第六章刚体的基本运动和点的复合运动(更新)

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理论力学6—刚体的基本运动

34.8
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
1、角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
dj
ww
dt

大小
角速度矢沿轴线，弯向表示刚体转动的方向。
指向用右手螺旋法则。
w wk
角加速度矢量

dw dw

k k
dt
dt
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
2

例6-6
某定轴转动刚体通过点M0（2，1，3），其角速度矢w 的方向
余弦为0.6，0.48，0.64，角速度的大小ω=25rad/s 。求：刚体上点
M（10，7，11）的速度矢。
解：角速度矢量
w wn
其中 n （0.6，0.48，0.64）
M点相对于转轴上一点M0的矢径
r rM rM0 10,7,11 2,1,3 8,6,8
Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求减速箱的总减速比i13 ；(b)如
果n1=3000r/min，求n3.
1
n1
2
n2
3
n3
4
解：求传动比：
n1 n1 n2 Z 2 Z 4
i13
34.8
n3 n2 n3 Z1 Z 3
则有：
n1 3000
n3

86r / min
i13
4 rad
dw dw d
dw

w
dt
d dt
d
dw
w
0.2
d
解：
w
w wdw
0

点的复合运动

例1、沿直线轨道作纯滚动的车轮轮缘上点的运动
点的合成运动
y’
o’
x’
例2、直升飞机在匀速前进的军舰上降落
y
y’
o’
x’
x
o
点的合成运动
y’ x’
o’
物体的运动的描述结果与所选定的参考系有关。同一物体的运动，在不同的参考系中看来，可以具有极为不同的运动学特征（具有不同的轨迹、速度、加速度等）。
相对运动：未知
3、
va ve vr
大小 v1 v2
?
方向 √ √
?
vr va2 ve2 2vave cos60 3.6 m s
arcsin(ve sin 60o ) 46o12
点的合成运动
vr
求解合成运动的速度问题的一般步骤为(P180):
① 选取动点，动系和静系。
B
曲柄－滑块机构
点的合成运动
思考题动点：杆上A点。动系：固连于滑块B。定系：固连于墙面。绝对运动？相对运动？牵连运动？
点的合成运动
A Bv
点的合成运动
动点？动参考系？绝对运动？相对运动？牵连运动？
练习题1
点的合成运动
点的合成运动
点的合成运动
动点？动参考系？绝对运动？相对运动？牵连运动？
定系的速度。
点的合成运动
基本概念
牵连点的概念
（1）、定义动参考系给动点直接影响的是该动系上与动点相重合的一点，
这点称为瞬时重合点或动点的牵连点。（2）、进一步说明
牵连运动一方面是动系的绝对运动，另一方面对动点来说起着“牵连”作用。但是带动动点运动的只是动系上在所考察的瞬时与动点相重合的那一点，该点称为瞬时重合点或牵连点。（3）、注意

6第六章刚体基本运动与点的复合运动资料

由于转速n与w 有如下关系：
w 2n
60
w1 n1 成正比 w 2 n2
齿轮传动比
i1,2
2018年11月2日理论力学CAI
w1 n1 r2 z2 w2 n2 r z1 1
25
2018年11月2日理论力学CAI
26
减速箱由四个齿轮构成，如图所示。齿轮Ⅱ和Ⅲ安装
2018年11月2日理论力学CAI 1
6.1 刚体的平移和定轴转动
观察平移刚体
2018年11月2日理论力学CAI
2
观察平移刚体
2018年11月2日理论力学CAI
3
观察平移刚体
2018年11月2日理论力学CAI
4
观察平移刚体
2018年11月2日理论力学CAI
5
1. 平移 —— 刚体运动过程中，其上任意直线始终平行于这一直线的初始位置。
代入t = 0和t = 2，就可求得这两瞬时A点的速度和加速度，亦即点C在
这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：
t (s)
(rad)
0
v (m/s)
π （水平向右） 0 4
at (m/s2)
an (m/s2)
π2 2 （铅直向上） 0l 16
0
2
理论力学CAI
0
π 0l 16
0
0
30
航母以 20 节的速度前进，直升飞机以每小时 10km 的速度垂直降落。求直升飞机相对于航母的速度。
2018年11月2日理论力学CAI
31
2018年11月2日理论力学CAI
32
振动仪中纪录振动的笔尖 M 沿铅直固定轴 Oy 作

