整式、多项式的项及其次数、常数项的概念.2.初步体会类比和逆向思维的数学思想.教学重点:掌握整式及多项式的有关概念,掌握多项式的定义、多项式的项和次数以及常数项等概念.教学难点:准确指出多项式的次数.教学过程一、复习引入1.列代数式:(1)长方形的长与宽分别为a、b,那么长方形的周长是;(2)某班有男生x人,女生21人,那么这个班共有学生人;(3)图中阴影局部的面积为;(4)鸡兔同笼,鸡a只,兔b只,那么共有头个,脚只.2.观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别.(1)2(a+b);(2)21+x;(3)ab-π()2;(4)2a+4b.二、讲授新课1.多项式:板书由学生自己归纳得出的多项式概念.上面这些代数式都是由几个单项式相加而成的.像这样,几个单项式的和叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫做多项式的项.其中,不含字母的项,叫做常数项.例如,多项3x2-2x+5有三项,它们是3x2,-2x,5,其中5是常数项.一个多项式含有几项,就叫几项式.多项式里,次数最高项的次数,就是这个多项式的次数.例如,多项式3x2-2x+5是一个二次三项式.注意:(1)多项式的次数不是所有项的次数之和.(2)多项式的每一项都包括它前面的符号.2.例题:【例1】判断:①多项式a3-a2b+ab2-b3的项为a3、a2b、ab2、b3,次数为12;②多项式3n4-2n2+1的次数为4,常数项为1.【例2】指出以下多项式的项和次数:(1)3x-1+3x2;(2)4x3+2x-2y2.【例3】指出以下多项式是几次几项式.(1)x3-x+1;(2)x3-2x2y2+3y2.【例4】代数式3x n-(m-1)x+1是关于x的三次二项式,求m、n的值.注意:多项式的项包括前面的符号,多项式的次数应为最高次项的次数.在例3讲完后插入整式的定义:单项式与多项式统称整式.分析例4时要紧扣多项式的定义,培养学生的逆向思维,使学生透彻理解多项式的有关概念,培养他们应用新知识解决问题的能力.【例5】一条河流的水流速度为2.5千米/时,如果船在静水中的速度,那么船在这条河流中顺水行驶和逆水行驶的速度分别怎样表示?如果甲、乙两船在静水中的速度分别是20千米/时和35千米/时,那么它们在这条河流中顺水行驶和逆水行驶的速度各是多少?3.课堂练习:课本P58练习第1、2题.填空:-a2b-ab+1是次项式,其中三次项系数是,二次项为,常数项为,写出所有的项.三、课时小结1.理解多项式的定义,能说出一个多项式是几次几项式,最高次数是几,分别由哪几项组成,各项的系数分别为多少,常数项为几.2.这堂课学习了多项式,与前一节所学的单项式合起来统称为整式,使知识形成了系统.(让学生小结,师生进行补充.)四、课堂作业课本P59习题2.1的第3、4题.第2课时有理数的加法运算律一、新课导入1.课题导入：〔1〕想一想，小学里我们学过的加法运算律有哪些？〔2〕这些运算律在有理数的加法中是否还适用呢？我们先来进行以下两道计算，再答复这个问题.30+(-20),(-20)+30.上面两个算式中交换了加数的位置，两次所得的和相同吗？加法运算律在有理数运算中还适用吗？这就是今天要学习的内容——有理数加法运算律.2.三维目标：〔1〕知识与技能①能运用加法运算律简化加法运算.②理解加法运算律在加法运算中的作用，适当进行推理训练.〔2〕过程与方法①培养学生的观察能力和思维能力.②经历有理数的运算律的应用，领悟解决问题应选择适当的方法.〔3〕情感态度在数学学习中获得成功的体验.3.学习重、难点：重点：有理数加法运算律及运用.难点：运算律的灵活运用.二、分层学习1.自学指导:〔1〕自学内容：探究有理数加法的交换律和结合律.〔2〕自学时间：5分钟.〔3〕自学要求：运用计算、类比来验证归纳加法的运算律在有理数加法中的运用.〔4〕探究提纲：①刚刚通过计算知道30+(-20)和(-20)+30相等，同学们再算一算以下各式：a.〔-8〕+〔-9〕=-17；〔-9〕+〔-8〕=-17.b.4 +〔-8〕=-4；〔-8〕+4=-4.根据计算结果你可发现：〔-8〕+〔-9〕=〔-9〕+〔-8〕,4 +〔-8〕=〔-8〕+4(填“>〞“<〞或“=〞)由此可得a+b=b+a，这种运算律称为加法交换律.即两个数相加，交换加数的位置,和不变.②计算：a.［8+(-5)］+(-4)，8+［(-5)+(-4)］；b.［(-12)+20］+(-8)，(-12)+［20+(-8)］.比较a、b两题计算结果，你能得出什么结论？〔仿照1〕，分别用文字和含字母的等式写出你的结论.a.［8+(-5)］+(-4)=-1，8+［(-5)+(-4)］=-1.b.［(-12)+20］+(-8)=0，(-12)+［20+(-8)］=0.根据a、b两题计算结果，可发现［8+(-5)］+(-4)=8+［(-5)+(-4)］,［(-12)+20］+(-8)=(-12)+［20+(-8)］，由此可得，〔a+b〕+c=a+〔b+c〕，这种运算律称为加法结合律.