实用文档之好好看看几何模型

实用文档之"全等三角形相关模型总

结"

一、角平分线模型

(一）角平分线的性质模型

辅助线：过点G作GE⊥射线AC

A、例题

1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB的距离是cm.

2、如图，已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC.

3、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A＋∠C＝180°.

（二）角平分线＋垂线，等腰三角形必呈现

A、例题

辅助线：延长ED交射线OB于F 辅助线：过点E作EF∥射线OB 例1、如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F .

求证：

1

()

2

BE AC AB

=-.

例2、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB＝AD，作

CM⊥AD交AD的延长线于M. 求证：

1

()

2

AM AB AC

=+.

（三）角分线，分两边，对称全等要记全

两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B，使OB＝OA，从而使△OAC≌△OBC .

A、例题

1、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ 平分∠ABC交AC于Q，求证：AB＋BP＝BQ＋AQ .

2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由.

3、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）.

求证：AB－AC＞PB－PC .

4、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D，求证：AD＋BD＝BC .

5、如图，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D，求证：AC ＋CD＝AB .

二、等腰直角三角形模型

（一）旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等：

操作过程：

（1）将△ABD逆时针旋转90°，得△ACM ≌△ABD，从而推出△ADM为等腰直角三角形.

（2）辅助线作法：过点C作MC⊥BC，使CM＝BD，连结AM.

（二）旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：

操作过程：连结AD.

（1）使BF＝AE（或AF＝CE），导出△BDF ≌△ADE.

（2）使∠EDF＋∠BAC＝180°，导出△BDF ≌△ADE.

1、如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点M、N在斜边BC上滑动，且∠MAN＝45°，试探究BM、MN、CN之间的数量关系.

2、两个全等的含有30°，60°角的直角三角板ADE和ABC，按如图所示放置，

E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC.

试判断△EMC的形状，并证明你的结论.

3、已知，如图所示，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC中点，若M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN＝CM.

（1）试判断△OMN的形状，并证明你的结论.

（2）当M、N分别在线段AC、AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化？

4、在正方形ABCD中，BE＝3，EF＝5，DF＝4，求∠BAE＋∠DCF为多少度.

（三）构造等腰直角三角形

（1）利用以上（一）和（二）都可以构造等腰直角三角形（略）；

（2）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.

（四）将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：

1、如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，P为三角形ABC内部一点，

满足PB＝PC，AP＝AC，求证：∠BCP＝15°.

三、三垂直模型（弦图模型）

A、例题

已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC中点，AF⊥BD 于点E，交BC于F，连接DF .

求证：∠ADB＝∠CDF .

变式1、已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AM＝CN，AF⊥BM于E，交BC于F，连接NF .求证：（1）∠AMB＝∠CNF；（2）BM＝AF＋FN .

变式2、在变式1的基础上，其他条件不变，只是将BM和FN分别延长交于点P，

求证：（1）PM＝PN；（2）PB＝PF＋AF .

四、手拉手模型

1、△ABE和△ACF均为等边三角形

结论：（1）△ABF≌△AEC .

（2）∠BOE＝∠BAE＝60°.

（3）OA平分∠EOF .（四点共圆证）

拓展：△ABC和△CDE均为等边三角形

结论：（1）AD＝BE；

（2）∠ACB＝∠AOB；

（3）△PCQ为等边三角形；

（4）PQ∥AE；

（5）AP＝BQ；

（6）CO平分∠AOE；（四点共圆证）

（7）OA＝OB＋OC；

（8）OE＝OC＋OD .

（（7），（8）需构造等边三角形证明）

例、如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．（1）求证：△AMB≌△ENB；

（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费尔马点．若点M为△ABC的费尔马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；

（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，