积分换元法解题技巧研究

华北水利水电大学

课题名称：积分换元法解题技巧研究

专业：岩土工程

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2013年6月09日

摘要：换元法是积分应用中的一种重要解题方法，也是一种重要的数学思想。论文主要讨论了第一换元法、第二类换元法、二重积分换元法以及三重积分换元法的解题方式与技巧，同时也介绍了解题中应该注意的事项，以便能够准确而高效地运用积分换元法的解题技巧。关键词：积分换元法、解题技巧、应用举例

英文题目

Reasearch on Problem Solving Skills Change Element Method Integration

Abstract:Change element method is an important method of solving the integral application ,also is a kind of important mathematics thought .This paper mainly discuss the first element method ,second kinds of method, the double integral method and the method of three integral problem-solving methods and techniques, and items that should be noticed in problem solving is also introduced, in order to problem-solving skills to accurately and efficiently using integral method.

Key words:for example, integral method ,technique,application

1. 引言

积分的换元法是积分中的重要解题技巧，省时且省力。凑微分法是将新的变量设为原来的积分变量的函数，而第二类换元法则是讲原来对的积分变量设为新的变量的函数。二重、三重积分换元法是计算二重、三重积分的一个重点，同时也是一个难点。论文介绍了二重、三重积分换元法的定理，极坐标代换及其应用举例。根据积分的特点，选择恰当的解题方法即可。 2. 研究问题及成果

2.1第一换元法与第二换元法的

（1）第一类换元法（凑微法）:是对应于链式求导法则的积分方法 令 F ’(u)=f(u)，u=g(x) 由

（2）第二类换元法：x=g(u)是连续函数的导函数 g ’(u)0 则

※常见的几种配元形式：

(1) (2)

(3)

(4) (5) （3）两者的联系与区别

两种换元法本质上采用的是同一个公式：

=dx x g F )]([d )(')(')

()(x g u F dx

x dg du u dF =•⎰⎰+=+==C x g F C u F du u f x d x g x g f )]([)()()()(')]([≠C )]([)()(')([)(f 1+=+==⎰⎰-x g F C u F du u g u g f dx x ⎰⎰++=

+)()(1

)(f b ax d b ax f a dx b ax n n n n dx x f n dx x x f )(1

)(1⎰⎰=-⎰n n n n dx x

x f n dx x x f 1

)(11)(⎰=⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )sin (⎰⎰-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos

两种换元法的不同：

第一类换元法是从左向右进行变换，他的关键部分在于准确找到凑微分的对象。

第二类换元法反向使用公式，此处关键的步骤在于“置身事外”。 但是第二类换元法本身的应用不是拘泥于函数本身的化简，而是从“旁观者”的角度来理解，将被积函数中比较复杂而不容易化简的部分，采用各种方法将这部分变得简单。 2.2第一换元法与第二换元法的应用举例 （1）第一类换元法应用举例

例1. (u=x+2)

=

例2. (u=sinx) = =e 例3.

(u=lnx)

= = = = 例4. (u=e )

⎰⎰=du u f x g u dx x g x g f )()()(')]([dx x ⎰+992）（)2()2(99++⎰x d x c ++=

100

2x 100

）

（⎰xdx e x cos sin ⎰x d e x sin sin c x +sin ⎰dx x x

ln ln ⎰)(ln ln ln x xd ⎰udu ln c u u u +-ln c x x x +-ln )ln(ln ln ⎰dx e e x x cos x

= = 例5.

(u=)

=2

=2[]

2

2

（2）第二类换元法应用举例 ①.三角代换： 例6. (a>0) 解：令x=asint (-),则有 dx=acostdt

=

=

=

= ②.根式代换： 例7.

解：令x=t 原

式

=

=6

=6

⎰x x de e cos c e x +sin ⎰

dx x

x

tan arc x ⎰x d x arctan ⎰-u ud u u arctan arctan =

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+-⎰

du u u u u 21arctan =c x x arc x +⎢⎣

⎡⎥⎦⎤

+-)1ln(21dx x a ⎰-222

2

π

π

≤

≤t dx

x a ⎰

-2

2

dt

t a

⎰2

2

cos dt t a ⎰+)2cos 1(2

2

c t a t a t a ++)]cos )(sin ([2

12

c x a x a x a +-+

2222arcsin 2dx x x x x

⎰

+)

(3

3

6dt

t t t t t ⎰+52362)(dt

t t ⎰+)1(1C x x C t t t t ++=++-=+-⎰1

ln 6)1ln (ln 6)1116

6

（