刚体平面运动和点的复合运动综合b分解PPT文档共40页

13、遵守纪律的风气的培养，只有领导者本身在这方面以身作则才能收到成效。—— 马卡连柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅精神以及同全世界劳动者的团结一致，是取得最后胜利的保证。—— 列宁摘自名言网
15、机会是不守损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
刚体平面运动和点的复合运动综合b分解
11、战争满足了，或曾经满足过人的好斗的本能，但它同时还满足了人对掠夺，破坏以及残酷的纪律和专制力的欲望。 ——查·埃利奥特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段。纪律是教育过程的结果，首先是学生集体表现在一切生活领域—— 生产、日常生活、学校、文化等领域中努力的结果。— —马卡连柯(名言网)

刚体运动的基本原理

刚体运动的基本原理刚体运动是物体在空间中做整体性的运动，不发生形变的运动。

刚体运动的基本原理可以通过以下几个方面来解释：一、质点的运动质点可以看作是质量无限大的一个点，它不发生形变，仅产生平移运动。

质点的平移运动可以用牛顿第一定律来描述，即物体在不受外力作用时将保持静止或者匀速直线运动。

这是因为质点不受力的影响，所以它的速度和位置都不会改变。

二、刚体的自由度刚体在空间中的运动由其自由度决定。

自由度是指刚体能够独立运动的最小数量。

对于一个刚体而言，它的自由度取决于它的维度。

在三维空间中，一个刚体有6个自由度，分别为三个平移自由度和三个转动自由度。

三、刚体的平移运动刚体的平移运动是指它在空间中沿着直线运动，整体上保持不变。

刚体的平移运动可以由质点的运动来描述。

当一个刚体受到一个外力时，该外力会作用在刚体的重心上，使得刚体产生平移运动。

刚体的平移加速度与作用在刚体上的合力成正比，与刚体的质量成反比。

四、刚体的转动运动刚体的转动运动是指它在空间中绕轴线旋转，整体上保持不变。

刚体的转动运动可以由刚体的转动惯量来描述。

转动惯量是刚体旋转惯性的量度，与刚体的质量分布以及轴线的位置有关。

当一个刚体受到一个力矩时，该力矩会使刚体产生转动运动。

刚体的转动加速度与作用在刚体上的合力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。

五、刚体的复合运动刚体可以进行平移和转动的复合运动。

当一个刚体受到既有平移又有转动的外力时，刚体既会发生平移运动，也会发生转动运动。

刚体的平移和转动是相互独立的，但它们会同时发生。

六、刚体碰撞的基本原理当两个刚体碰撞时，根据动量守恒定律和动能守恒定律，可以得到碰撞前后刚体的动量和动能之间的关系。

在完全弹性碰撞中，刚体在碰撞过程中既满足动量守恒定律，也满足动能守恒定律。

在非完全弹性碰撞中，刚体在碰撞过程中会发生能量损失，动能不守恒。

总结：刚体运动的基本原理包括质点的运动、刚体的自由度、刚体的平移和转动运动，以及刚体碰撞的原理。

06刚体的基本运动

τ
vC = v0 = 1.5m/s
α
ω0
ϕ N = = 2 .86 ( 转） 2π
17
内的行程； ②重物B在3s内的行程；
ϕ = ω 0t +
1 α t 2 = 18 rad 2
