1.7定积分在几何中应用(1)
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(1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限)
(3)确定积分变量及被积函数;
(4)列式求解.
定积分在几何中的应用
1.求下列曲线所围成的图形的面积:
(1)y=x2,y=2x+3;
(2)y=ex,y=e,x=0.
32 (1)S 1 ((2 x 3) x )dx 3 1 x (2)S 0 (e e )dx 1
或记作
f ( x)dx F ( x) F (b) F (a).
b a
b a
例 1. 计算由两条抛物线 y 2 x 和 y x 2 所围成 的图形的面积.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示: y x x 0 x 1 解方程组 得 :{y 0 ,{y 1, y 2 y x 2 y y xx B 即两曲线的交点为(0,0),(1,1) 2
3 2
2、计算由曲线 y 2 x 和直线 y x 4 所围成
2
的图形的面积.
解: 求两曲线的交点:
y 2x
S1 S1 2
y x4
8
y2 2 x
y2 2 x ( 2,2), (8,4). y x4
S 2S1 S2 2
2 0
2 8
S2
0
S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD
C o
yx
2 x 1 1 S = ( x - x )dx ( x ) |0 . 0 3 3 3
1 2
3 2
1
Baidu Nhomakorabea
0
xdx x dx
2 0
1
O
3
D
2 y xx
A
例 2.计算由曲线 y 2x ， 直线 y x 4以及 x 轴所围 成的图形的面积.
4
(
4
0
2 xdx
4
2 xdx) ( x 4)dx
4
8
8
0
2 xdx ( x 4)dx
4
8
2 2 3 1 2 40 8 2 8 x |0 ( x 4 x) |4 3 2 3
s
8
0
1 2 xdx 4 (8 4) 2
3 2 8 0
定积分的简单应用：
1.7.1定积分在几何中的 应用
复习引入
定积分
一.定积分的几何意义是什么？
1、如果函数f（x）在[a，b]上连续且f（x）≥0时，那么：
b
a
f ( x)dx 就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积。 y y f ( x)
A a f ( x )dx
b
A
o
a
b x
f ( x ) 0,
三.小结
求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:
(1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限)
(3)确定积分变量及被积函数; (4)列式求解.
解:作出y=x-4, y 2x 的图象 如图所示: y 2x x=8 解方程组 得 :{y=4 , y x 4 直线y=x-4与x轴交点为(4,0)
S S1 S2
4 0
y 2x
S2
S1
y x4
8
2 xdx [
8
8
4
2 xdx ( x 4)dx]
f ( x ) 0,
a f ( x )dx A
a f ( x )dx A
b
b
曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值
2、定积分
b
a
f ( x)dx 的数值在
S1 S2
S3
几何上都可以用曲边梯形面积的
代数和来表示。
y
b
a
f ( x )dx S1 S 2 S 3
y f2 ( x)
2 2 x | 8 3 2 2 40 16 2 8 3 3
1 2 s [(4 y ) y ]dy 0 2
4
1 2 1 3 4 (4 y y y ) |0 2 6
1 2 1 3 40 4 4 4 4 2 6 3
点评：求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:
k＝2x0 设切点（x 0，x 0 ）则，切线的斜率 2 y x0 2x0 ( x x0 )
A
x
即，y 2x0 ( x x0 ) x0
2
o
S
x0
0
1 1 1 2 x dx x0 x0 12 2 2
2
解之得：x0 1 所以，切线方程为： y＝2x－ 1;
A
o
y f1 ( x )
b x
3、A [ f 2 ( x) f1 ( x)]dx
a
b
a
二、微积分基本定理内容是什么？
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F’(x)＝f（x)，
则，
b
a
f ( x)dx F (b) F (a)
这个结论叫微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫牛顿－莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).
2 xdx ( 2 x x 4)dx
2
2 2 xdx ( 2 x x 4)dx
2
8
4 2 2 2 1 2 16 64 26 8 x | ( x x 4 x) |2 18 3 3 2 3 3 3
3 2 2 0
3 2
思考题：在曲线y=x2 (x≥0)上某点A处作切线, 使之与曲线及x轴围成图形的面积为1/12。 求过点A的切线方程. 2 y y=x 2
(3)确定积分变量及被积函数;
(4)列式求解.
