北航有限元第3讲弹性问题有限元方法(1)PPT课件
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弹性力学有限元法.ppt
2021/3/11
13
在离散体中任取一个单元，三个节点按逆时针方向顺序编
号为i，j，m。节点坐标分别表示为（xi，yi），（xj，yj）， （xm，ym）。
2021/3/11
14
对于弹性力学平面问题，一个三角形单元上的每 个节点应有2个位移分量，则三角形单元共有6个自 由度： ui , vi ,u j , v j ,um , vm 。
u x
K
矩形单元：采用双线性位移模式，单元内的应力是线性
变化的。
u kx2 mx
(kx2 mx) x
3. 薄板弯曲单元和薄板单元
2021/3/11
7
4. 多面体单元
2021/3/11
8
5. 等参数单元：单元内任一点的位移与节点位移之间的关系 恰好和该点的坐标与节点坐标之间的关系相同。
任意四边形的边一般不平行于坐标轴，沿单元边的位 移将按抛物线变化，而不是线性变化。
2021/3/11
2
（2）分析单元的力学性质 列出单元节点和节点位移之间的关系式。应用几何方程和
物理方程来建立力和位移的方程式，导出单元刚度矩阵。
节点载荷和节点位移之间的关系式为：
Fe Kee
K e 为单元刚度矩阵。
（3）计算等效节点力：用等效的节点力来代替所有在单元 上的力。
2021/3/11
元位移模式。
u(x, v(x,
y) y)
Ni
(x, 0
y)
0 N j (x, y) Ni (x, y) 0
0 Nm (x, y) N j (x, y) 0
0
Nm
(
x,
y)
u Ne
2021/3/11
18
第三章弹性力学有限元法
3.3 单元分析
2.单元分析
K
11 rp
b a
rp(1
13r p
)
1
2
a b
r
p
(
1
1 3
r
p
)
其中：
K
12 rp
r p
1
2
r
p
K
22 rp
b a
r
p
(
1
1 3
r
p
)
1
2
a b
r p(1
1 3
r
p
)
K
21 rp
r p
a5 xy a11 xy
a6 y2 a12 y 2
i
j
l
3.3 单元分析
1. 单元的插值函数（各种多项式）
四节点矩形单元 的插值多项式
ue
v
e
a1 a7
a2 x a8 x
a3 a9
y y
a4 xy a11xy
N
i
1 (1 4
x a
)(1
y b
z
三角形环单元
O
y
x
3.2 连续体离散化
5.轴对称单元
四边形环单元
回转圆锥薄壳单元
z
O
y
x z
O
y
x
3.3 单元分析
1. 单元的插值函数（各种多项式）
m
u e
v
e
a1 a4
北航有限元分析与应用第三讲 ppt课件.ppt
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
u v
j j
简写为
N e INi
IN j
INm
i j
um
vm
ui
m
e
i j
m
vi
u v
j j
um
vm
[I]是单位矩阵，
[N]称为形函数矩阵，
Ni只与单元节点坐标有关，称为 单元的形状函数
3-2 平面问题的常应变(三角形)单元
坐标轴的平行移动而改变。
3-3 单元刚度矩阵
Fe [B]T[D][B]tdxdyδe
由于[D]中元素是常量，而在线性位移模式下，[B]中的
元素也是常量，且 dxdy A
因此
Fe [B]T[D][B]tA δe
Ke [B]T[D][B]tA
可以进一步得出平面应力问题和平面应变问题中的单元 刚度矩阵。
Fyj*
j
Fxj*
F ym m
y t
xy
F yi
x
F xi
i
F xm
(a)结点力、内部应力
Fym* m
x* y* xy*
F
* xm
(b)虚位移、虚应变
Fyi*
F
* xi
i
3-3 单元刚度矩阵
考虑上图三角形单元的实际受力，节点力和内部应力为：
Fxi
Fyi
F
Fxj Fyj
Fxm
Fym
u v
j j
um
vm
ui
1 2A
b0i ci
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
弹性力学与有限元完整版ppt课件
E 1 2 ,
. 1
平面应变
• 4 变形协调方程
平面应力
平面应变
调和方程
由6个简化为1个
平面问题
方程数量： 平衡方程——2个 物理方程——3个 几何方程——3个
合计 8
未知量：
应力分量——3个 x、 y、 xy
应变分量——3个
x、 y z、 xy
位移分量——2个
u、v
合计 8
第三章 弹性力学问题求解方法简述
• 研究的内容：
– 外力作用下
应力、应变、位移
• 物体变形——弹性变形、塑性变形
• 弹性变形：
– 当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材 料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无 关，也与变形历史无关。
• 塑性变形：
