第1章 1.5 力的时间和空间积累效应
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1第1章 理论力学基础
由
A D B E 1m
M A 0
Fx F1x F2 x F3x F4 x Fx
在垂直方向的合力：
F1Y F2Y
Fy F1 y F2 y F3 y F4 y Fy
（4）根据勾股求合力F：
F4Y
F4X
F1X F2X
F3X
F (Fx ) (Fy )
2
2019年1月14日星期一 2019/1/14
2019年1月14日星期一 2019/1/14
22 ‹#›
例5
作受力图。
T
G A B o
G NA
O
NB
圆柱O
2019年1月14日星期一 2019/1/14
23 ‹#›
例6
作受力图。（不计摩擦） P
A
B E D C P
A
B
o
W F
NE
C
YA
NE
XA
ND
折杆ABC、圆柱体O
ND
O
W
NF
2019年1月14日星期一 2019/1/14
2019年1月14日星期一 2019/1/14
绳索是重物的约束
轴承是轴的约束。
5 ‹#›
3.约束力：约束对被约束物体的作用力 （约束反力，或反力） 工程中常见的约束：
1、 柔体约束 柔性体 （绳索、皮带、链条等拉住物体，限制其运动。）
TA
A
A T1’ T1
P 柔绳约束动画
P
T2’
T2
作用线：沿柔性体
1.4 力矩和力偶
Mo(F)=±Fd +
－ O
.
d F
若“F”为分力F1、F2、· · · Fn的合力，则它也等 于各分力对同一点力矩的代数和。即：
A D B E 1m
M A 0
Fx F1x F2 x F3x F4 x Fx
在垂直方向的合力：
F1Y F2Y
Fy F1 y F2 y F3 y F4 y Fy
（4）根据勾股求合力F：
F4Y
F4X
F1X F2X
F3X
F (Fx ) (Fy )
2
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22 ‹#›
例5
作受力图。
T
G A B o
G NA
O
NB
圆柱O
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23 ‹#›
例6
作受力图。（不计摩擦） P
A
B E D C P
A
B
o
W F
NE
C
YA
NE
XA
ND
折杆ABC、圆柱体O
ND
O
W
NF
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绳索是重物的约束
轴承是轴的约束。
5 ‹#›
3.约束力：约束对被约束物体的作用力 （约束反力，或反力） 工程中常见的约束：
1、 柔体约束 柔性体 （绳索、皮带、链条等拉住物体，限制其运动。）
TA
A
A T1’ T1
P 柔绳约束动画
P
T2’
T2
作用线：沿柔性体
1.4 力矩和力偶
Mo(F)=±Fd +
－ O
.
d F
若“F”为分力F1、F2、· · · Fn的合力，则它也等 于各分力对同一点力矩的代数和。即：
怎么理解力对空间的积累
怎么理解力对空间的积累力是物理学的基本概念，它是描述物体运动状态的量。
在我们日常生活中，力也是一个经常被提及的词汇。
力的作用可以对物体产生影响，也可以对我们的身体产生影响。
但是，力还有一个非常重要的作用，那就是对空间的积累。
本文将从以下几个方面来探讨力对空间的积累的意义。
一、力对空间的影响首先，我们需要了解力对空间的影响。
力的作用可以改变物体的位置、形状和速度等。
这些变化会对空间造成影响。
例如，一个重物落地时，它的重力会对地面产生压力，这个压力会使地面产生一个凹陷的形状。
这个凹陷的形状就是力对空间的影响。
此外，力还可以改变空间中物体的运动轨迹。
例如，一个弹簧可以将物体向上弹起，这个弹起的轨迹就是力对空间的影响。
力还可以改变物体的方向和速度，这些变化也会对空间产生影响。
例如，一个车辆在高速行驶时，它的速度和方向会对周围的空间产生影响。
二、力对空间的积累力对空间的影响是不断积累的。
当一个物体受到力的作用时，它会对周围的空间产生影响。
这些影响会随着时间的推移而不断积累，最终形成一个稳定的形态。
例如，一座大桥的建造就是力对空间的积累。
在建造过程中，桥梁承受着巨大的重力和风力，这些力会对周围的空间产生影响。
但是，经过多年的积累，这些影响逐渐稳定下来，形成了一座坚固的大桥。
此外，力对空间的积累还可以表现在自然界中。
例如，一座山峰的形成就是力对空间的积累。
在地球的漫长历史中，地壳运动、地质变化、水流侵蚀等力的作用会不断改变山峰的形态。
但是，这些影响逐渐积累，最终形成了我们看到的山峰。
三、力对空间的美学价值力对空间的积累不仅仅是一个物理过程，它还具有美学价值。
当我们欣赏一座大桥或者一座山峰时，我们所看到的不仅仅是一个物理结构，更是一个经过力对空间积累的艺术品。
例如，一座古老的城墙，它经历了多年的风雨侵蚀和人类的战争摧毁，但它依然屹立在那里，成为城市的标志性建筑。
这个城墙所承载的不仅仅是历史的记忆，更是力对空间积累的美学价值。
力的时间累积效应冲量动量动量定理
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
mvM
l 2
J
2mu
l 2
1 12
ml 2
1 2
ml 2
解得
mvMl ml 2 12
2 ml 2
6m(2gh)1 2 2 (m 6m)l
演员N以u起跳，到达旳高度：
h u2 l 2 2 ( 3m )2 h
2g 8g m 6m
第四章 刚体的转动
28
解 碰撞前M落在 A点旳速度
vM (2gh)1 2
碰撞后旳瞬间，M、N具有相同旳线速度
u l
2
第四章 刚体的转动
26
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
M、N和跷板构成旳系统，角动量守恒
mvM
l 2
J
2mu
l 2
1 12
ml 2
1 2
ml 2
M
h
N
C
A
B
l
l/2
第四章 刚体的转动
27
物理学
➢ 在冲击等问题中 M in M ex L 常量
➢ 角动量守恒定律是自然界旳一种基本定律.
