高一下学期期末数学试卷第9套真题
2018-2019学年高一数学下学期期末试卷及答案(九)
2018-2019学年高一数学下学期期末试卷及答案（九）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．若sinα=﹣，则α为第四象限角，则tanα的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣2．已知向量=（1，1），=（1，﹣1），若=+，则=（）A．（﹣1，﹣2）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17=170，则a9的值为（）A．10 B．20 C．25 D．304．已知倾斜角为θ的直线l与直线m：x﹣2y+3=0平行，则sin2θ=（）A．B．C．D．5．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，若sinA、sinB、sinC依次成等比数列，则（）A．a，b，c依次成等差数列B．a，b，c依次成等比数列C．a，c，b依次成等差数列D．a，c，b依次成等比数列6．在Rt△ABC中，已知AC=4，BC=1，P是斜边AB上的动点（除端点外），设P到两直角边的距离分别为d1，d2，则的最小值为（）A．B．C．D．7．将函数f（x）=cosωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位，若所得图象与原图象重合，则f（）不可能等于（）A．0 B．1 C．D．8．正项等比数列{a n}满足：a4+a3=a2+a1+8，则a6+a5的最小值是（）A．64 B．32 C．16 D．8二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每空4分，共36分．）9．已知tanα=2，则tan（α+）=，cos2α=，=．10．设为单位向量，其中，且，则与的夹角为，=．11．已知直线l1：ax﹣y+3=0与直线l2：（a﹣1）x+2y﹣5=0，若直线l1的斜率为2，则a=，若l1⊥l2，则a=．12．直角△ABC中，C=，AC=2．若D为AC中点，且sin∠CBD=，则BC=，tanA=．13．正实数x，y满足：x+y=xy，则x2+y2﹣4xy的最小值为．14．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：ax+y+3=0，点A（0，1），若直线l上存在点M，满足|MA|=2，则实数a的取值范围是．15．对任意的向量，和实数x∈[0，1]，如果满足，都有成立，那么实数λ的最小值为．三．解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足．（I）求角B的值；（II）若，求sinC的值．17．已知直线l：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；（2）过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N*，等比数列{b n}满足b1=1，b4=8，n∈N*．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n b n}的前n项和T n．19．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，（x∈R）．（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的值域．（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．20．已知公差不为0的等差数列{a n}满足a2=3，a1，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足b n=+，求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）设c n=2n（﹣λ），若数列{c n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．若sinα=﹣，则α为第四象限角，则tanα的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系式求出cosα，然后求解即可．【解答】解：sinα=﹣，则α为第四象限角，cosα==，tanα==﹣．故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．2．已知向量=（1，1），=（1，﹣1），若=+，则=（）A．（﹣1，﹣2）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据向量的运算求出向量C即可．【解答】解：∵向量=（1，1），=（1，﹣1），∴=+=﹣（1，1）+（1，﹣1）=（﹣1，﹣2），则=（﹣1，﹣2），故选：A．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，是一道基础题．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17=170，则a9的值为（）A．10 B．20 C．25 D．30【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的前n项和公式和通项公式直接求解．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S17=170，∴=170，解得a9=10．故选：A．【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．4．已知倾斜角为θ的直线l与直线m：x﹣2y+3=0平行，则sin2θ=（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦；直线的斜率．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sinθ和cosθ的值，再利用二倍角公式求得sin2θ的值．【解答】解：∵倾斜角为θ的直线l与直线m：x﹣2y+3=0平行，故有tanθ==．再根据sin2θ+cos2θ=1，θ∈[0，π），可得sinθ=，cosθ=，∴sin2θ=2sinθcosθ=，故选：B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．5．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，若sinA、sinB、sinC依次成等比数列，则（）A．a，b，c依次成等差数列B．a，b，c依次成等比数列C．a，c，b依次成等差数列D．a，c，b依次成等比数列【考点】等比数列的性质．【分析】根据等比中项的性质得：sin2B=sinAsinC，由正弦定理得b2=ac，则三边a，b，c成等比数列．【解答】解：因为sinA、sinB、sinC依次成等比数列，所以sin2B=sinAsinC，由正弦定理得，b2=ac，所以三边a，b，c依次成等比数列，故选：B．【点评】本题考查等比中项的性质，以及正弦定理的应用，属于基础题．6．在Rt△ABC中，已知AC=4，BC=1，P是斜边AB上的动点（除端点外），设P到两直角边的距离分别为d1，d2，则的最小值为（）A．B．C．D．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．=S△BCD+S△ACP，即为4=d1+4d2，求得【分析】运用三角形的面积公式可得S△ABC=（d1+4d2）（）展开后运用基本不等式，计算即可得到所求最小值．=S△BCD+S△ACP，【解答】解：如右图，可得S△ABCACBC=d1BC+d2AC，即为4=d1+4d2，则=（d1+4d2）（）=（1+4++）≥（5+2）=×（5+4）=．当且仅当=，即d1=2d2=，取得最小值．故选：C．【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的运用，注意运用等积法，以及乘1法，运用基本不等式求最值时，注意等号成立的条件，属于中档题和易错题．7．将函数f（x）=cosωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位，若所得图象与原图象重合，则f（）不可能等于（）A．0 B．1 C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，可求ω=6k（k∈N*），利用特殊角的三角函数值即可得解．【解答】解：由题意，所以ω=6k（k∈N*），因此f（x）=cos6kx，从而，可知不可能等于．故选：D．【点评】本题主要考查了三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，是常考题型，属于中档题．8．正项等比数列{a n}满足：a4+a3=a2+a1+8，则a6+a5的最小值是（）A．64 B．32 C．16 D．8【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知求出q2=1+，a6+a5==（a1q+a1）++16，由此利用基本不等式的性质能求出结果．【解答】解：∵{a n}是正项等比数列，∴a1＞0，q＞0，∵a4+a3=a2+a1+8，∴，∴q2=1+，∴a6+a5==q2（a1q+a1+8）=（1+）[（a1q+a1）+8]=（a1q+a1）++16≥2+16=32，当且仅当时，取等号．∴a6+a5的最小值是32．故选：B．【点评】本题考查等比数列中两项和的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质及基本不等式性质的合理运用．二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每空4分，共36分．）9．已知tanα=2，则tan（α+）=﹣3，cos2α=，=．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知，利用特殊角的三角函数值及两角和的正切函数公式可求tan（α+）的值，利用同角三角函数基本关系式即可计算求得cos2α，的值．【解答】解：∵tanα=2，∴tan（α+）===﹣3；cos2α====；===．故答案为：﹣3，，．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值及两角和的正切函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．10．设为单位向量，其中，且，则与的夹角为60°，=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积公式和向量的模，计算即可．【解答】解：设与的夹角为θ，∵，且，∴（2+）=2+=2cosθ+1=2，∴cosθ=，∵0≤θ≤180°，∴θ=60°，∴2=（2+）2=4+4+=4+4×+1=7，∴=，故答案为：60°，【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据向量数量积先求出向量夹角是解决本题的关键，属于中档题．11．已知直线l1：ax﹣y+3=0与直线l2：（a﹣1）x+2y﹣5=0，若直线l1的斜率为2，则a=2，若l1⊥l2，则a=2或﹣1．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的斜率．【分析】利用直线l1：ax﹣y+3=0的斜率为2，可求a；利用平面中的直线垂直的条件A1A2+B1B2=0，求出a的值．【解答】解：∵直线l1：ax﹣y+3=0的斜率为2，∴a=2．∵l1⊥l2，∴a（a﹣1）﹣2=0，∴（a﹣2）（a+1）=0，∴a=2或a=﹣1．故答案为：2；2或﹣1．【点评】本题考查了平面中的直线平行与垂直的应用问题，是基础题．12．直角△ABC中，C=，AC=2．若D为AC中点，且sin∠CBD=，则BC=，tanA=．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由题意画出图象，由D为AC中点求出CD，在RT△BCD中，由题意和正弦函数求出BD，由勾股定理求出BC，在RT△BCD中，由正切函数求出tanA 的值【解答】解：由题意画出图象：∵AC=2，且D为AC中点，∴CD=1，在RT△BCD中，∵sin∠CBD=，∴，得BD=3，则BC==，在RT△BCD中，tanA===，故答案为：；．【点评】本题考查直角三角形中三角函数的定义，以及勾股定理，属于基础题．13．正实数x，y满足：x+y=xy，则x2+y2﹣4xy的最小值为﹣8．【考点】二次函数的性质．【分析】代入已知条件，化简表达式，通过配方法求解最小值即可．【解答】解：正实数x，y满足：x+y=xy，则x2+y2﹣4xy=x2+y2﹣4x﹣4y=（x﹣2）2+（y﹣2）2﹣8≥﹣8．当且仅当x=y=2时取等号．故答案为：﹣8．【点评】本题考查二次函数的性质的应用，函数的最值，考查计算能力．14．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：ax+y+3=0，点A（0，1），若直线l上存在点M，满足|MA|=2，则实数a的取值范围是a≤﹣或a≥．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】求出M的轨迹，转化为直线与圆有交点，利用圆心到直线的距离小于等于半径，建立不等式，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：设M（x，y），则∵点A（0，1），满足|MA|=2，∴M的轨迹方程为x2+（y﹣1）2=4，圆心为（0，1），半径为2．∵直线l：ax+y+3=0，点A（0，1），直线l上存在点M，满足|MA|=2，∴直线与圆有交点，∴圆心到直线的距离d=，∴a≤﹣或a≥．故答案为：a≤﹣或a≥．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查直线与圆的位置关系．是中档题，15．对任意的向量，和实数x∈[0，1]，如果满足，都有成立，那么实数λ的最小值为2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由绝对值和向量的模的性质≤1，即为≥1，解得即可．【解答】解：当向量=时，可得向量，均为零向量，不等式成立，∵＞|﹣|，∴|﹣x|≤|﹣|＜||，∴≤1，则有≥1，即λ≥2那么实数λ的最小值为2，故答案为：2．【点评】本题考查最值的求法，注意运用特值法，以及恒成立思想的运用，考查向量的运算性质，属于中档题．三．解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足．（I）求角B的值；（II）若，求sinC的值．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．【分析】（I）由，利用正弦定理可得sinBsinA=，结合sinA≠0可得tanB=，且0＜B＜π从而可求B（II）由二倍角的余弦可得，cosA=，进而可得sinA=，sinC=sin（A+），利用和角公式展开可求．【解答】解：（I）∵．由正弦定理得，sinBsinA=，∵sinA≠0，即tanB=，由于0＜B＜π，所以B=．（II）cosA=，因为sinA＞0，故sinA=，所以sinC=sin（A+）==．【点评】本题主要考查了利用正弦定理解三角形，二倍角公式的应用，及三角形内角和的运用，属于对基础知识的综合考查．17．已知直线l：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；（2）过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程．【考点】待定系数法求直线方程；恒过定点的直线．【分析】（1）直线l解析式整理后，找出恒过定点坐标，判断即可得证；（2）由题意得到直线l1过的两个点坐标，利用待定系数法求出解析式即可．【解答】（1）证明：直线l整理得：（2x+y+4）+m（x﹣2y﹣3）=0，令，解得：，则无论m为何实数，直线l恒过定点（﹣1，﹣2）；（2）解：∵过定点M（﹣1，﹣2）作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，∴直线l1过（﹣2，0），（0，﹣4），设直线l1解析式为y=kx+b，把两点坐标代入得：，解得：，则直线l1的方程为y=﹣2x﹣4，即2x+y+4=0．【点评】此题考查了待定系数法求直线方程，以及恒过定点的直线，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N*，等比数列{b n}满足b1=1，b4=8，n∈N*．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列；数列递推式．【分析】（1）由题意得，利用a n与S n的关系求出{a n}的通项公式，单独求出n=1时a1的值，验证其是否满足通项公式，即可求出{a n}的通项公式；利用等比数列的性质将{b n}的公比求出，即可求出其通项公式；（2）由（1）中求出的{a n}和{b n}的通项公式代入新数列中，写出新数列的通项公式，利用错位相减法求出其前n项和T n．【解答】解：由题意得：=2（n﹣1）2+（n﹣1）②，（1）因为S n=2n2+n①，所以S n﹣1=4n﹣1（n≥2）；所以①﹣②得：a n=S n﹣S n﹣1当n=1时，a1=S1=3；所以a n=4n﹣1，n∈N*，又因为等比数列{b n}满足b1=1，b4=8，n∈N*，所以=8，所以q=2，所以b n=2n﹣1；（2）由（1）可知a n b n=（4n﹣1）2n﹣1，所以T n=3+7×21+11×22+…+（4n﹣5）×2n﹣2+（4n﹣1）×2n﹣1①，2T n=3×2+7×22+11×23+…+（4n﹣5）×2n﹣1+（4n﹣1）×2n②，所以①﹣②得：﹣T n=3+4×2+4×22+4×23+…+4×2n﹣1﹣（4n﹣1）×2n②，T n=5+（4n﹣5）×2n．【点评】（1）本题难度中档，解题关键在于对a n=S n﹣S n的关系熟练掌握，以﹣1及等比数列相关知识点的掌握；（2）难度中上，解题关键在于对错位相减法求数列前n项和的方法的掌握和应用．19．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，（x∈R）．（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的值域．（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．【分析】（1）利用三角恒等变换化简f（x），根据x的取值范围，求出f（x）的取值范围，即得最值；（2）先根据f（C）=0求出C的值，再根据向量共线以及正弦、余弦定理求出a、b的值．【解答】解：（1）函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣=sin2x﹣﹣=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1．…∵﹣≤x≤，∴，∴，从而﹣1﹣≤sin（2x﹣）﹣1≤0．则f（x）的最小值是，最大值是0．…（2），则，∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴，解得C=．…∵向量与向量共线，∴sinB=2sinA，由正弦定理得，b=2a①由余弦定理得，，即a2+b2﹣ab②由①②解得a=1，b=2．…【点评】本题考查了三角恒等变换的应用问题，也考查了平面向量的应用以及正弦余弦定理的应用问题，是综合性题目．20．已知公差不为0的等差数列{a n}满足a2=3，a1，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足b n=+，求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）设c n=2n（﹣λ），若数列{c n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）依题意，可求得数列{a n}的首项与公差，从而可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）结合（Ⅰ）a n=n+1，可求得b n=2+﹣，累加即可求数列{b n}的前n 项和S n；﹣c n=2n（﹣﹣λ）＜0对n∈N*都成立⇔（Ⅲ）依题意，应有c n+1﹣﹣λ＜0恒成立⇔λ＞，设f（n）=﹣，可求得f（n+1）﹣f（n）=，⇒f（1）＜f（2）=f（3）＞f（4）＞f（5）＞…，从而可求f（n）max，问题得到解决．【解答】解：（Ⅰ）由题知=a1a7，设等差数列{a n}的公差为d，则=a1（a1+6d），a1d=2d2，∵d≠0∴a1=2d．…又∵a2=3，∴a1+d=3，∴a1=2，d=1…∴a n=n+1．…（Ⅱ）∵b n=+=+=2+﹣．…∴S n=b1+b2+…+b n=（2+﹣）+（2+﹣）+…+（2+﹣）=2n+．…（III）c n=2n（﹣λ）=2n（﹣λ），使数列{c n}是单调递减数列，﹣c n=2n（﹣﹣λ）＜0对n∈N*都成立…则c n+1即﹣﹣λ＜0⇒λ＞…设f（n）=﹣，f（n+1）﹣f（n）=﹣﹣+=+﹣=2++1+﹣3﹣=…∴f（1）＜f（2）=f（3）＞f（4）＞f（5）＞…当n=2或n=3时，f（n）max=，∴=所以λ＞．…【点评】本题考查数列的递推，考查数列的求和，突出考查累加法求和，考查构造函数思想与等价转化思想的综合应用，考查函数的单调性与推理分析的能力，属于难题．。
高一下数学测试(九)参考答案
高一下数学测试题（九）参考答案一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)二、填空题：（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13. 4±|22,22x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭16. 2 三、解答题：(本大题共6小题，共70分)17．解：由题意得，α为第二象限角,又22sin cos 1αα+= ……………………2分∴3sin 5α== ……………………6分 sin 3tan cos 4ααα==- ……………………10分 18．解（1）由61)2()32(=+⋅-b a b a 解得:6134422=-⋅-b b a a将 3||,4||== 代入上式解得6-=⋅b a ……………………4分（2）21436||||cos -=⨯-==b a θ, 又],0[πθ∈ 32πθ=∴ …………8分 （3）∵133)6(242)(||222222=+-⨯+=+⋅+=+=+∴13||=+b a ……………12分19．解：①. 由根与系数的关系得：⎩⎨⎧==+)2(6tan tan )1(5tan tan βαβα ………………3分 .1615tan tan 1tan tan )tan(-=-=-+=+∴βαβαβα ………………8分 ),,0(),2,0(,),,0(,,0tan ,0tan πβαπβαπβαβα∈+∈∴∈>>且又 .43πβα=+所以 ………12分20．解析：(1) x x x b a x f 2cos 1sin 2cos )(⨯+⋅=⋅= ……………………2分x x 2cos 2sin += )42sin(2π+=x ……………………6分 (2)由（1）得)42sin(2)(π+=x x f ，令42π+=x Z ，则Z y sin 2=，其单调减区间为：23222ππππ+≤≤+k Z k ，即：2324222πππππ+≤+≤+k x k ， ……………8分 解之得：858ππππ+≤≤+k x k ()f x 的单调减区间为)](85,8[Z k k k ∈++ππππ ……………………12分21.解：∵在ABC △中，4sin 5A === ……………………2分12sin 13B === ……………………4分 又A BC π++= ……………………6分∴sin sin[()]C A B π=-+ =sin()A B + ……………………8分=sin cos cos sin A B A B + ……………………10分 =453125651351365⨯+⨯= ……………………12分 22.解：（1）∵2()2sin cos 2cos 3f x x x x =+-=2sin 22cos 12x x +--=sin 2cos 22x x +- …………………… 2分)24x π+- ……………………4分∴函数()f x 的最小正周期为22T ππ== ……………5分 令222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈ 得3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ∴函数()f x 的单调增区间为[]3,()88k k k Z ππππ-++∈ ……………………8分（2）当sin(2)14x π+=-时，函数()f x 取最小值：2；……………………10分 此时22,42x k k Z πππ+=-+∈即3,8x k k Z ππ=-+∈ ∴函数()f x 取最小值时自变量x 的集合为3{|,}8x x k k Z ππ=-+∈。
高一下学期数学期末考试试卷第9套真题
高一下学期数学期末考试试卷一、单选题1. 已知，下列不等式中必成立的一个是A .B .C .D .2. 己知向量，.若，则m的值为A .B . 4C . -D . -43. 在等差数列中,已知=2, =16,则为A . 8B . 128C . 28D . 144. 为数列的前n项和,若,则的值为A . -7B . -4C . -2D . 05. 不等式的解集为A .B .C . ∪D . ∪等比数列,…的第四项等于A . -24B . 0C . 12D . 247. 的内角的对边分别是，若，，，则A .B . 2C .D . 18. 将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（）A .B .C .D .9. 在锐角中，角所对的边长分别为 .若（）A .B .C .D .10. 若2x+2y=1，则x+y的取值范围是（）A .B .C .D .11. 在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱的中点,则异面直线AC和MN所成的角为A .B .C .D .12. “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A .B .C .D .二、填空题13. 若等比数列的各项均为正数，且，则等于________．14. 已知函数在时取得最小值，则a=________．15. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为________ .16. 已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°，若的面积为8，则该圆锥的体积为________三、解答题17. 不等式（1）若不等式的解集为或,求k的值（2）若不等式的解集为,求的取值范围18. 已知分别是内角的对边，．（1）若，求（2）若，且求的面积．19. 如图，三角形中，，是边长为l的正方形，平面底面，若分别是的中点.（1）求证：底面；（2）求几何体的体积.20. 设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．（1）求数列，的通项公式；（2）当时，记，求数列的前项和．21. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD ＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD ，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2,O 为AD中点．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．22. 为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的3小时内，药物在白鼠血液内的浓度与时间t满足关系式：，若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度与时间t满足关系式：现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．（1）若a=1，求3小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？（2）若使小白鼠在用药后3小时内血液中的药物浓度不低于4，求正数a的取值范围．。
大一下学期高等数学期末试题及答案__数套
