大学物理第14章光的衍射

光学仪器的最小分辨角—恰能分辨时两光点对透 镜中心所张的角(即为爱里斑的半角宽度):
l 1.22 D
透镜L
S1
S2
分辨本领为
1 D R 1.22l

透镜直径D
例题 通常亮度下, 人眼瞳孔的直径D=3mm，同学 们最多坐多远，才不会把黑板上写的相距1cm的等 号“=”号看成是减号“”？
即 asin=kl (k=1,2,3,…)，时, I=0，此即暗纹中心的条件。
r
o
ro
B
P
a sinu sin I A Io u l u 2 d sinu (3)令 0 ，可求得各级亮纹的条件为 du u
2 2
tgu=u
3 2 5 asin2=±2.46l ± l ， I2=0.0165Io 2
*
二. 惠更斯-菲涅耳原理
惠更斯原理：媒质中波所传到的各点都可看作是发 射子波的波源,其后任一时刻,这些子波的包迹就决定 新的波阵面。
菲涅耳指出:波阵面上各点发出的子波在空间相遇 时会产生干涉。“子波相干叠加”—这就是惠更斯-菲 涅耳原理。 K ( ) 2r dE C cos t dS n r l dE(p) dS · P点的合振动：
=2.67mm
p
x
2 fl f sin 2 a

f
o
例题 单缝宽a=0.6mm，透镜焦距f=40cm。平行光垂直 照射,距中心o点x=1.4mm的P点处恰为一明纹中心,求 入射光的波长及对应P点单缝被划分为几个半波带。
p
解 明纹对应的衍射角:
x
a sin (2k 1)
明纹位置:
不同衍射角的光线在观测屏 上会聚点的相对光程差不同， 相干叠加后的光强不同，由此 产生观测屏上不同位置的明暗 a 相间的条纹分布。 衍射角 = 0时，所有光线相互 加强，形成中央明纹
单缝 透镜 观测屏

f
二. 菲涅耳半波带法
A
a
• • • • • •

C
作一系列相距l/2且垂直于BC 的平面, 单缝相应就被分成若干等 宽的窄带菲涅耳半波带。 两个相邻波带所发出的光线会 聚于屏幕上时全部相干相消。
将上式对整个缝宽积分，就得P点的合振动：
ro dx xsin E Ao cos[2 ( 2 t )] a l l a sin( sin ) ro l Ao cos(2 t ) a l sin l a A 令 u sin dx
a 2 a 2
主极大(亮纹)
k' d sin l (k ' Nk ), k 0,1,2,... 极小 (暗纹) N 两相邻主极大之间共有N-1个极小值（暗纹）
两个相邻极小值之间有一个次级大，因此在相 邻的两个主极大之间共有N-2个次级大。 单缝衍射光强分布对多缝干涉光强分布调制的 结果即为光栅产生的总光强分布。
B
如果单缝被分成偶数个波带，相邻波带成对相干 相消，屏幕上对应点出现暗纹。
如果单缝被分成奇数个波带，相邻波带相干相消 的结果，还剩下一个波带的作用，于是屏幕上对应点 出现亮纹。
单缝衍射明暗纹的中心位置
l a sin 2k 2 l a sin ( 2k 1)
暗纹 (k=1,2,3,…) 亮纹 (k=1,2,3,…)
E
l
x
r
P点合振动的振幅为
o
ro
sinu A Ao u
B
P
sinu A Ao u
则P点的光强可表示为
a u sin l
sinu I A Io u
2
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1)当=0时，u=0，I=Io，光强最大，此即中央 (零级)明纹 中心。 E A dx x

a (2)当u sin k时, l
p
其中， NF() 为表征缝间干 涉光强分布的因子。 若两相邻狭缝光线： dsin =kl , ( k=0,±1, ±2, …)
o
NF() = N2 , 主极大(明纹) 光栅方程 光栅方程是衍射光栅合成光强 出现亮纹(主极大)的必要条件。
d

