2015年广东省汕头市高三文科二模数学试卷
2015高考数学(文)广东省汕头市三轮冲刺模拟试题
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6. 在等差数列 an 中， a2 2 ， a3 4, 则a10 ＝( A．12 B．14 C．16 D．18
)
主视图
侧视图
7. 一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为 2 的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的表面积是 A． 4 4 3 B．12 C． 4 3 D．8
2. 在复平面内，复数 A．第一象限 3. 设 a log 1
3
1 2i 对应的点位于（ 1 i
B．第二象限
1 2 4 , b log 1 , c log3 , 则a, b, c 的大小关系是( 2 3 3 3
B． c b a C． b a c
A． a b c 4. 已知函数 f ( x) A．0
二、填空题:(本大题共 5 小题，每小题 5 分，满分 20 分．其中 14、15 题是选做题，考生只 能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分。)
1 1 2 4 12. 若向量 | a | 1,| b | 2,| a b | 2, 则 | a b |
11.过抛物线 y x 2 上的点 M ( , ) 的切线的倾斜角等于__________.
2 2
新疆 源头学 子小 屋 特 级教师 王新 敞 新疆 源头学 子小 屋 特 级教师 王新 敞
D． bx 0, 则 f ( f (5)) = 3 x, x 0,
B．—2
新疆 源头学 子小 屋 特 级教师 王新 敞
C．—1
15． （几何证明选讲选做题）如图所示， AB 与 CD 是
O
的直径， AB CD ， P 是 AB 延长线上一点，连 PC 交 点 F ，若 AB 2 BP 4 ，则 PF ．
2015汕头二模 广东省汕头市2015届高三第二次模拟考试数学(文)试题含答案
汕头市2015年普通高中毕业班第二次模拟考试数学（文科）答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二、填空题（本大题共做4小题，每小题5分，共20分） 11. ()1,1- 12. 54 13. 20 14. 2cos 3ρρθ=+2 15. 5三、解答题：本大题共6题，满分80分. 16．（本小题满分12分） 解：（1）由函数()f x 的图象经过点(,1)32π， 则3sincos 133a 2π2π-=.解得1a =- 因此()3sin cos f x x x =+.（2）()3sin cos f x x x =+312(sin cos )22x x =+ 2sin()6x π=+6()2sin()2sin 6665f ππαααπ-=-+==∴3sin 5α=.()5510()2sin()2sin 2sin 66613f πβπβαπβπ+=++=+=-=-5sin 13β∴=.又,[0,]2παβ∈24cos 1sin 5αα∴=-=，12cos 1sin 13ββ=-=.()63cos cos cos sin sin 65αβαβαβ∴-=+=17．（本小题满分12分）解：（1）设年龄在2039岁之间应抽取x 人，则63612x=，解得2x = 所以年龄在2039岁之间应抽取2人（2）记在缴费100500元之间抽取的6人中，年龄在2039岁的2人为12,a a ；年龄在题号12 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 BACDACDBDB4059岁的4人为1234,,,b b b b .所以随机抽取2人的所有结果有：()12,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()14,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()23,a b ，()24,a b ，()12,b b ，()13,b b ，()14,b b ，()23,b b ，()24,b b ，()34,b b ；共15种.设这2人的年龄都在4059岁之间的事件为A,则事件为A 包含的基本事件有：()12,b b ，()13,b b ，()14,b b ，()23,b b ，()24,b b ，()34,b b ；共6种.所以()62155P A == 答：这2人的年龄都在4059岁之间的概率为2518．（本小题满分14分） 证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，AC BD O =，∴点O 是BD 的中点； ∵点G 为BC 的中点，∴//OG CD ，又∵OG ⊄平面EFCD ，CD ⊂平面EFCD ， ∴直线//OG 平面EFCD ．（2）∵BF CF =，点G 为BC 的中点，∴FG BC ⊥； ∵平面BCF ⊥平面ABCD ，平面BCF 平面ABCD BC =，FG ⊂平面BCF ，FG BC ⊥， ∴FG ⊥平面ABCD ；∵AC ⊂平面ABCD ，∴FG AC ⊥；∵1//, 2OG AB OG AB =，1//, 2EF AB EF AB =，∴//, OG EF OG EF =；∴四边形EFGO 为平行四边形，∴//FG EO ； ∵FG AC ⊥，//FG EO ，∴AC EO ⊥； ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC DO ⊥；∵AC EO ⊥，AC DO ⊥EO DO O =，EO DO 、在平面ODE 内， ∴AC ⊥平面ODE ．19．（本小题满分14分）解：（1） ()1141n n a a +=-()112222222121141n n n n n b b a a a ++∴===-=----- 12n nb b +∴-=-又114a =，112421b a ∴==-- ∴数列{}n b 为等差数列，且首项为4-，公差为2-（2）由（1）知()()41222n b n n =-+--=--即22221n n a =--- ()1122221n na n n ∴=-=++由于()()()()()212111111111222222k k k k a k a k k k k k k k k ++++⎛⎫=⋅==+=+- ⎪++++⎝⎭31212111111123242n n a a a n a a a n n +⎛⎫∴++⋅⋅⋅+=+-+-++- ⎪+⎝⎭11113122124n n n n ⎛⎫=++--<+ ⎪++⎝⎭ 20．（本小题满分14分）解：（1）由题意得 22222226c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪-=⎪⎪⎩解得2, 2a b ==∴椭圆C 的标准方程为：22142x y +=．（2）以MN 为直径的圆过定点(2, 0)F ±．设00(, )P x y ，则00(, )Q x y --，且2200142x y +=，即22024x y +=， ∵(2, 0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++，∴002(0,)2y M x +； ∴直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+-，∴002(0, )2y N x -； 以MN 为直径的圆为：000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-， 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， ∵220042x y -=-，∴220220x x y y y ++-=， 令0y =，得220x -=，解得：2x =±， ∴以MN 为直径的圆过定点：(2, 0)F ±．21. （本小题满分14分）解：解：（1）2'()33(1)3f x x a x a =-++，因为函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线与直线92y x =-平行，所以'(2)9f =，2323(1)239a a ⨯-+⨯+=，1a =-，a 的值为1-．（2）2'()33(1)3f x x a x a =-++，令'()0f x =得1,x x a ==①当0a ≤时，()f x 在(0,1)单调递减，在(1,4)单调递增， 所以当1x =时，(1)f 是()f x 在()0,4x ∈内的最小值，则13(1)=122f a =+ 解得13a = 不符合题意舍去②当01a <<时，()f x 在(0,)a 和(1,4)单调递增，在(,1)a 单调递减，(1)(0)01f f a ≤⎧∴⎨<<⎩即3(1)1311201a a a +⎧-++≤⎪⎨⎪<<⎩，解得103a <≤ 当103a <≤时，使(1)f 是()f x 在()0,4x ∈内的最小值；则13(1)=122f a =+ 解得13a = 符合题意③当1a =时，2'()3(1)0f x x =-≥，()f x 在(0,4)单调递增， 则函数()f x 在()0,4x ∈内不存在最小值；④当14a <<时，()f x 在(0,1)和(,4)a 单调递增，在(1,)a 单调递减，()(0)14f a f a ≤⎧∴⎨<<⎩即3223(1)311214a a a a a +⎧-++≤⎪⎨⎪<<⎩ 解得314a a ≥⎧⎨<<⎩ 所以34a ≤<所以当x a =时，函数()f x 在()0,4x ∈内存在最小值 则()1f a =，解得3a =⑤当4a ≥时，()f x 在(0,1)单调递增，在(1,4)单调递减，则函数()f x 在()0,4x ∈内不存在最小值 综上得，13a =或3a =。
【VIP专享】广东省汕头市潮南区2015届高三5月高考模拟数学(文)试题 Word版含答案
等于（ ）
A.3
B.6
C.9
D.2
6.培养学生观察、思考、对比及分析综合的能力。过程与方法1.通过观察蚯蚓教的学实难验点，线培形养动观物察和能环力节和动实物验的能主力要；特2征.通。过教对学观方察法到与的教现学象手分段析观与察讨法论、，实对验线法形、动分物组和讨环论节法动教特学征准的备概多括媒，体继课续件培、养活分蚯析蚓、、归硬纳纸、板综、合平的面思玻维璃能、力镊。子情、感烧态杯度、价水值教观1和.通过学理解的蛔1虫.过观适1、察于程3观阅 六蛔寄.内列察读 、虫生出蚯材 让标容生3根常蚓料 学本教活.了 据见身： 生，师的2、解 问的体巩鸟 总看活形作 用蛔 题线的固类 结雌动态业 手虫 自形练与 本雄学、三： 摸对 学动状习人 节蛔生结4、、收 一人 后物和同类 课虫活构请一蚯集 摸体 回并颜步关 重的动、学、蚓鸟 蚯的 答归色学系 点形教生生让在类 蚓危 问纳。习从 并状学理列学平的害 题线蚯四线人 归、意特出四生面体以形蚓、形类 纳大图点常、五观玻存 表及动的鸟请动文 本小引以见引、察璃现 ，预物身类 3学物明 节有言及的、导巩蚯上状 是防的体之生和历 课什根蚯环怎学固蚓和， 干感主是所列环史 学么据蚓节二样生练引牛鸟 燥染要否以举节揭 到不上适动、区回习导皮类 还的特分分蚯动晓 的同节于物让分答。学纸减 是方征节布蚓物起 一，课穴并学蚯课生上少 湿法。?广的教， 些体所居归在生蚓前回运的 润；4泛益学鸟色生纳.靠物完的问答动原 的4蛔，处目类 习和活环.近在成前题蚯的因 ？了虫以。标就 生体的节身其实端并蚓快及 触解寄上知同 物表内特动体结验和总利的慢我 摸蚯生适识人 学有容点物前构并后结用生一国 蚯蚓在于与类 的什，的端中思端线问活样的 蚓人飞技有 基么引进主的的考?形题环吗十 体生行能着 本特出要几变以动，境？大 节活的1密 方征本“特节化下物.让并为珍 近习会形理切 法。课生征有以问的小学引什稀 腹性态解的 。2课物。什游题主.结生出么鸟 面和起结蛔关观题体么戏：要利明蚯？类 处适哪构虫系察：的特的特用确蚓等 ，于些特适。蛔章形殊形征板，这资 是穴疾点于可虫我态结式。书生种料 光居病是寄的们结构，五小物典， 滑生？重生鸟内学构，学、结的型以 还活5要生类部习与.其习巩鸟结的爱 是如原活生结了功颜消固类构线鸟 粗形何因的存构腔能色化练适特形护 糙态预之结的，肠相是系习于点动鸟 ？、防一构现你动适否统。飞都物为结蛔。和状认物应与的行是。主构虫课生却为和”其结的与题、病本理不蛔扁的他构特环以生？8特乐虫形观部特8征境小理三页点观的动位点梳相组等、这；，哪物教相，理适为方引些2鸟，育同师.知应单面导鸟掌类结了；？生识的位学你握日构解2互.。办特生认线益特了通动手征观识形减点它过，抄；察吗动少是们理生报5蛔？物，与的解.参一了虫它和有寄主蛔与份解结们环些生要虫其。蚯构都节已生特对中爱蚓。会动经活征人培鸟与飞物灭相。类养护人吗的绝适这造兴鸟类？主或应节成趣的为要濒的课情关什特临？就危感系么征灭来害教；？；绝学，育，习使。我比学们它生可们理以更解做高养些等成什的良么两好。类卫动生物习。惯根的据重学要生意回义答；的3.情通况过，了给解出蚯课蚓课与题人。类回的答关：系线，形进动行物生和命环科节学动价环值节观动的物教一育、。根教据学蛔重虫点病1.引蛔出虫蛔适虫于这寄种生典生型活的线结形构动和物生。理二特、点设；置2.问蚯题蚓让的学生生活思习考性预和习适。于穴居生活的形态、结构、生理等方面的特征；3.线形动物和环节动物的主要特征。
汕头市2015届普通高考第二次模拟考试(文数)
汕头市2015届普通高考第二次模拟考试数 学（文 科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡一并交回。
参考公式：1.柱体体积公式为Sh V =，其中S 为柱体的底面积、h 为柱体的高.2.锥体体积公式为Sh V 31=，其中S 为锥体的底面积、h 为锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、设集合{}U 1,2,3,4=，{}1,2A =，{}2,4B =，则=⋂A C B u （ ）A ．{}2B ．{}4C ．{}1,2,4D ．{}1,4 2、已知i 是虚数单位，若31ii z+=-，则复数z 的共轭复数是（ ）A ．12i -B ．24i -CD ．12i + 3、若a ，b 是两个非零的平面向量，则“a b =”是“()()0a b a b +⋅-=”的（ ） A ．充分且不必要条件 B ．必要且不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4、为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度5、设{}n a 是首项为12-，公差为d （0d ≠）的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则d =（ ） A ．1- B ．12-C ．18D ．126、已知直线1:l ()120m x y -++=，2:l ()()8110x m y m +++-=，且12//l l ，则m =（ ） A ．79B ．3±C ．3D ．3- 7、设不等式组22042x y x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到直线20y +=的距离大于2的概率是（ ） A ．413 B ．513 C ．825 D ．9258、程序框图如图1所示，若其输出结果是30，则判断框中填写的是（ ） A ．7?i < B ．5?i < C ．7?i > D ．5?i >9、已知双曲线2214x y a -=的渐近线方程为y x =，则此双曲线的离心率是（ ） A．2 B．3 C ．53D．3 图110、设集合()(){},F ,0x y x y M ==为平面直角坐标系x y O 内的点集，若对于任意()11,x y ∈M ，存在()22,x y ∈M ，使得12120x x y y +<，则称点集M 满足性质P ．给出下列四个点集： ①(){}R ,sin 10x y x y =-+= ②(){},ln 0S x y x y =-=③(){}22,10x y xy T =+-=④(){}W ,10x y xy =-=其中所有满足性质P 的点集的序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．） （一）必做题（11～13题） 11、函数()log 1x f x +=的定义域是 ．12、图2是甲、乙两名篮球运动员2014年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是 ．图2图313、若某几何体的三视图如图3所示，则该几何体的体积是 ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题,两题全答的，只计算前一题的得分。
广东省汕头市龙湖区2015届高三数学上学期质检试卷 文(含解析)
