第二章习题选解

所以至少有一组不能及时维修的概率为
P(Y 1} 1 (1 0.01686)4 0.06575 .
6
P55 8、设有80台同类型设备, 各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01, 且一台设备的故障能由一个 人处理, 考虑两种配备维修工人的方案：其一是由4人维 护, 每人负责20台；其二是由3人共同维护80台. 试比较 两种方案在设备发生故障时不能及时维修的概率大小。 解 P(Y 1} 1 (1 0.01686)4 0.06575 .
概率。若每天的供电量上升到90万千瓦.时，每天供电
量不足的概率是多少？
解 (1) P{ X 0.8} 1 12x(1 x)2 dx 0.8
17 0.0272 ; 625
(2) P{X 0.9} 1 12x(1 x)2 dx 0.0037 .
0.9
18
P58 28、 公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车通过， 乘客到达汽车站的是等可能的，求乘客候车时间不 超过3分钟的概率。 解 候车时间 X 服从[0, 10]上的均匀分布，所以
按第二种方案，3名维修工人共同维护80台设备，设需
要维修的设备数为Z，则 Z ~ B(80，0.01) ，
则设备发生故障时不能及时维修的概率为
3
P{Z 4} 1
C
k 80
0.01k
0.9980
k

0.008659
.
k0
注：若只安排两名维修工人，则设备发生故障时不能
及时维修的概率为 P{Z 3} 0.04655 .
P55 2、 口袋中有7只白球、3只黑球，每次从中任取 一个，如果取出黑球则不放回，而另外放入一只白球， 求首次取出白球时的取球次数X的分布律。
解 P( X 1) 0.7 ,
P( X 2) 0.3 0.8 0.24 ,
P( X 3) 0.3 0.2 0.9 0.054 , P( X 4) 0.3 0.2 0.11 0.006 .
计)服从 N (110, 122 ) .在该地区任选一 18 岁的女青年，测量
她的血压 X.
P{ X

4}

பைடு நூலகம்
C54
(
1 4
)4

3 4

C
5 5
(
1 4
)5
(
3 4
)0

1 64
.
5
P55 8、设有80台同类型设备, 各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01, 且一台设备的故障能由一个 人处理, 考虑两种配备维修工人的方案：其一是由4人维 护, 每人负责20台；其二是由3人共同维护80台. 试比较 两种方案在设备发生故障时不能及时维修的概率大小。 解 按第一种方案，每人负责20台，设每个工人需维修
9
P56 14、 设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松 分布。经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两
个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没
有印刷错误的概率。
解 由 P{X 1} P{X 2} ，即 1 e 2 e ，
1!
2!
解得 2 ，
从而得 P{ X 0} 0 e e2 ，
(2) P(| X | 2) 1 P(2 X 2)
1 ( 2 1) ( 2 1) 1 (0.5) (1.5)
2
2
1 0.6915 1 0.9332 0.3753 .
21
P58 32、 设 X ~ N (1,4) ，（1）求P(0 X 5) ；（2）
P{ X 3} 3 0.3 . 10
19
P58 29、 假设某种设备的使用寿命X(年)服从参数为 0.25的指数分布。制造这种设备的厂家规定，若设备 在一年内损坏，则可以调换。如果厂家每售出一台 设备可赢利100元，而调换一台设备厂家要花费300 元，求每台设备所获利润的分布律。
解
X的密度函数为
概率统计第二章习题选解
1
P30 41、 射手对同一目标独立地进行四次射击，若 至少命中一次的概率为80/81，试求该射手的命中率. 解 设射手的命中率为p， 则由题意得 1 (1 p)4 80 ,
81
解之得 p 2 . 3
2
P30 45、假设一厂家生产的每台仪器，以概率 0.70 可以直接
(2) P( X 0) 1 0 (9 x 2 )dx 1
36 3
2
P( X 2) 1 3 (9 x 2 )dx 2
36 2
27
P(1 X 1) 1
1
(9
x 2 )dx

13
.
18 0
27
14
f
(
x)


1 36
(9

x2
)
3 x3
解 任取该种器件一只,其寿命大于1500小时的概率为
p
1500
1000 x2 dx

2 3
.
16
p
1500
1000 x2 dx

2 3
.
任取该种器件5只, 其寿命大于1500小时的只数记为X，
则 X ~ B(5, 2) ， 3
故所求概率为
P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1}
0.25e0.25x , f (x)
x0
0,
x0
P( X 1)
1
0.25
e

0.25
x
dx

e 0.25 x
1 1 e0.25

0.2212 ,
0
0
P( X 1) e0.25 0.7788 ,
X 所以Y的分布律为
100
-200
P
0.7788 0.2212
1 (1)5 3
C51

2 3
(1)4 3

232 243
.
17
P58 27、城市每天用电量不超过一百万度，以X表示 每天的耗电率(即用电量除以百万度)，它具有密度
函数：
12x(1 x)2 0 x 1
f (x)
0
其它
若该城市每天供电量仅80万度，求供电量不够需要的
2
2
2
4
P{ X
(1
,2)}

F (2)

