(完整版)泰勒公式求极限部分资料
泰勒公式展开式大全
泰勒公式展开式大全泰勒公式是微积分中一个非常重要的概念，它可以用来将一个函数在某一点附近展开成无穷级数的形式。
这种展开式在数学和物理学中有着广泛的应用，可以用来近似计算函数在某一点的取值，也可以用来推导一些复杂的数学关系。
在本文中，我们将介绍泰勒公式的基本概念，并给出一些常见函数的泰勒展开式，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学工具。
泰勒公式的基本形式如下：\[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots \]其中，\( f(x) \) 是要展开的函数，\( a \) 是展开点，\( f'(a) \)、\( f''(a) \)、\( f'''(a) \) 分别是函数在点\( a \)处的一阶、二阶、三阶导数。
展开式右侧的无穷级数部分则是函数在点\( a \)处的泰勒展开式。
接下来，我们将给出一些常见函数的泰勒展开式。
1. 指数函数\( e^x \)的泰勒展开式：\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \]2. 三角函数\( \sin x \)的泰勒展开式：\[ \sin x = x \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \frac{x^7}{7!} + \cdots \]3. 对数函数\( \ln(1+x) \)的泰勒展开式：\[ \ln(1+x) = x \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \frac{x^4}{4} + \cdots \]4. 余弦函数\( \cos x \)的泰勒展开式：\[ \cos x = 1 \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} \frac{x^6}{6!} + \cdots \]以上是一些常见函数在零点处的泰勒展开式，通过这些展开式，我们可以近似计算这些函数在零点附近的取值。
用泰勒公式求函数极限的方法
科技视界Science &Technology VisionScience &Technology Vision 科技视界0引言对于求解函数极限的方法,有很多版本的数学分析书本中都谈到,很多参考文献和报刊中都详细的讲解了关于幂函数、指数函数极限的求解方法.裴礼文教授也详细的讲述了关于用洛必达法则来求函数的极限.而对于陈文灯教授也讲述了关于用等价无穷小与泰勒公式来求解函数的极限.以上关于用泰勒公式求函数极限的方法,本人也做了一些总结.1准备工作在我们所学的微积分中,其所研究的对象是函数.对于变量之间是否有函数关系,就是要看是否存在一种对应原则,使得按照这个对应规则,当其中一个变量或几个变量(称为自变量)的取值确定之后,余下的另一个变量(称为因变量)的取值就被确定了.只有一个自变量的函数称为一元函数,有多个自变量的函数称为多元函数.函数极限的两个定义:(1)设f 是在[a ,+∞)上的一个函数,A 是一个已经确定的数.如果对任意所给的ε>0,都存在一个正数M ,其中M 大于或等于a ,使得当x>M 时有f (x )-A <ε,则称函数f 当x 趋向+∞时它是以A 为它的极限值,我们记为f (x )→A (x →+∞).在上述中正数M 的作用和函数极限的定义差不多,表明x 是充分大的程度;x 是比M 大的所有实数,而不只是一个正整数,因此,当x 趋向正无穷大时,函数f 以a 为极限那么:a 的很小的领域内必含有f 在正无穷大的一个领域内的全部函数值.(2)设函数f 在以点a 的某一个U o (a ,δ′)空心领域内有定义,其中A 是一个定数,如果对于任意的一个ε>0,存在正数δ(<δ′),使得当0<x-a <δ时有f (x )-A <ε,那么称函数f 当x 趋于a 时,是以A 为极限的,记作:lim x →af (x )=A 或者f (x )→A (x →a ).2利用泰勒公式求极限2.1以下是一些常见的:(1)e x =1+x +…+1n !x n +o (x n ),x ∈(-∞,+∞);(2)cos x=1-12!x 2+…+(-1)n 1(2n )!x 2n +o (x 2n+1),x ∈(-∞,+∞);(3)sin x =x -13!x 3+…+(-1)n -11(2n -1)!x 2n-1+o (x 2n ),x ∈(-∞,+∞);(4)(1+x )α=1+αx +…+α(α-1)…(α-n +1)n !+o (x n ),x ∈(-1,+1);(5)ln(1+x )=x -12x 2+…+(-1)n -11nx n +o (x n ),x ∈(-1,+1].2.2利用泰勒公式求不确定的式子中的极限设f (x )与g (x )在x=a 的泰勒公式分别是f (x )=A (x-a )n +o ((x-a )n ),g (x )=B (x-a )m +o ((x-a )m ),其中A ≠0,B ≠0,则:lim x →a =f (x )g (x )=lim x →a A (x-a )n +o ((x-a )n)B (x-a )m +o ((x-a )m )=A B,m=n 时;lim x →a f (x )g (x )=lim x →a A (x-a )n +o ((x-a )n)B (x-a )m +o ((x-a )m )=0,n>m 时;lim x →a f (x )g (x )=lim x →a A (x-a )n +o ((x-a )n)B (x-a )m +o ((x-a )m )=∞,n<m 时.