2021年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及答案
2021年全国高中数学联赛(A卷一试)(含答案与解析)
2021年全国中学生数学奥林匹克竞赛（初赛）暨2021年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．等差数列{a n }满足a 2021＝a 20+a 21＝1，则a 1的值为__________．2．设集合A ＝{1，2，m }，其中m 为实数．令B ＝{a 2｜a ∈A }，C ＝A ∪B ．若C 的所有元素之和为6，则C 的所有元素之积为__________．3．设函数f (x )满足：对任意非零实数x ，均有f (x )＝f (1)·x +()2f x－1，则f (x )在(0，+∞)上的最小值为__________．4．设函数f (x )＝cosx +log 2x （x >0），若正实数a 满足f (a )＝f (2a )，则f (2a )－f (4a )的值为__________．5．在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，B －C ＝23π，则△ABC 的面积为__________．6．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线Γ：y 2＝2px （p >0）的焦点为F ，过Γ上一点P （异于O ）作Γ的切线，与y 轴交于点Q ．若|FP |＝2，|FQ |＝1，则向量OP 与OQ 的数量积为__________．7．一颗质地均匀的正方形骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6．随机地抛掷该骰子三次（各次抛掷结果相互独立），所得的点数依次为a 1，a 2，a 3，则事件“|a 1－a 2|+|a 2－a 3|+|a 3－a 1|＝6”发生的概率为__________．8．设有理数r ＝p q∈(0，1)，其中p ，q 为互素的正整数，且pq 整除3600．这样的有理数r 的个数为__________．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．已知复数列{z n }满足：z 1＝32，z n +1＝n z (1+z n i )（n ＝1，2，…），其中i 为虚数单位．求z 2021的值．10．在平面直角坐标系中，函数y ＝11x x ++的图像上有三个不同的点位于直线l 上，且这三点的横坐标之和为0．求l 的斜率的取值范围．11．如图，正方体ABCD －EFGH 的棱长为2，在正方形ABFE 的内切圆上任取一点P 1，在正方形BCGF 的内切圆上任取一点P 2，在正方形EFGH 的内切圆上任取一点P 3．求|P 1P 2|+|P 2P 3|+|P 3P 1|的最小值与最大值．2021年全国中学生数学奥林匹克竞赛（初赛）暨2021年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．等差数列{a n}满足a2021＝a20+a21＝1，则a1的值为__________．【答案】1981 4001【解析】2．设集合A＝{1，2，m}，其中m为实数．令B＝{a2｜a∈A}，C＝A∪B．若C的所有元素之和为6，则C的所有元素之积为__________．【答案】－8【解析】3．设函数f(x)满足：对任意非零实数x，均有f(x)＝f(1)·x+()2fx－1，则f(x)在(0，+∞)上的最小值为__________．【答案】－1【解析】4．设函数f(x)＝cosx+log2x（x>0），若正实数a满足f(a)＝f(2a)，则f(2a)－f(4a)的值为__________．【答案】－3或－1【解析】5．在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，B －C ＝23，则△ABC 的面积为__________．【答案】3314【解析】6．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线Γ：y 2＝2px （p >0）的焦点为F ，过Γ上一点P （异于O ）作Γ的切线，与y 轴交于点Q ．若|FP |＝2，|FQ |＝1，则向量OP 与OQ 的数量积为__________．【答案】32【解析】7．一颗质地均匀的正方形骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6．随机地抛掷该骰子三次（各次抛掷结果相互独立），所得的点数依次为a 1，a 2，a 3，则事件“|a 1－a 2|+|a 2－a 3|+|a 3－a 1|＝6”发生的概率为__________．【答案】14【解析】8．设有理数r ＝p q∈(0，1)，其中p ，q 为互素的正整数，且pq 整除3600．这样的有理数r 的个数为__________．【答案】112【解析】二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．已知复数列{z n }满足：z 132，z n +1＝n z (1+z n i )（n ＝1，2，…），其中i 为虚数单位．求z 2021的值．【解析】10．在平面直角坐标系中，函数y ＝11x x ++的图像上有三个不同的点位于直线l 上，且这三点的横坐标之和为0．求l 的斜率的取值范围．【解析】11．如图，正方体ABCD－EFGH的棱长为2，在正方形ABFE的内切圆上任取一点P1，在正方形BCGF的内切圆上任取一点P2，在正方形EFGH的内切圆上任取一点P3．求|P1P2|+|P2P3|+|P3P1|的最小值与最大值．【解析】。
2020年北京市中学生数学竞赛高一年级试题(含答案)
2020年北京市中学生数学竞赛高一年级试题2020年6月 27日8:30～10:30一、填空题（满分40分，每小题8分）1．已知实函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+4xy ，且f (−1)·f (1)≥4．则293f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 2．等腰梯形ABCD （AB =CD ）的内切圆与腰CD 的切点为M ，与AM 、BM 的交点分别为K 和L ．则AM BM AK BL+的值等于______． 3．四位数abcd 比它的各位数字的平方和大2020，在所有这样的四位数中最大的一个是______．4．已知点O 在△ABC 内部，且2021202020193AB BC CA AO ++=，记△ABC 的面积为S 1，△OBC 的面积为S 2，则12S S =______． 5．有4个不同的质数a , b , c , d ，满足a +b +c +d 是质数，且a 2+bc 、a 2+bd 都是完全平方数，那么a +b +c +d = ______．二、（满分15分）面积为S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，S 6的正方形位置如右图所示．求证：S 4+S 5+S 6=3(S 1+S 2+S 3)．三、（满分15分）存在2020个不是整数的有理数，它们中任意两个的乘积都是整数四、（满分15分）如右图，已知D 为等腰△ABC BC 上任一点，⊙I 1、⊙I 2分别为△ABD 、△ACD 内切圆，M 为BC 的中点．求证：I 1M ⊥I 2M ．五、（满分15分）将集合I ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}B ={w , x , y , z }，使得A ∪B =I ，A ∩B =Ø，且A 与B 的元素至少有一种排列组成的正整数满足2wxyz abcde ，则称A 与B 为集合I 的一个“两倍型2分划”．（1）写出集合I 的所有“两倍型2分划”，并给出理由；（2）写出集合I 的每个“两倍型2分划”对应的所有可能的2wxyz abcde ．2020年北京市中学生数学竞赛（邀请）高一年级试题及参考解答2020年6月 27日8:30～10:30一、填空题（满分40分，每小题8分）1．已知实函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+4xy ，且f (−1)·f (1)≥4．则29()3f -=______． 解：令x =y =0得f (0)=0，令x =−1，y =1，得f (1)+f (−1)=4．平方得f 2(1)+2f (1)·f (−1)+f 2(−1)=16，又因为f (−1)·f (1)≥4，所以f 2(1)+2f (1)·f (−1)+f 2(−1)≤4f (1)·f (−1)．即(f (1)−f (−1))2≤0．所以f (1)=f (−1)=2． 因为)32)(31(4)32()31()32(31)1(--⋅+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-f f f f 1118=3()4()()3339f ， 所以 .234)31(3=+-f 因此.92)31(=-f 所以.9894)31(2)32(=+-=-f f 于是29()3f -=8．2．等腰梯形ABCD （AB =CD ）的内切圆与腰CD 的切点为M ，与AM 、BM 的交点分别为K 和L ．则AM BM AK BL+的值等于______． 