数学(浙教版)九年级上册第1章 二次函数(原卷版)

1．二次函数定义：形如y ＝ax 2＋bx ＋c(其中a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数，称a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．

2．待定系数法求二次函数的解析式．

重要提示：

1．形如y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数不一定是二次函数，要添上条件“a≠0”才是二次函数．

2．有些函数右边本身不是二次多项式的形式，通过变形可以转化为二次多项式，因此也是二次函数，如

y ＝2(x ＋1)2－1，y ＝2(x －1)(x ＋2)等函数．

3．二次函数是用自变量的二次多项式来表示的，因为二次多项式是整式，所以自变量的取值范围是全体实数，但当自变量具有实际意义时，自变量的取值范围就不一定是全体实数了．

例1：已知函数y ＝(m 2＋m)222+-m m x .

(1)当函数是二次函数时，求m 的值．

(2)当函数是一次函数时，求m 的值．

例2：已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与坐标轴的交点分别为A(－1，0)，B(3，0)，C(0，2)，求抛物线的函数表达式．

典型例题

知识讲解

二次函数

一、填空题

1. 下列函数中，是二次函数的有( )

①y ＝1－2x 2； ②y ＝1x 2； ③y ＝x (1－x ); ④y ＝(1－2x )(1＋2x )． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

2. 二次函数y ＝12

(x －2)2－3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( ) A.12，－2，－3 B.12，－2，－1 C.12，4，－3 D.12

，－4，1 3. 已知二次函数y ＝3(x －2)2＋1，当x ＝3时，y 的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．3 D ．－3

4. 二次函数y ＝2x (x －3)的二次项系数与一次项系数的和为( ) A ．2 B ．－2 C ．－1 D ．－4

5. 若关于x 的函数y ＝(2－a )x 2－x 是二次函数，则a 的取值范围是( ) A. a ≠0 B. a ≠2 C. a ＜2

D. a ＞2 6. 若关于x 的函数1222)(--+=a a x a a y 是二次函数，则( )

A. a ＝－1或a ＝3

B. a ≠－1且a ≠0

C. a ＝－1

D. a ＝3

7.下列函数中，一定是二次函数的是( D )

A. y ＝2(x －1)

B. y ＝(x －1)2－x 2

C. y ＝a (x －1)2

D. y ＝2x 2－1

8. 函数y ＝(m －n )x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是( )

A. m ，n 为常数，且m ≠0

B. m ，n 为常数，且m ≠n

C. m ，n 为常数，且n ≠0

D. m ，n 可以为任何常数

9. 下列函数关系中，可以看做是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的模型的是( )

A ．圆的周长与圆的半径之间的关系

B ．我国人口年自然增长率为1%，我国人口总数随年份的变化关系

C ．在一定距离内汽车行驶速度与行驶时间的关系

D ．正方体的表面积与棱长的关系

10. 若函数y ＝⎩

⎪⎨⎪⎧x 2＋2（x≤2），2x （x≥2），则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是( ) A ．±6 B ．±6或4 C ．4 D ．－6或4

二、填空题

1．若函数y ＝(m ＋1)x |m |＋1＋4x －5是二次函数，则m ＝____．

2．[2018·聊城二模]某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x (x ＞0)，十二月份的快递件数为y 万件，那么y 关于x 的函数表达式是___．

同步练习

3．如图，在一幅长50 cm，宽30 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为y(cm2)，金色纸边的宽为x(cm)，则y与x的关系式是

三、解答题

1. 已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m.

(1)若这个函数是二次函数，求m的取值范围．

(2)若这个函数是一次函数，求m的值．

(3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？

2．若函数y＝(a－1)x b＋1＋x2＋1是二次函数，试讨论a，b的取值范围．

3．如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20 cm，AC与MN在同一条直线上．开始时点A与点N重合，正方形MNPQ不动，△ABC以2 cm/s的速度向左运动，最终点A与点M重合．

(1)求重叠部分的面积y(cm2)与时间t(s)之间的函数表达式和自变量的取值范围．

(2)分别求当t＝1，2时，重叠部分的面积．

4.如图111，有一堵墙长10 m，且有一篱笆长24 m．现靠墙用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设花圃的一边长AB为x(m)，面积为S(m2)．

(1)求S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．

(2)当围成的花圃面积为45 m2时，求AB的长．

5. 如图，用同样规格黑、白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形，并解答下列问题：

(1)在第n个图形中，每一横行共有(n＋3)块瓷砖，每一竖列共有(n＋2)块瓷砖(均用含n的代数式表示)．

(2)设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与(1)中的n之间的函数表达式(不要求写出自变量n的取值范围)．

(3)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值．

(4)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在(3)中，共需花多少元购买瓷砖？

(5)是否存在黑、白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明．