(完整版)专题--含参一元一次不等式组(1)
一元一次不等式组 专题练习(含答案解析)
一元一次不等式组 专题练习（含答案解析）一、计算题（本大题共25小题，共150.0分）1. 解不等式组，并在数轴上表示出解集：（1）{8x +5>9x +62x −1<7（2）{2x−13−5x+12≤15x −1＜3(x +1)．2. 解不等式组：{x +1＞0x ≤x−23+2．3. 解不等式组{3(x +2)≥x +4x−12＜1，并求出不等式组的非负整数解．4. 解不等式组：{2x −6≤5x +63x ＜2x −15. 求不等式组：{x −3(x −2)≤85−12x ＞2x 的整数解．6. 解下列不等式组并将不等式组的解集在数轴上表示出来．（1）{3x ＜2(x −1)+3x+62−4≥x ； （2）{5x +7＞3(x +1)1−32x ≥x−83．7. 解不等式组{x −3(x −2)≥42x−15＜x+12，并将它的解集在数轴上表示出来．8. 解不等式组 {3(x −2)+4＜5x 1−x 4+x ≥2x −1．9. 解不等式组：{−3(x +1)−(x −3)＜82x+13−1−x 2≤1，并求它的整数解的和．10. 试确定实数a 的取值范围，使不等式组{x 2+x+13＞0x +5a+43＞43(x +1)+a 恰有两个整数解．11. 解不等式组{2(x +2)≤x +3x 3＜x+14．12. 求不等式组{4(x +1)+3>x①x−42≤x−53②的正整数解．13. {x −3(x −2)≤42x−15>x+12．14. 求不等式组{1−x ≤0x+12＜3的解集．15. 解下列不等式组（1）{3x −2<82x −1>2（2）{5−7x ≥2x −41−34(x −1)＜0.5．16. 解不等式组：{2x −1>53x+12−1≥x，并在数轴上表示出不等式组的解集．17. 解不等式组：{x 2−1＜xx −(3x −1)≥−5．18. 解不等式组：{2x +9＜5x +3x−12−x+23≤019. 解不等式组：{3x +1＜2x +3①2x ＞3x−12②20. 解不等式组：{3x +7≥5(x +1)3x−22＞x +1．21. 解不等式组{1−2(x −1)≤53x−22＜x +12．22. 解不等式组：{4x ＞2x −6x−13≤x+19，并把解集在数轴上表示出来．23. 若关于x 的不等式组{x 2+x+13＞03x +5a +4＞4(x +1)+3a恰有三个整数解，求实数a 的取值范围．24. 求不等式组{4(x +1)+3>x①x−42≤x−53②的正整数解．25. 解不等式组{x−32＜−1x 3+2≥−x ．答案和解析1.【答案】解：（1）， 解不等式①得，x ＜-1，解不等式②得，x ＜4，∴不等式组的解集是x ＜-1，在数轴上表示如下：；（2）{2x−13−5x+12≤1①5x −1＜3(x +1)②， 解不等式①得，x ≥-1，解不等式②得，x ＜2，∴不等式组的解集是-1≤x ＜2，在数轴上表示如下：．【解析】 本题考查了不等式的解法与不等式组的解法，解此类题目常常要结合数轴来判断．要注意x 是否取得到，若取得到则x 在该点是实心的．反之x 在该点是空心的．（1）先求出两个不等式的解集，然后求出两个解集的公共部分即可得解；（2）先求出两个不等式的解集，然后求出两个解集的公共部分即可得解．2.【答案】解：{x +1＞0①x ≤x−23+2②， 由①得，x ＞-1，由②得，x ≤2，所以，原不等式组的解集是-1＜x ≤2．【解析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．3.【答案】解：解不等式（1）得x ≥-1解不等式（2）得x ＜3∴原不等式组的解是-1≤x ＜3∴不等式组的非负整数解0，1，2．【解析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其非负整数解即可．本题旨在考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．4.【答案】解：解不等式①，得x ≥-4，解不等式②，得x ＜-1，所以不等式组的解集为：-4≤x ＜-1．【解析】先求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．5.【答案】解：由x -3（x -2）≤8得x ≥-1由5-12x ＞2x 得x ＜2∴-1≤x ＜2∴不等式组的整数解是x =-1，0，1．【解析】先求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的解集，然后求其整数解．解答此题要先求出不等式组的解集，求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．6.【答案】解：（1）{3x ＜2(x −1)+3①x+62−4≥x②， 解①得x ＜1，解②得x ≤-2，所以不等式组的解集为x ≤-2，用数轴表示为：；（2）{5x +7＞3(x +1)①1−32x ≥x−83②， 解①得x ＞-2，解②得x ≤2，所以不等式组的解集为-2＜x ≤2，用数轴表示为：． 【解析】（1）分别解两个不等式得到x ＜1和x≤-2，然后根据同小取小确定不等式组的解集，再利用数轴表示解集； （2）分别解两个不等式得到x ＞-2和x≤2，然后根据大于小的小于大的取中间确定不等式组的解集，再利用数轴表示解集．本题考查了解一元一次不等式组：分别求出不等式组各不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集．7.【答案】解：由①得：-2x≥-2，即x≤1，由②得：4x-2＜5x+5，即x＞-7，所以-7＜x≤1．在数轴上表示为：【解析】先解不等式组中的每一个不等式，再根据大大取较大，小小取较小，大小小大取中间，大大小小无解，把它们的解集用一条数轴表示出来．本题考查不等式组的解法和解集在数轴上的表示法，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如果是表示大于等于或小于等于号的点用实心．8.【答案】解：{3(x−2)+4＜5x①1−x4+x≥2x−1②，由①得：x＞-1；由②得：x≤1；∴不等式组的解集是-1＜x≤1．【解析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．本题主要考查对解一元一次不等式（组），不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．9.【答案】解：由①得x＞-2，由②得x≤1，∴不等式组的解集为-2＜x≤1∴不等式组的整数解的和为-1+0+1=0．【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．10.【答案】解：由x 2+x+13＞0，两边同乘以6得3x +2（x +1）＞0，解得x ＞-25， 由x +5a+43＞43（x +1）+a ，两边同乘以3得3x +5a +4＞4（x +1）+3a ，解得x ＜2a ，∴原不等式组的解集为-25＜x ＜2a ．又∵原不等式组恰有2个整数解，即x =0，1；则2a 的值在1（不含1）到2（含2）之间，∴1＜2a ≤2，∴0.5＜a ≤1．【解析】先求出不等式组的解集，再根据x 的两个整数解求出a 的取值范围即可．此题考查的是一元一次不等式的解法，得出x 的整数解，再根据x 的取值范围求出a 的值即可． 求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．11.【答案】解：{2(x +2)≤x +3①x 3＜x+14②， ∵由①得：x ≤-1，由②得：x ＜3，∴不等式组的解集是x ≤-1．【解析】根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可． 本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式（组）的应用，关键是根据不等式的解集找出不等式组的解集，题目比较好，难度也适中．12.【答案】解：由①得4x +4+3＞x解得x ＞- 73，由②得3x -12≤2x -10，解得x ≤2，∴不等式组的解集为- 73＜x ≤2．∴正整数解是1，2．【解析】 本题主要考查了不等式组的解法，并会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值.一般方法是先解不等式组，再根据解集求出特殊值.先解每一个不等式，求出不等式组的解集，再求出正整数解即可.13.【答案】解：{x −3(x −2)≤4①2x−15>x+12②， 由①得：x ≥1，由②得：x ＜-7，∴不等式组的解集是空集．【解析】根据不等式性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式（组）等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．14.【答案】解：{1−x ≤0①x+12＜3②， 解不等式①，得x ≥1．解不等式②，得x ＜5．所以，不等式组的解集是1≤x ＜5．【解析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x ＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x 介于两数之间．15.【答案】解：（1）{3x −2<8①2x −1>2②， 解不等式①，得x ＜103， 解不等式②，得x ＞32.∴原不等式组的解集是：32＜x ＜103；（2）{5−7x ≥2x −4①1−34(x −1)＜0.5②， 解不等式①，得x ≤1，解不等式②，得x ＞53. ∴原不等式组无解．【解析】 本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x 大于较小的数、小于较大的数，那么解集为x 介于两数之间．（1）先分别解答出方程组中的每一个不等式的解集，然后取这两个不等式的解集的交集即为不等式组的解集；（2）先分别解答出方程组中的每一个不等式的解集，然后取这两个不等式的解集的交集即为不等式组的解集；如果两个不等式没有交集，说明原不等式组无解．16.【答案】解：{2x −1>5①3x+12−1≥x②解①得：x ＞3，解②得：x ≥1，则不等式组的解集是：x ＞3；在数轴上表示为：【解析】分别解两个不等式得到x ＞3和x≥1，然后利用同大取大确定不等式组的解集，再利用数轴表示解集． 本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．17.【答案】解：{x2−1＜x①x −(3x −1)≥−5②， 由①得：x ＞-2，由②得：x ≤3，∴不等式组的解集是：-2＜x ≤3．【解析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组的解集得规律找出不等式组的解集即可．本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组等知识点的理解和掌握，根据不等式的解集能找出不等式组的解集是解此题的关键．18.【答案】解：解不等式2x +9＜5x +3，得：x ＞2，解不等式x−12-x+23≤0，得：x ≤7，则不等式组的解集为2＜x ≤7．【解析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19.【答案】解：由①，得3x-2x＜3-1．∴x＜2．由②，得4x＞3x-1．∴x＞-1．∴不等式组的解集为-1＜x＜2．【解析】分别求出不等式①②的解集，同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到求出不等式组解集．本题考查了解一元一次不等式组的解法，利用同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到求不等式组解集是本题关键．20.【答案】解：{3x+7≥5(x+1)①3x−22＞x+1②，由①得，x≤1，由②得，x＞4，所以，不等式组无解．【解析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．先求出两个不等式的解集，再求其公共解．21.【答案】解：由①得：1-2x+2≤5∴2x≥-2即x≥-1由②得：3x-2＜2x+1∴x＜3．∴原不等式组的解集为：-1≤x＜3．【解析】解先求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．22.【答案】解：{4x＞2x−6①x−13≤x+19②，解①得x＞-3，解②得x≤2，所以不等式组的解集为-3＜≤2，用数轴表示为：【解析】先分别解两个不等式得到x＞-3和x≤2，再根据大小小大中间找得到不等式组的解集，然后利用数轴表示解集．本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．23.【答案】解：{x2+x+13＞0①3x+5a+4＞4(x+1)+3a②，由①得：x＞-25，由②得：x＜2a，则不等式组的解集为：-25＜x＜2a，∵不等式组只有3个整数解为0、1、2，∴2＜2a≤3，∴1＜a≤32，故答案为：1＜a≤32．【解析】首先利用a表示出不等式组的解集，根据解集中的整数恰好有3个，即可确定a的值．本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．24.【答案】解：由①得4x+4+3＞x解得x＞-73，由②得3x-12≤2x-10，解得x≤2，∴不等式组的解集为-73＜x≤2．∴正整数解是1、2．【解析】先解每一个不等式，求出不等式组的解集，再求出正整数解即可．此题主要考查了不等式组的解法，并会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求出特殊值．25.【答案】解：{x−32＜−1①x3+2≥−x②，解①得x＜1，解②得x≥-32，所以不等式组的解集为-32≤x＜1．【解析】分别解两个不等式得到x＜1和x≥-，然后根据大于小的小于大的取中间确定不等式组的解集．本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集．。
