2019年上海市延安中学高一(下)期末数学试卷(含答案)
2019高一下数学期末考试题及答案
第二学期期末教学质量监测高一数学一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．sin 600o的值等于（ * ）.A ．12B ．12-C．D2．已知角α的终边经过点(1,2)P -),则tan 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值是（ * ）. A ．3 B ．3- C ．13 D ．13-3. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为c b a 、、，已知,1,3,3===b a A π则B ＝（ * ） A ．3π B ．6π C ．5π D ．6π或65π4. 已知0<<b a , ）A ．ab a <2B ．b a < b1D ．ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛21215. 已知向量a 与b 的夹角为120o，且1==a b ，则－a b 等于（ * ）A ．3BC ．2D ．1 6．设等差数列{}n a 的前项和为n S ，已知10100S =，则29a a +=（ * ）. A. 100 B. 40 C. 20 D. 12 7. 在等比数列{}n a 中, 若362459,27a a a a a ==, 则2a 的值为（ * ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 98. 如果实数x 、y 满足条件1,210,10.y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩则2x y +的最大值为（ * ）A . 1 B.53C. 2D. 3 9．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的图像如图1所示，则函数)(x f 的解析式是（ * ）A ．10()2sin 116f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．10()2sin 116f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭10．已知1OA =u u u r ，3OB =u u u r ，0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，点C 在AB 上，且30AOC ∠=o，设OC =u u u r (,)mOA nOB m n R +∈u u u r u u u r ，则mn等于( * )A.13B.3C.3D.3二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11. 已知向量(1,2),(,2)x ==a b ，且⊥a b ，则实数x 的值为 * ． 12. 已知关于x 的一元二次不等式220ax bx ++>的解集为}21|{<<-x x ，则=+b a ___*___.13. 某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30o ，灯塔B 在观察站C 南偏东30o 处，则两灯塔A 、B 间的距离为___*_______. 14. 定义等积数列}{n a ：若p a a n n =-1（p 为非零常数，2n ≥），则称}{n a 为等积数列，p 称为公积.若}{n a 为等积数列，公积为1，首项为a ，前n 项和为n S ，则2015a =_____*____，2015S =_____*____.三、解答题：(本大题共6小题，满分80分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤）15. （本小题满分12分）已知向量(4,3),(1,2)==-a b .（1）求a 与b 的夹角的余弦值；（2）若向量λ-a b 与2+a b 平行，求λ的值.1 Oxy 1112π 图116．（本小题满分12分）已知函数22()cos )2sin cos f x x x x x =-+．（1）求()f x 的最小正周期； （2）设[,]33x ππ∈-，求()f x 的值域和单调递增区间．17. （本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 2A =，3AB AC ⋅=u u ur u u u r .（1）求ABC ∆的面积；（2）若6b c +=，求a 的值.18. （本小题满分14分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知113a =，2a 为整数，且5n S S ≤. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 19. （本小题满分14分）围建一个面积为2360m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修，可供利用的旧墙足够长)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽2m 的进出口，如图2所示.已知旧墙的维修费用为45/m 元，新墙的造价为/m 180元.设利用旧墙的长度为x (单位：m )，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元). (1)将y 表示为x 的函数，并写出此函数的定义域；(2)若要求用于维修旧墙的费用不得超过修建此矩形场地围墙的总费用的15%，试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.图220．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+L*()n N ∈．（1）求23a a ，的值；（2）求证：数列{}2n S +是等比数列； （3）设8142n n n b S -=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足0n T >的最小自然数n 的值．高一数学试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分12分）已知向量(4,3),(1,2).==-a b（1）求a 与b 的夹角的余弦值；（2）若向量λ-a b 与2+a b 平行，求λ的值. 解：（1）(4,3),(1,2)==-Q a b4(1)322,5,∴⋅=⨯-+⨯=====a b a b ………………3分∴cos ,25⋅<>===a b a b a b ……………………6分 （2） ∵(4,3),(1,2).==-a b∴(4,32)2(7,8)λλλ-=+-+=，a b a b …………………………8分 ∵向量λ-a b 与2+a b 平行，∴43278λλ+-=…………………………10分 解得：12λ=- …………………………12分16．（本小题满分12分）已知函数22()cos )2sin cos f x x x x x =-+．（1）求()f x 的最小正周期； （2）设[,]33x ππ∈-，求()f x 的值域和单调递增区间．解： （1）∵x x x x x f cos sin 2)sin (cos 3)(22---=2sin 2x x=+2sin(2)3x π=-…………………… 4分)(x f ∴的最小正周期为π． ………… 5分（2）∵[,]33x ππ∈-，233x πππ∴-≤-≤，∴1sin(2)3x π-≤-≤． )(x f ∴的值域为]3,2[-． ……………… 9分 Θ当)32sin(π+=x y 递增时，()f x 递增．由2233x πππ-≤-≤，得123x ππ-≤≤．故()f x 的递增区间为,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． ……………………12分17．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 25A =，3AB AC ⋅=u u u r u u u r .（1）求ABC ∆的面积；（2）若6b c +=，求a 的值.解：（1）∵cos 25A = ∴234cos 2cos1,sin 255A A A =-== ……………………4分 ∵3AB AC ⋅=u u u r u u u r∴cos 3bc A =………………………6分 ∴5bc = ………………………7分 ∴ABC ∆的面积1sin 22ABC S bc A ∆==……………………8分 （2）∵5bc =，6b c +=∴5,1b c ==或1,5b c ==…………………………………11分 由余弦定理得2222cos 20a b c bc A =+-= ………………………13分∴a =分 18．（本小题满分14分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知113a =，2a 为整数，且5n S S ≤. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .解：（1）在等差数列{}n a 中，由5n S S ≤得50a ≥，60a ≤， ……………………2分 又113a =， ∴13401350d d +≥⎧⎨+≤⎩，解得131345d -≤≤-， …………………5分∵2a 为整数，∴3d =-， ……………………6分∴{}n a 的通项公式为163n a n =-． ……………………7分 （2）∵1111)(163)(133)163n n n b a a n n n+==---，……………………9分 ∴12n n T b b b =+++L 111111111[()()()()]3101371047133163n n=-+-+-++---L …………12分 111()31331313(133)n n n =-=--……………………14分19. （本小题满分14分）围建一个面积为2360m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修，可供利用的旧墙足够长)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽2m 的进出口，如图2所示.已知旧墙的维修费用为45/m 元，新墙的造价为/m 180元.设利用旧墙的长度为x (单位：m )，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元).(1)将y 表示为x 的函数，并写出此函数的定义域；(2)若要求用于维修旧墙的费用不得超过修建此矩形场地围墙的总费用的15%，试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.解：(1)设矩形场地的宽为am ，则45180(2)1802225360360y x x a x a =+-+⨯=+-……………2分∵360ax = ∴360a x=……………4分 ∴2360225360y x x=+- (2)x ≥ ……………6分 (2) ∵0x ≥∴236022536036010440y x x =+-≥= ……………9分 当且仅当2360225x x=，即24x =时，等号成立. ……………11分当24x =时，修建此矩形场地围墙的总费用的15%为：1566元，用于维修旧墙的费用为：1080元.∵1080<1566 ……………13分 ∴当24x m =时，修建此矩形场地围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.…………14分 20．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+L*()n N ∈．（1）求23a a ，的值；（2）求证：数列{}2n S +是等比数列； （3）设8142n n n b S -=+，求数列{}n b 的前n 项和为n T ，并求满足0n T >的最小自然数n 的值．解：（1）∵ 12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+L *()n N ∈∴ 12,a =12122()4a a a a +=++123123232()6a a a a a a ++=+++ ……………………………………2分∴ 234,8a a == ……………………………………3分(2)证明：∵ 12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+L *()n N ∈ ①∴当2n ≥时，123123(1)(2)2(1)n n a a a n a n S n -++++-=-+-L ② ……………………4分由①-②得1[(1)2][(2)2(1)]n n n na n S n n S n -=-+--+- 11()22n n n n n S S S S --=--++122n n n na S S -=-++ ……………………6分∴1220n n S S --++=，即122n n S S -=+ ∴122(2)n n S S -+=+ ∵1240S +=≠ ∴120n S -+≠ ∴1222n n S S -+=+∴数列{}2n S +是以4为首项，2为公比的等比数列。
2019级高一下学期数学期末考试试卷答案
a1q 2
1 2
，
3 2
，解得 q
1 2
， a1
2.
综上所述：
a1
1 2
或
a1
2
.
16.【答案】5.设 m (2x y)2 , n (x 2 y)2 , 则 4 9 1 ，且 m n 5x2 5 y2 , mn
∴
x2
y2
m
n
m
n
(
4
9)
13 （4n m
9m ） n
3.【答案】D.利用赋值法:令 a 1, b 0 排除 A,B,C,选 D.
合 肥六中卫星 联 校 专用A
4.【答案】C .
m 1
n 3
,
m n
1. 3
5.【答案】B.根据几何概型概率计算公式，即可求出结果.
6.【答案】B.根据茎叶图中数据的分布可得， A 班学生的分数多集中在 70,80 之间， B 班
2
BC
1
BA
AB ， AB
，所以选项
CE 0 ，所以选项
B 错误；
A
错误;
33
以 E 为原点，EA，EC 分别为 x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，
如图所示， E(0, 0), A(1, 0), B(1, 0),C(0, 3), D(1 , 2 3 ) ，
33
设 O(0, y), y (0,
综上所述，当 a 3时，不等式解集为 R ； 当 a 3时，不等式的解集为 (,3] [a, ) ； 当 a 3 时，不等式的解集为 (, a] [3, ) .…………………………………………12 分
3),
BO
(1,
y),
DO
2018-2019学年上海中学高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2018-2019学年上海中学高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1. 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 10=100，则a 7的值为( )A. 11B. 12C. 13D. 142. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=a 2+10a 1，a 5=9，则a 1=( )A. 13B. −13C. 19D. −193. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m−1=−2，S m =0，S m+1=3，则m =( )A. 3B. 4C. 5D. 64. 设0<α<π2，若x 1=sinα，x n+1=(sinα)x n (n =1,2，3…)，则数列{x n }是( )A. 递增数列B. 递减数列C. 奇数项递增，偶数项递减的数列D. 偶数项递增，奇数项递减的数列二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 计算n →∞lim(1−1n)的结果是______．6. 已知等差数列a 1=3，a n =21，d =2，则n =______．7. 数列{a n }中，已知a n =4n −13⋅2n +2，n ∈N ∗，50为第______项． 8. {a n }为等比数列，若a 1+a 2+a 3=26，a 4−a 1=52，则a n =______．9. 用数学归纳法证明结论：(n +1)(n +2)…(n +n)=2n ×1×2×…×(2n −1)(n ∈N ∗)时，从“k 到k +1”左边需增乘的代数式为______ ．10. 数列{a n }满足a 1=1，a 2=3，a n+1=(2n −λ)a n (n =1,2，…)，则a 3等于______． 11. 数列{x n }满足x n+1=x n −x n−1，n ≥2，n ∈N ∗，x 1=a ，x 2=b ，则x 2019=______． 12. 数列{a n }满足下列条件：a 1=1，且对于任意正整数n ，恒有a 2n =a n +n ，则a512=______．13. 数列{a n }定义为a 1=cosθ，a n +a n+1=nsinθ+cosθ，n ≥1，则S 2n+1=______ 14. 已知数列{a n }是正项数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n =12(a n +1a n)，若b n =a n+1Sn S n+1，T n 是数列{b n }的前n 项和，则T 99=______15. 已知三角形的三条边长构成等比数列，他们的公比为q ，则q 的取值范围是______ ． 16. 数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a 3=3，a 4=4，a 5=5，当n ≥5时，a n+1=a 1⋅a 2⋅…⋅a n −1，则是否存在不小于2的正整数m ，使a 1⋅a 2⋅…⋅a m =a 12+a 22+⋯+a m2成立？若存在，则在横线处直接填写m 的值；若不存在，就填写“不存在”______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.等差数列{a n}的前n项和为S n，S4=−62，S6=−75设b n=|a n|，求数列{b n}的前n项和T n．18.已知数列{a n}的前n项和S n=n2−2n+1(n∈N∗)．(1)求{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足：a n+1+log3n=log3b n(n∈N∗)，求{b n}的前n项和T n(结果需化简)19.某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件．若作广告宣传，广告费为n千元时比广告费件，(n∈N∗).为(n−1)千元时多卖出b2n(1)试写出销售量s与n的函数关系式；(2)当a=10，b=4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？20. 设数列{a n }的前n 项和S n ，已知a 1=1，2S n n=a n+1−13n 2−n −23，n ∈N ∗．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否对一切正整数n ，有1a 1+1a 2+⋯+1a n<53−1n+1？说明理由．21. 设集合S n ={(x 1,x 2,…,x n )|x i ∈{0，1}(i =1,2，…，n)}，其中n ∈N ∗，n ≥2．(1)写出集合S 2中的所有元素；(2)设(a 1,a 2,…,a n )，(b 1,b 2,…,b n )∈S n ，证明：“a 1⋅20+a 2⋅21+⋯+a n ⋅2n−1=b 1⋅20+b 2⋅21+⋯+b n ⋅2n−1“的充要条件是“a i =b i (i =1,2，…，n)”； (3)设集合S ={(x 1,x 2,…x n ,…)|x i ∈{0，1}(i =1,2…,n …)}设(a 1,a 2,…,a n ,…)，(b 1,b 2,…b n ,…)∈S ，使得a 1⋅(12)1+a 2⋅(12)2+⋯+a n ⋅(12)n +⋯=A ，且b 1⋅(12)1+b 2⋅(12)2+⋯+b n ⋅(12)n +⋯=B ，试判断“A =B ”是“a i =b i (i =1,2，…)”的什么条件并说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由S 10=100及公差为2． ∴10a 1+10×92×2=100，联立解得a 1=1． ∴a n =2n −1， 故a 7=13． 故选：C ．由S 10=100及公差为2.利用求和公式可得a 1=1.再利用通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2.【答案】C【解析】 【分析】本题考查等比数列的前n 项和的概念，熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键． 设等比数列{a n }的公比为q ，利用已知和等比数列的通项公式即可得到{a 1+a 1q +a 1q 2=a 1q +10a 1a 1q 4=9，解出即可． 【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ， ∵S 3=a 2+10a 1，a 5=9，∴{a 1+a 1q +a 1q 2=a 1q +10a 1a 1q 4=9，解得{q 2=9a 1=19．∴a 1=19． 故选C ．3.【答案】C【解析】 【分析】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式及通项a n 与S n 的关系，考查学生的计算能力．由a n与S n的关系可求得a m+1与a m，进而得到公差d，由前n项和公式及S m=0可求得a1，再由通项公式及a m=2可得m值．【解答】解：a m=S m−S m−1=2，a m+1=S m+1−S m=3，所以公差d=a m+1−a m=1，=0，S m=m(a1+a m)2m−1>0，m>1，因此m不能为0，得a1=−2，所以a m=−2+(m−1)⋅1=2，解得m=5，故选：C．4.【答案】C，则0<sinα<1，【解析】解：根据题意，0<α<π2指数函数y=(sinα)x为减函数，∴(sinα)1<(sinα)sinα<(sinα)0=1，即0<x1<(sinα)x1<1，∴(sinα)1<(sinα)x2<(sinα)x3<(sinα)x1<(sinα)0=1，即0<x1<x3<x4<x2<1，∴(sinα)1<(sinα)x2<(sinα)x4<(sinα)x3<(sinα)x1<(sinα)0=1，即0<x1<x3<x5<x4<x2<1，…，0<x1<x3<x5<x7<⋯<x8<x6<x4<x2<1．∴数列{x n}是奇数项递增，偶数项递减的数列故选：C．根据题意，由三角函数的性质分析可得0<sinα<1，进而可得函数y=(sinα)x为减函数，结合函数与数列的关系分析可得答案．本题考查数列通项公式，涉及数列的函数特性，属中档题．5.【答案】1【解析】解：当n →+∞，1n →0，∴n →∞lim(1−1n )=1，故答案为：1．由n →+∞，1n →0，即可求得n →∞lim(1−1n)=1．本题考查极限的运算，考查计算能力，属于基础题．6.【答案】10【解析】解：在等差数列{a n }中，由a 1=3，a n =21，d =2，得 21=3+2(n −1)，解得：n =10． 故答案为：10．直接把已知代入等差数列的通项公式求得n 值． 本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．7.【答案】4【解析】解：令a n =4n −13⋅2n +2=50， 可得：(2n −16)(2n +3)=0， ∴2n =16， 解得n =4． 故答案为：4．令a n =4n −13⋅2n +2=50，可得：(2n −16)(2n +3)=0，解出n 即可得出． 本题考查了数列通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】2⋅3n−1【解析】解：∵{a n }为等比数列，a 1+a 2+a 3=26，a 4−a 1=52， ∴{a 1+a 1q +a 1q 2=26a 1q 3−a 1=52， ∴a 1(1+q+q 2)a 1(q 3−1)=1q−1=12，解得q =3，a 1=2， ∴a n =2⋅3n−1． 故答案为：2⋅3n−1．利用等差数列通项公式列方程组求出首项和公比，由此能求出通项公式．本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】2(2k+1)【解析】解：当n=k时，左边=(k+1)(k+2)…(k+k)=(k+1)(k+2)(k+3)…(2k)，当n=k+1时，左边=(k+1+1)(k+1+2)…(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)，=2(2k+1)，故当“n从k到k+1”左端需增乘的代数式为(2k+1)(2k+2)k+1故答案为：2(2k+1)．分别求出n=k时左端的表达式，和n=k+1时左端的表达式，比较可得“n从k到k+1”左端需增乘的代数式．本题考查用数学归纳法证明等式，分别求出n=k时左端的表达式和n=k+1时左端的表达式，是解题的关键．10.【答案】15【解析】解：∵a1=1，a2=3，a n+1=(2n−λ)a n∴a2=(2−λ)a1即3=(2−λ)∴λ=−1，a n+1=(2n+1)a n∴a3=5a2=15故答案为：15先由a1=1，a2=3，a n+1=(2n−λ)a n，可求出λ，然后由n=2时，代入已知递推公式即可求解本题主要考查了利用递推公式求解数列的项，解题的关键是求出参数λ11.【答案】b−a【解析】解：由题中递推公式，可得：x1=a，x2=b，x3=x2−x1=b−a，x4=x3−x2=b−a−b=−a，x5=x4−x3=−a−(b−a)=−b，x6=x5−x4=−b−(−a)=a−b，x7=x6−x5=a−b−(−b)=a，x8=x7−x6=a−(a−b)=b，x9=x8−x7=b−a，⋅⋅⋅∴数列{x n}是以6为最小正周期的周期数列．∵2019÷6=336…3．∴x2019=x3=b−a．故答案为：b−a．本题可根据题中递推公式列出前面几项会发现数列{x n}是一个周期数列．然后根据周期数列的性质特点可得出x2019的值．本题主要考查周期数列的判定及利用周期数列的性质特点求出任一项的值．本题属中档题．12.【答案】512【解析】解：由题意，可知：=a256+256a512=a128+128+256=a64+64+128+256=a32+32+64+128+256=a16+16+32+64+128+256=a8+8+16+32+64+128+256=a4+4+8+16+32+64+128+256=a2+2+4+8+16+32+64+128+256=a1+1+2+4+8+16+32+64+128+256=1+1+2+4+8+16+32+64+128+256=1+1+2+4+8+16+32+64+128+256=2+21+22+23+⋯+28=2+2×(1+2+22+⋯+27)=2+2×1−28 1−2=29=512．故答案为：512．本题主要根据递推式不断的缩小，最后可得到结果，然后通过等比数列求和公式可得结果．本题主要考查根据递推公式不断代入，以及等比数列的求前n项和公式．本题属基础题．13.【答案】(n+1)cosθ+(n2+n)sinθ【解析】解：数列{a n}定义为a1=cosθ，a n+a n+1=nsinθ+cosθ，n≥1，可得S2n+1=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+⋯+(a2n+a2n+1)=cosθ+(cosθ+2sinθ)+(cosθ+4sinθ)+⋯+(cosθ+2nsinθ)=(n+1)cosθ+(2+4+⋯+2n)sinθ=(n+1)cosθ+12n(2+2n)sinθ=(n+1)cosθ+(n2+n)sinθ．故答案为：(n+1)cosθ+(n2+n)sinθ．由题意可得S2n+1=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+⋯+(a2n+a2n+1)，运用并项求和和等差数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查数列的并项求和，以及等差数列的求和公式，考查化简运算能力，属于基础题．14.【答案】910【解析】解：数列{a n}是正项数列，S n是数列{a n}的前n项和，且满足S n=12(a n+1an)，可得a1=S1=12(a1+1a1)，可得a1=1；a1+a2=12(a2+1a2)，解得a2=√2−1，同样求得a3=√3−√2，…，猜想a n=√n−√n−1，S n=√n，代入S n=12(a n+1an)，成立，则b n=a n+1S n S n+1=√n+1−√n√n√n+1=√n√n+1，即有T 99=1−√2√2−√3⋯√99110=1−110=910． 故答案为：910．求得数列的前几项，归纳a n =√n −√n −1，S n =√n ，求得b n =√n+1−√n√n √n+1=√n √n+1，再由裂项相消求和，计算可得所求和．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用归纳法，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．15.【答案】(−1+√52,1+√52)【解析】解：设三边：a 、aq 、aq 2、q >0，则由三边关系：两短边和大于第三边可得 (1)当q ≥1时，aq 2为最大边，a +aq >aq 2，等价于：q 2−q −1<0，由于方程q 2−q −1=0两根为：1−√52和1+√52，故得解：1−√52<q <1+√52∵q ≥1，∴1≤q <1+√52(2)当0<q <1时，a 为最大边，aq +aq 2>a ，即得q 2+q −1>0，解之得q >−1+√52或q <−1+√52∵0<q <1 ∴1>q >−1+√52综合(1)(2)，得：q ∈(−1+√52,1+√52)故答案为：(−1+√52,1+√52) 设三边：a 、aq 、aq 2、q >0，则由三边关系：两短边和大于第三边，分q ≥1和q <1两种情况分别求得q 的范围，最后综合可得答案．本题以三角形为载体，考查等比数列，考查解不等式，同时考查了分类讨论的数学思想．