广东海洋大学高数(1)-14-15-2(A)答案.doc

GDOU-B-11-302

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题

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5

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加

白

纸

3

张

广东海洋大学2014—2015学年第二学期

《高等数学》课程试题

国考试QA卷Q闭卷

课程号:19221101x2

一・填空(3X8=24分)

1.设。={1,2,-1},5 = {尤,1,0}, a Vb y贝x = ~2

2.设刁={2,0,-1},£ = {0,1,0},贝炊方=_{1,0,2}—

3.曲面z2 =]2 + y2在点(]]扼)处的切平血方程为_x+y-V^z = 0 —

4.将_wz平面上的曲线x2-^=l绕工轴旋转一周所得的旋转曲面的方程

4

5.函数z = ln(3 + x2 + r)的驻点为

6.设％为连接(-1,0)到点(0,1)的直线段，贝^(y-x)ds=— V2

L

7.慕级数寸U的收敛半径为3

/=! J

8.微分方程寸,=广的通解为y =_；广+时+仁 _________

y ~e9

二.计算题（7X2=14分）

1.设z- yln（x2 + y2）,求dz ・

ATJ dz 2xy dz t z 9入2y2

解：f = =血3 + 广）+ 十^

6冬

8x

6z

解：积分区域D可表示为

0<%<1 0

dz = , dx + [ln(x2 + y2) + ?)」dy

x~ +广JT +广

2.设z = f(x, y)是由方程z3 -3yz + x = a3所确定的具有连续偏导数的函数,

dz d2z

ox dx2

解：令F(x, y. z) = z3- 3yz + x-a3求偏导,得 F,. = 1,F, =3z2-3y

则—=「

dx F z3z2 -3y

d2z

a? (3z?—3 力2 (3z2—3 力3 三.计算下列积分（7X4=28分）

L其中。是由y=o,y=x2及尤=1所围成的闭区域。

D

原式-£ dx^ (y-x2)dy

|X2

| dx- f (-—x4)d/x = —

Jlo Jo210

2.证明曲线积分(2xy- y2)dx + (x2 -2xy)dy在整个时平面内与路径无

关，并计算积分值。

解：设P = 2xy- y2,Q = x2 -2xy 9则^- = — = 2x-2y

dx dy

故曲线积分与路径无关。

原式二J；(l-2y)dy = 0

3. 计算(1 -x)dydz + (2 - y^dzdx + (3- z)cbcdy,其中£ 是球面

00

所以级数Z(-1)〃”=1

1

\]l + n2

收敛.

]

又lim^l"E = lim

ns 1

n

n

i 丁 2 =i ,而级数£上发散心〃

x2 + >,2 + z2 = 9 的外侧。

解：设V是由£围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式得项6xdydz + ydzdx + 3zdxdy = JJJ （。（厂）+ 以? >）+ 气-》）加

二泌，二一108勿

V

4.计算jj 一；-- -clxdx ,其中。是由%2 + y2 < 25围成的闭区域。

W 1 + r + y

解：积分区域D在极坐标下可表示为

[0 < r < 5

原式二doi-^rdr

Jo Jo 1 + r

1 . 2

= 2）— ln（l + 厂）=7i In 26

2 o

四.计算题（7X4=28分）

1.判别级数Z（T）〃U>是否收敛?若收敛，是绝对收敛还是条件n=l。

2 + 〃~

收敛?

解：令勾二/ 1，则勾> "〃+1，且lim u n = 0

<2 + n2e

所以级数旗口亍发散

n-\+ 〃~

展开为

X 的慕级数。

因此级数Z(-条件收敛。

n=l 。2 + 〃2

2 .将函数/(]) = —L

x-3

解：因为-L=y/\

1 一 x ,1=0

则 > =次(眼[]0珈施％T+C]

=。一""[J 6 J"弦 + c] = 3 + ce~2x

代入初始条件y ，=o

= 2,得c = -1

所以特解为y = 3-e

4.求微分方程y" + y = "的通解。

解：特征方程为产+尸=0,得特征根为*=0,弓=-1

对应的齐次方程的通解为：y = 广 设严=打是原方程的特解，则。=上 2 所以原方程的通解为：y =

五.证明 dyj ； f(x)dx = j (：(勿- x)/(x)dx ( 6 分) 证明：设积分区域D 为[十〉服，则D 可表示为

[0

[x< y< 7i

J ： dy J ； f(x)dx = J ： dx^ f(x)dy =匚(勿-x)f(x)dx

所以 f(x) = -^- x-3

00

8

X Q ------

3(1--) 3

«=°

3.求微分方程半+ 2)，= 6满足初始条件y|x0=2的特解。

dx

次=。

H

=0

—J-3