(完整版)泰勒公式求极限部分资料

关于用泰勒公式求极限的部分讲解

1. 用奏勒必丸求收曝

【例2. 23】求械般liml ；―J —L - —U1 .

工 ＜ 111(1 一 工・) SHL - X )

【分析与解苔】请对照若本眩的解答过理去看题斥的【注】并棒刻题佥* 申极炭=恤号吟

「呼1+于＞ —一 •泄!二!坦丄土4

O (.T X )]

+ 卜'—-J-J* —◎(*)]

........ .... ......... ..... ......... . 1 lim zT lll( 1 + J- >- Sin J- .2 MJ —lin

(2〉若所展園数为丙个以上审数的代数和■应展开到鼻为几次穿？原则圧：分别展

开到它们的系数消不掉的丁次数展低项为止.例如山一"2=工- 4-T 3+O (J 3)即町・ 0

呆话需要宙出无穷小的运算规则：讼为正能数•则

(Do(r-) ±。(*) =/>(./) • / =

(加减法时低阶-吸收•'角阶) ②o(广)• o(j n ) = o(x^) x R •o(x -) =o(工f)(義除法时阶数-累加”)

Oo(JLr-) =▲ •。(二・)一 o(J)M H 0，为計数(非冬常敷不影响阶数)

/解了乗勒公式的使用•接下来我们去处理常见的泰勒公式•去休脸其魅力•熟记下而 一组公

式’

'十❶(j?)

ln( 1+工)=工一• r 2~o(j 2) ⑤

【拄】(1)対以上公式踐坝•可以鮒到一纠爭函敎的尊价无穷小.

依次可彳孕： 二】< —r 1 ・arcsitkr — 4-./* ・ i ：m ：—』■-寺“"■ «r —srctanx 〜寺工'■ x hi(l t 丄〉~

・

(2)變学会对这组叢旳数的尊价尢穷小公式广义化•例如：当 LC 时•若柯-0•则

ill x — stnor P ■可得，狗— bin 向 豹' ■迸咅自己去举一反二.

【分析与解答】因 x-^Otftinjr-^Ot

由狗一Nn 殉〜*(殉)珂狗~0)

丄

故原极^ = lim- sin.r=.r — -^-T 3 4-n( r*) 6

arcsinx —JC -討+心)②

【例2.2J 】求lim Mnr[：sirKr-Bin«eirxr)]

4/ sin.r —sin(sinj-) —(sirvr)3 b (sinr)1

丄

7* taiu -• J

x**O

【例2・26俅I E 些口泌二彳咲

i •oarctaivr — tanx [分析与解答】因 j —K) H4 •arcsinr—siar^yj 3 > arctaar —tan.T

3

訐 1 故原极限= lim 」L = — +・

3

堆续看一个综合题.

【例2・27】当文~0时・f(x) = J — (ox 十昴iikz)COSJ 3P 是符价无穷小•求常数a ■ b. 【分析与解答】因为 Sinx = JT — ryX S + n(J 3 ) • COSJ = 1 —-JrJ 2 +<)&)•

3!

Z! _£，)+o(F )](1 -芥2 +o(z ：))

(“一&)』一 -|-&z 1 十 O (P 川】一)j

ff +fk +o (y )

, 故 1 —(a +厶)=0

¥ +专=】. 丁是 a =— 2 ■b = 3• 2. 乙知权眼反求手裁

处理比类何削恋用的方法为结论：

a •若 lim “V? = c 存任•则 limx;(二)一 0= lim/(x)= 0. * -□ g (x ) < <-*C J

b ・若lim 今丄-

c ,0 ♦则 lim/(/)■ 0= lim 呂(工)■ 0. Jf ■口 g (工) 上・口 * •口

^lim/(r)=co»hm^( r) = oo t BU 二者为同阶无穷大. r-«n JT •口 c. 若 linij (J )^(X )= c 存任•则 lim/ (x)= 80 lim^(x)= U ・ z-*0 z->C d. 若lirn( f (x)—g(x))存妊•则lim/(_r)=8nlim£(Q- •一者为同阶入. L 口 L 口 X*U

••若lim /a? [£(・")=< 存在•在分n 中加减一些项•使分了中出现一些典型的差所 A

(J -) 数的形式，使lim 八护⑴=lirn ⑴)一小厂厂&⑴=I 诚川打仁)- h (r) 一口 A (J ) ••匚 h (x)

OJC =(1 — (a 十 b)Xr +

»（『）一厂）

h（r）

拆分后•其中束项可用泰衲公式直接得结果•见例2.30的解法二.

【1 2・ 28】若lim （J £ + jr + 1" + ax +，»） = 0 •求a ・/>・

【分析与解答】由（c）结论•腺示「此题的突慨I」金尸式子圧边提取8这坝.

故原极限=■】im（—x）（J1 +丄+当—“ 一=

lim f /1 + —

上―8r z丿

b =— lim （+ 丁 + 】+ r）=— lim …"〒丄 ------- =

■一冷 +工 + 1 —a* 2

【例2. 29】若lim （z•十7工’十1 ）* —J = b • < n > 4 ft -A 0 ）•求m

■ rt、【分析与樓答】此极限为—8”型・口极限存在•那么在丹> 4 （h + 7h + l）

・的工的最髙次呈为工E •如=1 •舍则祓限一定不存在.于是原极限■ lim （/•十

7+十1 —工）=〃

jrf 8 '

的条件下.

71十M十丄_]

LV 亍才

7 1

因而川—1=4・；1 = 5・〃=一•加==・

V V

[例2・30】i殳皿】叫1+匸）_冲4心 =2 ■则a =

"■•o jr

lim x

【分析与解答】解法一：使用祭勒公式

原极限=lim

—o

x ---- —x2 + o(x2)—ar —6tr2

___ 一

7

(1 — )r — ( -y + 6 lr s + o (J* )

lim ---------------- ' . 2 ------

LO JC9

因而1 —a = 0 • — (+ 十町=2=>a = 1.6 =—亍.