第11章结构的弹性稳定_结构力学
结构力学教学课件-11结构的稳定计算-2
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FP
FP
(a)稳定平衡 (b)随遇平衡 (c)不稳定平衡
l
l
l (1
cos
)
l
1
2
2
l
1 2
y2
l
y1
2
y2
y1 2
2l
,因而荷载所作的功为: W
FP
y2
y1 2
2l
l
(a) l
l (b)
B FP
B y2
FP B
例: 求图示结
构的临界 荷载.
FP k
l
k
l
FP y1
y2
EI
解: 应变能
U
1 2
k y12
1 2
k y22
可能的位移状态
外力势能 W
FP i i
FP [
y22 2l
( y2
y1)2 2l
]
结构势能 U W
1 2
ky12
1 2
ky22
FP [
y22 2l
( y2
y1 )2 ] 2l
1 2l
[(kl
FP ) y12
2FP y1 y2
(kl
2FP ) y22 ]
0
y1 0 y2
y1
1[(kl l
FP ) y1
FP y2 ]
东南大学土木工程学院
结构力学之结构的稳定计算
分支点失稳的特点：
原始平衡：平面弯曲 新平衡形式：斜弯曲加扭转
结构的变形产生了质的改变。即原来的平衡形式成为不稳定
而可能出现新的与原来平衡形式有质的区别的平衡形式，同时，
这种现象带有突然性。
7
11.1 稳定问题的基本概念
11.1.2 三类不同形式的失稳
极值点失稳(第二类失稳)：
当荷载较小时（曲线的OA段），Δ随荷载的 增大而非线性增长，当荷载达到某一个临界值FPcr 时，曲线出现一个极值点（图中A点），此时荷载 不但不能继续增加，而且如果稍加干扰，即便减 小荷载，杆件的挠度也仍要继续增长，如图中曲 线的AB段所示。
结构的变形在荷载达到临界值 后并不发生性质上的突变，只
是原有变形的迅速增长。
非完善体系
8
极值点失稳：
P
非完善体系出：现极极具承值值有受点点初偏失失曲心稳稳率荷的。的载特平压的点衡杆压：形杆非式完不善出体现系分 支现象，P-Δ曲线具有极值点。结构的
(小挠度理变论形) 形式并不发生质P 的改变，由P 于结
，FP-Δ曲线沿图中的路径2即弧线AB前进。
5
l/2
分支点失稳：
完善体系 （或理想体系）：
直杆（无初曲率）， 中心受压（无初偏心）。
P12<>PPccrr
P1<Pcr=
2E l2
I
原始平衡状态是
稳定的是唯一的
P2>Pcr
Δ
原始平衡状态是不
稳定的。存在两种
不同形式的平衡状
态(直线、弯曲）。
P2 Pcr P1
以下只讨论完善体系分支点失稳问题， 并由小挠度理论求临界荷载。
15
11.2 用静力法求临界荷载
结构力学课件_结构的稳定计算
《结构力学》第十一章
结构的稳定计算
一、结构的三种平衡状态
结构的三种平衡状态(从稳定性角度考察)：稳定平 衡状态、不稳定平衡状态和中性平衡状态。 解释：设结构处于某个平衡状态，受到轻微干扰而 稍微偏离其原来位置。 1、稳定平衡状态：当干扰消失后，如结构回到原 来位置，则原来的平衡状态称为稳定平衡状态。 2、不稳定平衡状态：当干扰消失后，结构继续偏 离，不能回到原来位置，则原来的平衡状态称为不稳定 平衡状态。 3、中性平衡状态：结构由稳定平衡到不稳定平衡 过渡的状态称为中性平衡状态。
FP A B (极值点) C O ( c)
14