高等数学（下）试卷一一、 填空题（每空3分，共15分）（1）函数z =的定义域为 （2）已知函数arctanyz x =，则z x ∂=∂（3）交换积分次序，2220(,)y y dy f x y dx⎰⎰＝（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则()L x y ds +=⎰（5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为二、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩，平面π为4220x y z -+-=，则（ ）A. L 平行于πB. L 在π上C. L 垂直于πD. L 与π斜交 （2）设是由方程xyz =(1,0,1)-处的dz =（ ）A.dx dy +B.dxD.dx （3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将22()x y dv Ω+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为（ ） A.22530d r dr dzπθ⎰⎰⎰ B.24530d r dr dzπθ⎰⎰⎰ C.2253502rd r dr dzπθ⎰⎰⎰ D.2252d r dr dzπθ⎰⎰⎰（4）已知幂级数12nnn n x ∞=∑，则其收敛半径（ ）A. 2B. 1C. 12D. （5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *=（ ）A.B.()x ax b xe +C.()xax b ce ++D.()xax b cxe ++三、计算题（每题8分，共48分）1、 求过直线1L :123101x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知22(,)z f xy x y =，求zx ∂∂， z y ∂∂3、 设22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求2Dx dxdy ⎰⎰4、 求函数22(,)(2)x f x y e x y y =++的极值5、计算曲线积分2(23sin )()y L xy x dx x e dy ++-⎰， 其中L 为摆线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩从点(0,0)O 到(,2)A π的一段弧6、求微分方程 x xy y xe '+=满足 11x y ==的特解四.解答题（共22分）1、利用高斯公式计算22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰，其中∑由圆锥面z =与上半球面z =所围成的立体表面的外侧 (10)'2、（1）判别级数111(1)3n n n n ∞--=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6'）（2）在(1,1)x ∈-求幂级数1nn nx∞=∑的和函数（6'）高等数学（下）试卷二一．填空题（每空3分，共15分）（1）函数z =的定义域为 ； （2）已知函数xyz e =，则在(2,1)处的全微分dz = ；（3）交换积分次序，ln 1(,)e x dx f x y dy⎰⎰＝ ；（4）已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧，则=⎰；（5）已知微分方程20y y y '''-+=，则其通解为 . 二．选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为（ ）；A. 0B. 2πC. 3πD. 4π（2）设(,)z f x y =是由方程333z xyz a -=确定，则z x ∂=∂（ ）； A. 2yz xy z - B. 2yz z xy - C. 2xz xy z - D. 2xy z xy -（3）微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *=（ ）；A.2()x ax b e +B.2()x ax b xe +C.2()x ax b ce ++D.2()xax b cxe ++ （4）已知Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域, 将dvΩ⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为（ ）； A222sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰ B.220ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰C.20ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰ D.220sin a d d r drππθϕϕ⎰⎰⎰（5）已知幂级数1212nnn n x ∞=-∑，则其收敛半径（ ）.2 B.1 C. 12 D.三．计算题（每题8分，共48分）5、 求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .6、 已知(sin cos ,)x yz f x y e +=，求zx ∂∂， z y ∂∂ . 7、 设22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤，利用极坐标计算arctanDydxdy x ⎰⎰ .8、 求函数22(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、 利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)x x Le y y dx e y dy -+-⎰，其中L 为沿上半圆周222(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段. 6、求微分方程 32(1)1y y x x '-=++的通解.四．解答题（共22分）1、（1）（6'）判别级数11(1)2sin3n n n n π∞-=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（2）（4'）在区间(1,1)-内求幂级数1nn x n ∞=∑的和函数 .2、(12)'利用高斯公式计算2xdydz ydzdx zdxdy∑++⎰⎰，∑为抛物面22z x y =+(01)z ≤≤的下侧高等数学（下）模拟试卷三一． 填空题（每空3分，共15分）1、 函数arcsin(3)y x =-的定义域为 .2、22(2)lim 332n n n n →∞++-= .3、已知2ln(1)y x =+，在1x =处的微分dy = . 4、定积分1200621(sin )x x x dx -+=⎰.5、求由方程57230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dydx =.二．选择题（每空3分，共15分）1、2x =是函数22132x y x x -=-+的 间断点 （A ）可去 （B ）跳跃 （C ）无穷 （D ）振荡2、积分10⎰= .(A) ∞ (B)-∞(C) 0 (D) 13、函数1xy e x =-+在(,0]-∞内的单调性是 。
2024届大连市第九中学数学高一下期末统考试题含解析
2024届大连市第九中学数学高一下期末统考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．在等差数列中，若.，则（ ）A ．100B ．90C ．95D ．202．已知数据1210,,,x x x ⋯，2的平均值为2，方差为1，则数据1210,,,x x x ⋯相对于原数据( ) A ．一样稳定 B ．变得比较稳定 C ．变得比较不稳定D ．稳定性不可以判断3．已知向量(1,2)a =，(4,2)b =-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．512π D ．2π 4．设函数()2,0()24,0x xx e e x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨---<⎪⎩，若函数()()g x f x ax =-恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（） A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞5．已知角α的终边经过点()1,1-，则=sin α（ ）A ．22-B ．12-C ．22D ．326．若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数是（ ）A ．91B ．91.5C ．92D ．92.57．已知,,A B C 是圆22:4O x y +=上的三点，,OA OB OC AB OA +=⋅=（ ） A ．6B ．63C ．6-D ．63-8．从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是 A ．至少有一个黑球与都是黑球 B ．至少有一个黑球与至少有一个白球 C ．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D ．至少有一个黑球与都是白球9．若0b a <<，则下列结论不正确的是（ ） A ．22a b <B ．2ab b <C ．1122b a⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．2a bb a+> 10．在正方体1111ABCD A B C D -中，当点E 在线段11B D （与1B ，1D 不重合）上运动时，总有：①1AE BC ； ②平面1AA E ⊥平面11BB D D ；③AE 平面1BC D ；④1AC AE ⊥．以上四个推断中正确的是( ) A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
高中数学：2022-2023学年浙江省宁波市九校联考高一(下)期末数学试卷(含参考答案)
2022-2023学年浙江省宁波市九校联考高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z =1+3i1−2i，则z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．1B ．iC ．﹣iD ．﹣12．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，若角α以x 轴的非负半轴为始边，且终边过点（4，﹣3），则cos(α−π2)的值为（ ） A ．−35B ．35C ．−45D ．453．（5分）设l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β B ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β C ．若l ⊥α，l ⊥β，则α∥βD ．若α∥β，l ∥α，则l ∥β4．（5分）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑A ﹣BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AB ＝BC ＝CD ＝1，则其内切球表面积为（ ） A ．3πB ．√3πC ．(3−2√2)πD ．(√2−1)π5．（5分）已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 7＞T 9＞T 8，则（ ） A ．q ＜0B ．a 1＜0C ．T 15＜1＜T 16D ．T 16＜1＜T 176．（5分）如图，在棱长均为2的直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 是A 1B 1的中点，过B ，C ，D 三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点B 1所在部分的体积为（ ）A ．2√33B ．5√36C ．√3D ．7√367．（5分）在△ABC 中，P 0是边AB 的中点，且对于边AB 上任意一点P ，恒有PB →⋅PC →≥P 0B →⋅P 0C →，则△ABC 一定是（ ） A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形8．（5分）十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”．它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点，已知在△ABC 中，已知C =23π，AC ＝1，BC ＝2，且点M 在AB 线段上，且满足CM ＝BM ，若点P 为△AMC 的费马点，则PA →⋅PM →+PM →⋅PC →+PA →⋅PC →=（ ） A ．﹣1B ．−45C ．−35D ．−25二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. （多选）9．（5分）下列说法正确的是（ ） A ．若a →∥b →，b →∥c →，则a →∥c →B ．|(a →⋅b →)⋅c →|≤|a →||b →||c →|C ．若a →⊥(b →−c →)，则a →⋅b →=a →⋅c →D ．(a →⋅b →)⋅b →=a →⋅(b →)2（多选）10．（5分）下列说法正确的是（ ）A ．若f(x)=sinωx +2cos(ωx +π3)，ω＞0的最小正周期为π，则ω＝2B ．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“A ＞B ”是“a ＞b ”的充要条件C ．三个不全相等的实数a ，b ，c 依次成等差数列，则2a ，2b ，2c 可能成等差数列D ．△ABC 的斜二测直观图是边长为2的正三角形，则△ABC 的面积为2√6（多选）11．（5分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的数学著作，其中第十一卷称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，AB ，CD 是直角圆锥SO 底面圆的两条不同的直径，下列说法正确的是（ ）A ．存在某条直径CD ，使得AD ⊥SDB ．若AB ＝2，则三棱锥S ﹣AOD 体积的最大值为16C ．对于任意直径CD ，直线AD 与直线SB 互为异面直线D ．若∠ABD =π6，则异面直线SA 与CD 所成角的余弦值是√24（多选）12．（5分）已知数列{a n }中各项都小于2，a n+12−4a n +1=a n 2−3a n ，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则以下结论正确的是（ ）A ．任意a 1与正整数m ，使得a m a m +1≥0B ．存在a 1与正整数m ，使得a m+1＞34a mC ．任意非零实数a 1与正整数m ，都有a m +1＜a mD ．若a 1＝1，则S 2022∈（1.5，4）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）杭州第19届亚运会会徽“潮涌”的主题图形融合了扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网及太阳六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴．在中国历史上，历代书画家都喜欢在扇面上绘画或书写以抒情达意．一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为30和12的两个同心圆上的弧（长度单位为cm ），侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心，且圆心角为2π3．若某空间几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为 ．14．（5分）已知等差数列{a n }，a 8＝8，a 9=8+π3，则cosa 5+cosa 7cosa 6= ．15．（5分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BC ＝CC 1＝3，AC ＝4，AC ⊥BC ，动点P 在△A 1B 1C 1内（包括边界上），且始终满足BP ⊥AB 1，则动点P 的轨迹长度是 ．16．（5分）已知向量a →，b →的夹角为π3，且a →⋅b →=3，向量c →满足c →=λa →+(1−λ)b →(0＜λ＜1)，且a →⋅c →=b →⋅c →，记x =c →⋅a →|a →|，y =c →⋅b→|b →|，则x 2+y 2﹣xy 的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）定义一种运算：(a ，b)[cd ]=ac +bd ．（1）已知z 为复数，且(3，z)[z4]=7−3i ，求|z |；（2）已知x ，y 为实数，(y +sin2x ，2)[i y ]−(1，sin 2x)[sinx2√3i ]也是实数，将y 表示为x 的函数并求该函数的单调递增区间．18．（12分）今年9月，象山将承办第19届杭州亚运会帆船与沙滩排球项目比赛，届时大量的游客来象打卡“北纬30度最美海岸线”．其中亚帆中心所在地——松兰山旅游度假区每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化．现假设该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数f （x ）＝40[A cos ω（x +4）+k ]来刻画．其中正整数x 表示月份且x ∈[1，12]，例如x ＝1时表示1月份，A 和k 是正整数，ω＞0．统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同；②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约160人；③2月份从事旅游服务工作的人数约为40人，随后逐月递增直到8月份达到最多． （1）试根据已知信息，确定一个符合条件的y ＝f （x ）的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过160人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由． 19．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2+4n ﹣3． （1）求{a n }的通项公式； （2）记b n =2n+5S n S n+1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n ． 20．（12分）在△ABC 中，内角A ，B 都是锐角． （1）若∠C =π3，c ＝2，求△ABC 周长的取值范围；（2）若sin 2A +sin 2B ＞sin 2C ，求证：sin 2A +sin 2B ＞1．21．（12分）已知边长为6的菱形ABCD ，∠ABC =π3，把△ABC 沿着AC 翻折至△AB 1C 的位置，构成三棱锥B 1﹣ACD ，且DE →=12DB 1→，CF →=13CD →，EF =√372．（1）证明：AC⊥B1D；（2）求二面角B1﹣AC﹣D的大小；（3）求EF与平面AB1C所成角的正弦值．22．（12分）已知数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和S n满足：S n2=a n（S n﹣1），且S n≠0，数列{b n}满足：对任意n∈N*有b1S1+b2S2+⋯+b nS n=(n−1)⋅2n+1+2．（1）求证：数列{1S n}是等差数列；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设T n是数列{2n−1b2n−b n}的前n项和，求证：T n＜76．附：参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z=1+3i1−2i，则z的共轭复数的虚部为（）A．1B．i C．﹣i D．﹣1【解答】解：z=1+3i1−2i=(1+3i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−1+i，则z=−1−i，其虚部为﹣1．故选：D．2．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点（4，﹣3），则cos(α−π2 )的值为（）A．−35B．35C．−45D．45【解答】解：由三角函数定义有sinα=−3 5，所以cos（α−π2）＝sinα=−35．故选：A．3．（5分）设l是一条直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l⊥β，则α∥βD．若α∥β，l∥α，则l∥β【解答】解：若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β相交，故A错误；若α⊥β，l∥α，则l⊂β或l∥β或l与β相交，故B错误；若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故C正确；若α∥β，l∥α，则l∥β或l⊂β，故D错误．故选：C．4．（5分）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝CD＝1，则其内切球表面积为（）A．3πB．√3πC．(3−2√2)πD．(√2−1)π【解答】解：因为四面体ABCD四个面都为直角三角形，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，所以AB⊥BD，AB⊥BC，BC⊥CD，AC⊥CD，设四面体ABCD内切球的球心为O，半径为r，则V ABCD=V O−ABC+V O−ABD+V O−ACD+V O−BCD=13r(S△ABC+S△ABD+S△ACD+S△BCD)，所以r=3V ABCDS ABCD，因为四面体ABCD的表面积为S ABCD=S△ABC+S△ABD+S△ACD+S△BCD=1+√2，又因为四面体ABCD的体积V ABCD=13×12×1×1×1=16，所以r=3V ABCDS ABCD=√2−12，所以内切球表面积S=4πr2=(3−2√2)π．故选：C．5．（5分）已知等比数列{a n}的前n项积为T n，若T7＞T9＞T8，则（）A．q＜0B．a1＜0C．T15＜1＜T16D．T16＜1＜T17【解答】解：因为等比数列{a n}的前n项积为T n，若T7＞T9＞T8，故1＞a8a9，a9＞1，a8＜1；所以a1⋅q8＞1，所以a1＞0，0＜q＜1；所以T16=a1⋅a2⋅...⋅a15⋅a16=(a8a9)8＜1，T17=a1⋅a2⋅...a16⋅a17=a917＞1．故选：D．6．（5分）如图，在棱长均为2的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是A1B1的中点，过B，C，D三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点B1所在部分的体积为（）A ．2√33B ．5√36C ．√3D ．7√36【解答】解：如图，取A 1C 1的中点E ，连接DE ，CE ，又D 是A 1B 1的中点， ∴DE ∥B 1C 1，且DE =12B 1C 1，又B 1C 1∥BC ，且B 1C 1＝BC ， ∴DE ∥BC ，且DE =12BC ，∴过B ，C ，D 三点的平面截该三棱柱的截面为梯形BCED ， ∴所求体积为：V 三棱柱ABC−A 1B 1C 1−V 三棱台A 1DE−ABC =12×2×2×√32×2−13×(12×1×1×√32+12×2×2×√32+√√34×√3)×2 =2√3−7√36=5√36． 故选：B ．7．（5分）在△ABC 中，P 0是边AB 的中点，且对于边AB 上任意一点P ，恒有PB →⋅PC →≥P 0B →⋅P 0C →，则△ABC 一定是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形【解答】解：以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系，设AB ＝4， 则A （﹣2，0），B （2，0），C （a ，b ），P （0，0），P 0（x ，0），所以PB →=（2﹣x ，0），PC →=（a ﹣x ，b ），P 0B →=（2，0），P 0C →=（a ，b ）， 因为恒有PB →⋅PC →≥P 0B →⋅P 0C →，则（2﹣x ）（a ﹣x ）≥（2a ， 整理得x 2﹣（a +2）x ≥0恒成立，故Δ＝（a +2）2≤0，即a ＝﹣2，此时BA ⊥AC ， 所以∠A ＝90°，所以△ABC 为直角三角形． 故选：A ．8．（5分）十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”．它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点，已知在△ABC 中，已知C =23π，AC ＝1，BC ＝2，且点M 在AB 线段上，且满足CM ＝BM ，若点P 为△AMC 的费马点，则PA →⋅PM →+PM →⋅PC →+PA →⋅PC →=（ ） A ．﹣1B ．−45C ．−35D ．−25【解答】解：因为C =23π，AC ＝1，BC ＝2，所以由余弦定理可得AB =√AC 2+CB 2−2AC ⋅CBcosC =√7，由正弦定理可得AC sinB =ABsinC，即sinB =ACsinC AB =1×√32√7=√2114，又B 为锐角，所以cosB =√1−sin 2B =5√714，设CM ＝BM ＝x ，则CM 2＝CB 2+BM 2﹣2CB •BM cos C ，即x 2=4+x 2−10√77x ， 解得x =2√75，即BM =25AB ， 所以AM =35AB =3√75，则S △AMC =35S △ABC =35×12×1×2×√32=3√310，又cos ∠AMC =AM 2+CM 2−AC22AM⋅CM =6325+2825−12×3√75×2√750， 则∠AMC 为锐角，所以△AMC 的三个内角均小于120°， 则P 为三角形的正等角中心，所以S △AMC =12|PA →|⋅|PM →|sin 2π3+12|PM →|⋅|PC →|sin 2π3+12|PA →|⋅|PC →|sin 2π3=√34(|PA →|⋅|PM →|+|PM →|⋅|PC →|+|PA →|⋅|PC →|)=3√310， 所以|PA →|⋅|PM →|+|PM →|⋅|PC →|+|PA →|⋅|PC →|=65，所以PA →⋅PM →+PM →⋅PC →+PA →⋅PC →=|PA →|⋅|PM →|cos 2π3+|PM →|⋅|PC →|cos 2π3+|PA →|⋅|PC →|cos 2π3=−12(|PA →|⋅|PM →|+|PM →|⋅|PC →|+|PA|⋅|PC|)=−12×65=−35．故选：C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. （多选）9．（5分）下列说法正确的是（ ） A ．若a →∥b →，b →∥c →，则a →∥c →B ．|(a →⋅b →)⋅c →|≤|a →||b →||c →|C ．若a →⊥(b →−c →)，则a →⋅b →=a →⋅c →D ．(a →⋅b →)⋅b →=a →⋅(b →)2【解答】解：对于A ，当b →=0→时，满足a →∥b →，b →∥c →，不能得出a →∥c →，选项A 错误；对于B ，|（a →•b →）c →|＝|（|a →||b →|cos ＜a →，b →＞|c →|）|≤|a →||b →||c →|，当且仅当a →与b →共线时取“＝”，所以选项B 正确；对于C ，a →⊥(b →−c →)时，a →•（b →−c →）＝0，即a →⋅b →=a →⋅c →，选项C 正确；对于D ，（a →•b →）•b →是数乘向量，与b →共线的向量，a →•(b →)2也是数乘向量，与a →共线的向量，所以等式不成立，选项D 错误． 故选：BC ．（多选）10．（5分）下列说法正确的是（ ）A ．若f(x)=sinωx +2cos(ωx +π3)，ω＞0的最小正周期为π，则ω＝2B ．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“A ＞B ”是“a ＞b ”的充要条件C ．三个不全相等的实数a ，b ，c 依次成等差数列，则2a ，2b ，2c 可能成等差数列D ．△ABC 的斜二测直观图是边长为2的正三角形，则△ABC 的面积为2√6【解答】解：对于A ，f （x ）＝sin ωx +2cos （ωx +π3）＝（1−√3）sin ωx +cos ωx =√5−2√3sin （ωx +φ），其中tan φ=11−3=−1+√32，若f （x ）的最小正周期为π，则ω=2ππ=2，选项A 正确； 对于B ，△ABC 中，A ＞B 得出a ＞b ，充分性成立，a ＞b 也能得出A ＞B ，必要性成立，是充要条件，选项B 正确；对于C ，若2a ，2b ，2c 成等差数列，则2•2b ＝2a +2c ，所以2＝2a ﹣b +2c ﹣b ，所以a ﹣b ＝c ﹣b ＝0，即a ＝b ＝c ，所以选项C 错误；对于D ，△ABC 的斜二测直观图是边长为2的正三角形，则△ABC 的面积为2√2S 直观图＝2√2×√34×22=2√6，选项D 正确． 故选：ABD ．（多选）11．（5分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的数学著作，其中第十一卷称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，AB ，CD 是直角圆锥SO 底面圆的两条不同的直径，下列说法正确的是（ ）A ．