定积分在几何中的应用
1.求下列曲线所围成的图形的面积:
(1)y=x2,y=2x+3;
(2)y=ex,y=e,x=0.
32 (1)S 1 ((2 x 3) x )dx 3 1 x (2)S 0 (e e )dx 1
或记作
f ( x)dx F ( x) F (b) F (a).
b a
b a
例 1. 计算由两条抛物线 y 2 x 和 y x 2 所围成 的图形的面积.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示: y x x 0 x 1 解方程组 得 :{y 0 ,{y 1, y 2 y x 2 y y xx B 即两曲线的交点为(0,0),(1,1) 2
3 2
2、计算由曲线 y 2 x 和直线 y x 4 所围成
2
的图形的面积.
解: 求两曲线的交点:
y 2x
S1 S1 2
y x4
8
y2 2 x
y2 2 x ( 2,2), (8,4). y x4
S 2S1 S2 2
2 0
2 8
S2
0
S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD
C o
yx
2 x 1 1 S = ( x - x )dx ( x ) |0 . 0 3 3 3
1 2
3 2
1
Baidu Nhomakorabea
0
xdx x dx
2 0
1
O
3
D
2 y xx
A
例 2.计算由曲线 y 2x ， 直线 y x 4以及 x 轴所围 成的图形的面积.
4
(
4
0
2 xdx
4
2 xdx) ( x 4)dx
4
8
8
0
2 xdx ( x 4)dx
4
8
2 2 3 1 2 40 8 2 8 x |0 ( x 4 x) |4 3 2 3
s
8
0
1 2 xdx 4 (8 4) 2
3 2 8 0
定积分的简单应用：
1.7.1定积分在几何中的 应用
复习引入
定积分
一.定积分的几何意义是什么？
1、如果函数f（x）在[a，b]上连续且f（x）≥0时，那么：
b
a
f ( x)dx 就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积。 y y f ( x)
A a f ( x )dx
b
A
o
a
b x
f ( x ) 0,
三.小结
求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:
(1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限)
(3)确定积分变量及被积函数; (4)列式求解.
解:作出y=x-4, y 2x 的图象 如图所示: y 2x x=8 解方程组 得 :{y=4 , y x 4 直线y=x-4与x轴交点为(4,0)
S S1 S2
4 0
y 2x
S2
S1
y x4
8
2 xdx [
8
8
4
2 xdx ( x 4)dx]
f ( x ) 0,
a f ( x )dx A
a f ( x )dx A
b
b
曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值
2、定积分
b
a
f ( x)dx 的数值在
S1 S2
S3
几何上都可以用曲边梯形面积的
代数和来表示。
y
b
a
f ( x )dx S1 S 2 S 3
y f2 ( x)
2 2 x | 8 3 2 2 40 16 2 8 3 3
1 2 s [(4 y ) y ]dy 0 2
4
1 2 1 3 4 (4 y y y ) |0 2 6
1 2 1 3 40 4 4 4 4 2 6 3
点评：求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:
k＝2x0 设切点（x 0，x 0 ）则，切线的斜率 2 y x0 2x0 ( x x0 )
A
x
即，y 2x0 ( x x0 ) x0
2
o
S
x0
0
1 1 1 2 x dx x0 x0 12 2 2
2
解之得：x0 1 所以，切线方程为： y＝2x－ 1;
A
o
y f1 ( x )
b x
3、A [ f 2 ( x) f1 ( x)]dx
a
b
a
二、微积分基本定理内容是什么？
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F’(x)＝f（x)，
则，
b
a
f ( x)dx F (b) F (a)
这个结论叫微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫牛顿－莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).
2 xdx ( 2 x x 4)dx
2
2 2 xdx ( 2 x x 4)dx
2
8
4 2 2 2 1 2 16 64 26 8 x | ( x x 4 x) |2 18 3 3 2 3 3 3
3 2 2 0
3 2
思考题：在曲线y=x2 (x≥0)上某点A处作切线, 使之与曲线及x轴围成图形的面积为1/12。 求过点A的切线方程. 2 y y=x 2