当易求f (x ),g (x )的泰勒公式,而f (x ),g (x )的导数计算比较复杂时,可以运用泰勒公式来计算极限lim x →a f (x )g (x )的值.例1求J =lim x →0x 22+1-1+x 2√(cos x-e x)sin x 2的值是多少?解:因为x 22+1-1+x 2√=x 22+1-1+12x 2-18x 4()+o (x 4)=18x 4+o (x 4)cos x-e x =1-12x 2()-(1+x 2)+o (x 2)=-32x 2+o (x 2)又因为sin x 2~x 2(x →0)所以J =limx →018x 4+o (x 4)-32x 2+o (x 2)[]x 2=18-32=-112例2利用泰勒公式求lim n →∞n-n 2ln 1+1n ()[]的值.解由于ln(1+x )=x -12x 2+o (x 2)(x →0),令x =1n,即得ln 1+1n()=1n -121n()2+o 1n 2()(n →∞)故lim n →∞n-n 2ln 1+1n ()[]=lim n →∞n-n 21n -121n()2+o 1n 2()()[]=lim n →∞12+n 2o 1n 2()[]=12.3总结用泰勒求极限的方法,在我们具体遇到问题时要灵活运用它.对与常见的几种函数的泰勒公式展开式要记住,并灵活运用.总之,对求解函数的极限,我们对具体问题运用什么方法要具体对待.[1]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993:49.[2]陈文灯.高等数学辅导[M].北京:世界图书出版社,2004:90-102.[3]刘玉琏,付沛仁.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,2010:13-21.[责任编辑:汤静]用泰勒公式求函数极限的方法芮小飞(阜阳师范学院附属中学,安徽阜阳263041)【摘要】在数学分析中,函数极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现,因此掌握好函数极限的求解方法是学习好数学分析的关键环节.本文就用泰勒公式求极限给予一个简单的概括,望对读者有所帮助.【关键词】函数;极限;泰勒公式279. All Rights Reserved.。
利用泰勒公式求极限分母的余项证明处理
泰勒公式是一种用于近似复杂函数的方法，它基于函数的导数信息在某一点附近展开函数。
泰勒公式的一般形式为：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)/2!(x-a)^2 + ... + f^n(a)/n!(x-a)^n + R_n(x)
其中，f^n(a) 表示函数 f 在点a的n阶导数，R_n(x) 是泰勒公式的余项，它表示了泰勒展开式与实际函数值之间的误差。
在求极限的过程中，我们有时需要处理分母含有泰勒公式的余项的情况。
为了处理这种情况，我们通常会使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule）或者泰勒公式的余项性质。
洛必达法则允许我们在极限表达式中分子和分母同时求导，从而简化表达式。
如果分子和分母在某一点的导数都存在，并且分母在该点的导数不为零，那么极限值就等于分子和分母在该点的导数的商的极限值。
对于泰勒公式的余项，如果我们知道它的阶数（即n的值），我们可以利用这个信息来估计余项的大小。
例如，如果余项是O((x-a)^(n+1))，那么当x趋近于a时，余项将趋近于零，因为任何正数的(n+1)次方在x趋近于a时都会趋近于零。
在处理含有泰勒公式余项的极限时，我们通常会结合使用洛必达法则和泰勒公式的余项性质。
首先，我们尝试使用洛必达法则简化表达式。
然后，我们利用泰勒公式的余项性质来估计余项的大小，从而确定极限的值。
请注意，这里提供的是一种一般性的方法，具体的处理步骤可能会因具体的函数和极限表达式而有所不同。
在实际应用中，我们需要根据具体情况灵活应用这些方法。
泰勒公式求极限题目
泰勒公式求极限题目以泰勒公式求极限计算是近代数学上一个重要的课题。
它不仅可以帮助我们计算复杂的函数表达式的极限，而且可以更深入地探讨数学中的各类概念。
本文旨在介绍如何用泰勒公式求极限，分析它的使用场景。
泰勒公式是由18世纪英国数学家约翰科斯特泰勒提出的。
它是一种应用多项式近似来分析函数曲线的算法。
其具体形式为：$ f(x)=f(a)+frac{f(a)(x-a)}{1!}+frac{f(a)(x-a)^2}{2!}+frac{ f(a)(x-a)^3}{3!}+cdots+frac{f^{(n)}(a)(x-a)^n}{n!}+O((x-a)^ {n+1})$其中$f(x)$为函数的导数，$f(x)$为二阶导数，$f^{(n)}$为n 阶导数，$n$为任意正整数，$O$表示无穷小项。
泰勒公式可以帮助我们计算函数的极限，这是其最重要的应用之一。