即三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.2.自学：同学们结合探究提纲进行探究学习.3.助学：〔1〕师助生：①明了学情：了解学生的探究过程及探究结论，关注他们认识过程中的疑点问题.②差异指导：a.指导那些对有理数加法法那么还不熟的学生；b.指导表达有困难的学生归纳出相应的结论.〔2〕生助生：生生互动讨论交流解决自学中的疑问.4.强化：〔1〕加法的交换律.(文字、字母表述)加法的结合律.(文字、字母表述)〔2〕在有理数加法运算中，运用加法交换律和结合律可使运算更加简便.1.自学指导:〔1〕自学内容：教材第19页例2到第20页“练习〞之前的内容.〔2〕自学时间：5分钟.〔3〕自学要求：仔细阅读例2的解答过程，弄清每一步的目的和依据分别是什么.认真阅读例3的解答过程，通过例3两种解法的比照，体会有理数加法运算律的作用.〔4〕自学参考提纲：①例2中是怎样使计算简化的？根据是什么？例2中，把正数和负数分别相加，从而使计算简化.这样做的依据是加法的交换律和结合律.②仿例2计算：a.23+(-17)+6+(-22)；b.(-2)+3+1+(-3)+2+(-4)a.23+(-17)+6+(-22)=23+6+［(-17)+(-22)］=29+(-39)=-10b.(-2)+3+1+(-3)+2+(-4)=3+1+2+［(-2)+(-3)+(-4)］=6+(-9)=-3③想一想，要解决例3中的问题，你有几种计算方法？再把自己的想法与同伴交流一下.解法一的解题思路是怎样的？这种思路大家以前就会吗？方法一：直接用加法算出10袋小麦的总质量，再减去10袋小麦的标准质量得出超出或缺乏的局部.方法二：先算出每袋小麦超出或缺乏的局部，再求和算出10袋总计超出或缺乏的局部.④例3中10袋小麦重量数与哪个数字比较接近？解法二中运用了哪些运算律？与解法一比较，哪种方法较好？好在哪里？10袋小麦重量数与90比较接近.解法二中运用了加法的交换律和结合律.解法二较好，使运算更简便.⑤某学习小组五位同学某次数学测试成绩〔分〕为83、76、94、88、74，该班全体同学测试的平均分为80分，问这五位同学的平均分超出全班平均分是多少分？用两种方法解答.解法一：先计算这5个人的平均分是多少分：〔83+76+94+88+74〕÷5=83，再计算超过平均分多少分：83-80=3.解法二：每个人的分数超过平均分的记为正数，低于平均分的记为负数，那么5个人对应的数分别为：+3，-4，+14，+8，-6.［〔+3〕+〔-4〕+〔+14〕+〔+8〕+(-6)］÷5=3.答：这五位同学的平均分超出全班平均分3分.2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.3.助学：〔1〕师助生：①明了学情：了解学生对这两个例题的思路是否理解.②差异指导：对学困生启发指导.〔2〕生助生：学生通过讨论交流解决自学中的疑难问题.4.强化：〔1〕a.使用运算律使计算简便的常用方法：正数与正数相结合，负数与负数相结合；互为相反数的相结合.b.例3中解法1的方法：实际总量-按标准算总量；解法2的方法：先算每袋超〔或少〕标准量多少？再求总超〔或少〕标准总量多少？〔2〕加法运算律在有理数运算中的作用及使用方法.〔3〕练习：计算：①1+(－12)+13+(－16)；②314+(－235)+534+(－825)答案：①23；②-2.三、评价1.学生的自我评价〔围绕三维目标〕：自我总结本节课学习的收获与困惑.2.教师对学生的评价：〔1〕表现性评价：对学生学习中的行为表现进行点评.〔2〕纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价〔教学反思〕：本课时教学内容，学生在小学时已接触过并且带有技巧性，是学生比较喜欢的知识，教学时可依据这些特点，由教师设计现实情境，引导学生带着新奇去自主发现与交流，从而获取知识和技巧.对学生在自主探索形成的认识中缺乏的地方，教师可在指导学生解决实际问题时，针对性的补充与拓展，训练时还可采用抢答等形式，由学生自己做出评判.一、根底稳固〔70分〕1.〔30分〕－12+14+(－25)+(+310)运用运算律计算恰当的是〔A〕A.[(－12+14)]+[(－25)+(+310)]B. [14+(－25)]+[(－12)+(+310)]C. (－12)+ [14+(－25)]+(+310)2.〔40分〕计算.〔1〕5+(－6)+3+9+(－4)+(－7)；〔2〕(－0.8)+1.2+(－0.7)+(－2.1)+0.8+3.5；〔3〕(－6.8)+425+(－3.2)+635+(－5.7)+(+5.7)；〔4〕12+(－23)+45+(－12)+(－13).解：〔1〕原式=5+3+9+［(-6)+(-4)+(-7)］=17+(-17)=0；(2)原式=［(-0.8)+0.8］+1.2+3.5+［(-0.7)+(-2.1)］=0+4.7+(-2.8)=1.9；(3)原式=［(-6.8)+(-3.2)］+425+635+［(-5.7)+(+5.7)］=(-10)+11+0=1；〔4〕原式=12+(-12)+(-23)+(-13)+45=0+(-1)+45=-15.