广东省汕头市龙湖区2015届高三上学期质检数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项．1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={2，5}，则B∪（∁U A）=（）A．{5} B．{1，2，5} C．{1，2，3，4，5} D．∅2．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，且（a+i）i=b﹣2i，则a+b=（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣33．（5分）已知α为锐角，且tan（π﹣α）+3=0，则sinα的值是（）A．B．C．D．4．（5分）若a，b，c成等比数列，则函数f（x）=ax2+bx+c与x轴的交点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．不确定的5．（5分）已知命题P1：∃x0∈R，x02+x0+1＜0；P2：∀x∈[1，2]，x2﹣1≥0．以下命题为真命题的是（）A．￢P1∧￢P2B．P1∨￢P2C．￢P1∧P2D．P1∧P26．（5分）下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是（）A．B．f（x）=2﹣x﹣2x C．f（x）=﹣tanx D．7．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．60 B．54 C．48 D．248．（5分）已知变量x，y满足，则z=3x+y的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．79．（5分）如图中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分，当x1=6，x2=9，p=9.5时，x3等于（）A．10 B．9 C．8 D．710．（5分）已知两个点M（﹣5，0），N（5，0），若直线上存在点P，使得|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“hold直线”．给出下列直线：①y=x，②y=2x+1，③y=x+1，则这三条直线中有（）条“hold直线”．A．3 B．2 C．1 D．0二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.（一）必做题（11-13题）11．（5分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（3，﹣6），且⊥，∥，则（+）•=．12．（5分）已知离心率为2的双曲线+=1（m，n∈R）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则=．13．（5分）观察下列等式13=113+23=913+23+33=3613+23+33+43=100…照此规律，第6个等式可为．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和（t∈R），它们的交点坐标为．15．如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB=9，C是圆上一点使得BC=4，∠BAC=∠APB，则AB=．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．17．（12分）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．地区 A B C数量50 150 100（Ⅰ）求这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．18．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC=2AB=2，且BC1⊥A1C．（Ⅰ）求证：平面ABC1⊥平面A1C1CA；（Ⅱ）设D是A1C1的中点，判断并证明在线段BB1上是否存在点E，使DE∥平面ABC1；若存在，求三棱锥E﹣ABC1的体积．19．（14分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n=n2+pn+q（p，q∈R），且a2，a3，a5成等比数列．（1）求p，q的值；（2）若数列{b n}满足a n+log2n=log2b n，求数列{b n}的前n项和T n．20．（14分）已知F1，F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过椭圆右焦点F2斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于E、F两点，△EFF1的周长为8，且椭圆C与圆x2+y2=3相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x=4于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′，求证k•k′为定值．21．（14分）已知函数f（x）=x3+x2﹣ax﹣a，x∈R，其中a＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（﹣2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；（3）当a=1时，设函数f（x）在区间[t，t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t）．记g （t）=M（t）﹣m（t），求函数g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值．广东省汕头市龙湖区2015届高三上学期质检数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项．1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={2，5}，则B∪（∁U A）=（）A．{5} B．{1，2，5} C．{1，2，3，4，5} D．∅考点：补集及其运算；并集及其运算．专题：计算题．分析：先求出∁U A，再由集合的并运算求出B∪（∁U A）．解答：解：∵C U A={1，5}∴B∪（∁U A）={2，5}∪{1，5}={1，2，5}．故选B．点评：本题考查集合的运算，解题时要结合题设条件，仔细分析，耐心求解．2．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，且（a+i）i=b﹣2i，则a+b=（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3考点：复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把给出的等式左边的复数利用复数的多项式乘法运算化简，然后利用复数相等的条件求出a和b，则a+b可求．解答：解：由（a+i）i=b﹣2i，可得：﹣1+ai=b﹣2i．∴．∴a+b=﹣3．故选：D．点评：本题考查复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，此题是基础题．3．（5分）已知α为锐角，且tan（π﹣α）+3=0，则sinα的值是（）A．B．C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式利用诱导公式变形，求出tanα的值，根据α为锐角，求出cosα的值，即可求出sinα的值．解答：解：∵α为锐角，且tan（π﹣α）+3=﹣tanα+3=0，即tanα=3，∴cosα==，则sinα==．故选：B．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．4．（5分）若a，b，c成等比数列，则函数f（x）=ax2+bx+c与x轴的交点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．不确定的考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：根据a，b，c成等比数列，得出b2=ac且ac＞0，令ax2+bx+c=0，求出△＜0，判断出方程无根，进而判断函数f（x）=ax2+bx+c与x轴无交点．解答：解：∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac∴ac＞0∴△=b2﹣4ac=﹣3ac＜0∴方程ax2+bx+c=0无根，即函数f（x）=ax2+bx+c与x轴无交点．故选A点评：本题主要考查了等比数列的性质，特别是等比中项的利用．属基础题．5．（5分）已知命题P1：∃x0∈R，x02+x0+1＜0；P2：∀x∈[1，2]，x2﹣1≥0．以下命题为真命题的是（）A．￢P1∧￢P2B．P1∨￢P2C．￢P1∧P2D．P1∧P2考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：先判定命题命题P1与P2的真假，再确定￢p1与￢p2的真假，从而选项中正确的命题．解答：解：∵命题P1：∃x0∈R，x02+x0+1＜0是假命题，∵x2+x+1=+＞0是恒成立的；∴￢p1是真命题；∵P2：∀x∈[1，2]，x2﹣1≥0是真命题，∵x2﹣1≥0时，解得x≥1，或x≤﹣1，∴对∀x∈[1，2]，x2﹣1≥0成立，∴￢p2是假命题；∴A中￢p1∧￢p2是假命题，B中p1∨￢p2是假命题，C中￢p1∧p2是真命题，D中p1∧p2是假命题；故选：C．点评：本题考查了复合命题的真假问题，解题时应先判定命题命题P1与P2的真假，从而确定￢p1与￢p2的真假．6．（5分）下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是（）A．B．f（x）=2﹣x﹣2x C．f（x）=﹣tanx D．考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用奇偶函数的概念与函数单调性的概念对四个选项逐一判断即可．解答：解：A，∵f（x）=的定义域为{x|x≤0}，不关于原点对称，不是奇函数，故A错误；B，∵f（x）=2﹣x﹣2x，∴f（﹣x）=2x﹣2﹣x=﹣（2﹣x﹣2x）=﹣f（x），∴f（x）=2﹣x﹣2x是奇函数；C，∵奇函数y=﹣tanx在每一个区间（kπ﹣，kπ+）（k∈Z）是减函数，并不是定义域上的减函数，故C错误；D，y=在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，并不是在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上单调递减，故D错误；综上所述，B正确．故选：B．点评：本题考查函数奇偶性与函数单调性的判断，考查分析运算能力，属于中档题．7．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．60 B．54 C．48 D．24考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：几何体是一个侧面向下放置的直三棱柱，根据三视图判断底面三角形相关几何量的数据及棱柱的高的数据，把数据代入棱柱的表面积公式计算．解答：解：由三视图知：几何体是一个侧面向下放置的直三棱柱，侧棱长为4，底面三角形为直角三角形，直角边长分别为3，4，斜边长为5．∴几何体的表面积S=S棱柱侧+S底面=（3+4+5）×4+2××3×4=48+12=60．故选：A．点评：本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键．8．（5分）已知变量x，y满足，则z=3x+y的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=3x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．解答：解：作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点为A（2，1），（1，0），（1，3），验证知在点A（2，1）时取得最大值，当直线z=3x+y过点A（2，1）时，z最大是7，故选D．点评：本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．9．（5分）如图中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分，当x1=6，x2=9，p=9.5时，x3等于（）A．10 B．9 C．8 D．7考点：选择结构．专题：计算题；图表型．分析：根据已知中x1=6，x2=9，p=9.5，根据已知中的框图，分类讨论条件|x3﹣x1|＜|x3﹣x2|满足和不满足时x3的值，最后综合讨论结果，即可得答案．解答：解：当x1=6，x2=9时，|x1﹣x2|=3不满足|x1﹣x2|≤2，故此时输入x3的值，并判断|x3﹣x1|＜|x3﹣x2|，若满足条件|x3﹣x1|＜|x3﹣x2|，此时p===9.5，解得，x3=13，这与|x3﹣x1|=7，|x3﹣x2|=4，7＞4与条件|x3﹣x1|＜|x3﹣x2|矛盾，故舍去，若不满足条件|x3﹣x1|＜|x3﹣x2|，此时p=，解得，x3=10，此时|x3﹣x1|=4，|x3﹣x2|=1，|x3﹣x1|＜|x3﹣x2|不成立，符合题意，故选A．点评：本题考查的知识点是选择结构，是选择结构在实际中的应用问题，分类讨论是解答本题的关键．还同时考查了学生对算法基本逻辑结构中的循环结构和条结构的认识，考查学生对赋值语句的理解和认识，考查学生对程序框图表示算法的理解和认识能力，考查学生的算法思想和简单的计算问题．属于基础题．10．（5分）已知两个点M（﹣5，0），N（5，0），若直线上存在点P，使得|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“hold直线”．给出下列直线：①y=x，②y=2x+1，③y=x+1，则这三条直线中有（）条“hold直线”．A．3 B．2 C．1 D．0考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；新定义．分析：满足条件的点P是以M，N为焦点的双曲线﹣=1的右支，问题转化为看所给的直线与双曲线的右支是否有交点．解答：解：由|PM|﹣|PN|=6＜|MN|可得点P是以M，N为焦点的双曲线﹣=1的右支，换言之，点P是双曲线右支与直线的交点，即“hold直线”须满足与双曲线的右支相交，①直线为双曲线的渐近线，故不是“hold直线”；②直线与双曲线的右支无交点，故不是“hold直线”；③直线与双曲线的右支有一交点，故是“hold直线”．故选C．点评：本题考查双曲线的性质，体现等价转化思想与数形结合思想．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.（一）必做题（11-13题）11．（5分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（3，﹣6），且⊥，∥，则（+）•=15．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；平行向量与共线向量；平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据且⊥，∥，建立方程关系，即可求出x，y的值，然后根据数量积的坐标公式进行计算即可．解答：解：∵向量=（x，1），=（1，y），=（3，﹣6），且⊥，∥，∴3x﹣6=0且﹣6﹣3y=0，即x=2，y=﹣2，∴（+）•=•+•=3x﹣6+3﹣6y=0+3+6×2=15．故答案为；15．点评：本题只要考查向量的坐标公式，要求熟练掌握向量垂直和向量平行的坐标公式的应用，以及向量数量积的坐标公式，比较基础．12．（5分）已知离心率为2的双曲线+=1（m，n∈R）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则=．考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出抛物线y2=4x的焦点坐标，由此得到双曲线的一个焦点，从而求出a的值，进而得到．解答：解：∵抛物线y2=4x的焦点是（1，0），∴c=1，∵离心率为2，∴a=∴b2=，∴=．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要抛物线的性质进行求解．13．（5分）观察下列等式13=113+23=913+23+33=3613+23+33+43=100…照此规律，第6个等式可为13+23+33+43+53+63=441．考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：可以发现等式左边是连续整数的立方和，右边是1+2+3+…+n的平方．从而写出第六个等式．解答：解：13=1=12，13+23=9=32，13+23+33=36=62，13+23+33+43=100=102，13+23+33+43+53=152=225，13+23+33+43+53+63=212=441．故答案为：13+23+33+43+53+63=441．点评：本题考查归纳推理及运用，注意总结等式的左右特点是解题的关键．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和（t∈R），它们的交点坐标为（1，）．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：化参数方程为普通方程，联立即可求得交点坐标解答：解：把（0≤θ＜π）利用同角三角函数的基本关系消去参数，化为直角坐标方程为+y2=1（y≥0），把（t∈R），消去参数t，化为直角坐标方程为y2=x两方程联立可得x=1，y=．∴交点坐标为（1，）．故答案为：（1，）．点评：本题考查参数方程化成普通方程，考查学生的计算能力，比较基础．15．如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB=9，C是圆上一点使得BC=4，∠BAC=∠APB，则AB=6．考点：圆的切线的性质定理的证明．专题：选作题；立体几何．分析：根据同弧所对的圆周角与弦切角相等，得到∠C=∠BAP，根据所给的两个角相等，得到两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例，得到比例式，代入已知的长度，求出结果．解答：解：∵∠BAC=∠APB，∠C=∠BAP，∴△PAB∽△ACB，∴∴AB2=PB•BC=9×4=36，∴AB=6，故答案为：6．点评：本题考查圆的切线的性质的应用，考查同弧所对的圆周角等于弦切角，考查三角形相似的判断和性质，本题是一个综合题目．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）首先把函数通过恒等变换变形成正弦型函数，进一步求出周期．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的函数关系式，通过已知的定义域求出函数的值域．解答：解：函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx=+1 所以：函数的周期为：T=π（Ⅱ）由于x∈所以：sin所以函数f（x）的值域为：[0，3]点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变形，正弦型函数的周期，根据定义域求正弦型函数的值域．17．（12分）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．地区 A B C数量50 150 100（Ⅰ）求这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）先计算出抽样比，进而可求出这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（Ⅱ）先计算在这6件样品中随机抽取2件的基本事件总数，及这2件商品来自相同地区的事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．解答：解：（Ⅰ）A，B，C三个地区商品的总数量为50+150+100=300，故抽样比k==，故A地区抽取的商品的数量为：×50=1；B地区抽取的商品的数量为：×150=3；C地区抽取的商品的数量为：×100=2；（Ⅱ）在这6件样品中随机抽取2件共有：=15个不同的基本事件；且这些事件是等可能发生的，记“这2件商品来自相同地区”为事件A，则这2件商品可能都来自B地区或C地区，则A中包含=4种不同的基本事件，故P（A）=，即这2件商品来自相同地区的概率为．点评：本题考查的知识点是分层抽样，古典概型概率计算公式，难度不大，属于基础题．18．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC=2AB=2，且BC1⊥A1C．