当$a$是函数$f(x)$在$x=a$时的上下极限时，若$f(x)$在$x$的邻域内可以用泰勒公式来近似，则$f(x)$的极限存在，并且等于： $ displaystyle lim_{x to a} f(x) =f(a)+frac{f(a)(x-a)}{1!}+frac{f(a)(x-a)^2}{2!}+frac{f(a)(x-a)^3}{3!}+cdots+frac{f^{(n)}(a)(x-a)^n}{n!} $事实上，泰勒公式的应用不仅仅局限于求极限这一类。
它也可以用来分析函数表达式在不同区间内的变化趋势，以及用来证明某一函数及其极限的准确性等。
比如，当我们需要证明某一函数及其极限的准确性时，可以首先用泰勒公式以多项式的形式表示出来，然后比较形式之间的差距，最后结论出给定的函数及其极限是否满足条件。
此外，泰勒公式也可以用来求函数表达式在某一区间内的变化趋势。
下面我们将以一维函数为例，详细分析如何运用泰勒公式。
在这里，我们拟定一维函数$f(x)=sin(x)$，它在$[-3,3]$区间内变化如下：当$ -3 leq x leq -2 $时，由于函数有一个拐点，所以函数值随着$x$增大而减小。
泰勒公式
泰勒公式泰勒(Tayloy)公式是微积分中的一个重要公式，也是进行数学理论研究与计算的重要的工具，但大多数的高等数学教材中，对泰勒公式应用的介绍都较少，导致学生难以掌握泰勒公式及其应用技巧。
由于低次多项式不能精确地表示函数并进行近似计算，在遇到一些精度要求较高，需要进行误差估计的情况时，就需要用高次多项式来近似表示函数并给出相应的误差公式。
泰勒公式是数学分析中一个重要的偏方程，因此在数学中有很高的地位。
泰勒公式教学方法泰勒公式是高等数学微分学教学中的重点和难点，其教学方法一直吸引着广大数学教师研究。
但是泰勒中值定理和泰勒公式比较抽象深奥，真的会让大部分同学感到困惑不解。
虽然他们已经充分预习，认真听讲，但还是会感到一头雾水，满腹疑问。
困难、无知、不理解是学生学习泰勒公式后的主要感受。
作为一个传道授业解惑的老师，我一直希望改变这种现象，希望泰勒公式给学生留下最深的印象是好的、有用的、实用的。
所以这门课的教学需要老师投入更多的精力去设计自己的教学方法和教学思路。
例：设函数f（x）在x=x0处存在二阶导数，试证：等式右端是一个二次多项式加一个高阶无穷小项。
我们回顾一下它的证明。
通过上节课的知识，我们只需要用一次洛必达法则和导数的定义就证明了这个结论。
但是，我们并不是第一次用多项式来表示一般的函数了，在第二章学习微分的时候，我们知道，如果函数f（x）在x=x0处可微，则f（x）=f（x0）+f忆（x0）（x-x0）+o（x-x0）。
这说明如果函数f（x）在x0处有一阶导数，则f（x）等于一个一次的多项式加x-x0的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有二阶导数，则f（x）等于一个二次的多项式加（x-x0）2的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有三阶导数呢，大家猜想，我们会得到什么结论？到了这里，学生会自然而然地想到：如果函数f（x）在x0处有三阶导数，那么f（x）就等于一个三次的多项式加（x-x0）3的高阶无穷小。
多元函数的Taylor公式与极值问题课件
实际应用中的考虑因素
实际问题的背景
在应用极值理论时，需要考虑实际问题的背景和限制条件，如物 理定律、约束条件等。
数据的不确定性
在实际问题中，数据往往存在不确定性，需要考虑这些不确定性 对极值分析的影响。
模型的适用性
在应用极值理论时，需要考虑模型的适用性，确保模型能够准确 地反映实际情况。
07
与望
05
利用Taylor公式求解极
方法概述
定义
Taylor公式是用于近似表达一 个多元函数在某点附近的行 为
的公式。
形式
Taylor公式的一般形式为 f(x)≈f(a)+f'(a)(x−a)+12f''(a) (x−a)2+…+1n!f(n)(a)(x−a)n
+…。
应用
利用Taylor公式，我们可以找 到函数在某点的极值。
06
极求解的注事与 技巧
常见错误分析
忽视函数的定义域
在求解极值问题时，必须先确定函数的定义域，否 则可能导致错误的结论。
对导数的理解不足
导数描述了函数在某一点的切线斜率，若对导数的 理解不准确，可能导致错误的极值点判断。
未考虑多极值点的情况
在某些情况下，函数可能有多个极值点，需要全面 考虑，避免遗漏。
定义
一元函数在某点的Taylor公式是 该函数在该点附近的一个多项式 近似表示。
形式
一元函数的Taylor公式的一般形 式为 f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^(n)(a)(x -a)^n/n! + Rn(x)
CH174泰勒公式与极值问题
每瓶卖 元y，则每天可卖出
70 5x 4 y
瓶本地牌子的果汁， 80 6x 瓶 7外y地牌子的果
汁.问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁
可取得最大收益？
每天的收益为 f ( x, y) ( x 1)(70 5x 4 y) ( y 1.2)(80 6x 7 y)
求最大收益即为求二元函数的最大值.