二、综合应用〔20分〕3.〔10分〕食品店一周中各天的盈亏情况如下(盈余为正)：132元，-12.5元，-10.5元，127元，-87元，136.5元，98元.一周中总的盈亏情况如何？解：132+〔-12.5〕+〔-10.5〕+127+〔-87〕+136.5+98=383.5(元)，即一周盈利383.5元.4.〔10分〕有8筐白菜，以每筐25kg为标准，超过的千克数记作正数，缺乏的千克数记作负数，称后的记录如下：1.5，-3，2，-0.5，1，-2，-2，-2.5.这8筐白菜一共多少千克？解：1.5+〔-3〕+2+〔-0.5〕+1+〔-2〕+〔-2〕+〔-2.5〕+25×8=194.5〔千克〕.答：这8筐白菜一共194.5千克.三、拓展延伸〔10分〕5.〔10分〕〔1〕计算以下各式的值.①(-2)+(-2)；②(-2)+(-2)+(-2)；③(-2)+(-2)+(-2)+(-2)；④(-2)+(-2)+(-2)+(-2)+(-2).〔2〕猜想以下各式的值：(－2)×2；(－2)×3；(－2)×4；(－2)×5.你能进一步猜出一个负数乘一个正数的法那么吗？解：〔1〕①-4；②-6；③-8；④-10.(2)(-2)×2=-4，(-2)×3=-6，(-2)×4=-8，(-2)×5=-10负数乘正数的法那么：符号取负号，再把两数的绝对值相乘.。
多项式课件(公开课)(共19张PPT)
• 2次项为
1 4 m 2 n 3 2 m 3 n 2 m 4 n m n 4
• 2、
• 项为 • 常数(chángshù)项为
；次数是
；
；这个多项式叫做
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思考(sīkǎo)：如果我们要按照某一个顺序来重 新排列上面两个多项式，可以怎么来排？
根据加法交换律，任意(rènyì)两项可以 交换位置，最后的结果不变。
５次 ２次 0次
称这个多项式为五次三项式
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（4）例题(lìtí) 讲解
1、把多项式t-5，3x+5y+2 ，1 ab 3.14 ，x2+2x+18
2
读一读，想一想它们的项分别是什么(shén me)，常数 项分别是什么(shén me)？
答：①t , -5 ; -5 ②3x , +5y , +2 ; +2 ③ 1 ab , 3.14; -3.14
升幂与降幂： 按某一字母指数从大到小的顺序排列(páiliè)，这种排列
(páiliè)方式叫做降幂排列(páiliè)； 按某一字母指数从小到大的顺序排列(páiliè)，这种排列
(páiliè)方式叫做升幂排列(páiliè)；
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注意：1、升幂和降幂必须按照某
（2）鸡兔同笼，鸡有a只，兔有b只，则共有(ɡònɡ yǒu)头
2
④x2, +2x, +18 ; 18
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注意: (1)多项式的次数不是所有 (suǒyǒu)项的次数之和；
（2）多项式的项要包括它前 面的符号
第十二页，共19页。
2、填空题
• 1、 3 a b32a bab2
多项式优秀教案市公开课一等奖教案省赛课金奖教案
多项式优秀教案一、教案概述本教案旨在通过多种教学活动和方法，帮助学生在多项式的学习过程中掌握其基本概念、性质和运算方法，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
通过多项式优秀教案的设计，旨在培养学生对多项式及其运算的兴趣，使他们能够有效地运用多项式来解决实际问题。
二、教学目标知识目标：1. 了解多项式的基本概念和性质；2. 掌握多项式的分类及其运算规则；3. 能够利用多项式解决实际问题。
能力目标：1. 培养学生的数学思维能力，提高分析和解决问题的能力；2. 培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。
情感目标：1. 培养学生对数学的兴趣，增强学习的自觉性和主动性；2. 培养学生的合作意识和创新意识。
三、教学重点和难点教学重点：1. 多项式的定义和性质；2. 多项式的分类及其运算规则。
教学难点：1. 多项式的运算规则的灵活应用；2. 运用多项式解决实际问题。
四、教学过程设计一、导入（5分钟）通过复习上节课所学的代数基础知识，如字母代数式、一元一次方程等，引出多项式的概念。
二、概念讲解（10分钟）1. 介绍多项式的定义和性质，引导学生理解多项式的含义和特点。
2. 通过示例和图示，讲解多项式中各术语的含义，如项、次数、系数等。