– 当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始 状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系 不再一一对应，与时间、与加载历程有关。
1.3 几个基本概念
1. 外力 2. 一点的应力状态 3. 一点的形变 4. 位移分量
1 外力
• 作用于物体的外力可以分为3种类型： 体力、面力、集中力。
• 体力——就是分布在物体整个体积内部各个质点上的
力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等 等。
• 面力——是分布在物体表面上的力，例如风力，静水
大小和方向不同。
• 体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X、
Y、Z表示，称为体力分量。
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为
负。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力 。
• 体力的因次：[力]/[长度]^3
• 表示：F={X Y Z}
. 1
平面应变
• 4 变形协调方程
平面应力
平面应变
调和方程
由6个简化为1个
平面问题
方程数量： 平衡方程——2个 物理方程——3个 几何方程——3个
合计 8
未知量：
应力分量——3个 x、 y、 xy
应变分量——3个
x、 y z、 xy
位移分量——2个
u、v
合计 8
第三章 弹性力学问题求解方法简述
• 研究的内容：
– 外力作用下
应力、应变、位移
• 物体变形——弹性变形、塑性变形
• 弹性变形：
– 当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材 料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无 关，也与变形历史无关。
• 塑性变形：
– 当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始 状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系 不再一一对应，与时间、与加载历程有关。
1.3 几个基本概念
1. 外力 2. 一点的应力状态 3. 一点的形变 4. 位移分量
1 外力
• 作用于物体的外力可以分为3种类型： 体力、面力、集中力。
• 体力——就是分布在物体整个体积内部各个质点上的
力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等 等。
• 面力——是分布在物体表面上的力，例如风力，静水
大小和方向不同。
• 体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X、
Y、Z表示，称为体力分量。
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为
负。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力 。
• 体力的因次：[力]/[长度]^3
• 表示：F={X Y Z}
弹性力学与有限元法1ppt课件
➢ 稳态分析 忽略时间效应。
➢ 瞬态分析 确定以时间为函数的温度等。 可模拟相变（融化及凝固）。
熨斗的瞬态热分析
28
本课程涉及到的高等数学及线性代数知识
1、泰勒级数
如果函数 f(x) 在点x0的某邻域内具有各阶导数 f ' (x), f '' (x),L , f (n) (x),L ，则可以将 f(x) 按照 泰勒级数展开为
应力种类
一次局部薄膜应 力
薄膜加弯曲应力
应力水平/MPa 限制值/MPa
41.12
167×1.5＝250.5
73.81
167×3.0＝511
评定结果 通过 通过
路径2
一次局部薄膜应 力
薄膜加弯曲应力
48.43 163.5
167×1.5＝250.5 167×3.0＝511
通过 通过
路径3
一次局部薄膜应 力
个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐
标轴正方向的为正，沿坐标轴负方向的为负。
B
y
40
第一章 绪论
弹性力学的基本方法
从取微元体入手，综合考虑静力（或运动）、几 何、物理三方面条件，得出其基本微分方程，再进行求 解，最后利用边界条件确定解中的常数。
按照方程中保留的未知量，求解方法可分为 应力法（以应力为未知量） 位移法（以位移为未知量） 混合法（同时以应力和位移为未知量）
zy x
b
xxyz zx
yz
y yx
B
o
A PA dx, PBz dy, PC dz y
x
同样，可以列出另两个力矩平衡方程。得出
yz zy , zx xz , xy yx
38
第一章 绪论
➢ 瞬态分析 确定以时间为函数的温度等。 可模拟相变（融化及凝固）。