《结构力学》第十一章
结构的稳定计算
一般说来，非完善体系的失稳形式是极值点失稳。
(4)特例 扁拱式结构失稳时可能伴随有“跳跃”现象。 图 a 所示的扁桁架，矢高为 f ，高跨比 f/l<<1 。在跨 度中点作用竖向荷载FP，产生竖向位移。 其FP-曲线如图b所示。
分支点 A 处的临界平衡状态 也是不稳定的。
FPcr=kl
第二路径II，当增大时，荷 载反而减小；路径 II 上的点属于 不稳定平衡。
FP B I(不稳定) A II(不稳定) I(稳定) O
C
注意：对这类具有不稳定分支点的完善体系，在进 行稳定验算时要特别小心，一般应当考虑初始缺陷 ( 初 曲率、偏心)的影响，按非完善体系进行验算。 (2) 按小挠度理论分析 设<<1，则式(a)、(b)简化为
结构的稳定计算
(a)
FPcr
FPcr (b)
qcr
( c)
FPcr
(a) 承受结点荷载的门式刚架：在原始平衡形式中， 各柱单纯受压，刚架无弯曲变形；在新的平衡形式中， 刚架产生侧移，出现弯曲变形。
结构力学课后习题答案
习题及参考答案【习题2】【习题3】【习题4】【习题5】【习题6】【习题8】【习题9】【习题10】【习题11】【习题12】【习题13】【习题14】【参考答案】习题22-1～2-14试对图示体系进行几何组成分析，如果是具有多余联系的几何不变体系，则应指出多余联系的数目。
题2-1图题2-2图题2-3图题2-4图题2-5图题2-6图题2-7图题2-8图题2-9图题2-10图题2-11图题2-12图 题2-13图 题2-14图习题33-1 试作图示多跨静定梁的M 及Q 图。
题3-1图3-2 试不计算反力而绘出梁的M 图。
题3-2图习题44-1 作图示刚架的M 、Q 、N 图。
题4-1图4-2 作图示刚架的M 图。
(b)(a)20kN40kN20kN/m40kN(b)5kN/m40kN(a)(c)(b)(a)题4-2图4-3 作图示三铰刚架的M 图。
题4-3图4-4 作图示刚架的M 图。
题4-4图4-5 已知结构的M 图，试绘出荷载。
P(e)(d)(a)(b)(c)/4kN(b)(a)(a)(b)(a)题4-5图4-6 检查下列刚架的M 图，并予以改正。
题4-6图习题55-1 图示抛物线三铰拱轴线方程，试求D 截面的内力。
题5-1图5-2 带拉杆拱，拱轴线方程，求截面K 的弯矩。
题5-2图 题5-3图5-3 试求图示带拉杆的半圆三铰拱截面K 的内力。
习题66-1 判定图示桁架中的零杆。
(e)(g)(h)P(d)(c)(a)(b)(f)x x l l fy )(42-=x x l lfy )(42-=C题6-1图6-2 用结点法计算图示桁架中各杆内力。
题6-2 图6-3 用截面法计算图示桁架中指定各杆的内力。
题6-3图6-4 试求图示组合结构中各链杆的轴力并作受弯杆件的M 、Q 图。
题6-4图6-5 用适宜方法求桁架中指定杆内力。
(c)(b)(b)(b)(a)题6-6图习题88-1 试作图示悬臂梁的反力V B 、M B 及内力Q C 、M C 的影响线。
结构力学之结构弹性稳定
2EI
Pcr l 2
学习文档
例:求图示体系的临界荷载.
x
解:
2.设
y(x)
4a l2
(lx
x
2
)
P
l/2 l/2
y(x)
Pcr
12EI l2
误差:+21.6%
3.设杆中作用集中荷载所引起的位 移作为失稳时的位移.