(完整)一元一次不等式总复习讲义
一元一次不等式知识要点不等式用符号≤≥≠“＜”（“”）“＞”（“”）“”连接而成的式子，叫 比较等式与不等式的基本性质。
1、若kb ka -<-，则 b a > （ )2、若b a >，则 2323b a-<-（ ）3、若,,d c b a =<，则 bd ac < （ ）4、若0<<b a ，则 b a > （ ）5、对于实数若a ,总有 a a 23-> （ ）6、若b a >，则22b a > （ ）7、若b a >，0≠ab ，则ba 11< ( ) 8、若,1a a <则10<<a （ ）一元一次不等式（组）解法解一元一次不等式的一般步骤： （1） 去分母(根据不等式的基本性质3） （2） 去括号（根据单项式乘以多项式法则） （3） 移项（根据不等式的基本性质2) （4） 合并同类项,得ax>b ，或ax 〈b （a≠0)（根据合并同类项法则） （5） 两边同除以a （或乘1/a ）(根据不等式基本性质3)(注：若a<0，不等号反向） （6） 不等式的解在数轴上的表示 一、选择题1、 如果a ＞b ,c ＜0，那么下列不等式成立的是（ ）．（A) a ＋c ＞b ＋c ; (B ） c －a ＞c －b ； （C ） ac ＞bc ; (D ） a bc c> ． 2、如果,2323,11--=++=+x x x x 那么x 的取值范围是（ ）A 、321-≤≤-xB 、1-≥xC 、32-≤xD 、132-≤≤-x3、已知a 、b 、c 为有理数，且a>b>c ，那么下列不等式中正确的是( ）A 。
a+b 〈b+cB 。
a-b 〉b-c C.ab>bc D 。
a bc c>4、如果m<n 〈0那么下列结论中错误的是（ )A 。
m —9〈n-9 B.-m 〉—n C 。
一元一次不等式应用题专题
一元一次不等式应用题专题(附答案)1、某校王校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游。
甲旅行社说如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠，乙旅行社说包括校长在内全部按全票价的6折优惠（按全票价的60％收费，且全票价为1200元） ①设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费（写出表达式） ②当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？ ③就学生数x讨论哪家旅行社更优惠。
解：设设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，根据题意，得①y甲=1200+1200×50%×x=1200+600xy乙=(x+1)×1200×60%=720(x+1)=720x+720②当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？当y甲=y乙时，即1200+600x=720x+720120x=480x=4所以，当学生数为4人时，两家旅行社的收费一样！③就学生数x讨论哪家旅行社更优惠。
若y甲＞y乙，即1200+600x＞720x+720120x＜480x＜4，此时乙旅行社便宜。
若y甲＜y乙，即1200+600x＜720x+720解得，x>4,此时甲旅行社便宜。
答：当学生人数少于4人时，乙旅行社更优惠；当学生人数多于4人时，甲旅行社更优惠；当学生人数等于4人时，两个旅行社一样优惠。
2、李明有存款600元，王刚有存款2000元，从本月开始李明每月存款500元，王刚每月存款200元，试问到第几个月，李明的存款能超过王刚的存款。
解：设到第x个月李明的存款超过王刚的存款，根据题意，得600+500x＞2000+200x300x＞1400x＞14/3因为x为整数，所以x=5答：到第5个月李明的存款超过王刚的存款。
3、暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价为每人500元的两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折；乙旅行社的优惠条件是：家长，学生都按八折收费。
人教版初中数学七年级下册第9章一元一次不等式(组)含参专题——有、无解问题(专题课)教案
人教版初中数学七年级下册第九章一元一次不等式（组）含参专题——有、无解问题（专题课）教案核心素养：1.使学生加深对一元一次不等式组和它的解集的理解，会用数轴确定含参数的一元一次不等式组的参数范围；2.培养学生探究、独立思考的学习习惯，感受数形结合的作用，熟悉并掌握数形结合的思想方法，提高分析问题和解决的能力；3.提升学生之间合作与交流以及对问题的探讨能力，从中发现数学的乐趣.【教学重难点】重点：含参一元一次不等式组的分类解法难点：1.一元一次不等式中字母参数的讨论2.一元一次不等式中运用数轴分析参数的范围【教学过程】1.问题引导 合作交流出示问题：请同学们解下列两个不等式（1）x-2m<0，（2）x+m ＞3并思考m 的取值范围. 同学们不难得出不等式（1）的解为x ＜2m ；（2）的解为x ＞3-m.引导分析m 的取值范围. 师引导，生回答：任意实数.[问题1]如果将上述两个不等式联立成不等式组⎩⎨⎧>+<-302m x m x ,你能确定不等式组的解集吗？ 师提示学生画数轴 ，问：能画几种情况[问题2]如果这个不等式组无解，你能确定m 的取值范围吗？（学生分组讨论）（借助数轴）师生一起分析：如果不等式组无解，则2m ＜3-m ，解得m ＜1。
确定一下“＜”要不要添加“=”（这是参数取值问题中的难点）学生借助数轴讨论.师生总结：2m 和3-m 在两个不等式的解中都不包含，所以2m 可以等于3-m ，即m ≤1.2.变式拓展 强化理解变式1：若不等式组⎩⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅>+⋅⋅⋅≤-②①302m x m x 无解，这时m 的取值会有变化吗？解不等式①得x ≤2m 解不等式②得x ＞3-m（学生分组探究）引导：虽然第一个不等式“＜”改成“≤”通过数轴可以看到由于和第二个不等式的解集不包含3-m ，所以2m ≤3-m ，m 的取值范围仍然是m ≤1.变式2：如果不等式组变化为⎩⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅≥+⋅⋅⋅≤-②①302m x m x ，这时m 的取值又会有改变吗？（学生分组探究）由于两个不等式都含有等号，这时2m 和3-m 可能是公共点，而要想使不等式组无解，2m 和3-m 不能重合，只能2m ＜3-m ，所以m 不能等于1，即m ＜1.3.问题反转[问题3]如果不等式组⎩⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅≥+⋅⋅⋅≤-②①302m x m x 有解，怎样确定 m 的取值范围？把两个不等式的解集在数轴上表示出，同学们观察数轴 ，不难得出要想使不等式组有解，只要2m ≥3-m ，即m ≥1这样两个不等式的解集有公共部分，不等式组有解，所以m 的取值范围m ≥14.方法小结 归纳步骤解含参一元一次不等式（组）有、无解问题时注意掌握四个步骤:一解 .解不等式组，用参数分别表示出两个不等式的解集；二画.借助数轴进行视觉观察，画出有无解的情况；三验：验证端点取舍判断等号是否可取；四：列出不等式，确定取值范围5，拓展演练 题型再变[问题4]下面这种类型的一元一次不等式组如何确定字母参数取值范围？例：已知不等式组⎩⎨⎧⋅⋅⋅-<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥-②①22-10x x a x 的解集是x ＞1，求a 的取值范围？学生分组解出每个不等式的解集：解①得：x ≥a 解②得：x ＞1因为不等式的解集是x ＞1，（学生分组探讨）：a 的位置在数轴上应该在哪个位置？ 分析得出：a 在数轴上的位置应该在1的左侧.把不等式组的解集在数轴上表示出来：即a ＜1，[思考3]a 可不可以等于1？因为a=1时不等式组的解集仍然是x ＞1.所以a 可以等于1，即a 的取值范围a ≤15.基础过关1.若不等式组⎩⎨⎧≤≥-m x x 062 无解，求m 的取值范围? 2.若不等式组⎩⎨⎧>+<--xx a x x 422)2(3有解，求a 的取值范围?3.若不等式组⎩⎨⎧+>+<+1137m x x x 的解集是x ＞3，求m 的取值范围?。
含参的一元一次不等式组
含参的一元一次不等式组
一元一次不等式组是由一元一次不等式构成的一组方程。
它们的解集是同时满足所有不等式的数值集合。
含参的一元一次不等式组是指在不等式中引入参数，使得解集与参数之间存在关系。
为了解释含参的一元一次不等式组，我们先来看一个简单的例子：
假设我们有一个一元一次不等式组：{2x + 3 > 0, 4x - 5 < 0}。
这个一元一次不等式组中的两个不等式表示了一些数x所满足的条件。
现在，我们引入一个参数a，并将不等式组改写为：{2x + 3 > a, 4x - 5 < a}。
这样，不等式组的解集就与参数a之间存在关系。
我们可以通过解不等式组来找到参数a的取值范围。
首先，我们解第一个不等式：2x + 3 > a，得到 x > (a - 3)/2。
然后，我们解第二个不等式：4x - 5 < a，得到 x < (a + 5)/4。
由于不等式组要求同时满足两个不等式，所以我们可以将这两个解集取交集。
因此，参数a的取值范围为：(a - 3)/2 < x < (a + 5)/4。
这个例子展示了含参的一元一次不等式组的应用。
通过引入参数，我们可以探索解集与参数之间的关系，并找到参数的取值范围。
这种方
法在解决一些实际问题中非常有用，例如最优化问题和约束问题等。
当然，含参的一元一次不等式组可以有更多的不等式和参数。
通过分析不等式之间的关系，我们可以进一步推导出参数的取值范围，并通过数值代入验证解的正确性。
这种方法在数学建模和优化理论中经常被使用，可以帮助我们解决各种实际问题。
含参数的一元一次不等式组讲课教案
自主学习
1. 不等式 x ? 4 ? 2(1? x) 的解集为 x ? 2 .
2. 问题1中不等式的解集表示在数轴上为（ B ）
A
B
C
D
3. 问题1 中不等式非负的整数解为 0 ，1 .
类型1：系数含参数的一元一次不等式
问题1 ：求关于x 的一元一次不等式 mx ? 2的解集.
不等式式 x ? a(x ? a )
分析： （1）如果 m ? 0，那么 x ? 2 m
（2）如果 m ? 0，那么 x ? 2 m
练习
1. 已知a ? 3 ，求不等式 2 xa? x ??2
0 的解集.
x
?