16.【答案】70【解析】解：设b m =a 1⋅a 2⋅…⋅a m −a 12−a 22−⋯−a m 2， 由已知，b 5=a 1⋅a 2⋅…⋅a 5−a 12−a 22−⋯−a 52=1×2×3×4×5−(12+22+32+42+52) =120−55 =65当m ≥5时，由a m+1=a 1⋅a 2⋅…⋅a m −1，移向得出a 1⋅a 2⋅…⋅a m =a m+1+1 ①∵b m =a 1⋅a 2⋅…⋅a m −a 12−a 22−⋯−a m 2，② ∴b m+1=a 1⋅a 2⋅…⋅a m+1−a 12−a 22−⋯−a m+12 ③ ③−②得 b m+1−b m =a 1⋅a 2⋅…⋅a m a m+1−a 1⋅a 2⋅…⋅a m −a m+12=a 1⋅a 2⋅…⋅a m (a m+1−1)−a m+12 (将①式代入) =(a m+1+1)(a m+1−1)−a m+12=a m+12−1−a m+12=−1∴当n ≥5时，数列{b n }的各项组成等差数列，∴b m =b 5+(m −5)×(−1)=65−(m −5)=70−m ．若a 1⋅a 2⋅…⋅a m =a 12+a 22+⋯+a m2成立， ∴b m =0，即m =70 故答案为：70．设b m =a 1⋅a 2⋅…⋅a m −a 12−a 22−⋯−a m 2中，令n =5代入数据计算即可求出b 5.由b 5=a 1⋅a 2⋅…⋅a 5−a 12−a 22−⋯−a 52中构造出b m+1=a 1⋅a 2⋅…⋅a m+1−a 12−a 22−⋯−a m+12，两式相减，并化简整理，可以判断出当m ≥5时，数列{b n }的各项组成等差数列．利用等差数列通项公式求解即可．本题考查等差关系的判定、通项公式．考查转化、变形构造、计算能力．17.【答案】解：∵S 4=−62，S 6=−75，∴{4a 1+4×32d =−626a 1+6×52d =−75，解得d =3，a 1=−20，∴a n =3n −23， 设从第n +1项开始大于零，则{a n =−20+3(n −1)≤0a n+1=−20+3n ≥0，∴203≤n ≤233， ∴n =7，即a 7<0，a 8>0 当1≤n ≤7时，T n =−S n =43n−3n 22，当n ≥8时，T n =32n 2−432n +154．综上有，T n ={43n−3n 22,(1≤n ≤7)32n 2−432n +154．(n ≥8)．【解析】由已知条件利用等差数列前n 项和公式求出公差和首项，由此能求出a n =3n −23，且a 7<0，a 8>0.当1≤n ≤7时，T n =−S n =43n−3n 22，当n ≥8时，T n =32n 2−432n +154．本题考查数列的前n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．18.【答案】解：(1)S n =n 2−2n +1，可得a 1=S 1=0，n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2−2n +1−(n −1)2+2(n −1)−1=2n −3， 则a n ={0,n =12n −3,n ≥2；(2)数列{b n }满足：a n+1+log 3n =log 3b n (n ∈N ∗)， 可得2n −1+log 3n =log 3b n ，即b n =n ⋅32n−1， 前n 项和T n =1⋅3+2⋅33+⋯+n ⋅32n−1， 9T n =1⋅33+2⋅34+⋯+n ⋅32n+1，两式相减可得−8T n =3+33+35+⋯+32n−1−n ⋅32n+1 =3(1−9n )1−9−n ⋅32n+1，化简可得T n =3(8n⋅9n −9n +1)64．【解析】(1)运用数列的递推式得n =1时，a 1=S 1，n ≥2时，a n =S n −S n−1，化简计算可得所求通项公式；(2)求得b n =n ⋅32n−1，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查数列的递推式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．19.【答案】(1)解法一、直接列式：由题，s =b +b2+b22+b23+⋯+b2n =b(2−12n )(广告费为1千元时，s =b +b2；2千元时，s =b +b2+b22；…n 千元时s =b +b2+b22+b23+⋯+b 2n)解法二、(累差叠加法)设s 0表示广告费为0千元时的销售量， 由题：{s 1−s 0=b2s 2−s 1=b 22…s n −s n−1=b 2n ，相加得S n −S 0=b 2+b 22+b 23+⋯+b 2n ， 即S n =b +b2+b22+b23+⋯+b2n =b(2−12n ).(2)b =4000时，s =4000(2−12n )，设获利为t ，则有t =s ⋅10−1000n =40000(2−12n)−1000n欲使T n 最大，则{T n ≥T n+1T n ≥T n−1，得{n ≥5n ≤5，故n =5，此时s =7875．即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大．【解析】对于(1)中的函数关系，设广告费为n 千元时的销量为s n ，则s n−1表示广告费为(n −1)元时的销量，由题意，s n−−s n−1=b2n ，可知数列{s n }不成等差也不成等比数列，但是两者的差b2n 构成等比数列，对于这类问题一般有以下两种方法求解：一、直接列式：由题，s =b +b2+b22+b23+⋯+b2n =b(2−12n )解法二、利用累差叠加法：S 1−S 0=b2，S 2−S 1=b22，…S n −S n−1=b2n ，累加结合等比数列的求和公式可求S n(2))b =4000时，s =4000(2−12n )，设获利为T n ，则有T n =s ⋅10−1000n =40000(2−12n)−1000n ，欲使T n 最大，根据数列的单调性可得{T n ≥T n+1T n ≥T n−1，代入结合n 为正整数解不等式可求n ，进而可求S 的最大值本题主要考查了数列的叠加求解通项公式，利用数列的单调性求解数列的最大(小)项，解题中要注意函数思想在解题中的应用．20.【答案】解：(1)∵2S n n=a n+1−13n 2−n −23，∴2S n =na n+1−13n 3−n 2−23n =na n+1−n(n+1)(n+2)3，①∴当n ≥2时，2S n−1=(n −1)a n −(n−1)n(n+1)3，②由①−②，得2S n −2S n−1=na n+1−(n −1)a n −n(n +1)， ∵2a n =2S n −2S n−1，∴2a n =na n+1−(n −1)a n −n(n +1)， ∴a n+1a n −a n n=1，∴数列{an n}是以首项为1，公差为1的等差数列．∴a n n=1+1×(n −1)=n ，∴a n =n 2(n ≥2)，当n =1时，上式显然成立．∴a n =n 2，n ∈N ∗． (2)对一切正整数n ，有1a 1+1a 2+⋯+1a n<53−1n+1．证明：当n ≥3时，1a n=1n 2<1n 2−1=12(1n−1−1n+1)，可得1a 1+1a 2+⋯+1a n=1+14+12(12−14+13−15+⋯+1n−2−1n +1n−1−1n+1)=54+512−12(1n +1n+1)=53−12(1n +1n+1)， 由12(1n +1n+1)−1n+1=12(1n −1n+1)=12n(n+1)>0， 可得12(1n +1n+1)>1n+1， 即有53−12(1n +1n+1)<53−1n+1， 则当n ≥3时，不等式成立； 检验n =1，2时，不等式也成立，综上可得对一切正整数n ，有1a 1+1a 2+⋯+1a n<53−1n+1．【解析】(1)运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求； (2)对一切正整数n ，有1a 1+1a 2+⋯+1a n<53−1n+1.考虑当n ≥3时，1a n=1n 2<1n 2−1=12(1n−1−1n+1)，再由裂项相消求和，即可得证．本题考查数列递推式，考查数列求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键．21.【答案】解：(1)S 2中的元素有(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)．(2)充分性，当a i =b i (i =1,2，…，n)，显然a 1⋅20+a 2⋅21+⋯+a n ⋅2n−1=b 1⋅20+b 2⋅21+⋯+b n ⋅2n−1成立，必要性，因为a 1⋅20+a 2⋅21+⋯+a n ⋅2n−1=b 1⋅20+⋅21+⋯+b n ⋅2n−1， 所以(a 1−b 1)⋅20+(a 2−b 2)⋅21+⋯+(a n −b n )⋅2n−1=0， 因为(a 1,a 2,…,a n )，(b 1,b 2,…,b n )∈S n ，所以a n −b n ∈{1,0，−1}，若a n −b n =1，则(a 1−b 1)⋅20+(a 2−b 2)⋅21+⋯+(a n −b n )⋅2n−1=20+21+⋯+2n−1=2n −1≠0，当a n −b n =−1，则(a 1−b 1)⋅20+(a 2−b 2)⋅21+⋯+(a n −b n )⋅2n−1=−(20+21+⋯+2n−1)=−(2n −1)≠0，若a n −b n 的值有m 个1和n 个−1，不妨设2的次数最高次为r 次，其系数为1，则2r −2r −1−2r−1−⋯…−1=2r−1−2r 1−2=2r −(2r −1)=1>0，说明只要最高次的系数是正的，整个式子就是正的，同理只要最高次的系数是负的，整个式子就是负的，说明最高次的系数只能为，就是a n −b n =0，即a i =b i ，综上可知：“a 1⋅20+a 2⋅21+⋯+a n ⋅2n−1=b 1⋅20+b 2⋅21+⋯+b n ⋅2n−1“的充要条件是“a i =b i (i =1,2，…，n)”；(3)由a 1⋅(12)1+a 2⋅(12)2+⋯+a n ⋅(12)n +⋯=A ，等价于a 1⋅2n−1+a 2⋅2n−2+⋯+a n ⋅20+⋯=2n ⋅A ，b 1⋅(12)1+b 2⋅(12)2+⋯+b n ⋅(12)n +⋯=B ，等价于b 1⋅2n−1+b 2⋅2n−2+⋯+b n ⋅20+⋯=2n ⋅B ，由(2)得“2n ⋅A =2n ⋅B “的充要条件是“a i =b i (i =1,2，…，n)”； 即“A =B ”是“a i =b i (i =1,2，…，n)”充要条件．【解析】(1)由题意求得S 2中；(2)分别从充分性及必要性出发，分别证明即可，在证明必要性时，注意分类讨论； (3)将原始的式子同乘以2n ，然后利用(2)即可求得答案．本题考查数列的综合应用，考查重要条件的证明，考查逻辑推理能力，考查分类讨论思想，属于难题．。
上海西延安中学数学高一下期末经典练习题(培优专题)
一、选择题1．(0分)[ID ：12724]已知向量()cos ,sin a θθ=，()1,2b =，若a 与b 的夹角为6π，则a b +=（ ） A ．2B ．7C ．2D ．12．(0分)[ID ：12720]如图，在ABC ∆中，已知5AB =，6AC =，12BD DC =，4AD AC ⋅=，则AB BC ⋅=A ．-45B ．13C ．-13D ．-373．(0分)[ID ：12713]若cos(π4−α)=35，则sin2α=（ ） A ．725B ．15C ．−15D ．−7254．(0分)[ID ：12709]已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．05．(0分)[ID ：12705]已知()()()sin cos ,02f x x x πωϕωϕωϕ=+++＞，＜，()f x 是奇函数，直线2y =与函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则（ ） A ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 C ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 6．(0分)[ID ：12702]已知D ，E 是ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，则xy 的取值范围是( )A ．14,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．21,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．(0分)[ID ：12689]函数()23sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是 A ．713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8．(0分)[ID ：12679]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为A ．12尺 B ．815尺 C ．1629尺 D ．1631尺 9．(0分)[ID ：12672]若||1OA =，||3OB =0OA OB ⋅=，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则mn的值为（ ） A ．13B ．3C 3D 310．(0分)[ID ：12631]设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 11．(0分)[ID ：12665]设函数，则()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．()y f x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线4x π=对称 D ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线2x π=对称12．(0分)[ID ：12654]已知二项式2(*)nx n N x ⎛∈ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（ ） A ．14B ．14-C ．240D ．240-13．(0分)[ID ：12645]如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点，则（ ）A ．BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线B ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线C ．BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线D ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线14．(0分)[ID ：12640]在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则1BC 与侧面1ACC A 所成角的大小为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．9015．(0分)[ID ：12719]如图，在ABC 中，90BAC ︒∠=，AD 是边BC 上的高，PA ⊥平面ABC ，则图中直角三角形的个数是（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10二、填空题16．(0分)[ID ：12814]已知函数()sin 03y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若将该函数的图像向左平移()0m m >个单位后，所得图像关于原点对称，则m 的最小值为________.17．(0分)[ID ：12800]若直线1x y -=与直线(3)80m x my ++-=平行，则m =______________．18．(0分)[ID ：12788]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b =___. 19．(0分)[ID ：12783]函数()2sin sin 3f x x x =+-的最小值为________.20．(0分)[ID ：12733]若a 10=12，a m =22，则m =______． 21．(0分)[ID ：12769]设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，*n N ∈，则数列{}n b 的通项公式n b = ．22．(0分)[ID ：12766]函数()sin f x x ω=（0>ω）的图像与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为1A ，2A ，3A ，⋅⋅⋅，n A ，⋅⋅⋅，在点列{}n A 中存在三个不同的点k A 、l A 、p A ，使得△k l p A A A 是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数记为n ω，则6ω=________.23．(0分)[ID ：12752]已知复数z x yi =+，且23z -=，则yx的最大值为__________．24．(0分)[ID ：12751]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．下列命题正确的为_______________.①存在点E ，使得11A C //平面1BED F ； ②对于任意的点E ，平面11AC D ⊥平面1BED F ； ③存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ；④对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变．25．(0分)[ID ：12760]△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________． 三、解答题26．(0分)[ID ：12924]已知直线12:210:280,l x y l ax y a ，++=+++=且12l l //． （1）求直线12,l l 之间的距离；（2）已知圆C 与直线2l 相切于点A ，且点A 的横坐标为2-，若圆心C 在直线1l 上，求圆C 的标准方程．27．(0分)[ID ：12910]为了解某地区某种产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：（1）求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取到最大值？（保留两位小数）参考公式：121()()()ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑1221ni ii nii x y nxyxnx ==-=-∑∑ ，^^y x a b=- 28．(0分)[ID ：12902]ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若7c =33ABC S ∆=ABC ∆的周长. 29．(0分)[ID ：12881]已知平面向量()3,4a =，()9,b x =，()4,c y =，且//a b ，a c ⊥.（1）求b 和c ；（2）若2m a b =-，n a c =+，求向量m 与向量n 的夹角的大小.30．(0分)[ID ：12875]已知向量(3,2)a =-，(2,1)=b ，(3,1)c =-，,m t ∈R . （1）求||a tb +的最小值及相应的t 的值； （2）若a mb -与c 共线，求实数m .【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．D3．D4．B5．A6．D7．A8．C9．B10．D11．D12．C13．B14．A15．C二、填空题16．【解析】【分析】先利用周期公式求出再利用平移法则得到新的函数表达式依据函数为奇函数求出的表达式即可求出的最小值【详解】由得所以向左平移个单位后得到因为其图像关于原点对称所以函数为奇函数有则故的最小值17．【解析】【分析】由题意得到关于m的方程解方程即可求得最终结果【详解】由题意结合直线平行的充分必要条件可得：解得：此时两直线方程分别为：两直线不重合据此可知：【点睛】本题主要考查直线平行的充分必要条件18．【解析】试题分析：因为且为三角形的内角所以又因为所以【考点】正弦定理两角和差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信19．【解析】【分析】利用换元法令然后利用配方法求其最小值【详解】令则当时函数有最小值故答案为【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式性求最值；20．5【解析】21．2n+1【解析】由条件得且所以数列是首项为4公比为2的等比数列则22．【解析】【分析】由可求得的横坐标进而得到的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分析以为顶点的三角形为等腰直角三角形即可由垂直关系可得平面向量数量积为零进而求得的通项公式代入即可得到结果【详解】由得：……23．【解析】【分析】根据复数z的几何意义以及的几何意义由图象得出最大值【详解】复数且复数z的几何意义是复平面内以点为圆心为半径的圆的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：即的最大值为故答案为：24．①②④【解析】【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可【详解】①当为棱上的一中点时此时也为棱上的一个中点此时//满足//平面故①正确；②连结则平面因为平面25．【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为化简求得利用余弦定理结合题中的条件可以得到可以断定为锐角从而求得进一步求得利用三角形面积公式求得结果【详解】因为结合正弦定理可得可得因为结合余弦定理可三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B【解析】 【分析】先计算a 与b 的模，再根据向量数量积的性质22()a b a b +=+即可计算求值. 【详解】因为()cos ,sin a θθ=，()1,2b =， 所以||1a =，||3b =.又222222()2||2||||cos||6a b a b a a b b a a b b +=+=+⋅+=+π+137=++=， 所以7a b +=，故选B. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题.2．D解析：D 【解析】 【分析】先用AB 和AC 表示出2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-， 再根据，12BD DC =用用AB 和AC 表示出AD ，再根据4AD AC ⋅=求出A AB C ⋅的值，最后将A AB C ⋅的值代入2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-，，从而得出答案． 【详解】()2A =A AB BC AB C AB AB C AB ⋅=⋅-⋅-，∵12BD DC =， ∴111B C ?C B 222AD A A AD AD A AD A -=-=-+（）， 整理可得：12AB 33AD AC +＝， 221A A 433AD AC AB C C ∴⋅⋅+=＝∴ A =-12AB C ⋅，∴2=A =122537AB BC AB C AB ⋅⋅---=-．， 故选：D ．本题考查了平面向量数量积的运算，注意运用平面向量的基本定理，以及向量的数量积的性质，考查了运算能力，属于中档题．3．D解析：D 【解析】试题分析：cos[2(π4−α)]=2cos 2(π4−α)−1=2×(35)2−1=−725， 且cos[2(π4−α)]=cos[π2−2α]=sin2α，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．4．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点,22⎛ ⎝⎭，22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.5．A解析：A 【解析】 【分析】首先整理函数的解析式为()4f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由函数为奇函数可得4πϕ=-，由最小正周期公式可得4ω=，结合三角函数的性质考查函数在给定区间的单调性即可. 【详解】由函数的解析式可得：()4f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 函数为奇函数，则当0x =时：()4k k Z πϕπ+=∈.令0k =可得4πϕ=-.因为直线y =与函数()f x 的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π 结合最小正周期公式可得：22ππω=，解得：4ω=.故函数的解析式为：()4f x x =.当3,88x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，34,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数在所给区间内单调递减； 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()40,x π∈，函数在所给区间内不具有单调性； 据此可知，只有选项A 的说法正确. 故选A . 【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，考查了三角函数的周期性、单调性，三角函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．D解析：D 【解析】 【分析】利用已知条件推出x +y ＝1，然后利用x ，y 的范围，利用基本不等式求解xy 的最值． 【详解】解：D ，E 是ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，可得x y 1+=，x ，12y ,33⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2x y 1xy ()24+≤=，当且仅当1x y 2==时取等号，并且()2xy x 1x x x =-=-，函数的开口向下， 对称轴为：1x 2=，当1x 3=或2x 3=时，取最小值，xy 的最小值为：29．则xy 的取值范围是：21,.94⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选D ． 【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．7．A解析：A 【解析】 【分析】首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形，然后求解其单调区间即可.【详解】 函数的解析式即：()223sin 23sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其单调增区间满足：()23222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得：()7131212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A . 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．C解析：C 【解析】试题分析：将此问题转化为等差数列的问题，首项为，,求公差，，解得：尺，故选C.考点：等差数列9．B解析：B 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算即可算出． 【详解】 解：30AOC ︒∠=3cos ,2OC OA ∴<>=32OC OA OC OA⋅∴=()32mOA nOB OA mOA nOB OA+⋅∴=+ 22222322m OA nOB OAm OA mnOA OB n OB OA+⋅=+⋅+1OA =，3OB =，0OA OB ⋅== 229m n ∴=又C 在AB 上 0m ∴>，0n > 3m n∴= 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用．10．D解析：D 【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确；∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确； 由于f 2π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误． 故选D.11．D解析：D 【解析】()sin(2)cos(2))2442f x x x x x πππ=+++=+=,由02,x π<<得02x π<<，再由2,x k k Z ππ=+∈,所以,22k x k Z ππ=+∈. 所以y=f(x)在()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线2x π=对称,故选D.12．C解析：C 【解析】【分析】由二项展开式的通项公式为()12rn rrr n T C x -+⎛= ⎝及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：6n =，令展开式通项中x 的指数为3，即可求得2r ，问题得解． 【详解】二项展开式的第1r +项的通项公式为()12rn rrr n T C x -+⎛= ⎝由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：12:2:5n n C C =. 解得：6n =.所以()()366216221rr n rr rr r r n T C x C x---+⎛==- ⎝令3632r -=，解得：2r ，所以3x 的系数为()2262621240C --=故选C 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．