则仅需 z f (x, y) 在点(x0, y0) 的某一邻域内有
直到 n 阶连续偏导数 ,便有
f (x0 h, y0 k) f (x0, y0 )
n
1 P!
(h
x
k
y
)
P
f
( x0 ,
y0 )
o
n
P1
18
(3) 当 n = 0 时, 得二元函数在凸域上的拉格朗日中值公式:
f (x0 h, y0 k) f (x0, y0 )
例3. 设
f 具有二阶连续偏导数,
求 w, 2w .
x x z
w , f1 , f2
解: 令 u x y z , v xyz , 则
uv
w f (u, v)
w x
f2 yz
x y zx y z
y z f2 (x y z, xyz)
2w xz
f12 xy
f22 x y
3
例如, f (x, y)
xy
x2 x2
y2 y2
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
fx (x, y)
y
x4
4x2y2 (x2 y2)2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
f y (x, y)
泰勒公式ppt课件精选全文完整版
sin x
x
x3 3!
x5 5!
(1)m1 x2m1 (2m 1)
!
R2m
(
x)
其中 R2m (x)
s(in1()mxcos2(m2x1) ) x2m1 (0 1)
(2m 1) !
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类似地,可得
cos x
1 x2 2!
x4 4!
f (k)( x0 )
n!an f (n) ( x0 ). (k 0,1,2,, n)
代入 Pn ( x)中得
Pn ( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2f(n)( x n!)(x
x0
)n
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三、泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间(a, b) 内具有直到(n 1) 阶的导数,则
当 x在(a,b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个 n次多项式与一个余项Rn ( x)之和:
f (x)
f ( x0 )
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例1:求函数 f (x) ex 的n阶麦克劳林展开式.
解:因为 f'x f''x fn x e x ，
所以 f0 f'0 f''0 fn 0 1 .
故
ex
1 x x2
泰勒公式详解范文
泰勒公式详解范文泰勒公式是数学中非常重要的一种展开方法，它能将一个函数在其中一点的附近展开成一个无穷级数。
这个无穷级数称为泰勒级数。
泰勒公式的应用非常广泛，对于求函数的近似值、证明函数的性质、研究函数的变化等都有很大的帮助。
在本文中，我将详细介绍泰勒公式的原理、展开形式以及应用。
一、泰勒公式的原理泰勒公式是基于函数的光滑性原理建立的。
如果一个函数在其中一点附近有足够多的导数存在，那么该函数在该点附近能够用一个无穷级数来表示。
泰勒公式的原理可以用下面的数学表达式来表示：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...其中，f(x)是要展开的函数，a是展开点，f'(a)、f''(a)、f'''(a)等表示在a点处的一阶、二阶、三阶导数。
展开后的级数中的每一项都包含了函数在该点附近的其中一阶导数。
二、泰勒公式的展开形式根据泰勒公式的原理，我们可以得到几种不同的展开形式。
具体展开的形式取决于我们希望展开到多少项以及展开点的选择。
下面是一些常见的泰勒公式展开形式：1.泰勒一阶展开（线性近似）f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)2.泰勒二阶展开（二次近似）f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!3.泰勒三阶展开（三次近似）f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!4.泰勒四阶展开（四次近似）f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+f''''(a)(x-a)^4/4!根据需要，我们可以选择展开到任意阶数，展开点的选择也可以根据实际情况来定。