三、分类及运算规则（20分钟）1. 分类讲解：介绍一元多项式和多元多项式的概念，并举例说明。
2. 讲解多项式的加法和减法运算规则，通过具体例子引导学生理解运算规则的应用。
3. 引导学生探讨多项式的乘法运算规则，提供多个乘法运算的实例进行讲解。
四、练习与巩固（15分钟）1. 分组讨论：将学生分成小组，通过设计一些练习题，让学生运用所学的多项式运算规则进行解答。
2. 师生互动：教师引导学生讨论解题过程，澄清疑惑，并给予必要的指导。
3. 教师讲解并纠正：由教师对学生的解题过程进行指导和评价，纠正他们可能存在的错误。
五、应用拓展（20分钟）1. 引导学生观察和分析一些实际问题，如物体运动、商业应用等，通过建立多项式模型来解决问题。
多项式的教学设计
多项式的教学设计
教学目标：通过本节课的学习，学生能够理解多项式的概念，学会如何计算多项式的值、如何进行多项式的运算以及如何确定多项式的零点。
教学内容：
1. 多项式的定义和基本概念
2. 多项式的运算（加法、减法、乘法）
3. 多项式的值和零点的计算
教学步骤：
步骤一：导入
通过课前准备，介绍多项式的概念和基本性质，引发学生对多项式的兴趣。
步骤二：概念讲解
1. 定义多项式：介绍多项式的概念和表示方法，如何确定多项式的次数和系数。
2. 多项式的项和项数：解释什么是多项式的项以及多项式的项数。
步骤三：多项式的运算
1. 加法和减法：教授多项式的加法和减法运算规则，并通过实例演示。
2. 乘法：教授多项式的乘法运算规则，并通过实例演示。
步骤四：多项式的值的计算
通过实例演示如何计算多项式在指定数值上的值，引导学生掌握多项式的值的计算方法。
步骤五：多项式的零点
1. 定义多项式的零点：解释多项式的零点的概念。
2. 找出多项式的零点：教授如何通过多项式的因式分解或使用数值方法，找出多项式的零点，并通过实例演示。
步骤六：练习
布置一些练习题，让学生巩固所学的多项式的概念、运算和求值方法以及零点的确定方法。
步骤七：总结与反思
带领学生总结本节课的重点内容，检查学生对多项式的理解程度，并进行课堂反思。
拓展：
将多项式的教学内容与实际生活中的问题相结合，让学生认识到多项式在解决实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
多项式的教案
多项式的教案第一节：引言在数学教学中，多项式是一个重要且常见的概念。
多项式不仅可以用来表示数学问题，还可以应用于实际生活中的各种情境，因此对学生来说，理解和掌握多项式的概念及其相关性质是非常关键的。
本教案将介绍如何通过有趣和互动的方式来教授多项式，以帮助学生更好地理解和应用多项式。
第二节：教学目标通过本节课的学习，学生将能够：1. 理解多项式的概念和特征；2. 辨别多项式的项、系数和次数；3. 进行多项式的加减法运算；4. 应用多项式解决实际问题。
第三节：教学准备为了顺利开展本节课的教学，教师需要做以下准备工作：1. 准备多项式概念的简明易懂的解释；2. 准备多项式的示例和练习题；3. 整理并准备多媒体设备，以便演示和说明概念。
第四节：教学过程1. 导入：通过引入一个实际问题，引发学生对多项式的兴趣。
例如：“小明花了一些时间在阅读和写作上，他一共花了x小时在阅读上，并且比阅读时间少了3个小时在写作上。
请问，他在写作上花了多少时间？”通过这个问题，引导学生思考如何用多项式的形式来表示这个问题。
2. 概念讲解：给出多项式的定义和解释，重点强调多项式的结构和术语。
通过示例和图示，帮助学生理解多项式的基本概念。
3. 技能训练：通过练习和示例演示，教授学生如何辨别多项式的项、系数和次数，并指导他们进行多项式的加减法运算。
同时，提供大量的练习题，以帮助学生巩固所学概念和技能。
4. 应用拓展：通过实际问题和情境，引导学生将多项式应用于解决实际问题。
例如：“小明在超市购买了一些水果，其中苹果的价格是x 元，香蕉的价格是y元，柚子的价格是z元。
请问，小明购买这些水果一共花了多少钱？”通过这个问题，帮助学生理解如何用多项式进行实际问题的求解。
5. 总结归纳：总结本节课所学的内容，强调多项式的重要性和应用价值。
鼓励学生积极参与课堂互动，提出问题并分享自己的见解和经验。
第五节：教学评价本节课的教学评价可以包括以下几个方面：1. 参与度评价：观察学生在课堂上的参与度和积极性，评估他们对多项式概念的理解程度。
沪科版七年级下册数学8.1.2 幂的乘方与积的乘方教案与反思
2．幂的乘方与积的乘方原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！古之学者必严其师，师严然后道尊。