13．B解析：B 【解析】 【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题． 【详解】如图所示， 作EO CD ⊥于O ，连接ON ，过M 作MF OD ⊥于F ． 连BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ．,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴∆与EON ∆均为直角三角形．设正方形边长为2，易知12EO ON EN ===，5,22MF BF BM ==∴=BM EN ∴≠，故选B ．【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角性．14．A解析：A 【解析】 【分析】由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ，求得1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角，在1BC O ∆中，即可求解． 【详解】由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ,因为正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1， 所以1,BO AC BO AA ⊥⊥，因为1AC AA A ⋂=，所以BO ⊥平面11ACC A ， 所以1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角， 因为222113131(),(2)()2222BO C O =-==+=， 所以11332tan 332BO BC O OC ∠===， 所以0130BC O ∠=，1BC 与侧面11ACC A 所成的角030．【点睛】本题主要考查了直线与平面所成的角的求解，其中解答中空间几何体的线面位置关系，得到1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化与化归思想，属于中档试题．15．C解析：C 【解析】 【分析】根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形． 【详解】①PA ⊥平面ABC ，,,,PA AB PA AD PA AC PAB ∴⊥⊥⊥∴∆,,PAD PAC ∆∆都是直角三角形；②90,BAC ABC ︒∠=∴是直角三角形； ③,,AD BC ABD ACD ⊥∴∆∆是直角三角形；④由,PA BC AD BC ⊥⊥得BC ⊥平面PAD ，可知：,,BC PD PBD PCD ⊥∴∆∆也是直角三角形.综上可知：直角三角形的个数是8个，故选C ．【点睛】本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题．二、填空题16．【解析】【分析】先利用周期公式求出再利用平移法则得到新的函数表达式依据函数为奇函数求出的表达式即可求出的最小值【详解】由得所以向左平移个单位后得到因为其图像关于原点对称所以函数为奇函数有则故的最小值解析：3π【解析】 【分析】先利用周期公式求出ω，再利用平移法则得到新的函数表达式，依据函数为奇函数，求出m 的表达式，即可求出m 的最小值．【详解】由2T ππω==得2ω=，所以sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向左平移()0m m >个单位后，得到sin[2()]sin(22)33y x m x m ππ=++=++，因为其图像关于原点对称，所以函数为奇函数，有2,3m k k Z ππ+=∈，则62k m ππ=-+，故m 的最小值为3π．【点睛】本题主要考查三角函数的性质以及图像变换，以及sin()y A x ωϕ=+ 型的函数奇偶性判断条件．一般地sin()y A x ωϕ=+为奇函数，则k ϕπ=；为偶函数，则2k πϕπ=+；cos()y A x ωϕ=+为奇函数，则2k πϕπ=+；为偶函数，则k ϕπ=．17．【解析】【分析】由题意得到关于m 的方程解方程即可求得最终结果【详解】由题意结合直线平行的充分必要条件可得：解得：此时两直线方程分别为：两直线不重合据此可知：【点睛】本题主要考查直线平行的充分必要条件解析：32- 【解析】 【分析】由题意得到关于m 的方程，解方程即可求得最终结果. 【详解】由题意结合直线平行的充分必要条件可得：()()1130m m ⨯--⨯+=， 解得：32m =-，此时两直线方程分别为：1x y -=，338022x y --=， 两直线不重合，据此可知：32m =-. 【点睛】本题主要考查直线平行的充分必要条件，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．【解析】试题分析：因为且为三角形的内角所以又因为所以【考点】正弦定理两角和差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信 解析：2113【解析】试题分析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C π=-+=+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==. 【考点】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．19．【解析】【分析】利用换元法令然后利用配方法求其最小值【详解】令则当时函数有最小值故答案为【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式性求最值； 解析：134-【解析】 【分析】利用换元法，令sin x t =，[]1,1t ∈-，然后利用配方法求其最小值． 【详解】令sin x t =，[]1,1t ∈-，则2113324y t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 当12t =-时，函数有最小值134-，故答案为134-.【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成2sin sin y a x b x c =++的形式利用配方法求最值；②形如sin sin a x by c x d+=+的可化为sin ()x y φ=的形式性求最值；③sin cos y a x b x =+型，可化为)y x φ=+求最值；④形如()sin cos sin cos y a x x b x x c =±++可设sin cos ,x t ±=换元后利用配方法求最值. 20．5【解析】解析：5 【解析】5,52a m ====21．2n+1【解析】由条件得且所以数列是首项为4公比为2的等比数列则解析：2n+1由条件得111112222222111n n n n n n n n a a a b b a a a ++++++++====---，且14b =，所以数列{}n b 是首项为4，公比为2的等比数列，则11422n n n b -+=⋅=．22．【解析】【分析】由可求得的横坐标进而得到的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分析以为顶点的三角形为等腰直角三角形即可由垂直关系可得平面向量数量积为零进而求得的通项公式代入即可得到结果【详解】由得：…… 解析：112π【解析】 【分析】 由2x k πωπ=+可求得n A 的横坐标，进而得到n A 的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分析以1A ，2n A ，41n A -为顶点的三角形为等腰直角三角形即可，由垂直关系可得平面向量数量积为零，进而求得n ω的通项公式，代入6n =即可得到结果. 【详解】由2x k πωπ=+，k Z ∈得：()212k x πω+=，k Z ∈1,12A πω⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，23,12A πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，35,12A πω⎛⎫ ⎪⎝⎭，47,12A πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，…… 若123A A A ∆为等腰直角三角形，则212232,2,240A A A A πππωωω⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：2πω=，即12πω=同理若147A A A ∆为等腰直角三角形，则14470A A A A ⋅= 232πω∴= 同理若1611A A A ∆为等腰直角三角形，则166110A A A A ⋅= 352πω∴= 以此类推，可得：()212n n πω-= 6112πω∴=故答案为：112π本题考查正弦型函数图象与性质的综合应用问题，关键是能够根据正弦函数周期性的特点确定所分析成等腰直角三角形的三个顶点的位置，进而由垂直关系得到平面向量数量积为零，构造方程求得结果.23．【解析】【分析】根据复数z 的几何意义以及的几何意义由图象得出最大值【详解】复数且复数z 的几何意义是复平面内以点为圆心为半径的圆的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：即的最大值为故答案为： 解析：【解析】 【分析】根据复数z 的几何意义以及yx的几何意义，由图象得出最大值. 【详解】复数z x yi =+且23z -=，复数z 的几何意义是复平面内以点(2,0)为圆心，3为半径的圆22(2)3x y -+=.yx的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：max331y x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 即yx3 3【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用，属于中档题.24．①②④【解析】【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可【详解】①当为棱上的一中点时此时也为棱上的一个中点此时//满足//平面故①正确；②连结则平面因为平面解析：①②④ 【解析】 【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可． 【详解】①当E 为棱1CC 上的一中点时，此时F 也为棱1AA 上的一个中点，此时11A C //EF ，满足11A C //平面1BED F ，故①正确；②连结1BD ，则1B D ⊥平面11AC D ，因为1BD ⊂平面1BED F ，所以平面11A C D ⊥平面1BED F ，故②正确；③1BD ⊂平面1BED F ，不可能存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ，故③错误； ④四棱锥11B BED F -的体积等于1111D BB F D BB E V V --+，设正方体的棱长为1. ∵无论E 、F 在何点，三角形1BB E 的面积为111122⨯⨯=为定值，三棱锥11D BB E -的高111D C =，保持不变，三角形1BB F 的面积为111122⨯⨯=为定值，三棱锥11D BB F -的高为111D A =，保持不变.∴四棱锥11B BED F -的体积为定值，故④正确. 故答案为①②④. 【点睛】本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的位置关系的判断，解答本题的关键正确利用分割法求空间几何体的体积的方法，综合性较强，难度较大．25．【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为化简求得利用余弦定理结合题中的条件可以得到可以断定为锐角从而求得进一步求得利用三角形面积公式求得结果【详解】因为结合正弦定理可得可得因为结合余弦定理可解析：3. 【解析】 【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，化简求得1sin 2A =，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到2cos 8bc A =，可以断定A 为锐角，从而求得cos 2A =，进一步求得3bc =，利用三角形面积公式求得结果. 【详解】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=， 可得1sin 2A =，因为2228b c a +-=， 结合余弦定理2222a b c bccosA =+-，可得2cos 8bc A =， 所以A为锐角，且cos A =，从而求得bc =， 所以ABC ∆的面积为111sin 222S bc A ===. 【点睛】本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc +-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30、45、60等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.三、解答题26．（12）22x (y 1)5++=．【解析】【分析】 ()1先由两直线平行解得a 4=，再由平行直线间的距离公式可求得；()2代x 2=-得()A 2,2--，可得AC 的方程，与1l 联立得()C 0,1-，再求得圆的半径，从而可得圆的标准方程．【详解】解：()121l //l ，a 28a 211+∴=≠，解得a 4=， 1l ∴：2x y 10++=，2l ：2x y 60++=， 故直线1l 与2l的距离d === ()2当x 2=-代入2x y 60++=，得y 2=-，所以切点A 的坐标为()2,2--，从而直线AC 的方程为()1y 2x 22+=+，得x 2y 20--=， 联立2x y 10++=得()C 0,1-．由()1知C所以所求圆的标准方程为：22x (y 1)5++=．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了两条平行线的距离公式，属中档题． 27．(1) 8.69 1.ˆ23yx =- (2) 2.72x =，年利润z 最大 【解析】分析：（1）由表中数据计算平均数与回归系数，即可写出线性回归方程；（2）年利润函数为(2)z x y =-，利用二次函数的图象与性质，即可得到结论. 详解：（1）3x =，5y =，5115i i x ==∑，5125i i y ==∑，5162.7i i i x y ==∑，52155i x ==∑，52155i i x ==∑， 解得：^ 1.23b =-，^8.69a =，所以：8.69 1.ˆ23yx =-， （2）年利润()28.69 1.232 1.23 6.69z x x x x x =--=-+ 所以 2.72x =，年利润z 最大.点睛：本题考查了线性回归方程以及利用回归方程预测生产问题，试题比较基础，对于线性回归分析的问题：（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数r 公式求出r ，然后根据r 的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性． 28．（1）3C π=（2）5【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=12cos sin()sin cos 23C A B C C C π∴+=⇒=⇒=（2）11sin 622ABC S ab C ab ab ∆=⇒=⇒= 又2222cos a b ab C c +-=2213a b ∴+=，2()255a b a b ∴+=⇒+=ABC ∆∴的周长为5考点：正余弦定理解三角形.29．（1）()9,12b =，()4,3c =-；（2）34π. 【解析】【分析】（1）利用共线向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示并结合条件//a b ，a c ⊥，列方程求出x 、y 的值，可得出向量b 和c 的坐标；（2）求出m 、n 的坐标，利用向量数量积的坐标运算计算出向量m 与向量n 夹角的余弦值，由夹角的取值范围可求出这两个向量夹角的值.【详解】（1）()3,4a =，()9,b x =，()4,c y =，且//a b ，a c ⊥，3493440x y =⨯⎧∴⎨⨯+=⎩， 解得123x y =⎧⎨=-⎩，因此，()9,12b =，()4,3c =-； （2）()()()223,49,123,4m a b =-=⨯-=--，()()()3,44,37,1n a c =+=+-=，则374125m n ⋅=-⨯-⨯=-，()(35m ∴=-+-=，271n =+=设m 与n 的夹角为θ，25cos ,55m nm n m n ⋅-∴===⨯⋅，0θπ≤≤，则34πθ=. 因此，向量m 与向量n 的夹角为34π. 【点睛】 本题考查平面向量的坐标运算，涉及共线向量、向量垂直以及利用坐标计算向量的夹角，解题的关键就是将问题转化为向量的坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 30．（1）45t =2）35. 【解析】【分析】(1)利用向量的模长公式计算出||a tb +的表达式然后求最值.(2)先求出a mb -的坐标，利用向量平行的公式得到关于m 的方程，可解得答案.【详解】（1）∵(23,2)a tb t t +=-+，∴||(2a tb t +=-==当45t =时，||a tb +. （2）(32,2)a mb m m -=---. ∵a mb -与c 共线，∴32630m m +-+=，则35m =. 【点睛】本题考查向量的模长的计算以及其最值和根据向量平行求参数的值，属于基础题.。
高一数学下学期期末考试试题(含解析) (3).doc
2019高一年期末考试数学试卷选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知角的终边经过点P(4，－3)，则2sin＋c os的值等于( )A. －B.C. －D.【答案】A【解析】【分析】根据角的终边过点，利用任意角三角函数的定义，求出和的值，然后求出的值.【详解】因为角的终边过点，所以利用三角函数的定义，求得，，故选A.【点睛】本题主要考查三角函数的定义，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.2.若扇形的面积为,半径为1，则扇形的圆心角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设扇形的圆心角为α，则∵扇形的面积为，半径为1，∴故选B3.如果点P (sin2 θ，2cos θ)位于第三象限，那么角θ所在的象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】根据所给的点在第三象限，得出出这个点的横坐标和纵坐标都小于零，得到角的正弦值大于零，余弦值都小于零，从而可得角是第二象限的角.【详解】点位于第三象限，，，是第二象限的角，故选B.【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、三角函数的定义以及三角函数在象限内的符号，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.4.由x与y的观测数据求得样本平均数＝5，＝8.8，并且当x＝8时，预测y＝14.8，则由这组观测数据求得的线性回归方程可能是( )A. ＝x＋3.8B. ＝2x－1.2C. ＝x＋10.8D. ＝－x＋11.3【答案】B【解析】【分析】设回归直线的方程为，将点与点代入回归方程即可的结果.【详解】可设回归直线的方程为，因为样本中心点在回归直线上，即在回归直线上，结合在回归直线上可得，解得，故回归方程为，故选B.【点睛】本题主要考查回归方程的性质，属于简单题. 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.5.已知曲线C1：y=sin x，C2：y=sin (2x+)，把C1上各点的横坐标变为原来的k倍，纵坐标不变，再向左平移m个单位长度为了得到曲线C2，则k，m的值可以是（）A. k=2，m=B. k=2，m=C. k=，m=D. k=，m=【解析】【分析】函数的图象变换规律，利用放缩变换可得的值，利用平移变换可得的值. 【详解】把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线的图象，所以，故选D.【点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.6.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A. 7B. 12C. 17D. 34【答案】C【解析】【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，可得结论.【详解】输入的，当输入的为2时，，不满足退出循环的条件；当再次输入的为2时，，不满足退出循环的条件；当输入的为5时，，满足退出循环的条件；故输出的值为，故选C.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7.在三角形ABC中，点M，N满足.若，则（）A. x＝，y＝－B. x＝－，y＝－C. x＝，y＝D. x＝－，y＝【答案】A【解析】【分析】首先利用向量的三角形法则，将所求用向量表示，然后利用平面向量基本定理得到的值.【详解】因为，所以得到，由平面向量基本定理，得到，故选A.【点睛】本题主要考查向量的几何运算及平面向量基本定理的应用，属于中档题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．8.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由的范围求出的范围，根据的值，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，原式角度变形后利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可得结果.【详解】，，，则，故选A.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．9.同时具有性质：①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数的一个函数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦、余弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确即可.【详解】函数的最小正周期为，不满足①，排除A；函数的最小正周期为，满足①，时，取得最大值，是的一条对称轴，满足②；又时，单调递增，满足③，满足题意；函数在，即时单调递减，不满足③，排除C；时，不是最值，不是的一条对称轴，不满足②，排除D，故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.10.甲、乙两人各自投一枚质地均匀的骰子，甲得的点数记为a，乙得的点数记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】试验包含的所有事件共有，其中其中满足的有种，利用古典概型概率公式可得结果.【详解】试验包含的所有事件甲、乙两人各自投一枚质地均匀的骰子，共有种结果，其中满足的有如下情形：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则；⑥若，则，总共种，的概率为，故选D.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于中档题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.11.已知，函数在（，）上单调递减，则的取值范围是（）A. （0，]B. （0，2]C. [，]D. [，]【答案】C【解析】【分析】由，可得，令是减区间的子集，即可的结果.【详解】，，函数在上单调递减，周期，解得，的减区间满足：，取，得，解之得，即的取值范围是[，]，故选C.【点睛】本题主要考查三角函数的单调性，属于中档题. 函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.12.已知平面上有四点O，A，B，C，向量满足：，则△ABC的周长是( )A. 3B. 9C. 3D. 6【答案】A【解析】【分析】由可得是正三角形，先利用平面向量数量积公式求出外接圆半径，再由正弦定理可得正三角形边长，从而可得结果.【详解】平面上有四点，满足，是的重心，，，即，同理可得：，即是垂心，故是正三角形，，设外接圆半径为，则，即，即，即，故周长，故选A.【点睛】本题主要考查向量垂直及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13.已知向量的夹角为60°，|，则 ____________ ．【答案】12【解析】【分析】先利用平面向量数量积公式求出的数量积，然后将展开后，把代入即可的结果.【详解】，向量与的夹角为，，由此可得，故答案为12.【点睛】本题主要考查平面向量数量积公式的应用，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.14.若，则的值为_________.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系，将原式化为，将代入即可得结果.【详解】化简故答案为.【点睛】本题主要考查诱导公式以及同角三角函数之间的关系的应用，属于中档题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.15.已知是所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是．【答案】【解析】试题分析：以为邻边作平行四边形，则因为，即，所以,由此可得是边上的中线的中点，点到的距离等于到距离的，所以，由几何概型可知将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是.考点：平面向量的线性运算与几何概型.16.在中，，则的最大值为___________．【答案】【解析】【分析】设，利用余弦定理，列出关于的方程，由判别式不小于零可得结果.【详解】设，由余弦定理，，设，代入上式得，，故，当时，此时，符合题意，因此最大值为，故答案为.【点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.在四边形ABCD中，＝(6，1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，且∥.(1)求x与y的关系式；(2)若⊥，求x、y的值．【答案】（1）0（2）【解析】【分析】(1)利用向量的坐标运算求出与，根据向量平行的充要条件可得结果；（2）利用向量的坐标运算求出与，根据向量垂直的充要条件列方程，结合（1）的结论可得结果.【详解】(1)因为＝＋＋＝(x＋4，y－2)，所以＝－＝(－x－4，2－y)．又因为∥，＝(x，y)，所以x(2－y)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.(2)由于＝＋＝(x＋6，y＋1)，＝＋＝(x－2，y－3)．因为⊥，所以·＝0，即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，所以y2－2y－3＝0，所以y＝3或y＝－1当y＝3时，x＝－6，当y＝－1时，x＝2，综上可知或【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.18.已知、、为的三内角，且其对边分别为、、，若．（1）求角的大小；（2）若，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）已知等式左边利用两角差的余弦函数公式化简，求出的值，确定出的度数，即可求出的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将与的值代入求出的值，再由的值，利用三角形面积公式即可求出三角形的面积.【详解】(1)∵cos B cos C－sin B sin C＝，∴cos(B＋C)＝.∵A＋B＋C＝π，∴cos(π－A)＝.∴cos A＝－.又∵0<A<π，∴A＝.(2)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc·cos A.则(2)2＝(b＋c)2－2bc－2bc·cos.∴12＝16－2bc－2bc·(－)．∴bc＝4.∴S△ABC＝bc·sin A＝×4×＝.【点睛】本题主要考查余弦定理、特殊角的三角函数以及三角形面积公式的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.19.设函数f(x)＝cos(2x＋)＋sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时x的取值；(3)设A，B，C为△ABC的三个内角，若cos B＝，f ()＝－，且C为锐角，求sin A.【答案】（1）（2）（3） 3【解析】【分析】(1)利用两角和的余弦公式以及二倍角的余弦公式化简函数为，可得最大值为，最小正周期；（2）由，求得，由，求得的值，再利用，计算求得结果.【详解】(1)f(x)＝cos2x cos－sin2x sin＋＝cos2x－sin2x＋－cos2x＝－sin2x.f(x)的最小正周期T＝＝π(2)当2x＝－＋2kπ，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，f(x)最大值＝，(3)由f()＝－，即－sin C＝－，解得sin C＝，又C为锐角，所以C＝.由cos B＝，求得sin B＝.由此sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝×＋×＝.【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数性质及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.20.如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.（1）求cos∠CAD的值；（2）若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．【答案】(1)(2)【解析】试题分析：(1)利用题意结合余弦定理可得；(2)利用题意结合正弦定理可得：.试题解析：（I）在中，由余弦定理得(II)设在中，由正弦定理，故点睛：在解决三角形问题中，面积公式S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.21.已知函数.（1）当=1时，求该函数的最大值；（2）是否存在实数，使得该函数在闭区间上的最大值为1 ？若存在，求出对应的值；若不存在，试说明理由.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当=1时，，结合三角函数的有界性可得结果；（2），，根据二次函数对称轴的位置，分类讨论，结合函数的单调性可得结果.【详解】（1）当=1时，由于，所以当时，函数的最大值为..（2），.当时，则取时，有最大值，解得，但不合题意，舍去；当时，则取时，有最大值，解得（舍去）；当时，则取时，有最大值，解得，但不合题意，舍去。