极限求解--泰勒公式理解
tan x - sin x x 1 x3 o(x3 ) - (x 1 x3 0(x3 )) 1 x3 o(x3 )
3
6
2
这里由“幂次最低”原则，因为分母化简后 x3 系数不为 0，因此取到 3 次幂即可，由此在化简
分子的时候，也只需要化简到 3 次幂就可以了；
由分子为复合函数相减，将(1)和(2)代进(3)，有：
次方即可（不理解的小伙伴可以根据前面的高阶无穷小计算规则进行理解）
在(6)式中，看似很复杂，我们主要抓住 3 次幂这个点就可以简单拆分了，如 1 (x 1 x3 )2 23
一般的计算结果为 1 (x2 2x 1 x3 (1 x3 )2 ) ，但我们可以看出后面两项为 o(x3 ) ，原因是
2
lim 计算
etan x esin x
x0 tan x sin x
【分析】
先将基本展开式写出来：
tan x x 1 x3 o(x3 ) (1) sin x x 1 x3 0(x3 ) (2)
3
6
因为分母看着要比分子容易化简，所以我们先化简分母
ex 1 x 1 x2 1 x3 o(x3 ) (3) 26
【举个栗子】已知当x
x2
0时，e 2
cos
x与ax b是等价无穷小, 求a, b
【分析】
当x 0时，
x2
e2
1 ( x2 ) 1 ( x2 )2 1 ( x2 )3 o(( x2 )3 )
222 62
2
cos x 1 x2 x4 o(x4 ) 2 24
由上面可见，当 x为4次方时，A和B的展开式系数不一样了 ，因此取到最低次幂也 就是4
33
除了第一项，其他的项进行展开时都带有 1 x3 ，所以实际上我们只需要将 1 (x 1 x3 )2 写成
泰勒公式求极限例题
泰勒公式求极限例题《泰勒公式求极限的例题》泰勒公式是微积分中常用的一个重要工具，用于近似计算函数在某一点附近的极限值。
下面我们通过一个例题来说明如何使用泰勒公式。
假设我们要求解函数$f(x) = e^x$ 在$x=0$ 处的极限。
我们可以使用泰勒公式来近似计算这个极限值。
首先，根据泰勒公式，我们需要确定到哪一阶的泰勒展开式能提供足够准确的近似。
在这个例子中，由于指数函数的各阶导数都是$e^x$ 本身，因此我们可以使用任意高阶的泰勒展开式。
其次，我们需要计算$f(x) = e^x$ 在$x=0$ 处的各阶导数。
根据指数函数的性质，我们可以发现$f(x) = e^x$ 的任意阶导数都是$e^x$ 。
因此，在$x=0$ 处的各阶导数均为$e^0 = 1$。
接下来，我们可以利用泰勒公式的公式形式，得到函数$f(x) = e^x$ 在$x=0$ 处的泰勒展开式：$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$带入我们之前计算得到的各阶导数值，得到：$f(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$现在，我们可以使用该泰勒展开式来近似计算函数$f(x) = e^x$ 在$x=0$ 处的极限。
根据泰勒公式的定义，我们可以取足够多的项来逼近目标极限值。
假设我们取前n项来逼近。
那么，当n趋向于无穷大时，求和式$\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}$ 将无限趋近于函数$f(x) = e^x$ 。
因此，我们可以将$f(x) = e^x$ 在$x=0$ 处的极限近似为泰勒展开式的前n项求和：$\lim_{x \to 0} f(x) \approx \lim_{x \to 0} \sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}$通过不断增大n的值，我们可以得到越来越精确的近似结果。
泰勒公式与极值问题
;
2z 2z x x 2z x y x y
s t
x2
s
t
x
y
s
t
t
s
2z y2
y s
y t
z x
2x s t
z y
2y s t
;
2z 2z . t s s t
用前面相同的方法, 又可得到
F ( x, y) f yx ( x0 3 x, y0 4 y) x y ( 0 3,4 1).
当 x, y 不为零时，由 (5), (6) 两式又得
f x y ( x0 1 x, y0 2 y) f y x ( x0 3 x, y0 4 y)
由 (4) 则有
F ( x, y) fxy ( x0 1 x, y0 2 y) x y
( 0 1,2 1).
(5)
如果令
则有
( x) f ( x0 x, y) f ( x0, y),
F ( x, y) ( y0 y) ( y0 ).
