初等解析函数及其基本性质

§2 初等解析函数及其基本性质一、基本初等函数1.指数函数()y i y e z x sin cos exp +=加法定理 ()2121exp exp exp z z z z +=⋅。

z e z =exp ，即()y i y e e e e e x yi x yi x z sin cos +=⋅==+。

周期性 ze 是周期为()Z ∈k i k π2的周期函数。

2.对数函数定义2 满足()0≠=z z e w 的函数()z f w =称为复变量z 的对数函数，记为Lnz w =。

关于Lnz w =的表达式：令θi re z iv u w =+=,，则πθθk v r e re e e eu i iv u ivu 2,+==⇒==+，即Argz v z r u ===,ln ln 。

从而注：Lnz 是多值函数，Argz 是多值函数。

当Argz 取主值z arg 时，Lnz 为单值函数，称其为Lnz 的主值，记为z ln ，即z i z z arg ln ln +=⇒i k z Lnz π2ln +=注：当0>=x z 时，x x i x z ln arg ln ln =+=——实对数函数。

例2 证明对数运算性质：⑴2121Lnz Lnz z Lnz +=⋅；⑵2121Lnz Lnz z z Ln -=。

证明⑴ 由对数定义表达式，212121ln z iArgz z z z Lnz +=⋅()2121ln Argz Argz i z z ++⋅=2211ln ln iArgz z iArgz z +++=21Lnz Lnz +=；同理可证⑵式。

例3 求()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--i Ln 2321,3ln 及主值。

解 ()()i i π+=-+-=-3ln 213arg 3ln 3ln ； i k i i i i Ln π22321arg 2321ln 2321+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+- i k i k i πππ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=3122321ln ；主值：i i i ππ32321ln 2321ln =+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-。

由Lnz 的表达式，容易知道，有分析性质：Lnz 在除原点及负实轴的平面内连续且解析。

i k z i z Lnz π2arg ln ++=，而z arg 在原点及负实轴上不连续，即Lnz 在除原点及负实轴的平面内连续。

又 在除原点及负实轴的平面内，z w e z w ln ,==有定义且互为反函数，有求导法则，z e dz z d w dwde w 111ln ===.Lnz ∴在除原点及负实轴的平面内解析。

从而，应用对数函数Lnz 时，皆指其除原点及负实轴的平面内的某一分支。

3.复数乘幂ba 及其计算定义3 复数b a ,构成的乘幂：bLnabea =，其中0≠a 。

可以分析讨论知道，其取值情况有：⑴当次幂Z ∈b 为整数时, ba 有唯一值；bLna b e a =()a b i bk a b i bk a b i k a b e e e e e ln 2ln 2ln 2ln =⋅===++πππ。

⑵当次幂Q ∈=qpb 为有理数时, b a 有q 个不同的值； bLna b e a =()()ππk a qpia qp i k a i a qpeee2arg ln 2arg ln +++⋅==()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=q k a p i q k a p ea qp ππ2arg sin 2arg cos ln当1,,2,1,0-=q k 时，由正、余弦的周期性，得到ba 的q 个不同值。

⑶当次幂b 为无理数或虚数时, ba 有无穷多值. 例3 计算下列复数乘幂：⑴π11；⑵()321i +；⑶i+12。

解 ⑴π11()() ,2,1,02sin 2cos 221ln 111±±=+====+k k i k e eeki i k Ln πππ.⑵()321i +()()i Ln ei +=+=1323213422ln 31242ln 32ππππk i k i ee e+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++==,()2,1,0=k()()i i i +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+3416sin 6cos 2133032ππ；()i i i 33132223sin23cos 21-=⎪⎭⎫⎝⎛+=+ππ； ()()i i i +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+341617sin 617cos 2133232ππ。

⑶i+12()()()()2ln 222ln 22ln 121++-+++===πππk i k i k i Ln i e e e()()[]2ln 2sin 2ln 2cos 22ln +++=-πππk i k e k()() ,2,1,02ln sin 2ln cos 22ln ±±=+=-k i e k π.二、简单初等函数1.一般幂函数与指数函数 定义4 Lnze z αα=；zLnaz ea =。

性质由对数性质决定。

2.三角函数θθθθθθsin cos ,sin cos i e i e i i -=+=-ie e e e i i i i 2sin ,2cos θθθθθθ---=+=⇒，其中R ∈θ定义5 正弦函数：i e e z iz iz 2sin --=；余弦函数： 2cos iziz e e z -+=。

例4 求值：i 2cos .解 i 2cos 2cosh 222222=+=+=-⋅-⋅e e e e i i i i . 容易证明：z z cos ,sin 具有与实函数x x cos ,sin 相同的周期性、奇偶性、可导(解析)、加法公式、平方关系等性质(见教材)。

