1.4 相速度和群速度
群速度和相速度公式
群速度和相速度公式好的，以下是为您生成的文章：咱来聊聊群速度和相速度公式，这俩概念在物理学里可有着重要的地位。
先说说啥是群速度。
想象一下你在海边看波浪，那些一波一波往前涌的整体移动速度，就可以近似理解为群速度。
它反映的是能量或者信息的传播速度。
相速度呢，就好比波浪里某个特定的点，比如浪尖，移动的速度。
咱拿光来举个例子。
光在真空中传播的时候，群速度和相速度是一样的。
但在一些特殊的介质里，情况可就不一样啦。
我记得有一次给学生们上课，讲到这个知识点的时候，有个调皮的小家伙举手问我：“老师，这群速度和相速度到底有啥用啊，能让我打游戏更厉害吗？”全班同学都哄堂大笑。
我笑着回答他：“这可不能直接帮你打游戏更厉害，但能让你更明白世界的奇妙呀。
”群速度和相速度的公式呢，其实也不是那么可怕。
群速度的公式可以简单表示为：$v_g = \frac{d\omega}{dk}$ ，这里的$\omega$ 是角频率，$k$ 是波数。
相速度的公式是 $v_p = \frac{\omega}{k}$ 。
在实际应用中，比如在通信领域，对群速度和相速度的理解就特别重要。
要是搞不清楚，那信号传输可能就会出大问题。
再比如说在研究等离子体物理的时候，这两个速度的概念能帮助科学家们更好地理解等离子体中的波动现象。
对于咱们普通人来说，理解群速度和相速度虽然不会马上带来什么实际的好处，但能让我们对世界的运行规律多一份了解。
就像我们在生活中，有时候看似复杂的事情，其实只要找到了关键的规律，也就不那么难理解了。
学习群速度和相速度公式的过程，可能会有点头疼，但只要坚持，一点点去琢磨，总会搞明白的。
就像爬山一样，一开始觉得累，等爬到山顶，看到那美丽的风景，就会觉得一切都值得啦！总之，群速度和相速度公式虽然有点抽象，但它们是打开物理学神秘大门的钥匙之一，值得我们去探索和理解。
信号速度,相速度及群速度的区别(论稿)
信号速度，相速度及群速度的区别胡良深圳市宏源清实业有限公司摘要：光子具有波粒二象性，粒子具有波粒二象性，任何孤立量子体系都具有波粒二象性关键词：信号速度，相速度，群速度作者：总工，高工，硕士，副董事长1信号速度的内涵光子具有波粒二象性，粒子具有波粒二象性，任何孤立量子体系都具有波粒二象性；对于光子，粒子及孤立量子体系来说，其内禀的速度可表达为：p E p E k f V n ∂∂=∂∂=∂∂=)/()/( ，其中，n V ，孤立量子体系内禀的一维空间速度，或粒子内禀的一维空间速度或光子内禀的一维空间速度（光速），量纲是，[L^(1)T^(-1)]；E ，能量，量纲是，[L^(3)T^(-1)]*[L^(2)T^(-2)]；p ，动量，量纲是，[L^(3)T^(-1)]*[L^(1)T^(-1)]；，约化普朗克常数（或，固有的普朗克常数），量纲是，[L^(3)T^(0)]*[L^(2)T^(-2)]；f ，频率，量纲是，[L^(0)T^(-1)]；k ，波数，量纲是，[L^(-1)T^(0)]。
值得一提的是，最大的信号速度是真空中的光速，这意味着超光速通信是不可能实现的。
2群速度的内涵信号速度，相速度及群速度的内涵是有所不同的；但是，在绝对的真空中，则，信号速度，相速度及群速度是不可能区分的。
群速度（与选择的参考系相关），即，波的群速度，是指波振幅外形上的变化（波包）在空间中所传递的速度。
群速度可表达为：k f V g ∂∂= ，其中，g V ，群速度，量纲是，[L^(1)T^(-1)]；f ，波的角频率，量纲是，[L^(0)T^(-1)]；k ，波数（波矢），量纲是，[L^(-1)T^(0)]。
第一，如果波的角频率（f ）正比于波数（k ），即，k V f * =；则群速度等于相速度，波形在传播过程中不会被扭曲。
第二，如果波的角频率（f ）与波数（k ）体现为线性关系；此时，群速度及相速度不同；波包以群速度传播，而波包里的波峰及波谷以相速度传播。
相速度和群速度
相速度和群速度
在现代物理学中，相速度和群速度是常见的概念。
它们都是由抽象概念所构建出来的，二者之间又存在着某种关联。
下面就来探讨一下相速度和群速度之间的关系。
首先，相速度是指一个特定物质（例如光或电磁波）在某一物理介质中传播时的速度。
这一速度完全取决于传播介质的特性，例如厚度、密度或熵等，在不同的介质中面对的相速度也不尽相同。
其次，群速度指的是一组基本粒子，比如电子或原子，在特定的物理环境中移动时的绝对速度。