第四章 刚体的转动
19
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
许多现象都能 够用角动量守恒来 阐明.
➢把戏滑冰 ➢跳水运动员跳水
第四章 刚体的转动
20
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
自然界中存在多种守恒定律
开始时静止于圆环上旳 点 A (该点在经过环心 O 旳水平面上)，然后 点从开A 始下滑．设小球与圆环间旳摩擦力略 去不计．求小球滑到点 B 时对环心 O 旳角 动量和角速度．
4-3 角动量 角动量守恒定律
mvM
l 2
J
2mu
l 2
1 12
ml 2
1 2
ml 2
解得
mvMl ml 2 12
2 ml 2
6m(2gh)1 2 2 (m 6m)l
演员N以u起跳，到达旳高度：
h u2 l 2 2 ( 3m )2 h
2g 8g m 6m
第四章 刚体的转动
28
解 碰撞前M落在 A点旳速度
vM (2gh)1 2
碰撞后旳瞬间，M、N具有相同旳线速度
u l
2
第四章 刚体的转动
26
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
M、N和跷板构成旳系统，角动量守恒
mvM
l 2
J
2mu
l 2
1 12
ml 2
1 2
ml 2
M
h
N
C
A
B
l
l/2
第四章 刚体的转动
27
物理学
➢ 在冲击等问题中 M in M ex L 常量
➢ 角动量守恒定律是自然界旳一种基本定律.
第四章 刚体的转动
19
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
许多现象都能 够用角动量守恒来 阐明.
➢把戏滑冰 ➢跳水运动员跳水
第四章 刚体的转动
20
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
自然界中存在多种守恒定律
开始时静止于圆环上旳 点 A (该点在经过环心 O 旳水平面上)，然后 点从开A 始下滑．设小球与圆环间旳摩擦力略 去不计．求小球滑到点 B 时对环心 O 旳角 动量和角速度．
大学物理学-力的空间积累
质点系的功能原理
W 外 W 内 E k末 E k初
W 外 W 非保守内力 W 保守内力 E K E K 0
W 保守内力 ( E P E P 0 ) E P
W 外 W 非保守内力 ( E K E K 0 ) ( E P E P 0 )
总动量，但增大总动能。
大学物理学
章目录
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2.3 力在空间上的积累
质点系的动能定理
质点系的动能
一对内力 做功之和不一定为零
W 外 W 内 E k末 E k初
质点系的动能定理:
质点系总动能的增量等于外力的功和内力的功之和。
大学物理学
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2.3 力在空间上的积累
此势能曲线可分析系统
状态的变化。
大学物理学
势垒
E
ra 势阱 rb
•A
章目录
节目录
rc
上一页
X
下一页
2.3 力在空间上的积累
四、质点系的动能定理和功能原理
内力矢量和为零，但内力做功之和可不为零。
作用于不同质点，质点位移可能不同。
W W 0
f
f
例：物体间摩擦力矢量和为零，对总动量没影响
，但做功可以减小总动能。炸弹爆炸时爆炸力不改变
2GM
c
R
星体即使发光，引力也会把光吸引回来，远处
的观察者根本接收不到该星体发出的任何信息。这
W 外 W 非保守内力 E E0
功能原理:质点系在运动过程中，所受外力的功与系
统内非保守力的功的总和等于其机械能的增量。
大学物理学
力的三种效应及应用
求解力学问题的三把金钥匙——力的三种效应及应用力学是物理学的基础和重要的组成部分，在中学物理教材中，力学知识的核心可以概括为力的三种效应即力的瞬时效应、力的时间积累效应、力的空间积累效应。
力的这三种效应从三个不同的视角揭示了自然界中最普遍的现象之一---运动现象的内在本质及其遵循的规律，为力学问题的解决提供了三种求解方法。
下面就力的三种效应及其应用做以粗浅探讨：1、力的瞬时效应：牛顿第二定律的微分形式为d(mv)/dt=F, mv表示物体的“运动量”，简称动量，d(mv)/dt为动量对时间求导，即动量随时间改变的快慢程度。
在宏观、低速情况下，物体的质量m为定值，d(mv)/dt可写作mdv/dt，dv/dt为速度对时间求导，即速度随时间改变地快慢程度——加速度；如果物体做匀变速运动，加速度为恒量，记做dv/dt=a,则d(mv)/dt=F可写作ma=F，该式就是中学物理教材中牛顿第二定律的数表达式。