存在某条直径CD ，使得AD ⊥SDB ．若AB ＝2，则三棱锥S ﹣AOD 体积的最大值为16C ．对于任意直径CD ，直线AD 与直线SB 互为异面直线D ．若∠ABD =π6，则异面直线SA 与CD 所成角的余弦值是√24【解答】解：对A 选项，∵SD 在底面的射影为CD ，而CD 与AD 夹角始终为锐角， ∴AD 与AD 不垂直，∴根据三垂线定理可知AD 与SD 不垂直，∴A 选项错误； 对B 选项，若AB ＝2，则三棱锥S ﹣AOD 的高为SO ＝1，当AO ⊥DO 时，三角形AOD 的面积取得最大值为12×1×1=12，此时三棱锥S ﹣AOD 体积取得最大值为13×12×1=16，∴B 选项正确；对C 选项，∵AB ，CD 是直角圆锥SO 底面圆的两条不同的直径， ∴根据异面直线的判定定理可知：对于任意直径CD ，直线AD 与直线SB 互为异面直线，∴C 选项正确； 对D 选项，若∠ABD =π6，则∠AOD =π3，设圆锥的底面圆半径为r ，∴SA →⋅OD →=(OA →−OS →)⋅OD →=OA →⋅OD →−OS →⋅OD →=r ×r ×cos π3−0=r 22，又易知|SA →|=√2r ，|OD →|＝r ，∴cos ＜SA →，OD →＞=SA →⋅OD →|SA →||OD →|=r 22√2r×r=√24，∴异面直线SA 与CD 所成角的余弦值是√24，∴D 选项正确． 故选：BCD ．（多选）12．（5分）已知数列{a n }中各项都小于2，a n+12−4a n +1=a n 2−3a n ，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则以下结论正确的是（ ）A ．任意a 1与正整数m ，使得a m a m +1≥0B ．存在a 1与正整数m ，使得a m+1＞34a mC ．任意非零实数a 1与正整数m ，都有a m +1＜a mD ．若a 1＝1，则S 2022∈（1.5，4）【解答】解：对于选项A ：因为a n+12−4a n+1=a n 2−3a n ，所以（a n +1﹣4）a n +1＝（a n ﹣3）a n ，整理得a n +1=(a n −3)a na n+1−4，所以a n a n +1=(a n −3)a n2a n+1−4≥0，故选项A 正确；对于选项B ：不妨设f （x ）＝x 2﹣4x ，因为a n+12−4a n+1=a n 2−4(34a n )≥(34a n )2−4(34a n )，可得f(a n+1)≥f(34a n )，而f ′（x ）＝2x ﹣4＝2（x ﹣2），当x ＜2时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减； 当x ＞2时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，所以对于任意正整数n ，都有a n+1≤34a n ，故选项B 错误；对于选项C ：由A 可知所有a n 同号，①当a 1＝0 时，对于任意正整数n ，都有a n ＝0；②当0＜a 1＜2时，0＜a n ＜2，a n+12−4a n +1=a n 2−3a n ＞a n 2−4a n ，所以f （a n +1）＞f （a n ），又函数f （x ）在（﹣∞，2）上单调递减， 所以对于任意正整数n ，都有a n +1＜a n ；③当a 1＜0时，a n+12−4a n +1=a n 2−3a n ＞a n 2−4a n ，所以f （a n +1）＜f （a n ），又函数f （x ）在（﹣∞，2）上单调递减，所以对于任意正整数n ，都有a n +1＞a n ，故选项C 正确； 对于选项D ：因为对于任意正整数n ，都有a n+1≤34a n ，当a 1＝1时，a n ≤（34）n ﹣1，所以S 2022≤∑ 2022k=1（34）k ﹣1=1−(34)20221−34=4[1﹣（34）2022]＜4，因为当a 1＝1时，0＜a n ≤1，又a 22−4a 2+2＝0，解得a 2＝2−√2＞12，所以S 2022＞S 2＞32，则S2022∈（1，5，4），故选项D正确；故选：AD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）杭州第19届亚运会会徽“潮涌”的主题图形融合了扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网及太阳六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴．在中国历史上，历代书画家都喜欢在扇面上绘画或书写以抒情达意．一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为30和12的两个同心圆上的弧（长度单位为cm），侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心，且圆心角为2π3．若某空间几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为12√2．【解答】解：设一个圆锥的侧面展开图是半径为30，圆心角为2π3的扇形，设该圆锥的底面半径为r，所以2πr=2π3×30，可得r＝10，因此该圆锥的高为h=√302−102=20√2，故侧面展开图是半径为12，圆心角为2π3的扇形的圆锥的高为1230ℎ=25×20√2=8√2，因此若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为20√2−8√2=12√2．故答案为：12√2．14．（5分）已知等差数列{a n}，a8＝8，a9=8+π3，则cosa5+cosa7cosa6=1．【解答】解：等差数列{a n}，a8＝8，a9=8+π3，所以公差d＝a9﹣a8=π3，则cosa5+cosa7cosa6=cos(a6−π3)+cos(a6+π3)cosa6=2cosa6cosπ3cosa6=1．故答案为：1．15．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝CC1＝3，AC＝4，AC⊥BC，动点P在△A1B1C1内（包括边界上），且始终满足BP ⊥AB 1，则动点P 的轨迹长度是125．【解答】解：在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BC ＝CC 1＝3，AC ＝4，AC ⊥BC ，建立如图所示的坐标系， 由题意可知A （4，0，0），B （0，3，0），C （0，0，0），B 1（0，3，3），设P （x ，y ，3）， 则BP →=（x ，y ﹣3，3），AB 1→=（﹣4，3，3），BP ⊥AB 1， 可得：﹣4x +3y ﹣9+9＝0，即4x ﹣3y ＝0． 直线A 1B 1的方程：3x +4y ＝12，{3x +4y =124x −3y =0，可得x =3625，y =4825，所以D （3625，4825）， 动点P 的轨迹为线段C 1D ，长度为：√(3625)2+(4825)2=12×525=125． 故答案为：125．16．（5分）已知向量a →，b →的夹角为π3，且a →⋅b →=3，向量c →满足c →=λa →+(1−λ)b →(0＜λ＜1)，且a →⋅c →=b →⋅c →，记x =c →⋅a →|a →|，y =c →⋅b→|b →|，则x 2+y 2﹣xy 的最大值为 278 ．【解答】解：设OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，∵a →⋅b →=|a →||b →|cos π3=3，∴|a →||b →|=6，∵向量c →满足c →=λa →+(1−λ)b →(0＜λ＜1)， ∴C 在线段AB 上， 设∠AOC ＝α，则∠BOC =π3−α， 则x =c →⋅a →|a →|=|c →|cos α，y =c →⋅b →|b →|=|c →|cos(π3−α)，∴34|c →|2≤34×(3√22)2x 2+y 2﹣xy =|c →|2cos 2α+|c →|2cos 2(π3−α)−|c →|cosα⋅|c →|cos(π3−α)=|c →|2[cos 2α+(12cosα+√32sinα)2−cosα(12cosα+√32sinα)]=|c →|2(cos 2α+12cos 2α+√32sinαcosα+34sin 2α−12cos 2α−√32sinαcosα)=34|c →|2， 在△ABO 中，由余弦定理有：|AB|2=|a →|2+|b →|2−2|a →||b →|cos π3=|a →|2+|b →|2−|a →||b →|≥2|a →||b →|−|a →||b →|=|a →||b →|=6， ∴|AB|≥√6，当且仅当|a →|=|b →|时等号成立， ∵a →⋅c →=b →⋅c →，∴(a →−b →)⋅c →=0，∴BA →⊥OC →， ∴S △OAB =12|AB|×|OC|=12|OA|×|OB|sin π3，∴|OC|=6×√32|AB|≤3√3√6=3√22，即|c →|≤3√22，∴x 2+y 2﹣xy =34|c →|2≤34×(3√22)2=278．故答案为：278． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）定义一种运算：(a ，b)[cd ]=ac +bd ．（1）已知z 为复数，且(3，z)[z4]=7−3i ，求|z |；（2）已知x，y为实数，(y+sin2x，2)[iy]−(1，sin2x)[sinx2√3i]也是实数，将y表示为x的函数并求该函数的单调递增区间．【解答】解：（1）设z＝a+bi，由题意可得，（3，z）[z4]＝3z+4z=3（a+bi）+4（a﹣bi）＝7a﹣bi＝7﹣3i，故a＝1，b＝3，所以|z|=√10；（2）由题意可得，原式＝2y﹣sin x+（y+sin2x﹣2√3sin²x）i是实数，所以y+sin2x﹣2√3sin2x＝0，即y＝﹣sin2x+2√3sin²x=√3（1﹣cos2x）﹣sin2x＝﹣2sin（2x+π3）+√3，所以当2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2，k∈Z时，sin（2x+π3）单调递减，此时函数y单调递增，解得kπ+π12≤x≤kπ+7π12，k∈Z，即单调增区间为[kπ+π12，kπ+7π12]（k∈z）．18．（12分）今年9月，象山将承办第19届杭州亚运会帆船与沙滩排球项目比赛，届时大量的游客来象打卡“北纬30度最美海岸线”．其中亚帆中心所在地——松兰山旅游度假区每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化．现假设该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数f （x）＝40[A cosω（x+4）+k]来刻画．其中正整数x表示月份且x∈[1，12]，例如x＝1时表示1月份，A 和k是正整数，ω＞0．统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同；②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约160人；③2月份从事旅游服务工作的人数约为40人，随后逐月递增直到8月份达到最多．（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的y＝f（x）的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过160人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由．【解答】解：（1）根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为12． 由此可得，T =2πω=12，得ω=π6； 由规律②可知，f （x ）max ＝f （8）＝40（A cos2π+k ）＝40A +40k ， f （x ）min ＝f （2）＝40（A cos π+k ）＝﹣40A +40k ， 由f （8）﹣f （2）＝80A ＝160，得A ＝2；又当x ＝2时，f （2）＝40[2cos ω（2+4）+k ]＝80•cos π+40k ＝40， 解得k ＝3．综上可得，f （x ）＝80cos （π6x +2π3）+120符合条件．（2）由条件，80cos （π6x +2π3）+120＞160，可得cos （π6x +2π3）＞12，则2k π−π3＜π6x +2π3＜2k π+π3，k ∈Z ，∴12k ﹣6＜x ＜12k ﹣2，k ∈Z ．∵x ∈[1，12]，x ∈N *，∴当k ＝1时，6＜x ＜10，故x ＝7，8，9，即一年中的7，8，9三个月是该地区的旅游“旺季”． 19．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2+4n ﹣3． （1）求{a n }的通项公式； （2）记b n =2n+5S n S n+1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n ． 【解答】解：（1）由S n ＝n 2+4n ﹣3， 可得n ＝1时，a 1＝S 1＝5﹣3＝2，当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝n 2+4n ﹣3﹣（n ﹣1）2﹣4（n ﹣1）+3， 化简可得a n ＝2n +3（n ≥2）， 所以a n ={2，n =12n +3，n ≥2且n ∈N ∗；（2）b n =2n+5S n S n+1=2n+5(n 2+4n−3)(n 2+6n+2)=1n 2+4n−3−1n 2+6n+2，可得T n =12−19+19−118+...+1n 2+4n−3−1n 2+6n+2=12−1n 2+6n+2=n 2+6n 2n 2+12n+4． 20．（12分）在△ABC 中，内角A ，B 都是锐角． （1）若∠C =π3，c ＝2，求△ABC 周长的取值范围；（2）若sin 2A +sin 2B ＞sin 2C ，求证：sin 2A +sin 2B ＞1．【解答】解：（1）由正弦定理有：a sinA=b sinB=c sinC=√32=4√33， ∴a =4√33sinA ，b =4√33sinB ， ∴a +b =4√33sinA +4√33sinB =4√33sinA +4√33sin(2π3−A) =4√33sinA +4√33(√32cosA +12sinA) =2√3sinA +2cosA =4sin(A +π6)，∵内角A ，B 都是锐角，∴{0＜A ＜π20＜2π3−A ＜π2，∴π6＜A ＜π2， ∴π3＜A +π6＜2π3， ∴sin(A +π6)∈(√32，1]，∴a +b ∈(2√3，4]， ∴a +b +c ∈(2+2√3，6]，∴△ABC 周长的取值范围为(2+2√3，6]； （2）∵sin 2A +sin 2B ＞sin 2C ， 由正弦定理得：a 2+b 2＞c 2， 由余弦定理：cos C =a 2+b 2−c 22ab＞0，∵C ∈（0，π），∴C 为锐角， ∵A ，B 都是锐角，∴A +B ＞π2，∴0＜π2−B ＜A ＜π2，∴sinA ＞sin(π2−B)=cosB ＞0，∴sin 2A +sin 2B ＞cos 2B +sin 2B ＝1， ∴sin 2A +sin 2B ＞1．21．（12分）已知边长为6的菱形ABCD ，∠ABC =π3，把△ABC 沿着AC 翻折至△AB 1C 的位置，构成三棱锥B 1﹣ACD ，且DE →=12DB 1→，CF →=13CD →，EF =√372．（1）证明：AC ⊥B 1D ；（2）求二面角B 1﹣AC ﹣D 的大小； （3）求EF 与平面AB 1C 所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：取AC 中点O ，连接OB 1，OD ， 因为菱形ABCD ，∠AB 1C =π3，所以△ACB 1，△ACD 为等边三角形， 所以OB 1⊥AC ，OD ⊥AC ，又因为OB 1，OD ⊂面OB 1D ，OB 1∩OD ＝O ， 所以AC ⊥面OB 1D ， 因为B 1D ⊂面OB 1D ， 所以AC ⊥B 1D ．（2）因为DE →=12DB 1→，CF →=13CD →，所以FE →=FB 1→+B 1E →=CB 1→−CF →+12B 1D →=CB 1→−13CD →+12(CD →−CB 1→)=16CD →+12CB 1→，平方得，FE →2=(16CD →+12CB 1→)2=136CD →2+16|CD →||CB 1→|cos∠B 1CD +14CB 1→2，即374=136×36+16×6×6cos∠B 1CD +14×36，解得cos ∠B 1CD =−18，在△B 1CD 中，由余弦定理得，B 1D ²＝C B 12+CD ²﹣2CB 1•CD cos ∠B 1CD ＝36+36﹣2×6×6×(−18)=81，所以B 1D ＝9，由（1）可知，∠DOB 1 是二面角B 1﹣AC ﹣D 的平面角，在等边△AB1C中B1O=B1Csin60°=3√3，同理OD=3√3，在△B1OD中，由余弦定理得，cos∠B1OD=B1O2+DO2−B1D22B1D⋅DO=27+27−812×27=−12，因为0＜∠B1OD＜π，所以∠B1OD=2π3，即二面角B1﹣AC﹣D的大小2π3．（3）取B1E中点G，连接CG，则E是GD靠近G的三等分点，则EF∥CG，所以CG与平面AB1C所成角即为所成角，在平面DOB1中，作GK⊥B1O，因为AC⊥面OB1D，GK⊂面OB1D，所以AC⊥GK，又因为AC，B1O⊂面AB1C，AC∩B1O＝O，所以GK⊥面AB1C，所以∠GCK是CG与平面AB1C所成角，在△DOB1中，∠OB1D=∠ODB1=π6，B1G=14B1D=94，所以GK=12B1G=98，在ΔDCB1中，由△DEF∽△DGC，得EFCG=DEDG=23，CG=32×√372=3√374，所以sin∠GCK=GKCG=983√374=3√3774，所以EF与平面AB1C所成角的正弦值为3√37 74．22．（12分）已知数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和S n满足：S n2=a n（S n﹣1），且S n≠0，数列{b n}满足：对任意n∈N*有b1S1+b2S2+⋯+b nS n=(n−1)⋅2n+1+2．（1）求证：数列{1S n}是等差数列；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设T n是数列{2n−1b2n−b n}的前n项和，求证：T n＜76．【解答】解：（1）证明：由S n2=a n（S n﹣1）得S n2=（S n﹣S n﹣1）（S n﹣1），化简得S n S n﹣1+S n﹣S n﹣1＝0，由于S n≠0，所以又有1+1S n−1−1S n=0，即1S n−1S n−1=1，又1S1=1a1=1，所以{1S n}是以1为首项，1为公差的等比数列；（2）结合（1）可得1S n=1+（n﹣1）＝n，所以有b1+2b2+…+nb n＝（n﹣1）•2n+1+2，又有b1+2b2+…+nb n+（n+1）b n+1＝n•2n+2+2，二式相减得（n+1）b n+1＝（n+1）•2n+1，即b n+1＝2n+1，所以当n≥2有b n＝2n，又b1＝2，符合上式，所以b n＝2n；（3）结合（2）可知2n−1b2n−b n=2n−122n−2n＜2n−122n−22n−1=2n−122n−1，所以T n＜12+323+525+⋯+2n−122n−1，设Q n=12+323+525+⋯+2n−122n−1，则14Q n=123+325+527+⋯+2n−122n+1，二式相减得34Q n=12+2×（123+125+⋯+122n−1）−2n−122n+1=12+14×(1−(14)n−1)1−14−2n−122n+1，即Q n=23+49(1−(14)n−1)−432n−122n+1，又2n−122n+1＞0，所以Q n随着n的增大而增大，当n→+∞，Q n→23+49=109，10 9＜76．所以T n＜。
高一(下学期)期末考试数学试卷
高一（下学期）期末考试数学试卷（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、多选题1．下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）A ．某工厂从老年、中年、青年职工中按2∶5∶3的比例选取职工代表B ．用抽签的方法产生随机数C ．福利彩票用摇奖机摇奖D ．规定凡买到明信片最后四位号码是“6637”的人获三等奖 2．若直线a 平行于平面α，则下列结论正确的是（ ） A ．a 平行于α内的有限条直线 B ．α内有无数条直线与a 平行 C ．直线a 上的点到平面α的距离相等 D ．α内存在无数条直线与a 成90°角3．设a ，b ，l 为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，下列四个命题中错误的是（ ） A ．若//a α，a b ⊥，则b α⊥ B ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥C ．若a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβD ．若αβ⊥，l αβ=，A α∈，AB l ⊥，则AB β⊥4．小王于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2021年底，他没有再购买第二套房子．如图是2018年和2021年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图：根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ） A ．小王一家2021年用于饮食的支出费用跟2018年相同 B ．小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍 C ．小王一家2021年的家庭收人比2018年增加了1倍 D ．小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点F 是棱1BB 的中点，点P 在四边形11BCC B 内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（ ）A ．若P 在线段1BC 上，则三棱锥1P AD F -的体积为定值B ．若P 在线段1BC 上，则DP 与1AD 所成角的取值范围为,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若//PD 平面1AD F ，则点PD ．若AP PC ⊥，则1A P 与平面11BCC B二、单选题6．已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，⋂=c αβ，a α⊂，b β⊂，则“a ，b 相交“是“a ，c 相交”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某校有男生3000人，女生2000人，学校将通过分层随机抽样的方法抽取100人的身高数据，若按男女比例进行分层随机抽样，抽取到的学生平均身高为165cm ，其中被抽取的男生平均身高为172cm ，则被抽取的女生平均身高为（ ） A ．154.5cmB ．158cmC ．160.5cmD ．159cm8．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是（ ） A ．互为余角B ．相等C ．其和为周角D ．互为补角9．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图,估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（ ）A ．73.3，75，72B ．72，75，73.3C ．75，72，73.3D ．75，73.3，7210．对于数据：2、6、8、3、3、4、6、8，四位同学得出了下列结论：甲：平均数为5；乙：没有众数；丙：中位数是3；丁：第75百分位数是7，正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．为了贯彻落实《中共中央国务院全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校结合自身实际，推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》《烹饪技术》五门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选三门进行学习，学生经考核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，则甲､乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率为（ ） A ．325B ．15C ．310 D ．3512．已知正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A．2BCD ．1三、填空题13．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 分别为棱11B C 、1CC 、11D C 的中点，P 是底面ABCD 上的一点，若1A P ∥平面GEF ，则下面的4个判断∶点P∶线段1A P ；∶11A P AC ⊥；∶1A P 与1B C 一定异面．其中正确判断的序号为__________．14．甲、乙两同学参加“建党一百周年”知识竞赛，甲、乙获得一等奖的概率分别为14、15，获得二等奖的概率分别为12、35，甲、乙两同学是否获奖相互独立，则甲、乙两人至少有1人获奖的概率为___________.15．数据1x ，2x ，…，8x 平均数为6，标准差为2，则数据126x -，226x -，…，826x -的方差为________. 16．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，并使得平面ABC 垂直于平面ACD ，直线AB 与CD 所成的角为__________.四、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,AB BC AA AB ⊥=，G 是棱11A C 的中点．(1)证明：1BC AB ⊥；(2)证明：平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为： 甲：0,0,1,2,0,0,3,0,4,0；乙：2,0,2,0,2,0,2,0,2,0． （1）分别求两组数据的众数、中位数；（2）根据两组数据平均数和标准差的计算结果比较两台机床性能．19．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)2030，，[)3040，，，[]8090，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)4050，内的人数； （3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.20．某学校招聘在职教师，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率依次为113224，，，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为311422，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为2132，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为4354，，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师．甲、乙两人通过各个环节相互独立． (1)求甲未能参与面试的概率；(2)记乙本次应聘通过的环节数为X ，求(3)P X =的值；(3)记甲、乙两人应聘成功的人数为Y ，求Y 的的分布列和数学期望21．如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面,ABC AB AC =，,M N 分别为,BC AB 的中点，(1)求证：MN //平面P AC (2)求证：平面PBC ⊥平面P AM22．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，其对角线AC 与BD 相交于点O ，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=，13AA =，2AB =.(1)证明：1A O ⊥平面ABCD ； (2)求三棱锥11C A BD -的体积.参考答案：1．BC【分析】由题意，根据简单随机抽样的定义，可得答案.【详解】对于A ，此为分层抽样；对于B ，此为随机数表法；对于C ，此为简单随机抽样；对于D ，此为系统抽样. 故选：BC. 2．BCD【分析】根据直线与平面平行的性质即可判断.【详解】因为直线a 平行于平面α，所以a 与平面α内的直线平行或异面，选项A 错误；选项B ，C ，D 正确.故选：BCD. 3．ACD【分析】选项ACD ，可借助正方体构造反例；选项B ，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥，可证明l m ⊥，l n ⊥，即得证.