2019年延安市高一数学下期末模拟试题含答案
2019年延安市高一数学下期末模拟试题含答案一、选择题1．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =A ．5B ．7C ．9D ．112．ABC V 中，已知sin cos cos a b cA B C==，则ABC V 为（ ） A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．有一个内角为30°的直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形3．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．73B ．8π3- C ．83D ．7π3- 5．若,αβ均为锐角，25sin α=()3sin 5αβ+=，则cos β=A 25B 25C 25或25 D ．256．已知01a b <<<，则下列不等式不成立．．．的是 A ．11()()22ab>B ．ln ln a b >C ．11a b> D ．11ln ln a b> 7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为A ．1B ．2C ．3D ．48．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 9．函数2ln ||y x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．（2018年天津卷文）设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩ 则目标函数35z x y =+的最大值为 A ．6B ．19C ．21D ．4511．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>12．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A ．7a =，3b =，30B =o B ．6b =，52c =，45B =o C ．10a =，15b =，120A =o D ．6b =，63c =，60C =o二、填空题13．()sin1013tan 70+=oo_____14．若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________．15．已知2a b ==r r ，()()22a b a b +⋅-=-r r r r ，则a r 与b r的夹角为 .16．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.17．()()()()()1tan11tan 21tan31tan 441tan 45︒︒︒︒︒+++++L =__________．18．在圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上且到直线x ＋y ＋1＝02的点共有________个．19．在△ABC 中，85a b ==，，面积为12，则cos 2C =______．20．若两个向量a v 与b v 的夹角为θ，则称向量“a b ⨯v v”为向量的“外积”，其长度为sin a b a b θ⨯=v v v v .若已知1a =v ，5b =v ，4a b ⋅=-v v ，则a b ⨯=v v .三、解答题21．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=. （1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围. 22．已知不等式的解集为或.（1）求；（2）解关于的不等式23．将函数()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象．（1）若()f x 为偶函数，求()fϕ的值；（2）若()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调函数，求ϕ的取值范围．24．记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值及对应n 的大小. 25．已知数列{}n a 满足()*112112n n n n na a a n Nb a a +==∈=+，，，． ()1证明数列{}n b 为等差数列；()2求数列{}n a 的通项公式．26．ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． (1)求sin sin BC； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A【解析】1353333,1a a a a a ++===，5153355()25522S a a a a =+=⨯==，选A. 2．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为sin cos cos a b c A B C==，所以sin sin sin sin cos cos 4A B C B C A B C π==∴== , 即ABC V 为等腰直角三角形.故选：B .3．D解析：D 【解析】试题分析：，且，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．4．B解析：B 【解析】 【分析】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积. 【详解】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为21118222123233ππ-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=.故选B. 【点睛】本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题.5．B解析：B【分析】利用角的等量代换，β=α+β-α，只要求出α的余弦，α+β的余弦，利用复合角余弦公式展开求之． 【详解】∵α为锐角，sin 52α= s ，∴α＞45°且5cos α= ，∵()3sin 5αβ+=，且13252＜ ，2παβπ∴+＜＜，∴45cosαβ+=-（） ， 则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα4355=-+= 故选B. 【点睛】本题考查两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．6．B解析：B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，以及不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出不等式不成立的选项. 【详解】依题意01a b <<<，由于12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为定义域上的减函数，故11()()22a b >，故A 选项不等式成立.由于ln y x =为定义域上的增函数，故ln ln 0a b <<，则11ln ln a b>，所以B 选项不等式不成立，D 选项不等式成立.由于01a b <<<，故11a b>，所以C 选项不等式成立.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的性质，属于基础题.7．B解析：B 【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值.详解：结合流程图运行程序如下： 首先初始化数据：20,2,0N i T ===，20102N i ==，结果为整数，执行11T T =+=，13i i =+=，此时不满足5i ≥； 203N i =，结果不为整数，执行14i i =+=，此时不满足5i ≥； 2054N i ==，结果为整数，执行12T T =+=，15i i =+=，此时满足5i ≥； 跳出循环，输出2T =. 本题选择B 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．8．D解析：D 【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确；∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确； 由于f 2π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误． 故选D.9．A解析：A 【解析】 【分析】先确定函数定义域，再确定函数奇偶性，最后根据值域确定大致图像。
陕西省延安市2019-2020学年高一下期末检测数学试题含解析
陕西省延安市2019-2020学年高一下期末检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设,,a b c 为ABC 中的三边长，且1a b c ++=，则2224a b c abc +++的取值范围是（ ）A ．131,272⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．131,272⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．131,272⎛⎤⎥⎝⎦ D ．131,272⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】B 【解析】 【分析】由222+,,4()a b c abc f a b c ++=，则(,,2()4)12ab c a bc f c a a b b --++=，再根据三角形边长可以证得()1,,2f a b c <，再利用不等式和已知可得22(1)()24a b c ab +-≤=，进而得到3211(,,)22f a b c c c ≥-+，再利用导数求得函数的单调性，求得函数的最小值，即可求解．【详解】由题意，记222+,,4()a b c abc f a b c ++=，又由1a b c ++=，则222122()42()22(1,))(,ab c a b abc c ab a b f a b ab c c =--++=+--++2221111112[]24()()()222222c ab a b c a b =+--+=---+，又,,a b c 为△ABC 的三边长，所以120,120,120a b c ->->->，所以()1,,2f a b c <， 另一方面(),,12(12)2(1)f a b c ab c c c =----，由于0,0a b >>，所以22(1)()24a b c ab +-≤=， 又120c ->，所以232(1)11(,,)12(12)2(1)422c f a b c c c c c c -≥-⨯---=-+，不妨设a b c ≥≥，且,,a b c 为ABC ∆的三边长，所以103c <≤． 令321122y c c =-+，则23(31)0y c c c c '=-=-≤， 当13c =时，可得2min 111113()2723227y =-+=，从而()131,,272f a b c ≤<，当且仅当13a b c ===时取等号． 故选B ． 【点睛】本题主要考查了解三角形，综合了函数和不等式的综合应用，以及基本不等式和导数的应用，属于综合性较强的题，难度较大，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于难题． 2．已知样本9,10,11,,x y 的平均数是10，方差是2，则xy 的值为（ ） A ．88 B ．96 C ．108 D ．110【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数和方差公式列方程组，得出x y +和22xy +的值，再由()()2222x y x y xy +-+=可求得xy 的值．【详解】由于样本的平均数为10，则有91011105x y++++=，得20x y +=，由于样本的方差为2，有()()22101101025x y +++-+-=，得()()2210108x y -+-=， 即()22202008x y x y +-++=，22208x y ∴+=，因此，()()222962x y x y xy +-+==，故选B ． 【点睛】本题考查利用平均数与方差公式求参数，解题的关键在于平均数与方差公式的应用，考查计算能力，属于中等题．3．把函数()sin f x x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移6π个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=D ．712x π=【答案】A 【解析】 【分析】先求出图像变换最后得到的解析式，再求函数图像的对称轴方程. 【详解】由题得图像变换最后得到的解析式为sin 2()sin(2)63y x x ππ=-=-， 令52,,32212k x k k Z x πππππ-=+∈∴=+， 令k=-1,所以12x π=-.故选A 【点睛】本题主要考查三角函数图像变换和三角函数图像对称轴的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4．如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于（ ）A ．56B ．153C ．52D ．6【答案】D 【解析】 【分析】在三角形BCD 中，利用正弦定理求得BC ，然后在三角形ABC 中求得AB . 【详解】在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理得sin 30BC ︒＝30sin135︒，所以BC ＝152在Rt △ABC 中，AB ＝BCtan ∠ACB ＝236. 故选：D 【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查解直角三角形，属于基础题. 5．已知函数1cos 2()sin 2xf x x-=，则有A ．()f x 的图像关于直线π2x =对称 B ．()f x 的图像关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．()f x 的最小正周期为π2D ．()f x 在区间()0,π内单调递减【答案】B 【解析】 【分析】把函数()f x 化简后再判断． 【详解】21cos 22sin ()tan sin 22sin cos x x f x x x x x-===，由正切函数的性质知，A 、C 、D 都错误，只有B 正确．【点睛】本题考查二倍角公式和正切函数的性质．三角函数的性质问题，一般要把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后结合相应的三角函数得出结论．6．已知直线x y a +=与圆224x y +=交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量OA 、OB 满足，则实数a 的值是（ ）A ．2B ．2-C ．6或6-D ．2或2-【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 由，两边平方，得，所以，则为等腰直角三角形， 而圆的半径， 则原点到直线的距离为，所以，解得的值为2或-2 ．故选D ．7．某单位共有老年人180人,中年人540人,青年人人,为调查身体健康状况,需要从中抽取一个容量为的样本，用分层抽样方法抽取进行调查，样本中的中年人为6人,则和的值不可以是下列四个选项中的哪组（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】B【解析】 【分析】根据分层抽样的规律，计算和的关系为：，将选项代入判断不符合的得到答案.【详解】某单位共有老年人180人,中年人540人,青年人人, 样本中的中年人为6人，则老年人为：青年人为：代入选项计算，B 不符合 故答案为B 【点睛】本题考查了分层抽样，意在考查学生的计算能力.8．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：开机密码的可能有，，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是，故选C ．【考点】古典概型【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式（其中n 是基本事件的总数，m 是事件A 包含的基本事件的个数）得出的结果才是正确的．9．设偶函数()f x 定义在0022ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 上，其导数为()f x ' ，当02x π<< 时，()cos ()sin 0f x x f x x '+< ，则不等式()2cos 3f x f x π⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．0233πππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，B ．0332πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， C ．0033，，ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．2332ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，【答案】C 【解析】 构造函数()()cos f x g x x=，则()()()2'cos sin 'cos f x x f x xg x x+=，所以当02x π<<时，()'0g x <，()g x 单调递减，又()g x 在定义域内为偶函数，所以()g x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，又()2cos 3f x f x π⎛⎫>⎪⎝⎭等价于()3g x g π⎛⎫> ⎪⎝⎭， 所以解集为,00,33ππ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选C ． 点睛：本题考查导数的构造法应用．本题中，由条件构造函数()()cos f x g x x=，结合函数性质，可得抽象函数()g x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，结合函数草图，即可解得不等式解集． 10．直线:10m x y +-=被圆22:240M x y x y +--=截得的弦长为（ ）A ．4B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】先由圆的一般方程写出圆心坐标()1,2，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线m 的距离d ，则弦长等于【详解】∵22240x y x y +--=，∴()()22125x y -+-=，∴圆M 的圆心坐标为()1,2，，又点()1,2到直线10x y +-=的距离d ==∴直线m 被圆M 截得的弦长等于=【点睛】本题主要考查圆的弦长公式的求法，常用方法有代数法和几何法；属于基础题型.11．某船从A 处向东偏北30方向航行B 处，然后朝西偏南60的方向航行6千米到达C 处，则A 处与C 处之间的距离为（ ） AB．C ．3千米D ．6千米【答案】B 【解析】 【分析】通过余弦定理可得答案. 【详解】设A 处与C 处之间的距离为x 千米，由余弦定理可得()222626cos 603012x ︒︒=+-⨯-=，则x =【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，难度不大.12．在区间[1,5]内任取一个实数，则此数大于2的概率为（ ）A ．25B ．12C ．35D ．34【答案】D 【解析】 【分析】根据几何概型长度型直接求解即可. 【详解】根据几何概型可知，所求概率为：523514p -==- 本题正确选项：D 【点睛】本题考查几何概型概率问题的求解，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题13．若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b =_______. 【答案】1 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题中条件求出d 、q 的值，进而求出2a 和2b 的值，由此可得出22a b 的值.【详解】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d 和q ，则3138d q -+=-=，求得2q =-，3d =，那么221312a b -+==，故答案为1. 【考点】等差数列和等比数列 【点睛】等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题，因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 14． 两等差数列{a n }和{b n }前n 项和分别为S n ，T n ，且723n n S n T n +=+，则220715a a b b ++=__________． 【答案】14924【解析】数列{a n }和{b n }为等差数列，所以()()1212201212112171512121217212149221213242a a a a a a Sb b b b b b T +⨯++⨯+=====+⨯+++. 点睛：等差数列的常考性质：{a n }是等差数列，若m+n=p+q,则m n p q a a a a +=+.15．若数列{}n a 满足12a =-，且对于任意的*,m n ∈N ，都有m n m n a a a +=⋅，则3a =___；数列{}n a 前10项的和10S =____． 【答案】8-,682 【解析】试题分析：由m n m n a a a +=⋅得2113214,8,a a a a a a =⋅==⋅=-由m n m n a a a +=⋅得112n n n a a a a +=⋅=-，所以数列{}n a 为等比数列，因此10102[1(2)]682.1(2)S ---==--- 考点：等比数列通项与和项16．为了研究问题方便,有时将余弦定理写成: 2222cos a ab C b c -+=,利用这个结构解决如下问题:若三个正实数,,x y z ，满足229x xy y ++=,2216y yz z ++=，2225z zx x ++=，则xy yz zx ++=_______.【答案】【解析】 【分析】设ABC ∆的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，在ABC ∆内取点O ，使得23AOB BOC AOC π∠=∠=∠=，设OA x =，OB y =，OC z =，利用余弦定理得出ABC ∆的三边长，由此计算出ABC ∆的面积，再利用ABC AOB BOC AOC S S S S ∆∆∆∆=++可得出xy yz zx ++的值. 【详解】设ABC ∆的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 在ABC ∆内取点O ，使得23AOB BOC AOC π∠=∠=∠=， 设OA x =，OB y =，OC z =，由余弦定理得222222cos 9c x xy AOB y x xy y =-⋅∠+=++=，3c ∴=， 同理可得4a =，5b =，222a c b ∴+=，则90ABC ∠=，ABC ∆的面积为162ABC S ac ∆==，另一方面121212sin sin sin 232323ABC AOB AOC BOC S S S S xy yz zx πππ∆∆∆∆=++=++)6xy yz zx =++=，解得xy yz zx ++=【点睛】本题考查余弦定理的应用，问题的关键在于将题中的等式转化为余弦定理，并转化为三角形的面积来进行计算，考查化归与转化思想以及数形结合思想，属于中等题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
高一第二学期期末数学试卷含答案(上海市)
高一第二学期期终考试试卷数 学一、填空题(每题3分，共36分) 1、求值：=-)23arcsin(___________ 2、在等差数列}{n a 中，若304321=+++a a a a ，则32a a +=___________3、若413)2(lim2=+++-∞→n bn n a n ，则b a +=________ 4、各项均不为零的数列}{n a 满足n n a a 21=+(*N n ∈)，设其前n 项和为n S ，则24a S =___________ 5、设无穷等比数列}{n a 的公比为q ，若)(lim 431n n a a a a +++=∞→ ，则q =__________6、已知函数],[,sin )(ππ-∈=x x x f ，则不等式21)(-≤x f 的解集为__________ 7、已知函数)sin()(θ+=x x f 是奇函数，则满足条件的所有θ组成的集合为_________8、已知数列}{n a 是等比数列，其前n 项和k S n n +=-13(*N n ∈)，则常数=k ___________9、已知数列}{n a 满足161=a ，n a a n n 21=-+(*N n ∈)，则na n的最小值为___________ 10、函数x x y arcsin sin +=的值域是___________ 11、关于x 的方程0sin cos 2=++a x x 在20π≤<x 上有解，则a 的取值范围是________12、已知xx f +=11)(，各项均为正数的数列}{n a 满足11=a ，)(2n n a f a =+，若012210a a =，则1120a a +的值是___________二、选择题(每题3分，共12分)13、方程2tan =x 的解集是 （ ）(A)},2arctan 2|{Z k k x x ∈+=π (B) },2arctan 2|{Z k k x x ∈±=π (C) },2arctan |{Z k k x x ∈+=π (D) },2arctan )1(|{Z k k x x k∈⋅-+=π14、设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足“当2)(k k f ≥成立时，总可推出2)1()1(+≥+k k f 成立”。
2019年最新高三题库 上海延安中学2019学年度高一年级第二学期期末考试数学试卷
上海市延安中学第二学期期末考试（高一数学）（考试时间：90分钟 满分：100分）班级______________姓名______________学号________________成绩______________一、填空题（本大题共45分，每小题3分）1、在等差数列{}n a 中，已知12a =，24a =-，则4a =___________.2、在等比数列{}n a 中，已知12a =，24a =-，则4a =___________.3、函数sin y x π=的最小正周期为___________.4、函数sin cos cos 2y x x x =的值域为___________.5、等差数列1,5,,2013 的各项的和为___________.6、若公比为100的等比数列{}n a 的每一项均为正数，则{lg }n a 是公差为___________的等差数列.7、已知数列{}n a 的前n 项和22n S n =，则该数列的通项公式n a =___________.8cos 2sin()x x x θ-=+，其中02θπ<<，则θ的值为___________.9、函数cos()2y x π=-的单调增区间是___________.10、函数arccos3y x =的反函数的值域为___________.11、方程1sin 22x =的解集为___________. 12、已知tan 2x =，且(,)x ππ∈-，则x =___________.13、若等差数列{}n a 的公差0d ≠，且2a 、5a 、14a 恰成公比为q 的等比数列，则q =___________.14、已知()(1)(2)2(*)f k k k k k k N =++++++∈ ，则(1)()f k f k +-=___________.15、已知数列{}n a 的前n 项和3n S n =，则1101()102a a +⋅的值为___________. 二、选择题（本大题共12分，每小题3分）16、在等差数列{}n a 中，已知1k a =，21sin k a θ+=，则2k a +=（ ）（A ）2cos θ （B ）2cos θ- （C ）cos 2θ （D ）cos 2θ-.17、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果已知521a a +的值，我们可以求得（ ）。
上海市2019-2020学年高一下期末检测数学试题含解析
