方程思想 (几何)
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方程思想
类型一 找等量关系
例1 已知:如图,正方形ABCD 的边长为a ,△PQA 是其内接等边三角形。求PB 的长。
变式1: 如图,在△ABC 中,∠B=30°,∠ACB=120°,D 是BC 上一点,且∠ADC=45°,若CD=8,求BD 的长。
变式2:(潍坊)已知线段AB 的长为a .以AB 为边在AB 的下方作正方形ACDB .取AB 边上一点E .以AE 为边在AB 的上方作正方形AENM .过E 作EF ⊥CD .垂足为F 点.若正方形AENM 与四边形EFDB 的面积相等.则AE 的长为________________.
变式3:如图,在梯形ABCD 中,BC AD //,4=AD ,14=BC ,5=AB ,65=DC ,则梯形ABCD 的面积为
变式4:如图,在平行四边形ABCD 中,AE 、AF 是两条高线,︒=∠60EAF ,6CE =,3CF =,则线段BE 长为
变式5:如图,已知AB 是⊙O 的弦,P 是AB 上一点,若AB =10cm ,PB =4cm ,OP =5cm ,则⊙O 的半径等于______________cm 。 A
C
D A
B
C D
P
Q
C
B
D
A
E
B
C
F A D
变式6:如图,已知正方形纸片ABCD 的边长为8,⊙0的半径为2,圆心在正方形的中心上,将纸片按图示方式折叠,使EA 恰好与⊙0相切于点A ′(△EF A ′与⊙0除切点外无重叠部分),延长F A ′交CD 边于点G ,则A ′G 的长是
变式7:如图,已知等腰△ABC 中,顶角∠A=36°,BD 为∠ABC 的平分线,则AD
AC
的值为( ) .
A .
12 B
C .1 D
变式8:如图Rt △ABC 中,∠C =90°,BC =5,⊙O 内切Rt △ABC 的三边AB 、BC 、CA
于D 、E 、F ,半径r =2,则△ABC 的周长为
变式9:如图,矩形ABCD 中,E 、F 、M 为AB 、BC 、CD 边上的点,且AB =6,BC =7, AE =3,DM =2,EF ⊥FM ,则EM 的长为
( )
A .5
B .5 2
C .6
D .6 2
变式10:如图,在△ABC 中,∠C=45°,BC=10,高AD=8,矩形EFPQ 的一边QP 在边上,E 、F 两点分别在AB 、AC 上,AD 交EF 于点H 。设EF=x ,当x 为何值时,矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值
变式11:如图,AB 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径,D 是⊙O 上的一点,DE ⊥AB 于点E ,且DE 的延长线分别交AC 、⊙O 、BC 的延长线于F 、M 、G 。 (1)求证:AE ·BE =EF ·EG ;
(2)连结BD ,若BD ⊥BC ,且EF =MF =2,求AE 和MG 的长。
类型二 折叠问题(勾股) 例2 (2010·青岛)把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠,使顶点B 和点D 重合,折痕为EF.若AB =3cm ,BC =5cm ,则重叠部分△DEF 的面积是________cm 2.
变式1:如图,四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片,将其沿MN 折叠,使点B 落在CD 边上的B′处,点A 对应点为A′,且B′C =3,则AM 的长是( ) A .1.5 B .2 C .2.25 D .2.5
变式2:(包头)如图,把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中,使OA ,OC
分别落在x 轴、y 轴上,连接AC ,将矩形纸片OABC 沿AC 折叠,使点B 落在点D 的位置,若B (1,2),则点D 的横坐标是__________.
变式3:如图,矩形纸片ABCD 中,AB=4,AD=3,折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合,折痕为DG ,则AG 的长为( )
A .1
B .
C .
D .2
变式4:如图,如图,矩形ABCD 中,AB =2,BC =3,对角线AC 的垂直平分线分别交AD ,BC 于点E 、F ,连接CE ,则CE 的长________.
变式5:如图,将矩形ABCD 沿着直线BD 折叠,使点C 落在C′处,BC′交AC 于E ,AD =8,AB =4,则△BED 的面积为
342
3
A
B
C D
O
x
y
F A
D
O E B C
O
M
G
F
E D C B A
变式6:(1)如图①,在正方形ABCD 中,△AEF 的顶点E ,F 分别在BC ,CD 边上,高AG 与正方形的边长相等,求∠EAF 的度数.
(2)如图②,在Rt △ABD 中,∠BAD=90°,AB=AD ,点M ,N 是BD 边上的任意两点,且∠MAN=45°,将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°至△ADH 位置,连接NH ,试判断MN ,ND ,DH 之间的数量关系,并说明理由.
(3)在图①中,连接BD 分别交AE ,AF 于点M ,N ,若EG=4,GF=6,BM=32,求AG ,MN 的长.
类型三 运动几何(方程与函数结合)
例3 如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B =90°,AB =14cm ,AD =18cm ,
BC =21cm ,点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1cm /秒的速度移动,点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以2cm /秒的速度移动。如果P 、Q 分别从A 、C 同时出发。 设移动的时间为t 。 求:(1)t 为何值时,梯形PQCD 是等腰梯形;
(2)t 为何值时,AB 的中点E 到线段PQ 的距离为7 cm 。
变式1:如图,ΔABC 中,AB =5,BC =3,AC =4,PQ ∥AB ,P 点在AC 上(与点A 、C 不重合),Q 点在BC 上。
(1) 当ΔPQC 的面积与四边形PABQ 的面积相等时,求CP
的长; (2) 当ΔPQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时,求CP 的长;
(3) 试问:在AB 上是否存在点M ,使得ΔPQM
为等腰直角三角 形?若不存在,请简要说服理由;若存在,请求出PQ 的长。
C
Q
A B P Q C