【详解】A 选项：取11//A C 平面ABCD ，1111AC B D ⊥，但是11B D 不垂直于平面ABCD ，命题A 错误． B 选项：设a αγ⋂=，b βγ=，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥．因为αγ⊥，βγ⊥，所以m α⊥，n β⊥，又l α⊆，l β⊆，所以l m ⊥，l n ⊥，所以l γ⊥．命题B 正确． C 选项：11//A B 平面ABCD ，//CD 平面11ABB A ，但平面ABCD 与平面11ABB A 不平行，命题C 错误． D 选项：平面ABCD ⊥平面11ABB A ，交线为AB ，1B ∈平面11ABB A ，1B C AB ⊥，但1B C 与平面ABCD 不垂直，命题D 错误． 故选：ACD4．BD【分析】由题意，根据扇形统计图的性质，可得答案.【详解】对于A ，小王一家2021年用于饮食的支出比例与跟2018年相同，但是由于2021年比2018年家庭收入多，∶小王一家2021年用于饮食的支出费用比2018年多，故A 错误；对于B ，设2018年收入为a ，∶相同的还款数额在2018年占各项支出的60%，在2021年占各项支出的40%，∶2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用为1.512%0.18a a ⨯=，小王一家2018年用于其他方面的支出费用为0.06a ，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍，故B 正确；对于C ，设2018年收入为a ，则2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，故C 错误； 对于D ，小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同，故D 正确． 故选：BD ． 5．ACD【分析】A. 如图，当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，分析得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN =D. 点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB 1,所以1A P 与平面11BCC B=所以该选项正确. 【详解】A. 如图，因为11//,BC AD AD ⊂平面1,AFD 1BC ⊄平面1,AFD 所以1//BC 平面1,AFD 所以当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，因为11//,BC AD 所以DP 与1AD 所成角就是DP 与1BC 所成的角（锐角或直角），当点P 在1,B C 时，由于∶1BDC 是等边三角形，所以这个角为3π，当1DP BC 时，这个角为2π，由图得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN ,由于//DM AF ,AF ⊂平面1AFD ,DM ⊄平面1AFD ,所以//DM 平面1AFD ，同理可得//MN 平面1AFD ，又,DM MN ⊂平面DMN ,DMMN M =,所以平面//DMN 平面1AFD ，所以//DP 平面1AFD ，MN ==P 选项正确；D.如图，由题得1A P 与平面11BCC B 所成角为11A PB ∠,1112tan A PB PB ∠=,即求1PB 的最小值，因为,PC AP PC AB ⊥⊥,,,AP AB A AP AB ⋂=⊂平面ABP ,所以PC ⊥平面ABP ,所以PC BP ⊥,所以点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB1,所以1A P 与平面11BCC B 所=所以该选项正确.故选：ACD 6．C【分析】根据直线与平面的位置关系进行判断即可.【详解】解：∶若a ，b 相交，a α⊂，b β⊂，则其交点在交线c 上，故a ，c 相交， ∶若a ，c 相交，可能a ，b 为相交直线或异面直线．综上所述：a ，b 相交是a ，c 相交的充分不必要条件． 故选：C ． 7．A【分析】由分层抽样求出100人中的男女生数，再利用平均数公式计算作答. 【详解】根据分层随机抽样原理，被抽取到的男生为60人，女生为40人， 设被抽取到的女生平均身高为cm x ，则6017240165100x⨯+=，解得154.5cm x =，所以被抽取的女生平均身高为154.5cm . 故选：A 8．D【分析】做出图像数形结合即可判断.【详解】如图，A 为二面角--l αβ内任意一点，AB α⊥，AC β⊥，过B 作BD l ⊥于D ， 连接CD ，因为AB α⊥，l α⊂，所以AB l ⊥因为AC β⊥，l β⊂，所以AC l ⊥，且AB AC A ⋂=， 所以l ⊥平面ABCD ，且CD ⊂面ABCD ，所以⊥l CD 则BDC ∠为二面角l αβ--的平面角，90ABD ACD ∠∠︒＝＝，BAC ∠为两条垂线AB 与AC 所成角，所以180A BDC ∠∠︒＋＝， 所以两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角. 故选：D. 9．B【解析】根据频率分布直方图,结合平均数、众数、中位数的求法,即可得解. 【详解】由频率分布直方图可知,平均数为450.00510450.00510550.01510650.02010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯750.03010850.02510950.0051072+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=众数为最高矩形底边的中点,即75中为数为:0.005100.015100.02010100.5x ⨯+⨯+⨯+⨯= 可得0.010x = 所以中为数为0.010701073.30.030+⨯≈ 综上可知,B 为正确选项 故选:B【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,平均数、众数、中位数的计算,属于基础题. 10．B【分析】分别求出平均数，中位数，众数，第75百分位数即可得解. 【详解】解：平均数为2683346858+++++++=，故甲正确；众数为：3，6，8，故乙错误；将这组数据按照从小到大的顺序排列：2,3,3,4,6,6,8,8， 则中位数为4652+=，故丙错误； 875%6⨯=，则第75百分位数为6872+=，故丁正确， 所以正确的个数为2个. 故选：B. 11．C【分析】先分析总的选课情况数，然后再分析甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的情况数，然后两者相除即可求解出对应概率.【详解】甲、乙总的选课方法有：3355C C ⋅种，甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的选法有：5412C C ⋅种，（先选一门相同的课程有15C 种选法，若要保证仅有一门课程相同只需要其中一人从剩余4门课程中选取2门，另一人选取剩余的2门课程即可，故有24C 种选法）所以概率为12543355310C C P C C ==，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析两人的选课仅有1门相同的选法数，可通过先确定相同的选课，然后再分析四门课程中如何做到两人的选课不同，根据古典概型的概率计算方法完成求解. 12．D【详解】试题分析：因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．1//AC 平面BDE ，1AC ∴到平面BDE 的距离等于A 到平面BDE 的距离，由题计算得11111223232E ABD ABD V S CC -=⨯=⨯⨯⨯在BDE 中，BE DE BD ===BD边上的高2==，所以122BDE S =⨯=所以1133A BDE BDE V S h -==⨯，利用等体积法A BDE E ABD V V --=，得: 13⨯=解得: 1h = 考点：利用等体积法求距离 13．∶∶【分析】先证明平面1A BD ∥平面GEF ，可判断P 的轨迹是线段BD ，结合选项和几何性质一一判断即可． 【详解】分别连接11,,BD A B A D ，所以11BD B D ∥，又因为11B D ∥EG ，则BD EG ∥， 同理1A D EF ∥，1,BDA D D EGEF E ==，故平面1A BD ∥平面GEF ，又因为1A P ∥平面GEF ，且P 是底面ABCD 上的一点，所以点P 在BD 上．所以点P 的轨迹是一段长度为BD =，故∶正确；当P 为BD 中点时1A P BD ⊥，线段1A P ，故∶错； 因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1AC ⊥平面1A BD ，又1A P ⊂平面1A BD ， 则11A P AC ⊥，故∶正确；当P 与D 重合时，1A P 与1B C 平行，则∶错． 故答案为：∶∶14．1920【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，甲不中奖的概率为1111424--=，乙不中奖的概率为1311555--=，因此，甲、乙两人至少有1人获奖的概率为111914520-⨯=.故答案为：1920. 15．16【详解】试题分析：由题意知12868x x x x +++==，(862s x +-=，则12848x x x +++=，24s =，而()()()12826262624886688x x x y -+-++-⨯-⨯===，所以所求方差为()()()2222212812122122124168s x x x s ⎡⎤=-+-++-=⨯=⎣⎦'．故正确答案为16．考点：两组线性数据间的特征数的运算．【方法点晴】此题主要考查两组俱有线性关系的数据的特征数关系，当数据{}12,,,n x x x 与{}12,,,n y y y 中若有i i y ax b =+时，那么它们之间的平均数与方差（标准差）之间的关系是：y x =，222y x s a s =或是y x s as =，掌握此关系会给我们计算带来很大方便． 16．60°【分析】将所求异面直线平移到同一个三角形中，即可求得异面直线所成的角. 【详解】如图，取AC ，BD ，AD 的中点，分别为O ，M ，N ，则11,22ON CD MN AB ∥∥，所以ONM ∠或其补角即为所求的角.因为平面ABC ⊥平面ACD ，BO AC ⊥，平面ABC平面ACD AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥平面ACD ，又因为OD ⊂平面ACD ，所以BO OD ⊥. 设正方形边长为2，OB OD ==2BD =，则112OM BD ==. 所以=1ON MN OM ==.所以OMN 是等边三角形，60ONM ∠=︒. 所以直线AB 与CD 所成的角为60︒． 故答案为： 60° 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）由线面垂直得到1AA BC ⊥，从而求出BC ⊥平面11ABB A ，得到1BC AB ⊥；（2）根据正方形得到11BA AB ⊥，结合第一问求出的1BC AB ⊥，得到1AB ⊥平面1A BC ，从而证明面面垂直. （1）∶1AA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ， ∶1AA BC ⊥． 又因为1,BC AB AA AB A ⊥=，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，所以BC ⊥平面11ABB A ． ∶1AB ⊂平面11ABB A ， ∶1BC AB ⊥． （2）∶1AA AB =，易知矩形11ABB A 为正方形， ∶11BA AB ⊥．由（1）知1BC AB ⊥，又由于11,,A B BC B A B BC =⊂平面1A BC ，∶1AB ⊥平面1A BC ． 又∶1AB ⊂平面1AB G ， ∶平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．（1）甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1；（2）甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定.【分析】（1）根据众数和中位数的公式直接计算，众数是指数据中出现次数最多的数据，中位数是按从小到大排列，若是奇数个，则正中间的数是中位数，若是偶数个数，则正中间两个数的平均数是中位数；（2）平均数指数据的平均水平，标准差指数据的稳定程度，离散水平.【详解】解：（1）由题知：甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1 （2）甲的平均数等于0012003040110+++++++++=乙的平均数等于2020202020110+++++++++=甲的方差等于2222222222(01)(01)(11)(21)(01)(01)(31)(01)(41)(01)210-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=乙的方差等于2222222222(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)110-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=1 因此，甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定！【点睛】本题考查样本的众数，中位数，标准差，重点考查定义和计算能力，属于基础题型. 19．（1）0.4；（2）20；（3）3:2.【分析】（1）根据频率=组距⨯高，可得分数小于70的概率为：1(0.040.02)10-+⨯；（2）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50)内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，分别求出男生、女生的人数，进而得到答案．【详解】解：（1）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1(0.040.02)100.4-+⨯= 故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4； （2）已知样本中分数小于40的学生有5人， 故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40，50)内的频率为：1(0.040.020.020.01)100.050.05-+++⨯-=， 估计总体中分数在区间[40，50)内的人数为4000.0520⨯=人， （3）样本中分数不小于70的频率为：0.6， 由于样本中分数不小于70的男女生人数相等． 故分数不小于70的男生的频率为：0.3， 由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，则男生人数为0.610060⨯=， 即女生的频率为：0.4，则女生人数为0.410040⨯=， 所以总体中男生和女生人数的比例约为：3:2． 20．(1)38；(2)13(3)80P X ==；(3)分布列见解析；期望为712． 【分析】(1)甲未能参与面试，则甲笔试最多通过一个环节，结合已知条件计算即可；(2)分析3X =时，分析乙笔试和面试分别通过的环节即可求解；(3)首先分别求出甲乙应聘的概率，然后利用独立事件的性质求解即可.【详解】(1)设事件A =“甲未能参与面试”，即甲笔试最多通过一个环节， 故1131131133()(1)(1)(1)(1)(1)2(1)(1)2242242248P A =---+⨯--⨯+--⨯=；(2)当3X =时，可知乙笔试通过两个环节且面试通过1个环节，或者乙笔试通过三个环节且面试都未通过， 3113114343(3)[(1)(1)2][(1)(1)]4224225454P X ==-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-+-⨯3114313(1)(1)4225480+⨯⨯⨯--=；(3)甲应聘成功的概率为1113113113215[(1)2(1)]2242242243224P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=， 乙应聘成功的概率为2113113113433[(1)2(1)]224224224548P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=，由题意可知，Y 的取值可能为0，1，2， 5395(0)(1)(1)248192P Y ==--=， 535341(1)(1)(1)24824896P Y ==⨯-+-⨯=535(2)24864P Y ==⨯=， 所以Y 的分布列如下表：所以数学期望7()12E Y =. 21．(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）由题意证得//MN AC ,结合线面平行的判定定理，即可证得//MN 平面PAC ；（2）由PA ⊥平面ABC ，证得PA BC ⊥，再由AB AC =，证得AM BC ⊥，根据线面垂直的判定定理证得BC ⊥平面PAM ，进而得到平面PBC ⊥平面PAM . （1）证明：在ABC 中，因为,M N 分别为,BC AB 中点，可得//MN AC , 又因为MN ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以//MN 平面PAC . （2）证明：因为PA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，可得PA BC ⊥， 又因为AB AC =，且M 为BC 中点，可得AM BC ⊥，又由PA AM A =且,PA AM ⊂平面PAM ，所以BC ⊥平面PAM ， 因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAM . 22．(1)证明见解析 (2)【分析】（1）连接1A B ，1A D ，可证明1AO BD ⊥，再证明1A O OA ⊥，从而可证明结论. （2）由线面垂直的判断定理得AC ⊥平面1A BD ，由11//AC A C 得11A C ⊥平面1A BD ，再由棱锥的体积可得答案. （1）连接11,A D A B ，111,,AD AB A AB A AD A A =∠=∠为公共边，1111,∴≅∴=A AB A AD A D A B ，又O 为BD 的中点，1A O BD ∴⊥，在1A AB 中，由余弦定理可知1A B在1Rt AOB 中1AO =13,A A AO = 满足22211A O AO A A +=1A O OA ∴⊥，又AO BD O ⋂=，1A O ∴⊥平面ABCD .（2）由（1）知1A O ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 1A O AC ∴⊥且1BD AC BD AO O ⊥⋂=，， AC ∴⊥平面1A BD ，且11//AC A C ， 11A C ∴⊥平面1A BD ，1111232C A BD V -=⨯⨯。
人教版2019学年高一数学考试试卷含答案(共10套 )
人教版2019学年高一数学考试试题（一）一、选择题：（每小题5分，共50分） 1、下列计算中正确的是（ ）A 、633x x x =+ B 、942329)3(b a b a = C 、b a b a lg lg )lg(⋅=+ D 、1ln =e2、当时，函数和的图象只可能是（ ）3、若10log 9log 8log 7log 6log 98765⋅⋅⋅⋅=y ，则（ ）A 、()3,2∈yB 、()2,1∈yC 、()1,0∈yD 、1=y4、某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是（ ）A 、不增不减B 、增加9.5%C 、减少9.5%D 、减少7.84% 5、函数x x f a log )(= ( π≤≤x 2)的最大值比最小值大1，则a 的值（ ） A 、2π B 、 π2 C 、 2π或π2D 、 无法确定 6、已知集合}1,)21(|{},1,log |{2>==>==x y y B x x y y A x，则B A ⋂等于（ ） A 、{y |0＜y ＜21} B 、{y |0＜y ＜1} C 、{y |21＜y ＜1} D 、 ∅ 7、函数)176(log 221+-=x x y 的值域是（ ）A 、RB 、［8，+∞）C 、]3,(--∞D 、［－3，+∞）8、若 ,1,10><<b a 则三个数ab b b P a N a M ===,log ,的大小关系是（ ）A 、P N M <<B 、P M N <<C 、N M P <<D 、M N P << 9、函数y = ）A 、[12--，)] B 、(12--，)) C 、[12--，](1,2) D 、(12--，)(1,2)10、对于幂函数21)(x x f =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2)()(21x f x f +大小关系是（ ）A 、)2(21x x f +<2)()(21x f x f + B 、)2(21x x f +>2)()(21x f x f + C 、 )2(21x x f +=2)()(21x f x f +D 、无法确定二、填空题：（共7小题，共28分）11、若集合}1log |{},2|{25.0+====x y y N y y M x , 则N M 等于 __________；12、函数y =)124(log 221-+x x 的单调递增区间是 ；13、已知01<<-a ，则三个数331,,3a a a由小到大的顺序是 ；14、=+=a R e aa e x f xx 上是偶函数，则在)(______________； 15、函数=y (31)1822+--x x (3-1≤≤x )的值域是 ；16、已知⎩⎨⎧≥-<=-)2()1(log )2(2)(231x x x e x f x ，则=)]2([f f ________________； 17、方程2)22(log )12(log 122=+++x x 的解为 。
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨九中高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨九中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z ＝3﹣2i ，则复数z 的虚部为（ ） A ．﹣2iB ．2iC ．﹣2D ．22．m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α C ．若m ⊥α，α⊥β，则m ∥βD ．若n ⊥α，n ⊥β，则α∥β3．若P(AB)=19，P(A)=23，P(B)=13，则事件A 与B 的关系是（ ） A ．互斥但不对立 B ．对立C ．相互独立D ．既互斥又独立4．已知向量a →，b →的夹角为5π6，且|a →|=1，|b →|=√3，则(2a →−b →)⋅(a →+b →)=（ ）A ．−1−√32B ．12C ．72D ．−525．某人从水库中打了一网鱼共1000条，作上记号再放回水库中，数日后又从水库中打了一网鱼共n 条，其中k 条有记号，由此估计水库中共有鱼的条数为（ ） A ．1000kB ．1000n kC ．1000nD ．无法估计6．围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙不在同一个小组的概率为（ ） A ．110B ．25C ．35D ．7107．在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥底面ABC ，AB ＝2，AC ＝AP ，BC ⊥CA ，若三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积为5π，则BC ＝（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．√58．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为γ，则山高h ＝（ ）A ．acosαsin(γ−α)sin(γ−β)B ．asinαsin(γ−α)sin(γ−β) C ．acosαsin(γ−β)sin(γ−α)D ．asinαsin(γ−β)sin(γ−α)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ）A ．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m 被抽到的概率是0.1B ．已知一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数C ．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是21D ．甲乙丙三种个体按3：1：2的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为18 10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，则下列叙述正确的是（ ） A ．若a cosB=b cosA，则△ABC 为等腰三角形B ．若A ＞B ，则sin A ＞sin BC ．若AB →⋅BC →＜0，则△ABC 为钝角三角形 D ．若a ＝b sin C +c cos B ，则∠C =π411．如图，AD 与BC 分别为圆台上下底面直径，AD ∥BC ，若AB ＝3，AD ＝2，BC ＝4，则（ ）A ．圆台的母线与底面所成的角的正切值为2√2B ．圆台的全面积为14πC ．圆台的外接球（上下底面圆周都在球面上）的半径为√2D ．从点A 经过圆台的表面到点C 的最短距离为3√312．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A 、S B 、S C ，则有S A OA →+S B OB →+S C OC →=0→，设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是△ABC 的三个内角，以下命题正确的是（ ）A ．若OA →+OB →+OC →=0→，则O 为△ABC 的重心B ．若OA →+2OB →+3OC →=0→，则S A ：S B ：S C ＝1：2：3C ．则O 为△ABC （不为直角三角形）的垂心，则tan ∠BAC ⋅OA →+tan∠ABC ⋅OB →+tan∠ACB ⋅OC →=0→D ．若|OA →|=|OB →|=2，∠AOB =5π6，2OA →+3OB →+4OC →=0→，则S △ABC =92三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知z ＝2﹣i ，|z +i|= ．14．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，且P A ＝AB ，E 为AP 的中点，则异面直线PC 与DE 所成的角的余弦值为 ．15．甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为76分，方差为96分2；乙班的平均成绩为85分，方差为60分2．那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是 分，方差是 分2．16．二战期间盟军的统计学家主要是将缴获的德军坦克序列号作为样本，用样本估计总体的方法得出德军某月生产的坦克总数．假设德军某月生产的坦克总数是N ，缴获的该月生产的n 辆坦克编号从小到大为x 1，x 2，…，x n ，即最大编号为x n ，且缴获的坦克是从所生产的坦克中随机获取的，因为生产坦克是连续编号的，所以缴获坦克的编号x 1，x 2，…，x n ，相当于从[0，N ]中随机抽取的n 个整数，这n 个数将区间[0，N ]分成（n +1）个小区间，由于N 是未知的，除了最右边的区间外，其他n 个区间都是已知的．由于这n 个数是随机抽取的，所以可以用前n 个区间的平均长度x n n估计所有（n +1）个区间的平均长度Nn+1，进而得到N 的估计值．例如，缴获坦克的编号是3，5，12，18，20，则统计学家利用上述方法估计德军每月生产的坦克数为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）四棱锥A ﹣BCDE 的侧面ABC 是等边三角形，EB ⊥平面ABC ，DC ⊥平面ABC ，BE ＝1，BC ＝CD ＝2，F 是棱AD 的中点． （1）求证：EF ∥平面ABC ； （2）求四棱锥A ﹣BCDE 的体积．18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知a =√39，b ＝2，∠A ＝120°． （1）求c 的值； （2）求sin （B ﹣C ）．19．（12分）从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：（1）80～90这一组的频数、频率分别是多少？ （2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、中位数；（3）从成绩是80分以上的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．20．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中、四边形ABB 1A 1是菱形，且∠ABB 1＝60°，AB ＝BC ＝2，CA ＝CB 1，CA ⊥CB 1，（1）证明：平面CAB 1⊥平面ABB 1A 1； （2）求直线BB 1和平面ABC 所成角的正弦值；21．（12分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，在①cosB cosC=−b 2a+c，②sinAsinB−sinC=b+c a+c，③2S =−√3BA →⋅BC →三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答． （1）选_____，求角B 的大小；（2）如图，作AB ⊥AD ，设∠BAC ＝θ，使得四边形ABCD 满足∠ACD =π3，AD =√3，求BC 的取值范围．22．（12分）在校运动会上，有甲、乙、丙三位同学参加羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、丙首先比赛，乙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12．（1）求丙连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）甲、乙、丙三人中谁最终获胜的概率最大？请说明理由．2022-2023学年黑龙江省哈尔滨九中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z ＝3﹣2i ，则复数z 的虚部为（ ） A ．﹣2iB ．2iC ．﹣2D ．2解：由复数的概念可知，复数z ＝3﹣2i 的虚部为﹣2． 故选：C ．2．m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α C ．若m ⊥α，α⊥β，则m ∥β D ．若n ⊥α，n ⊥β，则α∥β解：根据题意，依次分析选项：对于A ，平行于同一个平面的两条直线可以平行、相交或异面，A 错误； 对于B ，m 可能在平面α内，B 错误； 对于C ，m 可能在平面β内，C 错误；对于D ，垂直于同一直线的两个平面平行，D 正确； 故选：D ．3．若P(AB)=19，P(A)=23，P(B)=13，则事件A 与B 的关系是（ ） A ．互斥但不对立 B ．对立C ．相互独立D ．既互斥又独立解：∵P(A)=23，∴P(A)=1−P(A)=1−23=13， ∴P(AB)=P(A)P(B)=19≠0， ∴事件A 与B 不互斥但相互独立， 故选：C ．4．已知向量a →，b →的夹角为5π6，且|a →|=1，|b →|=√3，则(2a →−b →)⋅(a →+b →)=（ ）A ．−1−√32B ．12C ．72D ．−52解：因为向量a →，b →的夹角为5π6，且|a →|=1，|b →|=√3，所以a →⋅b →=|a →||b →|cos5π6=1×√3×(−√32)=−32， 所以(2a →−b →)⋅(a →+b →)=2a →2+a →⋅b →−b →2=2×12−32−3=−52． 故选：D ．5．某人从水库中打了一网鱼共1000条，作上记号再放回水库中，数日后又从水库中打了一网鱼共n 条，其中k 条有记号，由此估计水库中共有鱼的条数为（ ） A ．1000kB ．1000n kC ．1000nD ．无法估计解：估计水库中共有鱼的条数为x ，则1000x=kn ，∴x =1000nk． 故选：B ．6．围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙不在同一个小组的概率为（ ） A ．110B ．25C ．35D ．710解：这5名棋手分别记为：甲，乙，A ，B ，C ，分组情况有：（甲乙A ，BC ），（甲乙B ，AC ），（甲乙C ，AB ），（甲AB ，乙C ），（甲AC ，乙B ）（甲BC ，乙A ），（乙AB ，甲C ），（乙AC ，甲B ），（乙BC ，甲A ），（ABC ，甲乙）共10种， 其中甲和乙在同一人组的有4种，分别为：（甲乙A ，BC ），（甲乙B ，AC ），（甲乙C ，AB ），（ABC ，甲乙），共4种，所以甲和乙不在同一个小组的概率为1−410=35． 故选：C ．7．在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥底面ABC ，AB ＝2，AC ＝AP ，BC ⊥CA ，若三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积为5π，则BC ＝（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．√5解：∵P A ⊥底面ABC ，BC ⊂底面ABC ， ∴BC ⊥P A ，又∵BC ⊥CA ，CA ∩P A ＝A ，∴BC ⊥面P AC ，∵PB 是Rt △PBC 和Rt △PBA 的公共斜边， ∴PB 是三棱锥的外接球直径，由S =4πR 2=5π⇒R =√52，设AC ＝AP ＝m ，则PB =2R =√m 2+4=√5，则m ＝1，BC =√4−1=√3． 故选：C ．8．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为γ，则山高h ＝（ ）A ．acosαsin(γ−α)sin(γ−β)B ．asinαsin(γ−α)sin(γ−β) C ．acosαsin(γ−β)sin(γ−α)D ．asinαsin(γ−β)sin(γ−α)解：在△P AB 中，∠PAB =α−β，∠BPA =(π2−α)−(π2−γ)=γ−α， 由正弦定理得PBsin(α−β)=asin(γ−α)，可得PB =asin(α−β)sin(γ−α)，过点B 作BD ⊥AQ ，可得CQ ＝BD ＝a sin β，所以PQ =PC +CQ =PB ⋅sinγ+asinβ=asinαsin(γ−β)sin(γ−α)． 故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ）A ．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m 被抽到的概率是0.1B ．已知一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数C ．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是21D ．甲乙丙三种个体按3：1：2的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为18 解：对于A ，个体m 被抽到的概率为550=0.1，所以选项A 正确；对于B ，数据1，2，3，3，4，5的众数是3，中位数是3，众数等于中位数，选项B 错误；对于C ，数据27，12，14，30，14，17，19，23从小到大排列为：12，14，14，17，19，23，27，30， 由于8×70%＝5.6，其中第6个数为23，所以选项C 错误；对于D ，根据分层抽样原理知，抽取的甲个体数为9时，样本容量为9÷33+1+2=18，选项D 正确．故选：AD ．10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，则下列叙述正确的是（ ） A ．若a cosB=b cosA，则△ABC 为等腰三角形B ．若A ＞B ，则sin A ＞sin BC ．若AB →⋅BC →＜0，则△ABC 为钝角三角形 D ．若a ＝b sin C +c cos B ，则∠C =π4 解：由a cosB=b cosA得sinA cosB=sinB cosA⇒sin2B =sin2A ⇒2A =2B +2kπ，或2A +2B ＝π+2k π，k ∈Z ，由于在三角形中，所以A ＝B 或A +B =π2，故△ABC 为等腰三角形或者为直角三角形，故A 错误； 由A ＞B ，得a ＞b ，由正弦定理得sin A ＞sin B ，故B 正确；若AB →⋅BC →＜0，则|AB →|⋅|BC →|cos(π−B)＜0⇒cosB ＞0，因此B 为锐角， 故无法确定△ABC 为钝角三角形，故C 错误； 由a ＝b sin C +c cos B 得sin A ＝sin B sin C +sin C cos B ，进而可得sin （B +C ）＝sin B sin C +sin C cos B ⇒sin B cos C ＝sin B sin C ，由于sin B ≠0， 所以cos C ＝sin C ⇒tan C ＝1，由于C ∈（0，π），所以C =π4，故D 正确． 故选：BD ．11．如图，AD 与BC 分别为圆台上下底面直径，AD ∥BC ，若AB ＝3，AD ＝2，BC ＝4，则（ ）A ．圆台的母线与底面所成的角的正切值为2√2B．圆台的全面积为14πC．圆台的外接球（上下底面圆周都在球面上）的半径为√2D．从点A经过圆台的表面到点C的最短距离为3√3解：取圆台的轴截面ABCD，设AD、BC的中点分别为O1、O2，连接O1O2，分别过点A、D在平面ABCD内作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，由题意可知，O1O2与圆台的底面垂直，易知四边形ABCD为等腰梯形，且AB＝CD＝3，AD＝2，BC＝4，在△ABE和△DCF中，AB＝DC，∠ABE＝∠DCF，∠AEB＝∠DFC＝90°，所以△ABE≌△DCF，所以，BE＝CF，因为AD∥BC，AE⊥BC，DF⊥BC，则四边形ADFE为矩形，且EF＝CD＝2，同理可证四边形AEO2O1为矩形，则O1O2＝AE，且AE∥O1O2，所以AE与圆台的底面垂直，则圆台的母线与底面所成的角为∠ABE，所以BE=CF=AB−EF2=4−22=1，则AE=√AB2−BE2=√32−1=2√2，所以tan∠ABE=AEBE=2√2，A对；对于B，圆台的全面积为π×12+π×22+π×（1+2）×3＝14π，B对；对于C，易知圆台的外接球球心在梯形ABCD内，且CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，由勾股定理可得AC=√AE2+CE2=√8+9=√17，且sin∠ABE=AEAB =2√23，所以圆台的外接球直径为2R=ACsin∠ABE=√17223=3√344，则R=3√348，B错；对于C选项，将圆台沿着轴截面ABCD切开，将圆台的侧面的一半展开如下图所示：延长BA 、DC 交于点M ，在圆台的轴截面等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD 且AB =12CD ， 易知A 、D 分别为BM 、CM 的中点，所以，AM ＝DM ＝AB ＝3， 设∠AMD ＝θ，则AD ̂=3θ＝π，则θ=π3， 在△ACM 中，AM ＝3，CM ＝6，∠AMD =π3， 由余弦定理可得AC =√AM 2+CM 2−2AM ⋅CMcosπ3=√32+62−2×3×6×12=3√3， 因此从点A 经过圆台的侧面到点C 的最短距离为3√3，D 对． 故选：ABD ．12．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A 、S B 、S C ，则有S A OA →+S B OB →+S C OC →=0→，设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是△ABC 的三个内角，以下命题正确的是（ ）A ．若OA →+OB →+OC →=0→，则O 为△ABC 的重心B ．若OA →+2OB →+3OC →=0→，则S A ：S B ：S C ＝1：2：3C ．则O 为△ABC （不为直角三角形）的垂心，则tan ∠BAC ⋅OA →+tan∠ABC ⋅OB →+tan∠ACB ⋅OC →=0→D ．若|OA →|=|OB →|=2，∠AOB =5π6，2OA →+3OB →+4OC →=0→，则S △ABC =92解：对于A ，设BC 的中点为D ，则OB →+OC →=2OD →=−OA →，∴O ，A ，D 三点共线，且AO →=23AD →，设E ，F 分别为AB ，AC 中点，同理可得，CO →=23CE →，BO →=23BF →，∴O 为△ABC 的重心，选项A 正确；对于B ，由奔驰定理可知，若OA →+2OB →+3OC →=0→， 则S A ：S B ：S C ＝1：2：3，选项B 正确； 对于C ，S △BOC =12|OB →||OC →|sin∠BOC ， S △AOC =12|OA →||OC →|sin∠AOC ，S △AOB =12|OA →||OB →|sin∠AOB ，又OA →⋅OB →=|OA →||OB →|cos∠AOB =−|OA →||OB →|cos∠ACB ， OB →⋅OC →=|OB →||OC →|cos∠BOC =−|OB →||OC →|cos∠BAC ， 又OB →⋅AC →=OB →⋅(OC →−OA →)=OB →⋅OC →−OA →⋅OB →=0， ∴|OA →|cos∠ACB =|OC →|cos∠BAC ， 即|OA →|：|OC →|=cos∠BAC ：cos∠ACB ，同理可得：|OA →|：|OB →|：|OC →|=cos ∠BAC ：cos ∠ABC ：cos ∠ACB ， ∴S △BOC ：S △AOC ：S △AOB=sin∠BAC cos∠BAC ：sin∠ABC cos∠ABC ：sin∠ACBcos∠ACB ＝tan ∠BAC ：tan ∠ABC ：tan ∠ACB ， 结合奔驰定理可知，选项C 正确；对于D ，在△AOB 中，由|OA →|=|OB →|=2，∠AOB =5π6可得： S △AOB =12×2×2×12=1，又2OA →+3OB →+4OC →=0→，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB ＝2：3：4， 则S △BOC =12，S △AOC =34，∴S △ABC ＝S △AOB +S △BOC +S △AOC ＝1+12+34=94，选项D 错误． 故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知z ＝2﹣i ，|z +i|= 2√2 ． 解：∵z ＝2﹣i ， ∴z =2+i ，∴|z +i|=|2+2i|=√22+22=2√2． 故答案为：2√2．14．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，且P A ＝AB ，E 为AP 的中点，则异面直线PC 与DE 所成的角的余弦值为 √105．解：连接AC ，取AC 的中点O ， 连接EO 、BD ， 则EO ∥PC ，则异面直线PC 与DE 所成的角的平面角为∠OED ， 设AB ＝1，由已知可得：P A ＝AD ＝AC ＝1， 又P A ⊥平面ABCD ， 则PC =√2， 则EO =√22，因为BD ⊥AC ，BD ⊥P A ， 所以BD ⊥面P AC ，则BD ⊥EO ， 又OD =12BD =√32，则DE =√(√22)2+(32)2=√52，则cos ∠OED =OE DE =√2252=√105． 故答案为：√105．15．甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为76分，方差为96分2；乙班的平均成绩为85分，方差为60分2．那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是 80 分，方差是 100 分2．解：甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是5050+40×76+4050+40×85＝80（分）；甲、乙两班全部90名学生的方差是190{50[96+（76﹣80）2]+40[60+（85﹣80）2]}＝100（分2）．16．二战期间盟军的统计学家主要是将缴获的德军坦克序列号作为样本，用样本估计总体的方法得出德军某月生产的坦克总数．假设德军某月生产的坦克总数是N ，缴获的该月生产的n 辆坦克编号从小到大为x 1，x 2，…，x n ，即最大编号为x n ，且缴获的坦克是从所生产的坦克中随机获取的，因为生产坦克是连续编号的，所以缴获坦克的编号x 1，x 2，…，x n ，相当于从[0，N ]中随机抽取的n 个整数，这n 个数将区间[0，N ]分成（n +1）个小区间，由于N 是未知的，除了最右边的区间外，其他n 个区间都是已知的．由于这n 个数是随机抽取的，所以可以用前n 个区间的平均长度x n n估计所有（n +1）个区间的平均长度Nn+1，进而得到N 的估计值．例如，缴获坦克的编号是3，5，12，18，20，则统计学家利用上述方法估计德军每月生产的坦克数为 24 ．解：由于用前n 个区间的平均长度x n n估计所有（n +1）个区间的平均长度Nn+1，而缴获坦克的编号是3，5，12，18，20，即n ＝5，x 5＝20， 故205=N5+1，∴N ＝24，即则统计学家利用上述方法估计德军每月生产的坦克数为24． 故答案为：24．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）四棱锥A ﹣BCDE 的侧面ABC 是等边三角形，EB ⊥平面ABC ，DC ⊥平面ABC ，BE ＝1，BC ＝CD ＝2，F 是棱AD 的中点． （1）求证：EF ∥平面ABC ； （2）求四棱锥A ﹣BCDE 的体积．证明：（1）取AC 中点M ，连接FM 、BM ， ∵F 是AD 中点，∴FM ∥DC ，且FM =12DC ＝1， ∵EB ⊥平面ABC ，DC ⊥平面ABC ， ∴EB ∥DC ， ∴FM ∥EB ．又∵EB ＝1，∴FM ＝EB ， ∴四边形BEFM 是平行四边形， ∴EF ∥BM ，∵EF ⊄平面ABC ，BM ⊂平面ABC ， ∴EF ∥平面ABC ．解：（2）取BC 中点N ，连接AN ， ∵AB ＝AC ， ∴AN ＝BC ， ∵EB ⊥平面ABC ，∴AN⊥EB，∵BC与EB是底面BCDE内的相交直线，∴AN⊥平面BCDE，由（1）得，底面BCDE为直角梯形，S梯形BCDE=EB+DC⋅BC2=3，在等边△ABC中，BC＝2，∴AN=√3，∴V棱锥A﹣BCDE=13S梯形BCDE•AN=√3．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知a=√39，b＝2，∠A＝120°．（1）求c的值；（2）求sin（B﹣C）．解：（1）a=√39，b＝2，∠A＝120°，则a2＝b2+c2﹣2bc•cos A＝4+c2+2c＝39，化简整理可得，（c+7）（c﹣5）＝0，解得c＝5（负值舍去）；（2）a=√39，b＝2，∠A＝120°，则sin B=bsinAa=2×√3239=√1313，则cos B=√1−sin2B=2√39 13，则sin C=csinAa=5×√32√39=5√1326，故cos C=√1−sin2C=3√39 26，所以sin（B﹣C）＝sin B cos C﹣sin C cos B=√1313×3√3926−5√1326×2√3913=−7√326．19．（12分）从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：（1）80～90这一组的频数、频率分别是多少？（2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、中位数；（3）从成绩是80分以上的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．解：（1）根据题意，50～60的这一组的频率为0.015×10＝0.15，60～70的这一组的频率为0.025×10＝0.25，70～80这一组的频率为0.035×10＝0.35，90～100的这一组的频率为0.005×10＝0.05，则80～90这一组的频率为[1﹣（0.15+0.25+0.35+0.05）]÷2＝0.1，其频数为40×0.1＝4；（2）这次竞赛的平均数为45×0.1+55×0.15+65×0.25+75×0.35+85×0.1+95×0.05＝68.5，70（分）左右两侧的频率均为0.5，则中位数为70；（3）记“取出的2人在同一分数段”为事件E，因为80～90之间的人数为40×0.1＝4人，设为a、b、c、d，90～100之间有40×0.05＝2人，设为A、B，从这6人中选出2人，有{a，b}、{a，c}、{a，d}、{a，A}、{a，B}、{b，c}、{b，d}、{b，A}、{b，B}、{c，d}、{c，A}、{c，B}、{d，A}、{d，B}、{A，B}，共15个基本事件，其中事件E包括{a，b}、{a，c}、{a，d}、{b，c}、{b，d}、{c，d}、{A，B}，共7个基本事件，则P（E）=7 15．20．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中、四边形ABB1A1是菱形，且∠ABB1＝60°，AB＝BC＝2，CA ＝CB1，CA⊥CB1，（1）证明：平面CAB1⊥平面ABB1A1；（2）求直线BB1和平面ABC所成角的正弦值；证明：（1）取AB 1的中点O ，连接OC ，OB ，如图所示： ∵四边形ABB 1A 1是菱形，且∠ABB 1＝60°， ∴△ABB 1为等边三角形，又∵AB ＝2， ∴OB ＝2×√32=√3，AB 1＝2，∵CA ＝CB 1，CA ⊥CB 1，∴CO ⊥AB 1，且CO =12AB 1=1， 又∵BC ＝2，∴BC 2＝OB 2+CO 2， ∴CO ⊥OB ，又∵CO ⊥AB 1，AB 1∩OB ＝O ， ∴CO ⊥平面ABB 1A 1， 又∵CO ⊂平面CAB 1， ∴平面CAB 1⊥平面ABB 1A 1；解：（2）由（1）可知，OB ，OB 1，OC 两两垂直，以点O 为坐标原点，分别以OB →，OB 1→，OC →的正方向为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则B （√3，0，0），B 1（0，1，0），A （0，﹣1，0），C （0，0，1）， ∴BB 1→=（−√3，1，0），AB →=（√3，1，0），AC →=（0，1，1）， 设平面ABC 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅AB →=0n →⋅AC →=0， 即{√3x +y =0y +z =0，取x =√3得，{y =−3z =3，∴n →=（√3，﹣3，3），∴直线BB 1和平面ABC 所成角的正弦值为|cos ＜BB 1→，n →＞|=|BB 1→⋅n →||BB 1→||n →|=√217． 21．（12分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，在①cosB cosC=−b 2a+c，②sinAsinB−sinC=b+c a+c，③2S =−√3BA →⋅BC →三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答． （1）选_____，求角B 的大小；（2）如图，作AB ⊥AD ，设∠BAC ＝θ，使得四边形ABCD 满足∠ACD =π3，AD =√3，求BC 的取值范围．解：（1）选①，由正弦定理可得：cosB cosC=−sinB 2sinA+sinC，整理可得：sin C cos B +sin B cos C +2sin A cos B ＝0， 即sin （B +C ）+2sin A cos B ＝0，因为sin （B +C ）＝sin A ，且sin A ≠0，可得cos B =−12， 因为B ∈（0，π）， 所以B =23π；选②，由正弦定理可得：2×12acsinB =−√3×accosB a b−c =b+ca+c ， 整理可得：a 2+ac ＝b 2﹣c 2，即a 2+c 2﹣b 2＝﹣ac ，由余弦定理得：cosB =a 2+c 2−b 22ac =−12，因为B ∈（0，π）， 所以B =23π；选③，由2S =−√3BA →⋅BC →可得：2×12acsinB =−√3×accosB ， 即tan B =−√3， 因为B ∈（0，π）， 所以B =23π；（2）∵AB ⊥AD ，∠ACD =π3，∠BAC ＝θ，θ∈(0，π3)， ∴∠CAD =π2−θ，∠D =π−∠CAD −∠ACD =π−(π2−θ)−π3=π6+θ， ∠ACB =π3−θ，在△ACD 中，由正弦定理有：AC sinD=AD sin∠ACD，∴AC =AD⋅sinD sin∠ACD =√3×sin(π6+θ)32=2sin(θ+π6)， 在△ABC 中，由正弦定理有：BCsin∠BAC=AC sinB，∴BC =AC⋅sin∠BAC sinB =2sin(θ+π6)sinθ√32=4√33sinθsin(θ+π6)=4√33sinθ(√32sinθ+12cosθ) =2sin 2θ+2√33sinθcosθ=1−cos2θ+√33sin2θ=2√33sin(2θ−π3)+1， ∵θ∈(0，π3)，∴2θ−π3∈(−π3，π3)，∴sin(2θ−π3)∈(−√32，√32)， ∴BC ∈（0，2），∴BC 的取值范围（0，2）．22．（12分）在校运动会上，有甲、乙、丙三位同学参加羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、丙首先比赛，乙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12．（1）求丙连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）甲、乙、丙三人中谁最终获胜的概率最大？请说明理由．解：（1）丙连胜四场的情况为：“丙胜甲负，丙胜乙负，丙胜甲负，丙胜乙负”， 所以丙连胜四场的概率：P 1=(12)4=116；（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛， 而甲、丙连胜四场的概率为(12)4×2=18， 乙上场后连胜三场获胜的概率为P 2=(12)3=18，∴需要进行第五场比赛的概率P 3=1−18−18=1−14=34；（3）三人中乙最终获胜的概率最大．理由如下：记事件A为甲输，事件B为丙输，事件C为乙输，记事件M：甲赢，记事件N：赢，则甲赢的基本事件包括：BCBC、ABCBC、ACBCB、BABCC、BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC，∴甲赢的概率为P(M)=(12)4+7×(12)5=932，由对称性可知，丙最终获胜的概率和甲最终获胜的概率相等，即丙最终获胜的概率也是932，所以乙赢的概率为P(N)=1−932×2=716，又716＞932，所以三人中乙最终获胜的概率最大．第21页（共21页）。
高一下学期理数期末考试试卷第9套真题
高一下学期理数期末考试试卷一、单选题1. 已知，则的终边落在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. 已知向量，则（）A .B .C .D .3. 已知等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则等于（）A .B .C .D .4. 已知，则（）A .B . -C .D . -5. （）A .B .C .D .6. 若等比数列前n项和为，且满足，则公比q 等于（）A . 1B . -1C .D . 不存在7. 在中，角对边分别为，且，则（）A . 或B .C .D . 或8. 已知点和在直线的两侧，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .9. 在等差数列前n项和为，若，则的值为（）A . 9B . 12C . 16D . 1710. 已知，则的最小值为（）A .B . 6C .D .11. 关于的方程的两个实根分别在区间和上，则的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题12. 已知非零向量满足，则________．13. 在中，若，则C=________．14. 已知数列前n项的和为，则数列的前n项的和为________．15. 已知数列满足，则取最小值时n=________．三、解答题16. （Ⅰ）关于x的不等式的解集为R，求实数m的取值范围；（Ⅱ）关于x的不等式的解集为，求a,b 的值．17. 已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．18. 某厂生产甲产品每吨需用原料和原料分别为2吨和3吨，生产乙产品每吨需用原料和原料分别为2吨和1吨．甲、乙产品每吨可获利润分别为3千元和2千元．现有12吨原料，8吨原料．问计划生产甲产品和乙产品各多少吨才能使利润总额达到最大．19. 已知中，．AD是的角平分线，交BC于D．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求AD的长．20. 已知数列满足，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．21. 已知向量满足，，函数．（Ⅰ）求在时的值域；（Ⅱ）已知数列，求的前2n项和．。
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含两套题)
【点睛】一般地，如果 为等差数列， 为其前 项和，则有性质：
（1）若 ，则 ；
（2） 且 ；
（3） 且 为等差数列；
（4） 为等差数列.