熨斗的瞬态热分析
28
本课程涉及到的高等数学及线性代数知识
1、泰勒级数
如果函数 f(x) 在点x0的某邻域内具有各阶导数 f ' (x), f '' (x),L , f (n) (x),L ，则可以将 f(x) 按照 泰勒级数展开为
应力种类
一次局部薄膜应 力
薄膜加弯曲应力
应力水平/MPa 限制值/MPa
41.12
167×1.5＝250.5
73.81
167×3.0＝511
评定结果 通过 通过
路径2
一次局部薄膜应 力
薄膜加弯曲应力
48.43 163.5
167×1.5＝250.5 167×3.0＝511
通过 通过
路径3
一次局部薄膜应 力
个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐
标轴正方向的为正，沿坐标轴负方向的为负。
B
y
40
第一章 绪论
弹性力学的基本方法
从取微元体入手，综合考虑静力（或运动）、几 何、物理三方面条件，得出其基本微分方程，再进行求 解，最后利用边界条件确定解中的常数。
按照方程中保留的未知量，求解方法可分为 应力法（以应力为未知量） 位移法（以位移为未知量） 混合法（同时以应力和位移为未知量）
zy x
b
xxyz zx
yz
y yx
B
o
A PA dx, PBz dy, PC dz y
x
同样，可以列出另两个力矩平衡方程。得出
yz zy , zx xz , xy yx
38
第一章 绪论
弹性力学与有限元分析.ppt
上式建立了单元中任意一点的位移与节点位移的关系，
即通过单元节点位移 e 插值求出单元中任一点位移
f (x, y)，把位移函数的这种描述形式称为插值函数形
式。 形函数具有以下两个性质： 1、形函数 N i在节点 i处的值为1，而在其余两个节点 处的值为0。
2、在单元中任意一点，3个形函数之和为1，即：
差太大，即单元划分中不应出现过大的钝角或过 小的锐角，否则，计算误差较大。 在应力较大和应力集中的区域，单元应划分细一 些，以提高精度。 如果边界上有集中力作用，则该点应被划分为点。
单元的大小和数目应根据精度要求来确定，在保证
精度的前提下，力求采用较少的单元。
当物体的厚度有突变或物体由不同材料组成时，不 要把厚度不同或材料不同的区域划分在统一单元。
x y xy
且它们只是
x, y 的函数，与 z 无关。工程实际中，炮
筒、桥梁支座的柱形辊轴等都可简化为平面应变问题。
所以无论是平面应力问题还是平面应变问题，都只 需研究3个应力分量 x ,y ,xy，3个应变分量 x , y , xy
2个位移分量 U和 V。
四、单元划分
单元划分是有限元分析的基本前提，也是有限元 法解题的重要步骤。常用的单元类型有： 杆单元 平面单元 轴对称单元
空间单元 对平面问题，一般采用三角形单元，此时单元划
分应注意以下问题：
任一三角形单元的顶点必须同时也是其相邻三角
形单元的顶点，而不能是其内点。
三角形单元的3条边长（或3个顶角）之间不应相
x y xy
x y xy
北航有限元第3讲 弹性问题有限元方法(1)
Ωe Sp
要求单元的外力功，关键是求出单元上的体积力和面 积力等效作用到节点上的力的大小。
北京航空航天大学
Step 3. 单元集成——应变能
单元等效节点力列阵：
Pe 1 Pe = e P2
北京航空航天大学
构造单元位移函数： u ( x) = a0 + a1 x
利用节点条件： u ( xi ) = a0 + a1 xi = ui
u ( x j ) = a0 + a1 x j = u j
北京航空航天大学
1 ∫Ω σ ijδε ij dV = ∫Ω σ ij ⋅ 2 δ ui, j + δ u j ,i dV = ∫ σ ijδ ui , j dV = ∫ (σ ijδ ui ), j dV − ∫ σ ij , jδ ui dV
Ω Ω Ω
分部积分 高斯定理
= ∫ σ ijδ ui l j dA − ∫ σ ij , jδ ui dV
体积力 分布面力 集中力
外力载荷
北京航空航天大学
3.3 简单杆系问题的有限元求解过程
F
北京航空航天大学
Step 1: 几何离散——自然离散为2个杆单元 Setp 2: 单元特征分析
构造单元位移函数 应变的表达 应力的表达 单元的应变能 单元的外力功
北京航空航天大学
Step 3: 单元集成—系统的总势能 Step 4: 变分处理—线性方程组 Step 5: 处理位移边界条件并求解 Step 6: 计算每个单元的应变及应力
北京航空航天大学
∆ V= – W
弹性势能
弹性势能—弹性体变形后，产生弹性内力， 弹性势能—弹性体变形后，产生弹性内力，这 种力也具有对外作功的能力，称为弹性势能， 种力也具有对外作功的能力，称为弹性势能， 或弹性应变能。 或弹性应变能。
要求单元的外力功，关键是求出单元上的体积力和面 积力等效作用到节点上的力的大小。
北京航空航天大学
Step 3. 单元集成——应变能
单元等效节点力列阵：
Pe 1 Pe = e P2
北京航空航天大学
构造单元位移函数： u ( x) = a0 + a1 x