（Ⅰ）求证：平面ABC1⊥平面A1C1CA；（Ⅱ）设D是A1C1的中点，判断并证明在线段BB1上是否存在点E，使DE∥平面ABC1；若存在，求三棱锥E﹣ABC1的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）证明平面ABC1⊥平面A1C，只需证明A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）取AA1中点F，连EF，FD，证明平面EFD∥平面ABC1，则有ED∥平面ABC1，利用等体积转换，可求三棱锥E﹣ABC1的体积．解答：（I）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，有AA1⊥平面ABC．∴AA1⊥AC，又AA1=AC，∴A1C⊥AC1．…（2分）又BC1⊥A1C，∴A1C⊥平面ABC1，∵A1C⊂平面A1C1CA，∴平面ABC1⊥平面A1C1CA．…（4分）（II）解：取AA1中点F，连EF，FD，当E为B1B中点时，EF∥AB，DF∥AC1．即平面EFD∥平面ABC1，则有ED∥平面ABC1．…（8分）当E为中点时，V E﹣ABC1=V C1﹣ABE==．点评：本小题主要考查利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，考查体积的计算，并且考查空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．19．（14分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n=n2+pn+q（p，q∈R），且a2，a3，a5成等比数列．（1）求p，q的值；（2）若数列{b n}满足a n+log2n=log2b n，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：解法一：（1）a1=S1=1+p+q，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1+p，由此求出q=0，由a2，a3，a5成等比数列，得p=﹣1．（2）a n=2n﹣2，，由此利用错位相减法能求出数列{b n}的前n项和T n．解法二：（1）由，得d=2，p=a1﹣1，q=0．由a2，a3，a5成等比数列，得p=﹣1．（2）a n=2n﹣2.，由，两边对x取导数得，由此能求出．解答：（本小题满分14分）解法一：（1）解：当n=1时，a1=S1=1+p+q，…（1分）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1…（2分）=n2+pn+q﹣[（n﹣1）2+p（n﹣1）+q]=2n﹣1+p．…（3分）∵{a n}是等差数列，∴1+p+q=2×1﹣1+p，得q=0．…（4分）又a2=3+p，a3=5+p，a5=9+p，…（5分）∵a2，a3，a5成等比数列，∴，即（5+p）2=（3+p）（9+p），…（6分）解得p=﹣1．…（7分）（2）解：由（1）得a n=2n﹣2．…（8分）∵a n+log2n=log2b n，∴．…（9分）∴T n=b1+b2+b3+…+b n﹣1+b n=40+2×41+3×42+…+（n﹣1）•4n﹣2+n•4n﹣1，①…（10分），②…（11分）①﹣②得==．…（13分）∴．…（14分）解法二：（1）解：设等差数列{a n}的公差为d，则．…（1分）∵，∴，，q=0．…（4分）∴d=2，p=a1﹣1，q=0．∵a2，a3，a5成等比数列，∴，…（5分）即．解得a1=0．…（6分）∴p=﹣1．…（7分）（2）解：由（1）得a n=2n﹣2．…（8分）∵a n+log2n=log2b n，∴．…（9分）∴T n=b1+b2+b3+…+b n﹣1+b n=40+2×41+3×42+…+（n﹣1）•4n﹣2+n•4n﹣1．…（10分）由，…（11分）两边对x取导数得，x0+2x1+3x2+…+nx n﹣1=．…（12分）令x=4，得．∴．…（14分）点评：本题考查实数的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要注意审题，注意错位相减法的合理运用．20．（14分）已知F1，F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过椭圆右焦点F2斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于E、F两点，△EFF1的周长为8，且椭圆C与圆x2+y2=3相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x=4于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′，求证k•k′为定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出4a=8，方程组只有一组解，利用根的判别式求出=3，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设过点F2（1，0）的直线l方程为：y=k（x﹣1），设点E（x1，y1），点F（x2，y2），将直线l方程y=k（x﹣1）代入椭圆C：，得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用已知条件推导出直线PF2的斜率为k′=﹣，从而能够证明k•k′为定值．解答：（Ⅰ）解：∵过椭圆右焦点F2斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于E、F两点，△EFF1的周长为8，且椭圆C与圆x2+y2=3相切，∴4a=8，解得a=2，∴方程组只有一组解，即方程（b2﹣4）x2+12﹣4b2=0只有一个实数根，∴△=0﹣4（b2﹣4）（12﹣4b2）=0，解得=3或b2=4（舍），∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：设过点F2（1，0）的直线l方程为：y=k（x﹣1），设点E（x1，y1），点F（x2，y2）…5分将直线l方程y=k（x﹣1）代入椭圆C：，整理得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，…6分∵点F2在椭圆内，∴直线l和椭圆都相交，△＞0恒成立，且，，…7分直线AE的方程为：，直线AF的方程为：，令x=3，得点M（4，2），N（4，2），∴点P的坐标（4，（）），…9分直线PF2的斜率为k′==（）=•=•，…11分将，代入上式得：=﹣，∴，，∴k•k′为定值．点评：本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．21．（14分）已知函数f（x）=x3+x2﹣ax﹣a，x∈R，其中a＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（﹣2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；（3）当a=1时，设函数f（x）在区间[t，t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t）．记g （t）=M（t）﹣m（t），求函数g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1）求导函数，令f′（x）＞0，可得函数的递增区间；令f′（x）＜0，可得单调递减区间；（2）由（1）知函数在区间（﹣2，﹣1）内单调递增，在（﹣1，0）内单调递减，从而函数在（﹣2，0）内恰有两个零点，由此可求a的取值范围；（3）a=1时，f（x）=，由（1）知，函数在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，再进行分类讨论：①当t∈[﹣3，﹣2]时，t+3∈[0，1]，﹣1∈[t，t+3]，f（x）在[t，﹣1]上单调递增，在[﹣1，t+3]上单调递减，因此函数在[t，t+3]上的最大值为M（t）=f（﹣1）=﹣，而最小值m（t）为f（t）与f（t+3）中的较小者，从而可得g（t）在[﹣3，﹣2]上的最小值；②当t∈[﹣2，﹣1]时，t+3∈[1，2]，﹣1，1∈[t，t+3]，比较f（﹣1），f（1），f（t），f（t+3）的大小，从而可确定函数g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值．解答：解：（1）求导函数可得f′（x）=（x+1）（x﹣a），令f′（x）=0，可得x1=﹣1，x2=a ＞0，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣1）﹣1 （﹣1，a） a （a，+）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）递增极大值递减极小值递增故函数的递增区间为（﹣∞，﹣1），（a，+∞），单调递减区间为（﹣1，a）（2）由（1）知函数在区间（﹣2，﹣1）内单调递增，在（﹣1，0）内单调递减，从而函数在（﹣2，0）内恰有两个零点，∴，∴，∴0＜a＜∴a的取值范围为；（3）a=1时，f（x）=，由（1）知，函数在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增①当t∈[﹣3，﹣2]时，t+3∈[0，1]，﹣1∈[t，t+3]，f（x）在[t，﹣1]上单调递增，在[﹣1，t+3]上单调递减因此函数在[t，t+3]上的最大值为M（t）=f（﹣1）=﹣，而最小值m（t）为f（t）与f（t+3）中的较小者由f（t+3）﹣f（t）=3（t+1）（t+2）知，当t∈[﹣3，﹣2]时，f（t）≤f（t+3），故m（t）=f（t），所以g（t）=f（﹣1）﹣f（t）而f（t）在[﹣3，﹣2]上单调递增，因此f（t）≤f（﹣2）=﹣，所以g（t）在[﹣3，﹣2]上的最小值为②当t∈[﹣2，﹣1]时，t+3∈[1，2]，﹣1，1∈[t，t+3]，下面比较f（﹣1），f（1），f（t），f（t+3）的大小．由f（x）在[﹣2，﹣1]，[1，2]上单调递增，有f（﹣2）≤f（t）≤f（﹣1），f（1）≤f（t+3）≤f（2）∵f（1）=f（﹣2）=﹣，f（﹣1）=f（2）=﹣∴M（t）=f（﹣1）=﹣，m（t）=f（1）=﹣∴g（t）=M（t）﹣m（t）=综上，函数g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值为．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导与分类讨论是解题的关键．。
广东省汕头市澄海凤翔中学2015届高考模拟考试文科数学试卷(4)(含答案)
广东省汕头市澄海凤翔中学2015届高考模拟考试（4）文科数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}27x x A =<<，{}310x x B =≤<，则A B =（ ）A ．()2,10B ．[)3,7C ．(]2,3D ．()7,10 2、i 是虚数单位，11i i+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．132i+ D ．12i-- 3、下列函数中，奇函数是（ ）A ．()2x f x =B ．()2log f x x =C ．()sin 1f x x =+D ．()sin tan f x x x =+4、已知向量()3,4a =-，()1,b m =，若()0a a b ⋅-=，则m =（ ） A ．112 B ．112- C ．7 D ．7-5、如图，四棱柱1111CD C D AB -A B 中，E 、F 分别是1AB 、1C B 的中点．下列结论中，正确的是（ ）A ．1F E ⊥BB B ．F//E 平面11CC A A C ．FDE ⊥B D ．F E ⊥平面11CC B B6、某人午睡醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，他等待的时间不多于15分钟的概率是（ ）A ．12 B ．13 C ．14D ．167、若变量x 、y 满足约束条件2534x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则z x y =+的取值范围是（ ）A ．[]4,7B ．[]1,7-C ．5,72⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,78、将函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位长度，得到的曲线经过原点，则ϕ的最小值是（ ） A ．12π B ．6π C ．4πD ．3π 9、下列命题中，错误的是（ ）A ．在C ∆AB 中，A >B 是sin sin A >B 的充要条件 B ．在锐角三角形C AB 中，不等式sin cos A >B 恒成立C ．在C ∆AB 中，若cos cos a b A =B ，则C ∆AB 必是等腰直角三角形D ．在C ∆AB 中，若60B =，2b ac =，则C ∆AB 必是等边三角形 10、设()f x ，()g x 都是定义在实数集上的函数，定义函数()()f g x ：R x ∀∈，()()()f g x f g x =⎡⎤⎣⎦．若()2,0,0x x f x x x >⎧=⎨≤⎩，(),0ln ,0x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩，则（ ） A ．()()()f f x f x = B ．()()()f g x f x =C ．()()()g f x g x =D ．()()()g g x g x =二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11～13题）11、命题“若a 、b 都是偶数，则a b +是偶数”的逆命题是 ．12、数列{}n a 满足12a =，n *∀∈N ，111n na a +=-，则2015a = ． 13、某班甲、乙两位同学升入高中以来的5次数学考试成绩的茎叶图如图，则乙同学这5次数学成绩的中位数是 ；已知两位同学这5次成绩的平均数都是84，成绩比较稳定的是 （第二个空填“甲”或“乙”）．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系x y O 中，曲线1C 的方程是2225x y +=，2C的参数方程是x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标是 ．15、（几何证明选讲选做题）如图，O 的两条割线与O 交于A 、B 、C 、D ，圆心O 在PAB 上，若C 6P =，22CD 3=，12PO =，则AB = ．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16、（本小题满分12分）已知函数()()2sin cos cos2R f x x x x x =+∈．()1求()f x 的最小正周期和最大值；()2若θ为锐角，且83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求t a n 2θ的值．17、（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)40,50，[)50,60，，[]90,100后得到如图的频率分布直方图．()1求图中实数a 的值；()2若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；()3若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．18、（本小题满分14分）已知梯形CD AB 中，D //C A B ，C D 2π∠AB =∠BA =，C 2D 4AB =B =A =，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，F//C E B ，x AE =．沿F E 将梯形CD AB 翻折，使平面FD AE ⊥平面CF EB （如图）．G 是C B 的中点． ()1当2x =时，求证：D G B ⊥E ； ()2当x 变化时，求三棱锥D CF -B 的体积()f x 的函数式．19、（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知数列是首项为1，公差为1的等差数列．()1求数列{}n a 的通项公式；()2令n b =，若不等式1ni i b =≥∑对任意n *∈N 都成立，求实数L 的取值范围．20、（本小题满分14分）已知椭圆C :22221x y a b+=（0a b >>）的一个焦点与抛物线:Γ22y px =（0p >）的焦点重合，椭圆C的离心率为3且过点⎫⎪⎪⎝⎭．()1求椭圆C 和抛物线Γ的标准方程；()2设直线l 过椭圆C 的右焦点F 且与椭圆C 交于A ，B 两点，在椭圆C上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP =OA +OB 成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，请说明理由．21、（本小题满分14分）已知函数()32f x x ax b =-++（a ，R b ∈）．()1求函数()f x 的单调递增区间；()2若对任意[]3,4a ∈，函数()f x 在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）20分．）