s = r ϕ = 0 .3 × 18 = 5 .4 m
时的速度； ③重物B在ｔ＝3s时的速度；
aC 1 α= = = 2 rad/s 2 R 0.5 vC 1 .5 ω0 = = = 3 rad/s R 0 .5
5
加速度：加速度：
刚体平动的特点：刚体平动的特点：平动刚体在任一瞬时各点的运动轨迹、速度、平动刚体在任一瞬时各点的运动轨迹、速度、加速度都一样。一样。结论：平动刚体的运动可以简化为一个点的运动，研究刚体结论：平动刚体的运动可以简化为一个点的运动，的平动可归结为研究点的运动。的平动可归结为研究点的运动。
ϕ = f(t)
8
四、定轴转动的角速度和角加速度 1. 角速度：角速度：
∆ ϕ dϕ & = =ϕ 定义 : ω = lim ∆t → 0 ∆ t dt ( 代数量 )
角位移
单位：单位： rad/s 工程中常用转速：工程中常用转速： n ：转/分(r/ min)（rpm) n与ω 的关系为：与的关系为：
ds ∆s v= = lim dt ∆t → 0 ∆t
∆ϕ ⋅ R v = lim = ωR ∆t → 0 ∆t
R
v = ωR
O
12
二、角加速度α 与 an 、aτ 的关系
dv d dω aτ = = (ωR ) = R = Rα dt dt dt
ϕ
α
(ωR)2 an = = = Rω 2 R ρ v2

《理论力学》考试知识点.

《理论力学》考试知识点静力学第一章静力学基础1、掌握平衡、刚体、力的概念以及等效力系和平衡力系，静力学公理。

2、掌握柔性体约束、光滑接触面约束、光滑铰链约束、固定端约束和球铰链的性质。

3、熟练掌握如何计算力的投影和平面力对点的矩，掌握空间力对点的矩和力对轴之矩的计算方法，以及力对轴的矩与对该轴上任一点的矩之间的关系。

4、对简单的物体系统，熟练掌握取分离体并画出受力图。

第二章力系的简化1、掌握力偶和力偶矩矢的概念以及力偶的性质。

2、掌握汇交力系、平行力系、力偶系的简化方法和简化结果。

3、熟练掌握如何计算主矢和主矩；掌握力的平移定理和空间一般力系和平面力系的简化方法和简化结果。

4、掌握合力投影定理和合力矩定理。

5、掌握计算平行力系中心的方法以及利用分割法和负面积法计算物体重心。

第三章力系的平衡条件1、了解运用空间力系（包括空间汇交力系、空间平行力系和空间力偶系）的平衡条件求解单个物体和简单物体系的平衡问题。

2、熟练掌握平面力系（包括平面汇交力系、平面平行力系和平面力偶系）的平衡条件及其平面力系平衡方程的各种形式；熟练掌握利用平面力系平衡条件求解单个物体和物体系的平衡问题。

3、了解静定和静不定问题的概念。

4、掌握平面静定桁架计算内力的节点法和截面法，掌握判断零力杆的方法。

第四章摩擦1、掌握运用平衡条件求解平面物体系的考虑滑动摩擦的平衡问题。

2、了解极限摩擦定律、滑动摩擦系数、摩擦角、自锁现象、摩阻的概念。

运动学第五章点的运动1、掌握描述点的运动的矢量法、直角坐标法和弧坐标法，能求点的运动方程。

2、熟练掌握如何计算点的速度、加速度及其有关问题。

第六章刚体的基本运动1、掌握刚体平动和定轴转动的特征；掌握刚体定轴转动的转动方程、角速度和角加速度；掌握定轴转动刚体角速度矢量和角加速度矢量的概念以及刚体内各点的速度和加速度的矢积表达式。

2、熟练掌握如何计算定轴转动刚体的角速度和角加速度、刚体内各点的速度和加速度。

理论力学练习册及答案(南华版)