2 2?a
变式
1. 关于x 的不等式 (3 ? a )x ?
求a 的范围.
2
的解集为 x ?
问题3 ：关于x 的不等式组
?5? 2x ? ?1
? ?
x
?
a
?
0
无解，
求a 的取值范围.
变
式：关于x 的不等式组
?2x ??3 x
? ?
3x a?
? 5
3
有解，
求a 的取值范围.
a? 4
类型2：已知不等式组的特殊解，确定参数取值范围
问题1 ：关于x 的不等式组
?x? m ? 0
? ?7
?
2
x
?
1
?x?a ? 0 ??? 2x ? 2 ?
?6
的解集为
x
?
4
求a 的取值范围.
练习
1 ：关于x 的不等式组
?x
? ?
x
? ?
2 ?m
一元一次不等式组含参问题
一元一次不等式组含参问题一元一次不等式组含参问题是指在一元一次不等式组中引入一个或多个参数，求解参数使得不等式组成立或不成立的问题。
解决这类问题的一般方法是通过对参数的取值范围进行讨论，将不等式系统转化为关于参数的方程或不等式，然后解方程或不等式来确定参数的取值范围。
下面通过几个例子来说明如何解决一元一次不等式组含参问题。
【例1】求参数m的取值范围，使得不等式组 3x - 2 < mx + 1和 2x + 3 < 4m + 1 同时成立。
解：首先，我们可以通过将不等式组化简来得到关于参数m的方程组，然后解方程来确定参数的范围。
将不等式组化简得到：3x - mx < 3 + 2 和 2x - 4m < -2。
化简后的不等式组可以写成关于参数m的方程组：3 - m > 0和 -4m - 2 < 2x。
解这个方程组可以得到参数m的取值范围。
对不等式3 - m > 0，我们可以将m移到左边得到m < 3。
因此，参数m的取值范围是m < 3。
这是因为当m小于3时，不等式3 - m > 0成立。
对于不等式-4m - 2 < 2x，我们可以将m移到右边得到2x > -4m - 2，再除以2得到x > -2m - 1。
这说明在参数m小于3时，也必须满足x > -2m - 1，才能使得不等式组成立。
综上所述，参数m的取值范围是m < 3，并且在这个范围内，x > -2m - 1。
【例2】求参数a的取值范围，使得不等式组 2x + a - 1 < 3 和5 - 3x < 2a 同时成立。
解：首先，我们可以通过将不等式组化简来得到关于参数a的方程组，然后解方程来确定参数的范围。
化简不等式组得到：a + 2x < 4 和 3x + 5 < 2a。
化简后的不等式组可以写成关于参数a的方程组：a - 4 < -2x和 2a - 3x > 5。
（完整版）一元一次不等式含参问题
一元一次不等式含参问题类型一根据不等式租的整数解情况确定字母的取值范围例1．不等式组有3个整数解，则m的取值范围是．变式练习1．不等式组有3个整数解，则m的取值范围是．变式练习2．已知关于x的不等式组只有3个整数解，则实数a的取值范围是．变式练习 3.已知关于x的不等式组{4??+2>3(??+??)2??>3(??-2)+5,仅有4个整数解，则实数a的取值范围是．变式练习 4.已知关于x的不等式组{5??+2>3(??-1)12≤8-32??+2??,仅有4个整数解，则实数a的取值范围是．类型二根据不等式组的解集确定字母的取值范围例2.已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是．变式练习1．若关于x的不等式组有解，则实数a的取值范围是．变式练习2．若不等式的解集为x＞3，则a的取值范围是．变式练习3．若关于x的不等式的解集为x＜2，则a的取值范围是．变式练习4．已知不等式组无解，则a的取值范围是．类型三根据未知数解集或者未知数间的关系确定字母的取值范围例3.已知方程组m y x my x 12312满足??+??<0,求m 的取值范围变式练习1.若关于x ，y 的二元一次方程组的解满足x+y ＜2，则a 的取值范围为．2.已知12242k y x k yx 且的取值范围为则k y x ,01-．例4. 已知关于x 的不等式（1﹣a ）x ＞2的解集为x ＜，则a 的取值范围是．变式练习1．不等式（x ﹣m ）＞3﹣m 的解集为x ＞1，则m 的值为．2．若关于x 的不等式3m ﹣2x ＜5的解集是x ＞3，则实数m 的值为．3．若不等式ax+b ＜0的解集是x ＞﹣1，则a ，b 应满足的条件有．综合练习1．关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，则m的值为（）A．14B．7C．﹣2D．22．不等式组的解集是x＞﹣1，则a的取值范围是．3．若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是．4．若不等式组的解集为3≤x≤4，则不等式ax+b＜0的解集为．5．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是．6.不等式组的解是0＜x＜2，那么a+b的值等于．7．已知关于x的不等式组只有3个整数解，则实数a的取值范围是．8．已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是．。
第03讲 含参数一元一次不等式(组)(教师版)A4
含参数一元一次不等式（组）含参数一元一次不等式（组）一．含参一元一次不等式（组）含字母系数的一次不等式（组）：未知数的系数含有字母或常数项含有字母一次不等式（组）． 任何一个含有字母系数的一元一次不等式都可以化为ax b >的一般形式，在这个形式中：若0a >，那么ax b >的解为b x a >；若0a <，那么ax b >的解为b x a<；若0a =，则当0b ≥时，ax b >无解，当0b <时，ax b >的解为任何实数．一．考点：含参的一元一次方程（组）．二．重难点：参数与解集之间的关系，整数解问题，不等式与方程综合．三．易错点：注意参数取值范围导致的变号问题．知识图谱知识精讲三点剖析题模精讲题模一：解含参一元一次不等式（组）例1.1.1 已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<-- 【答案】 当23a >时，不等式的解为523x a <-；当23a <时，不等式的解为523x a >- 【解析】 原不等式化为：()()13214a x a x +--<-- ()325a x -<-，因为23a ≠，所以320a -≠，即32a -为正数或负数.（1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a >- 例1.1.2 解下列关于x 的不等式组：()23262111x a x x x +⎧->⎪⎨⎪+>-⎩；【答案】 13a >时，32x a >+；13a ≤时，3x > 【解析】 原不等式组可化为323x a x >+⎧⎨>⎩． 当323a +>，即13a >时，不等式组的解集为32x a >+． 当323a +≤，即13a ≤时，不等式组的解集为3x > 题模二：参数与解集之间的关系例1.2.1 例若关于x 的不等式组3(2)224x x a x x --<⎧⎪⎨+>⎪⎩有解，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】 4a >【解析】 由3(2)2x x --<得2x >，由24a x x +>得12x a <，因为不等式组有解，所以122a >，解得4a >．题模三：整数解问题例1.3.1 已知关于x 的不等式40x a -≤只有四个正整数解1、2、3、4，求正数a 的取值范围．【答案】 1620a ≤<【解析】 解不等式得4a x ≥又因为有且只有4个正整数解，故45a <⨯且44a ≥⨯1620a ∴≤<例1.3.2 已知不等式组221x a x b ->⎧⎨+<⎩的整数解只有5、6，求a 和b 的范围 【答案】 23a ≤<，1315b <≤【解析】 解不等式组得212x a b x >+⎧⎪⎨-<⎪⎩，因为整数解只有5、6，所以425a ≤+<，1672b -<≤，故23a ≤<，1315b <≤．题模四：不等式与方程的综合例1.4.1 已知2310a x -+=，32160b x --=，且4a b ≤≤，求x 的取值范围．【答案】 23x -≤≤【解析】 由2310a x -+=可得312x a -=，由32160b x --=可得2163x b +=，又因为4a b ≤≤，所以31216423x x -+≤≤，解得23x -≤≤．例1.4.2 求使方程组24563x y m x y m +=+⎧⎨+=+⎩的解x 、y 都是正数的m 的取值范围． 【答案】 572m << 【解析】 解原方程组得725x m y m =-+⎧⎨=-⎩，由x 、y 都是正数可得70250m m -+>⎧⎨->⎩，解得572m <<例 1.4.3 已知非负数x 、y 、z 满足123234x y z ---==，设345w x y z =++，求w 的最大值与最小值．【答案】 最大值1063，最小值19 【解析】 设123234x y z k ---===，则21x k =+，23y k =-，43z k =+，所以1426w k =+，又因为x 、y 、z 都是非负数，所以210230430k k k +≥⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩，解得1223k -≤≤，当23k =时，w 取最大值1063，当12k =-时，w 取最小值19随堂练习随练1.1 已知不等式424233x x a +<-（x 是未知数）的解也是不等式12162x -<的解，求a 的取值范围．【答案】 7a ≥-【解析】 由12162x -<得1x >-，由424233x x a +<-得6x a >+，由题意得61a +≥-，故7a ≥- 随练1.2 若关于x 的不等式0mx n ->的解集是15x <，则关于x 的不等式()m n x n m +>-的解集是（ ） A ． 23x <- B ． 23x >- C ． 23x < D ． 23x > 【答案】A 【解析】 该题考查的是含参的不等式．∵关于x 的不等式0mx >的解集是15x <，， ∴0m <，15n m =， ∴解关于x 的不等式()m n x n m +>-得，n m x n m -<+， ∴55253n x n n -<=-+， 故答案是A ．随练1.3 已知a 、b 为常数，解关于x 的不等式22ax x b ->+ 【答案】2a >时，()212b x a +>- 2a <时，()212b x a +<-2a =时，①如果10b +≥，不等式无解；②如果10b +<，则不等式的解为任何实数【解析】 原不等式可化为()()221a x b ->+，（1）当20a ->，即2a >时，不等式的解为()212b x a +>-； （2）当20a -<，即2a <时，不等式的解为()212b x a +<-；（3）当20a -=，即2a =时，有①：如果10b +≥，不等式无解；②如果10b +<，则不等式的解为任何实数．随练1.4 当k 满足___________时，方程组24x y k x y +=⎧⎨-=⎩中x 大于1，y 小于1 【答案】 13k -<<【解析】 由24x y k x y +=⎧⎨-=⎩可得22x k y k =+⎧⎨=-⎩，所以2121k k +>⎧⎨-<⎩，解得13k -<<． 随练1.5 若关于x 的不等式423202x x x a ++⎧>⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩的解集为x ＜2，则a 的取值范围是____． 