第2章 3.对称正定矩阵的平方根法

L的求法
1 j −1 l jj = (a jj − ∑ l 2 ) 2 jk k =1 j−1 l = (a − l l ) / l ∑1 ik jk jj ij ij k=
( j = 1, 2 L n) ( i = j + 1,L , n)
例一
用平方根法解方程组 3 2 3 x1 5 2 2 0 x 2 = 3 3 0 12 x 7 3
u11 令D = M 0 u1 n 1 L L 0 u11 O M , P = D − 1U = M O M L unn 0 L 1
则A = LDP 对称， 又A对称，故有
A = P DL = A = LDP
T T T
由三角分解的唯一性， 由三角分解的唯一性， 得Βιβλιοθήκη Baidu T = L 即A = P DP
T
为正定矩阵， 又A为正定矩阵，所以 D的对角元素均为正数 令
u11 ~ D= M 0
T
L O L
0 M u11
~T ~ T ~ T~ 则A = P D DP = ( DP ) DP = LLT
例二
用LDL 分解法解方程组
T
3 3 5 x1 10 3 5 9 x 2 = 16 5 9 17 x 30 3
对称正定矩阵的平方根法
邹昌文
平方根法 / Choleski’s Method /： ——对称 / symmetric / 正定 / positive definite / 对称 矩阵的分解法 对称阵， 定义 一个矩阵 A = ( aij )n×n 称为对称阵，如果 aij = aji 。 × 称为对称阵 v v x T Ax > 0 对任意非 称为正定阵 正定阵， 定义 一个矩阵 A 称为正定阵，如果 v 都成立。 零向量 x 都成立。 回顾： 回顾：对称正定阵的几个重要性质 A−1 亦对称正定，且 aii > 0 亦对称正定， A 的顺序主子阵 / leading principal submatrices / Ak 亦对 v T v −1 T 称正定 v v v −1vT v Tv v v −1 T −1 = x 对任意 v = ) 存在非零解，即 1 若不然，则 x ≠ 0 a0 存在非零解，Ay = v 若不然，= I ,A x A, v存在 vy=≠I0 ,0使得 Ax ) v(0,...A...0) AA v ( A ( 其中 ii = x Ax > ⇒ T T −1value / λ1 > 0 v T − −1 v A 的特征值v/ y = A x x A i x = y AA Ay = y Ay > 0 eigen v 即T Ax = 0 存在非零解。 v第 i v 。 存在非零解。 x 位 k 0 对称性显然。 A ) > 0 对称性显然。对任意 xk ≠ v ∈ R 有 A 的全部顺序主子式 det ( k v xk v vT v v T v λ 的非零特征向量 ∈ Rn 设对应特征值x > 0 , 其中 x = v ≠ 0 xk v k xk = x A v v v A 。 0 2 vT n v T 为 x因为 det( A) = ∏ λix λx = λ x 。 ，则 0 < x A x =
i =1
定理： 为对称正定矩阵时， 定理：当 A为对称正定矩阵时，存 在非奇异下 三角矩阵 L 使得 A = LLT 的对角元素为正时， 当限定 L的对角元素为正时，分 解是唯一的
顺序主子式大于零， 证：因为A对称正定，所以其各阶 顺序主子式大于零， 因为 对称正定， 由定理， 由定理，存在唯一分解 A = LU 为单位下三角矩阵， 其中L为单位下三角矩阵， U为上三角矩阵