解：动点取曲柄OA上A点，
动系固连摇杆CB上，定系固连机架。
由速度合成定理作速度平行四边形。
B点速度为：
由加速度合成定理作加速度图。
取方向投影，得：
B点加速度为：
7-4.半径为R的半圆形凸轮以匀速V0沿水平线向右平动，带动顶杆AB沿铅直方向运动，当OA与铅直线夹角为300时，求此时杆AB的速度和加速度。
解：动点取杆OA上A点，动系固连杆O1C上，定系固连机架。
由速度合成定理作速度平行四边形。
由加速度合成定理作加速度图。
取方向投影，得：
再取动点杆O1C上C点，动系固连套筒B上，定系固连机架。
由速度合成定理作速度平行四边形。
由加速度合成定理:
作加速度图。
取方向投影，得：
取方向投影，得：
第八章刚体平面运动
分别取节点A、B为研究对象，受力如图
对于节点A：，
(压)
对于节点B： , (压)
2-11.计算桁架中1、2、3杆的受力。
解：取I-I剖面右边部分为研究对象，受力如图。
,
(拉)
,
(压)
研究节点B: ，
(压)
第三章空间力系
3-1.图示正立方体，各边长为a，四个力F1、F2、F3、F4大小皆等于F，如图所示，作用的相应的边上。求此力系简化的最终结果，并在图中画出。
8-7.四杆机构中，曲柄OA以匀角速度ω0=25 rad/s绕O轴转动，OA=50 cm，AB=100 cm，O1B= cm。求∠OAB=900时，B点的加速度，摇臂O1B的角速度和角加速度。
8-8.图示机构中，设当OA与水平线成450角的瞬时，曲柄OA有反时针方向的匀角速度ω＝25 rad/s，连杆AB水平，扇形板BD铅垂。求扇形板绕定轴D转动的角加速度ε。

《理论力学》第六章刚体的简单运动ppt课件

r r M r M 0 1 0 , 7 , 1 1 2 , 1 , 3 8 , 6 , 8
i jk
vrnr0.6 0.48 0.648j6k
86 8
例6-3
一矢量绕z轴以角速度ω转动，假设a =常量
求：d a
dt
解：将矢量的端点A看成是绕z轴作定轴转动刚体上的一点
rA a
② 传动比
i12
1 2
R2 R1
z2 z1
２.带轮传动
r 11 v A v A v B v B r 22
i12
1 2
r2 r1
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度以矢积表示点的速度和加速度
1.角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
大小
d
dt
作用线沿轴线滑动矢量
指向右手螺旋定那么
知：刚体绕定轴转动，知转轴经过坐标原点O,角速度矢
为
5sinπ 2 ti5cosπ 2 tj53 。k
求：t =1s时,刚体上点M〔0，2，3〕的速度矢及
加速度矢。
解：
i
j
k
v r 5sin πt 5cos πt 5 3
2
2
0
2
3
1 03 i 1 5 j 1 0 k
arvdrv
dt 1 2 5π753 i200j75k
例6-2 知：某定轴转动刚体经过点M0〔2，1，3〕，其角
速度矢的方向余弦为0.6，0.48，0.64，角速度
的大小ω=25rad/s 。求：刚体上点M〔10，7，11〕的速度矢。解：角速度矢量
n 其中 n ( 0 . 6 , 0 . 4 , 0 . 6 8 )4
M点相对于转轴上一点M0的矢径

复试理论力学重点面试问题知识点总结(主要)