【答案】 a≤-2【解析】 本题考查了不等式的性质、解一元一次不等式（组）的应用，关键是能根据不等式的解集得出关于a 的不等式，题目比较好，难度不大．根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律得出-a≥2，求出即可． 423202x x x a ++⎧>⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩①②， 解不等式①得：x ＜2，解不等式①得：x ＜-a ，①不等式组的解集是x ＜2，①-a≥2，①a≤-2，故答案为：a≤-2随练1.6 已知方程组3951x y a x y a +=+⎧⎨-=+⎩的解都为正数 （1）求a 的取值范围（2）化简454a a +--【答案】 （1）544a -<<（2）51a + 【解析】 先把a 看作常数，解方程组得454x a y a =+⎧⎨=-+⎩，由方程组的解都为正数可得45040a a +>⎧⎨-+>⎩，解得544a -<<，由45040a a +>⎧⎨-+>⎩可得4545a a +=+，44a a -=-，故45451a a a +--=+随练1.7 若关于x 的不等式0721x m x ⎧-<⎨-≤⎩的整数解共有4个，则m 的取值范围是（ ）A ． 6＜m ＜7B ． 6≤m ＜7C ． 6≤m ≤7D ． 6＜m ≤7【答案】D 【解析】 本题是一道较为抽象的中考题，利用数轴就能直观的理解题意，列出关于m 的不等式组，再借助数轴做出正确的取舍．首先确定不等式组的解集，先利用含m 的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m 的不等式，从而求出m 的范围．由（1）得，x ＜m ，由（2）得，x≥3，故原不等式组的解集为：3≤x ＜m ，①不等式的正整数解有4个，①其整数解应为：3、4、5、6，①m 的取值范围是6＜m≤7．故选D ．随练1.8 已知关于x 的不等式组4(1)23617x x x a x -+>⎧⎪-⎨-<⎪⎩有且只有三个整数解，求a 的取值范围．【答案】 1≤a ＜2【解析】解不等式4（x -1）+2＞3x ，得：x ＞2，解不等式x -1＜67x a -，得：x ＜7-a ， ①此不等式组有且只有三个整数解，①这三个整数解为3，4，5，①5＜7-a≤6，解得1≤a ＜2．①实数a 的取值范围是1≤a ＜2．随练1.9 已知2310a x -+=，32160b x --=，且4a b ≤<，求x 的取值范围．【答案】 23x -<≤【解析】 由2310a x -+=可得312x a -=，由32160b x --=可得2163x b +=，又因为4a b ≤<，所以31216423x x -+≤<，解得23x -<≤自我总结拓展1 若关于x 的不等式21a x ->的解集是1x <，则a 的值是（ ）A ． 1a =B ． 1a >C ． 1a <D ． 1a =-【答案】A【解析】 该题考查的是含参数的不等式．∵21a x ->，∴21x a <-，∵1x <，∴211a -=，解得1a =．故答案是A ．拓展2 10．（3分）（2016•江西校级模拟）已知关于x 的不等式组1x a x ⎧>⎨>⎩的解集为x ＞1，则a 的取值范围是_____________．【答案】 a ≤1【解析】 由关于x 的不等式组1x a x ⎧>⎨>⎩的解集为x ＞1，得 a ≤1，拓展3 若关于x 的不等式组232x a x a >+⎧⎨<-⎩无解，则a 的取值范围是__________．能力拓展【答案】 2a ≤【解析】 由题意可知232a a +≥-，解得2a ≤拓展4 若不等式组200x b x a -≥⎧⎨+≤⎩的解集为3≤x ≤4，则不等式ax+b ＜0的解集为____． 【答案】 x ＞32【解析】200x b x a -≥⎧⎨+≤⎩①② ①解不等式①得：x≥2b ， 解不等式①得：x≤-a ，①不等式组的解集为：2b ≤x≤-a ， ①不等式组200x b x a -≥⎧⎨+≤⎩的解集为3≤x≤4， ①2b =3，-a=4， b=6，a=-4， ①-4x+6＜0，x ＞32， 故答案为：x ＞32拓展5 如果方程组32335x y k x y +=+⎧⎨+=⎩的解为x 、y ，且9k ≤时，求x y -的取值范围 【答案】 8x y -≤【解析】 由原方程组可得()222x y k -=-，所以1x y k -=-，由9k ≤得8x y -≤拓展6 若关于x 的不等式组430x x m -≥⎧⎨≥⎩有2个整数解，则m 的取值范围是（ ） A ． 1m >- B ． 0m ≥ C ． 10m -<≤ D ． 10m -≤≤【答案】C【解析】 该题考察的是一元一次不等式组的整数解．解不等式430x -≥得43x ≤，故不等式组的解集为：43m x ≤≤， 因为不等式组只有2个整数解， 所以这两个整数解为：0，1，因此实数m 的取值范围是10m -<≤． 故选答案是C ．拓展7 关于x 的不等式组232x a x a <+⎧⎨≥-⎩只有非负数解，求a 的取值范围． 【答案】 223a ≤< 【解析】 232320a a a +>-⎧⎨-≥⎩． 223a ∴≤<拓展8 适当选择a 的取值范围，使1.7x a <<的整数解：（1）x 只有一个整数解（2）x 一个整数解也没有【答案】 （1）23a <≤（2）1.72a <≤【解析】 （1）由1.7x a <<，x 只有一个整数解，即2x =，得到23a <≤；（2）由1.7x a <<，x 一个整数解也没有得到1.72a <≤．拓展9 已知关于x ，y ，z 的方程组212325x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩满足524x y ≥⎧⎨≤<⎩，求3S x y z =+-的取值范围． 【答案】 41115S ≤< 【解析】 解方程组得到417527z x z y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，根据题意415752247z z -⎧≥⎪⎪⎨-⎪≤<⎪⎩，解得1665z ≤<，而5S z =+．。
北师大数学八年级下册第二章-含参数一元一次不等式(组)经典讲义
第03讲_含参数一元一次不等式（组）知识图谱含参数一元一次不等式（组）知识精讲含字母的一元一次不等式（组）未知数的系数含有字母或常数项含有字母的一元一次不等式（组） 未知数的系数含有字母若0a >，axb >的解为b x a >； 若0a <，ax b >的解为bx a<；若0a =，则当0b ≥时，ax b >无解， 当0b <时，ax b >的解为任何实数已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<-- 原不等式化为：()()13214a x a x +--<--()325a x -<-（1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a >-参数取值范围首先把不等式的解集用含有字母的代数式表示出来，然后把它与已知解集联系起来求解，在求解过程中可以利用数轴进行分析.五．易错点1.注意参数取值范围导致的变号问题．2.分清参数和未知数，不要混淆.3.解连续不等式时要注意拆分为不等式组.三点剖析一．考点：含参的一元一次方程（组）．二．重难点：参数与解集之间的关系，整数解问题，不等式与方程综合． 三．易错点：注意参数取值范围导致的变号问题．解含参一元一次不等式（组）例题1、 解关于x 的不等式：ax ﹣x ﹣2＞0． 【答案】 当a ﹣1=0，则ax ﹣x ﹣2＞0为空集，当a ﹣1＞0，则x ＞21a -，当a ﹣1＜0，则x ＜21a -【解析】 ax ﹣x ﹣2＞0． （a ﹣1）x ＞2，当a ﹣1=0，则ax ﹣x ﹣2＞0为空集，当a ﹣1＞0，则x ＞21a -，当a ﹣1＜0，则x ＜21a -．例题2、 已知a 、b 为常数，解关于x 的不等式22ax x b ->+ 【答案】 2a >时，()212b x a +>- 2a <时，()212b x a +<-2a =时，①如果10b +≥，不等式无解；②如果10b +<，则不等式的解为任何实数 【解析】 原不等式可化为()()221a x b ->+，（1）当20a ->，即2a >时，不等式的解为()212b x a +>-； （2）当20a -<，即2a <时，不等式的解为()212b x a +<-；（3）当20a -=，即2a =时，有 ①：如果10b +≥，不等式无解；②如果10b +<，则不等式的解为任何实数．例题3、 已知a 、b 为常数，若0ax b +>的解集为23x >，则0bx a -<的解集是（ ） A.32x >B.32x <C.32x >-D.32x <-【答案】 C 【解析】 该题考查的是解不等式．0ax b +>的解集为23x >，化简得2=3b a - 且a>00bx a -<的解集为a x b >，32x >-．所以该题的答案是C ．例题4、 已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<--【答案】 当23a >时，不等式的解为523x a <-；当23a <时，不等式的解为523x a >-【解析】 原不等式化为：()()13214a x a x +--<-- ()325a x -<-，因为23a ≠，所以320a -≠，即32a -为正数或负数.（1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a>-例题5、 已知关于x 的不等式22m mx -＞12x ﹣1．（1）当m=1时，求该不等式的解集；（2）m 取何值时，该不等式有解，并求出解集．【答案】 （1）x ＜2（2）当m≠﹣1时，不等式有解，当m ＞﹣1时，不等式解集为x ＜2；当x ＜﹣1时，不等式的解集为x ＞2【解析】 （1）当m=1时，不等式为22x -＞2x﹣1，去分母得：2﹣x ＞x ﹣2， 解得：x ＜2；（2）不等式去分母得：2m ﹣mx ＞x ﹣2， 移项合并得：（m+1）x ＜2（m+1）， 当m≠﹣1时，不等式有解，当m ＞﹣1时，不等式解集为x ＜2； 当m ＜﹣1时，不等式的解集为x ＞2．随练1、 解关于x 的不等式22241x x a a a-≥+．【答案】当2a >-且0a ≠时，有2x a ≤-；当2a =-时，x 为任意数不等式都成立； 当2a <-时，有2x a ≥-【解析】 因为0a ≠，所以20a >，将原不等式去分母，整理得()224a x a +≤-．当2a >-且0a ≠时，有2x a ≤-；当2a =-时，x 为任意数不等式都成立；当2a <-时，有2x a ≥-．随练2、 已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<--．【答案】 当23a >时，不等式的解为523x a <-；当23a <时，不等式的解为523x a >-【解析】 原不等式化为：()325a x -<-，因为23a ≠，所以320a -≠，即32a -为正数或负数. （1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a >-随练3、 解下列关于x 的不等式组：()23262111x a x x x +⎧->⎪⎨⎪+>-⎩；【答案】 13a >时，32x a >+；13a ≤时，3x >【解析】 原不等式组可化为323x a x >+⎧⎨>⎩．当323a +>，即13a >时，不等式组的解集为32x a >+．