上海市2019-2020学年高一下期末检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，若a α⊥，b β⊥，//αβ，则下列三个结论：①//a b 、②a b ⊥、③a β⊥．其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】【分析】根据题意，a α⊥，b β⊥，//αβ，则有b α⊥，因此//a b ，a β⊥，不难判断.【详解】因为a α⊥，b β⊥，//αβ，则有b α⊥，所以//a b ，a β⊥，所以①正确，②不正确，③正确，则其中正确命题的个数为2.故选C【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间推理能力，属于简单题.2．问题：①有1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会. 方法：Ⅰ.随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法.其中问题与方法能配对的是( )A ．①Ⅰ，②ⅡB ．①Ⅲ，②ⅠC ．①Ⅱ，②ⅢD ．①Ⅲ，②Ⅱ 【答案】B【解析】解：（1）中由于小区中各个家庭收入水平之间存在明显差别故（1）要采用分层抽样的方法（2）中由于总体数目不多，而样本容量不大故（2）要采用简单随机抽样故问题和方法配对正确的是：（1）Ⅲ（2）Ⅰ．故选B ．3．已知a b <，则下列不等式成立的是（ ）A ．11a b >B ．a b <C ．22a b <D ．33a b <【答案】D【解析】【分析】利用排除法，取3a =-，2b =，可排除错误选项，再结合函数3y x =的单调性，可证明D 正确.【详解】取3a =-，2b =，可排除A ，B ，C ，由函数3y x =是R 上的增函数，又a b <，所以33a b <，即选项D 正确.故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质，考查学生的推理论证能力，属于基础题.4．已知数列{}{},n n a b 满足11a =，且1,n n a a +是函数2()2n n f x x b x =-+的两个零点，则10b 等于（ ） A ．24B ．32C ．48D ．64【答案】D【解析】 试题分析：依题意可知，1n n n a a b ++=，12n n n a a +⋅=，1122n n n a a +++⋅=，所以12212n n n n n na a a a a a ++++⋅==⋅.即22n n a a +=，故312a a =，53124a a a ==，75128a a a ==，971216a a a ==.11a =，所以916a =，又可知9910102512,32a a a ⋅==∴=.1010111121024,32a a a ⋅==∴=,故10101164b a a =+=.考点：函数的零点、数列的递推公式5．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】 试题分析：根据题意，甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20min ，在乙地休息10min 后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30min ，那么可知先是匀速运动，图像为直线，然后再休息，路程不变，那么可知时间持续10min ，那么最后还是同样的匀速运动，直线的斜率不变可知选D. 考点：函数图像点评：主要是考查了路程与时间的函数图像的运用，属于基础题．6．若a b ，是函数()()200f x x px q p q =-+>>，的两个不同的零点，且2a b -，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ ）A ．1B ．5C ．9D ．4【答案】C【解析】试题分析：由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4=b a ．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a 是等差中项时，82a a=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=． 考点：等差中项和等比中项．7．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】先求出基本事件总数n ＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，由此能求出在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率．【详解】∵一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，∴基本事件总数n ＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，则在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率P = 故选：C【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体性质等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，686a a +=，963S S -=，则使n S 取得最大值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】【分析】 由题意求得数列的通项公式为172n a n =-，令0n a ≥，解得182n ≤+，即可得到答案. 【详解】由题意，根据等差数列的性质，可得68726a a a +==，即73a =又由96789833S S a a a a -=++==，即81a =，所以等差数列的公差为872d a a =-=-，又由7116123a a d a =+=-=，解得115a =， 所以数列的通项公式为1(1)15(1)(2)172n a a n d n n =+-=+-⨯-=-，令1720n a n =-≥，解得182n ≤+， 所以使得n S 取得最大值时n 的值为8，故选D.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式，以及前n 项和最值问题，其中解答中熟记等差数列的性质和通项公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．圆()()22215x y -++=关于原点对称的圆的方程为( )A ．()()22215x y -+-=B ．()()22125x y ++-=C ．()()22125x y -++=D ．()()22215x y ++-= 【答案】D【解析】【分析】根据已知圆的方程可得其圆心()2,1-，进而可求得其关于原点对称点，利用圆的标准方程即可求解.【详解】由圆()()22215x y -++=，则圆心为()2,1-，半径r =圆心为()2,1-关于原点对称点为()2,1-，所以圆()()22215x y -++=关于原点对称的圆的方程为()()22215x y ++-=.故选：D【点睛】本题考查了根据圆心与半径求圆的标准方程，属于基础题.10．直线210x ay +-=与平行，则a 的值为( ) A ．12 B ．12或0 C ．0 D ．－2或0 【答案】A【解析】【分析】若直线210x ay +-=与(1)10a x ay --+=平行,则1()2(1)0a a a ⨯---=,解出a 值后,验证两条直线是否重合,可得答案.【详解】若直线210x ay +-=与(1)10a x ay --+=平行,则1()2(1)0a a a ⨯---=,解得0a =或12a =, 又0a =时,直线10x -=与10x -+=表示同一条直线, 故12a =, 故选A.本题考查的知识点是直线的一般式方程,直线的平行关系,正确理解直线平行的几何意义是解答的关键. 11．设R a ∈，若关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[]1,2上有解，则（ ）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤ 【答案】D【解析】【分析】根据题意得不等式对应的二次函数()21f x x ax =-+开口向上，分别讨论0,0,0∆=∆>∆<三种情况即可．【详解】由题意得：当02a ∆=⇒=±当()()22052251020222a a a a f f a a ⎧->⎧⎪⇒⇒<-<≤⎨⎨≥≥≤≤⎩⎪⎩或或或或 当022a ∆<⇒-<<综上所述：52a ≤,选D. 【点睛】 本题主要考查了含参一元二次不等式中参数的取值范围．解这类题通常分三种情况：0,0,0∆=∆>∆<．有时还需要结合韦达定理进行解决．12．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，下列命题正确是（ ）A ．m ∥n ，m ∥α⇒n ∥αB ．α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥nC ．α⊥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ⊥nD ．α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β 【答案】D【解析】【分析】在A 中，n ∥α或n ⊂α；在B 中，m 与n 平行或异面；在C 中，m 与n 相交、平行或异面；在D 中，由线面垂直的判定定理得：α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β． 【详解】由两条直线m ，n ，两个平面α，β，知：在A 中，m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α或n ⊂α，故A 错误； 在B 中，α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m 与n 平行或异面，故B 错误； 在C 中，α⊥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m 与n 相交、平行或异面，故C 错误； 在D 中，由线面垂直的判定定理得：α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β，故D 正确． 故选：D ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题：本题共4小题13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若53a =,392S =,则5S =______. 【答案】10【解析】【分析】将5a 和3S 用首项和公差表示，解方程组，求出首项和公式，利用公式求解5S .【详解】设该数列的公差为d ，由题可知： ()1143932a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故5151010S a d =+=.故答案为：10.【点睛】本题考查由基本量计算等差数列的通项公式以及前n 项和，属基础题.14．已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n =-，则其通项公式n a =__________．【答案】0,121,2n n n =⎧⎨-≥⎩【解析】分析：先根据和项与通项关系得当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-，再检验，1n =时，1a 不满足上述式子，所以结果用分段函数表示.详解： ∵已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =-，∴当1n =时，110a S ==，当2n ≥时，222211[(1)1](1)21n n n a S S n n n n n -=-=----=--=-，经检验，1n =时，1a 不满足上述式子，故数列{}n a 的通项公式0,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩． 点睛：给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 应用关系式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.15．已知直线20ax y +-=平分圆22(1)()4x y a -+-=的周长，则实数a =________．【答案】1【解析】【分析】由题得圆心在直线上，解方程即得解.【详解】由题得圆心（1，a ）在直线20ax y +-=上，所以20,1a a a +-=∴=.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.16．已知3sin()45πθ-=，则sin 2θ的值为______ 【答案】725 【解析】【分析】根据两角差的正弦公式，化简3sin()cos 4225πθθθ-=-=，解出sin cos θθ-的值，再平方，即可求解.【详解】由题意，可知3sin()45πθθθ-=-=，sin cos θθ∴-=1812sin cos 25θθ-= 72sin cos 25θθ∴=则7sin 225θ=故答案为：725【点睛】本题考查三角函数常用公式()2sin cos 12sin cos θθθθ-=-关系转换，属于基础题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
上海中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题+Word版含答案
上海中学高一下期末数学试卷2020.6一、填空题1．在数列{}n a 中，若11a =，1133n na a +=+，则n a = ． 2．在首项为2020，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第 项． 3．等差数列{}n a 的前15项和为90，则8a = ． 4．等比数列{}n a 满足78927a a a =．则313233315log log log log a a a a ++++= ．5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，49S S =，则n S 取最大值时n = ． 6．数列{}n a 由2,(),n n n n a n a n *⎧⎪=∈⎨⎪⎩N 为奇数为偶数确定，则{}n a 中第10个3是该数列的第 项．7．已知方程cos221x x k +=+在区间[0,]2π内有两个相异的解,αβ，则k 的取值范围是 ．8．在数列{}n a 中，11a =，1()1nn n a a n a *+=∈+N ，则n a = ． 9．1111lim 132435(2)n n n →∞⎡⎤++++=⎢⎥⨯⨯⨯+⎣⎦．10．对于数列{}n a ，当n 为奇数时，51n a n =+；当n 为偶数时，22nn a =，则这个数列的前2n 项之和为 ．11．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x ，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是x -，另一个是3x +．若1x =，前n 次生成的所．有数．．中不同的数的个数为n T ，则n T = ． 12．若数列{}n a ，{}n b 满足11a =，11b =，若对任意的n *∈N，都有1n n n a a b +=+1n n n b a b +=+111()3n n n nc a b =+，则无穷数列{}n c 的所有项的和为 ．二、选择题13．用数学归纳法证明“(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=⋅⋅-”，从“n k =到1n k =+”，左边需增添的因式为（ ）A ．21k +B ．2(21)k +C ．211k k ++ D ．231k k ++ 14．“2b ac =”是“,,a b c 依次成等比数列”的（ ）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．既不充分也不必要D ．充分必要15．等差数列{}n a 的公差d 不为零，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数，若1a d =，21b d =，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则q 的值可以为（ ）A ．17 B ．17- C ．12 D ．12- 16．n S 为实数构成的等比数列{}n a 的前n 项和，则{}n S 中（ ）A ．任一项均不为0B ．必有一项为0B ．至多有有限项为0 D ．或无一项为0，或无穷多项为0三、解答题17．有三个数,,a b c 依次成等比数列，其和为21，且,,9a b c -依次成等差效列，求,,a b c ．18．解下列三角方程： （1）24cos 4cos 10x x -+=； （2）2sin 3sin cos 10x x x ++=； （3）sin 212(sin cos )120x x x --+=．19．己知等差数列{}n a 满足20a =，6810a a +=-． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1{}2nn a -的前n 项和n S ．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S ；（2）若对任意的n *∈N ，都有[,]n S s t ∈，求t s -的最小值．21．对于实数x ，将满足“01y <≤且x y -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用记号x 表示，对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件：1a a =，11,0,0,0n n n n a a a a +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩．其中1,2,3,n =⋅⋅⋅．（1）若a ={}n a ；（2）当14a >时，对任意的n *∈N ，都有n a a =，求符合要求的实数a 构成的集合A ． （3）若a 是有理数，设pa q =（p 是整数，q 是正整数，p 、q 互质），问对于大于q 的任意正整数n ，是否都有0n a =成立，并证明你的结论．参考答案一、填空题1．32n - 2．12 3．6 4．15 5．6或7 6．1536 7．[0,1) 8．1n 9．34 10．21522n n n +++- 11．1,13,246,3,n n n n n *=⎧⎪=⎨⎪-∈⎩N ≥ 12．1【第10题解析】分组求和：21321242()()n n n S a a a a a a -=+++++++21(6104)2(12)522212n n n n n n ++--=+=++--．【第11题解析】第1次生成的数为“1”；第2次生成的数为“1-、4”；第3次生成的数为“1、2、4-、7”；第4次生成的数为“1-、4、2-、5、4、1-、7-、10”；…可观察出：11T =，23T =，36T =，410T =，514T =，…，当3n ≥时，{}n T 是公差为4的等差数列，∴1,13,246,3,n n T n n n n *=⎧⎪==⎨⎪-∈⎩N ≥．【第12题解析】由题意，112()n n n n a b a b +++=+，∴{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列，∴2n n n a b +=，而22211()()2n n n n nn n n a b a b a b a b ++⋅=+-+=⋅，可得12n n n a b -⋅=， 从而11112()333n n n n n n n n n n a b c a b a b +=+=⋅=⋅，其各项和为12311113c q ==--．二、选择题13．B 14．B 15．C 16．D【第15题解析】222222123222123(2)(3)14(1)1a a a d d d b b b d q q q q ++++==++++++，12q =符合，选C ． 【第16题解析】11,1(1),0,11n n na q S a q q q q =⎧⎪=-⎨≠≠⎪-⎩，当1q =-时，{}n S 有无穷多项为0；否则，{}n S 无一项为0，选D ．三、解答题17．由题意，可设,9a b d c b d =--=+，于是293124()(9)312a b c b b b d b d b d d ++-===⎧⎧⇒⎨⎨-++===-⎩⎩或， 从而，可得1,4,16a b c ===或16,4,1a b c ===．18．（1）即21(2cos 1)0cos 2()23x x x k k ππ-=⇒=⇒=±∈Z ； （2）即222sin 3sin cos sin cos 0x x x x x +++=，两边同除2cos x ，可得22tan 3tan 10x x ++=，∴1tan 2x =-或tan 1x =-，∴1arctan ()24x k x k k πππ=-=-∈Z 或；（3）令sin cos4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，[t ∈，则2sin 21x t =-，从而2112120t t --+=，即212130t t +-=，解得1t =或13t =-（舍），1sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫-=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭244x k πππ-=+或32()44x k k πππ-=+∈Z ，∴22x k ππ=+或2()x k k ππ=+∈Z ．19．（1）2n a n =-+；（2）由错位相减法，可得12n n nS -=． 20．（1）由题意，46n n S a =+①，令1n =，可得12a =，1146n n S a ++=+②，②-①，得114n n n a a a ++=-，即113n n a a +=-，∴{}n a 是首项为2，公比为13-的等比数列，∴1123n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，163114223n n n a S -+⎛⎫==+⋅- ⎪⎝⎭；（2）①n 为奇数时，1311223n n S -⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，n S 关于n 单调递减且32n S >恒成立， 此时，1322n S S <=≤； ②n 为偶数时，1311223n n S -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，n S 关于n 单调递增且32n S <恒成立， 此时，24332n S S =<≤； ∴min 4()3n S s =≥，max ()2n S t =≤，于是min 42()233t s -=-=．21． （1）11a =，21111a a ====，1k a =，则1111k ka a +===所以1n a =． （2）1a a a ==，所以114a <<，所以14a1<<， ①当112a <<，即12a1<<时，211111a a a a a ===-=，所以210a a +-=，解得a =1(,1)2a =，舍去）． ②当1132a <≤，即123a<≤时，211112a a a a a ===-=，所以2210a a +-=，解得1a ==（111(,]32a =∉，舍去）． ③当1143a <≤，即134a<≤时，211113a a a a a ===-=，所以2310a a +-=，解得a =11(,]43a ，舍去）．综上，A =⎪⎪⎩⎭． （3）成立． （证明1）由a 是有理数，可知对一切正整数n ，n a 为0或正有理数，可设nn np a q =（n p 是非负整数，n q 是正整数，且nnp q 既约）． ①由111p pa q q ==，可得10p q <≤； ②若0n p ≠，设n n q p αβ=+（0n p β<≤，,αβ是非负整数） 则n n n q p p βα=+，而由n n np a q =得1n n n q a p =11n n n n nq a a p p β+===，故1n p β+=，1n n q p +=，可得10n n p p +<≤ 若0n p =则10n p +=，若123,,,,q a a a a ⋅⋅⋅均不为0，则这q 个正整数互不相同且都小于q ， 但小于q 的正整数共有1q -个，矛盾．故123,,,,q a a a a ⋅⋅⋅中至少有一个为0，即存在(1)m m q ≤≤，使得0m a =．从而数列{}n a 中m a 以及它之后的项均为0，所以对于大于q 的自然数n ，都有0n a =. （证法2，数学归纳法）。
2019-2020学年上海中学高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年上海中学高一第二学期期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．在数列{a n}中，若a1＝1，，则a n＝．2．在首项为2020，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第项．3．在等差数列{a n}中，前15项的和S15＝90，则a8＝．4．等比数列{a n}满足a7a8a9＝27．则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝．5．在等差数列{a n}中，a1＞0，S4＝S9，则S n取最大值时，n＝．6．数列{a n}由a n＝（n∈N*）确定，则{a n}中第10个3是该数列的第项．7．已知方程在区间内有两个相异的解α，β，则k的取值范围是．8．已知数列{a n}中a1＝1且（n∈N），a n＝．9．计算＝．10．数列{a n}中，当n为奇数时，a n＝5n+1，当n为偶数时，a n＝，则这个数列的前2n 项的和S2n＝11．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．设第n次生成的数的个数为a n，则数列{a n}的前n项和S n＝；若x＝1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为T n，则T n＝．12．若数列{a n}，{b n}满足a1＝1，b1＝1，若对任意的n∈N*，都有a n+1＝a n+b n+，b n+1＝a n+b n﹣，设c n＝，则无穷数列{c n}的所有项的和为．二、选择题13．用数学归纳法证明：“（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n+1）”．从“n＝k到n＝k+1”左端需增乘的代数式为（）A．（2k+1）（2k+2）B．2（2k+1）C．D．14．“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．既不充分也不必要D．充分必要15．已知等差数列{a n}的公差d不为零，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数．若，且是正整数，则q的值可以是（）A．B．C．D．16．S n为实数构成的等比数列{a n}的前n项和，则{S n}中（）A．任一项均不为0B．必有一项为0C．至多有一项为0D．或无一项为0，或无穷多项为0三、解答题17．有三个数a，b，c依次成等比数列，其和为21，且a，b，c﹣9依次成等差效列，求a，b，c．18．解下列三角方程：（1）4cos2x﹣4cos x+1＝0；（2）sin2x+3sin x cos x+1＝0；（3）sin2x﹣12（sin x﹣cos x）+12＝0．19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6+a8＝﹣10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n是6和a n的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（2）若对任意的n∈N*，都有S n∈[s，t]，求t﹣s的最小值．21．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：a1＝|a，a n+1＝其中n＝1，2，3，…（1）若a＝，求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有a n＝a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a＝（p是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n＝0成立，并证明你的结论．参考答案一、填空题1．在数列{a n}中，若a1＝1，，则a n＝3n﹣2．【分析】利用等差数列定义和通项公式即可得出．解：a1＝1，，则a n+1＝a n+3，∴数列{a n}为首项为1，公差为3的等差数列，∴a n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2，故答案为：3n﹣2．2．在首项为2020，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第12项．【分析】由已知可先求出数列的通项公式，进而可求．解：a n＝a1q n﹣1＝2020×（）n﹣1，则数列单调递减，a11﹣1＝2020×（）10﹣1＝，a12﹣1＝2020×（）11﹣1＝﹣故当n＝12时，数列的项与1最接近．故答案为：12．3．在等差数列{a n}中，前15项的和S15＝90，则a8＝6．【分析】由等差数列的前n和可得，由等差数列的性质可得a1+a15＝2a8，代入可求a8解：由等差数列的前n和可得∴a8＝6故答案为：64．等比数列{a n}满足a7a8a9＝27．则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝15．