复试理力重点知识点总结静力学第一章静力学基础1、掌握平衡、刚体、力的概念以及等效力系和平衡力系，静力学公理。

2、掌握柔性体约束、光滑接触面约束、光滑铰链约束、固定端约束和球铰链的性质。

3、熟练掌握如何计算力的投影和平面力对点的矩，掌握空间力对点的矩和力对轴之矩的计算方法，以及力对轴的矩与对该轴上任一点的矩之间的关系。

4、对简单的物体系统，熟练掌握取分离体并画出受力图。

第二章力系的简化1、掌握力偶和力偶矩矢的概念以及力偶的性质。

2、掌握汇交力系、平行力系、力偶系的简化方法和简化结果。

3、熟练掌握如何计算主矢和主矩；掌握力的平移定理和空间一般力系和平面力系的简化方法和简化结果。

4、掌握合力投影定理和合力矩定理。

5、掌握计算平行力系中心的方法以及利用分割法和负面积法计算物体重心。

第三章力系的平衡条件1、了解运用空间力系（包括空间汇交力系、空间平行力系和空间力偶系）的平衡条件求解单个物体和简单物体系的平衡问题。

3、了解静定和静不定问题的概念。

4、掌握平面静定桁架计算内力的节点法和截面法，掌握判断零力杆的方法。

第四章摩擦1、掌握运用平衡条件求解平面物体系的考虑滑动摩擦的平衡问题。

2、了解极限摩擦定律、滑动摩擦系数、摩擦角、自锁现象、摩阻的概念。

运动学第五章点的运动1、掌握描述点的运动的矢量法、直角坐标法和弧坐标法，能求点的运动方程。

2、熟练掌握如何计算点的速度、加速度及其有关问题。

2、熟练掌握如何计算定轴转动刚体的角速度和角加速度、刚体内各点的速度和加速度。

工程力学静力学所有课后习题答案

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《理论力学（第2版）》主要内容为静力学、运动学、动力学三大部分。

《理论力学（第2版）》适用于高等学校工科力学和工程类各专业的理论力学教材，各专业可以根据需要选用全部或部分内容，也可供有关工程技术人员参考。

okey 8 小时前理论力学第2版课后答案(同济大学航空航天与力学学院基础力学教学研究部) 同济大学出版社理论力学第2版无课后答案《同济大学工程力学系列教材：理论力学（第2版）》共分三篇，分别为静力学、运动学和动力学。

本书保持了同济大学原理论力学教研室1990年版《理论力学》的体系和风格，但对该版教材的内容和习题作了部分调整。

刚体的运动和转动

刚体的运动和转动刚体是指物体在运动或转动过程中，各部分之间保持相对位置不变的物体。

在物理学中，刚体是一个重要的概念，它的运动和转动具有一定的规律和性质。

本文将详细探讨刚体的运动和转动，以及相关的基本概念和原理。

一、刚体的运动刚体的运动是指整个物体的平动，即物体作为一个整体的运动。

平动可以是沿直线运动，也可以是曲线运动。

根据牛顿第一定律，当物体所受合外力的矢量和为零时，物体将保持静止或匀速直线运动。

而当物体所受合外力的矢量和不为零时，物体将发生加速度，即产生直线运动。

刚体的平动可以通过理解质点来进行分析。

质点是指物体的质量集中在一个点上，没有形状和大小，无论是刚体还是非刚体，都可以看作是由许多质点组成的。

因此，在分析刚体的平动时，可以把刚体简化为质点。

同时，刚体的平动也满足牛顿第二定律，即合外力等于质量乘以加速度。

二、刚体的转动刚体的转动是指物体绕某个轴进行旋转的运动。

转动的轴可以是任意选择的，但通常选择物体上的某个固定点或固定轴线作为转动的轴。

在刚体的转动中，每一个点都绕轴线进行圆周运动，并且所有点的转动角度相等。

刚体的转动可以由物体的转动惯量和转动力矩来描述。

转动惯量是物体对转动的抵抗程度或者旋转惯性的量度，它与物体的质量分布和形状密切相关。

转动力矩则是引起刚体转动的力和力臂的乘积，它的方向由右手定则给出。

根据角动量守恒定律，当刚体不受外力矩作用时，刚体的角动量守恒。

这意味着刚体的角动量大小和方向在运动过程中保持不变，从而导致刚体产生转动。

三、刚体的动力学方程刚体的运动和转动都可以通过动力学方程来描述。

对于平动的刚体，动力学方程可以表示为：∑F = ma其中，∑F表示物体所受合外力的矢量和，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。