当323a +≤，即13a ≤时，不等式组的解集为3x >随练4、 已知a ，b 为实数，若不等式ax ＋b ＜0的解集为12x >，则不等式b （x －1）－a ＜0的解集为（ ）A.x ＞－1B.x ＜－1C.a b x b +>D.a b x b+< 【答案】 B【解析】 暂无解析随练5、已知关于x 的不等式()2340a b x a b -+->的解集是1x >.则关于x 的不等式()4230a b x a b -+->的解集是____________.【答案】 13x <-【解析】 ()2340a b x a b -+->， 移项得：()232a b x a b ->-，由已知解集为1x >，得到20a b ->，变形得：322a bx a b ->-，可得：3212a ba b-=-，整理得：a b =， ()4230a a x a a ∴-+->，即0a >，∴不等式()4230a b x a b -+->可化为()4230a a x a a -+->. 两边同时除以a 得：31x ->，解得：13x <-.随练6、 已知实数a 是不等于3的常数，解不等式组2x 3311x 2a x 022-+-⎧⎪⎨-+⎪⎩≥（）＜ ，并依据a 的取值情况写出其解集． 【答案】 当a ＞3时，不等式组的解集为x ≤3，当a ＜3时，不等式组的解集为x ＜a【解析】 2x 3311x 2a x 022-+-⎧⎪⎨-+⎪⎩≥（①②）＜， 解①得：x ≤3，解①得：x ＜a ，∵实数a 是不等于3的常数，∴当a ＞3时，不等式组的解集为x ≤3， 当a ＜3时，不等式组的解集为x ＜a ．随练7、 关于x 的不等式组2131x a x +>⎧⎨->⎩．（1）若不等式组的解集是1＜x ＜2，求a 的值；（2）若不等式组无解，求a 的取值范围． 【答案】 （1）a=3；（2）a≤2【解析】 （1）解不等式2x+1＞3得：x ＞1， 解不等式a ﹣x ＞1得：x ＜a ﹣1， ∵不等式组的解集是1＜x ＜2，∴a ﹣1=2， 解得：a=3；（2）∵不等式组无解， ∴a ﹣1≤1， 解得：a≤2．参数与解集之间的关系例题1、 若关于x 的一元一次不等式组011x a x x ->⎧⎨->-⎩无解，则a 的取值范围是 ．【答案】 a≥2．【解析】 由x ﹣a ＞0得，x ＞a ；由1﹣x ＞x ﹣1得，x ＜1， ∵此不等式组的解集是空集， ∴a≥1．例题2、 已知关于x 的不等式组301(2)342x a x x -≥⎧⎪⎨->+⎪⎩有解，求实数a 的取值范围，并写出该不等式组的解集．【答案】 a ＜﹣6，3a≤x ＜﹣2．【解析】 解不等式3x ﹣a≥0，得：x≥3a，解不等式12（x ﹣2）＞3x+4，得：x ＜﹣2，由题意得：3a＜﹣2，解得：a ＜﹣6，∴不等式组的解集为3a≤x ＜﹣2．例题3、 如果关于x 的不等式（a+1）x ＞a+1的解集为x ＜1，那么a 的取值范围是（ ） A.a ＜﹣1 B.a ＜0 C.a ＞﹣1 D.a ＞0或a ＜﹣1 【答案】 A【解析】 （a+1）x ＞a+1， 当a+1＞0时，x ＞1， 当a+1＜0时，x ＜1， ∵解集为x ＜1， ∴a+1＜0， a ＜﹣1． 故选：A ．例题4、 当1≤x≤4时，mx ﹣4＜0，则m 的取值范围是（ ） A.m ＞1 B.m ＜1 C.m ＞4 D.m ＜4 【答案】 B【解析】 设y=mx ﹣4，由题意得，当x=1时，y ＜0，即m ﹣4＜0， 解得m ＜4，当x=4时，y ＜0，即4m ﹣4＜0， 解得，m ＜1，则m 的取值范围是m ＜1，例题5、 若不等式（a ﹣3）x ＞1的解集为x ＜13a -，则a 的取值范围是 ．【答案】 a ＜3．【解析】 ∵（a ﹣3）x ＞1的解集为x ＜13a -， ∴不等式两边同时除以（a ﹣3）时不等号的方向改变， ∴a ﹣3＜0， ∴a ＜3．故答案为：a ＜3．例题6、 如果关于x 的不等式()122a x a +>+的解集是2x <，则a 的取值范围是（ ） A.0a < B.1a <-C.1a >D.1a >-【答案】 B【解析】 将原不等式与其解集进行比较，在不等式的变形过程中利用了不等式的性质三，因此有10a +<，故1a <-例题7、 若不等式组()322110b x x a -<--⎧⎨->⎩的解集为﹣2＜x ＜4，求出a 、b 的值．【答案】 a=﹣10，b=3．【解析】 解不等式10﹣x ＜﹣（a ﹣2），得：x ＞a+8，解不等式3b ﹣2x ＞1，得：x ＜312b -，∵解集为﹣2＜x ＜4， ∴314282a b ⎧⎪⎨-=+=-⎪⎩，解得：a=﹣10，b=3．随练1、 已知关于x 的不等式（m －2）x ＞2m －4的解集为x ＜2，则m 的取值范围是________． 【答案】 m ＜2【解析】 不等式（m －2）x ＞2m －4的解集为x ＜2， ∴m －2＜0，m ＜2．随练2、 关于x 的不等式组()3141x x x m ⎧->-⎪⎨<⎪⎩的解集为x ＜3，那么m 的取值范围是 ．【答案】 m≥3【解析】 ()3141x x x m ->-⋅⋅⋅⎧⎪⎨<⋅⋅⋅⎪⎩①②，解①得x ＜3，∵不等式组的解集是x ＜3， ∴m≥3．故答案是：m≥3．随练3、 若关于x 的一元一次不等式组202x m x m -<⎧⎨+>⎩有解，则m 的取值范围为（ ）A.23m >-B.23m ≤C.23m >D.23m ≤-【答案】 C【解析】 202x m x m -<⎧⎨+>⎩①②，解不等式①得，x ＜2m ， 解不等式②得，x ＞2－m ， ∵不等式组有解， ∴2m ＞2－m ，∴23m >．随练4、 若不等式组0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，则实数a 的取值范围是（ ）A.a≥－2B.a ＜－2C.a≤－2D.a ＞－2【答案】 D【解析】 0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥，解不等式x ＋a≥0得，x≥－a ，由不等式4－2x ＞x －2得，x ＜2，∵不等式组：不等式组0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，∴a ＞－2，随练5、 已知不等式31（x ﹣m ）＞2﹣m ． （1）若上面不等式的解集为x ＞3，求m 的值．（2）若满足x ＞3的每一个数都能使上面的不等式成立，求m 的取值范围． 【答案】 （1）23（2）m≥23 【解析】 （1）解不等式可得x ＞6﹣2m ，∵不等式的解集为x ＞3， ∴6﹣2m=3，解得m=23；（2）∵原不等式可化为x ＞6﹣2m ，满足x ＞3的每一个数都能使不等式成立， ∴6﹣2m≤3，解得m≥23．整数解问题例题1、 关于x 的不等式－1＜x≤a 有3个正整数解，则a 的取值范围是________． 【答案】 3≤a ＜4【解析】 ∵不等式－1＜x≤a 有3个正整数解， ∴这3个整数解为1、2、3， 则3≤a ＜4．例题2、 关于x 的不等式0x b ->恰有两个负整数解，则b 的取值范围是（ ） A.32?b -<<- B.32?b -<≤- C.32b -≤≤- D.32b -≤<- 【答案】 D【解析】 本题主要考查一元一次不等式及其解法。
新北师大版八年级数学下册第2章《一元一次不等式与一元一次不等式组 》复习题含答案解析 (1)
一、选择题（共10题）1. 若实数 a ，b ，c 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是 ( )A ． ac >bcB ． a +b >c +bC ． a +c >b +cD ． ab >cb2. 关于 x 的不等式组 {x −3<6(x −2)−1,x −2a ≤0. 有三个整数解，则 a 的取值范围 ( )A ． a >2B ． 52≤a <3C ． 2≤a <3D ． 52<a ≤33. 在下列不等式2+x 3>2x−15的变形过程中，错误的步骤是 ( )① 去分母，得 5(2+x )>3(2x −1)； ② 去括号，得 10+5x >6x −3； ③ 移项、合并同类项，得 −x >−13； ④ 系数化为 1，得 x >13． A ． ① B ． ② C ． ③ D ． ④4. 若关于 x 的不等式组 {x2+x+13>0,3x +5a +4>4(x +1)+3a恰有三个整数解，则 a 的取值范围是 ( ) A ． 1≤a <32 B ． 1<a ≤32 C ． 1<a <32D ． a ≤1 或 a >325. 若整数 a 既使关于 x 的分式方程x−1x−3−a−2x (3−x )=1 的解为非负数，又使不等式组 {x2+a+34>0,−3x +8>5x有解，且至多有 5 个整数解，则满足条件的 a 的和为 ( )A ． −5B ． −3C ． 3D ． 26. 若关于 x 的不等式组 {x+13<x2−1,x <4m,无解，则 m 的取值范围为 ( )A ． m ≤2B ． m <2C ． m ≤2D ． m >27. 四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为 P ，Q ，R ，S ，如图所示，则他们的体重关系是 ( )A ． P >R >S >QB ． Q >S >P >RC ． S >P >Q >RD ． S >P >R >Q8. 把不等式组 {2−x ≤5,x+32<2的解集在数轴上表示出来，正确的是 ( )A ．B ．C ．D ．9. 若关于 x 的不等式组 {2−x2>2x−43,−3x >−2x −a的解集是 x <2，则 a 的取值范围是 ( )A ． a ≥2B ． a <−2C ． a >2D ． a ≤210. 若关于 x 的不等式组 {x −m <03−2x ≤1 所有整数解的和是 10，则 m 的取值范围是 ( )A ． 4<m ≤5B ． 4<m <5C ． 4≤m <5D ． 4≤m ≤5二、填空题（共7题）11. 不等式组 {12x +1>0,1−x >0 的解集为 ．12. 若不等式组 {x −a >1,bx +3≥0 的解集是 −1<x ≤1，则 a = ，b = ．13. 已知 {x +y +z =15,−3x −y +z =−25, x ，y ，z 为非负数，且 N =5x +4y +z ，则 N 的取值范围是 ．14. 为了提高学校的就餐效率，巫溪中学实践小组对食堂就餐情况进行调研后发现：在单位时间内，每个窗口买走午餐的人数和因不愿长久等待而到小卖部的人数各是一个固定值，并且发现若开一个窗口，45 分钟可使等待的人都能买到午餐，若同时开 2 个窗口，则需 30 分钟．还发现，若能在 15 分钟内买到午餐，那么在单位时间内，去小卖部就餐的人就会减少 80%．在学校总人数一定且人人都要就餐的情况下，为方便学生就餐，总务处要求食堂在 10 分钟内卖完午餐，至少要同时开 个窗口．15. 如果关于 x 的不等式 3x −k +1≤0 有且只有 4 个正整数解，则 k 的取值范围是 ．16. 不等式 x −3<0 的解集是 ．17. 已知关于 x 的不等式组 {x −a ≥0,3−2x ≥−1 的整数解共有 5 个，则 a 的取值范围是 ．三、解答题（共8题）18. 解不等式组 {2x +5≤−1, ⋯⋯①2x +1<3. ⋯⋯②请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式 ①，得 ； （Ⅰ）解不等式 ②，得 ；（Ⅰ）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来： （Ⅰ）原不等式组的解集为 ．19. 解不等式组：{2x +3>x −2,6x −2(x −1)<6,3(2x +1)−5<2(x −3).20. 甲，乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案．