l
y(x) y
EI
x
y(x)
Q
(l2x
x3 )
(0 x l )
EIy(x) Py Q(l x) 或 y(x) P y Q (l x)
EI EI 令 n2 P
EI y(x) n2 y n2 Q (l x)
P
通解为
y(x) Acos nx B sin nx Q (l x) P
由边界条件
y(0) 0, y(0) 0, y(l) 0学习文档
l
EI
y
xM
y
得 A Ql 0 Bn PQ 0 P Acos nl B sin nl 0
1
0l
0
n 1 0
cosnl sin nl 0 稳定方程
nl cos nl sin nl 0 tan nl nl
y
y(nl) nl y(nl) tannl
x
P
P
Q
Q
l
EI
y
xM
3
5 nl
y
2
二.第二类稳定问题(极值点失稳) P
P
第二类稳定问题
非完善体系
三.分析方法 大挠度理论。 小挠度理论。
静力法 能量法
偏心受压 有初曲率
四 .稳定自由度
第11章 稳定分析与稳定性设计
第11章压杆的稳定性分析与稳定性设计工程力学学习指导第11章压杆稳定性分析与稳定设计11.1 教学要求与学习目标1. 掌握有关弹性体稳定的基本概念：1)稳定的平衡构形(位置)与不稳定的平衡构形(位置)。
2) 平衡路径，分叉，分叉点。
3) 屈曲(丧失稳定)。
4)判别压杆平衡稳定性的静力学准则。
5)细长压杆分叉点的平衡稳定性。
特别要掌握弹性体失稳时其直线平衡构形将突然转变为弯曲构形这一物理本质，并用以理解、分析和处理一些理论问题和实际问题。
2. 弄清影响压杆承载能力的因素，正确理解弹性压杆临界力公式推导过程，弄清临界力公式中每一项的意义以及公式的应用条件，正确计算临界力。
3. 正确区分弹性失稳及超过比例极限的失稳问题，区别三类不同长细比杆，分别采用不同的公式进行计算。
11.2 理 论 要 点11.2.1平衡构形的稳定性和不稳定性图11-1 压杆的两种平衡构形结构构件或机器零件在压缩载荷或其他特定载荷作用下发生变形，最终在某一位置保持平衡，这一位置称为平衡位置，又称为平衡构形。
承受轴向压缩载荷的细长压杆，有可能存在两种平衡构形－直线的平衡构形与弯曲的平衡构形，分别如图11-1所示。
当载荷小于一定的数值时，微小外界扰动使其偏离平衡构形，外界扰动除去后，构件仍能回复到初始平衡构形，则称初始的平衡构形是稳定的。
扰动除去后，构件不能回复到原来的平衡构形，则称初始的平衡构形是不稳定的。
此即判别弹性平衡稳定性的静力学准则。
不稳定的平衡构形在任意微小的外界扰动下，将转变为其他平衡构形。
例如，不稳定的细长压杆的直线平衡构形，在外界的微小扰动下，将转变为弯曲的平衡构形。
这一过程称为屈曲或失稳。
通常，屈曲将使构件失效,并导致相关的结构发生坍塌。
由于这种失效具有突发性，常常带来灾难性后果。
11.2.2临界状态与临界载荷介于稳定平衡构形与不稳定平衡构形之间的平衡构形称为临界平衡构形，或称为临界状态。
处于临界状态的平衡构形，有的是稳定的，有时是不稳定的，也有的是中性的。
结构力学—结构稳定
杆件伸长量 杆件轴力 应变能 外力势能
2 / 2
N EA / l 2EA / 2l 2 1 1 EA Ve N 2 EA2 P 2l 2 2l * EP (1 ) P 1 1 1 VP P 1 2l 2 EA
1
dEP EA ( 1 ) 0 d l
若
稳定方程
l
EI
1 0
Pcr 20.19 EI / l 2
cos nl sin nl
nl tan nl EI 1 (nl) 2 k l Pcr n 2 EI 解方程可得nl的最小正根
P
若
l
EI
k 0 tan nl 0 sin nl 0 nl 2 EI Pcr 2 l
P
k
k
1
nl tan nl
k l EI
12
0
2 EI k 3 12 EI / l l/2 P
nl 1.45
第11章 压杆稳定性问题
相等，则此压杆的临界压力又为多少？
（压杆满足欧拉公式计算条件）
h
动脑又动笔
解： 一端固定，一端自由，长度因数 μ=2 在应用欧拉公式时，截面的惯性
矩应取较小的I 值。