而对于转动的刚体，动力学方程可以表示为：∑τ = Iα其中，∑τ表示物体所受合外力矩的矢量和，I表示刚体的转动惯量，α表示刚体的角加速度。

四、刚体的运动和转动的实例刚体的运动和转动在日常生活和工程领域中有着广泛的应用。

点的一般运动与刚体的基本运动

四元数描述的优点是避免了万向锁问题，并且在插值和组合多个旋转时具有更好的数值稳定性。
05 点与刚体的相互作用
与力矩作用在刚体上
力是改变物体运动状态的原因，力的大小、方向和作用点决定了力的效果。
力矩是力和力臂的乘积，用来描述力对物体转动效果的量，其方向垂直于力和转动轴所在的平面。
在刚体上施加力或力矩，会导致刚体产生平动或转动加速度，进而改变其运动状态。
旋转矩阵描述
旋转矩阵是一个3x3的实数矩阵，用于描述刚体在三维空间中的旋转。
旋转矩阵描述的优点是数学表达严谨，适用于进行复杂的坐标变换和组合旋转。
通过给定绕着三个坐标轴的旋转角度，可以计算出一个唯一的旋转矩阵。
四元数描述
四元数是复数的一种扩展，用于描述三维空间中的旋转和方向。
四元数由一个实部和三个虚部组成，可以表示为一个有序实数四元组。
2. 可描述性
点的运动可以通过数学方程进行描述，如运动方程和轨迹方
程。
3. 受约束性
点在运动过程中可能受到某些约束，如固定点、运动范围等
。
运动方程与轨迹
运动方程
描述点在空间中的位置随时间变化的数学表达式。
轨迹
点在空间中移动时所形成的路径。
速度与加速度分析
速度
描述点在空间中移动的快慢程度，由方向和大小组成。
课程目标
理解点的一般运动和平动、转动的关系。掌握刚体运动的基本定理和定理的应用。
掌握刚体的基本运动和平动、旋转、平移的关系。了解刚体运动的实例和应用。
02 点的一般运动
定义与特性
01
02
03
04
定义
点的一般运动是指一个点在三维空间中按照一定的规律和轨

刚体平面运动和点的复合运动综合b分解

va
v
ve vr
? OC ?
//OA
作出速度矢量图如图示
vr 0, ve va v;
ve v v sin OC R / sin R
（
）
运动学/点的合成运动
由牵连运动为转动时的加速度合成定理
aa ae ae ar ac
大小 a ?
h cos 2 ve /OD vcos /( )v cos h
（）
运动学/点的合成运动
由牵连运动为转动时的加速度合成定理
aa ae ae ar ac
大小 a ?

n
2 OD·
?
方向
OA 沿OA指向O 沿OA
2vr OA
2 2 3 h v cos v cos n 2 2 其中 ae OD ( ) cos h h v cos 2 ac 2vr 2 v sin h 作出加速度矢量图如图示,向轴投影得
小车的加速度：
a ae
运动学/点的合成运动
例2 摇杆滑道机构，已知 : h, , v , a ，求: OA杆的 , e 。解：选取动点： BC上的D点动系：OA 定系：机架
由
大小方向
va
v
ve vr
?
OA
?
沿OA

作出速度合成平行四边形如图示
ve va cos v cos , vr va sin v sin

n
2 OC·
?
0
方向
n
OC 沿OC指向O //OA
2
R v v2 2 其中 ae OC ( sin ) sin sin R R ac 2vr 0 作出加速度矢量图如图示,向轴投影得