6.A
【解析】
【分析】
利用正弦定理将边转化为角得到 ，再由角C的范围可得选项.
【详解】因为 ，
所以由正弦定理得 ，所以 ，即 ，
又因为 为 的内角，
所以 ．
解得 ， ，
， ；
（2） ，
，
又 ，由题得 ，即 ，
，即
由题知 且 ，故 ，
故 ，
故只需考虑 ， 时 ， 时 ， 时 ，
17.（10分）已知 中，点 .
（1）求直线 的方程；
（2）求 的面积.
18.（12分）已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若关于x的不等式 的解集为R，求a的取值范围.
19.（12分）己知向量 ， .
（1）若 ，其中 ，求 坐标；
（2）若 与 的夹角为 ，求 的值.
20.（12分）自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产，某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图.已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等.
故 ，
故答案为：
【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 来求；（2）计算角， .特别地，两个非零向量 垂直的等价条件是 .
15.9
【解析】
【分析】
将 变形后利用基本不等式可求其最小值
【详解】 ，
，等号成立时 ， .
故答案为：9.
【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.
2021-2022学年江西省丰城市第九中学高一下学期期末检测数学试题(解析版)
2021-2022学年江西省丰城市第九中学高一下学期期末检测数学试题一、单选题 1．已知复数12i1iz +=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】利用复数的运算法则进行化简，求出共轭复数，根据复数的几何意义进行求解. 【详解】复数()()()()12i 1i 12i 3i 1i 1i 1i 2z +-++===++-，则3i2z -=，即其在复平面内对应的点为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限. 故选：D ．2．已知向量()2,3a =，(),2b t =-，,2a b π=，则实数t =（ ） A ．6 B ．3C ．43-D ．3-【答案】B【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求t .【详解】由题意知向量a ，b 垂直，又()2,3a =，(),2b t =-， 所以260t -=，解得3t =， 故选：B.3．如图，已知等腰直角三角形O A B '''△，O A A B ''''=是一个平面图形的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是（ ）A 2B ．1C 2D ．22【答案】D【分析】由直观图可确定平面图形是以2和22为直角边的直角三角形，由此可求得结果.【详解】2O B ''=，O A A B ''''=，45A O B '''∠=，2O A ∴''=， 由此可知平面图形是如下图所示的Rt OAB ，其中OA OB ⊥，2OB O B ''==，222OA O A ''==，112222222OABSOA OB ∴=⋅=⨯⨯=. 故选：D. 4．sin cos1212-的值等于（ ）A ．2B 2C ．6D 6【答案】A【分析】根据辅助角公式，直接计算，即可得出结果. 【详解】4412sincos2cos sin sin cos 2sin 2sin 122122421261πππππππππ⎛⎫⎛⎫-=-=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A.5．已知函数()sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图像相邻两条对称轴之间的距离为4π，且直线12x π=-是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 在区间,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．点5,024π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心D ．将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移6π个单位长度，可得到()sin 2g x x =的图象 【答案】C【分析】先求出()sin(4)6f x x π=-，对四个选项一一验证：对于A ：利用周期公式验证； 对于B ：直接讨论单调性验证；对于C ：代入法验证； 对于D ：利用图像变换验证.【详解】∵函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图像相邻两条对称轴之间的距离为12=24ππω，∴=4ω，即()sin(4)f x x ϕ=+. ∵直线12x π=-是其中一条对称轴，∴4=|12|22k ππϕππϕ⎛⎫⎛⎫++< ⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭，解得：=6πϕ-.所以()sin(4)6f x x π=-.对于A ：函数()f x 的最小正周期为2T π=，故A 错误；对于B ：当,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，54,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 不单调，故B 错误；对于C ：当5=24x π-时，55()sin(4)=sin()=012246f ππππ⎛⎫-=⨯--- ⎪⎝⎭，所以点5,024π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心，故C 正确；对于D ：将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到sin(2)6y x π=-的图像，再向左平移6π个单位长度，得到sin(2)6y x π=+，故D 错误.故选：C【点睛】(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题；(2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式．6．如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，点F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且23CF CG CB CD ==，则下列说法正确的是（ ）①E ，F ，G ，H 四点共面； ②EF 与GH 异面；③EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上； ④EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上． A ．①③ B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B7．若1sin 63x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．79-B ．79C ．9-D ．98．在ABC 中，3AB =，AC =6AB AC ⋅=，D ，E 分别是BC 边上的三等分点，则AD AE ⋅的值是（ ） A ．6 B ．649C ．8D ．809【答案】B【分析】以{},AB AC 作为基底分别表示出,AD AE ，再根据平面向量的数量积运算即可不妨设13BD BC =，13CE CB =，所以，由13BD BC =可得，()13AD AB AC AB -=-，即1233AD AC AB =+，同理可得，1233AE AB AC =+，所以22225225649869999999AD AE AB AC AB AC ⋅=++⋅=⨯+⨯+⨯=．故选：B ．二、多选题9．下列函数周期为π的是（ ） A ．sin y x = B ．cos y x =C ．tan y x=D ．2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10．已知,αβ是两个不重合的平面，a ，b 是两条不同的直线，A ，B 是两个不同的点，下列说法正确的是（ ） A ．若//a α，//b α，则//a b B ．若//a b ，//b α，则//a α C ．若//a α，a β⊂，b αβ=，则//a bD ．若A α∈，B α∈，A β∈，B β∈，则AB αβ=【答案】CD【分析】根据直线与平面的位置关系，对四个选项逐一判断即可. 【详解】A 选项: 若//a α，//b α，则a 与b 还有可能相交或者异面， B 选项: 若//a b ，//b α，则//a α或a α⊂， C 选项: 若//a α，a β⊂，b αβ=，则//a b ，故C 正确，D 选项: 若A α∈，B α∈，A β∈，B β∈，则AB αβ=，故D 正确.故选：CD.11．下列说法错误的是（ ）A ．若//,//a b b c ，则//a cB ．若//a b ，则存在唯一实数λ使得a b λ=C ．两个非零向量,a b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2),(1,1)a b ==，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭取0b →=，尽管//,//a b b c ，但//a c 不一定成立，故若0b →=，对于非零向量a ，当//a b 时，则不存在任意实数使得a b λ=，故B 错||||||a b a b -=+，两边平方 可得22||||a b a b -⋅=，从而cos ,1a b 〈〉=-，则a 与b 共线且反向，故C 正确；当a 与a b λ+的夹角为锐角，则cos 0a b λ→→+〉>，即()0a a b λ→→⋅+>， ()530a b λλ→+=+>，解得0λ=时，a 与a b λ+的夹角为零角，不满足题意，λ的取值范围是5,0(0,)3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，故错误；故选：ABD.【点睛】本题主要考查向量共线的问题，属于简单题12．下列结论正确的是（ ）A ．在ABC 中，若AB >，则sin sin A B >B ．在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．在ABC 中，若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形D ．在ABC 中，若360b A ==︒，，三角形面积S = ，在ABC 中，由，则ABC 是直角三角形，故，利用余弦定理知13，又因为131360=故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦定理和余弦定理的综合应用，熟练掌握公式为三、填空题 13．计算(3)(2)1i i i+-=+_______．【详解】(3)(21i i ++)(2)3i i-=故答案为：514．已知2a =，1b =，()1a a b ⋅-=，则向量a 与向量b 的夹角为_______． 【答案】4π45︒ 【分析】化简()1a a b ⋅-=，结合平面向量数量积的定义可求出向量a 与向量b 的夹角 设向量a 与向量b 的夹角为2a =，1b =，()1a a b ⋅-=，所以22cos 22cos a a b a a b θ-⋅=-=-得2cos 2θ=， 因为[0,]θπ∈，所以4πθ=，故答案为：4π 15．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为___________.【答案】514+ 【分析】根据题意，设未知量，结合面积公式和勾股定理即可求解.【详解】设该四棱锥的高为d ，底面边长为a ，侧面三角形底边上的高为h ， 根据题意得，该四棱锥的高为边长的正方形面积21S d =， 该四棱锥一个侧面三角形的面积212S ah =，又因12S S ，且2224a h d =+，所以22142a h ah -=，即2211024h h a a --=， 因此514h a +=. 故选答案为：514+. 16．已知ABC 是斜三角形，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 3cos c A a C =，21c =sin sin 5sin 2CB A A ，则ABC 的面积为________．53534【分析】由正弦定理对sin 3cos c A a C =统一成角的形式，化简后可求出3C π=，对sin sin 5sin 2C B A A 利用三角函数恒等变换公式化简，结合正弦定理得5b a =，然后利用余弦定理结合已知条件可求出,a b ，从而可求出三角形的面积 【详解】因为sin 3cos c A a C =，所以由正弦定理得sin sin 3sin cos C A A C =，sin 5sin 2C B A A ，()]sin 5sin 2A B B A A π，)sin 5sin 2AB BAA ，cos cos sin sin cos cos sin 5sin 2B A B B A B A A ，cos 10sin cos B A A A ， 因为ABC 是斜三角形，所以cos 0A ≠， sin 5sin B A =，所以由正弦定理得5b a =， 由余弦定理得2222cos c a b ab A =+-， 222255a a a +-，0a >，所以1a =，则所以ABC 的面积为故答案为：54四、解答题17．已知复数13z a i =+，22z ai =-(a R ∈，i 是虚数单位).（1）若12z z -在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a 的取值范围； （2）若虚数1z 是实系数一元二次方程260x x m -+=的根，求实数m 的值.因为12z z -在复平面内对应的点落在第一象限，所以2030a a ->⎧⎨->⎩，解得(2,3)a ∈.（2）由21160z z m -+=得2(3)6(3)0a i a i m +-++=，即269(618)0a a m a i -+-+-=， 所以2690 6180a a m a ⎧-+-=⎨-=⎩，解得318a m =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题考查复数的四则运算，复数的几何意义，考查运算求解能力.18．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，14BC AA ==，点O 是AC 的中点.（1）求证：1//AD 平面1DOC ；（2）求异面直线1AD 和1DC 所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）225【分析】（1）连接1D C 交1DC 于点1O ，连接1OO ，结合三角形中位线定理，及线面平行的判定定理，可得1//AD 平面1DOC ；（2）连接BD ，1BC ，知1DC B ∠为异面直线1AD 和1DC 所成的角或补角，再由余弦定理求解即可.【详解】（1）如图，连接1D C 交1DC 于点1O ，连接1OO ，∵1,O O 分别是AC 和1D C 的中点， ∴11//OO AD又1OO ⊂平面1DOC ，1AD ⊄平面1DOC ， ∴1//AD 平面1DOC ； （2）连接BD ，1BC易知11//BC AD ，故1DC B ∠为异面直线1AD 和1DC 所成的角或者补角，3AB =，14BC AA ==，则5BD =，15DC =，142BC =在1DBC 中，2221111125322522cos 252542DC BC BD D DC B C B C +-+-∠===⋅⨯⨯ 所以异面直线1AD 和1DC 所成角的余弦值为22519．已知()22sin ,cos a x x =，(3cos ,2)b x =，()f x a b =⋅．（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间； （2）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】（1）最小正周期为π，单调减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）最大值为3，最小值为0．【分析】（1）利用向量的坐标运算化简，再利用整体的思想. （2）根据（1）的结果及x 的范围求出26x π+的范围，从而计算出函数的最值.【详解】解：2(1)(2sin ,cos )a x x =，(3cos ,2)b x =， 由2()23sin cos 2cos f x a b x x x =⋅=+ 3sin 2cos 212sin(2)16x x x π=++=++，()f x ∴的最小正周期22T ππ==， 由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 得：2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ， ()f x ∴的单调递减区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈； ()2由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：72,,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 当7266x ππ+=时，函数()f x 取得最小值为7210,6sin π+= 当262x ππ+=时，函数()f x 取得最大值为213,2sinπ+=故得函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，最小值为0．20．如下图所示，CA AB ⊥，1CA =，3CB =，AD AB λ=，BE BC λ=．（1）若D 为AB 中点，求AE CD ⋅；（2）是否存在实数λ，使得AE CD ⊥？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）32；（2）存在，0λ=或78λ=.【分析】（1）建立适当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，数量积的坐标运算计算;（2）利用平面向量的坐标的线性运算和数量积的坐标表示建立方程求解即得. 【详解】以A 为坐标原点，以CA 方向为x 轴正方向，以AB 方向为y 轴正方向建立坐标系．∵1CA =，3CB =，∴()0,0A ，()0,22B ，()1,0C -． （1）∵D 为AB 中点，∴E 为CB 中点． ∴()0,0A ，()0,2D ，()1,0C -，1,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴()1,2CD =，1,22AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴1312222AE CD ⎛⎫⋅=⋅-+⋅= ⎪⎝⎭．（2）()()()1,00,221,22CD CA AD λλ=+=+=． ()()()()0,221,22,221AE AB BE λλλ=+=+--=--，∴()()()22,2211,2288780AE CD λλλλλλλλ⋅=--⋅=-+-=-=，∴0λ=或者78λ=时AE CD ⊥． 21．在锐角ABC 中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，从条件①：3sin cos tan 4A A A =，条件②3sin cos 123sin cos A A A A -=+，条件③：2cos cos cos a A b C c B -=这三个条件中选择一个作为已知条件． (1)求角A 的大小；(2)若2a =，求ABC 周长的取值范围．(2)ABC 周长的取值范围为【分析】（1）若选条件正弦定理，边化角得.又因为ABC 为锐角三角形，所以②：因为3sin 3cos A = ③：由正弦定理可得2π3C =-则sin B ⎛+ ⎝即ABC 周长的取值范围为22．已知函数()sin 22f x x x =.(1)若函数()y f x m =+是偶函数，求m 的最小值； (2)若8π,0,252f αα⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos α的值；(3)求函数2()[()]()1F x f x n f x =-⋅+在ππ,46x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最大值．。
高一数学第二学期期末试题(9)(含答案).
BA CN（第10题图）图1俯视图侧视图正视图高一数学质量监测模拟题(九)一、选择题（本大题共有10个小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是正确的，把答案填在答题卷相应位置上。
） 1、=0330sin ( )A.21 B. 23 C. 21- D. 23- 2．已知集合},2,1{=A },,50{N x x x B ∈<<=，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、43．已知2sin cos 9,tan sin 3cos ααααα+=-则等于（ ）A ．4-B ．1- C ．1 D ．4） A. ； B. R C. ),1[]1,(+∞--∞U D. ),1()1,(+∞--∞U 6. 已知向量a =(sin α,2)与向量b =(cos α,1)互相平行， 则tan 2α的值为（ ） A ． 43-B ． 43C ． 34-D ． 347、某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的 体积是（ ） A ．2 B. 1 C.23D. 138. 函数 f(x)＝xe ＋x －2 的零点所在的一个区间是( )A ． ()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,29．函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0,0,||2A πωϕ>><)的部分图象如图所示，则()f x 解析式为（ ）A. ()sin 2f x x =B. )32sin()(π+=x x fC. ()sin(2)f x x π=-D. 2()sin(2)3f x x π=+中，1AN NC =，若AC n m BN +=,则实数、n m 的值分则为（） A. 31,1- B. 1，32 C. 32,1-- D. 31,1二、填空题：每小题5分，共30分。
请把答案填在答题卷相应横线上，填在试卷的不给分。
11、直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=∙OA OP ，则点P 的轨迹方程是 __________.12. 已知直线01)2(:,02)2(:21=-+-=--+ay x a l y a x l ，21l l ⊥，则__________a =13. 若,2tan -=α且α为第四象限角，则=αsin14. 在边长为3的正方形ABCD 内任取一点P ，则P 到正方形四边的距离均不小于1的概率为15. 若直线0x y -=与圆2)(22=+-y a x 有公共点，则实数a 取值范围是 16. 已知x ，y 的取值如下表：从散点图可以看出y 与x 线性相关，且回归方程为0.95y x a =+，则a =参考公式：12211ˆˆˆni ii ni x y nx ybay bx x nx==-==--∑∑，． 三、解答题:本大题6小题，满分70分，解答需要文字说明、证明过程和演算步骤。
2022-2023学年山东省青岛九中高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年山东省青岛九中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i 为虚数单位，复数z ＝i （a ﹣2i ）的虚部与实部互为相反数，则实数a ＝（ ） A ．﹣1B ．﹣2C ．1D ．22．圆锥和圆柱的底面半径、高都是R ，则圆锥的表面积和圆柱的表面积之比为（ ） A ．（√2+1）：4B ．√2：2C ．1：2D ．（√2+1）：23．中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等，如图为甲、乙两人在同一星期内日步数的折线统计图：则下列结论中不正确的是（ ）A ．这一星期内甲的日步数的中位数为11600B ．乙的日步数星期四比星期三增加了1倍以上C ．这一星期内甲的日步数的平均值大于乙D ．这一星期内甲的日步数的方差大于乙4．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，点P 满足OP →=16OB →+16OC →+23OA →，则△ACP 与△BCP 面积比为（ ） A ．5：6B ．1：4C ．2：3D ．1：25．如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝3，SE =14SB ，异面直线SC 与OE 所成角的正切值为（ ）A ．√222B ．√53C ．1316D ．√1136．已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E 表示事件“3件产品都不是次品”，F 表示事件“3件产品全是次品”，G 表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是（ ） A ．F 与G 互斥B ．E 与G 互斥但不对立C ．E ，F ，G 任意两个事件均互斥D ．E 与G 对立7．如图，在△ABC 中，BM →=12BC →，NC →=λAC →，直线AM 交BN 于点Q ，若BQ →=57BN →，则λ＝（ ）A ．35B ．25C ．23D ．138．我国古代的数学著作《九章算术•商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵”ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，M 、N 分别是BB 1和A 1C 1的中点，则平面AMN 截“堑堵”ABC ﹣A 1B 1C 1所得截面图形的面积为（ ）A ．2√213B ．4√213C ．2√73D ．4√73二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江宁波市九校2024年高一下学期期末联考数学试题+答案
宁波市2023学年第二学期期末九校联考高一数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．四棱锥至多有几个面是直角三角形？ A ．2B ．3C ．4D ．52．已知点()2,3A ，()3,1−B ，若直线l 过点()0,1P 且与线段AB 相交，则直线I 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．23≤−k 或1≥k B ．23≤−k 或01≤≤k C ．203−≤≤k 或1≥kD ．213−≤≤k 3．若平面向量,,a b c 两两的夹角相等，且1= a ，1= b ，2= c ，则++=a b c （ ） A ．1B ．4C ．1或4D ．1或24．已知m ，n 为两条不同的直线，αβ为两个不同的平面，若α⊥m ，β⊂n ，则“⊥m n ”是“αβ∥”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件5．逢山开路，遇水搭桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，锻造出中国路、中国桥等一张张闪亮的“中国名片”。