F=ma给出了力F与加速度a的瞬时定量关系，称为力的瞬时效应。
应用中可以从物体的受力分析出发，求出物体的加速度a，进而求解位移s、速度v等运动学问题；也可以从分析物体的运动情况出发，求出物体的加速度，进而解决物体的受力问题。
2、力的时间积累效应：力的时间积累效应就是求力F对时间t的积分，由d(mv)/dt=F可得Fdt=mdv则有ʃFdt=ʃmdv 即ʃFdt=mv2-mv1当F为恒力时有F(t2– t1 )= m(v2– v1 ) 即F△t = m△V这就是动量定理：在一段时间内物体动量的变化（m△V），等于物体在同一时间内所受外力的冲量（F△t）。
力的时间积累效应在应用中与力的瞬时效应的应用类似，也是双向的。
3、力的空间积累效应：力的时间积累效应就是求力对位移的积分，其微分形式为Fds ，由d(mv)/dt=F可得Fds = d(mv)ds/dt ，又ds/dt = v则有Fds = vd (mv) , 对其积分ʃFds =ʃvd(mv) 当F为恒力时有F(s2 – s1) = m(v22– v12)/2这就是动能定理：物体动能的增加，等于外力对物体所做的功。
15力的时间和空间积累效应
l
v0
y
v
x
m
M
解：(1)子弹、物体系统：穿透过程水平向未受外力 系统在水平方向动量守恒。设子弹穿出时物体的水 平速度为v
T
M
Mg
V
y
x
x : mv0 0 mv MV
V2 y：T Mg M l
V 3.13(m / s) T 26.5( N )
(2)
I x mv mv0 1.0 102 (30 500) 4.7(N s)
1. 质点动量定理与动量守恒 Principal of partical momentum
冲量（Impulse)
d (mv ) F dt dI Fdt d (mv )
质点动量定理
（力的时间积累效应, N· s）
t1
t2 I Fdt mv2 mv1
t1 0
t2
2
I = mv2 - mv1 140 = 10( v2 -10)
v2 24( m/ s)
2. 质点系动量定理与动量守恒 ※质点系（m1 m2 ） ※质点系的内力与外力 ※质点系的动量
P pi
i
① 质点系
由分立质点 mi 组成
由质量元 dm 组成
dm
mi
② 质点系的内力与外力
例1. 质量为m的质点，以不变速率v沿图中正三角形 ABC的水平光滑轨道运动．质点越过A角时，轨道作 用于质点的冲量为
I 3mvj
A
B
x
y
C
例2 图示一圆锥摆，质量为m的小球在水平面 内以角速度w匀速转动．在小球转动一周的过程 中， (1) 小球动量增量等于__________． (2) 小球所受重力的冲量_______． (3) 小球所受绳子拉力的冲量大小等于_____．
力的空间累积效应
W P t
瞬时功率
ΔW dW P lim F v t 0 Δt dt
P Fv cos
6
2-3 力的空间累积效应
(1) 内力的矢量和为零,内力作功之的和不 一定为零？ f2 B B f1 A A f1f 2 f 0
W 1 f 1L
2-3 力的空间累积效应
2.3 力的空间累积效 应： F 对 r 积累 W，动能定理
一 质点的功与能 1 功和功率 恒力作用下的功
W F cos r F r
F
r
1
2-3 力的空间累积效应
变力的功
dW F cos dr dW F dr
l
C
D
B
质点沿任意闭合路径运动一周时，保守力 对它所作的功为零． 非保守力：力所作的功与路径有关． （例如摩擦力）
20
2-3 力的空间累积效应
（4） 势能
与质点位置有关的能量． 引力的功
m' m m' m W ( G ) (G ) rB rA
引力势能
m' m Ep G r
m 'm m 'm 引力的功 W (G ) (G ) rB rA 1 2 1 2 弹力的功 W ( kxB kx A ) 2 2
19
2-3 力的空间累积效应
F d r F d r A ACB ADB l F dr ACB F dr BDA F dr W F dr 0
解： l
m
8
2-3 力的空间累积效应
l
m
9
力对物体的时间累积效应
c
c c
➢ 其余点的运动=随C点的平动+绕C点的转动
质心的位置
由n个质点组成 的质点系，其质心 的位置：
m2
mi
c
m1
➢对质量离散分布的物系：
➢对质量连续分布的物体： 说明 对密度均匀、形状对称的物体，质 心在其几何中心．
例1 水分子H2O的结构如图．每个氢原 子和氧原子之间距离均为d=1.0×10-10 m，氢 原子和氧原子两条连线间的夹角为θ=104.6o.