Iy 1 3 1 hb 90 403 mm 4 48 104 mm 4 12 12
b
F
l
1 3 1 I z bh 40 903 mm 4 243 104 mm 4 12 12
理解长细比、临界应力和临界应力总图的概念，熟 悉各类压杆的失效形式。
§11–1 压杆稳定性的基本概念
① 强度 衡量构件承载能力的指标 ② 刚度 ③ 稳定性 工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全 可靠地工作。 杆件在各种基本变形下的强度和刚度问题在前述各章节中 已作了较详细的阐述，但均未涉及到稳定性问题。事实上， 杆件只有在受到压力作用时，才可能存在稳定性的问题。
屈曲曲线是偏离原直线轴线不远的微弯状态。
F F EI L
M d2w 2 EI dx
§11–2 细长压杆的临界荷载—欧拉临界力
一、两端铰支压杆的临界力
多大的轴向压力才会使压杆失稳？
d2w EI 2 Fw 0 dx
y
M EI x w L
记
F
k2
F EI
F
F
x
d2w 2 k w0 2 dx
§11–3长细比的概念 三类不同压杆的判断
三、临界应力总图
cr
S
P
cr s
cr a b
2E cr 2
粗短杆 s
s s a
b
中长杆
P
细长杆
结构力学和弹性力学对比
结构力学和弹性力学对比结构力学和弹性力学对比引导语：结构力学是固体力学的一个分支，它主要研究工程结构受力和传力的规律，以及如何进行结构优化的学科，是土木工程专业和机械类专业学生必修的学科，应用于建筑业和机械制造业等领域。
以下是店铺整理的结构力学和弹性力学对比，欢迎参考!结构力学它主要研究工程结构受力和传力的规律，以及如何进行结构优化的学科。
结构力学研究的内容包括结构的组成规则，结构在各种效应作用下的响应，这些效应包括外力、温度效应、施工误差、支座变形等。
主要是内力——轴力、剪力、弯矩、扭矩的计算，位移——线位移、角位移计算，以及结构在动力荷载作用下的动力响应——自振周期、振型的计算。
一般对结构力学可根据其研究性质和对象的不同分为结构静力学、结构动力学、结构稳定理论、结构断裂、疲劳理论和杆系结构理论、薄壁结构理论和整体结构理论等。
结构静力学是结构力学中首先发展起来的分支，它主要研究工程结构在静载荷作用下的弹塑性变形和应力状态，以及结构优化问题。
静载荷是指不随时间变化的外加载荷，变化较慢的载荷，也可近似地看作静载荷。
结构静力学是结构力学其他分支学科的基础。
结构动力学是研究工程结构在动载荷作用下的响应和性能的分支学科。
动载荷是指随时间而改变的载荷。
在动载荷作用下，结构内部的应力、应变及位移也必然是时间的函数。
由于涉及时间因素，结构动力学的研究内容一般比结构静力学复杂的多。
结构稳定理论是研究工程结构稳定性的分支。
现代工程中大量使用细长型和薄型结构，如细杆、薄板和薄壳。
它们受压时，会在内部应力小于屈服极限的情况下发生失稳(皱损或曲屈)，即结构产生过大的变形，从而降低以至完全丧失承载能力。
大变形还会影响结构设计的其他要求，例如影响飞行器的空气动力学性能。
结构稳定理论中最重要的内容是确定结构的失稳临界载荷。
弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。
《结构力学习题》(含答案解析)
第三章 静定结构的位移计算一、判断题：1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。
2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。
3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。
4、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取：A.;; B.D.C.=1=15、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。
6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。
