第六章 刚体的基本运动和点的复合运动(更新)

2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学 10
运动学/刚体的基本运动和点的复合运动/刚体的平移和定轴转动
运动学/刚体的基本运动和点的复合运动/刚体的平移和定轴转动
O1 O2
【例】
矩形板用两根等长的轻杆平
O1 O2
l
A O
（+）
l B C
行连接。轻杆长为 l ，单位为
l B

l A
O
（+）
定系 O0 x0 y0 z0 z0 P点的位置 P z
r (t )
r0
d r d2 r va , aa 2 dt dt
定义相对速度、相对加速度
定系 O0 x0 y0 z0 z0 P点的位置 P z
r (t )
r0
在定系中求导
r ro r r o
平移刚体在任一瞬时各点的运动轨迹形状、速度、加速度 都一样 平移刚体的运动可以简化为一个点的运动
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2
• 平移刚体
• 平移刚体
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【例】
试画出图中刚体上Ｍ¸Ｎ两点在图示位置时的速度和加 速度。
an an
v
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运动学/刚体的基本运动和点的复合运动
【例】
试画出图中刚体上Ｍ¸Ｎ两点在图示位置时的速度和加 速度。
理论力学 CAI 运动学
• 前言
刚体的运动形式
• 平 移： 刚体运动过程中，其上之任意直线始终平行于 这一直线的初始位置 • 定轴转动： 刚体运动过程中，有一直线始终保持不动 • 平面运动： 刚体运动过程中，其上各点到某一固定平面的距 离始终保持不变 • 定点运动： 刚体运动过程中，其上某一点始终保持不动 • 一般运动： 刚体的任意运动
绝对速度 牵连速度 相对速度


动系 O x y z
y


动系 O x y z
y
o x y0
o0 x0
d xi y j zk vr dt d x i y j z k ar dt
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9
圆盘上的A点为动点，带滑槽的摆杆为动系。
6.2 点在平移参考系中运动的合成
• 平移参考系中点的速度和加速度的合成 定系 O0 x0 y0 z0 z0 z P
绝对位矢 r (t )
绝对运动：A点作圆周运动 相对运动： A点作直线运动 牵连运动：动系摆杆作定轴转动


P
ωωk
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d d k k dt dt
23

r
v

●


r v r ( r ) an ( r ) at r ,
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π t 4
12
3
运动学/刚体的基本运动和点的复合运动/刚体的平移和定轴转动
A点的运动方程为：
s l 0 l sin
π t 4
O1
O2
O1
l B
t=2s
l
O A C
（+）
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4
运动学/刚体的基本运动和点的复合运动/刚体的平移和定轴转动
6.1.3 刚体的角速度和角加速度
• 角速度
• 角加速度
(t )
d dt d dt
= (t)
lim
Δt 0

Δ d Δt dt
刚体的基本运动和点的复合运动
• 6.1 刚体的平移和定轴转动 • 6.2 点在平移参考系中运动的合成 • 6.3 点在转动参考系中运动的合成
at an
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7
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20
理论力学CAI 刚体平面运动学
理论力学CAI 刚体平面运动学
5
• 角速度和角加速度的矢量表示
按右手定则规定方向。
• 刚体内点的速度和加速度的矢积表示
z

R

v r,
| v | r sin R
dv d( r ) d dr a r dt dt dt dt
将上式对时间求导，得A点的速度：
ds π π l 0 cos t dt 4 4 再求一次导，得A点的切向加速度： v
0
O
a
A
代入t = 0和t = 2，求得A点的速度和加速度，即点C的速度 和加速度。
t (s) 0
at
A点的法向加速度：
dv π π2 l 0 sin t dt 4 16
(rad)
0
v (m/s)
π 0（水平向右） 4
at (m/s2) 0
π 0l 16
an (m/s2)
π2 2 0 l（铅直向上） 16
an
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v2 π2 2 π l 0 cos 2 t l 16 4
13
2
0
0
0
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运动学/刚体的基本运动和点的复合运动/刚体的平移和定轴转动
6.1.4 定轴转动刚体内点的速度和加速度 • 速度
、 , 对整个刚体而言都一样；
v、a 对刚体中某个点而言(各点都在垂直于转轴的平面上 做圆周运动)。
• 加速度
at dv d d ( R ) R R dt dt dt
m。当板摆动时轻杆的转动规 π 律为 0 sin t ，试求当 4 t= 0和t =2s时，矩形板中点C 的速度和加速度。
【解】
矩形板作平移，板上所有点的速度加速度相同。 C的速度加速度与A相同。 用弧坐标，最低点O为起点，规定向右为正，A点的运动方程为：
C
s l 0 l sin
r (t )
o0