fx yz ( x, y, z), fxz y ( x, y, z), f yz x ( x, y, z),
f y xz ( x, y, z), fz x y ( x, y, z), fz y x ( x, y, z) 若在某一点都连续，则它们在这一点都相等． 今后在牵涉求导顺序问题时, 除特别指出外, 一般 都假设相应阶数的混合偏导数连续． 复合函数的高阶偏导数 设
f ( x0 , y0
泰勒公式求极限的原理
泰勒公式求极限的原理泰勒公式求极限的原理极限是数学中的一个基础概念，它在微积分、数列等领域中有着重要的应用。
在数学中，常常需要用到泰勒公式去求解一些函数的极限，那么，泰勒公式求极限的原理是什么呢？首先，我们来了解一下泰勒公式的基本原理。
泰勒公式又叫做泰勒展开式，是数学中经典的函数逼近方法。
其实质就是将某一个光滑的函数在某一个点附近展开成一个多项式函数，通过多项式函数的计算，可以较好地逼近原函数，并求得函数在该点的各种导数值。
那么，我们该如何利用泰勒公式来求求极限呢？其实，利用泰勒公式求极限的方法有许多，下面就来分别介绍几种方法。
（一）常数项求极限法这种方法适用于在极限计算时无法使用洛必达法则求解的情况。
具体来说，假设有函数$f(x)$，其在$x_0$处展开式为$f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+...$那么，对于该函数在$x_0$处的极限情况，可以利用泰勒公式展开式中的常数项，即$f(x_0)$来求得。
例如，对于函数$\frac{1-\cos x}{x^2}$，在$x=0$处的展开式为$\frac{1}{2}-\frac{x^2}{4!}+\frac{x^4}{6!}-\frac{x^6}{8!}+...+\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}+...$因此，其在$x=0$处的极限为$\frac{1}{2}$。
可以说，常数项求极限法是泰勒公式求极限的最基本方法。
（二）一阶导数求极限法这种方法适用于在极限计算时无法确定常数项的情况。
直接利用$f(x)$的一阶导数值$f'(x_0)$即可确定该函数在$x_0$处的极限。
例如，对于函数$\sqrt{1+x}-1$，在$x=0$处的展开式为$x-\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{8}-\frac{x^4}{16}+...\frac{(-1)^{n+1}x^n}{2^n}+...$因此，其在$x=0$处的导数值为1，因此其在$x=0$处的极限为0。
泰勒公式求极限
泰勒公式求极限S1：函数极限存在情况讨论根据S2的分析，我们知道函数极限在排除有界变量等特殊情况之下，可通过使用泰勒公式分别将分子分母等价位一个x的幂次项（最低幂次），从而化为式limx→0axkbxl1.极限为0的情况当（，a=0，b≠0）或(a≠0,b≠0,k>l)时，limx→0axkbxl=02.极限为∞的情况当（，a≠0，b=0）或(a≠0,b≠0,k<l)时，limx→0axkbxl=∞3.“上下同阶”的情况此时有k=l且（，a≠0，b≠0）时，limx→0axkbxl=ab毋庸置疑，考研的考点就是第三种情况！在我做题的逻辑上，是先进行S2的“等价无穷小”（泰勒公式），才进行后面的情况探讨，实际上，大家也可以看出来，化成最低幂次的形式，结果显然易得，或许根本不需要分类讨论，这就是我为什么刚开始没写这部分的原因，没有探讨的深度！实际上，你只要用泰勒公式做个30道题左右，自然会体悟出泰勒公式使用的注意点，希望大家身体力行，否则，即便看了我的分享，可能在考场上也无法用到！S2：更为广泛的等价无穷小！那么，就让我们来阐述以下泰勒公式的使用注意点！首先给出常用的8个泰勒展开公式！当x→0时，一些常用函数可用一组多项式来表示，即sinx=x−x36+o(x3)arcsinx=x+x36+o(x3)tanx=x+x33+o(x3)arctanx=x−x33+o(x3)cosx=1−x22+x424+o(x4)ln(1+x)=x−x22+x33+o(x3)ex=1+x+x22+x36+o(x3)(1+x)α=1+αx+α(α−1)2x2+α(α−1)(α−2)6x3+o(x3)(或α=±1或12最常用)tips：在考研数学范围内，以上常用函数和展开项数均达到考研考察的上限！一.x→0一定要注意此处给的泰勒公式仅适用于x→0时的情况，所以，当（）x→a（a≠0）或x→∞时的情况，需要先进行代换，即令t=x−a或t=1x,此时，有t→0，即可放心使用泰勒公式。
泰勒定理
泰勒定理，函数极值判定当一个函数给出了具体表达式后，有的函数值并不是很容易计算，例如f(x)＝e x ，f ＝e 0^312，若用十进制表示，如果不借助计算器或查表是很难计算出来的。
如何解决这一难题，多项式函数是各类函数中最简单的一种，因为它只需用到四则运算，从而使我们想到能否用多项式近似表达一般函数，实际上这是近似计算与理论分析的一个重要内容。