求水分子的质心．
H
d oC Od
H
52.3o 52.3o
解 yC=0
H
d oC Od
H
52.3o 52.3o
P66例2.2.7求半径为 R 的匀质半圆薄片的质心. 例2 求半径为 R 的匀质半薄球壳的质心.
Rθ O
解 选如图所示的坐标系． 在半球壳上取一如图圆环
➢ 圆环的面积
Rθ O
➢ 圆环的质量 由于球壳关于z 轴对称，故xc= 0
非完全弹性碰撞 可以证明：恢复系数等于恢复过程与压 缩过程的冲量之比
讨论
（1）若
碰前
则
（2）若
,则
碰后
讨论
（3）若
,则
碰前
碰后
1、教材p61 例2.2.2； 2.2.3；2.2.4；2.2.5分析
1 动量定理微分形式的应用举例
o
例3、一质量均匀分布的柔软细绳
铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平
为0.05 s．求在此时间内钢板
所受到的平均冲力．
解 由动量定理得：
O
方向与 轴正向相同．
弹性和非弹性碰撞
一般情况碰撞
1 完全弹性碰撞 动量和机械能均守恒
大学物理力对物体的时间累积效应
i
(4) 动量守恒定律是物理学最普遍、最基
本的定律之一．
14
2.2 力对物体的时间累积效应
例1：一长为l，密度均匀的柔软链条，其单位长度
的质量为，将其卷成一堆放在地面上，如图所示。若 用手握住链条的一端，以加速度a从静止匀加速上提。 当链条端点离地面的高度为x时，求手提力的大小。
解：以链条为系统，向上为X正向，地面为原点 建立坐标系。
L
而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L
所以F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg
18
证明二：
2.2 力对物体的时间累积效应 o
取如图坐标，设t时刻已有x长的
x
柔绳落至桌面，随后的dt 时间内将有
质量为 dx（Mdx/L)的柔绳以dx/dt
的速率碰到桌面而停止，它的动量变
化为：
x
dp vdm vdx
F ex F1 F2 FN
I
p
p0
8
2.2 力对物体的时间累积效应
注意
➢区分外力和内力 ➢内力仅能改变系统内某个物体的 动量，但不能改变系统的总动量.
9
2.2 力对物体的时间累积效应
讨论
F
（1） F 为恒力
I Ft
O t1
（2） F 为变力
F
I
t2 t1
Fdt F (t2
t1)
dt
F xg 3xa
x xg
N
O (l x)g
16
2.2 力对物体的时间累积效应
例2、 一质量均匀分布的柔软细
o
绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水
平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将
x
高二物理竞赛课件：力的空间累积效应能量守恒定律
mM
s ml mM
y
os
x
10
功率
P dA
f
fcos
dt
质点动能定理
A
b a
f
dr
1 2
m 2
1 2
mo2
dA=f.dr
质点动能定理说明:合外力对质点所作的功等于质 点动能的增量。
(1)功是标量,且有正负。 (2)功是相对量,其大小随所选参考系的不同而不同。
例： 重力对m的功: 地面参考系： A=mgh 物体m参考系： A=0
设半圆薄片的面质量密度为，取宽度为dx的质量微元
dm 2Rsindx
因 x Rcos dx Rsind
xc
xdm dm
R cos 2R sin (R sind ) R2 / 2
y
4R
2 cos sin2 d
4R sin3
2
4R
0
3
3
0
R
O
c
x
z
质心坐标为：(4R/3π，0)
m h
11
(3)在 直角坐 标系中
f
f x i
f yj
f zk ,
dr dxi dyj dzk
b b
b
b
A a f dr a f xdx a f ydy a fzdz
功是沿质点运动轨道进行积分计算的。一般地说, 功的值既与质点运动的始末位置有关,也与运动路径 的形状有关。
的全部质量、全部外力都集中在质心上的一个质点的 运动一样。
(1)质心的运动规律完全由合外力确定,与内力无关。 (2)系统所受合外力为零，
ac
d c
dt
0,
力对物体的时间累积效应
相变与温度
物质在一定温度和压力下会经历相变，从一种相转变为另一种相 。力的作用可以影响相变的过程和条件。
相变与压力