o

动系 O x y z
y
r ro
相对位矢

r0
x
y0
ρ xi y j z k
49
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2014年 0 3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学
x
定义绝对速度、绝对加速度
• 平移刚体
• 平移刚体上各点的速度、加速度关系
rA rA (t ) , rB rB (t ), rB rA rAB

dr d dr v B B ( rA rAB ) A v A dt dt dt
d 2 rB d2 d 2 rA aB ( rA rA B ) aA 2 d t2 dt d t2
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8
相对运动
• • • • 相对运动：动点相对于动参考系的运动 相对轨迹：动点在相对运动中的轨迹 相对速度：动点在相对运动中的速度 相对加速度：动点在相对运动中的加速度
牵连运动
• • • • 牵连运动：动参考系相对于定参考系的运动（为刚体的某种运动） 牵 连 点：动参考系上与动点相重合的一点 牵连速度： 牵连点相对定参考系的速度 牵连加速度：牵连点相对定参考系的加速度
an
v2


( R ) 2 R R
2

v lim
t 0
S t
| a || an at | an 2 at 2 R 2 4
R
R
lim
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t 0
R t
tan
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at R an 2 R 2
50
o x y0
v r a, v , r
0 e
o0 x0
d d v r, dt dt

绝对速度
=
牵连速度
va ve vr
+
相对速度
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学
运动学/刚体的基本运动和点的复合运动/刚体Leabharlann Baidu平移和定轴转动
6.1.2 刚体的定轴转动
• 定轴转动
刚体或其延拓部分上有一条直线始终不动，称为转轴 转轴不一定在物体上。
• 定轴转动的运动方程
= (t)---为刚体的运动方程 是代数量，正负号由右手螺旋
定则规定。
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at r sin R,
O
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切向加速度： 法向加速度：
an 2 R
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• 与刚体固结的矢量对时间的导数 z
b
P2
【例】
试画出图中刚体上Ｍ¸Ｎ两点在图示位置时的速度和加 速度（O1A=O2B, O1O2=AB）。
b r2 r1 r2 r1
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刚体的基本运动 和点的复合运动
• 第五章 点的运动 • 第六章 刚体的基本运动和点的复合运动 • 第七章 刚体的平面运动
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运动学/刚体的基本运动和点的复合运动
运动学/刚体的基本运动和点的复合运动/刚体的平移和定轴转动
角速度表征刚体转动的快慢 单位：弧度/秒 （rad/s） 工程中常用单位： n = 转/分(r / min) n与的关系为:
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单位:弧度/秒2（rad/s2）

2 n n n (rad/s ) 60 30 10
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与 方向一致为加速转动, 与 方向相反为减速转动 。
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观察: 动 点 A 的 运 动
观察: 动 点 A 的 运 动
绝对运动: 在定系上看A点的运动
相对运动: 在动系上看A点的运动
牵连运动: 动系相对于定系的运动
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学 42
y
P1
r1
r2
O
r2 r1 b
v
v v
x
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【例】
试画出图中刚体上Ｍ¸Ｎ两点在图示位置时的速度和加 速度（O1A=O2B, O1O2=AB）。
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求重物相对地面的运动轨迹
绝对运动
• • • • 绝对运动：动点相对于定参考系的运动 绝对轨迹：动点在绝对运动中的轨迹 绝对速度：动点在绝对运动中的速度 绝对加速度：动点在绝对运动中的加速度
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2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学 4
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运动学/刚体的基本运动和点的复合运动/刚体的平移和定轴转动
6.1.1 刚体的平移
• 平移刚体
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2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学 6
运动学/刚体的基本运动和点的复合运动/刚体的平移和定轴转动
刚体的基本运动和点的复合运动
• 6.1 刚体的平移和定轴转动 • 6.2 点在平移参考系中运动的合成 • 6.3 点在转动参考系中运动的合成
6.1.1 刚体的平移
• 平移的定义 刚体运动过程中，其上任意直线始终平 行于这一直线的初 始位置。 （刚体上只要有一条直线满足该条件即为平移）
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学 3