【分析】利用等比数列的通项公式推导出a8＝3，由此利用等比数列性质和对数函数运算法则能求出log3（a1a2…a15）的值．解：∵a7a8a9＝27，∴a83＝27，∴a8＝3，∴a1a15＝a2a14＝a3a13＝a4a12＝a5a11＝a6a10＝a7a9＝a82＝9，∴log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝log3（a1•a2…a15）＝log3315＝15，故答案为：15．5．在等差数列{a n}中，a1＞0，S4＝S9，则S n取最大值时，n＝6或7．【分析】先由题设条件求出a1＝﹣6d，，然后用配方法进行求解．解：，解得a1＝﹣6d．∴＝＝，∵a1＞0，d＜0，∴当n＝6或7时，S n取最大值﹣．故答案：6或7．6．数列{a n}由a n＝（n∈N*）确定，则{a n}中第10个3是该数列的第1536项．【分析】借助于递推公式知道奇数项的值为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定．又通过前面的项发现项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列．即可求出第8个3在该数列中所占的位置．解：由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…∴a12+a15＝3+15＝18．又因为a3＝3，a6＝3，a12＝3，a24＝3…即项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列．所以第10个3是该数列的第3×210﹣1＝1536项．故答案为：1536．7．已知方程在区间内有两个相异的解α，β，则k的取值范围是[0，1）．【分析】由已知结合辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的图象可求．解：因为在区间内有两个相异解，故y＝cos2x+sin2x＝2sin（2x+），由x∈[0，]可得2x+∈[]，其大致图象如图所示，结合图象可知，1≤k+1＜2，解可得0≤k＜1，故答案为：[0，1）．8．已知数列{a n}中a1＝1且（n∈N），a n＝．【分析】本题考查数列的概念，由递推数列求数列的通项公式，适当的变形是完整解答本题的关键．解：根据题意，a n+1a n＝a n﹣a n+1，两边同除以a n a n+1，得，于是有：，，…，，上述n﹣1个等式累加，可得，又a1＝1，得，所以；故答案为．9．计算＝．【分析】先利用裂项求和可得，＝，代入可求极限＝解：∵2[]＝＝＝∴＝∴＝＝故答案为：10．数列{a n}中，当n为奇数时，a n＝5n+1，当n为偶数时，a n＝，则这个数列的前2n 项的和S2n＝5n2+n+2n+1﹣2【分析】对数列{a n}使用分组求和的办法即可求得其前2n项的和．解：由题意知：数列{a n}的奇数项构成首项为6，公差为10的等差数列；数列{a n}的偶数项构成首项为2，公比为2的等比数列，故S2n＝（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）+（a2+a4+a6+…+a2n）＝6n++＝5n2+n+2n+1﹣2．故答案为：5n2+n+2n+1﹣2．11．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．设第n次生成的数的个数为a n，则数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1；若x＝1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为T n，则T n＝．【分析】（1）根据题意，一个数字生成器，生成规则可得：第1次生成1个数，第二次生成2个数，第三次生成4个数，第四次生成8个数…，以此类推知该数列是等比数列，利用等比数列求和公式即可求出数列{a n}的前n项和S n（2）因为一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3，类推可求出数列的和．解：（1）根据题意，一个数字生成器，生成规则可得：第1次生成1个数，第二次生成2个数，第三次生成4个数，第四次生成8个数…，以此类推，第n次生成的数的个数为a n＝2n﹣1，显然，此数列为首项为1，公比为2的等比数列．再根据等比数列求和公式，则数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1．（2）因为一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．第一次生成的数为“1”，第二次生成的数为“﹣1、4”，第三次生成的数为“1、2、﹣4、7”，第四次生成的数为“﹣1、4、﹣2、5、4、﹣1、﹣7、10”…可观察出：第一次生成后前1次所有数中不同的个数为“1”，第2次生成后前2次所有数中不同的个数为“3”，第三次生成后前3次所有数中不同的个数为“6”，第四次生成后前4次所有数中不同的个数为“10”，…以此类推以后为公差为4的等差数列．则易得数中不同的数的个数为T n，则T n＝所以，应填上12．若数列{a n}，{b n}满足a1＝1，b1＝1，若对任意的n∈N*，都有a n+1＝a n+b n+，b n+1＝a n+b n﹣，设c n＝，则无穷数列{c n}的所有项的和为1．【分析】由题意可得a n+1+b n+1＝2（a n+b n），则数列{a n+b n}是首项为2，公比为2的等比数列，为本题解题的关键．解：由题意，a n+1+b n+1＝2（a n+b n），∴{a n+b n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴，而，可得，从而，其各项和为．故答案为：1．二、选择题13．用数学归纳法证明：“（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n+1）”．从“n＝k到n＝k+1”左端需增乘的代数式为（）A．（2k+1）（2k+2）B．2（2k+1）C．D．【分析】写出从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式，化简即可．解：当n＝k时，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），当n＝k+1时，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式是：＝2（2k+1）．故选：B．14．“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．既不充分也不必要D．充分必要【分析】根据等比数列的性质和必要条件和充分条件即可判断．解：“b2＝ac”，当a＝b＝c＝0时，“a，b，c不成等比数列”，但“a，b，c依次成等比数列”则一定有“b2＝ac”，故“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的必要非充分条件，故选：B．15．已知等差数列{a n}的公差d不为零，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数．若，且是正整数，则q的值可以是（）A．B．C．D．【分析】运用等差数列和等比数列的通项公式，确定的表达式，利用是正整数，q是小于1的正有理数，即可求得结论．解：根据题意：a2＝a1+d＝2d，a3＝a1+2d＝3d，b2＝b1q＝d2q，b3＝b1q2＝d2q2，∴＝＝，∵是正整数，q是小于1的正有理数．令＝t，t是正整数，则有q2+q+1＝，∴q＝，对t赋值，验证知，当t＝8时，有q＝符合题意．故选：D．16．S n为实数构成的等比数列{a n}的前n项和，则{S n}中（）A．任一项均不为0B．必有一项为0C．至多有一项为0D．或无一项为0，或无穷多项为0【分析】举特例验证即可．解：若a n＝1，则S n＝n，显然{S n}中无一项为0，排除A，B；若a n＝（﹣1）n，显然当n为偶数时，S n＝0，即{S n}中有无穷多项为0，排除C，故选：D．三、解答题17．有三个数a，b，c依次成等比数列，其和为21，且a，b，c﹣9依次成等差效列，求a，b，c．【分析】由题意可设a＝b﹣d，c﹣9＝b+d，再由已知列关于b与d的方程组求解b与d 的值，则答案可求．解：由题意，可设a＝b﹣d，c﹣9＝b+d，于是，解得或，当b＝4，d＝3时，可得a＝1，b＝4，c＝16当b＝4，d＝﹣12时，可得a＝16，b＝4，c＝1．18．解下列三角方程：（1）4cos2x﹣4cos x+1＝0；（2）sin2x+3sin x cos x+1＝0；（3）sin2x﹣12（sin x﹣cos x）+12＝0．【分析】（1）由条件可得，然后求出x即可；（2）利用同角三角函数基本关系式化简，然后两边同除cos2x，可得2tan2x+3tan x+1＝0，再求出x；（3）通过换元，转化为二次函数，进而得出．解：（1）即；（2）即sin2x+3sin x cos x+sin2x+cos2x＝0，两边同除cos2x，可得2tan2x+3tan x+1＝0，∴或tan x＝﹣1，∴或；（3）令，，则sin2x＝1﹣t2，从而1﹣t2﹣12t+12＝0，即t2+12t﹣13＝0，解得t＝1或t＝﹣13（舍），再由，∴或，∴或x＝2kπ+π（k∈Z）．19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6+a8＝﹣10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．【分析】（1）等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得＝（2﹣n）•（）n﹣1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．解：（1）等差数列{a n}的公差设为d，a2＝0，a6+a8＝﹣10，可得a1+d＝0，a1+5d+a1+7d＝﹣10，解得a1＝1，d＝﹣1，则a n＝a1+（n﹣1）d＝1﹣n+1＝2﹣n，n∈N*；（2）＝（2﹣n）•（）n﹣1，数列{}的前n项和设为S n，S n＝1•（）0+0•（）+（﹣1）•（）2+…+（3﹣n）•（）n﹣2+（2﹣n）•（）n﹣1，S n＝1•（）+0•（）2+（﹣1）•（）3+…+（3﹣n）•（）n﹣1+（2﹣n）•（）n，上面两式相减可得，S n＝1+（﹣1）[（）+（）2+…+（）n﹣2+（）n﹣1]﹣（2﹣n）•（）n＝1+（﹣1）•﹣（2﹣n）•（）n，可得S n＝n•（）n﹣1．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n是6和a n的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（2）若对任意的n∈N*，都有S n∈[s，t]，求t﹣s的最小值．【分析】（1）利用数列递推式可以得到数列，∴{a n}是首项为2，公比为的等比数列；（2）分为两种情况，n为奇数以及n为偶数，再利用函数性质可以判定S n增减性，从而得到s与t的值．解：（1）由题意，4S n＝6+a n①，令n＝1，可得a1＝2，4S n+1＝6+a n+1②，②﹣①，得4a n+1＝a n+1﹣a n，即，∴{a n}是首项为2，公比为的等比数列，∴，；（2）①n为奇数时，，S n关于n单调递减且恒成立，此时，；②n为偶数时，，S n关于n单调递增且恒成立，此时，；∴（s n）min＝≥s，（s n）max＝2≤t，于是．21．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：a1＝|a，a n+1＝其中n＝1，2，3，…（1）若a＝，求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有a n＝a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a＝（p是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n＝0成立，并证明你的结论．【分析】（1）由题设知＝，a2＝＝＝＝，由此能求出．（2）由a1＝||a||＝a，知，1＜＜4，由此进行分类讨论，能求出符合要求的实数a构成的集合A．（3）成立．证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，a n为0或正有理数，可设，由此利用分类讨论思想能够推导出数列{a m}中a m以及它之后的项均为0，所以对不大q 的自然数n，都有a n＝0．解：（1）∵满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，a1＝，a n+1＝其中n＝1，2，3，…∴＝，a2＝＝＝＝，…a k＝，则a k+1＝＝＝，所以．…（2）∵a1＝||a||＝a，∴，∴1＜＜4，①当，即1＜＜2时，＝＝﹣1＝a，所以a2+a﹣1＝0，解得a＝，（a＝∉（，1），舍去）．…②当，即2≤＜3时，a2＝＝，所以a2+2a﹣1＝0，解得a＝＝，（a＝﹣∉（，]，舍去）．…③当，即3＜4时，，所以a2+3a﹣1＝0，解得a＝（a＝，舍去）．…综上，{a＝，a＝，a＝}．…（3）成立．…证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，a n为0或正有理数，可设（p n是非负整数，q n是正整数，且既约）．…①由，得0≤p1≤q；…②若p n≠0，设q n＝ap n+β（0≤βP n，α，β是非负整数）则＝a+，而由，得＝，＝＝，故P n+1＝β，q n+1＝P n，得0≤P n+1＜P n．…若P n＝0，则p n+1＝0，…若a1，a2，a3，…，a q均不为0，则这q正整数互不相同且都小于q，但小于q的正整数共有q﹣1个，矛盾．…（17分）故a1，a2，a3，…，a q中至少有一个为0，即存在m（1≤m≤q），使得a m＝0．从而数列{a m}中a m以及它之后的项均为0，所以对不大q的自然数n，都有a n＝0．…（18分）（其它解法可参考给分）。
上海市延安中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题及答案
要使函数有 5 个零点, 则 3πω ∈[4π,5π) ,
解得
ω
的范围为
4 3
,
5 3
.
故答案为:
4 3
,
5 3
.
12．192
【分析】由题意画出满足条件的图，再由平面向量的运算可得
( ) (a − b)2 ⋅ (a − c)2 −[
a − b
⋅(a − c)]2
= (2S
ABC
)
2
，再由图形的几何性质即可得解．
( ) (2)若 (a − kc) ⋅ kb < 6 ，求实数 k 的取值范围．
19．已知数列{an} 的前 n 项和为 Sn , Sn =3n2 + 4n,bn =a2n−1 ．
(1)求数列{an},{bn} 的通项公式；
n
(2)求所有使不等式 2023 < ∑ bi < 20230 成立的 n 的取值集合． i =1
此时 ABC
的面积取得最大值，即
(S
ABC
)max
=
1 ×2×4 2
3= 4
3，
( ) 因此 (a − b)2 ⋅ (a − c)2 −[ a − b ⋅(a − c)]2 的最大值为 4× (4 3)2 = 192 ．
故答案为：192 ． 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用平面向量数量积的运算法则，将问题转化为求
14．若 O 是 ABC 内一点， OA + OB + OC = 0 ，则 O 是 ABC 的（ ）
A．内心
B．外心
C．垂心
D．重心
15．已知等比数列{an} 前 n 项和为 Sn ，则下列结论一定成立的是（ ）
2019年-延安中学高一期末
延安中学高一期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 函数tan()6y x π=+的最小正周期是 2. 计算：3lim 1n n n →∞=- 3. 设函数()arcsin f x x =，则1()3f π-= 4. 已知数列{}n a 是等差数列，若11a =，59a =，则公差d =5. 已知数列{}n a 是等比数列，若24a =，512a =-，则公比q = 6. 计算：1111lim[1()]393n n -→∞-+-⋅⋅⋅+-= 7. 方程cos sin 6x π=的解集为8. 已知数列{}n a 是等差数列，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1133S =，则6a =9. 夏季某座高山上的温度从山脚起每升高100米降低0.8度，若山脚的温度是36度，山顶 的温度是20度，则这座山的高度是 米10. 若arccos 4x π≥，则x 的取值范围是11. 若函数()cos f x x x =-，[0,]x m ∈m 的值是12. 已知a 、b 是两个不相等的正实数，若a ，b ，2-这三个数可适当排序后成等差数列， 也可适当排序后成等比数列，则a b +=13. 已知数列{}n a 满足11a =，22a =，23cos()n n a a n π+-=+，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则100S =14. 已知数列{}n a 的通项公式是2n a n =，若将数列{}n a 中的项从小到大按如下方式分组：第一组：(2,4)，第二组：(6,8,10,12)，第三组：(14,16,18,20,22,24)，⋅⋅⋅，则2018位于第 组二. 选择题15. “数列{}n a 为等比数列”是“数列{||}n a 为等比数列”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件16. 设(1)(2)(3)()n S n n n n n =+++⋅⋅⋅+()n *∈N ，则1n nS S +=（ ） A. 21n + B. 22n + C. (21)(22)n n ++ D. 2(21)n +17. 已知数列{}n a 和数列{}n b 都是无穷数列，则下列四个命题中正确的是（ ）A. 若0n a >且lim n n a A →∞=，则0A >B. 若22lim n n a A →∞=，则lim n n a A →∞= C. 若lim()0n n n a b →∞⋅=，则lim 0n n a →∞=或lim 0n n b →∞= D. 若1lim(2)1n n a n →∞-=，则1lim 2n n a →∞= 18. 已知数列{}n a 和数列{}n b 都是无穷数列，若区间[,]n n a b 满足下列条件：① 11[,]n n a b ++ [,]n n a b ；② lim()0n n n b a →∞-=；则称数列{}n a 和数列{}n b 可构成“区间套”，则下列可以构成“区间套”的数列是（ ） A. 1()2n n a =，2()3n n b = B. 1n a n =-，11n b n =+ C. 1n n a n -=，11()3n n b =+ D. 1n a =，21n n b n -=+三. 解答题19. 解关于x 的方程：22sin 5sin cos 6cos 0x x x x -+=.20. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2231n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式.21. 已知等比数列{}n a 是递增数列，且满足：238a a ⋅=，149a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21log ()n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .22. 已知数列{}n a 满足111512n n n a a a a +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. （1）证明数列1{}na 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若2n n n ab a +=，记数列{}n b 的前n 项积为12n n T b b b =⋅⋅⋅⋅⋅，求n T 的最小值.23. 已知数列{}n a 是等比数列，且公比为q ，记n S 是数列{}n a 的前n 项和.（1）若1q ≥，求lim n n na S →∞的值； （2）若1a *∈N ，1q t=（1113t <<），且911n S <<对于任意正整数n 都成立，求满足条件的1a 的值.参考答案一. 填空题1. π2. 33.4. 25. 12-6. 347. {|2,}3x x k k ππ=±+∈Z 8. 3 9. 200010. [1,2- 11. 2π12. 5 13. 750014. 32二. 选择题15. A 16. D 17. D 18. C三. 解答题19. arctan2x k π=+，arctan3x k π=+，k ∈Z20. 1n =，4n a =；当2n ≥且n ∈*N ，41n a n =+21.（1）12n -；（2）21n b n =-，2n S n =22.（1）172n a n =-；（2）3272n n b n -=-，最小值为115-23.（1）1q q -；（2）10.。
2019年高一下学期期末考试(数学)
2019年高一下学期期末考试（数学）本试卷分第I 卷 (选择题) 和第II 卷 (非选择题) 两部分，共4页；满分150分，考试时间120分钟。
请将第I 卷的答案填涂在答题卡上，第II 卷的答案写在答题纸指定位置上。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如果点位于第三象限，那么角所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．要从其中有50个红球的1000个形状相同的球中，采用按颜色分层抽样的方法抽取100个进行分析，则应抽取红球的个数为( )A ．5个B ．10个C ．20个D ．45个3．在中，已知是边上一点，若12,3AD DB CD CA CB λ==+，则( ) A ． B ． C ．D ． 4．已知向量(2,1),10,||2a a b a b ==+=( )A ．B ．C ．D ．5．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒。
右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。
设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为，则从频率分布直方图中可分析出和分别为( )A ．0.9，35B ．0.9，45C ．0.1，35D ．0.1，456．如果数据的平均值为，方差为，则1235 3535n x x x +++、、…、的平 均值和方差分别为( )A ．和B ．和C ．和D ．和7．若函数，()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，则( )A ．B ．C ．D ．8．下面程序运行后，输出的值是( )A ．42B ．43C ．44D ．459．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品，若 生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件，恰好得正品的概率为( )A ．0.99B ．0.98C ．0.97D ．0.9610．将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 (纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是( )A ．B ．C ．D ．11．曲线2sin()cos()44y x x ππ=+-和直线在轴右侧的交点按横坐标从小到大依 次记为则等于( ) A ． B ． C ．D ． 12．设为坐标平面上三点，为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则与满足的关系式为( )A ．B ．C ．D ．第II 卷 (非选择题共90分)二、填空题；本大题共4个小题，每小题4分，共16分13．用秦九韶算法求多项式5432()34652f x x x x x =-+--，当时的值，需要进行次乘法运算， 次加 (减) 法运算。
上海市延安中学数学高一下期末复习题(培优)
一、选择题1．(0分)[ID ：12725]已知{}n a 是公差为d 的等差数列，前n 项和是n S ，若9810S S S <<，则（ ）A ．0d >，170S >B ．0d <，170S <C ．0d >，180S <D ．0d >，180S >2．(0分)[ID ：12723]已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上的投影（正射影的数量）为-2，则2a b -的最小值为（ ） A ．43B ．10C ．10D ．83．(0分)[ID ：12704]在ABC ∆中，2AB =，2AC =，E 是边BC 的中点.O 为ABC ∆所在平面内一点且满足222OA OB OC ==，则·AE AO 的值为（ ）A ．12B ．1C ．22D ．324．(0分)[ID ：12690]《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）A ．2B ．422+C ．442+D ．642+5．(0分)[ID ：12688]若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．(0分)[ID ：12678]当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞B ．[)0,+∞C ．[)0,4D ．（0，4） 7．(0分)[ID ：12631]设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2πB ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 8．(0分)[ID ：12671]函数223()2xx xf x e +=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．9．(0分)[ID ：12662]函数2ln ||y x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．(0分)[ID ：12661]记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大者，设函数{}2()max 42,,3f x x x x x =-+---，若()1f m <，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1,1)(3,4)-B ．(1,3)C ．(1,4)-D ．(,1)(4,)-∞-+∞11．(0分)[ID ：12660]函数()lg ||f x x x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．(0分)[ID ：12658]1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)213．(0分)[ID ：12650]下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④14．(0分)[ID ：12719]如图，在ABC 中，90BAC ︒∠=，AD 是边BC 上的高，PA ⊥平面ABC ，则图中直角三角形的个数是（ ）A ．5B ．6C ．8D ．1015．(0分)[ID ：12681]若,αβ均为锐角，25sin α=()3sin 5αβ+=，则cos β=A 25B 25C 25或25 D ．25二、填空题16．(0分)[ID ：12820]已知函数()3sin(2)cos(2)(||)2f x x x πϕϕϕ=---<的图象关于y 轴对称,则()f x 在区[6π-,5]12π上的最大值为__. 17．(0分)[ID ：12808]一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是___________18．(0分)[ID ：12792]已知抛物线()220y px p =>的准线与圆()22316x y -+=相切，则p 的值为__________．19．(0分)[ID ：12787]已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a ⋅=，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式12019113n T ->成立的最大正整数n 的值是_______．20．(0分)[ID ：12783]函数()2sin sin 3f x x x =+-的最小值为________.21．(0分)[ID ：12780]如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E F 、分别是边AB AC 、上的点，且,AE AB AF AC λμ==,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN 的最小值是_____.22．(0分)[ID ：12736]函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移________个单位长度得到．23．(0分)[ID ：12735]已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（−∞，0）上单调递增.若实数a 满足f （2|a-1|）＞f （2-），则a 的取值范围是______.24．(0分)[ID ：12751]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．下列命题正确的为_______________.①存在点E ，使得11A C //平面1BED F ；②对于任意的点E ，平面11AC D ⊥平面1BED F ； ③存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ；④对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变．25．