(完整版)概率论知识点总结

概率论知识点总结第一章 随机事件及其概率第一节 基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。

随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。

不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。

必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。

样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集。

基本事件—单点集，复合事件—多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。

事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件 A 发生必然导致事件B 发生，则称B 包含A ，记为或。

A B ⊇B A ⊆相等关系：若且，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。

A B ⊇B A ⊆事件的和：“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B 的和事件。

记为 A ∪B 。

事件的积：称事件“事件A 与事件B 都发生”为A 与B 的积事件，记为A∩ B 或AB 。

事件的差：称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为 A －B 。

用交并补可以表示为。

B A B A =-互斥事件：如果A ，B 两事件不能同时发生，即AB ＝Φ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。

互斥时可记为A ＋B 。

B A ⋃对立事件：称事件“A 不发生”为事件A 的对立事件（逆事件），记为。

对立事件的性质：A 。

Ω=⋃Φ=⋂B A B A ,事件运算律：设A ，B ，C 为事件，则有（1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA（2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A ∪C) A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC （4）对偶律（摩根律）： B A B A ⋂=⋃BA B A ⋃=⋂第二节 事件的概率概率的公理化体系：（1）非负性：P(A)≥0；（2）规范性：P(Ω)＝1（3）可数可加性：两两不相容时⋃⋃⋃⋃n A A A 21++++=⋃⋃⋃⋃)()()()(2121n n A P A P A P A A A P 概率的性质：（1）P(Φ)＝0（2）有限可加性：两两不相容时n A A A ⋃⋃⋃ 21)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=⋃⋃⋃ 当AB=Φ时P(A∪B)＝P(A)＋P(B)（3）)(1)(A P A P -=（4）P(A －B)＝P(A)－P(AB)（5）P （A ∪B ）＝P(A)＋P(B)－P(AB)第三节 古典概率模型1、设试验E 是古典概型,其样本空间Ω由n 个样本点组成,事件A 由k 个样本点组成.则定义事件A 的概率为nk A P =)(2、几何概率：设事件A 是Ω的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域Ω上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为)()()(Ω=μμA A P 假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可.第四节 条件概率条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为条件概率，记作 P(A|B).)()()|(B P AB P B A P =乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设是一个完备事件组，则P(B)=∑P()P(B|)n A A A ,,,21 i A i A 贝叶斯公式：设是一个完备事件组,则n A A A ,,,21 ∑==)|()()|()()()()|(j j i i i i A B P A P A B P A P B P B A P B A P 第五节 事件的独立性两个事件的相互独立：若两事件A 、B 满足P(AB)= P(A) P(B)，则称A 、B 独立，或称A 、B 相互独立.三个事件的相互独立：对于三个事件A 、B 、C ，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，P(ABC)= P(A) P(B)P(C)，则称A 、B 、C 相互独立三个事件的两两独立：对于三个事件A 、B 、C ，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，则称A 、B 、C 两两独立独立的性质：若A 与B 相互独立，则与B ，A 与，与均相互独立A B A B 总结：1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。

2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用， 应牢固掌握。

3.独立性是概率论中的最重要概念之一，应正确理解并应用于概率的计算。

第二章 一维随机变量及其分布第二节 分布函数分布函数：设X 是一个随机变量，x 为一个任意实数，称函数为X 的分}{)(x X P x F ≤=布函数。

如果将X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值就表示X 落在区间内的概率],(x -∞分布函数的性质：（1）单调不减；（2）右连续；（3）1)(,0)(=+∞=-∞F F 第三节 离散型随机变量离散型随机变量的分布律：设(k=1,2,…)是离散型随机变量X 所取的一切可能值，称k x 为离散型随机变量X 的分布律，也称概率分布.k k p x X P ==}{当离散性随机变量取值有限且概率的规律不明显时，常用表格形式表示分布律。

分布律的性质：（1）；（2）10≤≤k p 1=∑kp离散型随机变量的概率计算：（1）已知随机变量X 的分布律，求X 的分布函数；∑≤=≤=xx kk xP x X P x F )(}{)(（2）已知随机变量X 的分布律, 求任意随机事件的概率；（3）已知随机变量X 的分布函数，求X 的分布律)0()(}{--==k k k x F x F x X P 三种常用离散型随机变量的分布：1.（0－1）分布：参数为p 的分布律为p X P p X P -====1}0{,}1{2.二项分布：参数为n ，p 的分布律为，。