利用节点条件： u ( xi ) = a0 + a1 xi = ui
u ( x j ) = a0 + a1 x j = u j
北京航空航天大学
1 ∫Ω σ ijδε ij dV = ∫Ω σ ij ⋅ 2 δ ui, j + δ u j ,i dV = ∫ σ ijδ ui , j dV = ∫ (σ ijδ ui ), j dV − ∫ σ ij , jδ ui dV
Ω Ω Ω
分部积分 高斯定理
= ∫ σ ijδ ui l j dA − ∫ σ ij , jδ ui dV
体积力 分布面力 集中力
外力载荷
北京航空航天大学
3.3 简单杆系问题的有限元求解过程
F
北京航空航天大学
Step 1: 几何离散——自然离散为2个杆单元 Setp 2: 单元特征分析
构造单元位移函数 应变的表达 应力的表达 单元的应变能 单元的外力功
北京航空航天大学
Step 3: 单元集成—系统的总势能 Step 4: 变分处理—线性方程组 Step 5: 处理位移边界条件并求解 Step 6: 计算每个单元的应变及应力
北京航空航天大学
∆ V= – W
弹性势能
弹性势能—弹性体变形后，产生弹性内力， 弹性势能—弹性体变形后，产生弹性内力，这 种力也具有对外作功的能力，称为弹性势能， 种力也具有对外作功的能力，称为弹性势能， 或弹性应变能。 或弹性应变能。
弹性力学平面问题有限元法61页PPT
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基Βιβλιοθήκη 谢谢！弹性力学平面问题有限元法
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
有限元方法(课件)
第一章 有限元概貌与发展
有限元方法是近似求解数理边值问题的一种数值技术。这种方法大约有 60 年的历史。 它首先在本世纪 40 年代被提出，在 50 年代开始用于飞机设计。后来，该方法得到了发展并 被非常广泛地用于结构分析问题中。目前，作为广泛应用于工程和数学问题的一种通用方法， 有限元已相当著名。
简化成二阶微分方程
其边界条件为
d 2Φ dx2
=
x
+1
0< x <1
Φ x=0 = 0
(2.21) (2.22)
Φ x=1 = 1
(2.23)
此问题的精确解为
Φ(x) = 1 x3 + 1 x2 + 1 x 623
(2.24)
对(2．21)式积分两次，然后再应用(2.22)式和(2．23)式定出积分常数，就可很容易地
(2．6)
式中, v j 叫是定义在全域上的展开函数，c j 是待定的展开系数。{·}仍表示列向量，上标 T
表示向量的转置。将(2．6)式代入到(2．5)式中，我们得到
F
=
1 2
{c}T
∫Ω{v}L{v}T
dΩ{c}
− {c}T
∫Ω{v}
fd Ω
( ) 为了求 F Φ 极小，我们令其对 ci 的偏导数为零，从而得到线性代数方程蛆：
为了降低有限元矩阵未知量的数目，不少学者对高阶有限元也作过了大量的研究工作。 它的主要思想就是利用高阶的基函数对未知的场获得更精确的逼近，或者说在较稀疏的网格 上获得一般的线性插值基函数在稠密网格上同样的精度。但这种高阶的有限元通常也会产生 严重病态的矩阵，不利于快速求解，一直是个待解决的问题。
第二章 有限元方法入门 在本章中，我们首先回顾求解边值问题的两种经典方法，它们都包含着有限元方法的本 质。然后，应用一个筒单的例子，介绍有限元方法。最后，我们不针对任何特定问题来描述 该方法的基本步骤。 2．1 边值问题的经典方法 在本节中，我们首先定义边值问题，然后讨论边值问题求解的两种经典方法，一是里兹
有限元方法是近似求解数理边值问题的一种数值技术。这种方法大约有 60 年的历史。 它首先在本世纪 40 年代被提出，在 50 年代开始用于飞机设计。后来，该方法得到了发展并 被非常广泛地用于结构分析问题中。目前，作为广泛应用于工程和数学问题的一种通用方法， 有限元已相当著名。
简化成二阶微分方程
其边界条件为
d 2Φ dx2
=
x
+1
0< x <1
Φ x=0 = 0
(2.21) (2.22)
Φ x=1 = 1
(2.23)
此问题的精确解为
Φ(x) = 1 x3 + 1 x2 + 1 x 623
(2.24)
对(2．21)式积分两次，然后再应用(2.22)式和(2．23)式定出积分常数，就可很容易地
(2．6)
式中, v j 叫是定义在全域上的展开函数，c j 是待定的展开系数。{·}仍表示列向量，上标 T
表示向量的转置。将(2．6)式代入到(2．5)式中，我们得到
F
=
1 2
{c}T
∫Ω{v}L{v}T
dΩ{c}
− {c}T
∫Ω{v}
fd Ω
( ) 为了求 F Φ 极小，我们令其对 ci 的偏导数为零，从而得到线性代数方程蛆：
为了降低有限元矩阵未知量的数目，不少学者对高阶有限元也作过了大量的研究工作。 它的主要思想就是利用高阶的基函数对未知的场获得更精确的逼近，或者说在较稀疏的网格 上获得一般的线性插值基函数在稠密网格上同样的精度。但这种高阶的有限元通常也会产生 严重病态的矩阵，不利于快速求解，一直是个待解决的问题。
