2223公式法
九年级数学上册 2223 公式法教案 (新版)华东师大版
公式法【知识与技能】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.2.会熟练应用公式法解一元二次方程.【过程与方法】通过复习配方法解一元二次方程，引导学生推导出求根公式，使学生进一步认识特殊与一般的关系.【情感态度】经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力，渗透辩证唯物主义观点.【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用.【教学难点】一元二次方程求根公式的推导.一、情境导入，初步认识用配方法解方程：（1）x2+3x+2=0 （2）2x2-3x+5=0解：（1）x1=-1,x2=-2 （2）无解二、思考探究，获取新知如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题已知ax2+bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根【分析】因为前面具体数字的题目已做得很多，现在不妨把a,b,c也当成具体数字，根据上面的解题步骤就可以推导下去.探究一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a,b,c而定，因此:（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a,b,c代入式子就得到方程的根，当b2-4ac＜0时,方程没有实数根.（2）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式.（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.【教学说明】教师可以引导学生利用配方法推出求根公式，体验获取知识的过程，体会成功的喜悦，可让学生小组展示.例1 用公式法解下列方程：①2x2-4x-1=0 ②5x+2=3x2③（x-2）（3x-5）=0 ④4x2-3x+1=0解：①x1=1+,x2=1-②x1=2,x2=-③x1=2,x2=④无解【教学说明】（1）对②、③要先化成一般形式；（2）强调确定a,b,c的值，注意它们的符号；（3）先计算b2-4ac的值，再代入公式.三、运用新知，深化理解1.用公式法解下列方程：（1）x2+x-12=0（2）x2-x-=0（3）x2+4x+8=2x+11（4）x（x-4）=2-8x（5）x2+2x=0（6）x2+2x+10=0解：（1）x1=3,x2=-4;（2）x1=,x2=；（3）x1=1,x2=-3;（4）x1=-2+，x2=-2-；（5）x1=0,x2=-2;（6）无解.【教学说明】用公式法解方程关键是要先将方程化为一般形式.四、师生互动，课堂小结1.求根公式的概念及其推导过程.。
数学22,23压轴数学公式
数学22,23压轴数学公式1．加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。
2．加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相乘，再同第三个数相乘，和维持不变。
3．乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。
4．乘法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。
5．乘法分配律：两个数的和与同一个数相加，可以把两个加数分别与这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。
如：（2+3）×5＝2×5+3×5。
6．乘法的性质：在乘法里，被除数和除数同时不断扩大（或增大）相同的倍数，商不变。
0 除以任何不是 0 的数都得 0。
7．等式：等号左右两边成正比的式子叫作等式。
等式的基本性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，左右两边仍然相等。
8．方程式：所含未知数的等式叫做方程式。
9．一元一次方程式：含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的等式叫作一元一次方程式。
10．分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数，叫做分数。
11．分数的加减法则：同分母的分数相乘减至，只把分子相乘减至，分母维持不变。
异分母的分数相加减，先通分，再加减。
12．分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子小的分数小，分子大的分数大。
异分母的分数相比较，先通分，再比较；若分子相同，分母大的分数反而小。
13．分数乘坐整数,用分数的分子和整数相加的积作分子，分母维持不变，能约分的可以先约分再计算。
14．分数乘坐分数,用分子相加的积作分子，分母相加的积做为分母，能约分的可以先约分再计算。
15．分数除以整数（0 除外）,等同于分数乘坐这个整数的倒数。
16．真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。
17．假分数：分子比分母大或者成正比的分数叫作假分数，假分数大于或等于 1。
18．带分数：由整数和真分数合成的数叫做带分数。