例kn kkn p p C k X P --==)1(}{n k ,,2,1,0 =如n 重独立重复实验中，事件A 发生的概率为p ，记X 为这n 次实验中事件A 发生的次数，则X ～B （n ，p ）3.泊松分布：参数为λ的分布率为，。

例如记X 为某段λλ-==e k k X P k!}{ ,2,1,0=k 事件内电话交换机接到的呼叫次数，则X ～P （λ）第四节 连续型随机变量连续型随机变量概率密度f(x)的性质（1）f(x)≥0（2），1)(=⎰+∞∞-dx x f 0)(}{===⎰aadx x f a X P （3）⎰=≤≤=≤<=<≤=<<badxx f b X a P b X a P b X a P b X a P )(}{}{}{}{（4）⎰∞-='=xdxx f x F x F x f )()(),()(连续型随机变量的概率计算：（1）已知随机变量X 的密度函数，求X 的分布函数；⎰∞-=xdxx f x F )()(（2）已知随机变量X 的分布函数，求X 的密度函数；)()(x F x f '=（3）已知随机变量X 的密度函数, 求随机事件的概率；⎰=<<badxx f b X a P )(}{（4）已知随机变量X 的分布函数，求随机事件的概率；)()(}{a F b F b X a P -=<<三种重要的连续型分布：1．均匀分布：密度函数，记为 X ～U[a ，b].⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=elseb x a ab x f 01)(2. 指数分布：密度函数，记为X ～E （λ）⎩⎨⎧≤>=-00)(x x e x f xλλ3. 正态分布：密度函数 ，记为222)(21)(σμσπ--=x ex f ),(~2σμN X N （0，1）称为标准正态分布.标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布，然后再计算概率.()()()(}{σμσμ-Φ--Φ=-=<<a b a F b F b X a P 第五节 随机变量函数的分布离散型：在分布律的表格中直接求出；连续型：寻找分布函数间的关系，再求导得到密度函数间的关系；注意分段函数情况可能需要讨论，得到的结果也可能是分段函数。

))(()}({})({}{)(y G F y G X P y X g P y Y P y F Y =≤=≤=≤=第三章 多维随机变量及其分布第一节 二维随机变量的联合分布函数联合分布函数，表示随机点落在以（x ，y ）为顶点的左下无},{),(y Y x X P y x F ≤≤=穷矩形区域内的概率。

联合分布函数的性质：（1）分别关于x 和y 单调不减；（2）分别关于x 和y 右连续；（3）F (-∞ , y ) = 0,F ( x ,-∞ ) =0,F(-∞,-∞) = 0F ( +∞ ,+∞ ) = 1第二节 二维离散型随机变量联合分布律：ij j i p y Y x X P ===},{联合分布律的性质：；0≥ij p 1=∑∑ijijp第三节 二维连续性随机变量联合密度：⎰⎰∞-∞-=yxduv u f dv y x F ),(),(联合密度的性质：；；0),(≥y x f 1),(2=⎰⎰R dxdy y x f ⎰⎰=∈Ddxdyy x f D y x P ),(}),{(第四节 边缘分布二维离散型随机变量的边缘分布律：在表格边缘，对应概率相加求出；二维连续性随机变量的边缘密度：先求出边缘分布函数，在求导求出边缘密度第六节 随机变量的独立性独立性判断：（1）若取值互不影响，可认为相互独立；Y X ,（2）根据独立性定义判断)()(),(y F x F y x F Y X = 离散型可用ji ij p p p ∙∙=连续型可用)()(),(y f x f y x f Y X =独立性的应用：（1）判断独立性；（2）已知独立性，由边缘分布确定联合分布第四章 随机变量的数字特征离散型随机变量数学期望的计算，∑=kk kp xEX ∑=kkk p x g X g E )())((连续型随机变量数学期望的计算，⎰=dx x xf EX )(⎰=dxx f x g X g E )()())((方差的计算：，2)(EX X E DX -=)()(22X E X E DX -=数学期望的性质（1）E (C ) = C（2）E (CX ) = CE (X )（3）E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )（4）当 X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y )方差的性质（1）D (C) = 0（2）D (CX ) = D(X)2C （3）若 X ,Y 相互独立，则D ( X ± Y ) = D ( X ) + D (Y )常见分布的数学期望和方差两点分布，二项分布，泊松分布，均匀分布，正态分布，指数分布。