M k M p 21y 1y 2**ωω( a )M =17、图a 、b 两种状态中，粱的转角ϕ与竖向位移δ间的关系为：δ=ϕ 。
8、图示桁架各杆E A 相同，结点A 和结点B 的竖向位移均为零。
a a9、图示桁架各杆EA =常数，由于荷载P 是反对称性质的，故结点B 的竖向位移等于零。
二、计算题：10、求图示结构铰A 两侧截面的相对转角ϕA ，EI = 常数。
q l l l /211、求图示静定梁D 端的竖向位移 ∆DV 。
EI = 常数 ，a = 2m 。
a a a 10kN/m12、求图示结构E 点的竖向位移。
EI = 常数 。
l l l /3 2 /3/3q13、图示结构，EI=常数 ，M =⋅90kN m , P = 30kN 。
求D 点的竖向位移。
P 3m 3m 3m14、求图示刚架B 端的竖向位移。
ql15、求图示刚架结点C 的转角和水平位移，EI = 常数 。
q16、求图示刚架中Ｄ点的竖向位移。
EI ＝常数。
l/217、求图示刚架横梁中Ｄ点的竖向位移。
EI＝常数。
18、求图示刚架中D点的竖向位移。
E I = 常数。
qll l/219、求图示结构Ａ、Ｂ两截面的相对转角，EI＝常数。
l/23l/320、求图示结构A、B两点的相对水平位移，E I = 常数。
ll21、求图示结构B点的竖向位移，EI = 常数。
11结构弹性稳定
F
A
Fs
l-x
l
y
M
Fs F y" y (l x) EI EI
y
B
弯矩以y轴负 向受拉为正
令
n2
F ， EI
有
y" n 2 y n 2
Fs (l x) F
Fs (l x) 此微分方程的通解为： y A cos nx B sin nx F
14/50
通解
y A cos nx B sin nx
F Fcr
A C B
k l sin
B
φ
kφ
即每一个 φ 值对应一个F 值， 荷载—位移曲线如AC。
O
φ
临界荷载为：
当φ →0 时， Fcr
k l
当φ →0 时，临界荷载与按近似理论分析所得结果相同。 因此，若只求临界荷载而不需计算失稳后的位移，为简化计算，可 按近似理论计算。 10/50
例1：图示结构中两个抗侧移弹簧的刚度均为 k ， 求结构的临界荷载。
Fcr F2 0.382kl
y2 1.618 y1
13Байду номын сангаас50
无限自由度弹性压杆的临界荷载
由材料力学可知，挠曲线与截面弯矩 的近似关系是： EIy" M 由平衡条件得： EIy" Fy Fs (l x) 或：
y
A C x 2. 用 静 力 法 确 定 临 界 荷 载
F
Fs
7/50
2. 用静力法确定临界荷载
静力法：根据分支点状态（临界状态）结构新出现的平衡形式来建
立平衡方程，从而求解临界荷载。
用 静 力 法 确 定 临 界 荷 载
结构力学教学课件-11结构的稳定计算-1
k 0, 0 悬臂杆
对于k 也即 时, y u与y tan u交点的最小值为4.493
FPcr
EI 2
u l
2
EI
2EI
2.046 l 2
=
2EI
0.7l 2
对于k 0也即 0时，tan u , 因而u / 2
第11章 结构的稳定计 算
11.1 稳定问题的基本概念
材料力学——单根压杆的稳定问题； 结构力学——杆件组成的以受压为主的结构的稳定问题
三种不同性质的平衡 稳定平衡——干扰撤销，能自动恢复原有的平衡状态； 随遇平衡（中性平衡）——干扰撤销，不能自动恢复原有 的平衡状态，但可以在新的状态下保持平衡。 不稳定平衡——干扰撤销，不能自动恢复原有的平衡状态 ，也不能在新的状态下保持平衡。
11.1.3 两种不同精度的稳定理论 FP
l/2
小挠度理论（近似解）
大挠度理论（精确解）
l/2
压杆的抗弯刚度为 EI，M (x) FP y EIy
y 2 y 0 2 FP / EI
(a) (b)
微分方程的一般解为 y C1 sinx C2 cosx
三种平衡状态:
(a) (b)
稳定平衡 当FP FPcr 不稳定平衡 当FP FPcr 随遇平衡 当FP FPcr
受横向干扰可转入弯曲状态 干扰撤销可恢复到单纯受压状态 受横向干扰可转入屈曲状态 干扰撤销不能恢复到单纯受压状态 受干扰后转入压弯状态，干扰 撤销后仍维持这一临界状态
