椭圆的定义及其标准方程

椭圆的定义及其标准方程

教学课题椭圆及其标准方程

所属学科数学课时安排1课时年级高二

所选教材

《普通高中课程标准实验教科书数学》人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心编著选修2-1第二章第二节《椭圆及其标准方程》

教学目标

1.知识与技能

理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义及其标准方程，能够准确的推导出椭圆的标准方程。

2.过程与方法

通过椭圆标准方程的推导，能运用坐标法解决简单的几何问题；通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想。

3.情感态度和价值观

感受数学在其他领域的广泛运用，培养对数学的热爱。

教学重难点

重点：椭圆的定义，椭圆的标准方程的推导。

难点：对椭圆定义的理解，椭圆标准方程的推导。

学情分析

本节课是圆锥曲线的第一课时。它是在学生学习了直线和圆的方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础。因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容。

从知识上看，学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步的认识。

从学生现有的学习能力看，通过一年多的实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。

从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给椭圆以数学描述？如何“定性”“定量”地描述椭圆是学生关注的问题，也是学习的重点问题。他们渴望将感性认识理性化，渴望通过自己动手作图、观察、辨析和完善概念，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。

因此，本节课关注的重点：知识上是椭圆的定义和标准方程；从学生的情感态度上，关注学生的全方位参与，特别是思维起点和思维发展点。

教学方法

探究式教学法，通过教师引导学生自主探究、合作学习完成本节课的学习，是学生在获得知识的同时能够掌握学习方法，提高自主学习能力。

教学过程

1.联系实际、引入课题

火腿是受到大家广泛喜爱的一种食品，在食用时我们有时我们会把它切成片吃，那么不知道大家有没有发现切火腿也是一门学问，我们都知道火腿具有轴对称性，当我们垂直于火腿的轴线切下去时，截面曲线为圆；倾斜一定角度之后，截面曲线就变成了另外的一种曲线，这是一种我们没有研究过的曲线，现在我们把火腿近似的看成一个圆柱，用截面去截圆锥，所得到的截面曲线就是我们切火腿时形成的截面曲线——椭圆，今天我们就来学习椭圆及其标准方程。

（说明：从生活实际出发，引发对于椭圆的思考，培养学生从生活中发现数学问题的能力，同时激发学生的学习激情。）

2.回顾复习，温故知新

在之前的学习中我们已经认识了圆，研究了圆的定义、标准方程、和其他几何性质。那么请大家回忆圆的定义是什么？其标准方程是什么？求曲线方程的方法步骤是什么？（请同学复述圆的定义、其标准方程、曲线方程的推导方法，如果学生复述有困难，需教师引导学生进行回顾）

圆的定义：平面内到定点的距离等于常数r（r>0）的点的轨迹叫做圆。

圆的标准方程：（x-a）²+(y-b)²=r²，圆心O（a，b），半径r。

圆的标准方程的推导过程：（建设限代化）

（1）建系设点，

（2）写出点的集合，（3）写出代数方程，（4）化简方程。

好，这是圆的定义和标准方程，以及在研究曲线方程中我们用到的方法。那我们接下来学习本节课的新内容。

（说明：通过对圆的定义及标准方程的复习，为本节课研究椭圆几何性质时需要先研究椭圆的定义及标准方程做铺垫，同时暗示研究圆锥曲线的一般过程。回顾圆的标准方程的建立过程，可以为本节课椭圆的标准方程的推导提供基础。能够培养学生利用坐标系解决几何问题的能力）

3.合作学习，形成概念

我们知道在平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆，那么平面内到两个定点的距离和等于定长的点的是什么呢？现在我想请三位同学来为我们做一个实验，我这边有一根绳子，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离，分别一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是椭圆。根据刚才的实验请同学们回答下面几个题：

1在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？2在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？3

在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？

现在请大家结合我们刚刚的讨论问题，小组讨论尝试给出椭圆的定义：归纳出椭圆的定义:平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数（大于

21F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫

做椭圆的焦距（一般用c 2表示)。（教师需要在学生自主探究过程中了解各个小组的讨论情况，并适时给予指导，在学生自主归纳之后再次强调椭圆的定义）（板书椭圆的定义）（02221>>=+c a PF PF ）

那有了椭圆的定义后，大家需要思考一个问题，是否平面内到两定点之间的距离和为定长的点的轨迹就是椭圆？

轴，线段2F 的垂直平分线为a

y c x y c x 2)(2222=+-+++）（2

222

)(2y c x a y c x +--=++⇒）（1a 222

22=-+⇒c

a y x 记2

2

2

a c

b =+则

122

22=+b

y a x （a>b>0）22+b

a 1方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；2

三个参数c b a 、、的关系222c b a +=；