在压力作用下，物质的相变行为也会发生变化，如加压合成新物质 等。
相变与性能
相变会导致物质性能的改变，如导电性、热导率、光学性能等。
PART 04
力对物体疲劳的影响
疲劳破坏
定义
在循环应力作用下，材料内部逐 渐产生微裂纹并扩展，最终导致 整体断裂的现象。
详细描述
弹性形变是物体的一种基本属性，它与物体的材料性质有关。当外力作用于物体时，物 体内部的原子或分子的相对位置发生变化，导致物体形状的改变。当外力撤去后，原子 或分子的相互作用力使得物体能够恢复到原来的状态。这种形变具有可逆性，不产生永
久性的变化。
非弹性形变
总结词
非弹性形变是指物体在外力作用下发生形变，当外力撤去后 ，物体不能完全恢复到原来的状态。
产生加速度
总结词
力可以产生加速度。
详细描述
根据牛顿第二定律，力作用在物体上会使物体产生加速度。加速度的大小和方向与作用在物体上的力的大小和方 向有关。如果力的大小或方向发生变化，物体的加速度也会相应地发生变化。
PART 02
力对物体形变的影响
弹性形变
总结词
弹性形变是指物体在外力作用下发生形变，当外力撤去后，物体能够恢复到原来的状态 。
1 2 3
分子间作用力
力对物体施加后，分子间的相互作用力会发生变 化，导致分子间的距离、取向和排列发生变化。
分子间相互作用
在力的作用下，分子间的相互作用力增强或减弱 ，影响分子的振动和转动能级，进而影响物质的 物理和化学性质。
分子间作用力与物态变化
大学力学第一章知识点总结
大学力学第一章知识点总结第一章力学引论1.1 力学的发展历史力学作为物理学的一个重要分支，其发展历史可以追溯到古希腊时期。
古代的力学研究主要集中在物体的静力学和动力学方面，主要代表人物有亚里士多德、阿基米德等。
17世纪以来，伽利略、牛顿等科学家的研究进一步推动了力学的发展，形成了经典力学的基本理论框架。
1.2 力学的研究对象力学的研究对象是宏观物体的运动和相互作用规律。
力学主要关注的问题包括：1) 物体的运动规律：描述物体的位置、速度、加速度等物理量随时间的变化规律；2) 物体的相互作用：研究物体之间的相互作用力、力的性质、大小和方向等。
1.3 力学的基本概念力学的基本概念包括：质点、力、力的合成与分解、质点系等。
1.3.1 质点质点是力学中理想化的物理模型，它具有以下特点：1) 质点的质量可以集中在一个点上；2) 质点的大小可以忽略不计；3) 质点的形状可以忽略不计。
1.3.2 力力是使物体发生形变或者改变运动状态的原因。
根据作用力的性质，力可以分为接触力和非接触力；根据作用力的来源，力可以分为重力、弹力、摩擦力等。
1.3.3 力的合成与分解多个力共同作用在物体上时，可以通过几何方法或者向量加法原理进行力的合成。
而一个力可以分解为多个力的合力，可以用力的正交分解和平行分解法进行。
1.3.4 质点系当研究的物理系统不仅包含一个质点时，就涉及到了质点系的概念。
质点系可以根据质点间的相互作用力和相对位置的不同而表现出不同的特性。
1.4 力学的基本原理力学的基本原理包括牛顿三定律、动量定理和动能定理。
1.4.1 牛顿三定律牛顿三定律是经典力学的基础，包括以下三个定律：1) 牛顿第一定律（惯性定律）：若作用于物体的合力为零，则物体将保持静止或匀速直线运动的状态；2) 牛顿第二定律（动力定律）：物体的加速度与作用于物体的合外力成正比，与物体的质量成反比，方向与作用力的方向相同；3) 牛顿第三定律（作用与反作用定律）：任何一个物体对另一物体施加一个力，必然受到另一物体对它的相等大小、方向相反的力的作用。
高二物理竞赛课件：力的时间累积效应动量守恒定律
8
F
m t
( 2
1 )
（1）三角形法
画出 =2-1的 矢量三角形，再
解此三角形; 由图可求得
| |=|2-1 |=2 cos30o= 3
于是平均冲力的大小为
2
30o
o
30o
1
F
m t
(2 1 )
3m
t
m
30o 30o 1
2
F(即 )的方向与轨道成30o(竖
直向上),如图所示。
9
（2）单位矢量法 建立直角坐标系(如图)，把
md
o
m
mo
5
例题2.2 斜面:h=3m、l=5m，摩擦系数
=0.3。m由静止开始下滑，求在水平面上滑
行的距离S=？（取g=10m/s2）
解 1.斜面上: mgsin-mgcos=ma a=gsin-gcos
y
x
m l
h
1
1
2al t
2gh 2gl cos =6m/s
2. 0 F合dt m2 m1
13
2
m
s
7
例题2.3 m经时间t、以不变的速率越过一水平