解：设N 是边AD 的中点，a =AN ，x =AK ，y =AM ，α=∠ADM ，（如图）．则ND=DM=a ，且根据余弦定理，对于△ADM ，有y 2=4a 2+a 2−4a 2cos α=a 2(5−4cos α)． 另一方面，根据切割线定理，有xy=a 2，所以 2AM y y AK x xy ===5−4cos α． 类似地对于△BCM ，得到54cos .BM BLα=+ 因此，10.AM BM AK BL+= C BD A LK a y αMx3．四位数abcd 比它的各位数字的平方和大2020，在所有这样的四位数中最大的一个是______．解: 设abcd 为所求的自然数，则根据条件1000a +100b +10c +d =a 2+b 2+c 2+d 2+2020．考虑到 2000＜a 2+b 2+c 2+d 2+2020≤92+92+92+92+2020=2344，可以断定a =2，于是100b +10c +d =b 2+c 2+d 2+24．即 b (100−b )+c (10−c )=d (d −1)+24 (*)由于c (10−c )＞0，当b ≥1时，b (100−b )≥99，所以(*)式左边大于99，而(*)式右边小于9×8+24=96，因此要(*)式成立，必须b =0．当b =0时，(*)式变为 d 2−d =10c −c 2−24． 由于四位数abcd 中a =2，b =0，要使20cd 最大，必需数字c 最大．若c =9，c 2−c −24=90−92−24＜0，而d 2−d ≥0故(*)式不能成立．同理，c =8和c =7时，(*)式均不能成立．当c =6时，c 2−c −24=60−62−24=0，这时，d =0及d =1，均有d 2−d =0，即(*)式均成立． 于是abcd =2060或2061．所以满足题设条件的四位数中最大的一个是2061．4．已知点O 在△ABC 内部，且2021202020193AB BC CA AO ++=，记△ABC的面积为S 1，△OBC 的面积为S 2，则12S S =______． 解：由2021202020193AB BC CA AO ++=，得22019()3AB BC AB BC CA AO ++++=，因为0AB BC CA ++=，所以23AB BC AO +=，故23AB AC AB AO +-=. 所以3AB AC AO +=，取BC 的中点D ，则23AD AO =.于是A 、D 、O 三点共线，且3AD OD =．所以123S AD S OD==．5．有4个不同的质数a , b , c , d ，满足a +b +c +d 是质数，且a 2+bc 、a 2+bd 都是完全平方数，那么a +b +c +d = ______．解：由a +b +c +d 是质数，可知a , b , c , d 中有2．如果a ≠2，那么b , c , d 中有2，从而a 2+bc 、a 2+bd 中有一个模4余3，不是完全平方数．故a =2．假设22+bc =m 2，那么bc =(m −2)(m +2)．如果m −2=1，那么m =3，bc =5，与已知矛盾．故不妨设b =m −2，c =m +2，则c =b +4．同理d =b −4，所以{a , b , c , d }={a , b , b +4, b −4}．而b −4, b , b +4中有一个是3的倍数，又是质数，所以只能是b −4=3，此时a +b +c +d =2+3+7+11=23．二、（满分15分）面积为S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，S 6的正方形位置如图所示．求证：S 4+S 5+S 6=3(S 1+S 2+S 3)．证明：见右图：AKLB ，BMNC ，ACPQ 都是正方形，对应的面积为S 1、S 2和S 3．设,,βα=∠=∠ABC BAC .γ=∠ACB 因为,,,321S AC S BC S AB === 则根据余弦定理，有αcos 232321S S S S S -+=βcos 231312S S S S S -+=γcos 221213S S S S S -+= 由此，.cos 2cos 2cos 2321213132S S S S S S S S S ++=++γβα ①又因为 ,180,180,180γβα-=∠-=∠-=∠ NCP LBM QAK 以及,,,465S NP S LM S QK === 则有αcos 231315S S S S S ++= ②βcos 221216S S S S S ++= ③ γcos 232324S S S S S ++= ④由等式①～④得 S 4+S 5+S 6=3(S 1+S 2+S 3)．三、（满分15分）存在2020个不是整数的有理数，它们中任意两个的乘积都是整数吗？如果存在，请给出例证，如果不存在，请说明理由．解：存在. 例证如下：因为质数有无限多个，所以任选2020个两两不同的质数122020,,,p p p ，构造2020个两两不同的数： 1220202ii p p p x p ，i =1, 2, 3, …, 2020． 易知，因为122020,,,x x x 的分子不被分母整除，皆为不是整数的有理数．而任意两个数的乘积 12202012202022i i i j p p p p p p x x p p 2222222222122020121111202022ii j j i j p p p p p p p p p p p p ． 这2018个质数平方的乘积是整数，满足题意要求．A B C I 1 I 2 • • F 四、（满分15分）如图，已知D 为等腰△ABC 底边BC 上任一点，⊙I 1、⊙I 2分别为△ABD 、△ACD 的内切圆，M 为BC 的中点．求证：I 1M ⊥I 2M ．证明： （1）当D 与M 重合时，显然有∠I 1MI 2=90°，即I 1M ⊥I 2M ．（2）当D 不与M 重合时，不妨设BD ＞DC ， 过I 1作I 1E ⊥BC 于点E ，过I 2作I 2F ⊥BC 于点F ，连结I 1D ，I 2D ，I 1I 2．因为⊙I 1为△ABD 的内切圆，⊙I 2为△ACD 的内切圆，所以 2AB BD AD BE +-=，2DC AD AC DF +-= 所以，EM =BM −BE=22BC AB BD AD +--()2BC BD AD AB -+-=.2DF AC AD DC =-+= 进而有 ED=MF ．因为I 1、I 2分别为△ABD 、△ACD 的内心，易知∠I 1DI 2=90°． 由勾股定理得I 1D 2+I 2D 2=I 1I 22．(*)在Rt △I 1DE 与Rt △DI 2F 中，由勾 股定理得I 1E 2+ED 2=I 1D 2，I 2F 2+DF 2=I 2D 2，代入(*)式，得(I 1E 2+ED 2)+(I 2F 2+DF 2)= I 1I 22．注意EM=DF ，ED=MF 代换得(I 1E 2+MF 2)+(I 2F 2+EM 2)= I 1I 22．即 (I 1E 2+EM 2)+(I 2F 2+MF 2)= I 1I 22．所以 I 1M 2+I 2M 2=I 1I 22．根据勾股定理的逆定理，有△I 1MI 2为直角三角形，∠I 1MI 2=90°，即I 1M ⊥I 2M ．五、（满分15分）将集合I ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}划分为两个子集A ={a , b , c , d , e }和B ={w , x , y , z }，使得A ∪B =I ，A ∩B =Ø，且A 与B 的元素至少有一种排列组成的正整数满足2wxyz abcde ，则称A 与B 为集合I 的一个“两倍型2分划”．（1）写出集合I 的所有“两倍型2分划”，并给出理由；（2）写出集合I 的每个“两倍型2分划”对应的所有可能的2wxyz abcde ． 解：（1）集合I 共有2个“两倍型2分划”：A ={1, 3, 4, 5, 8}，B ={2, 6, 7, 9}及A ={1, 4, 5, 6, 8}，B ={2, 3, 7, 9}．理由简述如下：1° 由易知，a =1，所以a ∈A ． A B C I 1 I 2 • •2° 由0∉ I ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}=A ∪B ，而5×2=10，所以5∈A ．3° 试验知，a , b , c , d , e 均不能等于9，所以9∈B ，进而有8∈A ．4° 因为数wxyz abcde 和的9个数字和恰为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45是9的倍数，可判知+abcde wxyz 是9的倍数，即+abcde wxyz ≡0(mod9)． 又2wxyz abcde ，所以3wxyz ≡0(mod9)．于是wxyz ≡0(mod3)．所以)(wxyz S 是3的倍数，进而推得)(abcde S 也是3的倍数．5° 同样试验可判定7∈B ．此时分配剩下的4个元素：2, 3, 4, 6．由于A 中的1+5+8=14，被3除余2，所以从2, 3, 4, 6中选出的两个数之和被3除余1．于是只能选3, 4或4, 6属于A ，对应剩下的2, 6或2, 3归属于B ．因此，找到集合I 的两个“两倍型2分划”：A ={1, 3, 4, 5, 8}，B ={2, 6, 7, 9}及A ={1, 4, 5, 6, 8}，B ={2, 3, 7, 9}．（2）集合I 的“两倍型2分划”满足的不同的2wxyz abcde 共12个．1° 当B={2, 6, 7, 9}时，得到6个不同的式子：6729×2=13458， 6792×2=13584， 6927×2=13854,7269×2=14538， 7692×2=15384， 9267×2=18534．2° 当B={2, 3, 7, 9}时，得到6个不同的式子：7293×2=14586， 7329×2=14658， 7923×2=15846，7932×2=15864， 9273×2=18546， 9327×2=18654．。