（一）必做题（11～13题）11、若a b +是偶数，则a 、b 都是偶数 12、1- 13、82 甲 （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14、)1- 15、16三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、解：()1()2sin cos cos 2f x x x x =+sin 2cos 2x x =+ …… 2分22x x ⎫=+⎪⎪⎭ …… 3分24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. (4)分∴()f x 的最小正周期为22ππ=, 最大值为. …… 6分()2∵8f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ …… 7分∴1cos 23θ= …… 8分∵θ为锐角，即02πθ<<∴02θπ<< ∴sin 2θ==…… 10分 ∴sin 2tan 2cos 2θθθ== …… 12分17、解：()1由于图中所有小矩形的面积之和等于1 所以10(0.005⨯++0.0250a +++=………………………………1分 解得0.0a =………………………………………………………………………2分()2成绩不低于60分的频率为110(0.0050.01)-⨯+0.85=……3分由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为6400.85544⨯=人……………………………5分()3成绩在[)40,50分数段内的人数为400.052⨯=人，分别记为A ，B ………6分成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人，分别记为C ，D ，E ，F ……7分若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),B F ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共15种………9分如果两名学生的数学成绩都在[)40,50分数段内或都在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[)40,50分数段内，另一个成绩在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有：(),A B ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共7种………11分 所以所求概率为()715P M =………………………………………………………12分 18、()1证明：作EF DH ⊥，垂足H ，连结BH ，GH …………………………2分∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，DH ⊂平面EBCF ， ∴⊥DH 平面EBCF 又⊂EG 平面EBCF故DH EG ⊥……………………………………4分∵12EH AD BC BG ===，//EF BC ，90ABC ∠=∴四边形BGHE 为正方形故BH EG ⊥……………………………………6分 又BH 、DH ⊂面DBH ，且BH DH H =故⊥EG 面DBH 又⊂BD 面DBH故BD EG ⊥……………………………………8分()2解：∵AE EF ⊥，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ．∴AE ⊥面EBCF又由()1⊥DH 平面EBCF故//AE GH ……………………………………10分 ∴四边形AEHD 是矩形，DH AE =故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥D BCF -的高DH AE x ==………………11分 又114(4)8222BCF S BC BE x x ∆==⨯⨯-=-⋅……………………………………12分∴三棱锥D BCF -的体积()f x =13BFC S DH ∆⋅13BFC S AE ∆=⋅2128(82)333x x x x =-=-+………………14分19、解：()1∵数列是首项为,公差为的等差数列()11n n =+-=∴2n S n =……………………………………2分 当1n =时，111a S ==当n ≥2时，1n n n a S S -=-()221n n =--21n =- 又11a =适合上式∴21n a n =-……………………………………4分()2nb ====12= ……………………………………6分∴1ni i b =∑12n b b b =+++11112222⎛=+++- ⎝⎝ 112⎛=⎝=……………………………………8分故要使不等式1ni i b =∑≥对任意n ∈N 都成立≥对任意n ∈N 都成立得L ≤=对任意n ∈N 都成立…………………10分令n c =11n nc c +==>. ∴1n n c c +>∴11n n c c c ->>>=12分∴L ≤∴实数L的取值范围为⎛-∞⎝……………………………………14分 20、解：()1由已知得c a =，a ∴=，b ∴== 又椭圆过点,1⎫⎪⎪⎭，代入椭圆方程得2221132c c ⎝⎭+=，解得1,,,c a b =∴==∴所求椭圆的标准方程为22132x y +=……………4分由已知抛物线()2:20y px p Γ=>的焦点与椭圆的一个焦点重合1,2p∴=∴抛物线Γ的标准方程为24y x =……………………………7分 ()2假设存在满足题设条件的直线由题意知直线的斜率不为0，设直线的方程为1x ty =+ 设()()1122,,,A x y B x y ．把1x ty =+代入椭圆方程得()221132ty y +=+，整理得()2223440ty ty ++-=……………………………………………………10分由韦达定理得122423ty y t +=-+()()2121222462232311t x x y y t t t t +++=∴+=-+=++ 2264,2323t P t t ⎛⎫ ⎪⎝∴-+⎭+P 在椭圆上，2222642323132t t t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴+=，化简整理得424430t t +-=()()2223210t t ∴+-=21,2t t ∴=∴=当t =P的坐标为3,2⎛- ⎝0y -=当t =时，点P 的坐标为3,2⎛ ⎝，直线的方程为0y +=……14分21、解：()1因为32()f x x ax b =-++ 所以22()3233a f x x ax x x ⎛⎫'=-+=-- ⎪⎝⎭………1分 当0a =时，()0f x '≤，函数()f x 没有单调递增区间……………………………2分当0a >时，令()0f x '>，得203a x << 故()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭……3分 当0a <时，令()0f x '>，得203a x << 故()f x 的单调递增区间为2,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭……4分 综上所述，当0a =时，函数()f x 没有单调递增区间；当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间为2,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭………5分 ()2由()1知，[]3,4a ∈时，()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为(),0-∞和2,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭…………………………………6分 所以函数()f x 在0x =处取得极小值()0f b =……………………………………7分函数()f x 在23ax =处取得极大值324327a a fb ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭………………………………8分 由于对任意[]3,4a ∈，函数()f x 在R 上都有三个零点所以()00,20.3f a f <⎧⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩即30,40.27b a b <⎧⎪⎨+>⎪⎩……………………………………………10分 解得34027a b -<<………………………………………………………………11分因为对任意[]3,4a ∈，3427a b >-恒成立 所以33max44342727a b ⎛⎫⨯>-=-=- ⎪⎝⎭………13分 所以实数b 的取值范围是()4,0-……………………………………………14分。
广东省汕头市2015届高三毕业班教学质量监测数学文试题Word版含答案
汕头市 2015 年一般高中毕业班教课质量监测文科数学参照公式： 锥体体积公式为 V1Sh ，此中 S 为锥体的底面积、 h 为锥体的高；3球的表面积公式为 S 4 R 2 ，此中 R 为球的半径； 方差公式为 s 21x 1 x2x 2 x2x n x2．n一、选择题（本大题共 10 小题，每题 5 分，满分 50 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的． ）1、会合1,0,1 ，的子集中，含有元素 0 的子集共有（ ）A ．8 个B ．4 个C ．3个D ．2 个2、复数2的实部与虚部之和为（）A ． 1 1 iB ． 2C ． 1D ． 03、如图是某几何体的三视图，此中正视图和侧视图是半径为的半圆，1俯视图是个圆，则该几何体的全面积为（ ）A ．B ． 2C ． 3D ． 4x y 24、已知实数 x ， y 知足不等式组 xy 4 ，则 z2x y 的最小值x2是（ ）A ． 2r B ． 4C ． 6rrD ． 7rrrr2 r r 、已知平面向量a ，b 知足 a3 ，b，且a ba ，则 a 与 b5的夹角为（ ）A ．B ．C ．2D ．563366、设 l ， m 是两条不一样直线， ， 是两个不一样平面，则以下命题中 正确的选项是（ ） A ．若 l // ， I m ，则 l //m B ．若 l // ， m l ，则 m C ．若 l // ， m// ，则 l //mD ．若 l， l // ，则7、如图，在程序框图中，若输入 n 3 ，则输出 k 的值是（ ） A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5 8、以下说法中，正确的选项是（ ） A ．命题“若 am 2 bm 2 ，则 a b ”的抗命题是真命题B ．命题“ x R ， x 2 x 0 ”的否认是“ x R ， x 2 x 0 ”C ．命题“ p 或 q ”为真命题，则命题“ p ”和命题“ q ”均为真命题D ．已知 x R ，则“ x 1 ”是“ x 2 ”的充足不用要条件- 1 -9、设函数 f x sin 2x6，则以下结论正确的选项是（）A ． f x 的图象对于直线 x对称3B ． f x 的图象对于点,0 对称6C ． f x 的最小正周期为，且在 0,上为增函数12D ．把 fx 的图象向右平移个单位，获得一个偶函数的图象1210、设 f x 与 g x 是定义在同一区间a,b 上的两个函数，若函数 y f x g x在 x a, b 上有两个不一样的零点，则称f x 和g x 在 a,b 上是“关系函数”，区 间 a, b 称为“关系区间”．若 f x x 2 3x 4与 g x2xm 在 0,3 上是“关系函数”，则 m 的取值范围为（ ）A ．9 , 2 B ．1,0C ．, 24D ．9,4二、填空题（本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每题 5 分，满分 20 分．）（一）必做题（ 11～ 13 题）11、为了认识某地域高三学生的身体发育状况，抽查了该地域 100 名年纪为 17.5 岁 : 18 岁的男生体重（ kg ），获得频次散布直方图如右图：依据右图可得这 100名学生中体重在60.5,64.5 的学生人数是．12、已知 C 中，角 ， ，C 所对的边分别是 a ，b ，c ，60o ， c 2 ，且C 的面积为3 ， 则 a 边的长为2．13、已知函数 f x mx 2nx 2（ m0 ， n0 ）的一个零点是 2 ，则 12的最 小值为 ．m n（二）选做题（ 14、 15 题，考生只好从中选做一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 x t3（参数 t R ），圆的参数方程为 x 2cos（参 y 3 ty 2sin1数0,2 ），则圆心到直线 l 的距离为 ．15、（几何证明选讲选做题） 如图，在 C 中， D // C ， DF// C ，2 ， C 1 ， C 4，则 F ．三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算- 2 -步骤．）16、（本小题满分 12 分）已知等差数列 a n 知足 a 2 3 ， a 3 a 4 12 ．1 求 a n 的通项公式；2 设 b n 2a n 1 ，求数列 b n 的前 n 项和n ．17、（本小题满分 12 分）以下茎叶图记录了甲组 3 名同学寒假假期中去图书室 学习的次数和乙组 4 名同学寒假假期中去图书室 学习的次数，乙组记录中有一个数据模糊，没法确认，在图中以 x 表示． 1 假如 x 6 ，求乙组同学去图书室学习次数的均匀数和方差；2 假如 x 7 ，从学习次数大于 7 的学生中选两名同学，求选出的两名同学恰巧分别在不一样组且这两名同学学习的次数之和不小于 20 的概率．（、本小题满分分）已知向量rrr r14 a ，sin 2x, 3，函数 f x a b ． 18 1,cos2 x b1 若 x r3 ，求 a ；2 若 f226，求 f5 的值；3 5123 若 x0,，求函数 fx 的值域．219、（本小题满分 14 分）如图，已知 F 平面 CD ，四边形 F 为矩形，四 边形 CD 为直角梯形， D 90o ， //CD ， D F CD 2 ， 4 ． 1 求证： F//平面 C ；2求证：C 平面 C ；3 求三棱锥CF 的体积．20、（本小题满分 14 分）设函数 g x 1 x33线 2x y 0 ．记g x的导函数为 f x ．1 求函数 f x 的分析式；2 记正项数列a n的前n项和为S n，且n ax2的图象在 x 1 处的切线平行于直， S n1f a n，求 a n；23 对于数列 b知足： b1， b f b ，当 n 2 ，n时，求证：n12n 1n1112．11 b2 1 b n1 b121、（本小题满分 14 分）已知函数 f x12ax （a0 ）．2 a ln xx1当 a0 时，求 f x的极值；2当 a0 时，议论 f x 的单一性；3若 a3, 2 ，x1， x2 1,3 ，有 m ln3 a 2ln3 f x1 f x2，务实数m的取值范围．汕头市 2015 届高三教课质量监控测评文科数学参照答案一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分.在每题的4 个选项中 , 只有一项为哪一项切合题目要求的 .题次12345678910答案B B C B A D C B C A 二、填空：本大共5小 ,考生作答４小，每小 5 分,共 20分 .11. 2412.313. 814.524 215.3三、解答：本大共6小 , 共 80 分 . 解答写出文字明、明程或演算步.16.解：【答案】解 :(1) 等差数列a n的公差d . 由意知a1d3⋯⋯ 2 分（每式 1 分）a12d a13d12解得 , a11, d 2 ⋯⋯ 4 分（每式 1 分）∴ a n2n 1 ( n N )⋯⋯6分(2) 由意知 ,b n2a n 122n( n N),⋯⋯7 分T n22 2 42622n4(14n )⋯⋯10 分144 (4n1) ⋯⋯12 分317. 解 (1) 当x=6 , 由茎叶可知 , 乙同学去学次数是:6,7,8,11 , ⋯⋯ 1 分_67811所以均匀数x 2 分48 ⋯⋯17方差s2[( 68) 2(78)2(88)2(118)2 ]⋯⋯ 5分42（列式 2 分，答案 1 分）(2)甲中学次数大于 7 的同学有 3 名， A1,A 2 ,A 3, 他去学次数挨次 9,11,12;乙中学次数大于7 的同学有 2 名，B1,B 2, 他去学次数挨次8,11 ;⋯⋯6分从学次数大于7 的学生中两名学生, 全部可能的果有10 个 , 它是 :A1A2,A 1A3,A 1B1,A 1B2,A 2A3,A 2B1,A 2B2,A 3B1,A 3B2,B 1 B2⋯⋯8分用事件 C 表示 : “ 出的两名同学恰巧分在不一样且两名同学学的次数之和不小于20” 一事件 , C 中的果有 4 个 , 它是 :A 1B2,A 2B2,A 3B1,A 3B2,⋯⋯10 分故依据古典概型，出的两名同学恰巧分在不一样且两名同学学的次数之和不小于20的概率42⋯⋯12 分P(C)51018. 解：（1）a (1, cos 2)(1,1) ，⋯⋯1 分32| a |12( 1)25 ⋯⋯ 2分22（ 2） f ( x)sin 2x 3 cos2x 2 sin(2x) ⋯⋯ 3 分22 3f (2 sin[2()] 2sin() ⋯⋯4分)323232 sin6sin3 5 分5，⋯⋯ 5所以，f (5 ) 2sin[ 2(5 ) ] 2 sin(2 )⋯⋯6分2 cos2 ⋯⋯７分1212 322(1 2 sin 2 ) ⋯⋯8 分2[1 2( 3)2 ] 14 ⋯⋯ 9 分5 25 , 2（ 3）x [0, ]2x 3 [ 3 ] ⋯⋯10 分23sin( 2x) [ 3 ,1]⋯⋯ 12 分23f ( x) [ 3,2] ，⋯⋯13 分即 f (x) 的 域是 [3,2] ．⋯⋯14 分19． 解：（1）因 四 形ABEF 矩形，所以 AF // BE,BE平面 BCE ， AF平面 BCE ，所以 AF // 平面 BCE ．⋯⋯ 3 分（２）C 作CM AB ，垂足 M ，因 ADDC , 所以四 形ADCM 矩形．FEAMBDC所以 AM MB2 ，又因 AD2, AB4所以 AC2 2，CM2，BC 2 2所以 AC 2BC 2AB 2 ，所以 ACBC ；⋯⋯5 分因 AF平面 ABCD ， AF // BE, 所以 BE 平面 ABCD ，所以 BE AC ，⋯⋯7分又因 BE平面 BCE ， BC 平面 BCE ， BE BCB所以AC平面 BCE ．⋯⋯9 分（３）因AF平面 ABCD ， 所以 AF CM ，⋯⋯10 分广东省汕头市2015届高三毕业班教学质量监测数学文试题Word 版含答案又因CMAB ， AF平面 ABEF ， AB平面 ABEF ， AFABA所以 CM平面 ABEF ．⋯⋯12 分VE BCFV C BEF⋯113 分CM1 1 BE EF CM1 483 S BEF3 2221S BEF CM1 118⋯14分6FBE EF CM 2 4 23326320. 解 : （ 1）∵函数 g( x) 1 x 3 ax 2 的 函数f ( x)x 2 2ax ，⋯⋯ 1分3因为在 x 1 的切 平行于 2 x y 0 ，∴ 1 2a2解出： a1 ⋯⋯2 分2x 2即 f ( x) x ⋯⋯ 3 分 （ 2） S n1(a n 2 a n )21n 1, a 1 S 1(a 1 2 a 1 ) ，得 a 11 或 a 10 （舍去）⋯⋯ 4 分2n 2, S n 12a n 1 )1(a n 121[( a nS n S n 12 an 1 2 )( a n a n1 )] ，⋯⋯ 5 分2即有 2a n(a n 2 a n 1 2 ) (a na n 1 )(a na n 1 )( a n a n 11) 0⋯⋯6分因 a n0 ，故 a na n 1 1⋯⋯7分所以数列 { a n } 是首1，公差1 的等差数列，a n 1 (n 1)n⋯⋯8分(3)∵b n 1b n (b n 1)∴ 11 1 1 ，⋯⋯ 9分即有11 1 ⋯10 分b n 1b n (b n 1) b n 1 b n1 b n b n b n 1∴11 1 , 1 1 1 , 1 11, ．．．，1 1 1,1 b 1b 1 b 2 1 b 2b 2 b 3 1 b 3 b 3 b 4 1 b n b n bn 1∴T n1 1 ...1 1 1 1 1 ...1 1211 b 1 1 b2 1 b n b 1 b 2 b 2b 3bn 1⋯11 分b nbn 12 ⋯⋯12 分1 1 1 11而当 n2 时 , T n...⋯13 分1 b 11 b2 1 b n1 b 1 1 b 22 4 26 137211 1 1∴ 1...2⋯14分1 b 1 1b 21b n21. 解：（ 1）当 a0 ， fx2ln x1, f x2 1 2x 1 ( x 0).⋯⋯ 2 分 xx x 2 x 2（求 1 分、 出定 域1 分）广东省汕头市2015届高三毕业班教学质量监测数学文试题Word 版含答案由 f x2x 11x 20 , 解得 x.2∴ fx 在 0, 1 上是减函数，在1 , 上是增函数 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分22∴ f x的极小 f1 22ln 2 ，无极大 . ⋯⋯⋯⋯4 分2（ 2） f x2 a 1 2a2ax 22 a x 1 ax 1 2x1(x 0) .⋯6 分xx2x2x2① 当2 a0 ， fx 在0,1和1 , 上是减函数，在1 , 1 上是增函2a2a数；⋯⋯⋯ 7 分②当 a2 ， f x 在 0, 上是减函数；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分③当 a2 ， fx 在 1,和0,1 上是减函数，在 1 , 1 上是增函数 .9 分2a a 2（ 3）当 3 a2 ，由（ 2）可知 fx 在 1,3 上是减函数，⋯10 分∴ fx 1f x 2f1 f 32 4aa 2 ln 3 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分3由 m ln3 a 2ln3 f x 1 f x 2 随意的 a 3, 2 , x 1 , x 21,3 恒建立，∴ m ln3 a 2ln3fx 1f x 2 max⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分即 mln 3 a 2ln 3 2 4aa2 ln3 随意3 a2 恒建立，32即 m4随意 3 a 2 恒建立，⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分3a因为当 3 a2 ，13 2 38，∴ m13 349.⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分3a3。