光滑轨道60º的弯角，求轨道作用于质点的平均冲力 的大小。
解 平均冲力可视为恒力，由动量定理有
m : I F t m2 m1
平均冲力
这
里
1
F
m t
( 2
2
1
)
m
30o 30o 1
2
求解(2- 1 )的方法有两个：
三角形法 单位矢量法
t
y: 0 Ndt 0 (m1 sin )
t
x:
Ndt m2 m1 cos
力的时间累积效应
o
v0
Fr
时间的函数关系．
v
变 力 作 功
W F rb di rvd ix F r dbrvcdxo 1s8 0 v0 P4v4例0xe5m bt
12
W 解 F 建r d 立r 如 图 坐b v 标 i d x i b v d xo bvd dd x tt bv2dt
v0
ds
Fr2(t)
F1
b
d W F d r F d r co
r ( t F t ) 元功 F co d ssdrds
o
3
dr ds
B
r
rF
元功
dWFdr
Fcod ss
变力对质点所做的总功
A
o
W dW B F d r B Fco d s
在直d F r 角 坐F d 标x x i i 系 下F d y y ： j j F d z z k k d W F d A r F x d x A F y d y F z d z
➢ 保守力做功与路径无关
WL1Fdr
L2Fdr
b
L2
L1
dr
a
8
（4）功是标量（代数量）
W > 0 力对物体做功 W < 0 物体反抗阻力做功 W = 0 力作用点无位移
力与位移相互垂直
（5）一对作用力与反作用力做功的代数和不一定为零 力作用点的位移不一定相同
➢ 质点系内力做功的代数和不一定为零
9
➢ 元d功 W F d r ：
总功W ：FdrFcosds
B
➢ 直角系 W FxdxFydyFzdz
A
21
二、质点的动能定理
W 1 2m v 2 2 1 2m v 1 2 E k 2 E k 1
功、做功、力对空间的积累讲解
虽然力F和dr都是矢量，但是功却是标量；根据微积分的基本方法可以知道，若力F 是变力，即当质点从A点运动到B点过程中，就可以对元功dW=F·dr进行积分，把 每一小段的力做的功加起来，即W=∫F·dr = ∫Fdrcosθ，积分上限为B，下限为A， 如图2所示。如果有几个力同时作用于质点，那么合力对质点所做的功就等于每个 分力对质点做功的代数和；
而当你提着水桶匀速向前走动时，水桶在拉力的方向上没有发生位移，虽然拉力没 有做功，但此时你仍然会感觉到累，这是因为此时的水桶和你是一个整体，当你向 前匀速运动时需要克服地面摩擦力做功，也就是你的双腿在做功，把你的身体和水 桶搬运到远处，这时消耗的能量就会使你觉得累，几个人一起抬水也是同样的道理。
和动能对应的就是势能，势能是什么，又具有哪些特性，我们将在《从星球间的万 有引力看势能，再复杂的现象也变得生动》中讨论。
《人感觉到累就一定对物体做功吗， 力对空间的积累解密和尚抬水问题》
上一章讲到了发射火箭时的推力问题，也明白了其中的工作原理，火箭发射时其实 还需要很多理论做支撑，本章就先从最基本对的功和动能开始谈起。
前面的章节中说到力对时间的积累效应叫做冲量，有时间必然有空间；假如在图1 中有一个质点在力F的作用下发生的一段位移为dr，由于F与dr存在夹角θ ，所以力F 可以分解为平行于dr方向和垂直于dr方向，于是把平行于dr方向的dW=Fdrcosθ 叫 做元功，而在垂直于力方向上的dW等于零；
功单位也是焦耳，可以看出如果对物体做功就需要消Байду номын сангаас能量，同时把功随时间的变 化率叫做功率，用大写字母P表示，即P=dW/dt = F·dr/dt = F·v，功率的单位为瓦 特（w）。
上面说到力F对质点做的元功为dW=Fcosθ dr，我们发现在质点运动轨迹的切线方 向，有牛顿第二定律，即Fcosθ= m*at = m*(dv/dt)，又因为dr = vdt，所以可以 得到dW = Fdrcosθ=mvdv，现在就是以速度v为积分变量，如果质点的速度从v1 增加到v2，那么对上式积分后可得W=∫mvdv = 1/2(mv2^2 -m1^2)，发现力对 空间的积累效应W可以用两个状态的差值来表示，我们把这个与质点运动状态有关 的量叫质点体的动能，用Ek来表示。
而当你提着水桶匀速向前走动时，水桶在拉力的方向上没有发生位移，虽然拉力没 有做功，但此时你仍然会感觉到累，这是因为此时的水桶和你是一个整体，当你向 前匀速运动时需要克服地面摩擦力做功，也就是你的双腿在做功，把你的身体和水 桶搬运到远处，这时消耗的能量就会使你觉得累，几个人一起抬水也是同样的道理。