2021年北京市中学生数学竞赛复赛（高一）试题答案和解析
2021年北京市中学⽣数学竞赛复赛（⾼⼀）试题答案和解析2009年北京市中学⽣数学竞赛复赛（⾼⼀）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________⼀、填空题1．已知a 和b 都是单位向量，并且向量2c a b =+与54d a b =-互相垂直．则a 和b 的夹⾓,=<>a b ______．2．1cos 290+?______． 3．如图，过O 外⼀点M 引圆的切线切O 于点B ，联结MO 交O 于点A ，已知4MA =，MB =N 为弧AB 的中点．则曲边三⾓形（阴影⾯积）的⾯积等于______．4的值是______．5．在平⾯直⾓坐标系中，不论m 取何值时，抛物线()()22132y mx m x m =++-+都不通过的直线1y x =-+上的点的坐标是______（写出全部符合条件点的坐标）．⼆、解答题6．Rt ABC ?内切圆的半径为r ，直⾓的⾓平分线的长为t ．求证：Rt ABC ?的两条直⾓边的长a 、b 是关于x 的⼀元⼆次⽅程()22220t x x tr -+-=的根． 7．求函数:N N f ++→，使得（1）()11f =；（2）对于所有的N x y +∈、，()()()f x y f x f y xy +=++都成⽴．8．如图，在ABCD 中，BAD ∠的平分线与BC 交于点M 、与DC 的延长线交于点N ，CMN ?的外接圆O 与CBD ?的外接圆的另⼀交点为K ．证明：（1）点O 在CBD ?的外接圆上；（2）90AKC ∠=?．9．证明：任给7个实数，其中必存在两个实数x 、y 满⾜013x y xy -≤<+.参考答案1．3π【解析】【详解】设a 和b 的夹⾓,a b θ=．则根据向量垂直的条件得()()220=254=51048c d a b a b a a b a b b ?=+?-+?-?-=56cos 86cos 3θθ+-=-．由此1cos 2θ=．所以=3πθ． 2【解析】【详解】11cos290cos70+-??=4sin 70303?-?= 3．48.3π-【解析】【详解】根据条件，延长MO 交O 于点C ．设O 的半径为r ．则42MC r =+．由切割线定理得2MB MA MC =?，即 48 ()=442r +．解得 4.r =所以， 4.OC OA AM ===联结OB ．在Rt OBM ?中，sin 60MB MOB MOB OM ∠===?∠=?．因此，弧AB 的度数为60?，⽽N 为弧AB 的中点，则弧AN 的度数为30?．联结ON ．则30MON ∠=?．从⽽，111sin30=848.222MON S OM ON ?== ⽽扇形AON 的⾯积为23044=.3603ππ?? 故阴影图形的⾯积为48.3π- 4．4【解析】【详解】.x两边⽴⽅并整理得36400.x x --=观察知，4是⽅程的⼀个根．所以，()()244100.x x x -++= 由2=4410=240?-?-<，知⽅程24100x x ++=⽆实根．故⽅程36400x x --=只有唯⼀的实根 4.x =5．()()311034.22??--，，，，，【解析】【详解】由()()()()()22132312y mx m x m m x x x =++-+=+-+- 可知，抛物线⼀定过点()()1,13,5.A B ---、过点A B 、分别作y 轴的平⾏线交直线1y x =-+于点()()1,03,4.C D 、-过点A B 、的直线1y x =-+交于点31,22E ??-．则C D E 、、三点满⾜条件．6．()22220.t x x tr -+-=【解析】【详解】如图，设Rt ABC ?中，90C ∠=?，,,AB c AC b CB a ===，内切圆的圆⼼为O ．联结OA OB 、．则1.2ABC S ab ?= ①⼜()11=sin45sin45.22ABC ADC BDC S S S bt at a b =+?+?+ 故().ab a b =+ ②⽽()12ABC OBC OAC OAB S S S S r a b c =++=++ ()()()21=2=.2r a b c b r r a b r a b r r +++-+-=+- 与式①⽐较得()222.ab a b r r =+- ③联⽴式②、③得22a b ab +== 据韦达定理知，以,a b 为根的⼀元⼆次⽅程为222x x =，即()22220.t x x tr -+-=7．见解析【解析】【详解】设函数:N N f ++→满⾜题设条件．对于正整数n k 、有()()()()21.f k n f kn f n kn +=++ 令1,2,,1k m =-并相加得()()()()()221121=2m m f mn mf n m n mf n n -??=++++-+??，对所有的正整数m n 、都成⽴．特别地，当1n =时，()()1.2m m f m += ①式①定义了在正整数集合上的函数.f经检验，()()12m m f m +=是问题的唯⼀解．由函数的解析式可知函数满⾜题中的结论(1)(2).8．（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】（1）如图，由题设知.BMA MAD BAM ∠=∠=∠因此，.BA BM =同理，.MC CN =联结OC ．则OC 平分.NCM ∠联结OB OM OD 、、．设.BAD θ∠=则()1=180=9022COD BCD OCM θθθ∠=∠+∠+?-?+， 180=18090.2BMO OMC OCM θ∠=?-∠?-∠=?+因此，.BMO OCD ∠=∠故OBM ? ≌ ODC ?．从⽽，.OBC ODC ∠=∠于是，B O C D 、、、四点共圆，也就是点O 在CBD ?的外接圆上．（2）由（1）知.OB OD =⼜KO OC =，由B K O C 、、、和D 都在同⼀个圆上，则点K C 、关于BD 的中垂线对称，且.BK CD AB ==⼜因KBD CDB ABD ∠=∠=∠，所以，点K 与A 是关于BD 的对称点，即.AK BD ⊥⼜因KC BD ，所以，AK KC ⊥，即90.AKC ∠=?9．见解析【解析】【详解】设7个实数分别为127tan tan tan θθθ，，，，且不妨设127ππ22θθθ-<≤≤≤<. 将区间ππ,22??- 平均分成6个⼦区间：ππππππππππ,,,00,,,2336666333，，，，，----- ? ? ? ? ?. 由抽屉原理，上述7个()17i i θ≤≤中必有某两个数在同⼀个⼦区间内，不妨设j θ、()116j j θ+≤≤在同⼀个⼦区间内.因1π06j j θθ+≤-<，所以，()1π 0tan tan 63j j θθ+≤-<=，即11tan tan 01tan tan j jj j θθθθ++-≤<+?. 记1tan ,tan j j x y θθ+==，即得所要证的不等式.。
第十五届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答
网址：ｚｘｓｓ．ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ 电子邮箱：ｚｘｓｓ＠ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ应用与建模第十五届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答（北京数学会普及委员会提供） 一、（满分２０分）在测量课上，老师交给的任务是测量楼前旗杆的高度．小王灵机一动，想出了如下的测量法：请同学小李当“参照物”站在旗杆下，在离旗杆较近的地方，用手机拍下小李和旗杆的照片，如图所示．然后把照片放在计算机的屏幕上，量出旗杆有６．３个小李的高度，小李的身高为１．６５米，于是得到旗杆的高度约为６．３×１．６５＝１０．４（米）．（１）你认为这种测量方法如何？如认为正确，请说明理由以及这种方法的优点；如认为有问题，请说明问题出在何处，结果偏大还是偏小？（２）你认为测量中如何做就能减少误差，得到正确的结果？参考解答：（１）这个方法虽然操作简单易行，但却是有问题的，这样得到的结果，与实际真实的结果相比，偏小．照相者离旗杆越近，误差越大．事实上，从这张照片上可以看到，同样大小的窗户框，其高度在照片上看，四层的只有一层的７０％，这符合“近大远小”的视觉规律．因此旗杆下面的“一人高”和旗杆顶端的“一人高”对应的真实高度是不一样的，小王却把它当成一样的计算了．而顶端的“一人高”比下端的一人高所对应的实际尺寸要大，故小王的结果偏小了．（２）减少误差的思路有两种，一是远离旗杆，用长焦镜头拍照．这时摄影者到旗杆底部和到旗杆顶部的距离差会缩小，从而减少误差．但也要注意，距离远了，旗杆和人像也会变小，观察度量长度时的误差也会变大．