点的复合运动-动点、动系的确定

：与飞机固连
牵连运动：飞机的空间飞行
相对运动：P绕螺旋桨轴的圆周运动
绝对运动：空间螺旋曲线运动
+
动点相对于动系的相对运动
分
合
解
成
动点的绝对运动
点的复合运动，研究点运动分解与合成的规律。
3
问题：动点、动系如何选择？？
➢ 动点、动系一定在两个不同的刚体上（存在相对运动）
➢ 动点、动系选择时应该使点的相对运动简单、明确（便于运动分析）
试求:图示瞬时（ ∠OAB=60 ）套筒的转角速度。
A
动点、动系如何选择？
谢谢！
选持续接触点（关联点）为动点，动系固结在另一个物体上。
两个运动物体，无持续接触点
动点：接触点相对运动？
B
D
A Oe
M
动点：凸轮的轴心A点
动系：固连在顶杆BCD上
相对运动：铅垂直线运动
ω
C
对于两个运动物体无持续接触点(或无关联点) 的情况。
选便于运动分析的点为动点，动系固结在另一个物体上。
动点、动系选择唯一吗？
动点：L杆上E点
A
动系：固连在上面的构件上
相对运动：以C点为圆心的半圆周运动
是否可以选C点为动点，动系固连在L型杆上？
B
C
D
相对运动：以E点为圆心的圆周运动
R
E
v
M
N
a
思考题：
已知平面机构中，曲柄OA以匀角速度绕O 轴转动，曲柄长OA=r，摆杆AB 可在套筒C 中滑动，摆杆长AB=4r，套筒C 绕定轴C 转动。
点的复合运动-动点、动系的确定
研究对象：一个动点
• 绝对运动
动点相对静参考系

刚体

πR
2
2π rdr
2
dr
r O
J 与质量分布有关
2013/3/25 DUT 常葆荣 11
例题：求质量为M, 长为L的均匀细棒，对下面两种转轴的转动惯量。（1）转轴通过棒的中心与棒垂直（2）转轴通过棒 z 的一端与棒垂直。
M dm dx dx L M 2 2 dJ x dm x dx L L/2 1 2 2 M J x dm x dx ML2 L/2 L 12
j r
i
d ri d i d zi dk i ri k zi dt dt dt dt
d Ri d vi ( ri i zi k ) dt dt
o
i

0
j 0
0 r j
i j=k
7
2013/3/25
DUT 常葆荣
作用在第i个质点的外力力矩
F ( Fi r i Fi j Fi z k )
J R dm
2 0
L
2π R
0
3
R 2 dl
R l 2π R mR 2 2π R
同样质量做成半径为R的圆盘，对中心轴的转动惯量J=? R m ds 2π rdr dr m 2mr
dm ds
R m 2 R 2m 3 m 2 J r dm 2 r dr R 0 0 R 2
2
2 2 0
d d d d d dt d t d
2013/3/25
d d
DUT 常葆荣
......
4
例题一飞轮以1500r/min的转速绕定轴做逆时针转动。制动后，飞轮均匀的减速，经时间t=50s停止转动。求（1）角加速度（2）从开始制动到静止，飞轮转过的转数N（3）制动开始后t=25s时飞轮的角速度（4）设飞轮的半径为 R=1m，求t=25s时飞轮边缘上一点的速度和加速度。

刚体的基本运动

刚体的基本运动
答案：
刚体的基本运动形式包括平动、转动（分为定轴转动和非定轴转动）以及平面运动（随质心的平动、绕质心的转动）。

平动是指刚体在运动过程中，整体上以同一速度沿直线运动的现象，其特点是刚体内各点的运动轨迹完全相同。

转动则是刚体绕某一轴心进行旋转的运动，根据轴心的位置不同，可以分为定轴转动和非定轴转动。

平面运动则包括了随质心的平动和绕质心的转动，这种运动形式在工程实际中也是常见的。

复合运动，即平动和转动的组合运动，是刚体运动的一种特殊形式。

例如，自行车在平地上行驶时，既有整车质心的平动，又有轮胎相对于地面的转动。

因此，复合运动确实是刚体的基本运动形式之一。

延伸：
刚体指在运动中和受力作用后，形状和大小不变，而且内部各点相对位置不变的物体。

绝对刚体实际上只是一种理想模型，因为任何物体在受力作用后，都或多或少地变形，如果变形的程度相对于物体本身几何尺寸来说极为微小，在研究物体运动时变形就可以忽略不计。