第11章 结构的稳定计 算
FPcr
EI 2 =0.25 2
EI l2
结构力学第11章结构极限荷载与弹性稳定
§11-2 基本概念
由静力条件，有：
由此得出极限荷载FPu，即有
最后指出：这几个概念是非常重要的。讨论矩 形截面梁在纯弯曲状态下所获得的结果，利用其它 形式的截面形状，也有类似的结果。
结构力学第11章结构极限荷载与弹 性稳定
§11-2 基本概念
三、 稳定问题
的偏心受压直杆，一开始就处 于同时受压和弯曲的状态。当 F达到临界值Fcr时，荷载不增 加或减小，挠度仍继续增加如 图b—丧失第二类稳定性。
工程结构实际上均属于第二类稳 定问题。可将其简化为一类稳定问题
在弹塑性阶段中，随着M增大，弹性核的
高度逐渐减小，最后y00。此时相应弯 矩是截面所能承受的最大弯矩，称为“极 学第11章结构极限荷载与弹 性稳定
§11-2 基本概念
比较两式可知：对于矩形截面，极限弯矩为弹 性极限弯矩的1.5倍，即Mu=1.5Ms。
二、 塑性铰和极限荷载
图c所示工字梁，荷载达到临界值前仅 在复板平面内弯曲，荷载达到临界值时发生 斜弯曲和扭转。
结构力学第11章结构极限荷载与弹 性稳定
§11-2 基本概念
丧失第一类稳定性的特征：
结构的平衡形式及内力和变形状态发生质的突变，
原有平衡形式已不稳定，同时出现新的有质的区别的平衡形式。 图a所示由塑性材料制成
极限弯矩，或称为屈服弯矩。即：
s
MS
bh2 6
s
y0
（2）图(b）—截面处于弹塑性阶段，
y0
截面外边缘处成为塑性区，应力为常数， s b) 结构力学第11章结构极限荷载与弹 性稳定
§11-2 基本概念
=s；在截面内部(|y|y0)则仍为弹性区，称为弹性
第11章结构的弹性稳定_结构力学
第 11 章习 题11-1 什么叫作结构丧失稳定性？它可以如何分类？其相应的基本特征是什么？11-2 什么是结构失稳的自由度？它与稳定方程的解之间有何联系？结构丧失第一类稳定性的临界荷载是如何确定的？11-3 弹性压杆丧失第一类稳定性的临界荷载的大小取决于哪些因素？何为压杆的计算长度？ 11-4 试比较用静力法和能量法分析第一类稳定问题的基本原理与方法的异同点。
11-5 试用静力法和能量法求图示各有限自由度体系的临界荷载，并绘制相应的失稳位移形态。
图中粗杆（双线示）为无限刚性。
(a) (b)(g)题11-5图11-6 试用静力法建立图示各体系的稳定方程。
(a)l 2l EI EI EIl 2EI l 2 3 EIEI题11-6图11-7 试用静力法求图示各体系的稳定方程和临界荷载。
(a) (b)题11-7图 11-8试问图示体系左、右柱截面的弯曲刚度之比EI 1又可发生右柱的弯曲失稳？11-9 试用静力法建立图示体系的稳定方程。
11-10 试用能量法求图示各体系的临界荷载。
(c) (d)题11-10图11-11 )πsin 1(0l x I I +=。
11-12 试用能量法求图11-7a 、b 所示结构的临界荷载。
11-13 试问组合压杆绕虚轴失稳时临界荷载比计算与实腹压杆的稳定性计算有何差别？其原因是什么？11-14 设图示压杆AB 有轴心压力PcrP 32F F =作用，试求杆件的转动刚度AB S 和侧移刚度AB k 。
(a) (b)题11-11 题11-14图11-15 试说明在作体系稳定性分析时，哪一类刚架可以化为单压杆问题，哪一类却不可以。
P EI F P 3F PEI I 6I qEIFEIF P EIA B EI =∞EI11-16 试用位移法求图示刚架的稳定方程和临界荷载。
11-1711-18 试用有限单元法求图a 所示压杆的临界荷载，并将计算结果与精确解进行比较。
设将杆件划分为两个单元，结构标识如图b(a)(b)题11-18图第11章 11-5 （a ）2Pcr klF =。
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第 11 章习 题
11-1 什么叫作结构丧失稳定性？它可以如何分类？其相应的基本特征是什么？