二是考虑“近大远小”的变化率，比如可以根据图片量出，旗杆下端一米对应ａ毫米，旗杆顶端用国旗的实际宽度算出一米对应ｂ毫米，可以认为整个旗杆平均一米等于图中的（ａ＋ｂ）／２毫米，于是用旗杆在照片上的总长度（毫米），除以（ａ＋ｂ）／２就是旗杆的真实高度（米）．二、（满分２０分）人们日常生产的产品———大到飞机、汽车，小到锅碗瓢盆———其表面通常是由一些光滑的曲面拼接而成的．在不同曲面的衔接处，我们往往也希望它是光滑的．如何能做到这一点呢？为简单起见，我们只考虑平面上两条光滑曲线在衔接点是光滑（没有尖角）的．１．给定平面上两条光滑的曲线，它们在某一点衔接．请你给出一个标准（即给出定义），用它来说明，在这个衔接点是光滑的．２．给定平面直角坐标系，在ｘ＝２左侧的曲线是函数ｙ＝ｘ２－ｘ＋ｃ（ｘ≤２）的图像，其中ｃ是参数，在ｘ＝２右侧的曲线是函数ｙ＝ａｌｎｘ（ｘ≥２）的图像，其中ａ是参数．请你选择适当的参数ａ，ｃ（即，选择ｘ＝２左右两侧适当的曲线）使得在ｘ＝２时上述两条曲线衔接，且在衔接点满足你所给出的光滑标准．参考答案：１．两条光滑曲线在衔接点是光滑的，就是衔接后的整条曲线在该点的切线存在．等价于原来的两条曲线在衔接点的切线重合，即两个函数在该点的导数相等．２．在直线ｘ＝２左侧的曲线ｙ＝ｘ２－ｘ＋ｃ（ｘ≤２）的导数是２ｘ－１，在ｘ＝２的值都是３，和参数值ｃ无关．在ｘ＝２右侧的曲线ｙ＝ａｌｎｘ（ｘ≥２）的导数是ａｘ，在ｘ＝２的值是ａ２．根据刚刚给出的定义，为了保证两条曲线衔接后在衔接点处是光滑的，要求这两个值相等，即要求ａ２＝３，解得ａ＝６．选择在直线ｘ＝２右边的曲线为函数ｙ＝６ｌｎｘ（ｘ≥２）的图像．由于ｘ＝２时的函数值为６ｌｎ２，所以两条·１４·网址：ｚｘｓｓ．ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ 电子邮箱：ｚｘｓｓ＠ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ应用与建模曲线的衔接点为（２，６ｌｎ２）．为使左边的曲线ｙ＝ｘ２－ｘ＋ｃ（ｘ≤２）也过点（２，６ｌｎ２），则选取ｃ，满足２２－２＋ｃ＝６ｌｎ２．解得ｃ＝６ｌｎ２－２．三、（满分２０分）２０１１年８月７日，Ｄ２２次列车（长春—北京动车组，经停站：长春—四平—铁岭—沈阳北—盘锦北—北戴河—滦县—北京）上的一位乘客记录下了列车运行全程的时刻与速度对应表如下（速度单位：千米／小时）：时刻１５：１８ １５：２５ １５：２６ １５：２７ １５：２８速度０１３０ １５８ １５６ １５４时刻１５：３０ １５：３１ １５：３２ １５：３３ １５：３５速度１５６ １６２ １６１ １５２ １６０时刻１５：３６ １５：３７ １５：３８ １５：４０ １５：４１速度１６１ １５７ １６１ １６１ １６１时刻１５：４２ １５：４３ １５：４５ １５：４６ １５：４７速度１６１ １６１ １５２ １６１ １６１时刻１５：４８ １５：５０ １５：５１ １５：５２ １５：５３速度１５５ １６０ １５７ １５９ １６０时刻１５：５５ １５：５６ １５：５７ １５：５８ １６：００速度１５６ １５６ １６０ １６１ １５６时刻１６：０１ １６：０４ １６：０５ １６：０６ １６：０８速度１５５ １３６ ６５ ３６ １２时刻１６：０９ １６：１０ １６：１２ １６：１３ １６：１５速度００４３ ７７ １１７时刻１６：１６ １６：１７ １６：１８ １６：２０ １６：２１速度１２６ １５６ １５５ １４４ １５６时刻１６：２２ １６：２３ １６：２５ １６：２６ １６：２７速度１５６ １５５ １５６ １５６ １５６时刻１６：２８ １６：３０ １６：３１ １６：３２ １６：３３速度１６０ １６０ １６１ １６１ １５８时刻１６：３５ １６：３６ １６：３７ １６：３８ １６：４０速度１６１ １５５ １６１ １６１ １６１时刻１６：４１ １６：４２ １６：４３ １６：４５ １６：４６速度１５６ １５６ １５６ １５６ １５６时刻１６：４７ １６：４８ １６：５０ １６：５６ １６：５７速度１５７ １５６ １４６ １０４ １０８时刻１６：５９ １７：００１７：０２ １７：０３ １７：０４速度３５ ０９２ １０９ １６１时刻１７：０６ １７：０７ １７：０８ １７：０９ １７：１１速度１５２ １６３ １６３ １５８ １６３时刻１７：１２ １７：１３ １７：１４ １７：１６ １７：１７速度１５８ １６２ １６３ ９８ １２４时刻１７：１８ １７：１９ １７：２１ １７：２２ １７：２３速度１６３ １３６ １２４ １５７ １５５时刻１７：２４ １７：２７ １７：２８ １７：３０ １７：３１速度１５５ １０６ ５６ ４１ ４３时刻１７：３２ １７：３３ １７：３５ １７：３６ １７：３７速度１０ ００３４ ４０时刻１７：３８ １７：３９ １７：４１ １７：４２ １７：４３速度４６ ５４ １２４ １５５ １５７时刻１７：４４ １７：４６ １７：４７ １７：４８ １７：４９速度１５８ １８４ ２２０ ２３８ ２３９时刻１７：５１ １７：５２ １７：５３ １７：５４ １７：５６速度２４０ ２３８ ２３８ ２４０ ２４０时刻１７：５７ １７：５８ １７：５９ １８：０１ １８：０２速度２３８ ２３９ ２３６ ２３８ ２３８时刻１８：０３ １８：０４ １８：０６ １８：０７ １８：０９速度２４０ ２３９ ２３９ ２２４ ２３９时刻１８：１１ １８：１２ １８：１３ １８：１４ １８：１６速度２３８ ２３９ ２３９ ２３５ ２３９时刻１８：１７ １８：２１ １８：２２ １８：２３ １８：２５速度２３９ １０８ ６６ ２５ ０时刻１８：２６ １８：２７ １８：２９ １８：３０ １８：３１速度６２ ９１ １５４ １９９ ２３０时刻１８：３２ １８：３４ １８：３５ １８：３６ １８：３７速度２３９ ２３９ ２２７ ２１６ ２２７时刻１８：３９ １８：４０ １８：４２ １８：４４ １８：４５速度２３８ ２３７ ２１６ ２１６ ２１８时刻１８：４６ １８：４７ １８：４９ １８：５０ １８：５１速度２１８ ２１７ ２１８ ２２３ ２１４时刻１８：５２ １８：５４ １８：５５ １８：５６ １８：５７速度２１８ ２３６ ２４０ ２１６ ２１３时刻１８：５９ １９：００１９：０１ １９：０２ １９：０４速度２０３ ２３８ ２３９ ２３７ ２３９时刻１９：０５ １９：０６ １９：０７ １９：０９ １９：１０速度２３９ ２３８ ２３９ ２３９ ２３９·２４·网址：ｚｘｓｓ．ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ 电子邮箱：ｚｘｓｓ＠ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ应用与建模时刻１９：１１ １９：４７ １９：４８ １９：５０ １９：５１速度２３９ １６３ ５４ ３４ ４时刻１９：５２ １９：５３ １９：５４ １９：５５ １９：５７速度０００００时刻１９：５８ １９：５９ ２０：０１ ２０：０２ ２０：０３速度０３８ ６８ ７２ １５５时刻２０：０４ ２０：０６ ２０：０７ ２０：０８ ２０：０９速度１５９ １５８ １６４ １６４ １６４时刻２０：１１ ２０：１２ ２０：１３ ２０：１４ ２０：１６速度１６１ １５８ １５８ １６４ １６４时刻２０：１７ ２０：１８ ２０：１９ ２０：２１ ２０：２２速度１５９ １６５ １６４ １５９ １５８时刻２０：２５ ２０：２７ ２０：２８ ２０：３０ ２０：３１速度１１７ ９７ ３８ ０２７时刻２０：３３ ２０：３４ ２０：３５ ２０：３６ ２０：３８速度１００ １０６ １０７ １５３ １６４时刻２０：３９ ２０：４０ ２０：４１ ２０：４３ ２０：４４速度１４７ １６３ １４８ １５３ １５９时刻２０：４５ ２０：４６ ２０：４８ ２０：４９ ２０：５０速度１６３ １６３ １５８ １５１ １５４时刻２０：５１ ２０：５３ ２０：５４ ２０：５５ ２０：５６速度１６３ １６４ １６３ １５９ １６５时刻２０：５８ ２０：５９ ２１：００２１：０１ ２１：０３速度２０３ ２０４ ２０４ ２０４ ２０４时刻２１：０４ ２１：０５ ２１：０６ ２１：０８ ２１：０９速度２０１ ２０４ ２０４ ２００ ２０３时刻２１：１０ ２１：１２ ２１：１３ ２１：１４ ２１：１５速度２０４ ２０４ ２０３ １８６ １９８时刻２１：１６ ２１：１８ ２１：１９ ２１：２０ ２１：２１速度１８８ ２０４ ２０４ ２０４ ２０４时刻２１：２３ ２１：２４ ２１：２５ ２１：２６ ２１：２８速度２０４ ２０２ ２０４ ２０３ ２０４时刻２１：２９ ２１：３０ ２１：３１ ２１：３３ ２１：３４速度２０４ ２０３ ２００ １３６ １１８时刻２１：３５ ２１：３６ ２１：３８ ２１：３９ ２１：４０速度１０５ １１９ １１９ １０４ １０９时刻２１：４１ ２１：４５ ２１：４６ ２１：４７ ２１：４９速度８６ １１４ ７０ ３９ ３８时刻２１：５０ ２１：５１ ２１：５２速度３１ ２７ １４根据这张数据表，请你回答下列问题：（１）Ｄ２２列车运行的总路程大概是多少？借助网络查阅一下具体的数值，如果有误差，请分析一下原因．（２）１９：１１～１９：４７时间段内列车没有显示数据，因此数据缺失．请推算一下，此间的平均速度．（３）画出列车在不同时间运行的速度曲线，描述列车全程的运行动态．参考解答：（１）设时间为ｔ，ｔ时刻的速度为ｖ（ｔ），Ｄ２２次列车经停站为长春、四平、铁岭、沈阳北、盘锦北、北戴河、滦县、北京，将这些站分别记作Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，相邻经停站间的距离分别记为｜ＡＢ｜，｜ＢＣ｜，｜ＣＤ｜，｜ＤＥ｜，｜ＥＦ｜，｜ＦＧ｜，｜ＧＨ｜．