若函数为n 次多项式f(x)＝a ０+a 1（x-x ０）＋a ２（x-x ０）２＋……＋a n (x-x ０)n (1)逐次求它在x=x ０处的各阶导数，有f(x ０)＝a ０，f ′（x ０）＝a １，f ″（x ０）＝2!，a ２，……，f (n)(x ０)＝n!a n即 a ０＝f(x ０)，a １＝f ′（x ０），a ２＝!2)x ("f 0……，a n ＝!n )x (f 0)n (因而(1)式可写为f(x)=f(x ０)+f ′（x ０）（x －x ０）＋!2)x ("f 0 (x －x ０)２＋……＋!n )x (f0)n ( (x －x ０)n (2)所以多项式f(x)的各项系数由其各阶导数值唯一确定对一般函数f(x)，若存在直到n 阶导数，则按(2)式右端也可以相应地写出一个多项式，记作P n (x)，则P n (x)＝f(x ０)＋!1)x ('f 0 (x-x ０)＋!2)x ("f 0(x-x ０)２＋……＋!n )x (f 0)n ( (x-x ０)n那么f(x)与P n (x)之间有什么关系呢，由拉格朗日定理知，若f(x)在x ０的邻域内存在一阶导数，则f(x)－f(x ０)＝f ′(ζ)(x －x ０) 即 f(x)＝f(x ０)＋f ′（ζ）(x －x ０)若f(x)在x ０的邻域内存在n+1阶导数，则f(x)=P n (x)＋Ｋ（x －x ０）n＋１k 与f （n+1）（ζ）有关，因此，我们猜想f(x)=P n (x)＋)!1n ()(f)1n (+ξ+ (x-x ０)n+1因此，有定理(泰勒(Taloyr )定理) 设函数f(x)在区间X 上存在n ＋1阶导数，对每一个x ０∈X ，则任给x∈X,有f(x)＝P n (x)＋)!1n ()(f )1n (+ξ+ (x －x ０)n＝f(x ０)＋f ′（x ０）（x －x ０）＋!2)x ("f 0 (x －x ０)２＋……＋!n )x (f0)n ( (x －x ０)n ＋)!1n ()(f )1n (+ξ+ (x-x ０)n (1)ζ介与x ０，x 之间的某一点。
泰勒公式
泰勒公式一、问题：设函数)(x f 在含有0x 的开区间(a , b )内具有直到1+n 阶导数, 问是否存在一个n 次多项式函数n n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+= (3.1)使得 )()(x P x f n ≈, (3.2) 且误差)()()(x p x f x R n n -=是比n x x )(0-高阶的无穷小,并给出误差估计的具体表达式.二、泰勒中值公式200000)(!2)())(()()(x x x f x x x f x f x f -''+-'+=)()(!)(00)(x R x x n x f n n n +-++ (3.6) 拉格朗日型余项 10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ (3.7) 佩亚诺形式余项 ].)[()(0n n x x o x R -= (3.9) 带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式)(!)0(!2)0()0()0()()(2n n n x o x n f x f x f f x f +++''+'+= (3.12) 从公式(3.11)或 (3.12)可得近似公式n n x n f x f x f f x f !)0(!2)0()0()0()()(2++''+'+≈ (3.13) 误差估计式(3.8)相应变成n n x n M x R ||)!1(|)(|+≤(3.14)例1（讲义例1）写出函数x x x f ln )(3=在10=x 处的四阶泰勒公式. 例2（讲义例2）求x e x f =)(的n 阶麦克劳林公式. 例3（讲义例3）求x x f sin )(=的n 阶麦克劳林公式. 常用初等函数的麦克劳林公式： 12)!1(!!21+++++++=n x n xx n e n x x x e θ )()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x )()!2()1(!6!4!21cos 22642n n n x o n x x x x x +-++-+-= )(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x )(1112n n x o x x x x+++++=- +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m例4（讲义例4）求 xy -=31 在1=x 的泰勒展开式. 例5求函数 x xe x f =)(的n 阶麦克劳林公式。
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关于用泰勒公式求极限的部分讲解
1. 用奏勒必丸求收曝
【例2. 23】求械般liml ；―J —L - —U1 .
工 ＜ 111(1 一 工・) SHL - X )
【分析与解苔】请对照若本眩的解答过理去看题斥的【注】并棒刻题佥* 申极炭=恤号吟
「呼1+于＞ —一 •泄!二!坦丄土4
O (.T X )]
+ 卜'—-J-J* —◎(*)]
........ .... ......... ..... ......... . 1 lim zT lll( 1 + J- >- Sin J- .2 MJ —lin
(2〉若所展園数为丙个以上审数的代数和■应展开到鼻为几次穿？原则圧：分别展
开到它们的系数消不掉的丁次数展低项为止.例如山一"2=工- 4-T 3+O (J 3)即町・ 0
呆话需要宙出无穷小的运算规则：讼为正能数•则
(Do(r-) ±。
(*) =/>(./) • / =
(加减法时低阶-吸收•'角阶) ②o(广)• o(j n ) = o(x^) x R •o(x -) =o(工f)(義除法时阶数-累加”)
Oo(JLr-) =▲ •。
(二・)一 o(J)M H 0，为計数(非冬常敷不影响阶数)
/解了乗勒公式的使用•接下来我们去处理常见的泰勒公式•去休脸其魅力•熟记下而 一组公
式’
'十❶(j?)
ln( 1+工)=工一• r 2~o(j 2) ⑤
【拄】(1)対以上公式踐坝•可以鮒到一纠爭函敎的尊价无穷小.