11-2 什么是结构失稳的自由度？它与稳定方程的解之间有何联系？结构丧失第一类稳定性的临界荷载是如何确定的？
11-3 弹性压杆丧失第一类稳定性的临界荷载的大小取决于哪些因素？何为压杆的计算长度？ 11-4 试比较用静力法和能量法分析第一类稳定问题的基本原理与方法的异同点。
11-5 试用静力法和能量法求图示各有限自由度体系的临界荷载，并绘制相应的失稳位移形态。
图中粗杆（双线示）为无限刚性。
(a) (b)
(g)
题11-5图
11-6 试用静力法建立图示各体系的稳定方程。
(a)
l 2l EI EI EI
l 2
EI l 2 3 EI
EI
题11-6图
11-7 试用静力法求图示各体系的稳定方程和临界荷载。
(a) (b)
题11-7图 11-8
试问图示体系左、右柱截面的弯曲刚度之比EI 1又可发生右柱的弯曲失稳？
11-9 试用静力法建立图示体系的稳定方程。
11-10 试用能量法求图示各体系的临界荷载。
(c) (d)
题11-10图
11-11 )
πsin 1(0l x I I +=。
11-12 试用能量法求图11-7a 、b 所示结构的临界荷载。
11-13 试问组合压杆绕虚轴失稳时临界荷载比计算与实腹压杆的稳定性计算有何差别？其原因是什么？
11-14 设图示压杆AB 有轴心压力Pcr
P 32F F =作用，试求杆件的转动刚度AB S 和侧移刚度AB k 。
(a) (b)
题11-11 题11-14图
11-15 试说明在作体系稳定性分析时，哪一类刚架可以化为单压杆问题，哪一类却不可以。
P EI F P 3F P
EI I 6I q
EI
F
EI
F P EI
A B EI =∞
EI
11-16 试用位移法求图示刚架的稳定方程和临界荷载。
11-17
11-18 试用有限单元法求图a 所示压杆的临界荷载，并将计算结果与精确解进行比较。
设将杆件划分为两个单元，结构标识如图b
(a)
(b)
题11-18图
第11章 11-5 （a ）2Pcr kl
F =。
（b ）
l k
kl F θ
22Pcr +=。
（c ）
EI F 5Pcr =。
（d ）
Pcr 2a EI k q +=。
（e ）
2Pcr 311l EI
F =。
（f ）EI F 2Pcr =。
（g ）l k F θ
=Pcr 。
（h ）kl F 25
3Pcr -=。
（i ）
a k F θ
=Pcr。
11-6 （a ）3tan =l l αα，其中
EI F P
=
α。
（b ）0
)(tan 3tan 111=---l l l l l ααααα，其中
EI F P
=α。
（c ）0tan =+l l αα，其中EI F P
=
α。
（d ）
tan
21
1211
=⋅
⋅+
l l l l αα，其中
EI F P
=
α。
11-7 （a ）0cot =l α，其中
EI F P
=α。
22Pcr 4πl EI F =。
（b ）l l αα3tan =，其中
EI F P
=
α。
2Pcr 876.0l EI F =。
l l F P
EI
A B
F P EI
1
3
y
x 2 ①
②
11-8 3π2
21=
EI EI 。
11-9
0)(2tan 2=+
-kh EI
h h h ααα，其中
324h EI k =。
11-10 （a ）
2Pcr
513.1l EI
F =。
（b ）
Pcr 879.0a EI
F =。
（c ）精确解为
3cr 837.7l EI
q =。
（d ）精确解为
2Pcr 56.30l EI F =。
11-11
Pcr 247.18l EI
F =。
11-12 同题11-7。
11-14 （a ）
l EI
S AB 61.2=，321l EI k AB =。
（b ）
l EI
S AB 04.8=，33.18l EI k AB =。
11-16
2Pcr 062.15l EI
F =。
11-18 0
8007230800242P 23=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣
⎡l l
F l l EI ，
0Pcr 40l EI F =。