把许多固体视为刚体，所得到的结果在工程上一般已有足够的准确度。

刚体的特点：刚体上任意两点的连线在平动中是平行且相等的。

刚体上任意质元的位置矢量不同，相差一恒矢量，但各质元的位移、速度和加速度却相同。

因此，常用“刚体的质心”来研究刚体的平动。

第六章刚体的基本运动

dω dr dv d = （ω× r ) = × r + ω× a= dt dt dt dt
z R a M
n
a = α × r + ω× v
aτ = α × r
α × r = α ⋅ r sin θ = α ⋅ R
O
aτ
v
α ω θ r
ω× r
a
n
= ω × v
ω ⋅ v = ω ⋅ ω ⋅ R = ω
dθ = ωo 其中： dt
所以： bcosθ ⋅ ω o = rcos(θ + ϕ ) ⋅ (ω o + ω )
dϕ =ω dt
*
rcos(θ + ϕ ) ω 解得： ω o = bcosθ − rcos(θ + ϕ )
方程*两边对时间取导数，得：
bcosθ ⋅ ω o = rcos(θ + ϕ ) ⋅ (ω o + ω )
一、角速度的矢量表示
z
ω
k k
ω
z
ω=ω k
右手螺旋规则：右手的四指代表转动的方向，拇指代表角速度矢量 ω 的方向。
二、角加速度的矢量表示
角加速度矢量定义：
dω α= dt
角加速度矢
α 为角速度矢 ω 对时间的一阶导数
d dω α = ( ωk) = k dt dt
dω d ϕ = 2 α= dt dt
为描述变速的程度，引入传动比的概念。
ω1 R2 z 2 = = 传动比： i12 = ω 2 R1 z1
ω1 n1 α1 R2 z 2 i12 = = = = = ω 2 n2 α 2 R1 z1
二、皮带轮传动
n1 R1
vB A vA B R2

理论力学第2版范钦珊陈建平主编第6章点的复合运动

例6-7
已知：如图所示平面机构中，曲柄OA=r，以匀角速度ωO 转动。套筒A沿BC杆滑动。BC=DE，且 BD=CE=l。
求：图示位置时，杆BD的角速度和角加速度。
解： 1.动点：滑块A 动系：BC杆
绝对运动：圆周运动（O点）相对运动：直线运动（BC）牵连运动：平移
2.速度
vra vre vrr
点P离圆心O为R时:
r Va
rr V, R)
点评:在不同时刻，点与管重合的点不同，故牵连点的速度两个时刻是不同的。其中大小的改变是因为相对运动的存在；方向改变是由于牵连转动引起的。
例6-2
在凸轮机构中已知凸轮以速度 v 直线平动，半径为 R 。

(aa ) (ar ) (ae ) (ac )
坐标系的建立是灵活的，最终建立的方位，依所求问题而定。
例6-6 已知：如图所示平面机构中，铰接在曲柄端A的滑块，可在丁字形杆的铅直槽DE内滑动。设曲柄以角速度ω作匀速转动， OA 。r
求：丁字形杆的加速度 aDE 。
D
A Oω φ
va vr ve
大小？？？方向？？？
2）若已知6个量中的4个量，则另外2个量可求出。
3）某些已知量需要分析得出。由于只有3个矢量，可通过矢量三角形求未知量。
例6-1
已知:直管绕轴O等角速转动，小球P以常速率u沿管运动。求：点P离圆心O为R/3和R时，相对于地面的速度。
2、应尽可能使相对运动轨迹简单或直观。
3、常见情况：
①、一个单独的点在另一个物体上运动，则选该点为动点，另一物体为载体。
②、两个运动的物体A、B始终有一个接触点P， P与一物体的相对位置始终不变，该物体上的P点为动点； P与另一物体的相对位置随时在变，该物体为载体。