如图，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在A ，B ，C 三处测得道路一侧山顶的仰角依次为30°，45°，60°，若=AB a ，()03=<<BC b a b ，则此山的高度为（ ）ABCD6．已知复数11=+z i 是关于x 的方程2)0(,++=∈x px q p q R 的一个根，若复数z 满足1−=−z z p q ，复数z 在复平面内对应的点Z 的集合为图形M ，则M 围成的面积为（ ） A ．πB ．4πC ．16πD ．25π7．慢走是一种简单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等小温从小到大记录了近6周的慢走里程（单位：公里）：11，12，m ，n ，20，27，其中这6周的慢走里程的中位数为16，若要使这6周的周慢走里程的标准差最小，则=m （ ） A ．14B ．15C ．16D ．178．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2222sin −+=b c B c a ，且2=a ， 则tan tan tan AB C的最大值为（ ）A 2B ．3C D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列描述正确的是（ ）A ．若事件A ，B 相互独立，()0.6=P A ，()0.3=P B ，则()0.54= P AB AB B ．若三个事件A ，B ，C 两两独立，则满足()()()()=P ABC P A P B P CC ．若()0>P A ，()0>P B ，则事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥一定不能同时成立D ．必然事件和不可能事件与任意事件相互独立10．已知复数12=−z ，则下列说法正确的是A ．zB ．12=−−z z C ．复平面内1+z z对应的点位于第二象限 D ．2024=z z11．如图，已知四面体ABCD 的各条棱长均等于2，E ，F 分别是棱AD ，BC 的中点．G 为平面ABD 上的一动点，则下列说法中正确的有（ ）A ．三棱锥E -AFCB ．线段+CG GFC ．当G 落在直线BD 上时，异面直线EF 与AG D ．垂直于EF 的一个面α，截该四面体截得的截面面积最大为1第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，12．已知直线1:40+−=l ax y 23:202+++=l x a y 平行，则实数=a _______． 13．已知圆O 的直径AB 把圆分成上下两个半圆，点C ，D 分别在上、下半圆上（都不与A ，B 点重合）若2=AC ，1=AD ，则⋅=AB DC _______．14．已知三棱锥P -ABC 的四个面是全等的等腰三角形，且=PA ，==PB AB ，点D 为三棱锥P -ABC 的外接球球面上一动点，=PD D 的轨迹长度为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（13分）如图，在等腰梯形ABCD 中，2222====ADDC CB AB a ，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，BF 与DE 交于点M ．（1）用 AD ，AE 表示 BF ；（2）求线段AM 的长．16．（15分）已知直线l ：()()1231−=−+a y a x ． （1）求证：直线l 过定点；（2）若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围；（3）若直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l 的方程17．（15分）“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动．在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：[)40,50，[)50,60，……，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a 的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数；（2）活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n 道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同． （i ）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率；（ii ）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为2225，求n 的值． 18．（17分）如图1，有一个边长为4的正六边形ABCDEF ，将四边形ADEF 沿着AD 翻折到四边形ADGH 的位置，连接BH ，CG ，形成的多面体ABCDGH 如图2所示．（1）求证：AD ⊥CG ：（2）若AH ⊥CD ，试求直线CH 与平面ABCD 所成角的正弦值：（3）若二面角H -AD -B M 是线段CG 上的一个动点（M 与C ，G 不重合），试问四棱锥M -ABCD 与四棱锥M -ADGH 的体积之和是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由19．（17分）矩形ABCD 中，P ，Q 为边AB 的两个三等分点，满足===AP PQ QB BC ，R 点从点A 出发．沿着折线段AD -DC -CB 向点B 运动（不包含A ，B 两点），记α∠=ARP ，β∠=BRQ ．（1）当△APR 是等腰三角形时，求sin α；（2）当R 在线段AD （不包含A ，D 两点）。
高中一年级数学末数学试卷09含答案解析
高一（下）期末数学试卷一、选择题（每题5分）1．sin15°的值为（）A．B．C．D．2．设x、y∈R+，且x≠y，a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＞b＞c C．b＜a＜c D．b＜c＜a3．如图为某四面体的三视图（都是直角三角形），则此四面体的表面三角形为直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．44．空间三条不同直线l，m，n和三个不同平面α，β，γ，给出下列命题：①若m⊥l且n⊥l，则m∥n；②若m∥l且n∥l，则m∥n；③若m∥α且n∥α，则m∥n；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n；⑤若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；⑥若α∥γ，β∥γ，则α∥β；⑦若α⊥l，β⊥l，则α∥β．其中正确的个数为（）A．6 B．5 C．4 D．35．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列关系式正确的是（）A．a=bsinC+csinB B．a=bcosC+ccosBC．a=bcosB+ccosC D．a=bsinB+csinC6．函数f（x）=asinx+cosx关于直线x=对称，则a的取值集合为（）A．{1}B．{﹣1，1} C．{﹣1}D．{0}7．等差数列{a n}和等比数列{b n}中，给出下列各式：①a7=a3+a4；②a2+a6+a9=a3+a4+a10；③b7b9=b3b5b8；④b62=b2b9b13．其中一定正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．数列{a n}的前n项和S n满足S n=n2a n且a1=2，则（）A．a n=B．a n=C．a n=D．a n=9．给出下列命题：①若a2＞b2，则|a|＞b；②若|a|＞b，则a2＞b2；③若a＞|b|，则a2＞b2；④若a2＞b2，则a＞|b|．其中一定正确的命题为（）A．②④B．①③C．①②D．③④10．对任意非零向量：，，．则（）A．（•）•=•（•）B．•=•，则=C．|•|=||•||D．若|+|=|﹣|，则•=011．若sinα，sin2α，sin4α成等比数列，则cosα的值为（）A．1 B．0 C．﹣D．﹣或112．点O、I、H、G分别为△ABC（非直角三角形）的外心、内心、垂心和重心，给出下列关系式①=；②sin2A•+sin2B•+sin2C•=；③a+b+c=；④tanA•+tanB•+tanC•=．其中一定正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题5分）13．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，a k=191，S k=10000，则k的值为________．﹣414．三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠APC=∠CPB=40°，PA=5，PB=6，PC=7，点D、E分别在棱PB、PC上运动，则△ADE周长的最小值为________．15．若平面向量满足|2|≤3，则的最小值是________．16．已知函数f（x）=sin6x+cos6x，给出下列4个结论：①f（x）的值域为[0，2]；②f（x）的最小正周期为；③f（x）的图象对称轴方程为x=（k∈Z）；④f（x）的图象对称中心为（，）（k∈Z）其中正确结论的序号是________（写出全部正确结论的序号）三、解答题17．若对任意实数x，不等式x2﹣mx+（m﹣1）≥0恒成立（1）求实数m的取值集合；（2）设a，b是正实数，且n=（a+）（mb+），求n的最小值．18．如图，四边形ABCD中，若∠DAB=60°，∠ABC=30°，∠BCD=120°，AD=2，AB=5．（1）求BD的长；（2）求△ABD的外接圆半径R；（3）求AC的长．19．△ABC中，a=4，b=5，C=，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，点D在边AB上，且=．（1）用和表示；（2）求|CD|．20．四面体ABCD中，已知AB⊥面BCD，且∠BCD=，AB=3，BC=4，CD=5．（1）求证：平面ABC⊥平面ACD；（2）求此四面体ABCD的体积和表面积；（3）求此四面体ABCD的外接球半径和内切球半径．21．△ABC中（非直角三角形），角A、B、C所对的边分别为a，b，c．（1）求证：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；（2）若tanA：tanB：tanC=6：（﹣2）：（﹣3），求a：b：c．22．在等比数列{a n}的前n项和为S n，S n=2n+r（r为常数），记b n=1+log2a n．（1）求r的值；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n；（3）记数列{}的前n项和为P n，若对任意正整数n，都有P2n+1+≤k+P n，求实数k的最小值．2015-2016学年四川省成都市新都区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1．sin15°的值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用两角差的正弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=﹣=，故选：C．2．设x、y∈R+，且x≠y，a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＞b＞c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】不等式的基本性质．【分析】直接根据基本不等式即可判断．【解答】解：x、y∈R+，且x≠y，∴＞，＜=，∴a＞b＞c，故选：B．3．如图为某四面体的三视图（都是直角三角形），则此四面体的表面三角形为直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图的几何体的结构特征，利用直线平面的垂直判断即可．【解答】解：根据三视图得出几何体为三棱锥，AB⊥面BCD，BC⊥CD，∴AB⊥BC，AB⊥AD．CD⊥面ABC，CD⊥AC，RT△ABC，RT△ABD，RT△DBC，RT△ADC，共有4个，故选：D4．空间三条不同直线l，m，n和三个不同平面α，β，γ，给出下列命题：①若m⊥l且n⊥l，则m∥n；②若m∥l且n∥l，则m∥n；③若m∥α且n∥α，则m∥n；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n；⑤若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；⑥若α∥γ，β∥γ，则α∥β；⑦若α⊥l，β⊥l，则α∥β．其中正确的个数为（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用空间直线与直线，线面平行和面面平行的判定定理和性质定理分别分析解答．【解答】解：①若m⊥l且n⊥l，则m与n可能平行、相交或者异面；故①错误；②若m∥l且n∥l，根据平行公理得到m∥n；②正确；③若m∥α且n∥α，则m∥n或者相交或者异面；故③错误；④若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质定理得到m∥n；故④正确；⑤若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或者相交；故⑤错误；⑥若α∥γ，β∥γ，则α∥β；正确⑦若α⊥l，β⊥l，根据线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理得到α∥β．故⑦正确；所以正确的有四个；故选C．5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列关系式正确的是（）A．a=bsinC+csinB B．a=bcosC+ccosBC．a=bcosB+ccosC D．a=bsinB+csinC【考点】正弦定理．【分析】利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得sinA=sinBcosC+cosBsinC，利用正弦定理即可得解B正确．【解答】解：∵A+B+C=π，∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，∴由正弦定理可得：a=bcosC+ccosB，故选：B．6．函数f（x）=asinx+cosx关于直线x=对称，则a的取值集合为（）A．{1}B．{﹣1，1} C．{﹣1}D．{0}【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．【分析】由题意f（x）=sin（x+θ），其中tanθ=，再根据f（x）的图象关于直线x=对称，求得a的值．【解答】解：由题意，f（x）=asinx+cosx=sin（x+θ），其中tanθ=，∵其图象关于直线x=对称，∴θ+=kπ+，k∈z，∴θ=kπ+，k∈z，∴tanθ==1，∴a=1，故选：A．7．等差数列{a n}和等比数列{b n}中，给出下列各式：①a7=a3+a4；②a2+a6+a9=a3+a4+a10；③b7b9=b3b5b8；④b62=b2b9b13．其中一定正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】等差数列的通项公式．【分析】设等差数列{a n}的公差是d，等比数列{b n}的公比是q，根据等差数列的通项公式判断①②，根据等比数列的通项公式判断③④．【解答】解：设等差数列{a n}的公差是d，等比数列{b n}的公比是q，①、因为a7=a1+6d，a3+44=2a1+5d，所以只有当a1=d时a3+a4成立，①不正确；②、因为a2+a6+a9=3a1+14d，a3+a4+a10=3a1+14d，所以a2+a6+a9=a3+a4+a10，②正确；③、因为b7b9=（b1q6）（b1q8）=，b3b5b8=，所以当b1=q时b7b9=b3b5b8成立，③不正确；④、因为b62=，b2b9b13=，所以当=1时b62=b2b9b13，④不正确，所以一定正确的个数是1，故选A ．8．数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =n 2a n 且a 1=2，则（ ）A ．a n =B ．a n =C ．a n =D ．a n =【考点】数列递推式．【分析】由题意和当n ≥2时a n =S n ﹣S n ﹣1化简已知的等式，得到数列的递推公式，利用累积法求出a n ．【解答】解：由题意得，S n =n 2a n ，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2a n ﹣[（n ﹣1）2a n ﹣1]，化简得，，则，，，…，以上n ﹣1个式子相乘得， =，又a 1=2，则a n =，故选：A ．9．给出下列命题： ①若a 2＞b 2，则|a |＞b ；②若|a |＞b ，则a 2＞b 2；③若a ＞|b |，则a 2＞b 2；④若a 2＞b 2，则a ＞|b |．其中一定正确的命题为（ ）A ．②④B ．①③C ．①②D ．③④【考点】不等式的基本性质．【分析】利用不等式的性质可得①③正确，举反例可以判断②④错误．【解答】解：对于①a 2＞b 2⇔|a |2＞|b |2⇔|a |＞|b |，故正确，对于②若a=1，b=﹣2，虽然满足若|a |＞b ，但a 2＞b 2不成立，故不正确，对于③a ＞|b |⇌a 2＞|b |2，则a 2＞b 2，故正确，对于④，若a=﹣2，b=1，虽然满足a 2＞b 2，但是a ＞|b |不成立，故不正确，故其中一定正确的命题为①③，故选：B10．对任意非零向量：，，．则（ ）A ．（•）•=•（•）B ． •=•，则=C ．|•|=||•||D ．若|+|=|﹣|，则•=0【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的公式分别进行判断即可．【解答】解：A ．（•）•=||•||cos ＜，＞•与共线，•（•）=•||•||cos，＞与共线，则（•）•=•（•）不一定成立，故A错误，B．由•=•，得•（﹣）=0，则⊥（﹣），无法得到=，故B错误，C.•=| |•| |cos＜，＞=||•||不一定成立，故C错误，D．若|+|=|﹣|，则平方得||2+|||2+2•=|||2+||2﹣2•，即4•=0，即•=0成立，故D正确故选：D11．若sinα，sin2α，sin4α成等比数列，则cosα的值为（）A．1 B．0 C．﹣D．﹣或1【考点】三角函数中的恒等变换应用；等比数列的通项公式．【分析】由等比中项的性质列出方程，由二倍角的正弦公式、sin2α≠0、sinα≠0化简，由二倍角的余弦公式变形列出方程求解，结合条件求出cosα的值．【解答】解：∵sinα，sin2α，sin4α成等比数列，∴（sin2α）2=sinα•sin4α，则（sin2α）2=sinα•2sin2αcos2α，又sin2α≠0，∴sin2α=sinα•2cos2α，2sinαcosα=sinα•2cos2α，又sinα≠0，cosα=cos2α，即2cos2α﹣cosα﹣1=0，解得cosα=或1，当cosα=1时，sinα=0，舍去，∴cosα的值是，故选C．12．点O、I、H、G分别为△ABC（非直角三角形）的外心、内心、垂心和重心，给出下列关系式①=；②sin2A•+sin2B•+sin2C•=；③a+b+c=；④tanA•+tanB•+tanC•=．其中一定正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】三角形五心．【分析】根据三角形（非直角三角形）的外心、内心、垂心和重心的向量表示与运算性质，对选项中的命题逐一进行分析、判断正误即可．【解答】解：对于①，点G是△ABC的重心，如图①所示，所以==×（+）=（+），同理=（+），=（+），∴++=（+++++）=，所以=，命题正确；对于②，点O是△ABC的外心，如图②所示，OA=OB=OC，所以S△BOC：S△AOC：S△AOB═sin∠BOC：sin∠AOC：sin∠AOB=sin2A：sin2B：sin2C，所以sin2A•+sin2B•+sin2C•=，命题正确；对于③，点I是△ABC的内心，如图所示，所以S△BIC：S△AIC：S△AIB=a：b：c，所以a+b+c=，命题正确；对于④，点H是△ABC（非直角三角形）的垂心，如图所示，所以S△BHC：S△AHC：S△ANB=tanA：tanB：tanC，所以tanA•+tanB•+tanC•=，命题正确．综上，以上正确的命题有4个．故选：D．二、填空题（每题5分）13．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，a k=191，S k=10000，则k的值为100．﹣4【考点】等差数列的前n项和．=9+191=200，由【分析】由S9==81，求出a5=9，再求出a1+a k=a5+a k﹣4此利用S k=10000，能求出k．=191，S k=10000，【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S9=81，a k﹣4∴S9==81，解得a5=9，=9+191=200，∴a1+a k=a5+a k﹣4S k==100k=10000，解得k=100．故答案为：100．14．三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠APC=∠CPB=40°，PA=5，PB=6，PC=7，点D、E分别在棱PB、PC上运动，则△ADE周长的最小值为5．【考点】棱锥的结构特征．【分析】把已知三棱锥沿棱PA将三棱锥侧面剪开并展开，可得展开图如图，再由余弦定理求得答案．【解答】解：如图，沿棱PA将三棱锥侧面剪开并展开，可得展开图如图，此时|PA|=|PA′|=5，且角APA′=120°，∴△ADE周长的最小值为|记分′|=．故答案为：．15．若平面向量满足|2|≤3，则的最小值是﹣．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的运算．【分析】由平面向量满足|2|≤3，知，故≥=4||||≥﹣4，由此能求出的最小值．【解答】解：∵平面向量满足|2|≤3，∴，∴≥=4||||≥﹣4，∴，∴，故的最小值是﹣．故答案为：﹣．16．已知函数f（x）=sin6x+cos6x，给出下列4个结论：①f（x）的值域为[0，2]；②f（x）的最小正周期为；③f（x）的图象对称轴方程为x=（k∈Z）；④f（x）的图象对称中心为（，）（k∈Z）其中正确结论的序号是②③④（写出全部正确结论的序号）【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】利用公式a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2）化简y=sin6x+cos6x，再由二倍角公式化简解析式，根据余弦函数的值域判断①；由三角函数的周期公式判断②；由余弦函数的对称轴方程和整体思想，求出f（x）的对称轴判断③；由余弦函数的对称中心和整体思想，求出f（x）的对称对称中心判断④．【解答】解：y=sin6x+cos6x=（sin2x+cos2x）（sin4x﹣sin2xcos2x+cos4x）=1•（sin2x+cos2x）2﹣3sin2xcos2x=1﹣sin22x=+cos4x，①、因为﹣1≤cos4x≤1，所以f（x）的值域为[，1]，①不正确；②、由T==得，f（x）的最小正周期为，②正确；③、由4x=kπ（k∈Z）得，f（x）图象的对称轴方程是，③正确；④、由得，，则f（x）的图象对称中心为（，）（k∈Z），④正确，综上可得，正确的命题是②③④，故答案为：②③④．三、解答题17．若对任意实数x，不等式x2﹣mx+（m﹣1）≥0恒成立（1）求实数m的取值集合；（2）设a，b是正实数，且n=（a+）（mb+），求n的最小值．【考点】二次函数的性质；基本不等式．【分析】（1）根据二次函数的性质求出m的值即可；（2）根据基本不等式的性质求出n的最小值即可．【解答】解：（1）∵x2﹣mx+（m﹣1）≥0在R恒成立，∴△=m2﹣4（m﹣1）≤0，解得：m=2，故m∈{2}；（2）∵m=2，a，b是正实数，∴n=（a+）（mb+）=（a+）（2b+）=2ab++≥2+=，故n的最小值是．18．如图，四边形ABCD中，若∠DAB=60°，∠ABC=30°，∠BCD=120°，AD=2，AB=5．（1）求BD的长；（2）求△ABD的外接圆半径R；（3）求AC的长．【考点】解三角形．【分析】由题意可得，四边形ABCD为圆内接四边形．（1）直接运用余弦定理求得BD的长；（2）由正弦定理求得△ABD的外接圆半径R；（3）在△ABC中，由正弦定理得AC的长．【解答】解：如图，由∠DAB=60°，∠BCD=120°，可知四边形ABCD为圆内接四边形，（1）在△ABD中，由∠DAB=60°，AD=2，AB=5，利用余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠DAB=．∴；（2）由正弦定理得：，则△ABD的外接圆半径R=；（3）在△ABC中，由正弦定理得：，∴AC=．19．△ABC中，a=4，b=5，C=，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，点D在边AB上，且=．（1）用和表示；（2）求|CD|．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．【分析】（1）根据向量基本定理即可用和表示；（2）根据向量数量积与向量长度之间的关系转化为向量数量积进行计算即可求|CD|．【解答】解：（1）∵=，∴=，即=，则=+=+=+（﹣）=+．（2）∵a=4，b=5，C=，∴•=||||cos120°=4×=﹣10．∵=+．∴2=（+）2=2+2×ו+2=×25+2×ו（﹣10）+×16=，则|CD|==．20．四面体ABCD中，已知AB⊥面BCD，且∠BCD=，AB=3，BC=4，CD=5．（1）求证：平面ABC⊥平面ACD；（2）求此四面体ABCD的体积和表面积；（3）求此四面体ABCD的外接球半径和内切球半径．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积．【分析】（1）证明CD⊥平面ABC，即可证明：平面ABC⊥平面ACD；（2）利用体积、面积公式求出此四面体ABCD的体积和表面积；（3）此四面体ABCD的外接球的球心是AD的中点，即可求此四面体ABCD的外接球半径．利用等体积求出内切球半径．【解答】（1）证明：∵AB⊥面BCD，CD⊂面BCD，∴AB⊥CD，∵∠BCD=，∴CD⊥BC，∵AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC，∵CD⊂平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD；（2）解：此四面体ABCD的体积V==10表面积S==；（3）解：此四面体ABCD的外接球的球心是AD的中点，半径为=设内切球半径为r，则（）r=10，∴r=．21．△ABC中（非直角三角形），角A、B、C所对的边分别为a，b，c．（1）求证：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；（2）若tanA：tanB：tanC=6：（﹣2）：（﹣3），求a：b：c．【考点】三角函数的化简求值；正弦定理．【分析】（1）利用三角形的内角和定理以及由题意可得各个正切有意义，由两角和的正切公式变形可得tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB），整体代入式子坐标由诱导公式化简可得；（2）结合（1）的结论设比例系数为k，求出k，得到tanA、tanB、tanC，利用三角函数的基本公式求出sinA，sinB，sinC，结合正弦定理求a：b：c．【解答】（1）证明：∵△ABC不是直角三角形，∴A、B、C均不为直角，且A+B+C=π，任意两角和不为，由两角和的正切公式可得tan（A+B）=，∴tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）=tan（π﹣C）（1﹣tanAtanB）=﹣tanC（1﹣tanAtanB）∴tanA+tanB+tanC=﹣tanC（1﹣tanAtanB）+tanC=tanAtanBtanC；（2）由tanA：tanB：tanC=6：（﹣2）：（﹣3），设tanA=6k，tanB=﹣2k，tanC=﹣3k，代入（1）得到k=36k3，因为△ABC非直角三角形，并且最多一个钝角，所以k=﹣，即tanA=﹣1，tanB=，tanC=，所以A=135°，sinB=，sinC=，所以a：b：c=sinA：sinB：sinC==5：：2．22．在等比数列{a n}的前n项和为S n，S n=2n+r（r为常数），记b n=1+log2a n．（1）求r的值；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n；（3）记数列{}的前n项和为P n，若对任意正整数n，都有P2n+1+≤k+P n，求实数k的最小值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由a1=S1，a n=S n﹣S n，可得数列{a n}的通项，即可得到r=﹣1；﹣1（2）b n=n，a n b n=n•2n﹣1，运用数列的求和方法：错位相减法，化简整理，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和；（3）化简P2n+1+≤k+P n，即为1+++…++…++≤k+1+++…+，化为k≥++…+，可设f（n）=++…+，作差f（n+1）﹣f（n），判断单调性，可得最大值为f（1），即可得到k的最小值．【解答】解：（1）等比数列{a n}的前n项和为S n，S n=2n+r，可得a1=S1=2+r；=2n+r﹣（2n﹣1+r）=2n﹣1，a n=S n﹣S n﹣1上式对n=1也成立，即有2+r=1，解得r=﹣1．（2）b n=1+log2a n=1+log22n﹣1=1+n﹣1=n，数列{a n b n}的前n项和T n=1•20+2•2+3•22+…+n•2n﹣1，2T n=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，两式相减可得，﹣T n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n，化简可得，T n=（n﹣1）•2n+1；（3）数列{}的前n项和为P n=1+++…+，P2n+1+≤k+P n，即为1+++…++…++≤k+1+++…+，化为k≥++…+，可设f（n）=++…+，f（n+1）﹣f（n）=+…+++﹣（++…+）=+﹣=﹣＜0，即有f（n）在自然数集上递减，可得f（1）取得最大值，且为1++=．则k≥．即实数k的最小值为．2016年9月7日。
九校2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