方法１：将总路程分为七段，求出每一段内记录下的所有ｍ个速度值的和，在用这个和除以ｍ得到商，把这个值当做这一段的平均速度．这七段的平均速度分别为：１４２．９１８９，１３８．２２８６，１２０．４８００，１８６．３４２１，１９６．０７３２，１３０．６０８７，１５３．０３１３．再根据记录中这七段前后的两个时刻得到每一段行车用时，进而得到这七段的距离分别为｜ＡＢ｜＝１２８．６２７０，｜ＢＣ｜＝１１５．１９０５，｜ＣＤ｜＝６６．２６４０，｜ＤＥ｜＝１５５．２８５１，｜ＥＦ｜＝２８４．３０６１，｜ＦＧ｜＝６９．６５８０，｜ＧＨ｜＝２０９．１４２７．于是Ｄ２２次列车运行的总路程为ｄ１＝１０２８．５千米．方法２：（积分的思想），将所给相邻两个时刻间作为一小段时间，用这小段时间末端的速度当作这小段区间上的平均速度，即设区间［ｔ（ｉ），ｔ（ｉ＋１）］上的平均速度为ｖ（ｉ＋１），由此计算出Ｄ２２次列车运行的总路程为ｄ２＝１０５３．９千米．方法３：（积分的思想），将所给相邻两个时刻间作为一小段时间，用这小段时间前端的速度当作这小段区间上的平均速度，即设区间［ｔ（ｉ），ｔ（ｉ＋１）］上的平均速度为ｖ（ｉ），由此计算出Ｄ２２次列车运行的总路程为ｄ３＝１０４３．２千米．方法４：（积分的思想），将所给相邻两个时刻间作为一小段时间，用区间端点的平均速度当作这小段区间上的平均速度，即设区间［ｔ（ｉ），ｔ（ｉ＋１）］上的平均速度为ｖ（ｉ）＋ｖ（ｉ＋１）２，由此计算出Ｄ２２次列车运行·３４·网址：ｚｘｓｓ．ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ 电子邮箱：ｚｘｓｓ＠ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ应用与建模的总路程为ｄ４＝１０４８．６千米．网络数据：长春到北京的火车距离为ｄ＝１００３千米．距离误差百分比定义为｜ｄｉ＋ｄ｜ｄ．上述四种算法的距离误差百分比分别为０．０２５４，０．０５０８，０．０４０１，０．０４５４．误差原因分析：数据的误差可能来源于数据缺失，另一个重要原因是所估计的平均速度的误差使得结果出现较大误差，速度区间的划分是比较关键的因素．误差可能的原因为平均速度的假设过于粗糙，间隔大的数据对结果有影响．（２）我们选用第一种距离估算方法，来研究１９：１１～１９：４７时间段内的缺失数据，假设缺失数据是导致总体距离误差的主要因素．列车实际距离为精确的１００３千米，按照第一种算法可估算出距离为１０２８．５千米，多走了２５．５千米．该时间段经历时间为３６分钟．用第一种算法估计的平均速度为１９６．０７３２千米／小时，于是知道这段缺失数据对应的更为准确的平均速度ｖ满足（１９６．０７３２－ｖ）·３６／６０＝２５．５，解得ｖ＝１４７．５７３２千米／小时．由此看出在这个时间段内有减速现象更为准确．由第二种估计方法，得此段的平均速度ｖ满足（１６３－ｖ）×３６／６０＝１０５３．９－１００３，解得ｖ＝７８千米／小时．由第三种估计方法估计此段的平均速度ｖ满足（２３９－ｖ）×３６／６０＝１０４３．２－１００３，解得ｖ＝１７２千米／小时．由第四种估计方法估计此段的平均速度ｖ满足（（１６３＋２３９）／２－ｖ）×３６／６０＝１０４８．６－１００３，解得ｖ＝１２５千米／小时．（３）时间－速度图像如图１：１列车运行过程中因为有停靠站，共有七段运行过程．在前三段基本为一个较慢的恒速：１６５千米／小时；第三、四段运行在较高的速度上：２３９千米／小时；第六段和第七段的大约前四分之一又回到了较慢的１６５千米／小时；第七段的中间时段（约占第七段的一半）的速度大约是２０４千米／小时；第七段的后四分之一是逐渐减速．图２四、（满分２０分）ＡＯＢＤ是从密度均匀、薄厚一致、半径为ｒ的圆形纸板上剪下来的开角为２θ的扇形纸板，ＯＤ为对称轴．已知这块扇形纸板的重心Ｃｓｅｃ位于距离圆心Ｏ为２ｒ３ｓｉｎθθ的位置．请你确定弓形纸板ＡＢＤ的重心位置，即给出一个用ｒ和θ表示的数学模型．参考解答：由图可知，扇形ＯＡＤＢ是关于ＯＤ对称的．因此扇形的重心应位于ＯＤ上，则重心在距离点Ｏ为ｘｓｅｃ＝２ｒ３ｓｉｎθθ的点Ｃｓｅｃ处．扇形ＯＡＤＢ可以分为三角形ＯＡＢ和弓形ＡＤＢＥ两部分．又知三角形ＯＡＢ的重心位于对称轴ＯＤ上，与点Ｏ的距离为ｘｔｅｉ＝２３ｒｃｏｓθ的点Ｃｔｒｉ处．显然弓形的重心Ｃｓｅｇ也应该在半径ＯＤ上．设该点据圆心Ｏ点的距离为ｘｓｅｇ．根据假设，可知这三个重心的位置应与这个扇形以及组成它的三角形和弓形的面积有关．有关系Ａｔｒｉ（Ｃｓｅｃ－Ｃｔｒｉ）＝Ａｓｅｇ（Ｃｓｅｇ－Ｃｓｅｃ），或者有Ａｔｒｉ（ｘｓｅｃ－ｘｔｒｉ）＝Ａｓｅｇ（ｘｓｅｇ－ｘｓｅｃ）．式中Ａｔｒｉ、Ａｓｅｇ分别表示三角形和弓形的面积．显然如果用Ａｓｅｃ表示扇形的面积，应该有Ａｓｅｃ＝Ａｔｒｉ＋Ａｓｅｇ．由此，前面的式子就可以改写成Ａｓｅｇ·ｘｓｅｇ＝Ａｓｅｃ·ｘｓｅｃ－Ａｔｒｉ·ｘｔｒｉ，由此解得ｘｓｅｇ＝Ａｓｅｃｘｓｅｃ－ＡｔｒｉｘｔｒｉＡｓｅｇ，·４４·网址：ｚｘｓｓ．ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ 电子邮箱：ｚｘｓｓ＠ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ应用与建模不难算出Ａｓｅｃ＝πｒ２θ／π＝ｒ２θ，Ａｔｒｉ＝ｒ２ｓｉｎθｃｏｓθ．由此可得Ａｓｅｇ＝ｒ２（θ－ｓｉｎθｃｏｓθ）．代入上面的公式可以算出ｘｓｅｇ＝２ｒ３ｓｉｎ３θθ－ｓｉｎθｃｏｓθ．五、（满分２０分）生物学家认为，正在休息时的温血动物体内消耗的能量就是为了保持其体温．体内消耗的能量Ｅ与通过心脏的血流量Ｑ成正比，体重与体积成正比．已知一些动物的体重与脉搏率如表１所示：表１ 一些动物的体重和脉搏率动物名体重（克）脉搏率（心跳次数／分钟）鼠２５ ６７０大鼠２００ ４２０豚鼠３００ ３００兔２０００ ２０５小狗５０００ １２０大狗３００００ ８５羊５００００ ７０马４５００００ ３８ （１）请你根据上面提供的生物学家的认识，给出血流量与体重关系的数学模型．（２）从表１可以看到，体重Ｗ越轻的动物脉搏率ｆ越高．请通过各量之间的比例关系，建立脉搏率与体重关系的数学模型．（３）根据表１，作出动物的体重和脉搏率的散点图，验证你建立的数学模型．名词解释：血流量Ｑ是单位时间流过的血量，脉博率ｆ是单位时间心跳的次数．假设：心脏每次收缩挤压出来的血量ｑ与心脏大小成正比，动物的心脏大小与其体积大小成正比．参考解答：（１）因为动物体温通过身体表面散发热量．表面积越大，散发的热量越多，为保持体温需要的能量越大，所以动物体内消耗的能量Ｅ与其表面积Ｓ成正比．即Ｅ＝ｐ１Ｓ．又已知动物体内消耗的能量Ｅ与通过其心脏的血流量Ｑ成正比，即Ｅ＝ｐ２Ｑ．因此得Ｑ＝ｐＳ．另一方面，因为体积Ｖ与体重Ｗ成正比，可表为Ｖ＝ｒ１Ｗ．而表面积Ｓ大约与体积Ｖ的三分之二次方成正比，可表为Ｓ＝ｒ２Ｖ２３．因此得Ｓ＝ｒＷ２３．所以血流量与体重关系模型：Ｑ＝ｋ·Ｗ２３．（２）根据定义，有ｆ＝Ｑｑ．又根据假设，有ｑ＝ｃＷ．再由（１）的结论Ｑ＝ｋ·Ｗ２３和ｆ＝Ｑｑ，得ｆ＝Ｑｑ＝ｋＷ２３ｃＷ，也就是ｆ＝ｋＷ１３．这个脉搏率与体重关系的模型说明，温血动物的体重越大，脉搏率越底．脉搏率与体重的三分之一次方成反比．（３）表１的数据基本上反映了这个反比例的关系．图３是原始数据的散点图，图４是以ｌｎ（Ｗ）和ｌｎ（ｆ）为坐标的散点图．图３ 脉搏率ｆ与体重Ｗ的散点图图４ 对数坐标下脉搏率ｆ与体重Ｗ的散点图·５４·。
2021 年全国中学生数学奥林匹克竞赛(初赛)暨2021年全国高中数学联合竞赛一试试题
2021年全国中学生数学奥林匹克竞赛（初赛）暨2021年全国高中数学联合竞赛一试试题（A2卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．若等比数列}{n a 满足2,33121=-=-a a a a ，则}{n a 的公比为．2．函数x x x f 22tan sin 2)(-=的最大值为．3．若圆锥的高为5，侧面积为π30，则该圆锥的体积为．4．在边长为1的正六边形的六个顶点中随机取出三个顶点，则这三点中有两点的距离为3的概率为．5．复数10021,,,z z z 满足：i 231+=z ，z z n =+1·i )99,,2,1( =n n （i 为虚数单位），则10099z z +的值为．6．定义域为R 的函数)(x f 满足：当)1,0[∈x 时，x x f x -=2)(，且对任意实数x ，均有1)1()(=++x f x f ．记3log 2=a ，则表达式)3()2()(a f a f a f ++的值为．7．设集合}10,,3,2,1{ =S ，S 的子集A 满足∅≠}3,2,1{ A ，S A ≠}6,5,4{ ，这样的子集A 的个数为．8．在平面直角坐标系xOy 中，1Γ是以)1,2(为圆心的单位圆，2Γ是以)11,10(为圆心的单位圆．过原点O 作一条直线l ，使得l 与21,ΓΓ各有两个交点，将21,ΓΓ共分成四段圆弧，且这四段圆弧中有两段等长．所有满足条件的直线l 的斜率之和为．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）已知ABC ∆满足1cos cos ,2,1=+==C B AC AB ，求BC 边的长．10．（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x ．设A 为Γ的一个长轴端点，B 为F 的一个短轴端点，F 为Γ的一个焦点．已知Γ上存在关于O 对称的两点Q P ,，使得2··AB FB FA FQ FP =+．)1(证明：焦点F 在AO 的延长线上；)2(求Γ的离心率的取值范围．11．（本题满分20分）设b a ,为实数，函数bx ax x x f ++=23)(．若存在三个实数321,,x x x 满足11321-≤≤+x x x ，且)()()(321x f x f x f ==，求b a 2+的最小值.金华一中高一数竞ZR。
