相对运动(原创)

相对运动

高中物理和初中物理都提到了描述运动需要依靠参考系，对于同一物体的运动，选择不同参考系，运动情况是不一样的，我们把A物体相对于B物体的位置的连续变动，称为相对运动，即A物体相对于固定在B物体上的参考系的运动。

参考系的选取是任意的，绝大部分物理问题，我们都选择地面为参考系，例如，以前做过的小船流水问题、火车追上或超越火车的问题等等，这样做，一来符合我们的日常生活经验，二来思路更加清晰，不致于紊乱。但，有些问题，我们选地面作为参考系，将会使问题变得异常复杂，二维追及相遇问题就是一类。

通常我们选择地面作为最大的参考系，并认为地面是绝对静止的，任何物体相对于地面的运动，称之为绝对运动，其相对于地面的位移和速度分别称为绝对位移和绝对速度，而相对于非地面的参考系的运动，称之为相对运动，其相对于该参考系的位移和速度分别称为相对位移和相对速度，参考系的运动，我们称之为牵连运动，其位移和速度分别称之为牵连位移和牵连速度。

绝对运动、相对运动和牵连运动之间的关系是：绝对运动=相对运动+牵连运动，可进一步写成：

绝对位移=相对位移+牵连位移；S绝=S相+S牵

绝对速度=相对速度+牵连速度；v绝=v相+v牵（等于把上式左右各除以时间t）

我们用一个简单的例子来做说明，大家请看下图a部分。A、B两车在水平地面上沿同一方向做匀速运动，长度为别为L1和L2，速度分别是v1和v2，某时刻B在A的后方，且刚好到达A车尾部，经过时间t后，B刚好超过A，设A、B的位移分别是S1和S2，很显然，依据几何关系有：

S2=S1+ L1+ L2 ①

这是我们选择地面作为参考系的结果。

如果我们选择A车作为参考系，如图b部分。被选作参考系的A车，我们认为其静止不动，那么B车只是从A车车尾到达A车车头，B车相对于A车的相对位移是S相，A车位移S1为牵连位移，B车位移S2为绝对位移，B车相对A车的相对速度为v相，根据几何关系有：

S相= L1+ L2 ②

② ② 两式联合得：S2=S1+ S相，就是上面的S绝=S相+S牵

再把这个等式除以时间t，就得：v1= v2+v相，就是上面的v绝=v相+v牵

这跟我们以前求时间的方法：t=(L1+ L2)/( v1- v2) 是一致的，这种方法也正是相对运动的结论。

下面我们给出关于相对运动与绝对运动及牵连运动关系的证明：

如图，设S是绝对参考系（地面），O是一个非地面的参考系，即相对地面不静止有一个物体初始时刻在P1位置，经过时间t后，物体运动至P2位置，而O参考系从O运动到了O’。

在这段时间内，O参考系的位移是OO’，物体的位移是P1P2，物体在参考系中的位置是从P1’到P2，也就是相对于参考系O 的位移是P1’到P2。又由于OP1平行且等于O’P1’，故OO’平行且等于P1 P1’。根据几何关系有：P1P2=P1P1’+P1’ P2。即：

绝对位移=相对位移+牵连位移

左右除以时间就是：

绝对速度=相对速度+牵连速度

用相对运动解题是很重要的方法，其技巧性和实用性很强，一般也不太容易掌控，需要经过一段时间的练习才能熟练掌握，下面给出几个典型的应用。

一维问题

应用一无加速度的追及相遇问题

这一类型的问题，相信大家初中就能解决了。追及时间=追击距离÷速度差；相遇时间=初始间隔÷速度和。大家对这些应该都耳熟能详了，我们来简单看看两个例题。

【例题1】一队学生去校外进行军事野营训练。他们以5km/h的速度行进，走了18分的时候，学校要将一个紧急通知传给队长。通讯员从学校出发，骑自行车以14km/h的速度按原路追上去。通讯员用多少时间可以追上学生队伍？