(0分)[ID ：12760]△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________． 三、解答题26．(0分)[ID ：12927]某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）,n 表示购机的同时购买的易损零件数. （Ⅰ）若n =19,求y 与x 的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5,求n 的最小值； （Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？ 27．(0分)[ID ：12901]已知x 满足√3≤3x ≤9 (1)求x 的取值范围；(2)求函数y =(log 2x −1)(log 2x +3)的值域． 28．(0分)[ID ：12899]将函数()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象． （1）若()f x 为偶函数，求()fϕ的值；（2）若()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调函数，求ϕ的取值范围．29．(0分)[ID ：12871]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是11B D 的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点.求证：（1）直线//EG 平面11BDD B ； （2）平面//EFG 平面11BDD B .30．(0分)[ID ：12833]某学校微信公众号收到非常多的精彩留言,学校从众多留言者中抽取了100人参加“学校满意度调查”,其留言者年龄集中在[]25,85之间,根据统计结果,做出频率分布直方图如下:(1)求这100位留言者年龄的平均数和中位数;(2)学校从参加调查的年龄在[)35,45和[)65,75的留言者中,按照分层抽样的方法,抽出了6人参加“精彩留言”经验交流会,赠与年龄在[)35,45的留言者每人一部价值1000元的手机,年龄在[)65,75的留言者每人一套价值700元的书,现要从这6人中选出3人作为代表发言,求这3位发言者所得纪念品价值超过2300元的概率.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．D2．D3．D4．D5．B6．C7．D8．B9．A10．A11．D12．B13．C14．C15．B二、填空题16．【解析】【分析】利用辅助角公式化简可得再根据图象关于轴对称可求得再结合余弦函数的图像求出最值即可【详解】因为函数的图象关于轴对称所以即又则即又因为所以则当即时取得最大值故答案为：【点睛】判定三角函数17．【解析】【分析】先还原几何体再根据柱体体积公式求解【详解】空间几何体为一个棱柱如图底面为边长为的直角三角形高为的棱柱所以体积为【点睛】本题考查三视图以及柱体体积公式考查基本分析求解能力属基础题18．2【解析】抛物线的准线为与圆相切则19．6【解析】【分析】设等比数列{an}的公比q由于是正项的递增等比数列可得q＞1由a1+a5=82a2•a4=81=a1a5∴a1a5是一元二次方程x2﹣82x+81=0的两个实数根解得a1a5利用通20．【解析】【分析】利用换元法令然后利用配方法求其最小值【详解】令则当时函数有最小值故答案为【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式性求最值；21．【解析】【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数22．【解析】试题分析：因为所以函数的的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到【考点】三角函数图像的平移变换两角差的正弦公式【误区警示】在进行三角函数图像变换时提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也经常出23．【解析】【分析】【详解】由题意在上单调递减又是偶函数则不等式可化为则解得24．①②④【解析】【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可【详解】①当为棱上的一中点时此时也为棱上的一个中点此时//满足//平面故①正确；②连结则平面因为平面25．【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为化简求得利用余弦定理结合题中的条件可以得到可以断定为锐角从而求得进一步求得利用三角形面积公式求得结果【详解】因为结合正弦定理可得可得因为结合余弦定理可三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式求和公式可判断出数列{}n a 的单调性，并结合等差数列的求和公式可得出结论. 【详解】9810S S S <<，90a ∴<，9100a a +>，100a ∴>，0d >. 179017S a =<∴，()1891090S a a =+>.故选：D. 【点睛】本题考查利用等差数列的前n 项和判断数列的单调性以及不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.2．D解析：D 【解析】 【分析】b 在a 上的投影（正射影的数量）为2-可知||cos ,2b a b <>=-，可求出||2b ≥，求22a b -的最小值即可得出结果.【详解】因为b 在a 上的投影（正射影的数量）为2-， 所以||cos ,2b a b <>=-， 即2||cos ,b a b =-<>，而1cos ,0a b -≤<><，所以||2b ≥，因为2222222(2)44||4||||cos ,4||a b a b a a b b a a b a b b -=-=-⋅+=-<>+22=1644(2)4||484||b b -⨯⨯-+=+所以22484464a b -≥+⨯=，即28a b -≥，故选D. 【点睛】本题主要考查了向量在向量上的正射影，向量的数量积，属于难题.3．D解析：D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理可知()12AE AB AC =+，将所求数量积化为1122AB AO AC AO ⋅+⋅；由模长的等量关系可知AOB ∆和AOC ∆为等腰三角形，根据三线合一的特点可将AB AO ⋅和AC AO ⋅化为212AB 和212AC ，代入可求得结果.【详解】E 为BC 中点 ()12AE AB AC ∴=+ ()111222AE AO AB AC AO AB AO AC AO ∴⋅=+⋅=⋅+⋅ 222OA OB OC == AOB ∴∆和AOC ∆为等腰三角形211cos 22AB AO AB AO OAB AB AB AB ∴⋅=∠=⋅=，同理可得：212AC AO AC ⋅=22111314422AE AO AB AC ∴⋅=+=+= 本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.4．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积． 【详解】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边,斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的表面积12222262S =⨯+⨯⨯=+ 故选D ． 【点睛】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．5．B【解析】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α的必要不充分条件，故选B ．考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．6．C解析：C【解析】当0k =时，不等式210kx kx -+>可化为10>，显然恒成立；当0k ≠时，若不等式210kx kx -+>恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x 轴无交点，则20 40k k k >⎧⎨=-<⎩解得：04k <<，综上k 的取值范围是[)0,4，故选C. 7．D解析：D【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫ ⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确； ∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确；由于f 2π3⎛⎫ ⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误．故选D.8．B解析：B【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232x x x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 9．A解析：A【解析】【分析】先确定函数定义域，再确定函数奇偶性，最后根据值域确定大致图像。
2019学年上海市高一下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】
2019学年上海市高一下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】姓名____________ 班级_______________ 分数____________一、填空题1. 计算： ------- :—"~*亚4对+ 12. 已知数列；一「为等差数列，•―- ■-，贝V二3. 在等比数列，中，二y - m ,则—的值为4. 已知；；是等差数列，是其前*项和，•，则45. 函数 -■- 在上「一1」.的值域是6. 数列■:中，込一；，,一二，“；一，.一心“ ■-監,贝V ：的前2015项和= ----------------------- ----7. 在数列.「中，已知广二」..二1* ,且数列•化+菇是等比数列，则9.函数v = sin —+ cos —在f —hT-"\内的单调递增区间为J7争rr10. 在厶'、、、；、中，已知，贝「1, 的取值范围是11. 在等腰直角 中， ，-一 i ,形，如图所示，若正方形的面积依次为 -.八，则•’•‘12.已知数列｛nJ 满足q ・-1勺 ＞斫.匕灼-他卜严⑷「V*）,若数列 ；单调递减，数列；’ 单调递增，则数列罠「；■的通项公式为-=8. 执行右边的程序框图，若 「二、 ，则输出的X1BC 中排列着内接正方（从大到小），其中、选择题) 本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题4分.A B.C 的对边分别为 门、氏匸.已知c =C,-EU11 A •C . 钝角三角形D .不能确定14.利用数学归纳法证明“ 1 +灯一小 4-L + /' =■|芒 1、 n e A ) ”,在验1 一证 -,成立时，等号左边是()A .B .C .D .1十亓+打】15.在等差数列打 中， 若且的前•项和有最小值， 则使得 |的最小 值 n 为(A .11B .19C .D16. 有穷数列, CT, ， …，- 中的每一项都是一 II , 0 ,1这三个数中的某一个数，若 灯1+ +…+ =425,且 i 一 1 r+・+'+…+■ = 3870 ,则有穷数列■- , ■ ■ ■ ■ ，：： ,中值为0的项数是()A ..■. C B .；门$.1010D . 1030三、 解答题)在 ^中，右，则一宀的形状是()锐角三角形________________ B .直角三角形13. A .(本题满分8分ZU2?C 中，内角 17.在 (1 )求.；，的大小；(2 )若-7.7 ，求 _；；的面积.18. (本题满分8分) 本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题4分.已知；[、：：|| . ^ ^ 一■； .■'|| — ，■，且函数’图象上的任意两条对称轴之间距离的最小值是—•(1 )求的值；(2)将函数= _■/-,,>>的图像向右平移— 个单位后，得到函数■ = 的图像,6 求函数•的解析式，并求 • 在——-上的最值.19. (本题满分10分) 本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题6分已知数列；.：的首项.■ .「 「.(1 )求证：数列；—-J.为等比数列；•%」(2) 记「；-」--[* ，若| ,求最大正整数坏 %6本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分-公司开拓国际市场，基本形成了市场规模个月(20 14年1月为第一个月)产品的 内销量、出口量和销售总量(销售总量=内销量斗出口量)分别为人 、 和•. (单位：万件)，依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：.-,■1 T 1Ifl匚-匚广；广叮(其中为常数，卄二严)，已知 一万件，• 一 万件，. -万件• (1 )求的值，并写出•-与满足的关系式；(2)证明：逐月递增且控制在2万件内•21. (本题满分14分) 本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分•设等比数列..’的前.项的和为 ，公比为，亩戏口 (1 )若 成等差数列，求证：.成等差数列；(2 )若 ..(-为互不相等的正整数)成等差数列，试问数列I 〕中是20. (本题满分12分)在上海自贸区的利好刺激下 自20 14年1月以来的第否存在不同的三项成等差数列？若存在，写出两组这三项；若不存在，请说明理由； (3)若：.为大于的正整数•试问.:中是否存在一项，使得恰好可以表示为该数列中连续两项的和？请说明理由.参考答案及解析第1题【答案】【解析】第2题【答案】【解析】试题分析;由等差数列求和公式£ =即吗十— d 0 = 3 5 ??+戈匕_ x (-2 )/_n = 362 2第3题【答案】 4【解析】--- —Z -- — 一 2 4阳一 1 2试题分析:试题分析：= 102+flj = 1024 =4第4题【答案】-1【解析】第5题【答案】［討］【解析】第6题【答案】1【解析】试题分析：由递推公式应-可得各项依次为12X-1-Z-1J.2,所決周期为d,前6项和 为°,所以电町二珂_込+气+丐+%二“第7题【答案】2 3^-re【解析】试题分折：数列⑺号对第二项込十2-6 ,第三项◎十3二1& ,等比数列公比対3/.心 十 M 二& 3,1~-二心 二 2 3：'-1- n第8题【答案】试题分析;- 1T-CCOE ； A试题分析;s n A【解析】H5：程序执行中的费据变怙尸〃士46 = 2”击.27®二丄十丄L 6<7J 7 = 7,J -—+ —+L +—7<7不成立,输岀 2x3 3><4 2«3 3 如 7«81 】q 丄1 1 1 3二； -- 十 ---- -T [ 十 ---- 二一一一二一 2凉 A4 7^8 2 8 S第9题【答案】【解析】Q r e （~2^r,2^） : 乂亡乂+ 乞214第10题【答案】试题分析：过A 作血）丄EC 于D 」B = 60". C = 2, B[1<1 = 1 0寸、mC 二1』当取=4时 试题分析：严 响吟+遇于三』5血-+ - 匕4丿（35e — /T, —/r I 4 4令三畀 2托714€72'2、增区间为卜寻&・所a sin c 的取值范围是[£i]At【解析】此A 寸=第11题【答案】92【解析】x3 —迸试题分析；设第一个正方形的边长为知贝恼相佩三角册可得= S产4再宙ffilU三角形可得卅丄比L构成4为首项，扌为公比的等比数列，S 4 9■■魚⑶+ S/L ^^)=^-=—=-9第12题【答案】E-L【解析】试题分析；采用列举法得刊=-g =1*理=-3心=5•码=—1血二21L 、然后从数字的变化上找规律，得％广碣二(T厂2” •「①=(外亠％JH為叫卄叽)+L卡@十的)=(—1丫05(Typr+L ±2U2T-1 (-2)^-1 | (-2?-1■■«■-J ■■ 电第13题【答案】【解析】试题分析:由正弦翹里可将迪Ur in诂“血C诗化为R > 丁/nf—十h】一F，7F _LcosC=——； ----- >OAC<-,由已知A，B角的范围不确定，因此形状不能确定2ab2第14题【答案】C【解析】试题分析：n = l时等号左恻卫的最高次数为為所以所边为"卄亍第15题【答案】C【解析】试题分析：M的前斤项和必有最小倩，所以豹列单调递增，且首项巧<o•:加—1二％<0^n>0 且％+知>0.兀二WSjqJ二旧％丸虽二沙匹）二10（佝旳,所以使得\>0的最小1削—--第16题【答案】【解析】试题分析！（巧十1）' +0 +1）]丰他寸1尸+'" + （%手+1）J=3E7OR开得佃+L +d■审”）+2&十碣*L +«；0]j ）+2015 = 3870 ”-&+卅4|_ +咗严E0S ・所以7 ,1共W1E硕，刪,值为0啊I页骚是血0天第17题【答案】（1）R = —（2）M 或需【解析】试题分析；⑴ 由关系式刘1^4$)*诚/_£) =wA・结合两角和差的正弦展开式化简可求得8汕的值，得到B角大小£⑵ 由B甬和方疋边利坪余弦定理可求得静边长，结合三角形面积公式S = —^c s-iii *求得面积2试题解析：（1）2&111.4^0£5= SAH A => eos5 -—或虹n 勺兰0（雋）f/. B28 = a2?良卩口' -6^ + S = 0 、二&二2站二4当（? = 2 时，S ——CC sin R 二3 迟；当/T= 4 B寸：S ——crc&in R — 6爲第18题【答案】⑴1⑵sM^ = n ,厭工)碍二运【解析】试题分析；⑴由对称轴的距蛊求得函数周期，进而得到血IB,代入7(0)-0可戒得倂角：从而确JT 7T 定函数解析式，将自变量“亍代入求解的值,⑵由平移规律得到函数y=^W的解析式h 4咖二岳inp■勻,由工的范围得到"■彳的范围，进而结合单调性求得函数最值试题解析：(1) /M=^2sin(^4^+-)_7 = ^ A，■*'- VFsmpx)…'/(彳)-JJsdil 二-14第19题【答案】详见解析(2)99【解析】试西并析：CD证明数列是等比数列需证明数列相邻两项的比值为常数，井且首项不为①本题中通过数列& ｝的递推公式入手将其变形1冋j⑵借助于(1)的结论求得数列S ｝的的通项公比进而得到数列］三］的通项公式」结合特点采用分组拥闻W比数列求和公式可得到爲的表达式，解不孝武可求得：值’T ⑴Q土中护亡-1说乜,且Q「“.右I"”⑵由⑴可求得于第20题【答案】（1）应二Lb二"g, g] =2屯档士/ C3详见解析A£【解析】试题分析；（1）依蛊意：口―】=■巾+】=吗+內+占如'；将諏1，2；构建方程组丿冃卩可求得S b的値，从而可得為巧芍町满足的关系式』⑵先证明3“為-如/"*6_2卄少2 , 于是供＜2 .再用作差法证明久亡弘,从而可得结论；试题解析：Ci）依ffiiS：口“二矗齐十£卄]二“％十口,，、 3 *.\ 0\ —皿】丄诃十5CT*,「*阿+1十H寸一“ ........ ① 又立* —+ t7r卄by jI r j ■■■■u Ji IA -£7+- + ^! -V=- .................. ②解①②得＜7=1,6 = -2 2 （2 丿8 2从而口m二2口厂十「（2）由于码T = 2珂厂+口；=一片（臥一2）】十2$2・但碍・1工2・否贝」可推得% =匹=2矛盾・故孝&偽・严2 ,于ftn, ＜ 2 .又旳〒1_码=_*V・2码-q =-斗码（码・2）:＞0 ,所決為勺卜仇，从而＜2 .第21题【答案】（1）详见解析（2）心+].dg.q.] （3）不存在【解析】试题分析：⑴ 根据％%爲成等差数列，q^l,可得2几=2 +耳,化简可得,进而可以证明如.％你成等差数列,（2）根据凡・片$ 51为互不相等的正整数）成等差数列、可得2S#二几4Sr ；化简可得2叩「4珂7‘ ；从而可得％“叶知成尊差数列，即可得出结论,<3）设存在一项①,使得丑・恰好可以表示/该数列中连续两项的和，设冷=6斗％] ）可得斤>"} q s'n =1+（?，从而可得结论试题解析：（1）若Z，咼成等差数列,则2S宀览,即2円（1一/；） _ 竹（1-/> | 呵（1-扌）\・q '■ q \-q+ ” …：靳二1 + / ,又2弧- （% +a u） = 2如7 -（a}q9 + qg"） = qg°（2/ T -『）=0|.・2<7|g = CT]。
上海市延安中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
上海市延安中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题（含解析）一.填空题（本大题14题，每题3分，共42分） 1.函数tan 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是________. 【答案】π 【解析】根据函数()tan y x ωϕ=+的周期公式计算即可.【详解】函数tan 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是1T ππ==.故答案为：π【点睛】本题主要考查了正切函数周期公式的应用，属于基础题． 2.计算：3lim 1n nn →∞=-________.【答案】3 【解析】直接利用数列的极限的运算法则求解即可．【详解】3lim1n n n →∞=-33lim 31101n n→∞==--. 故答案为：3【点睛】本题考查数列的极限的运算法则，考查计算能力，属于基础题． 3.设函数()sin f x arc x =()11x -≤≤，则13fπ-⎛⎫= ⎪⎝⎭________.【解析】 【分析】利用反三角函数的定义，解方程sin 3arc x π=即可．【详解】因为函数()sin f x arc x =()11x -≤≤，由反三角函数的定义，解方程sin 3arc x π=，得sin3x π==13f π-⎛⎫=⎪⎝⎭【点睛】本题考查了反三角函数的定义，属于基础题．4.已知数列{}n a 是等差数列，若11a =，59a =，则公差d =________. 【答案】2 【解析】利用等差数列的通项公式即可得出．【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，∵11a =，59a =，∴514a a d =+，解得d ＝2． 故答案为：2．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题． 5.已知数列{}n a 是等比数列，若24a =，512a =-，则公比q =________. 【答案】12- 【解析】利用等比数列的通项公式即可得出．【详解】∵数列{}n a 是等比数列，若24a =，512a =-，则352a a q =，解得318q =-，即q =12-.故答案为：12-【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题．6.计算：1111lim 1393n n -→∞⎡⎤⎛⎫-+-+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ________.【答案】34【解析】【分析】由等比数列前n 项和公式，得11111393n -⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭L =34[1﹣13n⎛⎫- ⎪⎝⎭]，从而求极限即可．【详解】∵11111393n -⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭L ＝1113113n ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝34[1﹣13n ⎛⎫- ⎪⎝⎭]， ∴1111lim 1393n n -→∞⎡⎤⎛⎫-+-+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦L lim n →∞34[1﹣13n ⎛⎫- ⎪⎝⎭]=34．故答案为：34【点睛】本题考查了等比数列前n 项和公式的应用，以及数列极限的求法，属于基础题． 7.方程cos sin6x π=的解集为________.【答案】|2,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】由诱导公式可得cos sinco 3scos()36x πππ===-，由余弦函数的周期性可得：2,3x k k Z ππ=±∈.【详解】因为方程cos sin 6x π=，由诱导公式得3si 3ncoscos()6πππ==-，所以2,3x k k Z ππ=±∈，故答案为：|2,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭． 【点睛】本题考查解三角函数的方程，余弦函数的周期性和诱导公式的应用，属于基础题． 8.已知数列{}n a 是等差数列，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1133S =，则6a =________. 【答案】3 【解析】 【分析】由等差数列的求和公式和性质可得11611S a =，代入已知式子可得6a ． 【详解】由等差数列的求和公式和性质可得：11S =()111112a a +＝66112112a a ⨯=，且1133S =，∴63a =.故答案为：3．【点睛】本题考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．9.夏季某座高山上的温度从山脚起每升高100米降低0.8度，若山脚的温度是36度，山顶的温度是20度，则这座山的高度是________米 【答案】2000 【解析】 【分析】由题意得，温度下降了()362016-=oo ，再求出这个温度是由几段100米得出来的，最后乘以100即可.【详解】由题意得，这座山的高度为：()10036200.8100202000⨯-÷=⨯=⎡⎤⎣⎦米 故答案为：2000【点睛】本题结合实际问题考查有理数的混合运算，解题关键是温度差里有几个0.8，属于基础题.10.若cos 4arc x π≥()11x -≤≤ ，则x 的取值范围是________.【答案】12x ≤≤ 【解析】 【分析】利用反函数的运算法则，定义及其性质，求解即可．【详解】由cos 4arc x π≥()11x -≤≤，得()cos cos cos 42arc x π≤=所以x ≤，又因为11x -≤≤，所以1x ≤≤故答案为：21x ≤≤【点睛】本题考查反余弦函数的运算法则，反函数的定义域，考查学生计算能力，属于基础题．11.若函数()3sin cos f x x x =-，[0,]x m ∈的最大值为3，则m 的值是________. 【答案】2π 【解析】利用两角差的正弦公式化简函数的解析式为()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由x 的范围可得6x π-的范围，根据()f x 最大值可得m 的值. 【详解】∵函数()3sin cos f x x x =-＝2（31sin cos 22x x -）＝2sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∵[0,]x m ∈，∴6x π-∈[6π-，6m π-]，又∵()f x 的最大值为3，所以sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最大值为32，即6m π-=3π，解得2m π=. 故答案为：2π 【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式的应用，正弦函数的定义域和最值，属于基础题． 12.已知0a b >>，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则a b +=_______________. 【答案】5 【解析】【详解】试题分析：由题意得，为等差数列时，一定为等差中项，即22b a =-+，为等比数列时，-2为等比中项，即4ab =，所以4,1,5a b a b ==+=. 考点：等差，等比数列的性质13.已知数列{}n a 满足11a =，22a =，23cos()n n a a n π+-=+，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则100S =________. 【答案】7500【解析】讨论n 的奇偶性，分别化简递推公式，根据等差数列的定义得{}n a 的通项公式，进而可求100S . 【详解】当n 是奇数时，cos()n π＝﹣1，由23cos()n n a a n π+-=+，得22n n a a +-=， 所以1a ，3a ，5a ，…21n a -，…是以11a =为首项，以2为公差的等差数列， 当n 为偶数时，cos()n π＝1，由23cos()n n a a n π+-=+，得24n na a +-=，所以2a ，4a ，6a ，…2n a ，…是首项为22a =，以4为公差的等差数列， 则,22,n n n a n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数 ，所以()()()()199210010050+50+501+99502+200-275002222a a a a S =+=+=.故答案为：7500【点睛】本题考查数列递推公式的化简，等差数列的通项公式，以及等差数列前n 项和公式的应用，也考查了分类讨论思想，属于中档题．14.已知数列{}n a 的通项公式是2n a n =，若将数列{}n a 中的项从小到大按如下方式分组：第一组：(2,4)，第二组：(6,8,10,12)，第三组：(14,16,18,20,22,24)，…，则2018位于第________组. 【答案】32 【解析】根据题意可分析第一组、第二组、第三组、…中数的个数及最后的数，从中寻找规律使问题得到解决．【详解】根据题意:第一组有2＝1×2个数，最后一个数为4； 第二组有4＝2×2个数，最后一个数为12，即2×（2+4）； 第三组有6＝2×3个数，最后一个数为24，即2×（2+4+6）； …∴第n 组有2n 个数，其中最后一个数为2×（2+4+…+2n ）＝4（1+2+3+…+n ）＝2n （n+1）． ∴当n ＝31时，第31组的最后一个数为2×31×32＝1984， ∴当n ＝32时，第32组的最后一个数为2×32×33＝2112，∴2018位于第32组．故答案为：32．【点睛】本题考查观察与分析问题的能力，考查归纳法的应用，从有限项得到一般规律是解决问题的关键点，属于中档题．