欧阳修1．理解幂的运算性质2，掌握幂的乘方的运算；(重点)2．理解幂的运算性质3，掌握积的乘方的运算并能运用其解决实际问题．(重点、难点)一、情境导入1.填空：(1)同底数幂相乘，________不变，指数________；(2)a2·a3＝________；10m×10n＝________；(3)(－3)7×(－3)6＝________；(4)a·a2·a3＝________；(5)(23)2＝2( )；(x4)5＝x( )；(2100)3＝2( )．2.计算(22)3；(24)3；(102)3.问题：(1)上述几道题目有什么共同特点？(2)观察计算结果，你能发现什么规律？(3)你能推导一下(am)n的结果吗？请试一试．二、合作探究探究点一：幂的乘方【类型一】直接应用幂的运算性质2进行计算计算：(1)(a3)4; (2)(xm－1)2；(3)[(24)3]3; (4)[(m－n)3]4.解析：直接运用(am)n＝amn计算即可．解：(1)(a3)4＝a3×4＝a12；(2)(xm－1)2＝x2(m－1)＝x2m－2；(3)[(24)3]3＝24×3×3＝236；(4)[(m－n)3]4＝(m－n)12.方法总结：运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．【类型二】方程与幂的乘方的应用已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．解析：由2x＋5y－3＝0得2x＋5y＝3，再把4x·32y统一为底数为2的乘方的形式，最后根据同底数幂的乘法法则即可得到结果．解：∵2x＋5y－3＝0，∴2x＋5y＝3，∴4x·32y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.方法总结：本题考查了幂的乘方的用及同底数幂的乘法，整体代入求解也比较关键．【类型三】根据幂的乘方的关系，求代数式的值已知2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则代数式13x＋12y的值为________．解析：由2x＝8y＋1，9y＝3x－9得2x＝23(y＋1)，32y＝3x－9，则x＝3(y＋1)，2y＝x－9，解得x＝21，y＝6，故代数式13x＋12y＝7＋3＝10.方法总结：根幂的乘方的逆运算进行转化，得到x和y的方程组，求出x、y，再计算代数式的值．探究点二：积的乘方【类型一】含积的乘方的混合运算计算：(1)(－2a2)3·a3＋(－4a)2·a7－(5a3)3；(2)(－a3b6)2＋(－a2b4)3.解析：(1)先进行积的乘方，然后根据同底数幂的乘法法则求解；(2)先进行积的乘方和幂的乘方然后合并．解：(1)原式＝－8a6·a3＋16a2·a7－125a9＝－8a9＋16a9－125a9＝－117a；(2)原式＝a6b12－a6b12＝0.方法总结：先算积的乘方，再算乘法，最后算加减，然后合并同类项．【类型二】积的乘方在实际中的应用太阳可以近似地看作是球体，如果用V、R分别代表球的体积和半径，么V＝3πR3，太阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多少立方千米(π取3)?解析：将R＝6×105千米代入V＝43πR3，即可求得答案．解：∵R＝6×105千米，∴V＝43πR3＝43×π×(6×105)3＝8.64×1017(立方千米)．答：它的体积大约是8.64×1017立方千．方法总结：读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方的性质是解题的关键．【类型三】利用积的乘方比较数的大小试比较大小：213×310与210×312.解：∵213×310＝23×(2×3)10，210×312＝32×(2×3)10，23＜32，∴213×310＜210×312.方法总结：利用积的乘方，转化成同底数的同指数的幂是解答此类问题的关键．三、板书设计1．幂的乘方幂的运算性质2：幂的乘方，底数不变，指数相乘．(am)n＝amn(m，n都是正整数)．2．积的乘方幂的运算性质3：积的乘方等于各因式乘方的积．(ab)n＝anbn(n是正整数)．幂的乘方和积的乘方的探究方式与上一课时相似，因此在教学中可以就此展开教学．在探究问题的过程中，进一步发挥学生的主动性，尽可能地让学生在已有知识的基础上，通过自主探究，获得对新知识的感性认识，进而理解运用【素材积累】1、冬天是纯洁的。
多项式说课稿
多项式说课稿一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 理解多项式的概念，能够正确地定义和解释多项式的相关术语；2. 掌握多项式的加减乘除运算，并能够灵活运用到实际问题中；3. 熟练运用多项式的乘法公式和因式定理，解决相关的应用问题；4. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学重点和难点1. 教学重点：多项式的定义和运算，乘法公式和因式定理的应用。
2. 教学难点：多项式的除法运算和相关应用问题的解决。
三、教学准备1. 教学工具：黑板、彩色粉笔、投影仪、计算器等。
2. 教学素材：多项式的相关例题和应用问题。
四、教学过程1. 导入（5分钟）通过一个简单的问题引入多项式的概念，例如：小明买了3个苹果和4个橙子，用代数式表示这个问题。