【分析】此题不难，可直接用追及时间的计算公式搞定，现给出完整的分析方法。

【解答】设队伍速度为v1，通讯员速度为v2，走过的时间为t，待求的时间为T，通讯员出发时，队伍与通讯员间距为d，那么：

d=v1t，

选队伍为参考系，那么通讯员相对于队伍的位移为d，相对速度为v=v2-v1，那么：

vT=d，

可解得时间为：T=10min

【例题2】有一艘在静水中速度为v1的小船，沿一条水流速为v2的笔直河流逆水而上，某时刻船上掉下一个货物箱，船速不变，箱子落入水中后，立刻获得速度v2，与水一起顺溜飘浮而下，船行走了时间t后发现箱子掉了，马上掉头顺水追箱子，从掉头起到追上箱子的时间为T，水流速和船速都不改变，不计掉头时间，求T：t。

【分析】此题是典型的小船流水问题，传统的方法中，我们一般会选择地面作为参考系，我们先来看看传统方法怎么做，再看看用相对运动的知识来做是如何简单。

【解答】

（1）传统方法：

选地面作为参考系，如图，做出运动状态图之后，问题就一目了然了，设船逆流行驶距离为S1，顺流为S2，箱子在两段时间内行走距离为L1和L2。

由于：S1=(v1-v2)t；S2=(v1+v2)T；L1=v2t；L2=v2T

并且：S2=S1+L1+L2

可解得：T=t，故T：t=1：1

（2）相对运动：

船在静水中的速度实际上就是船相对水的速度，因此，选择箱子（与水是同一参考系）作为参考系时，船相对水不管顺流还是逆流，相对速度不变，来回的相对位移是相同的，因此来回的时间是相同的，即T：t=1：1。

应用二有加速度的追及相遇问题

这类问题是高一物体运动学的终极问题，会涉及到很多二次问题，二次函数的运用在这一部分发挥到了极致，我们同样可以使用相对运动的知识来解决，但一定要避免选择有加速度的物体作为参考系。

这类问题，可以分出很多情况，在此就不做具体讨论，我们具体看看几个例题

【例题1】一辆汽车在十字路口遇红灯，当绿灯亮时汽车以4m/s2的加速度开始行驶，恰在此时，一辆摩托车以10m/s的速度匀速驶来与汽车同向行驶，汽车在后追摩托车，求：（1）汽车从路口开始加速起，在追上摩托车之前两车相距的最大距离是多少；

（2）汽车经过多少时间能追上摩托车?

【分析】汽车做的是初速度为0，加速度为4m/s2的匀加速直线运动，摩托车做的是匀速直线运动，相对于摩托车来说，汽车做的是匀减速直线运动。

【解答】选摩托车位参考系，其速度设为v1，汽车相对于摩托车初速度为-v1，方向与摩托车相反，其加速度为a，则当汽车相对于摩托车速度减为0时，相对距离最大，设为d，从出发返回出发点的时间时间是一来一回的总时间，那么：

d=(-v12)/2a=102/8=12.5m

T=2v1/a=2·10/4=5s

故最大距离为12.5m；

汽车经过5s追上摩托车

【例题2】航空母舰上的战斗机起飞时的最大加速度时a=5m/s2，相对地面的速度须达到v0=50m/s。航空母舰以一定的速度航行，其甲板长度为L=160m。设飞机起飞的过程为匀加速直线运动，且对航母的状态没有影响。为使飞机能安全起飞，则航母的速度不得小于多少？【分析】假设航母最小速度为v，那么这个速度就是飞机加速的初始速度，以航母为参考系，飞机相对于航母从静止开始加速至v0-v，其相对位移为L，加速度已知，据此即可求解。【解答】假设航母最小速度为v，那么这个速度就是飞机加速的初始速度，以航母为参考系，对飞机用速度位移公式有：

(v0-v)2=2aL

由此可求得：v=10m/s

某些问题中，虽然两个相对运动的物体都具有加速度，但他们加速度相同，这个时候，我们可以选择其中一个为参考系，另外一个相对于该物体的运动必定是无加速度的运动，即静止或匀速直线运动。例如，两个均做自由落体运动的物体之间彼此相对对方做匀速直线运动或相对静止，同一高度同时开始下落的两个物体同时着地就是一例。

【例题3】竖直平面内有两个小球A和B，A在B的正上方高h处，某时刻释放B使B自由下落，同时把A以速度v0竖直向下抛出，结果A、B同时着地，A、B都可以当成质点，且不计空气阻力，试求B离地面的高度。