第二章 有限元方法入门 在本章中，我们首先回顾求解边值问题的两种经典方法，它们都包含着有限元方法的本 质。然后，应用一个筒单的例子，介绍有限元方法。最后，我们不针对任何特定问题来描述 该方法的基本步骤。 2．1 边值问题的经典方法 在本节中，我们首先定义边值问题，然后讨论边值问题求解的两种经典方法，一是里兹
有限元课件第1讲有限元方法概述-PPT精品文档
ui 1 ui u ( x ) ui ( x xi ) Li ui 第i结点的位移 xi 第i结点的坐标
第i个单元的应变 应力 内力
du ui 1 ui i dx Li
E (ui 1 ui ) i E i Li
EA(ui 1 ui ) N i A i Li
基本思路：分割-组合
将连续系统分割成有限个分区或单元（离散化） 用标准方法对每个单元提出一个近似解（单元分 析） 将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近 似的系统（整体分析）
这种分割-组合思想古而有之，如求圆面积。
圆面积
自重作用下等截面直杆的解
受自重作用的等截面直杆 如图所示，杆的长度为L， 截面积为A，弹性模量为E， 单位长度的重量为q，杆的 内力为N。
这一时期的理论研究是比较超前的。
我国力学工作者的贡献
陈伯屏（结构矩阵方法） 钱伟长、胡海昌（广义变分原理） 冯康（有限单元法理论）
20世纪60年代初期，冯康等人在大型水坝 应力计算的基础上，独立于西方创造了有 限元方法并最早奠定其理论基础。--《数 学辞海》第四卷
1.2 有限元分析的基本原理和思路
试求：杆的位移分布，杆 的应变和应力。
材料力学解答
N ( x) q ( L x)
N ( x) q x ( L x) A A
q x ( L x) E EA du ( x) q x ( L x) dx EA
q x2 u ( x) ( Lx ) EA 2
2等参北京航空航天大学34进度安排?第1讲有限元方法概述?第2讲矩阵分析及弹性力学基础?第3讲弹性问题有限元方法?第4讲等参元和高斯积分?第4讲等参元和高斯积分?第5讲结构单元?第6讲材料非线性?第7讲几何非线性?第8讲有限元应用专题北京航空航天大学课程评估?出勤率10?课堂作业40?期末考试50北京航空航天大学主要参考书籍1
固体力学线弹性问题有限元分析PPT课件
✓求解位移的微分方程描述文件
未知变量： DISP u v w uv w
未知变量对应微分方程弱形式中 的变量(几何方程中)
第17页/共22页
材料参数：
MATE pe pv fx fy fz rou alpha E v fx fy fz
单元刚度矩阵：
材料参数行对应微分方程弱形式 中的变量
dist =+[ev_i;ev_j]*sm_i_j*fact+[ep_i;ep_i]*shear*fact
V
xy xy
(1
E )(1
2
)
(0.5
)dV
V fx u f y v fz wdV Tx u Ty v Tz wd
第4页/共22页
对于弹性体的应力，采用最小二乘法，由线弹性问题的本构方程可以得到如下的弱形式：
V dV V DdV
线弹性问题属于固体力学中基础的学科分支，在ELAB1.0有限元软件中以公式库的形式提 供给大家，因此可以采用【公式库-固体力学-线弹性】直接生成的方式生成程序代码，
DEFI a ell b str a START a SOLV a SOLVSTR b a gidres(coor0);
第20页/共22页
坐标系(三维直角坐标系) a场0个初值3个自由度 a场方程描述文件+单元类型和积分方法 a场边界描述文件+单元类型和积分方法 b场0个初值6个自由度 b场方程描述文件+单元类型和积分方法 结束标志
zz xx
(1
E )(1
2
)
(
)dV
V
zz
yy
(1
E )(1
2
)
(
)dV
有限元教程 弹性力学基础知识3——虚功原理与弹性力学两类平面问题ppt课件
y
v
y
yz
w
y
dxdydz
yx
y
u
y
y
v
yz
y
w
dxdydz
高阶小量
y方向体力做功： by vdxdydz
上下两面应力虚功＝
zx
u
z
yz
v
z
z
w
z
dxdydz
zx
z
u
zy
z
v
z
z
w
dxdydz
高阶小量
z方向体力做功： bz wdxdydz
12
二、弹性体的虚功原理
课后作业 阅读弹性力学能量原理相关文献
2
上节回顾 弹性力学边值问题
求解弹性力学问题的目的：
求出物体内部各点的应力、应变和位移，即应力场、应变场和位移场。
弹性力学问题的提法：
给定作用在物体全部边界或内部的外界作用（包括温度影响、外力 等），求解物体内由此产生的应力场和位移场。具体要求：
（1）在物体内部各点：应力分量、应变分量和位移分量满足：
7
设质点系处于平衡,有
Fi Fi
FriNiF0Ni
ri
0
即
Fi
F i
r i
ri
0
FNi
ri
0
或记为
WFi 0
此方程称虚功方程,其表达的原理称虚位移原理或虚功原理.