和动能对应的就是势能，势能是什么，又具有哪些特性，我们将在《从星球间的万 有引力看势能，再复杂的现象也变得生动》中讨论。
《人感觉到累就一定对物体做功吗， 力对空间的积累解密和尚抬水问题》
上一章讲到了发射火箭时的推力问题，也明白了其中的工作原理，火箭发射时其实 还需要很多理论做支撑，本章就先从最基本对的功和动能开始谈起。
前面的章节中说到力对时间的积累效应叫做冲量，有时间必然有空间；假如在图1 中有一个质点在力F的作用下发生的一段位移为dr，由于F与dr存在夹角θ ，所以力F 可以分解为平行于dr方向和垂直于dr方向，于是把平行于dr方向的dW=Fdrcosθ 叫 做元功，而在垂直于力方向上的dW等于零；
功单位也是焦耳，可以看出如果对物体做功就需要消Байду номын сангаас能量，同时把功随时间的变 化率叫做功率，用大写字母P表示，即P=dW/dt = F·dr/dt = F·v，功率的单位为瓦 特（w）。
上面说到力F对质点做的元功为dW=Fcosθ dr，我们发现在质点运动轨迹的切线方 向，有牛顿第二定律，即Fcosθ= m*at = m*(dv/dt)，又因为dr = vdt，所以可以 得到dW = Fdrcosθ=mvdv，现在就是以速度v为积分变量，如果质点的速度从v1 增加到v2，那么对上式积分后可得W=∫mvdv = 1/2(mv2^2 -m1^2)，发现力对 空间的积累效应W可以用两个状态的差值来表示，我们把这个与质点运动状态有关 的量叫质点体的动能，用Ek来表示。
转动定理的积分形式力矩对时间和空间的累积效应
刚体绕定轴转动的动能 定理：合外力矩对绕定
0
轴转动的刚体所作的功
W＝
1 2
J
2－
1 2
J
2 0
等于刚体的转动动能的 增量。
例题：如图所示，一质量为M、半径为R的圆盘，可绕一无摩擦的水平轴转动。圆盘上 绕有轻绳，一端悬挂质量为m的物体。问物体由静止下落高度h时，其速度的大小为多
少？设绳的质量忽略不计。
dW
Fvgdrv
F
drv
cos
2
Frd
sin
dW Md
W Md
说明：力矩作功的实质仍然是力作功。只是
对于刚体转动的情况，这个功不是用力的位移来 表示，而是用力矩的角位移来表示。
0
2、力矩的功率
（1）定义：
单位时间内力矩对刚体所作的功。
（2）公式
P dW ＝M d M
dt
dt
功率一定时，转速越大，力矩越小； 转速越小，力矩越大。
一、刚体定轴转动的角动量定理
v
定轴转动定理
v M
v dL
同牛顿第二定律
v F
dpv
dt
dt
类似，以微分形式反映了力或力矩对刚体质点或 质点系的瞬时作用规律。如果我们要考虑一段时 间内外力矩对刚体的作用效果，则可对转动定理
表式对时间积分可得积分形式——刚体定轴转 动的角动量定理
由
M
dL
dt
得
Mdt dL
（3）意义
表示力矩对刚体作功的快慢
3、刚体的转动动能
刚体以角速度ω作定轴转动，取一质元Δmi，距转轴 ri，则此质元的速度为vi=riω，
动能为ห้องสมุดไป่ตู้
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？
微分、积分
F
B
dr
A
dA F cos dr F dr
元过程力的功：
dA F dr
宏观过程力的功： A
S A
B
dA
B
A
F dr
例1：如果一质点位置的时间函数是 （m），质点受到的力中有一个力是 （N）。求：当质点从 t 1 秒位置运动到 秒位置过程中这个力的功。
解： dA F dr (3 xi ) (3dxi 3dyj )
9 xdx
9 2 A 9 xdx x 18( J ) 0 2 0
Fi外1
成对出现； 大小相等方向相反。
f
i
i内
0
mj
mi
外力：系统外部对质点系 内部质点的作用力
Fi外
③ 质点系的动量
F1外
m1.v11
f1内
m1.v11
dr1
F1外
过程
m1.v12
I
f 2内
II
m2 .v22
dr2
f1内
m2 .v21
F2外 F2外
P系1 ( pi1 ) (mi1vi1 )
I 3mvj
A
B
x
yห้องสมุดไป่ตู้
C
例2 图示一圆锥摆，质量为m的小球在水平面 内以角速度w匀速转动．在小球转动一周的过程 中， (1) 小球动量增量等于__________． (2) 小球所受重力的冲量_______． (3) 小球所受绳子拉力的冲量大小等于_____．