2. 概念讲解（10分钟）通过投影仪展示多项式的定义和相关术语，如项、系数、次数等，并结合具体的例子进行解释。
3. 多项式的加减运算（15分钟）通过几个简单的例题，引导学生掌握多项式的加减运算规则，并进行相关的练习。
4. 多项式的乘法运算（20分钟）介绍多项式的乘法公式，并通过实例演示其应用。
然后，让学生进行练习，并及时给予指导和反馈。
5. 多项式的除法运算（20分钟）讲解多项式的除法运算方法，包括长除法和因式分解法，并通过例题演示。
然后，让学生进行练习，并及时给予指导和反馈。
6. 多项式的因式定理（15分钟）介绍多项式的因式定理，并通过实例演示其应用。
然后，让学生进行练习，并及时给予指导和反馈。
7. 应用问题解决（15分钟）提供一些多项式应用问题，让学生运用所学知识解决，并进行讨论和总结。
8. 小结与作业布置（5分钟）对本节课的内容进行总结，并布置相关的作业。
五、教学反思本节课通过引入问题、概念讲解、运算规则的讲解和例题演示等多种教学方法，旨在帮助学生理解和掌握多项式的相关知识和运算方法。
通过练习和应用问题的解决，培养学生的思维能力和解决问题的能力。
同时，通过及时的指导和反馈，帮助学生纠正错误，加深对知识的理解。
《多项式教案》
《多项式教案》word版第一章：多项式的概念与基本性质1.1 多项式的定义解释多项式的概念，引导学生理解多项式是由常数、变量及它们的运算符组成的代数表达式。
举例说明多项式的不同形式，如ax^2 + bx + c。
1.2 多项式的项解释多项式中的项是指由常数与变量的乘积组成的代数表达式。
强调项中的系数、变量和指数的概念，并提供相关例题进行讲解。
1.3 多项式的度数介绍多项式的度数是指多项式中最高次项的次数。
举例说明如何确定一个多项式的度数，并强调度数与多项式长度之间的关系。
1.4 多项式的系数解释多项式中各项的系数是指变量的系数，即变量前的常数。
提供例题讲解如何计算和理解多项式中各项的系数。
第二章：多项式的运算2.1 多项式的加法解释多项式加法是指将两个多项式相加得到一个新的多项式。
演示如何进行多项式的加法运算，并提供练习题让学生进行实践。
2.2 多项式的减法解释多项式减法是指将一个多项式减去另一个多项式得到一个新的多项式。
演示如何进行多项式的减法运算，并提供练习题让学生进行实践。
2.3 多项式的乘法解释多项式乘法是指将两个多项式相乘得到一个新的多项式。
演示如何进行多项式的乘法运算，并提供练习题让学生进行实践。
2.4 多项式的除法解释多项式除法是指将一个多项式除以另一个多项式得到一个新的多项式。
演示如何进行多项式的除法运算，并提供练习题让学生进行实践。
第三章：多项式的因式分解3.1 因式分解的概念解释因式分解是指将一个多项式分解成两个或多个因式的乘积的形式。
强调因式分解的重要性，并展示因式分解的应用示例。
3.2 提取公因式解释提取公因式是指从多项式中提取出一个共同的因式，简化多项式的形式。
演示如何提取公因式，并提供练习题让学生进行实践。
3.3 因式分解的常用方法介绍因式分解的常用方法，如分组分解法、交叉相乘法等。
演示如何应用这些方法进行因式分解，并提供练习题让学生进行实践。
3.4 因式分解的应用解释因式分解在解决代数方程、不等式等问题中的应用。
212多项式公开课
次数
4、单项式和多项式统称为
整 单项式次系数数:：所单有项字式母中的的指数数字的因和数。。 式
项：式中的每个单项式叫多项式的项。
多项式
（其中不含字母的项叫做常数项）
次数：多项式中次数最高的项的次数。
（难点）
作业布置
1、完成课本P58 练习题第1、2小题以及习题2.1 2、名校课堂第P63 、P64 页的内容
（1）a5 a2b ab b3
（2） 3a2b3 5a2b2 4ab 2
解：
多项式的项：
多项式的项：（1） a5, a2b, ab, b3 (2) 3a2b3, 5a2b2 , 4ab, 2
项 数： 四项
项 数： 四项
常数项： 无
a5
最高项：
常数项： 2 最高项： 3a2b3,
多项式是：五次四项式
多项式是： 五次四项式
6.下列说法中,正确的是( D )
A.单项式 2x2y 的系数是 2,次数是3 3
B.单项式a的系数是0, 次数是0C. 3xΒιβλιοθήκη y 4x 1是三次三项式,常数项是1
D.单项式 32 ab 的次数是2,系数为 9
2
2
思考题：
1.多项式 5xmy2 (m 2)xy 3x
vkm/h,用式子表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时
的速度？ V顺水=(V+2.5) km/h V逆水=(v-2.5)km/h
2、买一个篮球需要x元，买一个排球需要y 元买一
个足球需要z元，买3个篮球、5个排球、2个足球共
需要 (3x+5y+2z)元。
3、如图三角尺的面积为
1 2
《多项式》word版 公开课一等奖教案 (2)