广东省汕头市2014至2015学年度第二学期期末质量监测高二文数试题
绝密★启用前试卷类型：A汕头市2014~2015学年度普通高中教学质量监测高二数学(文科)本试卷共4页，24小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．参考公式：锥体体积公式为Sh V 31=，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高；球的表面积公式为24R S π=，体积公式为334R V π=，其中R为球的半径；方差公式：])()()[(12_2_22_12x x x x x x n s n -++-+-=一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合}1|{->=x x A ，}32|{<<-=x x B ，则=B AA ． }1|{->x xB ．}31|{<<-x x C． }2|{->x x D ．}32|{<<-x x2．复数=+ii215 A ．i +2B．i +-2 C ．i 21- D ．i 21+3．设n S 为正项．．等比数列}{n a 的前n项和，且431=-a a ，则=13a S A ．3B．7C．47D ．3或74．设变量yx ,满足不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥333x y x x y ，则y x z +=的最小值为A ．9-B．6- C ．1-D ．235．函数1sin )(3++=x x x f ，若a f =)1(，则=-)1(fA ． a -B ．C． 2-aD ．a -26．已知向量→a，→b 满足1||=→a ，2||=→b ，且→a，→b 的夹角为60，则=-→→||b aA ．1 B．3 C．2D．77．函数xx y cos 3sin -=的图象的一条对称轴方程是A ．6π=x B ．3π=xC．32π=xD．65π=x 8．若p 是q的充分条件，s 是q的必要条件，那么下列推理一定正确的是A．⇔ B ．s p ⇔C ．⇒sD．⇒9．若如右框图所给的程序运行结果为28=S ，那么判断框中应填入的条件是(第9题图)A．?7<k B ．?7≤k C ．?7>k D ．?7≥k10．如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A．34B ．38C ．316D ．811．双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by ax C 的左右焦点分别是1F ，2F ，过2F 作直线212F F PF ⊥，交双曲线C 于P，若21F PF ∆为等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为A ．12- B ．2 C ．12+ D ．22+12．已知函数)(x f 定义域为R ，对任意的R x ∈都有)2()(+=x f x f ，且当1<<-x 时，1)21()(-=x x f ，当10≤≤x 时，xx f =)(，则函数xx f x g 5log )()(-=的零点个数为A． 3B ． 4C． 5D ．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．从1，2，3，4中任意选取两个不同的数，其和为3的倍数的概率是_____________．14．用一个平面截其球体得到直径为4的圆，且球心到这个平面的距离是2，则该球的表面积是_____________．15．在ABC∆中，A ∠为锐角，且2=AB ，6=AC ，23=∆ABC S ，则BC =________．16．抛物线)0(22>=p px y 上一点)0)(,1(>m m M 到其焦点F的距离为4，则OMF ∆(O为原点)的面积为_____________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知n S 是等差数列}{n a 的前n项和，且满足93=S ，74=a ．(1)求}{n a 的通项公式；(2)设11+=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n项和nT ．18．(本小题满分12分)某班级从甲乙两位同学选派一人参加数学竞赛，老师对他们平时的10次模拟测试成绩(单位：分)进行了记录如下：甲：79 83 96 89 86 78 85 95 82 87乙：81 95 83 76 91 86 96 77 82 93(1)用茎叶图表示这两组数据，并分别求出这两组数据的中位数；(2)分别计算这两组数据的平均数和方差，并根据你的计算结果，判断选派哪位学生参加合适？19．(本小题满分12分)如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，41====AA AC BC AB ，点F在1CC 上，且FCF C 31=，E 是BC的中点．(1)求证：AE ⊥平面BCC 1B 1(2)求四棱锥FEC B A 11-的体积；(3)证明：AFE B ⊥1．20．(本小题满分12分)高中数学打印版已知函数xa x a x x f -+-=ln )2(2)(．(1)当=a 时，求函数)(x f 在1=x 处的切线方程；(2)当0>a 时，求函数)(x f 的极值．21．(本小题满分12分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为23，长轴长为24． (1)求椭圆C的方程；(2)直线2:=x l 与椭圆C交于两点P、Q，其中P在第一象限，A、B是椭圆上位于直线l两侧的两个动点，满足BPQAPQ ∠=∠，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．选做题：请考生在第22~24三题中任选一题作答．22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲．如图，圆O的半径为2，P是圆O的直径AB延长线上的一点，BP =1，割线PCD交圆O于C、D两点，过P作APFP ⊥，交直线AC于点E ，交直线AD于点F．(1)求证：PDF PEC ∠=∠；(2)求PFPE ⋅的值．23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程．在极坐标系中，圆C的方程为θρcos 4=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为⎩⎨⎧+=+=3433t y t x (t 为参数)．(1)写出圆C的直角坐标方程以及直线l的普通方程；(2)求直线l 被圆C所截得的弦长．24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲．设函数|42|)(-=x x f ，|1|)(+=x x g ．(1)解不等式：)()(x g x f >；(2)当]3,0[∈x ，求函数)()(x g x f y +=的最大值．汕头市2015年普通高中高二教学质量监控测评试题数学（文科）答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共做4小题，每小题5分，共20分）13.3114.π32 15.2 16.33 三、解答题：本大题共6题，满分70分.17.（本小题满分12分）解：（1）依题意有3213a a a S ++=9331=+=d a ， (1)分7314=+=d a a (2)分解得11=a ，2=d ……….3分d n a a n )1(1-+=……….4分122)1(1-=⨯-+=n n ……….5分（2）)12)(12(1+-=n n b n ……….6分)121121(21+--=n n ……….7分n n b b b T +++=...21=)]121121(...)7151()5131()311[(21+--++-+-+-n n . (9)分)1211(21+-=n ……….11分12+=n n ……….12分18. （本小题满分12分）解：（1）甲组中位数为5.8528685=+…1分乙组中位数为5.8428683=+……….2分 (4)分题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CABBDBDDCBCB（2））（甲87829585788689968379101+++++++++=-x 86=……….5分）（乙93827796869176839581101+++++++++=-x 86=………6分])8687()8682()8695()8685()8678()8686()8689()8696()8683()8679[(10122222222222-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=甲s ……….7分33=………8分])8693()8682()8677()8696()8686()8691()8676()8683()8695()8681[(10122222222222-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=乙s ……….9分6.48=……….10分乙甲--=x x ，22乙甲s s <，即甲、乙的平均水平相同，而甲相对乙更为稳定……….11分所以选派甲参加竞赛. ……….12分19. （本小题满分12分）（1）解：AC AB = ，E 是BC的中点BC AE ⊥∴……….1分在三棱柱111C B A ABC -中，11//AA BB⊥∴1BB 平面ABC⊂AE 平面ABC AE BB ⊥∴1……….2分又B BC BB = 1，……….3分1BB ，⊂BC 平面C C BB 11⊥∴AE 平面C C BB 11……….4分（2）由（1）知，即AE为四棱锥FEC B A 11-的高在正三角形ABC中，3223==AB AE …5分在正方形CC BB 11中，2==BE CE ，1=CFCEF E BB C C FE C S S S S ∆∆--=∴11111BB B 正方形四边形1221422144⨯⨯-⨯⨯-⨯=11= (6)分AE S V FE C FE C B A ⋅=∴-1111B 31四边形四棱锥3322321131=⨯⨯=………7分（3）证明：连结F B 1，由（1）得⊥AE 平面C C BB 11 ⊂E B 1平面C C BB 11，E B AE 1⊥∴……….8分在正方形CC BB 11中，5212111=+=F C C B F B ，522121=+=BB BE E B522=+=CF CE EF 22121EF E B F B +=EF E B ⊥∴1 (9)分又E EF AE = ， (10)分AE ，⊂EF 平面AEF ⊥∴E B 1平面AEF ……….11分⊂AF 平面AEFAF E B ⊥∴1.……….12分20.（本小题满分12分）解：（1）=a 时，x x x f ln 22)(-=，xx f 22)('-=，……….1分函数)(x f 在1=x 处的切线斜率为0)1('=f ，………2分又2)1(=f ， (3)分故切线的方程为02=-y ，即2=y .……….4分（2）函数)(x f 的定义域为),0(+∞ (5)分222)('xax a x f ++-=222)1)(2()2(2x x a x x a x a x --=++-=……….6分令0)('=x f ，得1=x 或2ax =……….7分①当120<<a ，即20<<a 时，由0)('<x f ，得到)1,2(ax ∈，由)('>x f ，得到),1()2,0(+∞∈ ax 即)(x f 的单调增区间是),1(),2,0(+∞a ，单调减区间是)1,2(a………8分所以，)(x f 的极大值为22ln )2()2(-+-=aa a a f ，极小值为a f -=2)1(……….9分②当12>a ，即2>a 时，由0)('<x f ，得到)2,1(ax ∈，由)('>x f ，得到),2()1,0(+∞∈ax 即)(x f 的单调增区间是),2(),1,0(+∞a ，单调减区间是)2,1(a……….10分 所以，)(x f 的极大值为a f -=2)1(，极小值为22ln )2()2(-+-=aa a a f ……….11分③当2=a 时，0)1(2)('22≥-=x x x f ，故)(x f 在),0(+∞单调递增，所以此时)(x f 没有极值. ……….12分21. （本小题满分12分）解：（1）依题意有23=a c ，……….1分242=a ， (2)分则有6,22==c a ，因此222=-=c a b ，………3分∴椭圆C的方程为12822=+y x ………4分（2）令2=x ，得1±=y ，即)1,2(P ，)1,2(-Q (5)分BPQ APQ ∠=∠ ，∴直线PA 的倾斜角与直线PB的倾斜角互补，……….6分直线PA的斜率显然存在. 设直线PA 的斜率为k ，则直线PB的斜率为k -，设),(11y x A ，),(22y x B ，直线PA 的方程为)2(1-=-x k y ，即12+-=k kx y ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=1281222y x k kx y 得到041616)21(8)41(222=--+-++k k x k k x k ……….7分1,2x 是该方程的两个实根，∴22141416162k k k x +--=，……….8分22141288kk k x +--=……….9分同理，直线PB 的方程为12++-=k kx y ，且22241288kk k x +-+=……….10分所以，222141416k k x x +-=+，2214116k kx x +-=- 直线AB的斜率为21212121)12()12(x x k kx k kx x x y y -++--+-=--21214)(x x kx x k --+=……….11分211684116441416223=--=+--+-=k k k k k k kk (12)分22.（本小题满分10分）（1）证明：连结BD，则90=∠BDA ………1分CAB CDB ∠=∠ ………2分CAB PEC ∠-=∠ 90，………3分CDB PDF ∠-=∠ 90………4分 PDF PEC ∠=∠∴………5分（2）解：由（1）得PDF PEC ∠=∠，所以FE C D ,,,四点共圆，………7分PD PC PF PE ⋅=⋅∴………8分PA PB ⋅=.........9分 5)41(1=+⨯= (10)分23.（本小题满分10分）解：（1）θρρcos 42=， (1)分xy x 422=+，………2分即圆C的直角坐标方程为：4)2(22=+-y x (3)分对于直线l ，将33-=x t ………4分代入第二个方程可得134-=x y ，即直线l 的普通方程为：0334=--y x (5)分（2）由（1）得圆C的圆心)0,2(C ，半径2=r ，………6分点C 到直线l的距离22)3(4|30324|-+-⨯-⨯=d ………7分155==，………8分∴直线l 被圆C所截得的弦长为222d r - (9)分3212222=-= (10)分24.（本小题满分10分）解：（1）|1||42|+>-x x 22)1()42(+>-⇔x x (1)分0)5)(33(>--⇔x x (2)分1<⇔x 或5>x ， (3)分，即不等式的解集为}5x 1|{><或x x .……4分（2）]3,0[∈x 时，01>+x ，1|42||1||42|++-=++-=x x x x y ……5分当20≤≤x 时，x x x y -=++-=5124 在]2,0[上递减，…6分,故当=x 时，5m ax =y ……7分当32≤<x 时，33142-=++-=x x x y 在]3,2(上递增……8分，故当3=x 时，6m ax =y (9)分综上，当3=x 时，y 的最大值为6 (10)分。
2015届汕头一模文科数学试题及答案-推荐下载
x
z
D．若 l ， l// ，则
C． 4
-1-
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
广东省汕头市六都中学2015届高三5月高考模拟考试文科数学试题及答案
f / (1) 1，
(2) 若数列 { bn } 满足 an log 3 n log 3 bn 求数列 { bn} 的前 n 项和．
20.（ 14 分）已知函数 f (x)
1 x3
1 (2
a) x2
(1 a) x( a
0).