f
d sin kl , k 0,1,2,...
(半)波带数= 2k=2 。 一般计算波带数的方法是： a sin (半)波带数 =2 l/2
a sin kl , 暗纹
例题14.2.2 单缝宽a=0.15mm, 透镜焦距f=400mm。 测得中央明纹两侧的两条第三级暗纹间的距离 d=8mm, 求:(1)入射光的波长; (2)中央明纹线宽度;(3) 第二级暗纹到透镜焦点的距离。
f
光强分布
1.0 相对光强曲线
a sin kl , 暗纹
0.017 0.047
0.047
0.017
2l a
l a
o
l a
2l a
sin
中央明纹又亮又宽(约为其它明纹宽度的2 倍)。
中央两旁，明纹的亮度随着级次的增大迅速减小。 这是由于k越大,分成的波带数越多,而未被抵消的 波带面积越小的缘故。
0
波带数 S A
2 零级(中央)亮纹
p

o C
*
a
B
f
直线条纹
讨论
次级亮纹与暗纹表达式中k ≠ 0，k=0对应零级（中央） 亮纹，单独考虑。 中央亮纹是窄缝所有光线同相叠加的结果，而两边的亮 纹只是一个波带叠加（还没有完全同相叠加）的结果， 因此中央亮纹的亮度远大于两边亮纹的亮度。 次级k可正可负。 单缝衍射条纹是明暗相间的直条纹. 波带数为奇数时对应亮纹， p 为偶数时对应暗纹。 A S a o * C B 直线条纹
*
干涉和衍射的主要区别: 干涉是有限多条光线的相干叠加；衍射是无限 多条光线的相干叠加。
§14.2 单缝的夫琅和费衍射

单缝衍射的实验装置 菲涅耳半波带法 *单缝衍射光强的推导


一.单缝衍射的实验装置
实验装置组成：
一个线光源S，一个狭缝，两个透镜，一个接收屏。
透镜的作用：
构造夫琅和费衍射条件。 第一个透镜获得平行光入射单缝；第二个透镜将平行 光在聚焦在焦平面上。

dx dE Ao cost a
r ro
此坐标为x 处的窄带 (子波源) 在P点产生的光振动为
o
dx 2r dE Ao cos(t ) a l
B
P
用ro表示从单缝中心o点到P点的光程，则r=ro+xsin，上 式变为
ro dx xsin dE Ao cos[2 ( 2 t )] a l l

光栅

光栅衍射
光栅光谱 光栅的分辨本领


一. 光 栅
大量等宽、等间距的平行狭缝排列起来的光学元件 称为光栅。
E a b
a —透光缝宽度； b —不透光部分宽度； p d=(a+b) —光栅常数。 光栅常数的数量级为10-5~ -6m。 10 o 光栅 透射光栅 反射光栅

f
二. 光栅衍射
设平行光线垂直入射。 不同狭缝相同衍射角的平行光线经透镜后会聚于 焦平面接收屏上一点P。
Id 单缝衍射光强

I ( ) N F ( ) I d ( )
(a)
k= -2
多缝干涉光强
-1
0
NF
1
2 asin/l
亮纹 (主极大)
k= -8
光栅衍射 光强曲线
-4 0 I N2I0 单 4
缝数愈多， 亮纹愈细。
8 dsin/l
(b)
单缝衍射 轮廓线
k= -8
-4
0
4
l/d) dsin /(l 8 dsin

夫琅和费圆孔衍射 光学仪器的分辨本领

一. 小圆孔的夫琅和费衍射
相对光 强曲线 I
圆孔直径D
艾里斑

艾里斑的半角宽度：
l 1.22 D
二. 光学成像仪器的分辨本领
几何光学：一个点通过透镜成像于一点。 衍射观点：一个点通过透镜形成衍射图样。
1.0 0.8
. .
不能分辨
.
.
恰能分辨
瑞利判据: 若一个点光源的衍射图样的中央最大处恰 好与另一点光源衍射图样的第一极小处相重合,则这 两个点光源恰能被分辨。
中央亮纹宽度 中央亮纹范围：中央两 旁两个第一级暗纹间的 单缝 区域，即 l -l< asin <l (很小, 有sin ) a 中央亮纹半角宽度：
a sin kl , 暗纹
透镜 观测屏