二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分） 15.“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}2n a 为等比数列”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件【答案】A 【解析】数列{}n a 是等比数列与命题{}2n a 是等比数列是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．【详解】若数列{}n a 是等比数列，则11n n a a q -=，∴22221n n qa a -=，∴数列{}2na 是等比数列， 若数列{}2na 是等比数列，则2211n naa q -=，∴n a a =±{}n a 不是等比数列，∴数列{}n a 是等比数列是数列是等比数列{}2n a 的充分非必要条件，故选：A ．【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判断，注意等比数列的性质的灵活运用，属于基础题．16.设()*(1)(2)(3)()n S n n n n n n N =++++∈L ，则1n nS S +=（） A. 21n +B. 22n +C. (21)(22)n n ++D.2(21)n +【答案】D 【解析】 【分析】由()*(1)(2)(3)()n S n n n n n n N =++++∈L 得1n S +，再计算1n nS S +即可.【详解】Q ()*(1)(2)(3)()n S n n n n n n N=++++∈L ，∴1(11)(12)(13)(11)n S n n n n n +=+++++++++L()(2)(3)(4)(21)22n n n n n =+++++L ，所以()1(2)(3)(4)(21)222(21)(1)(2)(3)()n n n n n n n S n S n n n n n ++++++==+++++L L 故选：D【点睛】本题考查了以数列的通项公式为载体求比值的问题，以及归纳推理的应用，属于基础题．17.已知等差数列{}n a 的公差d ＞0，则下列四个命题：①数列{}n a 是递增数列；②数列{}n na 是递增数列； ③数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列； ④数列{}3n a nd +是递增数列； 其中正确命题的个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】对于各个选项中的数列，计算第n +1项与第n 项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论．【详解】设等差数列()11n a a n d +-=，d ＞0∵对于①，a n+1﹣a n ＝d ＞0，∴数列{}n a 是递增数列成立，是真命题． 对于②，数列{}n na ，得()()()()1111111112n n n a na n a n d n a n d a nd +⎡⎤⎡⎤++++--+-=+⎣⎦⎣-=⎦，1a R ∈Q ，所以12a nd +不一定是正实数，即数列{}n na 不一定是递增数列，是假命题．对于③，数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，得()1111111(1)n n a n d a a a nd d a n n n n n n ++-+--=-=+++，1a R ∈Q ，1(1)d a n n -+不一定是正实数，故是假命题．对于④，数列()()11313340n n n n n d nd a a a d a d ++++-+=-+=>，故数列{}3n a nd +是递增数列成立，是真命题． 故选：B ．【点睛】本题考查用定义判断数列的单调性，考查学生的计算能力，正确运用递增数列的定义是关键，属于基础题．18.已知数列{}n a 和数列{}n b 都是无穷数列，若区间[],n n a b 满足下列条件：①[][]11,,n n n n a b a b ++Ü；②()lim 0n n n b a →∞-=；则称数列{}n a 和数列{}n b 可构成“区间套”，则下列可以构成“区间套”的数列是（ ）A. 12n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭B. 1n a n =-，11n b n=+ C. 1n n a n -=，113nn b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. 1n a =，21n n b n -=+ 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用已知条件，判断选项是否满足两个条件即可．【详解】由题意，对于A ：12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵1n 1n 1122n na a ++⎛⎫⎛⎫=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴[][]11,,n n n n a b a b ++Ü不成立，所以A 不正确；对于B ：由1n a n =-，11n b n =+，得()2lim lim 110n n n n b a n →∞→∞⎛⎫-=+=≠ ⎪⎝⎭不成立，所以B 不正确；对于C ：11,13nn n n a b n -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，∵111111,11133n n n n n n n n a a b b n n +++-⎛⎫⎛⎫=>==+>=+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，∴[][]11,,n n n n a b a b ++Ü成立，并且()lim 0n n n b a →∞-=也成立，所以C 正确； 对于D ：由1n a =，21n n b n -=+，得1211111112333n n n b b n n n n +-==-<-=-=+++++， ∴[][]11,,n n n n a b a b ++Ü不成立，所以D 不正确； 故选：C ．【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查数列的极限的求法，考查分析问题解决问题的能力及运算能力，属于中档题． 三、解答题（本大题共4题，共42分）19.解关于x 的方程：22sin 5sin cos 6cos 0x x x x -+=【答案】{}|tan 2tan3,x x k arc x k arc k Z ππ=+=+∈或 【解析】 【分析】根据方程解出tan 2x =或tan 3x =，利用三角函数的定义解出x ，再根据终边相同角的表示即可求出.【详解】由22sin 5sin cos 6cos 0x x x x -+=，得()()sin 2cos sin 3cos 0x x x x --=， 所以tan 2x =或tan 3x =，所以tan 2x k arc π=+或tan3x k arc π=+， 所以x 的解集为：{}|tan 2tan3,x x k arc x k arc k Z ππ=+=+∈或.【点睛】本题考查了三角方程的解法，终边相同角的表示，反三角函数的定义，考查计算能力，属于基础题.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2231n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式.【答案】4,141,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩【解析】 【分析】当1n =时，11a S =，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，即可得出．【详解】∵已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2231n S n n =+-，当1n =时，114a S ==，当2n ≥时，()()1222312131141n n n n n n n a S n S -⎡⎤+---+--=⎣⎦-=+=， 检验：当1n =时，14a =不符合上式，∴4,141,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩ 【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．21.已知等比数列{}n a 是递增数列，且满足：238a a ⋅=，149a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式：（2）设()21log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）12n n a -=；（2）2n S n =【解析】【分析】（1）利用等比数列的性质结合已知条件解得首项和公比，由此得通项公式；（2）由（1）得()21log 21n n n b a a n +=⋅=-，再利用等差数列的求和公式进行解答即可．【详解】（1）由题意，得12348a a a a ⋅=⋅=，又149a a +=，所以11a =，48a =，或18a = ，41a =，由{}n a 是递增的等比数列，得1q > ，所以11a =，48a =，且2q =，∴1111122n n n n a a q ---==⨯=，即12n n a -=；（2）由（1）得()()111212log log 2221n n n n n b a a n -+-+=⋅=⋅=-，得()1211212n n b b n n +-=+--+=， 所以数列{}n b 是以1为首项，以2为公差的等差数列，所以()122n n n b b n S +==.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，以及等差数列的其前n 项和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．22.已知数列{}n a 满足11a =，*1,N 21n n n a a a n +=∈+． （1）证明：数列n 1a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设21n n a b n =+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使不等式n S ＜k 对一切n *∈N 恒成立的实数k 的范围．【答案】（1）见解析，n 121a n =-；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【解析】【分析】（1）对递推式两边取倒数化简,即可得出1112n n a a +-=，利用等差数列的通项公式得出1n a ，再得出n a ；（2）由（1）得11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，再使用裂项相消法求出n S ，使用不等式得出的n S 范围，从而得出k 的范围．【详解】（1）∵121n n n a a a +=+，两边取倒数,∴1112n n a a +=+，即1112n n a a +-=，又11a =， ∴数列n 1a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴()1112121n n n a a =+-=-，∴n 121a n =-． （2）由（1）得111121(21)(21)22121n n ab n n n n n ⎛⎫===- ⎪++--+⎝⎭，∴111111123352121n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ＝11112212n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭， 要使不等式S n ＜k 对一切n *∈N 恒成立，则k 12…．∴k 的范围为:1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查了构造法求等差数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，属于中档题．23.己知数列{}n a 是等比数列，且公比为q ，记n S 是数列{}n a 的前n 项和.（1）若1a ＝1，q ＞1，求lim n n na S →∞的值； （2）若首项110a =，1q t =，t 是正整数，满足不等式|t ﹣63|＜62，且911n S <<对于任意正整数n 都成立，问：这样的数列{}n a 有几个？【答案】（1）11q -；（2）114 【解析】【分析】（1）利用等比数列的求和公式，进而可求lim n n na S →∞的值； （2）根据t 满足不等式|t ﹣63|＜62，可确定q 的范围，进而可得n S 随着n 的增大而增大，利用911n S <<，可求解．【详解】（1）已知数列{}n a 是等比数列，且公比为q ，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，1a ＝1，∴ ()11111n nn a q q S q q --==--，111n n n a a q q --== ， 则11111lim lim lim lim 111111n n n n n n n n n n n n q q a q q q q S q q q q -→∞→∞→∞→∞⋅--====---⎛⎫- ⎪-⎝⎭； （2）Q t 满足不等式|t ﹣63|＜62，6263621125t t ⇒-<-<⇒<<．Q 1q t =，∴ 11(,1)125q t =∈，且110a =， ∴()111011111n n n a q t S q t⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦==--，得n S 随着n 的增大而增大，得1010,11n S t ⎡⎫⎪⎢∈⎪⎢⎪⎢-⎣⎭ ， 又且911n S <<对于任意正整数n 都成立，得101111t-…，11t ⇒≥，且t 是正整数， 满足t 的个数为：124﹣11+1＝114个，即有114个q ，所以有114个数列{}n a ．【点睛】本题以等比数列为载体，考查数列的极限，考查等比数列的求和，考查数列的单调性，属于中档题．。
上海延安中学数学高一下期末阶段测试(培优练)
一、选择题1．(0分)[ID ：12721]已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．1B ．4C ．1或4D ．2或42．(0分)[ID ：12703]已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则•()PA PB PC +的最小值是（）A ．6-B ．3-C ．4-D ．2-3．(0分)[ID ：12694]设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥C ．若//l α，m α⊂，则//l mD ．若//l α，//m α，则//l m4．(0分)[ID ：12688]若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．(0分)[ID ：12683]为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x 的线性回归方程为 A ．y = x-1B ．y = x+1C ．y =88+12x D ．y = 1766．(0分)[ID ：12680]已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 27．(0分)[ID ：12678]当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞B ．[)0,+∞C ．[)0,4D ．（0，4）8．(0分)[ID ：12633]阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为A ．1B ．2C ．3D ．49．(0分)[ID ：12629]设正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2019=6057，则1a 2+4a 2018的最小值为A ．1B ．23C ．136D ．3210．(0分)[ID ：12654]已知二项式2(*)nx n N x ⎛∈ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（ ） A ．14B ．14-C ．240D ．240-11．(0分)[ID ：12638]在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A ．7a =，3b =，30B =B ．6b =，52c =，45B =C ．10a =，15b =，120A =D ．6b =，63c =，60C =12．(0分)[ID ：12636]如图，在△ABC 中, 13AN NC =,P 是BN 上的一点,若29AP m AB AC −−→−−→−−→=+,则实数m 的值为( )A ．B ．C ．19D ．13．(0分)[ID ：12697]已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x -4）=f （x ），且在区间[0，2]上f （x ）=x ，若关于x 的方程f （x ）=log a |x |有六个不同的根，则a 的范围为（ ） A ．()6,10B ．()6,22C ．()2,22D ．（2，4）14．(0分)[ID ：12681]若,αβ均为锐角，25sin 5α=，()3sin 5αβ+=，则cos β=A ．255B ．2525C ．255或2525 D ．2525-15．(0分)[ID ：12657]函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题16．(0分)[ID ：12821]已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为__________.17．(0分)[ID ：12806]设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.已知2cos cos a B C=，则222a c b ac +-的取值范围为______. 18．(0分)[ID ：12789]对于函数()f x ，()g x ，设(){}0m x f x ∈=，(){}0n x g x ∈=，若存在m ，n 使得1m n -<，则称()f x 与()g x 互为“近邻函数”.已知函数()()13log 2exf x x -=+-与()1422xx g x a +=⋅-+互为“近邻函数”，则实数a 的取值范围是______.（e 是自然对数的底数）19．(0分)[ID ：12787]已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a ⋅=，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式12019113n T ->成立的最大正整数n 的值是_______．20．(0分)[ID ：12777]已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,则不等式()()1ln f f x <的解集是________.21．(0分)[ID ：12759]已知点G 是ABC ∆的重心，内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且0578ab c GA GB GC ++=，则角B 的大小是__________．22．(0分)[ID ：12737]函数y =的定义域是 _________.23．(0分)[ID ：12768]设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.24．(0分)[ID ：12799]底面直径和高都是4cm 的圆柱的侧面积为___cm 2.25．(0分)[ID ：12744]已知四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则 ①棱AB 与PD 所在直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于△PAB 的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)三、解答题26．(0分)[ID ：12914]如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，AB AD ==2CA CB CD BD ====.（1）求证：AO ⊥平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （3）求点E 到平面ACD 的距离．27．(0分)[ID ：12910]为了解某地区某种产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：（1）求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取到最大值？（保留两位小数）参考公式：121()()()ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑1221ni ii nii x y nxyxnx ==-=-∑∑ ，^^y x a b=- 28．(0分)[ID ：12904]如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 点为圆心的圆22:1412600M x y x y +--+=及其上一点(4,2)A .（1）设圆N 与y 轴相切，与圆M 外切，且圆心在直线6y =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点且BC OA =，求直线l 的方程. 29．(0分)[ID ：12896]某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，且投资1万元时的收益为18万元，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元，（1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？30．(0分)[ID ：12832]ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(cos ,cos )m B C =，(2,)n a c b =+，且m n ⊥.（1）求角B 的大小；（2）若7b =，8a c +=，求ABC ∆的面积.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C 2．A 3．B 4．B 5．C 6．D 7．C 8．B 9．D 10．C 11．D 12．C 13．A 14．B 15．B二、填空题16．【解析】【分析】由题意首先求解底面积然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积【详解】由题意可得底面四边形为边长为的正方形其面积顶点到底面四边形的距离为由四棱锥的体积公式可得：【点睛】本题主要考查四棱锥17．【解析】【分析】把已知式用正弦定理化边为角由两角和的正弦公式和诱导公式化简可求得即角从而得角的范围注意由余弦定理可得结论【详解】因为所以所以即又所以则因为所以而故故答案为：【点睛】本题考查正弦与余弦18．【解析】【分析】先求出的根利用等价转换的思想得到在有解并且使用分离参数方法可得结果【详解】由令所以又已知函数与互为近邻函数据题意可知：在有解则在有解即在有解令又令所以当时当时所以所以则故答案为：【点19．6【解析】【分析】设等比数列{an}的公比q由于是正项的递增等比数列可得q＞1由a1+a5=82a2•a4=81=a1a5∴a1a5是一元二次方程x2﹣82x+81=0的两个实数根解得a1a5利用通20．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为21．【解析】由向量的平行四边形法则可得代入可得故则由余弦定理可得故应填答案点睛：解答的关键是如何利用题设中所提供的向量等式中的边的关系探求处来这是解答本题的难点也是解答本题的突破口求解时充分利用已知条件22．【解析】【分析】由函数的解析式得到关于x的不等式求解不等式即可确定函数的定义域【详解】函数有意义则：即求解三角不等式可得：则函数的定义域为【点睛】求函数的定义域其实质就是以函数解析式有意义为准则列出23．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】由得得等号当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立24．【解析】【分析】【详解】圆柱的侧面积为25．①③【解析】由条件可得AB⊥平面PAD∴AB⊥PD故①正确；若平面PBC⊥平面ABCD由PB⊥BC得PB⊥平面ABCD从而PA∥PB这是不可能的故②错；S△PCD＝CD·PDS△PAB＝AB·PA由三、解答题26．27．28．29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】设扇形的半径为r ，弧长为 l ，则121282l r S lr +===，， ∴解得28r l ==， 或44r l ==，41lrα==或， 故选C ．2．A解析：A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算，求得最小值，即可求解. 【详解】由题意，以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则(0,(2,0),(2,0)A B C -，设(,)P x y ，则(,23),(2,),(2,)PA x y PB x y PC x y =--=---=--，所以22()(2))(2)22PA PB PC x x y y x y •+=-⋅-+⋅-=-+222[(3]x y =+-，所以当0,3x y ==时，()PA PB PC •+取得最小值为2(3)6⨯-=-， 故选A.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．B解析：B 【解析】 【分析】利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断D . 【详解】l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，A 错；l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确； //l α，m α⊂，则//l m ， l 与m 异面；C 错，//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.4．B解析：B 【解析】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α的必要不充分条件，故选B ． 考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系． 5．C解析：C 【解析】 【分析】【详解】试题分析：由已知可得176,176x y ==∴中心点为()176,176， 代入回归方程验证可知，只有方程y =88+12x 成立，故选C 6．D解析：D 【解析】把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x +π12）=cos （2x +π6）=sin （2x +2π3）的图象，即曲线C 2， 故选D ．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.7．C解析：C 【解析】当0k =时，不等式210kx kx -+>可化为10>，显然恒成立；当0k ≠时，若不等式210kx kx -+>恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x 轴无交点，则240k k k >⎧⎨=-<⎩解得：04k <<，综上k 的取值范围是[)0,4，故选C. 8．B解析：B 【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值. 详解：结合流程图运行程序如下： 首先初始化数据：20,2,0N i T ===，20102N i ==，结果为整数，执行11T T =+=，13i i =+=，此时不满足5i ≥； 203N i =，结果不为整数，执行14i i =+=，此时不满足5i ≥；2054N i ==，结果为整数，执行12T T =+=，15i i =+=，此时满足5i ≥； 跳出循环，输出2T =. 本题选择B 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．9．D解析：D 【解析】 【分析】先利用等差数列的求和公式得出S 2019=2019(a 1+a 2019)2=6057，再利用等差数列的基本性质得出a 2+a 2018=a 1+a 2019=6，再将代数式a 2+a 2018和1a 2+4a 2018相乘，展开后利用基本不等式可求出1a 2+4a2018的最小值.【详解】由等差数列的前n 项和公式可得S 2019=2019(a 1+a 2019)2=6057，所以，a 1+a 2019=6，由等差数列的基本性质可得a 2+a 2018=a 1+a 2019=6， ∴6(1a 2+4a 2018)=(a 2+a 2018)(1a 2+4a2018)=5+4a 2a2018+a 2018a 2≥5+2√4a 2a 2018⋅a 2018a 2=9，所以，1a 2+4a2018≥96=32，当且仅当4a 2a 2018=a 2018a 2，即当a 2018=2a 2时，等号成立，因此，1a 2+4a2018的最小值为32，故选：D.【点睛】本题考查的等差数列求和公式以及等差数列下标性质的应用，考查利用基本不等式求最值，解题时要充分利用定值条件，并对所求代数式进行配凑，考查计算能力，属于中等题。