32
（ I ）求 f ( x) 的单调区间；
（ II ）若 f (x) 在上单调递增，求 a 的取值范围。
1.设集合 M ={x|(x+3)(x-2)<0} ， N ={x|1 ≤ x≤则3},M∩ N = （
）
A.
C.( 2,3]
D.
2. 在复平面内，复数 1 2i 对应的点位于（
）
1i
A ．第一象限
B ．第二象限
C．第三象限
1
2
4
3. 设 a log1 , b log1 , c log3 ,则 a, b, c 的大小关系是 (
A
c o s s i 的n 距离为 2
．
15．（ 几何证明选讲选做题 ）如图所示， AB 与 CD 是 O
径， AB CD ，P 是 AB 延长线上一点， 连 PC 交 O
E ， 连 DE 交 AB 于 点 F ， 若 AB 2BP 4 ， 则
PF
．
FB O
E C
直线 P
的直 于点
三、解答题： (本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
21.（ 14 分）已知 A（－ 2， 0）， B （2， 0），动点 P 与 A 、 B 两点连线的斜率分别为 k PA 和 kPB ，
且满足 kPA ·kPB =t (t ≠且０t ≠－ 1).
二模文科数学试题及答案.docx
鑫达捷试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2015.4本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 台体的体积公式()11223hV S S S S =++，其中1S ，2S 分别是台体的上，下底面积，h 是台体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin 240o 的值为A ．32 B ．12 C ．12- D ．32- 2．已知函数()3xf x =()x ∈R 的反函数为()g x ，则12g ⎛⎫=⎪⎝⎭A ．3log 2-B ．3log 2C ．2log 3-D ．2log 33．已知双曲线C ：22214x y b-=经过点()4,3，则双曲线C 的离心率为 A ．12B ．32C ．72D ．1324．执行如图1所示的程序框图，则输出的z 的值是鑫达捷A ．21B ．32C ．34D ．645．已知命题p ：x ∀∈R ，20x >，命题q ：,αβ∃∈R ，使()tan tan tan αβαβ+=+，则下列命 题为真命题的是A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝ 6．设集合{}22A x a x a =-<<+，{}2450B x x x =--<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为 A ．[]1,3 B ．()1,3 C ．[]3,1--D ．()3,1--7．已知数列{}n a 满足13a =，且143n n a a +=+()*n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式为 A ．2121n -+ B ．2121n -- C ．221n + D ．221n -8．已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为A ．425B ．12C ．23 D ．19．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =， 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是A ．13B ．7C ．433 D ．33210．设函数()3233f x x ax bx =++有两个极值点12x x 、，且[]11,0x ∈-，[]21,2x ∈，则点(),a b 在aOb平面上所构成区域的面积为 A ．14 B ．12 C ．34D ．1 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题） 11．已知i 为虚数单位，复数1iiz -=，则z = ． 12．已知向量(),1x =a ，()2,y =b ，若()1,1=-a +b ，则x y += ．13．某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y ()km 与刹车时的速度x ()km/h 的关系可以用2y ax =来描述，已知这种型号的汽车在速度为60km/h 时，紧急刹车后滑行的距离为b ()km ．一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b ()km ，则这辆车的行驶速度为 km/h ． （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）BACDEFG图3鑫达捷14．（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点，AE 与BC 的延长线交于点F ，且AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥， 垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为 ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和24,2x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有 个．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值；（2）若△ABC 外接圆的半径为14，求△ABC 的面积． 17．（本小题满分12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了100份，统计结果如下面的图表所示．年龄 分组 抽取份数 答对全卷 的人数 答对全卷的人数 占本组的概率[20,30) 4028 0.7 [30,40) n27 0.9[40,50) 10 4b[50,60]20a0.1（1）分别求出n ，a ，b ，c 的值；（2）从年龄在[]40,60答对全卷的人中随机抽取2人授予“环保之星”，求年龄在[]50,60的人中至少有1人被授予“环保之星”的概率． 18．（本小题满分14分）如图4，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，M ，N 分别是棱1AA ，AB 上的点，且1AM AN ==． （1）证明：M ，N ，C ，1D 四点共面；C 1 ABA 1B 1D 1C D MN年龄频率/组距 20 30 40 50 600.01c 0.04 0.03 0鑫达捷（2）平面1MNCD 将此正方体分为两部分，求这两部分的体积 之比．19．（本小题满分14分）已知点(),n n n P a b ()n ∈*N在直线l ：31y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}n a 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若(),,n n a n f n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，，是否存在k ∈*N ，使()()34f k f k +=成立？若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x x ax x =++()a ∈R ．（1）若函数()f x 在1x =处的切线平行于x 轴，求实数a 的值，并求此时函数()f x 的极值； （2）求函数()f x 的单调区间． 21．（本小题满分14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2244x y -+=．（1）求圆C 的方程；（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB 的取值范围．2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题，满分50分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C B C A D B B D二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．鑫达捷题号 11 12 13 14 15答案23-603 43 116．（本小题满分12分） 解：（1）因为::7:5:3a b c =，所以可设7a k =，5b k =，3c k =()0k >，…………………………………………………………2分 由余弦定理得，222cos 2b c a A bc +-=()()()222537253k k k k k +-=⨯⨯…………………………………………………………3分 12=-．………………………………………………………………………………………………4分（2）由（1）知，1cos 2A =-，因为A 是△ABC 的内角，所以23sin 1cos 2A A =-=．…………………………………………6分 由正弦定理2sin aR A=，…………………………………………………………………………………7分 得32sin 2141432a R A ==⨯⨯=．…………………………………………………………………8分 由（1）设7a k =，即23k =，所以5103b k ==，363c k ==．………………………………………………………………10分所以1sin 2ABC S bc A ∆=131036322=⨯⨯⨯……………………………………………………11分 453=．所以△ABC 的面积为453．…………………………………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）解：（1）因为抽取总问卷为100份，所以()10040102030n =-++=．………………………………1分年龄在[)40,50中，抽取份数为10份，答对全卷人数为4人，所以4100.4b =÷=．……………2分 年龄在[]50,60中，抽取份数为20份，答对全卷的人数占本组的概率为0.1，所以200.1a ÷=，解得2a =．…………………………………………………………………………3分 根据频率直方分布图，得()0.040.030.01101c +++⨯=，鑫达捷解得0.02c =．……………………………………………………………………………………………4分 （2）因为年龄在[)40,50与[]50,60中答对全卷的人数分别为4人与2人．年龄在[)40,50中答对全卷的4人记为1a ，2a ，3a ，4a ，年龄在[]50,60中答对全卷的2人记为1b ，2b ，则从这6人中随机抽取2人授予“环保之星”奖的所有可能的情况是：()12,a a ，()13,a a ，()14,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()23,a a ，()24,a a ， ()21,a b ，()22,a b ，()34,a a ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ， ()12,b b 共15种．…………………………………………………………………………………8分其中所抽取年龄在[]50,60的人中至少有1人被授予“环保之星”的情况是：()11,a b ，()12,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ，()12,b b 共9种.……………………………………11分故所求的概率为53159=. ………………………………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分） （1）证明：连接1A B ，在四边形11A BCD 中，11A D BC P 且11A D BC =， 所以四边形11A BCD 是平行四边形．所以11A B D C P ．…………………………………………2分 在△1ABA 中，1AM AN ==，13AA AB ==，所以1AM ANAA AB=， 所以1MN A B P ．…………………………………………………………………………………………4分 所以1MN D C P ．所以M ，N ，C ，1D 四点共面．………………………………………………………………………6分 （2）解法一：记平面1MNCD 将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ，连接1D A ，1D N ，DN ，则几何体1D AMN -，1D ADN -，1D CDN -均为三棱锥，C 1 ABA 1B 1D 1C DMNC 1 ABA 1B 1D 1 CDMN鑫达捷所以1111D AMN D ADN D CDN V V V V ---=++1111111333AMN ADN CDN S D A S D D S D D ∆∆∆=++g g g ………9分 111319333323232=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯132=．……………………………………………………………………………………………11分从而11111213412722ABCD A B C D AMN DD C V V V --=-=-=，…………………………………………………13分所以121341V V =． 所以平面1MNCD 分此正方体的两部分体积的比为1341．……………………………………………14分 解法二：记平面1MNCD 将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ， 因为平面11ABB A P 平面11DCC D ，所以平面AMN P 平面1DD C ． 延长CN 与DA 相交于点P ， 因为AN DC P ，所以AN PA DC PD =，即133PA PA =+，解得32PA =． 延长1D M 与DA 相交于点Q ，同理可得32QA =．所以点P 与点Q 重合．所以1D M ，DA ，CN 三线相交于一点．所以几何体1AMN DD C -是一个三棱台．……………………………………………………………9分 所以1111199133322222AMN DD CV V -⎛⎫==⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，………………………………………………11分 从而11111213412722ABCD A B C D AMN DD C V V V --=-=-=，…………………………………………………13分 所以121341V V =． 所以平面1MNCD 分此正方体的两部分体积的比为1341．……………………………………………14分 19．（本小题满分14分）鑫达捷解：（1）因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1，所以10a =，11b =．……………………………………………………………………………………2分 因为数列{}n a 是公差为1的等差数列，所以1n a n =-．……………………………………………………………………………………………4分 因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上， 所以31n n b a =+32n =-．所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ．………………………6分 （2）因为()1,32,n n f n n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，，假设存在k ∈*N ，使()()34f k f k +=成立．………………………………………………………7分 ①当k 为奇数时，3k +为偶数， 则有()()33241k k +-=-，解得11k =，符合题意．………………………………………………………………………………10分 ②当k 为偶数时，3k +为奇数， 则有()()31432k k +-=-，解得1011k =，不合题意．………………………………………………………………………………13分 综上可知，存在11k =符合条件．………………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，……………………………………………………………………1分因为()2ln f x x ax x =++，所以()121f x ax x'=++，………………………………………………………………………………2分 依题意有()10f '=，即1210a ++=，解得1a =-．………………………………………………3分此时()()()212121x x x x f x x x--+-++'==，所以当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，鑫达捷所以函数()f x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，………………………………………5分 所以当1x =时，函数()f x 取得极大值，极大值为0．………………………………………………6分（2）因为()121f x ax x'=++221ax x x ++=，（ⅰ）当0a ≥时，………………………………………………………………………………………7分因为()0,x ∈+∞，所以()f x '2210ax x x++=>， 此时函数()f x 在()0,+∞是增函数．……………………………………………………………………9分 （ⅱ）当0a <时，令()0f x '=，则2210ax x ++=． 因为180a ∆=->，此时()f x '()()212221a x x x x ax x x x--++==，其中11184a x a --=-，21184a x a+-=-．因为0a <，所以20x >，又因为12102x x a=<，所以10x <．……………………………………11分 所以当20x x <<时，()0f x '>，当2x x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在()20,x 上是增函数，在()2,x +∞上是减函数．…………………………………13分 综上可知，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间是1180,4a a ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间是118,4a a ⎛⎫+--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．……………………………………14分 21．（本小题满分14分）解：（1）方法一：设圆C 的方程为：()222x a y r -+=()0r >，………………………………………1分因为圆C 过点()0,0和()1,1-，所以()22222,11.a r a r ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩………………………………………………………………………………3分 解得1a =-，1r =．所以圆C 的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分鑫达捷方法二：设()0,0O ，()1,1A -，依题意得，圆C 的圆心为线段OA 的垂直平分线l 与x 轴的交点C ．………………………………1分 因为直线l 的方程为1122y x -=+，即1y x =+，……………………………………………………2分 所以圆心C 的坐标为()1,0-．…………………………………………………………………………3分 所以圆C 的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分 （2）方法一：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分 由圆C 与圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在， 设PA 的方程为：()010y y k x x -=-，PB 的方程为：()020y y k x x -=-， 则点A 的坐标为()0100,y k x -，点B 的坐标为()0200,y k x -， 所以120AB k k x =-，因为PA ，PB 是圆C 的切线，所以1k ，2k 满足00211k y kx k -+-=+，即1k ，2k 是方程()()2220000022110x x k y x k y +-++-=的两根，………………………………7分即()0012200201220021,21.2y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以120AB k k x =-()()220000220000412122y y x x x x x x -+⎡⎤=-⎢⎥++⎣⎦……………………………………………9分 因为()220044y x =--， 所以()02056222x AB x -=+．…………………………………………………………………………10分鑫达捷设()()0020562x f x x -=+，则()()00305222x f x x -+'=+．………………………………………………………………………………11分由026x ≤≤，可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤ ⎥⎝⎦上是减函数，……………………12分 所以()0max 2225564f x f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， ()()(){}min 0131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭， 所以AB 的取值范围为522,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．…………………………………………………………………14分 方法二：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ， 则()220044x y -+=，即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分 设点()0,A a ，()0,B b ，则直线PA ：00y a y a x x --=，即()0000y a x x y ax --+=， 因为直线PA 与圆C 相切，所以()0022001a y ax y a x -+=-+，化简得()2000220x a y a x +--=． ① 同理得()2000220x b y b x +--=， ② 由①②知a ，b 为方程()2000220x x y x x +--=的两根，…………………………………………7分鑫达捷 即00002,2.2y a b x x ab x ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以()24AB a b a b ab =-=+- 200002422y x x x ⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭ ()()2000204422y x x x ++=+．……………………………………………………………………9分 因为()220044y x =--， 所以()02056222x AB x -=+……………………………………………………………………………10分 ()2001652222x x =-+++．………………………………………………………………11分 令012t x =+，因为026x ≤≤，所以1184t ≤≤． 所以222165AB t t =-+252522163264t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，………………………………………12分 当532t =时，max 524AB =， 当14t =时，min 2AB =． 所以AB 的取值范围为522,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．…………………………………………………………………14分。
