数理经济学 7 最优控制

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7.1 最优控制问题 7.1.1 目标泛函 7.1.2 最优控制问题的典型表示 7.1.3 最优控制问题的特征
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7.1.1 目标泛函
静态优化问题 经济主体的最优决策一次性完成 决策不涉及未来的规划和决策
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动态优化问题的解 规划期界(planning horizon)内的最优决策序列 (离散时间)或时间路径(连续时间) （图 7.2） 动态优化问题的目标函数 在规划期界内，为每一时点的决策变量赋值， 并将其加总 和计算某一时期的净收入流的现值相似。 动态优化问题的典型情形 寻找时间路径 x(t ) 或函数 x() ，以最大化目标 函数 J []

f () 和 g() 关于 u t 的可微性非必需
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例 7.1 (跨期效用最大化)
max J k (), c() e t u c(t ) dt
T c() 0
(t ) w ik (t ) c(t ), s.t. k k (0) k0 , k (T ) kT
u : M 分段连续(piecewise continuous)
除有限个不连续跳跃点之外是连续的 图 7.3(a)
x : N 分段光滑的(piecewise smooth)
n () 至 即分量函数 xn () 是连续，而导数函数 x
例 7.2 (最优存货积累)
min J x(), u () c1 u (t ) c2 x(t ) dt
T 2 x() 0


(t ) u (t ) s.t. x x(0) 0, x(T ) xT
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7.1.3 最优控制问题的特征
两个特征
u * t 1, t 0, t1 u * t 0, t t1 , t2 u * t 1, t t2 ,1
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路径值
时间路径
图 7.2 连续时间动态优化问题的时间路径和目标函数
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泛函(functional)
x(t ) 或函数 x() 与相对应的值 J [ x()] 之间体现的
是从时间路径(或函数)到实数的映射

泛函 J [] 取决于函数 x() 或整条路径 x(t ) 泛函的变化意味着整条路径位置的变动
t1 t0
(t ) g t , x(t ), u(t ) s.t. x x(t0 ) x 0 , x(t1 )自由

x t0 给定的， x t1 可自由选择
控制变量 u(t ) 不仅直接影响目标泛函 J x(), u() ， 而且借助 x(t ) 间接影响目标泛函 J x(), u()
多有有限个间断点 如图 7.3(b)
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图 7.3 分段连续与分段光滑
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控制集 U M
M 中任意不变的开集或闭集
特别有意义的是 U 是 M 中的闭集 鲁棒控制(bang-bang control) 设控制集 U 0,1 最优控制路径如下跳跃：

最优控制问题要求：决策者能够支配至少一个转移方 程中的至少一个控制变量。
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施加在被积函数 f () 和转移函数 g() 上的连续性限制：
A1. 关于 1 N M 变量 (t , x, u) ， f () C 0 A2. 关于 1 N M 变量 (t , x, u) ， g n () C 0 ，其中
第 7 章 最优控制
动态优化方法 1. 变分法(calculus of variations) 2. 最优控制(optimal control)：变分法的一般化 3. 动态规划(dynamic programming) 4. Lagrange 法： Kuhn-Tucker 定理的拓展
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7.1 最优控制问题 7.2 自由端点问题 7.3 各种终结条件 7.4 最优控制原理的经济学情形 7.5 最大值原理
和资源收成率等

控制变量 u t U M ， U 称为控制集 (control set)或控制域(control region)。

x t 对 u(t ) 的依赖为状态方程(state equation)：
(t ) g t , x(t ), u(t ) x n (t ) g n t , x(t ), u(t ) , n 1,, N x

转移函数 g t , x t , u t 描述给定的动态系统。 控制变量 u(t ) 和状态变量 x(t ) 是成对的
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典型的最优控制问题：
u ( ), x1
max J x(), u() f t , x(t ), u(t ) dt
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泛函值：
(t ) dt J [ x()] F t , x(t ), x
t0
t1

上式是变分法(calculus of variations)的目标泛函的 原型

注意： 1.
J [] 并非积分 x(t )dt
t0
t1
t 有关 2. 在多数问题中， F () 只与 x
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7.1.2 最wenku.baidu.com控制问题的典型表示
最优控制理论的优势 最优控制理论是变分法的推广和一般化 最优控制理论更容易反映经济直觉
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状态变量 x t N 与控制变量 u (t ) M
x t -存量(stock)，如消费、资产、产量等
u(t ) -流量(flow)，如商品消费率、资产投资率
n 1, 2,, N
A3. 关于 1 N M 变量 (t , x, u) ， f () xn C 0 ，其中
n 1, 2, , N
A4. 关于 1 N M 变量 (t , x, u) ，g j () xi C 0 ， 其中
i, j 1, 2,, N 。