2020年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及答案
2020年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及答案一、选择题（满分36分）1. 满足条件f(x2)=[f(x)]2的二次函数是A. f(x)=x2B. f(x)=ax2+5C. f(x)=x2+xD. －x2+20042. 在R上定义的函数y=sinx、y=sin2004、、中，偶函数的个数是A. 0B. 1C. 2D. 33. 恰有3个实数解，则a等于A. 0B. 0.5C. 1D.4. 实数a、b、c满足a+b>0、b+c>0、c+a>0，f(x)是R上的奇函数，并且是个严格的减函数，即若x1<x2，就有f(x1)>f(x2)，则A. 2f(a)+f(b)+f(c)=0B. f(a)+f(b)+f(c)<0C. f(a)+f(b)+f(c)>0D. f(a)+2f(b)+f(c)=20045. 已知a、b、c、d四个正整数中，a被9除余1，b被9除余3，c 被9除余5，d被9除余7，则一定不是完全平方数的两个数是A. a、bB. b、cC. c、dD. d、a6. 正实数列a1，a2，a3，a4，a5中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，且公比不等于1，又a3，a4，a5的倒数成等比数列，则A. a1，a3，a5成等比数列B. a1，a3，a5成等差数列C. a1，a3，a5的倒数成等差数列D. 6a1，3a3，2a5的倒数成等比数列二、填空题（满分64分）1. 已知，试确定的值。
2. 已知a=1+2+3+4+…+2003+2004，求a被17除的余数。
3. 已知，若ab2≠1，且有，试确定的值。
4. 如图所示，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在等腰直角三角形DEF的斜边DF上，E在△ABC的斜边AB上，如果凸四边形ADCE的面积等于5平方厘米，那么凸四边形ABFD的面积等于多少平方厘米？5. 若a，b∈R，且a2+b2=10，试确定a－b的取值范围。
2021年全国中学生数学奥林匹克竞赛初赛加试A卷参考答案及评分标准
2021年全国中学生数学奥林匹克竞赛（初赛）暨2021全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分40分）给定正整数(2)k k 与k 个非零实数12,,,k a a a ．证明：至多有有限个k 元正整数组12(,,,)k n n n ，满足12,,,k n n n 互不相同，且1122!!!0k k a n a n a n ．证明：取定正整数121min k i i ka a a N a （注意12,,,0k a a a ）． 我们证明，当正整数12,,,k n n n 满足条件时，必有1max i i kn N ． 假设不然，不妨设11max i i kn n N ．对2,,i k ，由于正整数1i n n ，故 1111!!!(1)!i n n n n n N． ……………20分 从而1122221!!!!!kk k k k i i i i i i i n n a n a n a n a a N N 1111min !!i i k a n a n ， 但221111!!=!!k k a n a n a n a n ，矛盾．所以，满足条件的正整数组12(,,,)k n n n 至多有k N 组．本题得证．……………40分二．（本题满分40分）如图所示，在ABC 中，M 是边AC 的中点，,D E 是ABC 的外接圆在点A 处的切线上的两点，满足//MD AB ，且A 是线段DE 的中点，过,,A B E 三点的圆与边AC 相交于另一点P ，过,,A D P 三点的圆与DM 的延长线相交于点Q ．证明：BCQ BAC ．证明：取BC 边的中点N ，则,,,D M Q N 共线，且//MN AB ．由弦切角定理可知DAM CBA CNM ．又AMD NMC ，故AMD NMC ∽．因此NM AM NC AD． ① ……………10分由已知条件，,,,A D P Q 四点共圆，故APQ ADQ ADM ACB ，因此//PQ BC ．于是NQ CP NM CM． ② 结合①、②以及AD AE 可得NQ NQ NM CP AM CP CP NC NM NC CM AD AD AE， 即有NQ CP NC AE． ③ ……………20分由弦切角定理可知BAE BCA BCP ．又,,,A P B E 四点共圆，故BEA BPC ．因此BAE BCP ∽ ．于是ACP AE BC B ，结合③可得 NQ BC NC BA． ……………30分 又//MN AB ，故CNQ ABC ．所以CNQ ABC ∽．从而NCQ BAC ，即BCQ BAC ． ……………40分三．（本题满分50分）设整数4n ．证明：若n 整除22n ，则22n n是合数．证明：将整数22n n记为y ． 若n 为奇数，则由22n 为偶数知y 为偶数．又4n ，故222n n，从而y 是合数．……………10分 以下考虑n 为偶数的情形，设2(1)n m m ． 因22122212m m y m m 为整数，故m 为奇数． 设 是2模m 的阶，则m ，且|21m （因为21|21m m ）． 设21m r ，由21m m 知1r ． (1) 若21m ，因|21m ，故21m ．此时212121212121m r r y m m m， 因1r ，故这是两个大于1的整数之积，为合数． ……………20分(2) 若21m ，则2(21)121m r ．由1m 知1 ，故123r ． ①因21|21,21|21r r r ，故21r 是[21,21]r 的倍数，即 (21)(21)21(21,21)r r r ， 注意到(,)(21,21)21r r ，故(,)(21)(21)(21)(21)r r r ．因此21(,)(,)2121(21)(21)2121(21)(21)21m r r r r r r y m ， ② 为两个整数之积． ……………40分因r （见①），故(,)212112121r r r ．又2 ，故 (,)22(21)(21)(21)121211(21)(21)(21)(21)(21)(21)21r r r r r r r r r r ． 因此②表明y 是两个大于1的整数之积，为合数．综上，结论得证． ……………50分四．（本题满分50分）求具有下述性质的最小正数c ：对任意整数4n ，以及集合{1,2,,}A n ，若A cn ，则存在函数:{1,1}f A ，满足()1a Af a a ．解：所求最小的23c ． 首先，当6,{1,4,5,6}n A 时，不存在满足要求的f （因为A 的元素和为16，且A 不能划分为两个元素和均为8的子集的并）．此时23A n ，故23c 不具有题述性质． ……………10分 下面证明23c 符合要求，即当23A n 时，存在满足要求的f ． 引理：设12,,,m x x x 是正整数，总和为s ，且2s m ，则对任意整数[0,]x s ，存在指标集{1,2,,}I m ，满足i i Ix x （对空指标集求和认为是零）．引理的证明：对m 归纳证明．1m 时，只能11x s ，结论显然成立．假设1m ，且结论在1m 时成立．不妨设12m x x x ，则1211211()22(1)m m m m x x x x x x m m m m． ①又由于1211m x x x m ，因此 1211m m x m x x x ． ② 对任意整数[0,]x s ，若121m x x x x ，由①及归纳假设知存在指标集{1,,1}I m ，使得i i I x x ．若1211m x x x x ，则对m x x 用归纳假设（由②知0m x x ），存在指标集{1,,1}I m ，使得i m i Ix x x ．此时指标集{}{1,2,,}I I m m 满足i i I x x ．引理获证． ……………20分回到原问题．注意到4n ，分两种情形讨论． (1) A 为偶数，设2A m ．将A 中元素从小到大依次记为1122m m a b a b a b ．令0,1i i i x b a i m ，则11111()()1(1)2m m i m i i i i s x b a a b n m n m m （这里利用了223m A n ）．从而12,,,m x x x 满足引理的条件． 取[0,]2s x s ，利用引理可知存在{1,2,,}I m ，使得2i i I s x ，令 1,,1,{1,2,,}\,i i I i n I 则11()2{0,1}222m mi i i i i i i s s s b a x s s ， 从而结论成立（只需令(),()i i i i f a f b 即可）． ……………30分 (2) A 为奇数，设21A m ，则1m ．将A 中元素从小到大依次记为 11m m a a b a b ．令0,1i i i x b a i m ，同情形(1)可知122m s x x x m ，又显然有s m ．由于2213m A n ，故31n m ．从而 211a n m m s ． ……………40分 因12,,,m x x x 满足引理的条件，对12,,,m x x x 及[0,]2a s x s 用引理，可知存在{1,2,,}I m ，使得2i i I a s x x ．令 1,,1,{1,2,,}\,i i I i n I 则1mi i i i i i I i Ia x a x x ()a x s x 2()12a s a s ， 从而结论成立（只需对i I ，令()1,()1i i f a fb ，对{1,2,,}\i n I ，令()1,()1i i f a f b ，并令()1f a 即可）． ……………50分。