对于具有理想约束的质点系,其平衡的充分必要条件是:
作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和
等于零. 解析式为
基本 方程：
A b 0
Lu
in
D
已经证明：该 问题有解，而 且解唯一。
有限元法基础-3弹性力学问题有限元法
插值函数－－线性完备的多项式
u 1 2 x 3 y v 4 5 x 6 y
1 u φ 0 v 0 φ u = 6
φ [1, x, y]
i 为待定系数，称为广义坐标
ai x j ym xm y j bi y j ym ci x j xm
1 xi yi yj ym
1 (ci vi c j v j cm vm ) 2A
1 ui 1 2 1 uj 2A 1 um
1 xi 1 3 1 xj 2A 1 xm
1 yj (bi ui b j u j bmum ) 2A ym
16
有限元法基础
3.1 弹性力学平面问题的有限元格式
单元等效节点载荷列阵
e T T e e Q6 1 N 63 F31 tdxdy e N 63 T31 tdS QF QT e S
1）均质等厚单元质量
0 F g
Qix N Qi i e 0 Qiy
function）.
位移插值函数的矩阵表示为
Ni u Nq 0
e
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 T ui , vi , u j , v j , um , vm Nm
6
有限元法基础
3.1 弹性力学平面问题的有限元格式 形函数的性质
（1） Ni ( x j , y j ) ij
矩阵表达式
1 p (u) ( TCε F T u)tdxdy T T u tdS 2 S
应用到离散系统
1 p ep ( TCε F T u)tdxdy e T T u tdS S e e e 2 1 T T q eT TCB tdxdy q e q eT N F tdxdy N T tdS e e e S 2 e e
有限元教程课件 第三讲
第§三5-2章三角平形面常问应题变单有元限分单析元法
二、平面问题的常应变单元—三结点三角形单元
两类平面问题：区别仅在于弹性矩阵
平面应力：如膜、薄板等
D
E
1
1
0 0
1 2 0
0
1
2
平面应变：如水坝、挡土墙等
1
D'
E1 1 1 2
1
1 1
0
0
1 2
0
0 21
第§三5-2章三角平形面常问应题变单有元限分单析元法
二、变分原理与里兹法
变分原理的三种表述：
U A( Xu Yv )dxdy S ( Xu Yv )ds
应变能变分等于外力功变分 — 位移变分方程
A( x x y y xy xy )dxdy A( Xu Yv )dxdy S ( Xu Yv )ds
— 虚功方程
(U V ) 0
ui uj
xi xj
yi yj
um xm ym
1
2
1 2A
1
ui uj
yi yj
1 um ym
1
3
1 2A
1
xi xj
ui uj
1 xm um
1 xi yi 2A 1 xj yj
1 xm ym
单元编码 i, j, m 应逆时针转向, 可使A(三角形面积)>0。
如果令：
ai
xj xm
yj ym
x j ym xm y j ;
第§三5-2章三角平形面常问应题变单有元限分单析元法
一、有限元分析的主要步骤(位移元)
根据基本未知量的不同，有限元法中的单元可分为位移元、 应力元和混合元。 以结点位移为基本未知量的单元为位移单元。
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北京航空航天大学
关于集中力的说明
II U W 1 2ijijd V b iu id V S pp iu id A
单独考虑集中力
I I U W 1 2ijijd V b iu id V S pp iu id A P iu i
体积力 分布面力 集中力
WbiuidVSp piuidA
b i 单位体积力 p i 面力
北京航空航天大学
弹性体系统的总势能
对于保守力场作用下的弹性体系统 总势能：
II＝U-W U－弹性势能或变形(应变)能 W－外力功
北京航空航天大学
3.2 弹性问题的变分原理
最小势（位）能原理 最小势能原理的等价性
北京航空航天大学
外力载荷
北京航空航天大学
3.3 简单杆系问题的有限元求解过程
F
北京航空航天大学
Step 1: 几何离散——自然离散为2个杆单元 Setp 2: 单元特征分析
➢ 构造单元位移函数 ➢ 应变的表达 ➢ 应力的表达 ➢ 单元的应变能 ➢ 单元的外力功
北京航空航天大学
Step 3: 单元集成—系统的总势能 Step 4: 变分处理—线性方程组 Step 5: 处理位移边界条件并求解 Step 6: 计算每个单元的应变及应力
说明： S Sp Su
满足位移边界条件： ui 0
S ij uiljdASp ij uiljdA
北京航空航天大学
ijijdV biuidV Sp piuidA
SpijuiljdA ij,juidV biuidV Sp piuidA
[ ij,j
bi]uidV
[
Sp
ijlj
pi]uidA
[ij,j b i]u id V S p [ijlj p i]u i件
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虚功原理—关于虚位移原理
外力作用下处于平衡状态的弹性体，产 生约束许可的微小虚位移（并同时在弹 性体内产生虚应变），外力在虚位移上 所作的虚功等于弹性体内各点的应力在 相应的虚应变上所作的虚功。