19．分数的基本性质：分数的分子和分母同时除以或除以同一个数（0 除外），分数的大小不变。
22.2.3公式法
九年级下册数学精品示范教案22.2.3用公式法解一元二次方程备课时间:教学目标1、 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用 公式法解一元二次方程.2、 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入 ax 1 2 3+bx+c=0 (a M 0) ? 的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程.重点：求根公式的推导和公式法的应用. 难点：一元二次方程求根公式法的推导.【课前预习】 导学过程 阅读教材第34页至第37页的部分，完成以下问题1、用配方法解下列方程(1) 6X 2-7X +1=0(2) 4X 2-3X =52总结用配方法解一元二次方程的步骤:2、如果这个一元二次方程是一般形式 法的步骤求出它们的两根？2a分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把 a 、b 、c?也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去.解：移项，得： _______________________ ，二次项系数化为1,得 ______________________ 配方，得：___________________________________________ 即2a M 0，二 4a >0，1 b 2-4ac >0,,X 2=3b 2-4ac=0，则 亡笄=0此时方程的根为4a年级： 科目：数学 课型：新授 执笔:审核: 上课时间:a x 2+bx+c=0 (a 工0),你能否用上面配方2问题：已知ax +bx+c=0 ( a 工0)试推导它的两个根x i = -b "—4ag2aX 2=S 三式子b 2-4ac 的值有以下三种情况:直接开平方，得:即 x=—b±J b2—4ac2a即一元二次程2才_a x +bx+c=O (a M 0)有两个 (3)b 2-4ac <0，则b~4ac <0，此时(x+ —) 2<0，而x 取任何实数都不4a 22a能使(x+ —) 2< 0,因此方程实数根。
2223公式法
.2.3 公式法一、复习引入用配方法解下列方程（1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=52解：移项，得：6x 2-7x=-1二次项系数化为1，得：x 2- x=配方，得：x 2- x+（ ）2= +（ ）2 （x- ）2=x- =± x 1=x 2=-（2）移项二次项系数化为1，得配方，得总结用配方法解一元二次方程的步骤．（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式a x 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根x 1=2b a-+，x 2=2b a-- 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：a x 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+ x=配方，得：x 2+x+（ ）2=- +（ ）2 即（x+ ）2=∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0∴2244b ac a-≥0 直接开平方，得：x+2b a =± 即x=∴x 1= ，x 2=由上可知，一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1） 解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=2b a-就得到方程的根． （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．例1．用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可． 解：（1）a=2，b=-4，c=-1b 2-4ac= = >0x=∴x 1= ，x 2=（2）将方程化为一般形式x 2 x =0a= ，b= ，c=b 2-4ac= = >0x= =x 1= ，x 2=（3）将方程化为一般形式a= ，b= ，c=b 2-4ac=∴x= ∴x 1= ，x 2=（4）a=4，b=-3，c=1b 2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7 0 因为在实数范围内，负数开平方，所以方程 实数根． 三、巩固练习（1）27180x x --= （2）22980x x -+=五、归纳小结本节课应掌握：（1）求根公式的概念及其推导过程；（2）公式法的概念；（3）应用公式法解一元二次方程；（4）初步了解一元二次方程根的情况．六、布置作业（1）22410x x --= （2）(2)(35)0x x --=。
2223用公式法解一元二次方程
