一元二次方程解法：公式法

一元二次方程解法公式法（1）

授课教师：

课时安排 1课时

教学内容及教法分析

公式法是解一元二次方程的通法，是配方法的延续，即它实际上是配方法的一般化和程序化．利用它可以更为简捷地解一元二次方程．

本节课的重、难点是利用求根公式来解一元二次方程．

公式法的意义在于：对于任意的一元二次方程，只要将方程化为一般形式，然后确定a、b、c的值，在b2-4ac≥0的前提条件下，将a、b、c的值代入求根公式即可求出解．

因为掌握求根公式的关键是掌握公式的推导过程，而掌握推导过程的关键又是掌握配方法，所以在教学中，首先引导学生自主探索一元二次方程的求根公式，然后在师生共同的讨论中，得到求根公式，并利用公式解一些简单的数字系数的一元二次方程．

教学目标

(一)教学知识点

1．一元二次方程的求根公式的推导

2．会用求根公式解一元二次方程

(二)能力训练要求

1．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力．

2．会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程．

(三)情感与价值观要求

1．通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯．

教学重点

一元二次方程的求根公式．

教学难点

求根公式的条件：b2-4ac≥0

教学方法

讲练相结合

教具准备多媒体课件

教学过程

Ⅰ．巧设现实情景，引入课题

[师]前面我们学习了利用配方法解一元二次方程．下面来做一练习以巩固其解法．(出示投影片)

1．用配方法解方程2x

2-9x+8=0 [生]解：，2x 2-9x+8=0

两边都除以2，得

移项，得；． 配方，得．

两边分别开平方，得

[师]同学们做得很好，从以上解题过程中，我们发现：利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的．因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)，得到根的一般表达式，那么再

解一元二次方程时，就会方便简捷得多．

这节课我们就来探讨一元二次方程的求根公式．

Ⅱ．讲授新课

[师]刚才我们已经利用配方法求解了一个一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步骤解方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)呢?

大家可参照解方程2x 2-9x+8=0的步骤进行．

[生甲]因为方程的二次项系数不为1，所以首先应把方程的二次项系数变为1，即方程两边都除以二次项系数a ，得

x 2+ 错误！未找到引用源。

=0．

[生乙]因为这里的二次项系数不为0，所以，方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的两边都除以a 时，需要说明a ≠0．

[师]对，以前我们解的方程都是数字系数，显然就可以看到：二次项系数不为0，所以无需特殊说明，而方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的两边都除以a 时，必须说明a ≠0．

好，接下来该如何呢?

29 4.2x x -=-222999 4.244x x ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

2917.416

x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭917.44x -

=±917.44x ∴=±12917917;.44

x x +-∴==

[生丙]移项，得x 2+错误！未找到引用源。

配方，得x 2+错误！未找到引用源。

,

(x+错误！未找到引用源。

.

[师]这时，可以直接开平方求解吗?

[生丁]不，还需要讨论．

因为a ≠0，所以4a 2>0．当b 2-4ac ≥0时，就可以开平方．

[师]对，在进行开方运算时，被开方数必须是非负数，即要求

错误！未找到引用源。

≥0．因为4a 2>0恒成立，所以只需b 2-4ac 是非负数即可．

因此，方程(x+错误！未找到引用源。)2＝错误！未找到引用源。的两边同时开方，得x+

错误！未

找到引用源。=±错误！未找到引用源。

.

大家来想一想，讨论讨论：

±错误！未找到引用源。=±错误！未找到引用源。

吗?

……

[师]当b 2-4ac ≥0时，

x+错误！未找到引用源。=±错误！未找到引用源。=±错误！未找到引用源。

因为式子前面有双重符号“±”，所以无论a>0还是a<0，都不影响最终的结果： ±

错误！未找到引用源。

所以x+错误！未找到引用源。=±错误！未找到引用源。

,

x=-错误！未找到引用源。±错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)，当b 2-4ac ≥0时，它的根是

x=错误！未找到引用源。

[师]由此我们可以看到：一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、c 确定的．因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，然后在b 2-4ac ≥0的前提条件下，把各项系数a 、b 、c 的值代入，就可以求得方程的根．用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。

注：(1)在运用求根公式求解时，应先计算b 2-4ac 的值；当b 2-4ac>0时，可以用公式求出两个不

相等的实数解；当b 2-4ac=0时，可以求出方程有两个相等的实数根，当b 2-4ac ＜0时，方程没有实数解．就不必再代入公式计算了．

(2)把方程化为一般形式后，在确定a 、b 、c 时，需注意符号．

接下来，我们来看一例题．(出示投影片)

[例题]解方程2x 2-9x+8=0

分析：要求方程2x 2-9x+8=0的解，需先确定a 、b 、c 的值．注意a 、b 、c 带有符号．

解：这里a ＝2，b ＝-9，c ＝8．

∵b 2-4ac=(-9)2-4×2×8

＝17＞0，

即

[师]好，我们来共同总结一下用公式法解一元二次方程的一般步骤．

[师生共析]其一般步骤是：

(1)把方程化为一般形式，进而确定a 、b ，c 的值．(注意符号)

(2)求出b 2-4ac 的值．(先判别方程是否有根)

(3)在b 2-4ac ≥0的前提下，把a 、b 、c 的直代入求根公式，求出错误！未找到引用源。

的值，最

后写出方程的根．

[师]接下来我们通过练习来巩固用公式法求解一元二次方程的方法．

Ⅲ．课堂练习

1．用公式法解下列方程：

(1) x 2-7x+18＝0；

解：这里a ＝1，b ＝-7，c ＝-18．

∵b 2-4ac=(-7)2-4×1×(-18)

＝121＞0，

()24291722917.4

b b a

c x a -±-∴=--±=⨯±=12917917;.44x x +-∴==