弹性问题中等价于最小势能原理！
北京航空航天大学
比较：虚功原理和能量变分原理
虚功原理是理论力学上的一个根本性原理， 可以用于一切非线性力学问题。
最小势能原理只是虚功原理对弹性体导出 的一种表述形式，但是对于线弹性问题， 最小势能原理的应用非常方便。
能量变分原理方法可以很方便的扩展到结 构位移场以外的不含非线性的领域，如求 解热传导、电磁场、流体动力学等问题。
弹性势能—弹性体变形后，产生弹性内力，这 种力也具有对外作功的能力，称为弹性势能， 或弹性应变能。
1
U 2 (xx yyzz x yx y y zy z x zx z) d V
1 2
ij
ijdV U0dV
单位体积的应变能（应变比能）：
U 0 1 2 (xx yy zz xx y yyy z zxx z ) z1 2 ij ij
弹性体变分原理—最小势能原理
总势能 II＝U-W
II 12ijijdV biuidV Sp piuidA
1
σTεdV[
T
u bdV
T
u pdA]
2
Sp
弹性体在外力作用下保持平衡，在满足位移边界
条件的所有可能位移中，真实位移使系统的总势
能取最小值。（证明从略）
II＝0
真实位移
北京航空航天大学
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Step 1.几何离散
F
2个单元（编号：1，2）
整体节点 整体等效节 位移列阵 点力列阵
3个节点（编号：1，2，3） u 1
q
u
2
u 3
P1 R 1
P
P2
0
P3 F
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Step 2.单元特征分析—位移函数
xi
xj
单元节点位移列阵：qe
ijij
dV
biuidV
Sp
piuidA
北京航空航天大学
ijijdV ij 12ui,j uj,i dV ijui,jdV (ijui),jdV ij,juidV
SijuiljdA ij,juidV
分部积分 高斯定理
ui 0 on Su
ij ijd V S p ij u iljd A ij,j u id V
弹性体平衡
We= Wi
北京航空航天大学
We= ( b xu b yv b zw )d V S p (p xu p yv p zw )dA
W = i
(xx yy z z xy x yyz y zxz x ) d z V
We= Wi
ij id j V b i uid VSppi uidA
北京航空航天大学
微元变形能（正应变）
F Δu
d U 1 2 F u 1 2 (x d y d z)(x d x ) 1 2xx d V
北京航空航天大学
外力做功 W ( b x u b y v b z w ) d V S p (p x u p y v p z w ) d A
势 能—系统在某一位置所具有的对外作功的能力， 称为系统在这一位置的势能。 势能零点—人为选定的势能为零的位置，称为零势 位置，又称为势能零点。 保守力—如果力在有限路程上所做之功只与其起点 和终点有关而与路径无关，这种力称为保守力。
保守力做功与势能增量的关系： V= – W
北京航空航天大学
弹性势能
最小势能原理的等价性
II 1 2ij ijd V b iu id V Spp iu id A II 1 2 D ijk l ij k ld V b iu id V S pp iu id A
ij
ij
ui ui
Dijklijkl
dV
biuidV
Sp piuidA
第3讲 弹性问题的有限元方法(1)
金朝海
北京航空航天大学
第3讲 弹性问题的有限元方法(1)
3.1 弹性体系统的总势能 3.2 弹性问题的变分原理 3.3 简单杆系弹性问题的有限元求解过程 3.4 连续体弹性问题的有限元求解过程 3.5 有限元分析中若干问题的探讨
北京航空航天大学
3.1 弹性体系统的总势能
u1e u2e
ui u j
关于集中力的说明
II U W 1 2ijijd V b iu id V S pp iu id A
单独考虑集中力
I I U W 1 2ijijd V b iu id V S pp iu id A P iu i
体积力 分布面力 集中力
WbiuidVSp piuidA
b i 单位体积力 p i 面力
北京航空航天大学
弹性体系统的总势能
对于保守力场作用下的弹性体系统 总势能：
II＝U-W U－弹性势能或变形(应变)能 W－外力功
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3.2 弹性问题的变分原理
最小势（位）能原理 最小势能原理的等价性
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外力载荷
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3.3 简单杆系问题的有限元求解过程
F
北京航空航天大学
Step 1: 几何离散——自然离散为2个杆单元 Setp 2: 单元特征分析
➢ 构造单元位移函数 ➢ 应变的表达 ➢ 应力的表达 ➢ 单元的应变能 ➢ 单元的外力功
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Step 3: 单元集成—系统的总势能 Step 4: 变分处理—线性方程组 Step 5: 处理位移边界条件并求解 Step 6: 计算每个单元的应变及应力