在甲商场累计购物超过 100 元后，超出 100 元的部分按 90% 收费；在乙商场累计购物超过 50 元后，超出 50 元的部分按 95% 收费．设小红在同一商场累计购物 x 元，其中 x >100．(1) 根据题意，填写下表：（单位：元）累计购物金额130290⋯x在甲商场实际花费127⋯ 在乙商场实际花费126⋯(2) 当 x 取何值时，小红在甲，乙两商场的实际花费相同？(3) 当小红在同一商场累计购物超过 100 元时，在哪家商场的实际花费少？21. 快递公司准备购买机器人来代替人工分拣已知购买一台甲型机器人比购买一台乙型机器人多 2 万元；购买 2 台甲型机器人和 3 台乙型机器人共需 24 万元． (1) 求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元；(2) 已知甲型、乙型机器人每台每小时分拣快递分别是 1200 件、 1000 件，该公司计划最多用41 万元购买 8 台这两种型号的机器人．该公司该如何购买，才能使得每小时的分拣量最大？22. 馨浓商品批发商场共用 22000 元同时购进A ，B 两种型号背包各 400 个，购进A 型号背包 30个比购进B 型背包 15 个多用 300 元．(1) 求A ，B 两种型号背包的进货单价各为多少元？(2) 若商场把A ，B 两种型号背包均按每个 50 元定价进行零售，同时为扩大销售，拿出一部分背包按零售价的 7 折进行批发销售．商场在这批背包全部售完后，若总获利不低于 10500 元，则商场用于批发的背包数量最多为多少个？23. 已知抛物线 G:y =x 2−2tx +3 ( t 为常数）的顶点为 P ．(1) 求点 P 的坐标；(用含 t 的式子表示)(2) 在同一平面直角坐标系中，存在函数图象 H ，点 A (m,n 1) 在图象 H 上，点 B (m,n 2) 在抛物线 G 上，对于任意的实数 m ，都有点 A ，B 关于点 (m,m ) 对称． ①当 t =1 时，求图象 H 对应函数的解析式；②当 1≤m ≤t +1 时，都有 n 1>n 2 成立，结合图象，求 t 的取值范围．24. 已知 ∣x −2∣+(3x +y +m )2=0，当 m 为何值时，y ≥0？25. 如图，数轴上两点 A ，B 对应的数分别是 −1，1，点 P 是线段 AB 上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点 Q ，满足 ∣PQ∣∣=2，那么我们把这样的点 Q 表示的数称为连动数，特别地，当点 Q 表示的数是整数时我们称为连动整数．(1) −3，0，2.5 是连动数的是 ；(2) 关于 x 的方程 2x −m =x +1 的解满足是连动数，求 m 的取值范围 ；(3) 当不等式组 {x+12>−1,1+2(x −a )≤3的解集中恰好有 4 个解是连动整数时，求 a 的取值范围．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【知识点】不等式的性质2. 【答案】D【解析】 {x −3<6(x −2)−1, ⋯⋯①x −2a ≤0. ⋯⋯②解不等式①得 x >2， 解不等式②得 x <2a ， 因为不等式组有三个整数解， 所以整数解一定为 3，4，5， 所以 5<2a ≤6， 解得 52<a ≤3．【知识点】含参一元一次不等式组3. 【答案】D【知识点】常规一元一次不等式的解法4. 【答案】B【解析】解不等式 x2+x+13>0，得 x >−25，解不等式 3x +5a +4>4(x +1)+3a ， 得 x <2a ，∵ 不等式组恰有三个整数解， ∴ 这三个整数解为 0，1，2， ∴2<2a ≤3， 解得 1<a ≤32．【知识点】含参一元一次不等式组5. 【答案】A【解析】不等式组整理得：{x >−a−32,x <1,由且至多有 5 个整数解，得到 −5≤−a−32<1，解得：−5<a≤7，即a=−3，−2，−1，0，1，2，3，4，5，6，7，分式方程去分母得：x(x−1)+(a−2)=x(x−3)，解得：x=2−a2，由分式方程的解为非负数，得到a=−3，−2，−1，0，1之和为−5．【知识点】含参一元一次不等式组6. 【答案】A【解析】解不等式x+13<x2−1，得x>8，∵不等式组无解，∴4m≤8，解得m≤2．【知识点】含参一元一次不等式组7. 【答案】D【解析】由三个图分别可以得到{S>P,P>R,P+R>Q+S,而Q+S>Q+P，代入第三个式子得到P+R>Q+P，所以R>Q．所以他们的大小关系为S>P>R>Q．【知识点】不等式的性质8. 【答案】C【解析】{2−x≤5, ⋯⋯①x+32<2, ⋯⋯②解不等式①得：x≥−3，解不等式②得：x<1，故不等式组的解集为：−3≤x<1，在数轴上表示为：【知识点】常规一元一次不等式组的解法9. 【答案】A【知识点】含参一元一次不等式组10. 【答案】A【解析】解不等式 x −m <0 得：x <m ， 解不等式 3−2x ≤1，得：x ≥1， 因为不等式组所有整数解的和为 10，所以不等式组的整数解有 1，2，3，4 这 4 个， 则 4<m ≤5．【知识点】含参一元一次不等式组二、填空题（共7题） 11. 【答案】 −2<x <1【知识点】常规一元一次不等式组的解法12. 【答案】 −2 ； −3【解析】 {x −a >1, ⋯⋯①bx +3≥0. ⋯⋯②∵ 解不等式①得：x >1+a ， 解不等式②得：x ≤−3b，∴ 不等式组的解集为：1+a <x ≤−3b ， ∵ 不等式组 {x −a >1,bx +3≥0 的解集是 −1<x ≤1，∴ 1+a =−1，−3b =1，解得：a =−2，b =−3，故答案为：−2，−3． 【知识点】含参一元一次不等式组13. 【答案】 55≤N ≤65【解析】 ∵{x +y +z =15,−3x −y +z =−25,∴ 解关于 y ，z 的方程可得：{y =20−2x,z =x −5,∵x ，y ，z 为非负数， ∴{y =20−2x ≥0,z =x −5≥0,x ≥0,解得 5≤x ≤10 ,∴N =5x +4y +z =5x +4(20−2x )+(x −5)=−2x +75， ∵−2<0，∴N 随 x 增大而减小，∴ 故当 x =5 时，N 有最大值 65； 当 x =10 时，N 有最小值 55， ∴55≤N ≤65．【知识点】常规一元一次不等式组的解法、三元一次方程（组）的解法14. 【答案】 9【解析】设每个窗口每分钟能卖 x 人的午餐，每分钟外出就餐有 y 人，学生总数为 z 人，并设同时开 n 个窗口，依题意有{45x =z −45y, ⋯⋯①2×30x =z −30y, ⋯⋯②10nx ≥z −10(1−80%)y. ⋯⋯③由①，②得y =x,z =90x.代入③得10nx ≥90x −2x.所以 n ≥8.8． 因此，至少要同时开 9 个窗口． 【知识点】一元一次不等式的应用15. 【答案】 13≤k <16【知识点】含参一元一次不等式16. 【答案】 x <3【知识点】常规一元一次不等式的解法、不等式的性质17. 【答案】 −3<a ≤−2【知识点】含参一元一次不等式组三、解答题（共8题）18. 【答案】 x ≤−3；x <1；略；x ≤−3【知识点】常规一元一次不等式组的解法19. 【答案】 −5<x <−1．【知识点】常规一元一次不等式组的解法20. 【答案】(1) 271；0.9x +10；278；0.95x +2.5(2) 根据题意，得0.9x +10=0.95x +2.5,解得x =150.∴ 当 x =150 时，小红在甲，乙两商场的实际花费相同．(3) 令0.9x +10<0.95x +0.25,解得x >150;∴ 当小红累计购物超过 150 元时，在甲商场实际花费少；当小红累计购物超过 100 元但不足 150 元时，在乙商场实际花费少． 【知识点】一元一次不等式组的应用、方案决策21. 【答案】(1) 设甲型机器人每台的价格是 x 万元，乙型机器人每台的价格是 y 万元．依题意，得：{x −y =2,2x +3y =24.解得：{x =6,y =4.答：甲型机器人每台的价格是 6 万元，乙型机器人每台的价格是 4 万元．(2) 设购买 m 台甲型机器人，则购买 (8−m ) 台乙型机器人． 依题意，得：6m +4(8−m )≤41.解得：m ≤412.∵m 为整数，∴m ≤4． ∵1200>1000，∴ 每小时的分拣量随购买甲型机器人增大而增大．∴ 当公司购买 4 台甲型机器人、 4 台乙型机器人时，每小时的分拣量最大．【知识点】二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用22. 【答案】(1) 设A 种型号背包进货价 x 元， 22000÷400=55（元），所以B 种背包的进货价为（55−x ）元， 根据题意得：30x −15×(55−x )=300,解得x =25,55−25=30(元),答：A 种背包进货价 25 元，B种背包进货价 30 元．(2) 设商场用于批发的背包数量为 a 个．由题意得50×(800−a )+50×0.7a −22000≥10500,解得：a ≤500,答：商场用于批发的背包数量最多为 500 个．【知识点】一元一次不等式的应用、和差倍分23. 【答案】(1)y =x 2−2tx +3=x 2−2tx +t 2−t 2+3=(x −t )2−t 2+3.∴ 顶点 P 的坐标为 (t,−t 2+3)．(2) ①当 t =1 时，得 G 的解析式为：y =x 2−2x +3， 点 B (m,n 2) 在 G 上， ∴n 2=m 2−2m +3，∵ 点 A (m,n 1) 与点 B 关于点 (m,m ) 对称，则点 A ，B 到点 (m,m ) 的距离相等，此三点横坐标相同，有 n 2−m =m −n 1． ∴(m 2−2m +3)−m =m −n 1， 整理，得 n 1=−m 2+4m −3，由于 m 为任意实数，令 m 为自变量 x ，n 1 为 y . 即可得 H 的解析式为：y =−x 2+4x −3；②关于抛物线 G 的性质： 点 B (m,n 2) 在 G 上， ∴n 2=m 2−2tm +3， 由 G:y =x 2−2tx +3，知抛物线 G 开口向上，对称轴为 x =t ，顶点 P (t,−t 2+3)，且图象恒过点 (0,3) . ∴ 当 t ≤x ≤t +1 时，图象 G 的 y 随着 x 的增大而增大.当 x =t +1 时，y 取最大值 −t 2+4；当 x =t 时，y 取最小值 −t 2+3；最大值比最小值大 1 .关于图象 H 的性质：∵ 点 A (m,n 1) 与点 B 关于点 (m,m ) 对称， 有 n 2−m =m −n 1，(m 2−2tm +3)−m =m −n 1， 整理，得 n 1=−m 2+2tm +2m −3．∴ 图象 H 的解析式为：y H =−x 2+2tx +2x −3 . 配方，得 y H =−[x −(t +1)]2+(t 2+2t −2)∴ 图象 H 为一抛物线，开口向下，对称轴为 x =t +1，顶点 P (t +1,t 2+2t −2)，且图象恒过点 (0,−3) .∴ 当 t ≤x ≤t +1 时，图象 H 的 y 随着 x 的增大而增大.当 x =t +1 时，y 取最大值 t 2+2t −2；当 x =t 时，y 取最小值 y =t 2+2t −3，即过 Q (t,t 2+2t −3)；最大值比最小值大 1．情况 1：当 P ，Q 两点重合，即两个函数恰好都经过 (t,t )，(t +1,t +1) 时，把 (t,t ) 代入 y =x 2−2tx +3 得 t =t 2−2t ⋅t +3， 解得，t =−1+√132或 t =−1−√132．