x

l
a
f
2 fl 中央亮纹的线宽度： x a
*单缝衍射光强的推导
设窄带dx的光振动为 E A dx x
E a b
p
接收屏上各点的合成光强 由单缝衍射与缝间干涉共同 决定。 各单缝衍射在接收屏上P 点形成的光强相同，设为 Id( )。
o
d

f
对于缝间干涉，各单缝可看做相距为d的同相子波 波源。 光栅上N条缝干涉产生的P点合成光强为：
I ( ) N F ( ) I d ( )
E a b
解 (1)第三级暗纹对应的衍射角 ： asin =3l 第三级暗纹位置
x3 f tan
3l sin a
p
很小时， sin tan
x
d 2 x3
3 fl x3 f sin , a 6 fl
a

f
o
da = 5000Å l 6f
a sin kl , 暗纹
解 只需“=”号对人眼所张 的角最小分辩角就行。
等号 L d 人眼
L l 1.22 d D

以视觉感受最灵敏的5500Å的黄绿光来计算： L l 1.22 2.2 10 4 rad 1 d D (人眼的最小分辩角) 由上式算得：d =45.5m。
§14.4 光栅衍射
a=0.15mm,
f =400mm, l=5000Å
(2)中央明纹的线宽度为两侧两条一级暗纹的间距:
2 fl x 2 x1 2 f tan 1 2 f sin 1 =2.67mm a
(3)求第二级暗纹到透镜焦点的距离。
a sin 1 l
a sin 2 2l x2 f tan 2
asin1=±1.43l ± l ， I1=0.0472Io ……
l 即asin ±(2k 1) 2
例题 波长l的单色光垂直照射单缝，第一级暗纹衍 射角为30°，求狭缝的缝宽及对应此衍射角狭缝的 波阵面可分为几个半波带。 解 由单缝的暗纹条件：
a sin 2k
l
2
kl
k=1, =30°,得：a =2l 。
l
2

f
o
(2k 1) f 2k 1 在可见光波波长范围，取 k=3，l=6000Å,相应单缝被划分为7个半波带； k=4，l=4667Å,相应单缝被划分为9个半波带。
(2k 1) fl x f tan f sin 2a 7 2ax 42 10 l
§14.3 圆孔衍射 光学仪器的分辨本领
单缝衍射过程：
A S
p

o C
*
a
B
f
单缝衍射要点
干涉与衍射的区别：干涉是有限条光线的相干叠加；衍射是 无限条光线的相干叠加。 平行光垂直入射时，从线光源S到单缝的各条光线的光程差相 同，因此单缝处各条光线的初始相位相同。 可将单缝划分成许多个缝宽为dx的微元，每个微元辐射出不 同衍射角的光线。各个微元发出的相同衍射角的平行光线经过 透镜后在焦平面的观测屏上会聚于一点P，点与衍射角一一对应。
Q S(波前)
p
设初相为零
K ( ) 2r E dE C cos t dS r l S S
2 I E P点的合成光强：
衍射的分类 有限远 菲涅耳衍射： 有限远 无限远 夫琅和费衍射： 无限远
S
光源
障碍物
有限远 无限远 有限远 无限远
观 察 屏
观察屏
(c)
I N2I0 单 光栅衍射 光强曲线 单缝衍射 轮廓线
k= -8
-4
0
4
ll (dsin ()/ /d) 8
光强分布特点:
亮纹又亮又细，中间隔着较宽的暗区(即在黑暗的背 景上显现明亮细窄的谱线)。谱线的亮度还受到单缝 衍射因子的调制。
谱线的缺级
dsin =kl , asin =kl , 则缺的级次为 (光栅)亮纹( k=0,±1, ±2,…) (单缝)暗纹( k=±1, ±2,…)
大学物理学
第14章 光的衍射
§14.1 光的衍射现象 惠更斯-菲涅耳原理
光的衍射现象 惠更斯-菲涅耳原理


一.光的衍射现象
光遇到障碍物时，能绕过障碍物边缘而进入几 何阴影传播，并且产生强弱不均的光强分布，这种 现象称为光的衍射。
衍射屏 S
L
观察屏 S l
衍射屏 L
L
观察屏
l
a
* l10-3 a