说明： S Sp Su
满足位移边界条件： ui 0
S ij uiljdASp ij uiljdA
北京航空航天大学
ijijdV biuidV Sp piuidA
SpijuiljdA ij,juidV biuidV Sp piuidA
[ ij,j
bi]uidV
[
Sp
ijlj
pi]uidA
[ij,j b i]u id V S p [ijlj p i]u i件
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虚功原理—关于虚位移原理
外力作用下处于平衡状态的弹性体，产 生约束许可的微小虚位移（并同时在弹 性体内产生虚应变），外力在虚位移上 所作的虚功等于弹性体内各点的应力在 相应的虚应变上所作的虚功。
弹性问题中等价于最小势能原理！
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比较：虚功原理和能量变分原理
虚功原理是理论力学上的一个根本性原理， 可以用于一切非线性力学问题。
最小势能原理只是虚功原理对弹性体导出 的一种表述形式，但是对于线弹性问题， 最小势能原理的应用非常方便。
能量变分原理方法可以很方便的扩展到结 构位移场以外的不含非线性的领域，如求 解热传导、电磁场、流体动力学等问题。
弹性势能—弹性体变形后，产生弹性内力，这 种力也具有对外作功的能力，称为弹性势能， 或弹性应变能。
1
U 2 (xx yyzz x yx y y zy z x zx z) d V
1 2
ij
ijdV U0dV
单位体积的应变能（应变比能）：
U 0 1 2 (xx yy zz xx y yyy z zxx z ) z1 2 ij ij
弹性体变分原理—最小势能原理
总势能 II＝U-W
II 12ijijdV biuidV Sp piuidA
1
σTεdV[
T
u bdV
T
u pdA]
2
Sp
弹性体在外力作用下保持平衡，在满足位移边界
条件的所有可能位移中，真实位移使系统的总势
能取最小值。（证明从略）
II＝0
真实位移
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Step 1.几何离散
F
2个单元（编号：1，2）
整体节点 整体等效节 位移列阵 点力列阵
3个节点（编号：1，2，3） u 1
q
u
2
u 3
P1 R 1
P
P2
0
P3 F
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Step 2.单元特征分析—位移函数
xi
xj
单元节点位移列阵：qe
ijij
dV
biuidV
Sp
piuidA
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ijijdV ij 12ui,j uj,i dV ijui,jdV (ijui),jdV ij,juidV
SijuiljdA ij,juidV
分部积分 高斯定理
ui 0 on Su
ij ijd V S p ij u iljd A ij,j u id V
弹性体平衡
We= Wi
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We= ( b xu b yv b zw )d V S p (p xu p yv p zw )dA
W = i
(xx yy z z xy x yyz y zxz x ) d z V
We= Wi
ij id j V b i uid VSppi uidA
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微元变形能（正应变）
F Δu
d U 1 2 F u 1 2 (x d y d z)(x d x ) 1 2xx d V
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外力做功 W ( b x u b y v b z w ) d V S p (p x u p y v p z w ) d A
势 能—系统在某一位置所具有的对外作功的能力， 称为系统在这一位置的势能。 势能零点—人为选定的势能为零的位置，称为零势 位置，又称为势能零点。 保守力—如果力在有限路程上所做之功只与其起点 和终点有关而与路径无关，这种力称为保守力。
保守力做功与势能增量的关系： V= – W
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弹性势能
最小势能原理的等价性
II 1 2ij ijd V b iu id V Spp iu id A II 1 2 D ijk l ij k ld V b iu id V S pp iu id A
ij
ij
ui ui
Dijklijkl
dV
biuidV
Sp piuidA
第3讲 弹性问题的有限元方法(1)
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第3讲 弹性问题的有限元方法(1)
3.1 弹性体系统的总势能 3.2 弹性问题的变分原理 3.3 简单杆系弹性问题的有限元求解过程 3.4 连续体弹性问题的有限元求解过程 3.5 有限元分析中若干问题的探讨
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3.1 弹性体系统的总势能
u1e u2e
ui u j