2021年全国中学生数学奥林匹克竞赛试题及解答（初赛）
2021年全国中学生数学奥林匹克竞赛试题及解答（初赛）
NATIONAL DAY
共谱盛世华章
如今已然山河锦绣，国泰民安，这浩浩山河长治久安，盛世中华正如故人所想，所有风雨都同舟，所有言茶不言酒，所有故地与漂游，故事里的春与秋，都在脚下这片土地找到了。
最耀眼的星星，是五星红旗的光芒。
受疫情影响，江苏、河南2021数学高联延期到今日举行，12点30分考试结束。
在高联中取得省队的选手可以参加国决，争夺60个保送清北的国集名额，以及强基计划破格入围的资格
来段舞蹈放松一下。
2020年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及答案
2020年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及答案一、填空题（满分64分）1. 已知，试确定的值。
2. 已知a=1+2+3+4+…+2003+2004，求a被17除的余数。
3. 已知，若ab2≠1，且有，试确定的值。
4. 如图所示，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在等腰直角三角形DEF的斜边DF上，E在△ABC的斜边AB上，如果凸四边形ADCE的面积等于5平方厘米，那么凸四边形ABFD的面积等于多少平方厘米？5. 若a，b∈R，且a2+b2=10，试确定a－b的取值范围。
6. a和b是关于x的方程x4+m=9x2的两个根，且满足a+b=4，试确定m的值。
7. 求cos20°cos40°cos60°cos80°的值。
8. 将2004表示为n个彼此不等的正整数的和，求n的最大值。
初赛答案表选择题：ADCBBA；填空题：1、－0.5 2、13、－14、105、[ ，]6、49/47、1/168、62二、选择题（满分36分）1. 满足条件f(x2)=[f(x)]2的二次函数是A. f(x)=x2B. f(x)=ax2+5C. f(x)=x2+xD. －x2+20042. 在R上定义的函数y=sinx、y=sin2004、、中，偶函数的个数是A. 0B. 1C. 2D. 33. 恰有3个实数解，则a等于A. 0B. 0.5C. 1D.4. 实数a、b、c满足a+b>0、b+c>0、c+a>0，f(x)是R上的奇函数，并且是个严格的减函数，即若x1<x2，就有f(x1)>f(x2)，则A. 2f(a)+f(b)+f(c)=0B. f(a)+f(b)+f(c)<0C. f(a)+f(b)+f(c)>0D. f(a)+2f(b)+f(c)=20045. 已知a、b、c、d四个正整数中，a被9除余1，b被9除余3，c被9除余5，d被9除余7，则一定不是完全平方数的两个数是A. a、bB. b、cC. c、dD. d、a6. 正实数列a1，a2，a3，a4，a5中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，且公比不等于1，又a3，a4，a5的倒数成等比数列，则A. a1，a3，a5成等比数列B. a1，a3，a5成等差数列C. a1，a3，a5的倒数成等差数列D. 6a1，3a3，2a5的倒数成等比数列。
北京市高一数学初赛试题与答案
北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答选择题答案填空题答案一、选择题1．集合A ={2, 0, 1, 7}，B ={x | x 2−2∈A , x −2∉A }，则集合B 的所有元素之积为 （A ）36．（B ）54． （C ）72．（D）108． 答：A ．解：由x 2−2∈A，可得x 2=4，2，3，9，即x =±2，，±3． 又因为x −2∉A ，所以x ≠2，x ≠3，故x = −2，，−3． 因此，集合B ={−2, ,，−3}．所以，集合B 的所有元素的乘积等于(−2)()(−3)=36． 2．已知锐角△ABC 的顶点A 到它的垂心与外心的距离相等，则tan(2BAC∠)= （A（B ）． （C ）1． （D ． 答：A ．解：作锐角△ABC 的外接圆，这个圆的圆心O 在形内，高AD ，CE 相交于点H ，锐角△ABC 的垂心H 也在形内．连接BO 交⊙O 于K ，BK 为O e 的直径. 连接AK ，CK ．因为AD ，CE 是△ABC 的高，∠KAB ，∠KCB 是直径BK 上的圆周角，所以∠KAB =∠KCB =90°．于是KA//CE KC//AD ，因此AKCH 是平行四边形．所以KC =AH =AO =12BK ． 在直角△KCB 中，由KC =12BK ，得∠BKC =60°，所以∠BAC =∠BKC =60°． 故tan(2BAC∠)= tan30°3．将正奇数的集合{1, 3, 5, 7, …}从小到大按第n 组2n −1个数进行分组：{1}，{3, 5, 7}，{9, 11, 13, 15, 17}，…，数2017位于第k 组中，则k 为（A ）31． （B ）32． （C ）33． （D ）34． 答：B.解：数2017是数列a n = 2n −1的第1009项．设2017位于第k 组，则1+3+5+…+(2k −1)≥1009，且1+3+5+…+(2k −3)＜1009．即k 是不等式组221009(1)1009k k ⎧≥⎨-<⎩的正整数解，解得k =32，所以2017在第32组中． 4．如图，平面直角坐标系x -O -y 中，A , B 是函数y =1x在第I 象限的图象上两点，满足∠OAB =90°且AO = AB ，则等腰直角△OAB 的面积等于（A ）12． （B ）2． （C）2． （D）2．答：D ．解：依题意，∠OAB =90°且AO = AB ，∠AOB =∠ABO =45°．过点A 做y 轴垂线交y 轴于点C ，过点B 做y 轴平行线，交直线CA 于点D ．易见△COA ≌△DAB ．设点A (a ,1a )，则点B (a +1a , 1a− a )． 因为点B 在函数y =1x 的图象上，所以(a +1a )(1a− a )=1，即21a− a 2=1． 因此S △ABC =12OA 2=12(21a + a 2) =122=． 5．已知f (x ) = x 5 + a 1x 4 + a 2x 3 + a 3x 2 + a 4x + a 5，且当m =1, 2, 3, 4时，f (m )=2017m ，则f (10)−f (−5)=（A ）71655． （B ）75156． （C ）75615． （ D ）76515．答：C ．解：因为 当m =1, 2, 3, 4时，f (m )=2017m ，所以1, 2, 3, 4是方程f (x )−2017x =0的四个实根，由于5次多项式f (x )−2017x 有5个根，设第5个根为p ，则f (x )−2017x = (x −1)(x −2)(x −3)(x −4)(x −p )即 f (x ) = (x −1)(x −2)(x −3)(x −4)(x −p )+2017x ．所以f (10)=9×8×7×6(10−p )+2017×10，f (−5)=−6×7×8×9(5+p )−2017×5， 因此f (10)− f (−5)=15(9×8×7×6+2017)=75615．6．已知函数2||,,()42,.x x a f x x ax a x a ≤⎧=⎨-+>⎩若存在实数m ，使得关于x 的方程f (x )=m有四个不同的实根，则a 的取值范围是（A ）17a >． （B ）16a >． （C ）15a >． （D ）14a >． 答：D ．解：要使方程f (x )=m 有四个不同的实根，必须使得y =m 的图像与y =f (x )的图像有4个不同的交点．而直线与y =|x |的图像及二次函数的图像交点都是最多为两个，所以y =m 与函数y =|x |, x ≤a 的图像和y =x 2−4ax +2a , x ＞a 的图像的交点分别都是2个．而存在实数m ，使y =m 与y =|x |, x ≤a 的图像有两个交点，需要a ＞0，此时0＜m ≤a ；又因为y =x 2−4ax +2a , x ＞a 顶点的纵坐标为242(4)4a a ⨯-，所以，要y =m 与y =x 2−4ax +2a ,x ＞a 的图像有两个交点，需要m ＞242(4)4a a ⨯-．因此y =m 的图像与y =f (x )的图像有4个不同的交点需要满足：0＜m ≤a 且m ＞242(4)4a a ⨯-，解得14a >．二、填空题1. 用[x ]表示不超过x 的最大整数，设S =++++L ，求的值． 答：24．