最新《弹塑性力学》第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答

)( fx
x
f y y
)
其中
2＝x22
2 y2
16.02.2021
13
§7-1平面极坐标下的基本公式
在极坐标按应力求解的基本方程为 （平面应力问题）
其中
r 1
r r
r
r
2(r )
r
r
r
fr
0
1 r
2r
r
f
0
(1)(fr 1 f r r
fr r
)
2＝ r22 1 rrr12 22
力的边界条件如前所列。
16.02.2021
14
§7-1平面极坐标下的基本公式
1.8 应力函数解法
当体力为零 fr=f=0时, 应力法基本方程中的应
力分量可以转为一个待求的未知函数 ( r, ) 表示,而应力函数 ( r, ) 所满足方程为
4 ( r, ) = 0 或
(r221 rrr1222)20
7.按应力函数求解
当无体力时应力法基本方程为：
d r
dr
r
r
0
2 ( r ) 0
选取应力函数 = (r)——单变量的函数
16.02.2021
9
§7-1平面极坐标下的基本公式
1.6 按位移法求解 基本未知函数为位移u r , u ，应变、应力
均由位移导出。平面应力问题时的应力由位移 表示：
r 1 E 2(r) 1 E 2 u r r(1 r u u r r)
16.02.2021
10
§7-1平面极坐标下的基本公式
rr1 r r(r r)K r0
rr1 r 2rrK 0
力的边界条件也同样可以用位移表示。
16.02.2021
12
§7-1平面极坐标下的基本公式
1.7 按应力法求解
在直角坐标
系中按应力求解 的基本方程为
(平面应力问题） 2 (
x
x
x
xy
x
y
xy
y
y
y
) (1
fx 0 fy 0
《弹塑性力学》第七章 弹 性力学平面问题的极坐标系
解答
在平面问题中，有些物体的截面几何形状 （边界）为圆形、扇形，对于这类形状的物
体采用极坐标 (r,) 来解，因为此时边界条件
用极坐标易描述、简便。本章将讨论采用极 坐标求解平面问题一些基本方程和解法以及 算例。
16.02.2021
2
§7-1平面极坐标下的基本公式
1 rdd22r(r)1 rddrr0
ddr(r)—r —变形协调方程
16.02.2021
20
§7-2 轴对称问题
3.变形协调方程（一个）：
ddr(r)r ——变形协调方程
由几何方程：
r ur ddr(r)ddurrr
或
d r
dr r
16.02.2021
21
§7-2 轴对称问题
4.物理方程(两个) 平面应力问题
6. 按应力法解
16.02.2021
26
§7-2 轴对称问题
应力法基本方程
dr
dr
r
r
fr
0
2(r
)
(1)(dfr
dr
fr r
)平面应力问
16.02.2021
27
§7-2 轴对称问题
其中
2＝ddr22
1 r
d dr
边界条件为力的边界条件：
r Fr
（在
s
上） ）
16.02.2021
28
§7-2 轴对称问题
23
§7-2 轴对称问题
5. 按位移法求解
位移法的基本方程为：
r
E (druur) 12 dr r
1E2(urr
dru)
dr
d d2u 2rr1 rd dru ru r2 r (1 E 2)fr 0
d dr1 rd d(rrru)(1 E 2)fr 0
16.02.2021
24
§7-2 轴对称问题
各待求函数为r的函数（单变量的）
16.02.2021
18
§7-2 轴对称问题
2.2 轴对称平面问题的基本公式
1. 平面微分方程 （仅一个）：
dr
r
r
r
fr
0
2. 几何方程（二个）：
r
du r dr
ur r
16.02.2021
19
§7-2 轴对称问题
3.变形协调方程（一个）：
r 1 2 22 r 1 r r 2 2(r) r 1 2 r 2(rr ) 1 r r r 0
2.受力和约束对称于中心轴,因此，可知体 积力分量 f=0 ； 在边界上 r=r0 ：F 0， u （0 沿环向的受力和约束为零） 。
3.导致物体应力、应变和位移分布也是轴 对称的：
16.02.2021
17
§7-2 轴对称问题
在V内 u=0，r=0，r=0, ur=ur(r)， r=r(r), = (r), r=r (r), = (r) 。
r E1(r ) E1( r)
或
r
E
12
(r
)
E
12
(
r)
平面应变问题时弹性系数替换。
16.02.2021
22
§7-2 轴对称问题
5. 按位移法求解
将 r、 用ur 表示，并代入平衡微分方程，
对于平面应力问题
r
E (druur) 12 dr r
源自文库
E (ur
12 r
dru)
dr
16.02.2021
1.5 边界 条 件
r c n o ,r ) s r c ( n o ,s ) K s r F ( r（在
r cn o ,r ) s r c(n o ,s ) K s ( F
s
上
）
环向边界
n /r /:r K r ,r K （r=r0）
径向边界 n /s ( /n r ):θ rK r , K （ =0 ）
16.02.2021
15
§7-1平面极坐标下的基本公式
而极坐标系下的应力分量r ,,,r 由 ( r, )
的微分求得, 即：
r
1 r2
2 2
1
r r
2
r 2
rr r(1 r )r1 2 1 r r2
16.02.2021
16
§7-2 轴对称问题
2.1 轴对称问题的特点
1.截面的几何形状为圆环、圆盘。
相应边界条件：轴对称问题边界 r=r0（常数）
位移边界条件： ur ur（在 su 上）
力的边界条件：r Fr（在 s 上）
平面应力问题的力边界条件用位移表示：
16.02.2021
25
§7-2 轴对称问题
12
E
(ddrururr)Fr（在
s
上）
当ur 由基本方程和相应边界条件求出后，则 相应应变、应力均可求出。
1.6 按位移法求解
1 E 2 (r) 1 E 2 ( 1 r u u r r u r r)
r 2 (1 E )r 2 (1 E )(1 r u r u r u r )
16.02.2021
11
§7-1平面极坐标下的基本公式
上式代入平衡微分方程可得到用位移表 示的平衡微分方程,即位移法的基本方程。