22.2.3用公式法解一元二次方程学习目标1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．2、复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）• 的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式法的推导．活动1 阅读教材第40页至第42页的部分，完成以下问题1、用配方法解下列方程（1）6x2－7x+1=0 （2）4x2－3x=52总结用配方法解一元二次方程的步骤：2、如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）试推导它的两个根x1x2分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：，二次项系数化为1，得配方，得：即∵a≠0，∴4a2>0，式子b2－4ac的值有以下三种情况：（1） b 2－4ac ＞0，则2244b ac a -＞0直接开平方，得： 即x ∴x 1= ，x 2=（2） b 2－4ac =0，则2244b ac a -=0此时方程的根为 即一元二次程 ax 2+bx +c =0（a ≠0）有两个 的实根。
（3） b 2－4ac ＜0，则2244b ac a -＜0，此时（x +2b a）2 ＜0，而x 取任何实数都不 能使（x +2b a）2 ＜0，因此方程 实数根。
由上可知，一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx +c =0，当b 2－4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子x b 2－4ac ＜0，方程没有实数根。
（2）x =2b a-±ax 2+bx +c =0（a ≠0）的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有 实数根，也可能有 实根或者 实根。
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知识点1对求根公式的理解1. 利用求根公式解一元二次方程时 __________ ，首先要把方程化为的形式，确定 _______ ， _________ ， ________ 的值，当 _________ 时，可得方程的根为 ________________ .2.用公式法解一元二次方程 3x 2— 2x + 3= 0时，首先要确定a ,b ,c 的值，下列叙述正 确的是（）A . a = 3, b = 2, c = 3B . a =— 3, b = 2, c = 3C . a = 3, b = 2, c =— 3D . a = 3, b =— 2, c = 33.用公式法解方程(x + 2)2= 6x +8时，b 2 — 4ac 的值为()A . 52B . 32C . 20D . — 12 知识点2用公式法解一元二次方程 4. 解下列方程，最适合用公式法求解的是()2 2A . (x + 2) — 16= 0B . (x + 1) = 4 1 2 2C. 2x 2= 1D . x 2— 3x — 5= 05. 一元二次方程x 2+ 2 2x — 6 = 0的根是( )A . X 1= X 2= 2B . X 1= 0, X 2=— 2 2C . X 1= 2, X 2=— 3 2D . X 1=— 2, X 2=— 3 26. ___________________________________ 方程x 2 + x — 1 = 0的正根是 .7. _____________________________________________ 在一元二次方程 2x 2 + x = 6 中，b 2 — 4ac = ____________________ , X 1 =&用公式法解下列方程： (1) x 2 — 6x + 1 = 0;(2)4x 2— 12= 2x ; (3) x 2 — 2x + 2 = 0;(4)2x 2 + 8x — 7 = 0.9.以x = b - :+― (b 2 + 4c >0)为根的一元二次方程可能是( )22A . x + bx + c = 0B . x + bx — c = 022C . x — bx + c = 0D . x — bx — c = 010 .如图 22 — 2 — 2 所示，在？ABCD 中，AE 丄 BC 于点 E , AE = EB = EC = a ,且 a 是一 元二次方程x 2 + 2x — 3 = 0的根，则?ABCD 的周长为()A . 4 + 2 .2B . 12 + 6 2C . 2 + 2 .2D . 2 + ㊁或 12+ 6 2图 22 — 2— 211.若在实数范围内定义一种运算 “*，”使a*b = (a + 1)2— ab ,则方程(x + 2)*5 = 0的根为 ( ) A . x = — 2 B . X 1=— 2, X 2= 32223 公式法_______ , X 2 =,X2 =,X 2 =12 .若关于x 的一元二次方程 2x 2 — 3x + c = 0的一个根是1,则另一个根是 _____________ 13 .已知关于x 的一元二次方程 x 2 + mx + 6 = 0,若b 2— 4ac = 37,则m = ______________ .X 1 = X 1 =14. 方程(x + 4)(x — 5)= 1 的根为 ____________ .15. ________________________________________________________________ 若最简二次根式 商+ 3x 与J x + 15是同类二次根式，则x 的值是 ______________________________ .16. ［教材例6(4)变式］用公式法解下列方程： (1) 3y(y — 3)= 2(y + 1)(y — 1); (2) (3 x — 1)(x + 2)= 11x — 4.17. 