当我们在日常办公时,经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料.这些资料因为用的比拟少,所以在全网范围内,都不易被找到.您看到的资料,制作于2021年,是根据最|新版课本编辑而成.我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师,进行集体创作,将日常教学中的一些珍贵资料,融合以后进行再制作,形成了本套作品.本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验,经过创作、审核、优化、发布等环节,最|终形成了本作品 .本作品为珍贵资源,如果您现在不用,请您收藏一下吧.因为下次再搜索到我的时机不多哦!.2 多项式1课时序号33 授课日期授课班级|学生人数出席缺课学生课题.2 多项式课型新授课课标要求1．知道什么是多项式 ,会指出多项式的项数、次数 ..教学目标知识与技能(1．知道什么是多项式 ,会指出多项式的项数、次数 .2．知道什么是整式 .过程与方法通过多项式的学习 ,知道多项式与单项式的关系．知道整式与代数式之间的关系 .情感态度与价值观通过多项式的学习 ,感受代数式的实际背景；通过列代数式 ,开展符号感 .内容分析教学重点多项式的定义、多项式的项数、次数教学难点多项式的项数、次数 .内容分析与整合人们对具体事物的认识 ,一般要经历从具体到抽象 ,在从抽象到具体 ,不断往复 ,逐步提高的过程 .本节中 ,整式的概念、多项式的概念和次数 ,既是由数到式的抽象与升华 ,又为以后学习分式运算、一次方程和函数等知识奠定了根底 .另1. P59 1 . 22．指出以下多项式是几次多项式：2x +2m +n-4x4 4x3+2x -3y5 2x2-3xy -y2 4x3 -3y2 +3xy3z4 5a-3a2b +b2a -13xy2 -4x3y +123x2 -2x +4； 12x -10x2 +812；3x2y -5xy2 +y3 -2x3 6 +2x4 -x2 +7x33．根据要求写多项式：写一个关于x的二次三项式 ,二次项式的系数为１ ,一次项的系数为３ ,常数项为－2 ,那么这个二次三项式是( )4．二次三项式ax2 +bx +c为一次单项式的条件是 ( )Ａ a≠0 b =0 c =0 B a =0 b≠0 c =0 C a =0 b =0 c≠0 D a =0 b =0 c =05．设m、n都是自然数 ,多项式x n -y m +3n +m的次数是 ( )Ａ2m +2n Ｂ m或n Ｃ m +n Ｄ m、n中较大数6．当a为何值时 ,多项式(3 -5a)x3 +x -11ax2是一个关于x的二次多项式 ?这个多项式是什么 ?７．小红和小兰房间窗户的装饰物如图1－3所示 ,它们分别由两个四分之一圆和四个半圆组成(半径分别相同 ).(1 )窗户中能射进阳光的局部的面积分别是多少 ? (窗框面积忽略不计 )(2 )你能指出其中的单项式或多项式吗 ?它们的次数分别是多少 ? 学生讨论后答复学生感受体会15分钟3分钟2分钟板书设计多项式1．多项式的概念 .2．整式的概念 .3．多项式与单项式之间的联系 .本课教学反思英语教案注重培养学生听、说、读、写四方面技能以及这四种技能综合运用的能力 .写作是综合性较强的语言运用形式 , 它与其它技能在语言学习中相辅相成、相互促进 .因此 , 写作教案具有重要地位 .然而 , 当前的写作教案存在 " 重结果轻过程〞的问题 , 教师和学生都把写作的重点放在习作的评价和语法错误的订正上 ,无视了语言的输入 .这个话题很容易引起学生的共鸣 ,比拟贴近生活 ,能激发学生的兴趣 , 在教授知识的同时 ,应注意将本单元情感目标融入其中 ,即保持乐观积极的生活态度 ,同时要珍惜生活的点点滴滴 .在教授语法时 ,应注重通过例句的讲解让语法概念深入人心 ,因直接引语和间接引语的概念相当于一个简单的定语从句 ,一个清晰的脉络能为后续学习打下根底 .此教案设计为一个课时 ,主要将安妮的处境以及她的精神做一个简要概括 ,下一个课时那么对语法知识进行讲解 .在此教案过程中 ,应注重培养学生的自学能力 ,通过辅导学生掌握一套科学的学习方法 ,才能使学生的学习积极性进一步提高 .再者 ,培养学生的学习兴趣 ,增强教案效果 ,才能防止在以后的学习中产生两极分化 .在教案中任然存在的问题是 ,学生在 "说〞英语这个环节还有待提高 ,大局部学生都不愿意开口朗读课文 ,所以复述课文便尚有难度 ,对于这一局部学生的学习成绩的提高还有待研究 .4．多项式的项数和次数 .5．常数项 .检查意见组长 (签名 )： 年 月 日教学反思本节从一组学生感兴趣的具体问题出发 ,通过列代数式 ,既复习了旧知识 ,又为多项式概念的学习作好了铺垫 .教学中教师适时给出多项式、多项式的项、多项式的次数等概念 ,进而给出整式的概念 .在引导学生理解单项式、多项式和整式三个概念的区别和联系上处理得当 .在练习中发现学生对多项式次数的理解上反映出了一定问题 ,以后教学应该注意 .。
多项式教案(公开课)