1 F( )

1
( 1 )2

8
.
3
3
39
12
P57 21、设随机变量X的分布函数为
A(9 x2 ) 3 x 3
f (x) 0
其它
求（1）常数 A； （2）P( X 0) ，P( X 2) ，
P(1 X 1) ； （3）分布函数F( x) 。
按第二种方案，3名维修工人共同维护80台设备，设需
要维修的设备数为Z，则 Z ~ B(80，0.01) ，
则设备发生故障时不能及时维修的概率为
3
P{Z 4} 1
C
k 80
0.01k
0.9980
k

0.008659
.
k0
比较计算结果，可见第二种方案发挥团队精神，既能
节省人力，又能把设备管理得更好．
仍比方案1好。
8
P55 9、某产品的不合格率为0.1，每次随机抽取10件 进行检验，若发现有不合格品，就去调整设备。若检 验员每天检验4次，试求每天调整次数的分布律。
解 p 1 0.910 0.6513 ,
每天调整次数 X 的分布律
X ~ B(4, 0.6513), 即
P( X k) C4k (0.6513)k (0.3487)4k , k 0,1, ,4 .
解 (1)

f ( x)dx A
3
(9 x 2 )dx

3
2A
3
(9

x 2 )dx

36A

1
,

A
1
.
0
36
(2) P( X 0) 1 0 (9 x 2 )dx 1
36 3
2
13
f
(
x)


1 36
(9

x2
)
3 x3
0
其它
0
其它
(3) F ( x)
x
f ( x)dx

x 3 , F( x) 0 ,
3 x 3 , F ( x) x 1 (9 x2 )dx 1 1 x 1 x3
3 36
2 4 108
x 3 , F ( x) 3 1 (9 x2 )dx 1
求 P(| X | 2) ；（3）设 c 满足P( X c) 0.95 ，
问 c 至多为多少？
解 (3) P(X c) 1 ( c 1) 0.95 , 2
(
c

1 )

0.05

(1.645)
,
2
c 1 1.645 c 2.29 2
22
P58 34、 某地区 18 岁的女青年的血压(收缩压，以 mm-Hg
20
P58 32、 设 X ~ N (1,4) ，（1）求P(0 X 5) ；（2）
求 P(| X | 2) ；（3）设 c 满足P( X c) 0.95 ，
问 c 至多为多少？
解 (1) P(0 X 5) ( 5 1) ( 0 1)
2
2
(2) (0.5) 0.9772 (1 0.6915) 0.6687 .
解 由题意知,每台仪器能出厂的概率为
p 1 0.7 0.8 0.3 0.94 ,
所以能出厂的仪器台数 X ~ B(n, 0.94) ，
P{ X n} (0.94)n ;


P{ X

n 2}
C
2 n
(0.94)
n
2
(0.06)2
;
P{ X n 2} 1 n(0.94)n1(0.06) (0.94)n . 3
的设备数为 X，则 X ~ B(20，0.01) ，于是一个工人负责
的20台设备发生故障时不能及时维修的概率为
P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1}

1
C
0 20
0.010
0.9920

C
1 20
0.01 0.9919

0.01686 ,
设不能及时维修的小组数为 Y，则 Y ~ B(4，0.01686) ，
所以X的分布律为
X
1
2
3
4
P 0.7 0.24 0.054 0.006
4
P55 6、一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能 答案，其中有1个答案是正确的。求某学生靠猜测能答 对至少4道题的概率是多少？
解 因为学生靠猜测答对每道题的概率为 p 1 ， 4
所以这是一个n 5 ， p 1 的独立重复试验。 4
F
(
x)


Ax
2
,
0 x1
1, x 1
试求：(1) A 的值；(2) X 落在(1, 1) 及(1 ,2) 内的概率；
(3) X的概率密度函数.
23
解 (1) 由分布函数的右连续性，
在 x 1 点处有 F (1) F (1 0) A 1 ，即A 1 ；
(2) P{ X (1, 1 )} F ( 1 ) F (1) ( 1 )2 0 1 ;
3 36

0
x 3
所以
F
(
x)

1

2


1 4
x
1
1 108
x3
3 x3 x3
15
P57 24、 某种型号的器件的寿命X（以小时计）具有 以下的概率密度：
f
(
x
)

1000

x2
,
x 1000
0,
其他
现有一大批此种器件(设各器件损坏与否相互独立).任取
5只,问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？
出厂；以概率 0.30 需进一步调试，经调试后以概率 0.80 可以 出厂，以概率 0.20 定为不合格不能出厂，现该厂新生产了
n(n 2) 台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立)，求：
(1) 全部能出厂的概率 ； (2) 其中恰好有两件不能出厂的概率 (3) 其中至少有两件不能出厂的概率 ．
7
P55 8、设有80台同类型设备, 各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01, 且一台设备的故障能由一个 人处理, 考虑两种配备维修工人的方案：其一是由4人维 护, 每人负责20台；其二是由3人共同维护80台. 试比较 两种方案在设备发生故障时不能及时维修的概率大小。 解 P(Y 1} 1 (1 0.01686)4 0.06575 .
0!
所求概率为 p (e2 )4 e8 ．
10
P56 18、设随机变量X的分布函数为
0
F(x)

0.4 0.8
1
x 1 1 x 1 1 x3
x3
试求X的分布律。
X
-1
1
3
解
P
0.4
0.4 0.2
11
P57 20、设随机变量X的分布函数为
0, x 0