0
I mg mg
IG+IT=ΔP
l
v0
y
v
x
m
M
解：(1)子弹、物体系统：穿透过程水平向未受外力 系统在水平方向动量守恒。设子弹穿出时物体的水 平速度为v
T
M
Mg
V
y
x
x : mv0 0 mv MV
V2 y：T Mg M l
V 3.13(m / s) T 26.5( N )
(2)
I x mv mv0 1.0 102 (30 500) 4.7(N s)
1. 质点动量定理与动量守恒 Principal of partical momentum
冲量（Impulse)
d (mv ) F dt dI Fdt d (mv )
质点动量定理
（力的时间积累效应, N· s）
t1
t2 I Fdt mv2 mv1
例1. 质量为m的质点，以不变速率v沿图中正三角形 ABC的水平光滑轨道运动．质点越过A角时，轨道作 用于质点的冲量为
六. 动能定理与机械能守恒定律（标量角度） (Kinetic energy theorem) (convercation of mechenical energy )
（§1.5.2）
1. 功（work) （1）力对质点的功 中学：直线位移常力的功 大学：曲线、变力的功
F
A F x cos
r 2i 3tj F 2ti
t2
解：
dA F dr (2ti ) (3dtj ) 0
A dA 0
例2：一力 F 3xi ( N )
而质点运动函数 r 3xi 3 yj (m)
求质点在 (0,0)
(2,3)
空间位置变化过程中力的功。
2
j
j
y
IT mg
2
例3. 一物体质量为10 kg，受到方向不变的力F＝ 30＋40t (SI)作用，在开始的两秒内，此力冲量的大 小等于________________；
I F d t (30 40t ) d t 140( N s)
t1 0
t2
2
I = mv2 - mv1 140 = 10( v2 -10)
五. 动量定理与动量守恒定律（矢量角度） (conservation of momentum)
（§1.5.1）
■过程
F ma
2
1
力作用的积累
过程
1 2
按时间
按空间 功
冲量
■三个定理与三个守恒定律（过程）
*. 动量定理与动量守恒定律 (conservation of momentum) *. 动能定理与能量（机械能）守恒定律 (conservation of mechanical energy *. 角动量定理与角动量守恒定律 (conservation of angular momentum)
⑤ 质点系的动量守恒定律 ：
dI外 ( Fi外)dt dP系
i
F
i
i外
0
P系 pi mi vi 常矢量
i i
Fx外 0, Fy外 0, F 0, z外
m v
i
i ix
Px C1 Py C2 Pz C3
m2 .v21
F2外 F2外
m2 :
(m1 m2 ) :
dI内 （f1 内 f2内 ）dt 0
( F1,外 F2,外)dt d (m1v1 m2v2 )
dI外 ( Fi外)dt dP系
i
I外 P系2 P系1
质点系动量定理
内力不改变系统的动量但可改变系统内质点的动量
i i
P系2 ( pi 2 ) (mi 2vi 2 )
i i
F1外
m1.v11
m1.v11
dr1
F1外
④ 质点系动量定理
m1 :
f1内
过程
m1.v12
I
f 2内
II
m2 .v22
dr2
f1内
（f1内 F1,外 )dt d (m1v1 ) （f2内 F2,外 )dt d (m2v2 )
v2 24( m/ s)
2. 质点系动量定理与动量守恒 ※质点系（m1 m2 ） ※质点系的内力与外力 ※质点系的动量
P pi
i
① 质点系
由分立质点 mi 组成
由质量元 dm 组成
dm
mi
② 质点系的内力与外力
内力： 系统内部各质点间的相互作用力
F jj 外
f i j f j i
m v m v
i i
i iy
三个方向必 须同时满足 时系统动量 守恒
i iz
m
v
人在船上行走
例. 质量为M＝1.5 kg的物体，用一根长为l＝1.25 m的 细绳悬挂在天花板上．今有一质量为 m＝ 10 g的子弹 以v0＝500 m/s的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子 弹的速度大小v ＝30 m/s，设穿透时间极短．求： (1) 子弹刚穿出时绳中张力的大小； (2) 子弹在穿透过程中所受的冲量．