当m 取何值时，方程(m + 1)xm 2 3+ 1+ (m — 3)x — 1 = 0是关于x 的一元二次方程？并 求出此方程的解.18. 设a , b , c 都是实数，且满足(2 — a)2+ _ a 2+ b + c + |c + 8|= 0，请你求出方程ax 2 + bx + c = 0 的根.19. 阅读下列材料,解答问题：为解方程(x 2— 1)2— 5(x 2— 1) + 4= 0,我们可以将x 2— 1视为一个整体，然后设x 2— 1 = y , 则(x 2— 1)2= y 2,原方程可化为y 2— 5y + 4= 0(4),解此方程得y 1= 1,y 2= 4.当y = 1时，x 2—1=1 , - x =±‘...2 当 y = 4 时，x 2— 1= 4, ••• x =± 5,二原方程的解为 x 1 = 2, x 2=— 2, X 3= ：-5,沧=—5.(1)填空：在原方程得到方程 (*)的过程中，利用 _________ 法达到了降次的目的，体现了_______ 的数学思想；(2)解方程：(x 2 — x)2— 8(x 2—x) + 12= 0.20. 已知a 是一元二次方程 x 2— 4x + 1 = 0的两个实数根中较小的根. (1)求 a 2— 4a + 2019 的值； 1 — 2a + a 2 二」孑—2a + 1 1— 2 — _ a — 1 a — a a7. 49 号—2& 解：(1) •/ a = 1, b =— 6, c = 1, b 2— 4ac = (— 6)2— 4 x 1 x 1= 32>0,2 D3 C 4. D 5. C4 x 1 = 3 + 2 2, X 2= 3 — 2 2.⑵原方程可化为2x 2— x — 6 = 0,・ a = 2, b =— 1, c =— 6,・ b 2— 4ac = (— 1)2— 4 x 2 x (— 6) = 49>0,—(—1) ±49…x =2X 2'・ X 1 = 2, X 2= — |.(3) T a = 1, b = — 2, c = 2 ,(2)化简并求值: 2 1. ax + bx + c = 0 a bc b 2— 4ac > 0 x = —b ± b 2— 4ac 2a・・x =—(—6) 土. 32 2X 12 2• b —4ac= (—2) —4X 1 X 2=—4<0 , •原方程无解.⑷•/ a= 2 , b = 8 , c=—7 ,2 2•b2—4ac= 82—4X 2 X (—7) = 120>0 ,—…x=2 X 2 '—4+ 寸30—4—30 ,X2= ------ ：一• x 1 =故所求方程为 2x 2 + 4x — 8= 0,即 x 2+ 2x — 4= 0, /• x =- 1土. 5, 即 X ［ = — 1 + •；; 5, X ? = — 1 —打5. 19. : (1)换元转化(2)设 x 2 — x = y ,则原方程可化为 y 2— 8y + 12 = 0,解得 y 1 = 2, y 2= 6•当 y = 2 时，x 2 — x =2,解得 x =— 1 或 x = 2;当 y = 6 时，x 2— x = 6,解得 x =— 2 或 x = 3,•••原方程的解为 x 1 = — 1, x 2= 2, x 3=— 2, x 4= 3.20. ［全品导学号：15572071］解：(1)•/ a 是一元二次方程 x 2— 4x + 1 = 0的根，9. D 10. A 11. D12.13. ± ,61 1 +倔 1 —14.刘=— , X2= 2—15. 16. : • a = 1, b =— 9, c = 2,b 2— 4ac = (— 9)2— 4 X 1 X 2=73>0 , —(—9) ±73• y = -5(1)原方程可化为y 2- 9y + 2 = 0,2 9+V73 --y1 =2 ,(2)原方程可化为 9 — 73 y 2= 2~.3x 2— 6x + 2= 0,• a = 3 , b =— 6 , c = 2 ,• b 2— 4ac = (— 6)2— 4X 3X 2= 12>0 ,—(—6) ±12 • =2X 3,3 + V3 3-翻 ••X 1= 3 ，X2= 3 .17.解：由题意得m 2+ 1 = 2且m + 1丰0,解得m = 1,•■•原方程是 2x? — 2x — 1 = 0,解得x =号318. •/ (2 — a)2》0, . a 2+ b + c >0, |c + 8|>0, 而(2 — a)?+ ija ? + b + c + |c + 8| = 0 ,2 — a = 0 , a 2+ b + c = 0 , c + 8 = 0 , a = 2 ,解得 b = 4 ,c =— 8 ,2 2• a —4a + 1= 0, •a —4a=—1,•a2—4a + 2019=—1+ 2019 = 2019.(2)原方程的解是x= ^±2^^= 2 土. 3.•/ a是一元二次方程x2—4x+ 1 = 0的两个实数根中较小的根•- a = 2 —■■■./3,且a—1<0,.1 —2a+ a2”j a2—2a+ 1 1… — 2 — _a—1 a —a a(a—1) 2|a —1| 1 4 5a—1 a (a —1) a—(a—1)a (a —1)=a—1+1—a=a — 1.T a = 2 —冒3,•原式=2—3 —1 = 1 —\ ；*3.。