分别对应图 3，图 4 两种情形，由图可知，当 m =t ，或 m =t +1 时，A 与 B 重合，即有 n 1=n 2，不合题意，舍去； 情况 2：当点 P 在点 Q 下方，即 t >−1+√132时，大致图象如图 1，当 t <−1−√132时，大致图象如图 2，都有点 A 在点 B 的上方，即 n 1>n 2 成立，符合题意； 情况 3：当点 P 在点 Q 上方，即 −1−√132<t <−1+√132时，大致图象如图 5，图 6，当 t ≤m ≤t +1 时，存在 A 在 B 的下方，即存在 n 1<n 2，不符合题意，舍去； 综上所述，所求 t 的取值范围为：t >−1+√132或 t <−1−√132．【知识点】二次函数的顶点、二次函数的最值、二次函数与不等式、y=ax^2+bx+c 的图象24. 【答案】由非负数性质，得 {x −2=0,3x +y +m =0.11 ∴{x =2,y =−6−m.∵y ≥0，∴−6−m ≥0．∴m ≤−6．【知识点】常规一元一次不等式的解法25. 【答案】(1) −3，2.5(2) −4≤m ≤−2 或 0≤m ≤2(3) {x+12>−1, ⋯⋯①1+2(x −a )≤3, ⋯⋯② 由 ① 得，x >−3；由 ② 得，x ≤a +1，∵ 不等式组 {x+12>−1,1+2(x −a )≤3的解集中恰好有 4 个解是连动整数时， ∴ 四个连动整数解为 −2，−1，1，2， ∴2≤a +1<3，∴1≤a <2∴a 的取值范围是 1≤a <2．【解析】(2) 解关于 x 的方程 2x −m =x +1 得，x =m +1．∵ 关于 x 的方程 2x −m =x +1 的解满足是连动数，∴{−1−m −1≤2,1−m −1≥2或 {m +1−1≤2,m +1+1≥2, 解得 −4≤m ≤−2 或 0≤m ≤2．【知识点】常规一元一次不等式组的解法、含参一元一次方程的解法、数轴的概念、含参一元一次不等式组、不等式组的整数解。
初二含参不等式专题
初二（下） 第一讲 一元一次不等式（组）易错点归纳1、不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时，忽略不等号的方向要变向。
2、混淆不等式的解与解集。
3、解不等式在去分母时，易犯解方程类似的错误（注意不要漏乘和分子看成是一个括号）；系数化成1时，注意：系数为负数要变号4、不等式（组）解集的在数轴上表示时：①未标注实心点或空心点，②寻找不等式组解集的公共部分时，当公共部分为一点或没有公共部分时，易出错。
③要注意“两定”：一是定边界点，若边界点含于解集，为实心点，不含于解集为空心点；二是定方向，相对于边界点而言，“小于向左，大于向右”。
考点聚焦专题一、不等式的概念及性质考点1、 判断不等式例1、判断下列各式哪些是不等式，哪些既不是等式又不是不等式.①y x +；②73>x ；③523=+；④20x ≥；⑤132=-y x ；⑥01<-.变式： 下列式子2220,40,340,210,34,13a x y x y x x y a b -<-<+≥+-=+-+>-中，不等式有 个. 考点2、 不等式的性质例2、（1)已知b a >,则75+-a 75+-b (2) 已知4646-<-b a ,则a b ． (3)下列不等式变形正确的是（ ）A 、由b a >，得22->-b aB 、由b a >，得b a 22->-C 、由b a >，得a ＞bD 、由b a >，得22b a >(4)比较下列各题中两个式子的大小.① 33a -与44a-； ②b a +与b a -.变式与提高：（1）若a b >，则下列不等式不一定成立的是（ ）A 、m b m a +>+B 、)1()1(22+>+m b m aC 、22ba -<-D 、22b a > （2）设c b a ，，的平均数为M ，b a ，的平均数为N ，N 与c 的平均数为P ，若c b a >>，则M 与P 的大小关系是（ ）．A ．P M =B ．P M >C ．P M <D ．不确定专题二、不等式的解法及字母取值问题。
一元一次不等式(组)含参问题探究
一元一次不等式（组）含参问题类型一、已知解集求参数1.若不等式组⎩⎨⎧->+<-3212b x a x 的解集是225<<-x ，求代数式)1)(1(+-ab a b 的值.2.若关于x 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<+-<+x x m x 23212的解集是1-<x ，且关于y 的方程m m y 31)(2=-+的解为正整数，求m 的值.类型二、已知解集的情况求参数的取值范围3.若关于x 不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+>+-2312121x x m x 无解，求m 的取值范围.4.若关于x 不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+--<++`2122121m x x m x 有解，且23关于y 的不等式122332--≥-y m y 的解，求m 的取值范围.类型三、已知整数解的情况求参数的值或取值范围5.若关于x 不等式组⎩⎨⎧-<++->-1237)1(2m x x x 无正整数解，求m 的取值范围.6.若关于x 不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥--+<+121312x x a x x 有且只有4个整数解，求a 的取值范围.7.若关于x 不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+>+-≥-21231202x x x m 至少有3个整数解，求m 的取值范围.类型四、已知范围满足解集的情况求参数的范围8.若31<<x 满足关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧--<-+≥+122112x m x x m x ，求m 的取值范围.跟踪训练：1.4≤x 是不等式13≤-a x 的解集，求a .2.关于x 的方程k k x -=-233的解不小于2，求k 的取值范围.3.已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧+=++=-9335a y x a y x 的解满足y x ≥+2，求a 的取值范围.4.关于x 的不等式4<x 是不等式2522<-a x 的解集，求a 的值.5.若不等式组⎩⎨⎧-≤-≥322m x m x 无解，求m 的取值范围.6.若不等式组⎩⎨⎧+<->52n x m x 的解集为31<<x ，求n m +的值.7.若1)1(+>+k x k 的解集为1<x ，求k 的取值范围.。
一元一次不等式组(一)
试一试：你能写出两个一元一次不等式组 成，巩固已 吗？ 讨论：如何求一元一次不等式组的解集？ （1） 解一元一次不等式组的步骤是什么？ （2） 什么是不等式组的解集？怎样寻找和 表示出它的解集？ 师：请同学们把（1）（2）两个不等式分别 、 解出 生：由（1）得 x≤1000，由（2）得 x≥500 师：这里的 x 要同时满足上面两个不等式的 解集，可以把这两个不等式的解集表示在（同 学生讨论， 一条）数轴上，求出它们解集的公共部分。请 教师总结 同学们自己动手，在纸上画出这两个不等式的 解集，观察其公共部分是哪一段？ 学知识
的解集分别是什么？ 生：①x>b，②x<a，③ a<x<b，④无解。 教师【出示】
不等式组（a ＜b 数轴表示 解 集
)
x > a x > b x < a x < b x > a x < b
a b x＞b
记忆口 诀
把具体数字
同大取 大
换成字母仍 需借助数轴
a
b
同小取 小 x＜a
-8-
运用能力
木 架 . 问 第 三 根 木 条 的 长 度 应 在 什 么 范 围 培养了学生 内？ 对知识的应 用能力 4.泡咖啡时，当每杯咖啡用水约为 130ML 时， 所使用的糖 xg、咖啡粉 yg 与泡出来的咖啡甜 度 c 有如下的关系： =c 某咖啡馆经过问卷调查后发现，当咖啡的甜 度是 1 时，客人最喜欢喝，不过只要咖啡甜度 在 0.5～1.5 时，客人都能接受。如果一杯咖 啡用了 12g 咖啡粉，那么在客人能接受的范围 内，这杯咖啡应该用多少糖？ 课堂小结 （1）这节课你学到了什么？ 2 分钟 布置作业 1 分钟 教学反思 1、教学“不等式组的解集”时，用数形结合的方法，通 过借助数轴找出公共部分解出解集，这是最容易理解的方 法，也是最适用的方法。 （2）你还有哪些不懂的问题？ 补充习题 7.6（1） 学生口答
一元一次不等式组含参问题
一元一次不等式组含参问题一、概述在初中数学的学习中，我们接触到了一元一次不等式组含参问题。
这样的问题往往涉及到多个未知数和多个方程，需要我们采用适当的方法进行求解。
下面，本文将对一元一次不等式组含参问题进行详细的讲解，希望能够帮助同学们更好地掌握这个难点。
二、问题类型一元一次不等式组含参问题的形式多种多样，以下是几种常见的类型：1、求参数的取值范围此类问题给定一组不等式组，其中包含一个或多个未知参数，要求我们求出这个参数的取值范围，使得所有方程都成立。
2、最小(大)值问题此类问题给出一组不等式组，其中包含一个或多个未知参数，要求我们求出这个参数使得某个式子取得最小(大)值。
3、问题的实际应用此类问题往往会给出一些实际情况，要求我们运用一元一次不等式组基本原理来解决实际问题。
三、方法掌握要解决一元一次不等式组含参问题，我们需要掌握以下方法：1、列出方程组首先需要将问题中所有信息转化为方程式，然后再结合问题，列出一元一次不等式组含参的求解式。
2、解析式求解对于参数范围问题，我们要在联立的不等式组中找出一个代表所有不等式的式子，然后将未知数与参数隔离，使其成为一项含参的式子，最后解决参数的范围。
对于最值问题，我们要将式子进行变形，使其成为一个用参数表示的函数，然后再利用数学方法求解。
3、实践运用在处理实际问题时，我们要结合实际情况进行分析，将其中的条件转化为不等式，然后列方程组求解。
四、应用案例下面，我们通过具体的应用案例来加深对一元一次不等式组含参问题的理解。
例1、现有12个黄色球，红色球的数量不确定，小明从中随机抽出4个球，要使得其中至少有3个为黄色球，求红色球的最少数量。
解：用x表示红色球的数量，则不等式组为：x+12≥4，3x+12<4，其中x为未知的参数。
化简后得到：x≥-8，x<-\frac{8}{3}最终，根据实际情况得到，红球至少有 3 颗。
例2、某社区小学针对学生荣誉评定制定了一种评定方案：评定范围为高度荣誉，理论荣誉和优秀荣誉三级，其中高度荣誉取得条件为文化课成绩在前10%且思品课成绩在前20%，理论荣誉要求文化课成绩在前20%或思品课成绩在前30%，优秀荣誉要求满足以上条件之一。
一元一次不等式含参问题