2015年广东省汕头市高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2015年广东省汕头市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合U＝{1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{2，4}，则B∩（∁U A）＝（）A．{2}B．{4}C．{1，2，4}D．{1，4}2．（5分）已知i是虚数单位，若＝1﹣i，则z的共轭复数为（）A．1﹣2i B．2﹣4i C．﹣2i D．1+2i3．（5分）若，是两个非零的平面向量，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度5．（5分）设{a n}是首项为﹣，公差为d（d≠0）的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则d＝（）A．﹣1B．﹣C．D．6．（5分）已知直线l1：（m﹣1）x+y+2＝0，l2：8x+（m+1）y+（m﹣1）＝0，且l1∥l2，则m＝（）A．B．±3C．3D．﹣37．（5分）设不等式组表示的平面区域为D．在区域D内随机取一个点，则此点到直线y+2＝0的距离大于2的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）程序框图如图所示，若其输出结果是30，则判断框中填写的是（）A．i＜7？B．i＜5？C．i＞7？D．i＞5？9．（5分）已知双曲线＝1的渐近线方程为y＝±，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）设集合M＝{（x，y）|F（x，y）＝0}为平面直角坐标系xOy内的点集，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＜0，则称点集M满足性质P．给出下列四个点集：①R＝{（x，y）|sin x﹣y+1＝0}②S＝{（x，y）|lnx﹣y＝0}③T＝{（x，y）|x2+y2﹣1＝0}④W＝{（x，y）|xy﹣1＝0}其中所有满足性质P的点集的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．②④二、填空题（本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．）（一）必做题（11～13题）11．（5分）函数的定义域是．12．（5分）如图是甲、乙两名篮球运动员2012年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是．13．（5分）若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做14．（5分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数）．以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的极坐标方程是．（几何证明选讲选做题）15．已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB＝6，P A＝4，OP＝3，则⊙O的半径R ＝．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）已知函数（x∈R）的图象经过点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设α，，，，求cos（α﹣β）的值．17．（12分）我省城乡居民社会养老保险个人年缴费分100，200，300，400，500，600，700，800，900，1000（单位：元）十个档次，某社区随机抽取了72名居民，按缴费在100～500元，600～1000元，以及年龄在20～39岁，40～59岁之间进行了统计，相关数据如下：（1）用分层抽样的方法在缴费100～500元之间的居民中随机抽取6人，则年龄在20～39岁之间应抽取几人？（2）在缴费100～500元之间抽取的6人中，随机选取2人进行到户走访，求这2人的年龄都在40～59岁之间的概率．18．（14分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，AB＝2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF＝CF，点G为BC的中点．（1）求证：直线OG∥平面EFCD；（2）求证：直线AC⊥平面ODE．19．（14分）已知数列{a n}满足，．（1）设，求证：数列{b n}为等差数列；（2）求证：．20．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，左顶点A与上顶点B的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过原点O的动直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P、Q两点，直线P A、QA分别与y轴交于M、N两点，问以MN为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．21．（14分）已知函数，a∈R．（1）若函数f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线x+9y＝0垂直，求实数a的值；（2）若函数f（x）在x∈（0，4）内存在最小值1，求实数a的值．2015年广东省汕头市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合U＝{1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{2，4}，则B∩（∁U A）＝（）A．{2}B．{4}C．{1，2，4}D．{1，4}【解答】解：根据题意，集合U＝{1，2，3，4}，A＝{1，2}，则∁U A＝{3，4}，又由B＝{2，4}，则（∁U A）∩B＝{4}；故选：B．2．（5分）已知i是虚数单位，若＝1﹣i，则z的共轭复数为（）A．1﹣2i B．2﹣4i C．﹣2i D．1+2i【解答】解：∵＝1﹣i，∴＝＝＝1+2i．∴＝1﹣2i．故选：A．3．（5分）若，是两个非零的平面向量，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若，则，即，则“”是“”的充要条件，故选：C．4．（5分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【解答】解：把函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝sin2（x﹣）＝sin（2x﹣）的图象，故选：D．5．（5分）设{a n}是首项为﹣，公差为d（d≠0）的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则d＝（）A．﹣1B．﹣C．D．【解答】解：∵，S2＝2a1+d＝d﹣1，S4＝4a1+6d＝6d﹣2，且S1，S2，S4成等比数列，则，解得：d＝﹣1或d＝0（舍）．故选：A．6．（5分）已知直线l1：（m﹣1）x+y+2＝0，l2：8x+（m+1）y+（m﹣1）＝0，且l1∥l2，则m＝（）A．B．±3C．3D．﹣3【解答】解：根据直线l1：（m﹣1）x+y+2＝0，l2：8x+（m+1）y+（m﹣1）＝0，且l1∥l2，可得＝≠，求得m＝3，故选：C．7．（5分）设不等式组表示的平面区域为D．在区域D内随机取一个点，则此点到直线y+2＝0的距离大于2的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：区域D：表示三角形ABC，（如图）其中O为坐标原点，A（4，3），B（﹣6，﹣2），C（4，﹣2），D（﹣2，0），E（4，0）因此在区域D内随机取一个点P，则P点到直线y+2＝0的距离大于2时，点P位于图中三角形ADE内，如图中的阴影部分∵S三角形ADE＝•6•3＝9，S三角形ABC＝•10•5＝25，∴所求概率为P＝＝故选：D．8．（5分）程序框图如图所示，若其输出结果是30，则判断框中填写的是（）A．i＜7？B．i＜5？C．i＞7？D．i＞5？【解答】解：模拟执行程序框图，可得i＝1，s＝0满足条件，s＝s+i2＝1，i＝i+1＝2满足条件，s＝s+i2＝5，i＝i+1＝3满足条件，s＝s+i2＝14，i＝i+1＝4满足条件，s＝s+i2＝30，i＝i+1＝5由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出s的值为30．则判断框中填写的应该是i＜5？故选：B．9．（5分）已知双曲线＝1的渐近线方程为y＝±，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线＝1的渐近线方程为y＝x，则＝，即，∴a＝3，半焦距，∴，故选：D．10．（5分）设集合M＝{（x，y）|F（x，y）＝0}为平面直角坐标系xOy内的点集，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＜0，则称点集M满足性质P．给出下列四个点集：①R＝{（x，y）|sin x﹣y+1＝0}②S＝{（x，y）|lnx﹣y＝0}③T＝{（x，y）|x2+y2﹣1＝0}④W＝{（x，y）|xy﹣1＝0}其中所有满足性质P的点集的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．②④【解答】解：①取（0，1）∈R，则不存在（x2，sin x2+1）∈R，满足0•x2+1•（sin x2+1）＝sin x2+1＜0，因此R不满足性质；②取（1，0）∈S，则不存在（x2，lnx2）∈S（x2＞0），满足1•x2+0•lnx2＜0，因此S不满足性质P；③∀（cosθ1，sinθ1）∈T，假设θ1∈[0，2π），则存在（cosθ2，sinθ2）∈T，满足cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2＝cos（θ1﹣θ2）＜0，只要θ2∈（k∈Z），因此T 满足性质P．．④∀∈W，则取x2＝﹣x1，满足＝﹣＜0，因此W满足性质P．综上可得：只有③④正确．故选：B．二、填空题（本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．）（一）必做题（11～13题）11．（5分）函数的定义域是（﹣1，1）．【解答】解：根据题意，得，解得﹣1＜x＜1，故答案为：（﹣1，1）．12．（5分）如图是甲、乙两名篮球运动员2012年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是54．【解答】解：由茎叶图得到甲运动员的得分数据为：17，22，28，34，35，36．由茎叶图得到乙运动员的得分数据为：12，16，21，23，29，31，32．由此可得甲运动员得分数据的中位数是．乙运动员得分数据的中位数是23．所以甲、乙两人比赛得分的中位数之和是54．故答案为54．13．（5分）若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是20【解答】解：由三视图可知，其直观图如下，是一个四棱锥，其底面为矩形，面积S＝5×＝25，其体高h＝，故其体积V＝×25×＝20，故答案为：20．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做14．（5分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数）．以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的极坐标方程是ρ2＝2ρcosθ+3．【解答】解：圆C的参数方程为（φ为参数）．转化为直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2＝4．整理得：x2+y2＝2x+3，转化成极坐标方程为：ρ2＝2ρcosθ+3，故答案为：ρ2＝2ρcosθ+3（几何证明选讲选做题）15．已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB＝6，P A＝4，OP＝3，则⊙O的半径R ＝5．【解答】解：过点O作OC⊥AB，交AB于点C，连结OA，∵AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB＝6，P A＝4，OP＝3，∴OC⊥AB，PC＝P A﹣AC＝4﹣＝，∴OC＝＝＝，∴R＝OA＝＝＝5．故答案为：5．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）已知函数（x∈R）的图象经过点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设α，，，，求cos（α﹣β）的值．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由函数f（x）的图象经过点，则．解得a＝﹣1，因此．（2）＝＝，∵，∴，∵，∴，又，∴，，∴．17．（12分）我省城乡居民社会养老保险个人年缴费分100，200，300，400，500，600，700，800，900，1000（单位：元）十个档次，某社区随机抽取了72名居民，按缴费在100～500元，600～1000元，以及年龄在20～39岁，40～59岁之间进行了统计，相关数据如下：（1）用分层抽样的方法在缴费100～500元之间的居民中随机抽取6人，则年龄在20～39岁之间应抽取几人？（2）在缴费100～500元之间抽取的6人中，随机选取2人进行到户走访，求这2人的年龄都在40～59岁之间的概率．【解答】（本小题满分12分）解：（1）设年龄在20～39岁之间应抽取x人，则，解得x＝2所以年龄在20～39岁之间应抽取2人（2）记在缴费100～500元之间抽取的6人中，年龄在20～39岁的2人为a1，a2；年龄在40～59岁的4人为b1，b2，b3，b4．所以随机抽取2人的所有结果有：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4），（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b2，b3），（b2，b4），（b3，b4）；共15种．设这2人的年龄都在40～59岁之间的事件为A，则事件为A包含的基本事件有：（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b2，b3），（b2，b4），（b3，b4）；共6种．所以答：这2人的年龄都在40～59岁之间的概率为18．（14分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，AB＝2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF＝CF，点G为BC的中点．（1）求证：直线OG∥平面EFCD；（2）求证：直线AC⊥平面ODE．【解答】证明（1）∵四边形ABCD是菱形，AC∩BD＝O，∴点O是BD的中点，∵点G为BC的中点∴OG∥CD，…（3分）又∵OG⊄平面EFCD，CD⊂平面EFCD，∴直线OG∥平面EFCD．…（7分）（2）∵BF＝CF，点G为BC的中点，∴FG⊥BC，∵平面BCF⊥平面ABCD，平面BCF∩平面ABCD＝BC，FG⊂平面BCF，FG⊥BC∴FG⊥平面ABCD，…（9分）∵AC⊂平面ABCD∴FG⊥AC，∵，，∴OG∥EF，OG＝EF，∴四边形EFGO为平行四边形，∴FG∥EO，…（11分）∵FG⊥AC，FG∥EO，∴AC⊥EO，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥DO，∵AC⊥EO，AC⊥DO，EO∩DO＝O，EO、DO在平面ODE内，∴AC⊥平面ODE．…（14分）19．（14分）已知数列{a n}满足，．（1）设，求证：数列{b n}为等差数列；（2）求证：．【解答】（1）证明：，∴，∴b n+1﹣b n＝﹣2，又，∴，∴数列{b n}为等差数列，且首项为﹣4，公差为﹣2．（2）由（1）知b n＝﹣4+（n﹣1）（﹣2）＝﹣2n﹣2，即，∴，由于，∴＝．20．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，左顶点A与上顶点B的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过原点O的动直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P、Q两点，直线P A、QA分别与y轴交于M、N两点，问以MN为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．【解答】（本小题满分14分）解：（1）由题意得解得∴椭圆C的标准方程为：．（2）以MN为直径的圆过定点．设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且，即，∵A（﹣2，0），∴直线P A方程为：，∴；∴直线QA方程为：，∴；以MN为直径的圆为：，即，∵，∴，令y＝0，得x2﹣2＝0，解得：，∴以MN为直径的圆过定点：．21．（14分）已知函数，a∈R．（1）若函数f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线x+9y＝0垂直，求实数a的值；（2）若函数f（x）在x∈（0，4）内存在最小值1，求实数a的值．【解答】解：（1）f′（x）＝3x2﹣3（a+1）x+3a，因为函数f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线x+9y＝0垂直，所以f′（2）＝9，即3×22﹣6（a+1）+3a＝9，解得a＝﹣1；（2）f′（x）＝3x2﹣3（a+1）x+3a，令f′（x）＝0得x＝1，x＝a．①当a≤0时，f（x）在（0，1）单调递减，在（1，4）单调递增，所以当x＝1时，f（1）是f（x）在x∈（0，4）内的最小值，则，解得，不符合题意舍去；②当0＜a＜1时，f（x）在（0，a）和（1，4）单调递增，在（a，1）单调递减，∴，即，解得，当时，使f（1）是f（x）在x∈（0，4）内的最小值，则，解得符合题意；③当a＝1时，f'（x）＝3（x﹣1）2≥0，f（x）在（0，4）单调递增，则函数f（x）在x∈（0，4）内不存在最小值；④当1＜a＜4时，f（x）在（0，1）和（a，4）单调递增，在（1，a）单调递减，∴，即，解得，所以3≤a＜4．所以当x＝a时，函数f（x）在x∈（0，4）内存在最小值，则f（a）＝1，解得a＝3；⑤当a≥4时，f（x）在（0，1）单调递增，在（1，4）单调递减，则函数f（x）在x∈（0，4）内不存在最小值．综上得，或a＝3．。
广东省汕头市2015届高三毕业班教学质量监测数学文试题 Word版含答案