课题：整式——多项式遵义市第二初级中学：沙汉乾一、教学目标：（一）知识与技能目标：使学生理解多项式的概念，会准确确定一个多项式的项数和次数.（二）过程与方法目标：通过实例列多项式，培养学生分析问题、解决问题的能力.（三）情感、态度与价值观目标：培养学生积极思考的学习态度，合作交流意识，了解多项式的实际背景，进一步感受字母表示数的意义.二、教学重点与难点：教学重点：多项式以及有关概念.教学难点：准确确定多项式的次数和项.三、教学方法：启发讨论式教学四、教学准备：教材、教案、粉笔等教学工具五、教学过程：教学环节教学内容与方法时间教师活动学生活动复习引入1.什么叫单项式？举例说明.2.怎样确定一个单项式的系数和次数？732cab的系数、次数分别是多少？3.列式表示下列问题：（1）一个数比数x的2倍小3，则这个数为 .（2）买一个篮球需要x元，买一个排球需要y元，买一个足球需要z元，买3个篮球、5个排球、2个足球共需元.（3）如下图（左），三角尺的面积为 .（4）如上图（右），是一所住宅的建筑平面图，这所住宅的建筑面积是平方米.分析并提问：思考问题并回答问题根据题意列出代数式3分钟4分钟上面列出的式子32-x ，z y x 235++，221r ab π-，1822++x x ，它们是单项式吗？这些式子有是共同特点？与单项式有什么关系？上面列出的式子32-x ，z y x 235++，221r ab π-，1822++x x 它们可以看作几个单项式的和.例如：32-x 可以看作单项式x 2与3-的和；1822++x x 可以看作2x ，x 2和18的和.根据列出的代数式回答老师所提问题 4 分钟新课讲解 请同学们阅读课本57页的有关内容，并回答下列问题. 1.几个单项式的和叫做 多项式 . 2.在多项式中，每个单项式叫做 多项式的项 .3.在多项式中，不含字母的项叫做 常数项 .4.在多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个 多项式的次数 .例如：多项式1822++x x 中，它的项分别是2x ，x 2和18，其中18是常数项，次数最高的项是二次项2x ，这个多项式的次数为2，我们把这个多项式叫做二次三项式。
《多项式》word版 公开课一等奖教案 (3)
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我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师，进行集体创作，将日常教学中的一些珍贵资料，融合以后进行再制作，形成了本套作品。
本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验，经过创作、审核、优化、发布等环节，最终形成了本作品。
本作品为珍贵资源，如果您现在不用，请您收藏一下吧。
因为下次再搜索到我的机会不多哦！13.3.3多项式的升降幂排列本课教学反思英语教案注重培养学生听、说、读、写四方面技能以及这四种技能综合运用的能力。
写作是综合性较强的语言运用形式, 它与其它技能在语言学习中相辅相成、相互促进。
因此, 写作教案具有重要地位。
然而, 当前的写作教案存在“ 重结果轻过程”的问题, 教师和学生都把写作的重点放在习作的评价和语法错误的订正上，忽视了语言的输入。
这个话题很容易引起学生的共鸣，比较贴近生活，能激发学生的兴趣, 在教授知识的同时，应注意将本单元情感目标融入其中，即保持乐观积极的生活态度，同时要珍惜生活的点点滴滴。
在教授语法时，应注重通过例句的讲解让语法概念深入人心，因直接引语和间接引语的概念相当于一个简单的定语从句，一个清晰的脉络能为后续学习打下基础。
此教案设计为一个课时，主要将安妮的处境以及她的精神做一个简要概括，下一个课时则对语法知识进行讲解。
在此教案过程中，应注重培养学生的自学能力，通过辅导学生掌握一套科学的学习方法，才能使学生的学习积极性进一步提高。
再者，培养学生的学习兴趣，增强教案效果，才能避免在以后的学习中产生两极分化。
在教案中任然存在的问题是，学生在“说”英语这个环节还有待提高，大部分学生都不愿意开口朗读课文，所以复述课文便尚有难度，对于这一部分学生的学习成绩的提高还有待研究。
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哈尔滨市第69中学校初一学年数学学科教案
备课时间：_______年______月_______日授课教师：
授课时间年月日课时数第课时课题8.1.2多项式
教学目标知识与技能
通过本节课的学习，使学生掌握整式多项式
的项及其次数、常数项的概念
过程与方法
通过小组讨论、合作交流，让学生经历新知
的形成过程，培养比较、分析、归纳的能力。
由单项式与多项式归纳出整式，这样更有利
于学生把握概念的内涵与外延，有利于学生
知识的迁移和知识结构体系的更新。
情感态度价
值观
初步体会类比和逆向思维的数学思想。
教学重点掌握整式及多项式的有关
概念，掌握多项式的定义、
多项式的项和次数，以及常
数项等概念。
教学难点多项式的次数。