但是，不具有有界性：0=x 时，22sin y y y y e e i i e e yi ---=-=， 2cos yy e e yi +=-。

当()∞→∞→z y 时，+∞→yi yi cos ,sin . 定义6 zz z z z z z z z sin 1csc ,cos 1sec ,tan 1cot ,cos sin tan ====. 相应的一些运算性质见教材. 3.反三角、反双曲函数定义7 满足w z sin =的复变量w 称为z 的反正弦函数，记为z Arc w sin =。

依据定义，可以求得：()21sin z iz iLn z Arc -+-=. 同理，可以定义并可求得：()1cos 2-+-=z z iLn z Arc ;izizLni z Arc -+-=112tan ; 4.双曲与反双曲函数函数定义8 双曲正弦：2sinh z z e e z --=；双曲余弦：2cosh zz e e z -+=；双曲正切：zzz cosh sinh tanh =.及其反双曲函数：()1sinh 2++=z z Ln z Ar ;()1cosh 2-+=z z Ln z Ar ；zz Ln z Ar -+=1121tanh . 注:它们均为多值函数.第三章 复变函数的积分§1 积分的概念及性质一、概念及其存在性1.引言 一元函数定积分()⎰badx x f ，是函数沿一直线段[]b a ,上的积分。

因为函数()x f 就定义在数轴——直线上，而复函数()z f 定义在平面上。

推广定 积分于复函数，考虑一般性，复积分应为平面上沿一曲线段的积分。

2.定义 设有向曲线()f D C ∈，任意分C 成n 段，分点为：n z z z z ,,,,210 任取k k k z z ⋂-∈1ξ,作和 ()()()∑∑=∆=-∆=-=nk k k n k k k k n z f z z f S 111ξξ, 记{}k nk z ∆=≤≤1max δ，若n S 0lim →δ总存在，则称其值为()z f 沿曲线C 的积分，记为()⎰C dz z f 。

若C 为封闭曲线，则记为()⎰C dz z f (复变函数主要研究和确定闭曲线的积分)。

注:复积分实质上类似于高等数学中的平面为(二型)曲线积分。

2.可积性及其参数计算公式 定理 若()z f 连续，则 ⑴()⎰C dz z f 存在，且()⎰C dz z f i vdy udx C +-=⎰⎰+C udy vdx ；⑵设()⇒→=βα:,t t z z ()⎰Cdz z f ()[]()⎰'=βαdt t z t z f 。

证明（描述性）⑴()⎰C dz z f ()()⎰++=C idy dx iv u()()[]⎰++-=Cudy vdx i vdy udxivdy udx C +-=⎰⎰+C udy vdx ；⑵()⎰C dz z f ()()[]()()[]⎰'+'⋅+========βαdt t y i t x t iv t u 借高数二型线积分的基本计算。

例1 计算()⎰C dz z Re ,其中C 为从点1到点i +3的直线段.解 直线段C 方程⎪⎭⎫⎝⎛=-=-t y x 1021{()121210:,12++=++=⇒→=+=t i ti t z t ty t x ，从而，原式()()()()i tti dt i t 24221210210+=++=++=⎰。

例2 设C 为由点2=z 沿2=z 的上半圆周到 点2-=z 的曲线段,求⎰Cdz zz. 解 (){θθθθθi e i z y x 2sin cos 2sin 2cos 2=+=⇒==即⇔=2z θi e z 2=，此时，θi ez -=2；这里θ，于是，原式⎰⎰=⋅⋅=-πθπθθθθθ0302222d e i id e ee i i i i ()3413232303-=-==ππθi i e e 。

例3 计算()⎰-Ck z z dz0()Z ∈k ，其中C ：r zz =-0，方向逆时针。

解 圆周C 的方程：πθθ20:,0→=-i re z z ，从而，原式()⎰⎰--=⋅⋅=πθπθθθθ2011201d e r i id re e r k i n i in n ，当1=n 时，原式i π2=；当1≠n 时，原式()()()()[]0111111212011=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=----ik n k i n e r n e n i r i ππθ，二、性质1.线性：()()[]=+⎰C dz z g z f μλ()+⎰C dz z f λ()⎰C dz z g μ；2.可加性：若21C C C +=，则()⎰C dz z f ()+=⎰1C dz z f ()⎰2C dz z f ；3.反对称性：()⎰C dz z f ()⎰--=C dz z f ；4.若L 为曲线C 的长度，且()M z f ≤， 则()≤⎰C dz z f ()ML ds z f C ≤⎰。