九校2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：因为，所以，选A.考点：集合运算【名师点睛】1.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．2．求交、并、补的混合运算时，先算括号里面的，再按运算顺序求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．4．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽视空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．2.直线与间的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平行线间的距离公式可求得直线与间的距离.【详解】由平行线间的距离公式可知，直线与间的距离为.故选：C.【点睛】本题考查平行线间的距离的计算，考查计算能力，属于基础题.3.如果实数满足：，则下列不等式中不成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】对于选项A：，不等式两边同时减，即可判断；对于选项B：利用不等式的性质即可判断；对于选项C：利用立方差公式展开利用已知条件判断即可；对于选项D：先整理再利用不等式的性质判断即可.【详解】由，得，A正确；由，得，B正确；由，又，则，所以，C正确.由，得，所以，则，D错误.故选：D.【点睛】本题主要考查不等式的性质.属于较易题.4.圆是心直线的定点为圆心，半径，则圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由有，所以直线过定点，则所求圆的方程为，故选择A.5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由二倍角公式求得，切化弦后，结合同角三角函数平方关系可求得结果.【详解】，，.故选：D.【点睛】本题考查三角函数值的求解问题，涉及到二倍角公式、同角三角函数平方关系的应用，属于较易题.6.已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等差中项和等比中项的性质分别求得、的值，然后利用特殊角的三角函数值可得出结果.【详解】由等差中项的性质可得，，由等比中项的性质可得，，因此，.故选：C.【点睛】本题考查等差中项和等比中项的性质求值，考查计算能力，属于基础题.7.在中，若，则是（）A. 等腰三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形【答案】C【解析】【分析】将题中等式化简得出，利用两角和与差的正弦公式化简得出，由此可判断出的形状.【详解】，，同理，，，则，可得，，，.因此，是直角三角形.故选：C.【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查了三角恒等变换思想的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.8.已知圆和圆的公共弦过点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将两圆方程作差可得出两圆的公共弦所在直线的方程为，由题意得出，可得，代入，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.【详解】将两圆方程作差可得圆与圆的公共弦所在直线的方程为，由已知条件得，，，所以，当时，取最小值.故选：B.【点睛】本题考查两圆公共弦所在直线方程的求解，同时也考查了利用二次函数的基本性质求最值，考查计算能力，属于中等题.9.已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出函数的图象，则函数有三个不同的零点，等价于直线与曲线的图象有三个不同交点，考查直线与圆相切，且切点位于第三象限时以及直线过点时，对应的值，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】当时，，则，等式两边平方得，整理得，所以曲线表示圆的下半圆，如下图所示：由题意可知，函数有三个不同的零点，等价于直线与曲线的图象有三个不同交点，直线过定点，当直线过点时，则，可得；当直线与圆相切，且切点位于第三象限时，，此时，解得.由图象可知，当时，直线与曲线的图象有三个不同交点.因此，实数取值范围是.故选：B.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，同时也考查了直线与圆的位置关系以及正弦型函数图象的应用，考查数形结合思想的应用，属于难题.10.已知函数，若关于的方程有且仅有三个不同的整数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出函数的图象，由可得出，即函数位于直线和的图象上有三个横坐标为整数的点，数形结合可得实数的取值范围.【详解】，函数位于直线和的图象上有三个横坐标为整数的点.当时，且，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，当时，，，，，，且，如下图所示：要使得函数位于直线和的图象上有三个横坐标为整数的点，则，即，解得.因此，实数的取值范围是.故选：A.【点睛】本题考查利用方程整数解的个数求参数的取值范围，解题时要注意对直线的临界位置，考查数形结合思想的应用，属于难题.11.已知直线，直线，若，则实数的值为_______.【答案】或【解析】【分析】由两直线平行可得出关于实数的等式，进而可解得实数的值.【详解】已知直线，直线，若，则，解得或.故答案为：或.【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，考查计算能力，属于基础题.12.设、，，，则____，___．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式可求得的值，求出、的值，利用两角和的正切公式可求得的值.【详解】由二倍角的余弦公式可得，、，，，，，因此，.故答案为：；.【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式以及两角和的正切公式求值，同时也考查了同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于中等题.13.已知数列的前项和，则数列满足________，若，数列的前项和为，则_______．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】令可求得的值，令，由可得出，两式作差可推导出数列是等比数列，确定数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，进而可求得，利用裂项相消求和法可求得.【详解】当时，，可得；当时，由可得，两式相减得，得，，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，.，，因此，.故答案为：；.【点睛】本题考查利用与的关系求通项，同时也考查了裂项相消求和法，考查计算能力，属于中等题.14.已知实数满足约束条件，则的最大值为_____【答案】【解析】【分析】画出可行域，平移基准直线到可行域边界位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线到可行域边界点的位置，此时取得最大值为.故答案为：.【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的最大值，考查数形结合的数学思想方法.属于较易题.15.过点的直线与圆相交于、两点，且圆上一点到直线的距离的最大值为，则直线的方程是_____________．【答案】或【解析】【分析】由题意可知，圆心到直线的距离为，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式可求得直线的方程.【详解】圆的圆心为坐标原点，半径长为，由题意可知，圆心到直线的距离满足，.①当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，此时圆心在直线上，不合乎题意；②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，即，由点到直线的距离公式可得，解得.综上所述，直线的方程为或.故答案为：或.【点睛】本题考查利用圆上一点到直线距离的最值求直线的方程，解答的关键就是将问题转化为圆心到直线的距离来计算，同时要对直线的斜率是否存在进行分类讨论，考查计算能力，属于中等题.16.已知正实数x，y满足x+y=1，则的最小值为________ ．【答案】【解析】【分析】由，可得且，则，利用基本不等式可求出的最小值.【详解】由，可得且，则，（当且仅当即时取“=”）.故的最小值为.故答案为：.【点睛】利本题考查基本不等式求最值，注意用基本不等式求最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；③等号取得的条件，属于中档题.17.已知中，角、、所对的边分别是、、，边上的高为，且，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】由余弦定理得出，由三角形的面积公式得出，进而可得出，利用正弦函数的有界性和基本不等式即可求得的取值范围.【详解】如下图所示：由余弦定理得，，，由三角形的面积公式得，得，，则，，，当时，即当时，取得最大值.由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，因此，的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查三角形中代数式的取值范围的求解，考查了余弦定理、三角形的面积公式、基本不等式以及正弦函数有界性的应用，考查计算能力，属于中等题.18.已知等差数列的公差不为 0 ，，成等比数列.（1）求数列通项公式；（2）若数列满足，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，将等差数列通项代入，得到，求得通项公式．（2）求得，根据分组求和法，将原数列和分为等差与等比数列的和.【详解】（1）设等差数列的公差为，由，成等比数列，得，得，由，得，则.（2）由（1），则，则即.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式，等比数列的概念和前项和公式，考查了学生的分析能力，运算能力，属于中档题.19.已知函数.（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）在中，角，，所对的边分别是，，，且满足求的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、降幂公式、辅助角公式化简函数的解析式，最后利用正弦型三角函数的最小正周期公式和单调性求解即可；（2）利用余弦定理结合已知可以求出的取值范围，最后利用正弦型三角函数的单调性求出的取值范围.【详解】（1），∴，，所以单调递增区间为：，因此最小正周期为，单调递增区间为；（2）∵，∴∴，又因为∴，∴∴，即的取值范围为.【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式、降幂公式、辅助角公式、余弦定理，考查了正弦型三角函数的单调性和最小正周期公式.20.已知函数.（1）若区间上存在一个，使得成立，求实数的取值范围；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可知，利用双勾函数的单调性结合绝对值的基本性质可求得函数的最大值，进而可求得实数的值；（2）当时，令，由可得，求得二次函数在区间上的最小值，由此可得出实数的取值范围.【详解】（1）由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，当时，，，，，所以，当时，，则，由于在区间上存在一个，使得成立，所以，.因此，实数的取值范围是；（2）当时，令，由，得，可得，令，则二次函数在区间上单调递增，所以，，.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用函数不等式恒成立与能成立求参数，考查了参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题.21.如图，在平面直角坐标系中，已知点，圆与轴的正半轴的交点是，过点的直线与圆交于不同的两点.（1）求的中点的轨迹方程；（2）设点，若，求的面积.【答案】（1），，；（2）.【解析】【分析】（1）连接连接，由圆的性质知，故在，，且为斜边，故在以为直径的圆上即可求解；（2）设，由得在圆上，再结合（1）解得坐标，再结合圆的性质求解即可.【详解】解：（1）连接，取中点，由圆的性质知，，所以在中，，且为斜边，所以在以为直径的圆上，圆心为，半径为，所以点的轨迹为圆，圆心为，半径为，方程为：；又因为在已知圆内部，故与圆联立方程组，解得两圆交点坐标为，所以点的轨迹方程为，，.（2）设，由得：，整理得：，所以在圆上，结合（1），又在圆，，，故两圆联立方程组，解得：，所以，，的斜率为，直线方程为：，所以点到直线的距离为：，所以的面积为【点睛】本题考查点的轨迹，直线与圆的位置关系等，考查数学运算能力，是中档题.22.已知正项数列满足，.（1）试比较与的大小，并说明理由；（2）设数列的前项和为，证明：当时，.【答案】（1），理由见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）推导出数列是等比数列，确定该数列首项和公比，求得数列的通项公式，可求得，然后利用作差法可比较出与的大小；（2）利用不等式的性质得出，然后分和，结合放缩法以及等比数列的求和公式证明出，即可证得结论成立.【详解】（1），即，，，则且，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，可得，，；（2）当时，；当时，由（1）可得，则.综上所述，对任意的，.【点睛】本题考查利用作差法比较大小，同时也考查了利用放缩法证明数列不等式，利用不动点法求出数列的通项公式是解题的关键，考查计算能力，属于难题.九校2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：因为，所以，选A.考点：集合运算【名师点睛】1.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．2．求交、并、补的混合运算时，先算括号里面的，再按运算顺序求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．4．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽视空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．2.直线与间的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平行线间的距离公式可求得直线与间的距离.【详解】由平行线间的距离公式可知，直线与间的距离为.故选：C.【点睛】本题考查平行线间的距离的计算，考查计算能力，属于基础题.3.如果实数满足：，则下列不等式中不成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】对于选项A：，不等式两边同时减，即可判断；对于选项B：利用不等式的性质即可判断；对于选项C：利用立方差公式展开利用已知条件判断即可；对于选项D：先整理再利用不等式的性质判断即可.【详解】由，得，A正确；由，得，B正确；由，又，则，所以，C正确.由，得，所以，则，D错误.故选：D.【点睛】本题主要考查不等式的性质.属于较易题.4.圆是心直线的定点为圆心，半径，则圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由有，所以直线过定点，则所求圆的方程为，故选择A.5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由二倍角公式求得，切化弦后，结合同角三角函数平方关系可求得结果.【详解】，，.故选：D.【点睛】本题考查三角函数值的求解问题，涉及到二倍角公式、同角三角函数平方关系的应用，属于较易题.6.已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等差中项和等比中项的性质分别求得、的值，然后利用特殊角的三角函数值可得出结果.【详解】由等差中项的性质可得，，由等比中项的性质可得，，因此，.故选：C.【点睛】本题考查等差中项和等比中项的性质求值，考查计算能力，属于基础题.7.在中，若，则是（）A. 等腰三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形【答案】C【解析】【分析】将题中等式化简得出，利用两角和与差的正弦公式化简得出，由此可判断出的形状.【详解】，，同理，，，则，可得，，，.因此，是直角三角形.故选：C.【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查了三角恒等变换思想的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.8.已知圆和圆的公共弦过点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将两圆方程作差可得出两圆的公共弦所在直线的方程为，由题意得出，可得，代入，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.【详解】将两圆方程作差可得圆与圆的公共弦所在直线的方程为，由已知条件得，，，所以，当时，取最小值.故选：B.【点睛】本题考查两圆公共弦所在直线方程的求解，同时也考查了利用二次函数的基本性质求最值，考查计算能力，属于中等题.9.已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出函数的图象，则函数有三个不同的零点，等价于直线与曲线的图象有三个不同交点，考查直线与圆相切，且切点位于第三象限时以及直线过点时，对应的值，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】当时，，则，等式两边平方得，整理得，所以曲线表示圆的下半圆，如下图所示：由题意可知，函数有三个不同的零点，等价于直线与曲线的图象有三个不同交点，直线过定点，当直线过点时，则，可得；当直线与圆相切，且切点位于第三象限时，，此时，解得.由图象可知，当时，直线与曲线的图象有三个不同交点.因此，实数取值范围是.故选：B.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，同时也考查了直线与圆的位置关系以及正弦型函数图象的应用，考查数形结合思想的应用，属于难题.10.已知函数，若关于的方程有且仅有三个不同的整数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】作出函数的图象，由可得出，即函数位于直线和的图象上有三个横坐标为整数的点，数形结合可得实数的取值范围.【详解】，函数位于直线和的图象上有三个横坐标为整数的点.当时，且，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，当时，，，，，，且，如下图所示：要使得函数位于直线和的图象上有三个横坐标为整数的点，则，即，解得.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用方程整数解的个数求参数的取值范围，解题时要注意对直线的临界位置，考查数形结合思想的应用，属于难题.11.已知直线，直线，若，则实数的值为_______.【答案】或【解析】【分析】由两直线平行可得出关于实数的等式，进而可解得实数的值.【详解】已知直线，直线，若，则，解得或.故答案为：或.【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，考查计算能力，属于基础题.12.设、，，，则____，___．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式可求得的值，求出、的值，利用两角和的正切公式可求得的值.【详解】由二倍角的余弦公式可得，、，，，，，因此，.故答案为：；.【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式以及两角和的正切公式求值，同时也考查了同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于中等题.13.已知数列的前项和，则数列满足________，若，数列的前项和为，则_______．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】令可求得的值，令，由可得出，两式作差可推导出数列是等比数列，确定数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，进而可求得，利用裂项相消求和法可求得.【详解】当时，，可得；当时，由可得，两式相减得，得，，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，.，，因此，.故答案为：；.【点睛】本题考查利用与的关系求通项，同时也考查了裂项相消求和法，考查计算能力，属于中等题.14.已知实数满足约束条件，则的最大值为_____【答案】【解析】【分析】画出可行域，平移基准直线到可行域边界位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线到可行域边界点的位置，此时取得最大值为.故答案为：.【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的最大值，考查数形结合的数学思想方法.属于较易题.15.过点的直线与圆相交于、两点，且圆上一点到直线的距离的最大值为，则直线的方程是_____________．【答案】或【解析】【分析】由题意可知，圆心到直线的距离为，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式可求得直线的方程.【详解】圆的圆心为坐标原点，半径长为，由题意可知，圆心到直线的距离满足，.①当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，此时圆心在直线上，不合乎题意；②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，即，由点到直线的距离公式可得，解得.综上所述，直线的方程为或.故答案为：或.【点睛】本题考查利用圆上一点到直线距离的最值求直线的方程，解答的关键就是将问题转化为圆心到直线的距离来计算，同时要对直线的斜率是否存在进行分类讨论，考查计算能力，属于中等题.16.已知正实数x，y满足x+y=1，则的最小值为________ ．【答案】【解析】【分析】由，可得且，则，利用基本不等式可求出的最小值.【详解】由，可得且，则，（当且仅当即时取“=”）.故的最小值为.故答案为：.【点睛】利本题考查基本不等式求最值，注意用基本不等式求最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；③等号取得的条件，属于中档题.17.已知中，角、、所对的边分别是、、，边上的高为，且，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】由余弦定理得出，由三角形的面积公式得出，进而可得出，利用正弦函数的有界性和基本不等式即可求得的取值范围.【详解】如下图所示：由余弦定理得，，，由三角形的面积公式得，得，，则，，，当时，即当时，取得最大值.由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，因此，的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查三角形中代数式的取值范围的求解，考查了余弦定理、三角形的面积公式、基本不等式以及正弦函数有界性的应用，考查计算能力，属于中等题.18.已知等差数列的公差不为 0 ，，成等比数列.（1）求数列通项公式；（2）若数列满足，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，将等差数列通项代入，得到，求得通项公式．（2）求得，根据分组求和法，将原数列和分为等差与等比数列的和.【详解】（1）设等差数列的公差为，由，成等比数列，得，得，由，得，则.（2）由（1），则，则即.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式，等比数列的概念和前项和公式，考查了学生的分析能力，运算能力，属于中档题.19.已知函数.（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）在中，角，，所对的边分别是，，，且满足求的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、降幂公式、辅助角公式化简函数的解析式，最后利用正弦型三角函数的最小正周期公式和单调性求解即可；（2）利用余弦定理结合已知可以求出的取值范围，最后利用正弦型三角函数的单调性求出的取值范围.【详解】（1），∴，，所以单调递增区间为：，因此最小正周期为，单调递增区间为；（2）∵，∴∴，又因为∴，∴∴，即的取值范围为.【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式、降幂公式、辅助角公式、余弦定理，考查了正弦型三角函数的单调性和最小正周期公式.20.已知函数.（1）若区间上存在一个，使得成立，求实数的取值范围；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可知，利用双勾函数的单调性结合绝对值的基本性质可求得函数的最大值，进而可求得实数的值；（2）当时，令，由可得，求得二次函数在区间上的最小值，由此可得出实数的取值范围.【详解】（1）由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，当时，，，，，所以，当时，，则，由于在区间上存在一个，使得成立，所以，.因此，实数的取值范围是；（2）当时，令，由，得，可得，令，则二次函数在区间上单调递增，所以，，.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用函数不等式恒成立与能成立求参数，考查了参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题.21.如图，在平面直角坐标系中，已知点，圆与轴的正半轴的交点是，过点的直线与圆交于不同的两点.。
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高一下学期期末数学试卷
一、选择题
1. 已知集合A={x|x2﹣3x﹣4＜0}，B={x||x|≤2}，则集合A∩B=（）
A . （﹣4，2]
B . （﹣1，2]
C . [﹣2，﹣1）
D . [﹣2，4）
2. 下列不等式中，与不等式的解集相同的是（）
A . （x+4）（x2﹣2x+2）＞3
B . x+4＞3（x2﹣2x+2）
C .
D .
3. 现有10个数，它们能构成一个以2为首项，﹣2为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是（）
A .
B .
C .
D .
4. 已知递增等差数列{an}的前n项和为Sn，a3a5=45，S7=49，则数列
的前n项和为（）
A .
B .
C .
D .
5. 如图是一个算法的流程图，则输出的a值为（）
A . 511
B . 1023
C . 2047
D . 4095
6. 在△ABC中，若AB=4，AC=6，D为边BC的中点，O为△ABC的外心，则
=（）
A . 13
B . 24
C . 26
D . 52
7. 已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（1+x）=f（1﹣x），当0＜x≤1时，f（x）=2x，则f（2017）+f（2016）=（）
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
8. 函数的零点个数为（）
A . 5
B . 6
C . 7
D . 9
9. 若b＞a＞0，则的最小值为（）
A .
B . 3
C .
D . 2
10. 已知函数f（x）=cos2x的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，若使|f（x1）﹣g（x2）|=2成立x1，x2的满足，则φ的值为（）
A .
B .
C .
D .
11. 已知数列{an}满足：an+1+（﹣1）nan=n+2（n∈N*），则S20=（）
A . 130
B . 135
C . 260
D . 270
12. 在平面四边形ABCD中，若AB=3，AC=4，cos∠CAB= ，AD=4sin∠ACD，则BD的最大值为（）
A .
B . 4
C .
D . 5
二、填空题
13. 已知角α的终边在直线y=3x上，则sin2α+sin2α=________．
14. 《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn=________尺．
15. 已知函数f（x）=ax2﹣2ax+b，当x∈[0，3]时，|f（x）|≤1恒成立，则2a+b 的最大值为________．
16. 在平面直角坐标系xoy中，角θ满足
，设点B是角θ终边上的一个动点，则的最小值为________．
三、解答题
17. 已知向量，函数
．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若，且α为第一象限角，求cosα的值．
18. 已知锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=（a，b+c），．
（1）求角A；
（2）若a=3，求△ABC面积的取值范围．
19. 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，点（an，Sn）（n∈N*）都在函数f （x）= 的图象上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=an•3n，求数列{bn}的前n项和Tn ．
20. 为了测量山顶M的海拔高度，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M在同一个铅垂面内（如图）．能够测量的数据有俯角、飞机的高度和A，B两点间的距离．请你设计一个方案，包括：
（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；
（2）用文字和公式写出计算山顶M海拔高度的步骤．
21. 设函数f（x）= ，a为常数，且a∈（0，1）．
（1）若x0满足f（x0）=x0，则称x0为f（x）的一阶周期点，证明函数f（x）有且只有两个一阶周期点；
（2）若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，当a= 时，求函数f（x）的二阶周期点．
22. 已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn+1=qSn+1，其中q＞0，n∈N* ．
（1）若2a2，a3，a2+2成等差数列，求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足bn= ，且b2= ，证明：b1+b2++bn＞．。