依次可彳孕： 二】< —r 1 ・arcsitkr — 4-./* ・ i ：m ：—』■-寺“"■ «r —srctanx 〜寺工'■ x hi(l t 丄〉~
・
(2)變学会对这组叢旳数的尊价尢穷小公式广义化•例如：当 LC 时•若柯-0•则
ill x — stnor P ■可得，狗— bin 向 豹' ■迸咅自己去举一反二.
【分析与解答】因 x-^Otftinjr-^Ot
由狗一Nn 殉〜*(殉)珂狗~0)
丄
故原极^ = lim- sin.r=.r — -^-T 3 4-n( r*) 6
arcsinx —JC -討+心)②
【例2.2J 】求lim Mnr[：sirKr-Bin«eirxr)]
4/ sin.r —sin(sinj-) —(sirvr)3 b (sinr)1
丄
7* taiu -• J
x**O
【例2・26俅I E 些口泌二彳咲
i •oarctaivr — tanx [分析与解答】因 j —K) H4 •arcsinr—siar^yj 3 > arctaar —tan.T
3
訐 1 故原极限= lim 」L = — +・
3
堆续看一个综合题.
【例2・27】当文~0时・f(x) = J — (ox 十昴iikz)COSJ 3P 是符价无穷小•求常数a ■ b. 【分析与解答】因为 Sinx = JT — ryX S + n(J 3 ) • COSJ = 1 —-JrJ 2 +<)&)•
3!
Z! _£，)+o(F )](1 -芥2 +o(z ：))
(“一&)』一 -|-&z 1 十 O (P 川】一)j
ff +fk +o (y )
, 故 1 —(a +厶)=0
¥ +专=】. 丁是 a =— 2 ■b = 3• 2. 乙知权眼反求手裁
处理比类何削恋用的方法为结论：
a •若 lim “V? = c 存任•则 limx;(二)一 0= lim/(x)= 0. * -□ g (x ) < <-*C J
b ・若lim 今丄-
c ,0 ♦则 lim/(/)■ 0= lim 呂(工)■ 0. Jf ■口 g (工) 上・口 * •口
^lim/(r)=co»hm^( r) = oo t BU 二者为同阶无穷大. r-«n JT •口 c. 若 linij (J )^(X )= c 存任•则 lim/ (x)= 80 lim^(x)= U ・ z-*0 z->C d. 若lirn( f (x)—g(x))存妊•则lim/(_r)=8nlim£(Q- •一者为同阶入. L 口 L 口 X*U
••若lim /a? [£(・")=< 存在•在分n 中加减一些项•使分了中出现一些典型的差所 A
(J -) 数的形式，使lim 八护⑴=lirn ⑴)一小厂厂&⑴=I 诚川打仁)- h (r) 一口 A (J ) ••匚 h (x)
OJC =(1 — (a 十 b)Xr +
»（『）一厂）
h（r）
拆分后•其中束项可用泰衲公式直接得结果•见例2.30的解法二.
【1 2・ 28】若lim （J £ + jr + 1" + ax +，»） = 0 •求a ・/>・
【分析与解答】由（c）结论•腺示「此题的突慨I」金尸式子圧边提取8这坝.
故原极限=■】im（—x）（J1 +丄+当—“ 一=
lim f /1 + —
上―8r z丿
b =— lim （+ 丁 + 】+ r）=— lim …"〒丄 ------- =
■一冷 +工 + 1 —a* 2
【例2. 29】若lim （z•十7工’十1 ）* —J = b • < n > 4 ft -A 0 ）•求m
■ rt、【分析与樓答】此极限为—8”型・口极限存在•那么在丹> 4 （h + 7h + l）
・的工的最髙次呈为工E •如=1 •舍则祓限一定不存在.于是原极限■ lim （/•十
7+十1 —工）=〃
jrf 8 '
的条件下.
71十M十丄_]
LV 亍才
7 1
因而川—1=4・；1 = 5・〃=一•加==・
V V
[例2・30】i殳皿】叫1+匸）_冲4心 =2 ■则a =
"■•o jr
lim x
【分析与解答】解法一：使用祭勒公式
原极限=lim
—o
x ---- —x2 + o(x2)—ar —6tr2
___ 一
7
(1 — )r — ( -y + 6 lr s + o (J* )
lim ---------------- ' . 2 ------
LO JC9
因而1 —a = 0 • — (+ 十町=2=>a = 1.6 =—亍.。