一元一次不等式（组）专项培优【学习目标】1．理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用． 要点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如，等都是一元一次不等式组．一元一次不等式的解法【学习目标】1．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质；2.能够熟练解一元一次不等式；3. 掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.【要点梳理】要点一、一元一次不等式的概念只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． 要点诠释：(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1.(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．要点二、一元一次不等式的解法1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．2.一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.要点诠释：（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． 2562010x x ->⎧⎨-<⎩7021163159x x x ->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩2503x >a x <a x >ax b >ax b <0a ≠（2）解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．要点三、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．要点诠释：3.不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x ≤8．(2) 用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：(3)要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a 而言，x ＞a 或x ≥a 向右画；对边界点a 而言，x ＜a 或x ≤a 向左画．注意：在表示a 的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．【典型例题】 类型一、一元一次不等式的概念1．下列式子哪些是一元一次不等式？哪些不是一元一次不等式？为什么？（1） （2）（3） （4） （5）0x >1x1->2x 2>3y x ->+1x -=类型二、解一元一次不等式2.求不等式﹣≤的非负整数解，并把它的解在数轴上表示出来．举一反三：【变式1】解不等式：【变式2】代数式的值不大于的值，求x 的范围．3.m 为何值时，关于x 的方程：的解大于1？举一反三：【变式】已知关于方程的解是非负数，是正整数，则 ．4.（2016•杭州模拟）若关于x ，y 的二元一次方程组的解满足x ﹣y ＞﹣3.5，求出满足条件的m 的所有正整数解． 2x ]2)14x (32[23<---6151632x m m x ---=-x 3x 23m x 2x -=--m =m类型二、不等式的解及解集5.若关于的不等式只有三个正整数解，求的取值范围.举一反三：【变式】已知的解集中的最大整数为3，则的取值范围是 ．类型四、逆用不等式的解集6. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集 ．一元一次不等式组【典型例题】类型一、解一元一次不等式组1.（2016•深圳）解不等式组：．x a x ≤a a x <a x n m x >53x <x 0n 5m x )n m 2(>-+-2. 不等式组是否存在整数解？如果存在请求出它的解；如果不存在要说明理由.举一反三：【变式】（2015•北京）解不等式组，并写出它的所有非负整数解．3.试确定实数a 的取值范围．使不等式组 恰好有两个整数解．3(2)5(4) 2.......(1)562(2)1,........(2)32211............(3)23x x x x x x ⎧⎪++-<⎪+⎪+≥+⎨⎪++⎪-≤⎪⎩1023544(1)33x x a x x a +⎧+>⎪⎪⎨+⎪+>++⎪⎩类型二、解特殊的一元一次不等式组4.（2015•黔西南州）求不等式（2x﹣1）（x+3）＞0的解集．解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①或②．解①得x＞；解②得x＜﹣3．∴不等式的解集为x＞或x＜﹣3．请你仿照上述方法解决下列问题：（1）求不等式（2x﹣3）（x+1）＜0的解集．（2）求不等式≥0的解集．课堂练习类型一根据不等式租的整数解情况确定字母的取值范围例1．不等式组有3个整数解，则m的取值范围是．变式练习1．不等式组有3个整数解，则m的取值范围是．变式练习2．已知关于x的不等式组只有3个整数解，则实数a的取值范围是．变式练习3. 已知关于x 的不等式组{4x +2>3(x +a)2x >3(x −2)+5,仅有4个整数解，则实数a 的取值范围是 ．变式练习4. 已知关于x 的不等式组{5x +2>3(x −1)12x ≤8−32x +2a ,仅有4个整数解，则实数a 的取值范围是 ．类型二 根据不等式组的解集确定字母的取值范围例2.已知关于x 的不等式组无解，则a 的取值范围是 ．变式练习1．若关于x 的不等式组有解，则实数a 的取值范围是 ．变式练习2．若不等式的解集为x ＞3，则a 的取值范围是 ．变式练习3．若关于x 的不等式的解集为x ＜2，则a 的取值范围是 ．变式练习4．已知不等式组无解，则a 的取值范围是 ．类型三 根据未知数解集或者未知数间的关系确定字母的取值范围例3. 已知方程组⎩⎨⎧-=++=+my x m y x 12312满足x +y <0,求m 的取值范围变式练习1.若关于x ，y 的二元一次方程组的解满足x +y ＜2，则a 的取值范围为 ．2.已知⎩⎨⎧+=+=+12242k y x k y x 且的取值范围为则k y x ,01-〈-〈 ．例4. 已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为x＜，则a的取值范围是．变式练习1．不等式（x﹣m）＞3﹣m的解集为x＞1，则m的值为．2．若关于x的不等式3m﹣2x＜5的解集是x＞3，则实数m的值为．3．若不等式ax+b＜0的解集是x＞﹣1，则a，b应满足的条件有．综合练习1．关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，则m的值为（）A．14B．7C．﹣2D．22．不等式组的解集是x＞﹣1，则a的取值范围是．3．若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是．4．若不等式组的解集为3≤x≤4，则不等式ax+b＜0的解集为．5．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是．6.不等式组的解是0＜x＜2，那么a+b的值等于．7．已知关于x的不等式组只有3个整数解，则实数a的取值范围是．8．已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是．。
人教版初中数学中考复习 一轮复习 —一元一次不等式(组)解法及含字母(参数)问题
8
4
．
解：（2）去分母，得：8﹣（7x﹣1）＞2（3x﹣2），
去括号，得：8﹣7x+1＞6x﹣4，
移项，得：﹣7x﹣6x＞﹣4﹣1﹣8，
合并同类项，得：﹣13x＞﹣13，
系数化1，得：x＜1．
考点二：解不等式（组）并在数轴上表示解（集）
5．（2021•武汉）解不等式组
2x x 1 ① 4x 10 x 1 ②
考点一：不等式的性质
C 1．（2021•常德）若a＞b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a﹣5＞b﹣5
B．﹣5a＜﹣5b
C． a b
cc
D．a+c＞b+c
考点一：不等式的性质
2．（2021•临沂）已知a＞b，下列结论：①a2＞ab；②a2＞b2；③若b＜0，
A 则a+b＜2b；④若b＞0，则 1 1 ，其中正确的个数是（ ） ab
性质3：不等式两边同时乘或除同一个负数，不等号的。方向改变
知识点梳理：
二、一元一次不等式(组)及其解法
一元一次不等 含有一个未知数,未知数的次数是
1
式定义
的不等式
解一元一次不 等式的步骤
去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1
一元一次 一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,
不等式组 就组成一个一元一次不等式组
3．（2021•南京）解不等式1+2（x﹣1）≤3，并在数轴上表示解集． 解： 1+2（x﹣1）≤3， 去括号，得1+2x﹣2≤3． 移项、合并同类项，得2x≤4． 化系数为1，得x≤2．
表示在数轴上为：
考点二：解不等式（组）并在数轴上表示解（集）
Hale Waihona Puke 4．（2021•泰安）（2）解不等式： 1- 7x 1 3x 2
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第15讲 一元一次不等式组培优专题
一、含参不等式（组）有关的问题
1. 探讨不等式组的解集（写出,a b 满足的关系式）
（1）关于x 的不等式组x a x b >⎧⎨<⎩
有解，则a b < （2）关于x 的不等式组x a x b
>⎧⎨<⎩无解，则
（3）关于x 的不等式组x a x b ≥⎧⎨<⎩
有解，则 （4）关于x 的不等式组x a x b
≥⎧⎨<⎩无解，则
（5）关于x 的不等式组x a x b ≥⎧⎨≤⎩
有解，则 （6）关于x 的不等式组x a x b
≥⎧⎨≤⎩无解，则
变式：（1）若不等式组⎩
⎨⎧>≤11x m x 无解，则m 的取值范围是
（2）若不等式组121
x m x m <+⎧⎨>-⎩无解，则m 的取值范围是
(3)若不等式组⎩⎨⎧>≤<k
x x ,21有解，则k 的取值范围是
(4)如果关于x 的不等式组x a x b >⎧⎨<⎩无解，则关于y 的不等式组11y a y b +>⎧⎨+<⎩
的解如何？
2. (1)若不等式组的解集为，那么的值等于_______
⎩
⎨⎧>-<-3212b x a x 11<<-x )3)(3(+-b a
(2)如果关于x 的不等式组7060
x m x n -≥⎧⎨-<⎩的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数对
(),m n 共有 对.
（3）已知关于x 的不等式x －2a ＜3的最大整数解是-5，求a 的取值范围
3.已知不等式
13a x ->的每一个解都是21122
x -<的解，求a 的取值范围
变式：如果关于x的不等式组
22
4
x a
x a
>-
⎧
⎨
<-
⎩
有解，并且所有解都是不等式组－6＜x≤5的解，求a
的取值范围．
4. 若关于x的不等式组
21
1
3
x
x
x k
-
⎧
>-
⎪
⎨
⎪-<
⎩
的解集为2
x<，求k的取值范围
5.不等式组
12
35
a x a
x
-<<+
⎧
⎨
<<
⎩
的解集是3x
<<2
a+，求a的取值范围
6.已知不等式组111x x x k >-⎧⎪<⎨⎪<-⎩
（1）当2k =-时，不等式组的解集是__ ___，当3k =时，不等式组的解集是___ __；
（2）由（1）可知，不等式组的解集是随数k 的值的变化而变化．当k 为任意有理数时，写出不等式组的解集．
二、不等式（组）与方程（组）
7.已知关于x 的方程23x k kx -=-无负数解，求k 的取值范围.
变式：已知关于x 的方程
20142014
a x x -=只有负数解，求a 的取值范围
8.已知非负实数x ,y ,z 满足123234x y z ---==，记345W x y z =++，求W 的最大值与最小值.
三.绝对值不等式
（1）若x a <(0)a >，则a x a -<< 不等式2x <的解集为
（2）若x a >(0)a >，则x a >或x a <- 不等式>5x 的解集为。