汕头市2015年普通高中毕业班教学质量监测 文科数学参考公式：锥体体积公式为1V 3Sh =，其中S 为锥体的底面积、h 为锥体的高；球的表面积公式为24R S π=，其中R 为球的半径； 方差公式为()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦． 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、集合{}1,0,1A =-，A 的子集中，含有元素0的子集共有（ ）A ．8个B ．4个C ．3个D ．2个2、复数21i-的实部与虚部之和为（ ）A ．1-B ．2C ．1D ．03、如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图是半径为1的半圆，俯视图是个圆，则该几何体的全面积为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π4、已知实数x ，y 满足不等式组242x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．7 5、已知平面向量a ，b 满足3a =，2b =，且()a b a -⊥，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π6、设l ，m 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若//l α，m αβ=，则//l mB ．若//l α，m l ⊥，则m α⊥C ．若//l α，//m α，则//l mD ．若l α⊥，//l β，则αβ⊥ 7、如图，在程序框图中，若输入3n =，则输出k 的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8、下列说法中，正确的是（ ）A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“R x ∃∈，20x x ->”的否定是“R x ∀∈，20x x -≤”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题D ．已知R x ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件9、设函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于直线3x π=对称B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．()f x 的最小正周期为π，且在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数D ．把()f x 的图象向右平移12π个单位，得到一个偶函数的图象10、设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x =-在[],x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[],a b 上是“关联函数”，区间[],a b 称为“关联区间”．若()234f x x x =-+与()2g x x m =+在[]0,3上是“关联函数”，则m 的取值范围为（ ）A ．9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦ B ．[]1,0- C ．(],2-∞-D ．9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．） （一）必做题（11～13题）11、为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁18岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图如右图： 根据右图可得这100名学生中体重在 []60.5,64.5的学生人数是 ．12、已知C ∆AB 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60∠A =，2c =，且C ∆AB 则a 边的长为 ．13、已知函数()22f x mx nx =+-（0m >，0n >）的一个零点是2，则12m n+的最小值为 ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为33x t y t =+⎧⎨=-⎩（参数R t ∈），圆的参数方程为2cos 2sin 1x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[)0,2θπ∈），则圆心到直线l 的距离为 ．15、（几何证明选讲选做题）如图，在C ∆AB 中，D //C E B ，DF//C A ，2AE =，C 1E =，C 4B =，则F B = ．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16、（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足23a =，3412a a +=．()1求{}n a 的通项公式；()2设12na nb +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．17、（本小题满分12分）以下茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆A 学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆B 学习的次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x 表示．()1如果6x =，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；()2如果7x =，从学习次数大于7的学生中选两名同学，求选出的两名同学恰好分别在不同组且这两名同学学习的次数之和不小于20的概率．18、（本小题满分14分）已知向量()1,cos2a x =，(sin 2,b x =，函数()f x a b =⋅．()1若3x π=，求a ；()2若26235f απ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求512f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；()3若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域． 19、（本小题满分14分）如图，已知F A ⊥平面CD AB ，四边形F ABE 为矩形，四边形CD AB 为直角梯形，D 90∠AB =，//CD AB ，D F CD 2A =A ==，4AB =． ()1求证：F//A 平面C B E ；()2求证：C A ⊥平面C B E ；()3求三棱锥CF E -B 的体积．20、（本小题满分14分）设函数()3213g x x ax =+的图象在1x =处的切线平行于直线20x y -=．记()g x 的导函数为()f x ．()1求函数()f x 的解析式；()2记正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n *∀∈N ，()12n n S f a =，求n a ； ()3对于数列{}n b 满足：112b =，()1n n b f b +=，当2n ≥，n *∈N 时，求证：1211112111nb b b <++⋅⋅⋅+<+++．21、（本小题满分14分）已知函数()()12ln 2f x a x ax x=-++（0a ≤）． ()1当0a =时，求()f x 的极值；()2当0a <时，讨论()f x 的单调性；()3若()3,2a ∀∈--，1x ，[]21,3x ∈，有()()()12ln 32ln 3m a f x f x +->-，求实数m 的取值范围．汕头市2015届高三教学质量监控测评文科数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的.二、填空题：本大题共5小题, 考生作答４小题，每小题5分,共20分. 11. 24 12.3 13. 8 14.225 15. 34三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.解：【答案】解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d .由题意知⎩⎨⎧=+++=+12323111d a d a d a ……2分（每式1分） 解得,2,11==d a …… 4分（每式1分） ∴12-=n a n (n N *∈) ……6分 (2)由题意知, n a n n b 2122==+ (n N *∈), …… 7分n n T 26422222++++=41)41(4--=n …… 10分)14(34-=n…… 12分 17.解(1)当x =6时,由茎叶图可知,乙组同学去图书馆学习次数是:6,7,8,11, …… 1分 所以平均数为8411876_=+++=x …… 2分方差为27])811()88()87()86[(4122222=-+-+-+-=s …… 5分 （列式2分，答案1分）(2)甲组中学习次数大于7的同学有3名，记为A 1,A 2,A 3,他们去图书馆学习次数 依次为9,11,12;乙组中学习次数大于7的同学有2名，记为B 1,B 2,他们去图书馆学习次数依次 为8,11; …… 6分从学习次数大于7的学生中选两名学生,所有可能的结果有10个,它们是:A 1A 2,A 1A 3,A 1B 1,A 1B 2,A 2A 3,A 2B 1,A 2B 2,A 3B 1,A 3B 2,B 1B 2 ……8分 用事件C 表示:“选出的两名同学恰好分别在不同组且这两名同学学习的次数之和不小于20”这一事件,则C 中的结果有4个,它们是:A 1B 2,A 2B 2,A 3B 1,A 3B 2, …… 10分故根据古典概型，选出的两名同学恰好分别在不同组且这两名同学学习的次数之和不小于20的概率为52104)(==C P …… 12分 18. 解：（1）)21,1()32cos ,1(-==→πa ，…… 1分25)21(1||22=-+=→a …… 2分 （2）)32sin(22cos 32sin )(π-=-=x x x x f …… 3分)sin(2]3)322(2sin[2)322(παππαπα+=-+=+f ……4分 56sin 2=-=α 53sin -=∴α，…… 5分因此，)22sin(2]3)125(2sin[2)125(παππαπα+=-+=+f ……6分 α2cos 2=……７分 )sin 21(22α-=…… 8分2514])53(21[22=-⨯-=…… 9分（3） ]2,0[π∈x ∴]32,3[32πππ-∈-x …… 10分 ∴ ]1,23[)32sin(-∈-πx …… 12分 ∴]2,3[)(-∈x f ，…… 13分即)(x f 的值域是]2,3[-．…… 14分 19． 解：（1）因为四边形ABEF 为矩形，所以⊂BE BE AF ,//平面BCE ，⊄AF 平面BCE ， 所以//AF 平面BCE ．…… 3分（２）过C 作AB CM ⊥，垂足为M ， 因为,DC AD ⊥所以四边形ADCM 为矩形．所以2==MB AM ，又因为4,2==AB AD 所以22=AC ，2=CM ，22=BC所以222AB BC AC =+，所以BC AC ⊥；…… 5分因为AF ⊥平面ABCD ，,//BE AF 所以BE ⊥平面ABCD ，所以AC BE ⊥，……7分 又因为⊂BE 平面BCE ，⊂BC 平面BCE ，B BC BE =⋂ 所以⊥AC 平面BCE ． ……9分（３）因为AF ⊥平面ABCD ，所以CM AF ⊥，…… 10分EC又因为AB CM ⊥，⊂AF 平面ABEF ，⊂AB 平面ABEF ，A AB AF =⋂ 所以⊥CM 平面ABEF ．…… 12分824261213131=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯==∆--CM EF BE CM S V V BEF BEF C BCF E …13分 3824261213131=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=∆CM EF BE CM S BEF F…14分 20.解:（1）∵函数321()3g x x ax =+的导函数为2()2f x x ax =+，……1分 由于在1x =处的切线平行于20x y -=， ∴122a += 解出：12a =…… 2分 即x x x f +=2)(…… 3分（2）)(212n n n a a S +=)(21,112111a a S a n +===，得11=a 或01=a （舍去）…… 4分,2≥n )(211211---+=n n n a a S)]()[(2112121----+-=-n n n n n n a a a a S S ，…… 5分即有)()(21212---+-=n n n n n a a a a a0)1)((11=--+--n n n n a a a a …… 6分 因为0>n a ，故11=--n n a a …… 7分所以数列}{n a 是首项为1，公差为1的等差数列， n n a n =-+=)1(1 ……8分 (3) ∵)1(1+=+n n n b b b∴n n n n n b b b b b +-=+=+111)1(111，…… 9分 即有11111+-=+n n n b b b …10分 ∴,1111211b b b -=+,1111322b b b -=+,1111433b b b -=+．．．，,11111+-=+n n n b b b ∴113221211211...111111...1111++-=-++-+-=++++++=n n n n n b b b b b b b b b b T …11分 2<…… 12分而当2n ≥时, 2121111111...1111b b b b b T n n +++≥++++++=…13分 121267432>=+= ∴211...1111121<++++++<nb b b …14分21.解：（1）当0a =时，()()22121212ln ,(0).x f x x f x x x x x x-'=+=-=>……2分 （求导1分、标出定义域1分）由()2210x f x x -'=>,解得12x >.∴()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上是增函数. ……………………… 3分 ∴()f x 的极小值为122ln 22f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，无极大值.………… 4分 （2）()()()()2222221121212(0)ax a x ax x a f x a x x x x x +--+--'=-+==>. …6分①当20a -<<时，()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是减函数，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数；………7分②当2a =-时，()f x 在()0,+∞上是减函数；………………………8分 ③当2a <-时，()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭和10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数.9分（3）当32a -<<-时，由（2）可知()f x 在[]1,3上是减函数，…10分 ∴()()()()()1221342ln 33f x f x f f a a -≤-=-+-. ……………… 11分 由()()()12ln 32ln 3m a f x f x +->-对任意的()[]123,2,,1,3a x x ∈--∈恒成立， ∴()()()12max ln 32ln 3m a f x f x +->- ………………… 12分 即()()2ln 32ln 342ln 33m a a a +->-+-对任意32a -<<-恒成立， 即243m a<-+对任意32a -<<-恒成立， …………… 13分 由于当32a -<<-时，132384339a -<-+<-，∴133m ≤-. …………… 14分。
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2015年广东省汕头市高三文科二模数学试卷
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 设集合，，，则
A. B. C. D.
2. 已知是虚数单位，若，则的共轭复数为
A. B. C. D.
3. 若，是两个非零的平面向量，则“|”是“”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点
A. 向左平行移动个单位长度
B. 向右平行移动个单位长度
C. 向左平行移动个单位长度
D. 向右平行移动个单位长度
5. 是首项为，公差为的等差数列，为其前项和．若，，成等比数列，
则
A. B. C. D.
6. 已知直线，，且，则
A. B. C. D.
7. 设不等式组表示的平面区域为．在区域内随机取一个点，则此点到直线
的距离大于的概率是
A. B. C. D.
8. 程序框图如图所示，若其输出结果是，则判断框中填写的是
A. ?
B. ?
C. ?
D. ?
9. 已知双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为
A. B. C. D.
10. 设集合为平面直角坐标系内的点集，若对于任意，存
在，使得，则称点集满足性质．给出下列四个点集：
；；；
，其中所有满足性质的点集的序号是
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 函数的定义域是．
12. 如图是甲、乙两名篮球运动员年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中
位数之和是．
13. 若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．
14. 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）．以为极点，轴的
非负半轴为极轴建立极坐标系，则圆的极坐标方程是．
15. 已知是的弦，是上一点，，，，则的半径
．
三、解答题（共6小题；共78分）
16. 已知函数的图象经过点．
（1）求函数的解析式；
（2）设，，，求的值．
17. 我省城乡居民社会养老保险个人年缴费分，，，，，，，，，
（单位：元）十个档次，某社区随机抽取了名居民，按缴费在元，元，以及年龄在岁，岁之间进行了统计，相关数据如下：
元元总计
岁
岁
总计
（1）用分层抽样的方法在缴费元之间的居民中随机抽取人，则年龄在岁之间应抽取几人?
（2）在缴费元之间抽取的人中，随机选取人进行到户走访，求这人的年龄都在岁之间的概率．
18. 如图，在多面体中，四边形是菱形，，相交于点，，
，平面平面，，点为的中点．
（1）求证：直线 平面；
（2）求证：直线平面．
19. 已知数列满足，．
（1）设，求证：数列为等差数列；
（2）求证：．
20. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，左顶点与
上顶点的距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过原点的动直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于，两点，问以为直径的圆是否经过定点?请证明你的结论．
21. 已知函数，．
（1）若函数在点处的切线与直线垂直，求实数的值；
（2）若函数在内存在最小值，求实数的值．
答案
第一部分
1. B
2. A
3. C 【解析】若，则，所以充分性成立；
若，则，即，所以必要性成立．
4. D 【解析】由题意，为得到函数，只需把函数的图象上所有点向右移个单位．
5. A
【解析】因为，
所有，．
又，，成等比数列，
则，
解得或（舍）．
6. C
7. D
8. B
9. D 10. B
第二部分
11.
12.
【解析】由茎叶图得到甲运动员的得分数据为：，，，，，．
由茎叶图得到乙运动员的得分数据为：，，，，，，．
由此可得甲运动员得分数据的中位数是．
乙运动员得分数据的中位数是．
所以甲、乙两人比赛得分的中位数之和是．
13.
14.
15.
第三部分
16. （1）由函数的图象经过点，则，解得，
因此．
（2），
因为，所以，
因为，
所以，
又，
所以，，
所以．
17. （1）设年龄在岁之间应抽取人，则，解得．
所以年龄在岁之间应抽取人．
（2）记在缴费元之间抽取的人中，年龄在岁的人为，；年龄在岁的人为，，，．
所以随机抽取人的所有结果有：，，，，，，，，，，，，，，；共种．
设这人的年龄都在岁之间的事件为，则事件为包含的基本事件有：，，，，，；共种．
所以．
答：这人的年龄都在岁之间的概率为．
18. （1）因为四边形是菱形，，
所以点是的中点，
因为点为的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以直线 平面．
（2）因为，点为的中点，
所以，
因为平面平面，平面平面，平面，，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，，，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为，，
所以，
因为四边形是菱形，
所以，
因为，，，，在平面内，
所以平面．
19. （1），
所以，
所以，
又，
所以，
所以数列为等差数列，且首项为，公差为．
（2）由（）知，
即，
所以，
由于
所以
20. （1）由题意得
解得，．
所以椭圆的标准方程为：．
（2）以为直径的圆过定点．
设，则，且，即．
因为，
所以直线方程为：，
所以；
所以直线方程为：，
所以；
以为直径的圆为：，即，因为，
所以，
令，得，解得：．
所以以为直径的圆过定点：．
21. （1），
因为函数在点处的切线与直线垂直，所以，即
，解得．
（2），令得，．
当时，在单调递减，在单调递增，所以当时，是在内的最小值，则，解得，不符合题意舍去；
当时，在和单调递增，在单调递减，所以即
解得，当时，使是在内的最小值，
则，解得，符合题意；
当时，，在单调递增，则函数在内不存在最小值；
当时，在和单调递增，在单调递减，所以即
解得所以．所以当时，函数在
内存在最小值，则，解得；
当时，在单调递增，在单调递减，则函数在内不存在最小值．
综上得，或．。