解：因为12≤1, 2, 3＜22，所以1, ＜2，因此1===，共3个1；同理，22≤4, 5, 6, 7, 8＜32，因此，2=====，共5个2；又32≤9, 10, 11, 12, 13, 14, 15＜42，因此3===K ，共7个3；依次类推，4=====K ，共9个4；5=====K ，共11个5；6=====K ，共13个6；7=====K ，共15个7；8=====K ，共17个8；9=====K ，共19个9.S= (++)+(++++)+…+(++L ) = 1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7×15+8×17+9×19=615．因为242=576＜615=S ＜625=252，即2425，所以，．2．确定(201721log 2017×201741log 2017×201781log 2017×2017161log 2017×2017321log 2017)15的值．答：8． 解：原式=(20172017log 2×20172017log 4×20172017log 8×20172017log 16×20172017log 32)15=(2×4×8×16×32)15= (21×22×23×24×25)15=(21+2+3+4+5)15=(215)15=23=8．3．已知△ABC 的边ABBCCA厘米，求△ABC 的面积． 答：9.5平方厘米．解：注意到13=32+22，29=52+22，34=52+32，作边长为5厘米的正方形AMNP ，分成25个1平方厘米的正方形网格，如图．根据勾股定理，可知，AB厘米，BCCA=米，因此△ABC 的面积可求．△ABC 的面积=5×5−12×3×5−12×2×5−12×2×3=9.5（平方厘米）．4.设函数22(1))()1x x f x x ++=+的最大值为M ，最小值为N ，试确定M +N的值．答：2．解：由已知得()1f x =+因为)())(())]x x x x ++-=--=22ln(()1())ln10x x -+--==，所以()))x x -=-，因此，)x +是奇函数．进而可判定，函数()g x =为奇函数． NA MBP则g (x )的最大值M 1和最小值N 1满足M 1+N 1= 0． 因为M =M 1+1，N = N 1+1，所以 M + N = 2．5．设A 是数集{1, 2, …, 2017}的n 元子集，且A 中的任意两个数既不互质，又不存在整除关系，确定n 的最大值．答：504．解：在数集{1, 2, …, 2017}中选取子集，使得子集中任意两个数不互质，最大的子集是偶数集{2, 4, …, 2016}共1008个元素，但其中，有的元素满足整除关系，由于1010的2倍是2020，所以集合A ={1010, 1012, 1014, …, 2016}中，任意两个数既不互质，又不存在整除关系，A 中恰有504个元素．事实上504是n 的最大值．因为若从{1009, 1011, …, 2017}中任取一个奇数，会与A 中的与它相邻的偶数互质；若从{1, 2, 3, …, 1008}中任取一数，则它的2倍在A 中，存在整除关系．6．如图，以长为4厘米的线段AB 的中点O 为圆心、2厘米为半径画圆，交AB 的中垂线于点E 和F . 再分别以A 、B 为圆心，4厘米为半径画圆弧交射线AE 于点C ，交射线BE 于点D . 再以E 为圆心DE 为半径画圆弧»DC，求这4条实曲线弧连接成的“卵形”¼AFBCDA 的面积．（圆周率用π表示，不取近似值）答：(12−)π−4平方厘米． 解：半圆(O , 2)的面积=12π×22=2π． 因为AO=OB =2，所以AB=AC=BD =4，AE =BE，ED =EC =4−． 又∠AEB =∠CED =90°，∠EAB =∠EBA =45°，因此，扇形BAD 的面积=扇形ACB 的面积=18π×42=2π，△AEB 的面积=12×4×2=4，直角扇形¼EDC的面积=14π(4−)2= 6π−， 卵形¼AFBCDA 的面积 = 半圆(O , 2)的面积+扇形BAD 的面积+扇形ACB 的面积 −△AEB 的面积+直角扇形¼EDC的面积 = 2π+2×2π−4+6π−= (12−)π−4（平方厘米）．7. 已知22()1005000x f x x x =-+，求f (1)+f (2)+…+f (100)的值．答：101．解：设g (x ) = x 2−100x +5000，则BFADCEOg (100−x ) = (100−x )2−100(100−x )+5000=1002−200x +x 2−1002+100x +5000= x 2−100x +5000= g (x )，即 g (k ) = g (100−k )．所以 f (k ) + f (100−k ) =22(100)()(100)k k g k g k -+- =22(100)()k k g k +-=2， 又 f (50) =2250=150100505000-⨯+， f (100)22100==2.1001001005000-⨯+ 所以， f (1)+ f (2)+…+ f (100)= (f (1)+ f (99))+ (f (2)+ f (98))+…+ (f (49)+ f (51))+ f (50)+ f (100) = 2×49+1+2=101．8．如图，在锐角△ABC 中，AC = BC = 10，D 是边AB 上一点，△ACD 的内切圆和△BCD 的与BD 边相切的旁切圆的半径都等于2，求AB 的长．答：解：线段AB 被两圆与AB 的切点及点D 分成四段，由于两圆半径相等，再根据切线长定理，可知中间两段相等，于是可将这四段线段长度分别记为a , b , b , c ，由于圆O 2的切线长CE = CG ，所以BC +a = CD +b = (AC −c +b )+b ，而AC = BC ，所以a +c = 2b ．由等角关系可得△AO 1F ∽△O 2BE ，得12O F BEAF O E=，即22ac =，由此推出ac = 4． 分别计算△BCD 和△ACD 的面积：12(),2BCD S BC CD BD ∆=⨯+-12()2ACD S AC CD AD ∆=⨯++所以24ACD BCD S S AD BD AB a c b b ∆∆-=+==++=. ①又设由C 引向AB 的高为h ，可得1()2ACD BCD S S c a h ∆∆-=-=② 由①、②两式可得4b =将a +c = 2b ，ac = 4代入，化简得42251000b b -+=解得b 2=5或b 2=20，即b或b= 2（负根舍）． 于是，AB = a +c +2b = 4bAB．若ABABC 为钝角三角形，不合题设△ABC 是锐角三角形的要求．DACBD A C B EG FO 1 O 2 · a b b c·所以AB的长为。
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2021年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及答案
一、填空题（满分64分）
1. 已知，试确定的值。
2. 已知a=1+2+3+4+…+2003+2004，求a被17除的余数。
3. 已知，若ab2≠1，且有，试确定的值。
4. 如图所示，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在等腰直角三角形DEF的斜边DF上，E在△ABC的斜边AB上，如果凸四边形ADCE的面积等于5平方厘米，那么凸四边形ABFD的面积等于多少平方厘米？
5. 若a，b∈R，且a2+b2=10，试确定a－b的取值范围。
6. a和b是关于x的方程x4+m=9x2的两个根，且满足a+b=4，试确定m的值。
7. 求cos20°cos40°cos60°cos80°的值。
8. 将2004表示为n个彼此不等的正整数的和，求n的最大值。
初赛答案表
选择题：ADCBBA；填空题：1、－0.5 2、1
3、－1
4、10
5、[ ， ]
6、49/4
7、1/16
8、62
二、选择题（满分36分）
1. 满足条件f(x2)=[f(x)]2的二次函数是
A. f(x)=x2
B. f(x)=ax2+5
C. f(x)=x2+x
D. －x2+2004
2. 在R上定义的函数y=sinx、y=sin2004、、中，偶函数的个数是
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
3. 恰有3个实数解，则a等于
A. 0
B. 0.5
C. 1
D.
4. 实数a、b、c满足a+b>0、b+c>0、c+a>0，f(x)是R上的奇函数，并且是个严格的减函数，即若x1<x2，就有f(x1)>f(x2)，则
A. 2f(a)+f(b)+f(c)=0
B. f(a)+f(b)+f(c)<0
C. f(a)+f(b)+f(c)>0
D. f(a)+2f(b)+f(c)=2004
5. 已知a、b、c、d四个正整数中，a被9除余1，b被9除余3，c被9除余5，d被9除余7，则一定不是完全平方数的两个数是
A. a、b
B. b、c
C. c、d
D. d、a
6. 正实数列a1，a2，a3，a4，a5中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，且公比不等于1，又a3，a4，a5的倒数成等比数列，则
A. a1，a3，a5成等比数列
B. a1，a3，a5成等差数列
C. a1，a3，a5的倒数成等差数列
D. 6a1，3a3，2a5的倒数成等比数列。