由于基本粒子可以在不同的介质中传播，所以其群速度也会因介质而有所不同。
相速度和群速度之间的关系可以概括为：群速度受到相速度的约束，也就是说群速度不能超过相速度的最大速度限制。
这表明，群速度和相速度的最大值存在一定的关联，相速度越大，群速度就越大。
这是因为群速度是基于相速度的，并且会受到相速度的限制，而物理介质特性也会影响群速度的最大值以及物理介质中物体的移动方式。
由此可见，相速度和群速度之间有一定的联系，它们都成为现代物理学中不可分割的概念。
通过循环反馈机制，传播介质和物体的特性可以共同影响相速度与群速度的值，这也是它们的实际应用。
比如在电磁波传播中，物体的大小以及如何介入传输环境决定了相速度的取值；再比如激光传输，由于它具有极大的进度传播能力，有助于群速度取得更高的值。
同样，这些概念也可用来解释宇宙早期的物理现象，如宇宙加速扩展等。
从上面可以看出，相速度与群速度二者之间有着某种关联，不仅可以用来描述宇宙大爆炸中空间的变化，还能帮助我们理解一些比较复杂的物理现象。
因此，对这些概念的理解和研究对于物理学的发展具有重要的意义。
相速度和群速度
(r)
(70)
ds =
d t r0
该 (r) 就是等相位面的传播速度，简称为相速度。
2020/8/20
r0r0 cos
由于等相位面的梯度平
行于 r0，因此 ＝0。则
r0 /
2020/8/20
1. 单色光波的速度 对于波矢量为 k 的平面单色光波，其空间相位项为
因此
(r)=kr0
k
(k1
k 2 )=
1 2
k
=
1 2
( 1
2)
k
=
1 2
(k1
k2)
2. 复色波的速度 该式表明：这个二色波是如图所示的、频率为 、 振幅随时间和空间在 0 到 2E0 之间缓慢变化的光波。 这种复色波可以叫做波群或振幅调制波。
x
振动的合成.exe
2020/8/20
2. 复色波的速度 对于上述复色波，其传播速度包含两种含义：
g
d
dk
(75)
由波数 k＝ / ，g 可表示为
g
dz dt
=m
km
=
k
gd(d kk)
+kd
dk
(76)
2020/8/202)复色波 Nhomakorabea群速度由 k=2 / ，有dk＝－(2 / 2)d ，可将上式变为
g=dd
(77)
2020/8/20
gd(d kk)
+kd
dk
k=2 /
dk＝－(2 / 2)d
式中， ( r 是) 随距离变化的相位项，相应于 t(r)=常数
的空间曲面为该单色光波的等相位面，满足该式的 r 是这个相位状态在不同时刻的位置。
相速度和群速度 (Phase velocity and group velocity )
2. 复色波的速度 该式表明：这个二色波是如图所示的、频率为 、 振幅随时间和空间在 0 到 2E0 之间缓慢变化的光波。 这种复色波可以叫做波群或振幅调制波。 x
振动的合成.exe
2. 复色波的速度
对于上述复色波，其传播速度包含两种含义： 等相位面的传播速度，称为相速度； 等振幅面的传播速度，称为群速度。 形象一点说，你拿电钻在一个很坚固的墙上钻洞， 你会觉得电钻的钻头的螺纹在旋转时似乎以高速前 进，但这只是你的错觉，因为你看到的是螺纹的 “相速度”，虽然很快，但是你的电钻却很慢很慢 地向墙内推进，也就是说电钻的总的向前推进的速 度就是“群速度”。
n
折射率随着波长 增加(或光频率的 减少)而减小的色 散叫正常色散。
由 k=2 / ，有dk＝－(2 / 2)d ，可将上式变为
d g = d (77)
d(k ) d g +k dk dk
k=2 / dk＝－(2 / 2)d
(76)
2)复色波的群速度
由＝c／n，有d ＝－ (c／n2)dn，上式还可表示为
dz m g = = dt km k
EE （z, t )cos （t kz）
E （z,t )=2E0 cos （mt km z）
(73)
m t km z =常数
dz m k m 0 dt dz m dt km
1 1 m = (1 2 )= 2 2 1 1 km = (k1 k2 )= k 2 2 dz m
2. 复色波的速度
2，则 若 E01 E02 E0 且 1 2 1、
EE （z, t )cos （t kz） (73)
式中
E （z ,t )=2E0 cos （m t km z） 1 1 m = (1 2 )= 2 2 1 1 km = (k1 k2 )= k 2 2 1 = (1 2 ) 2 1 k = (k1 k2 ) 2
《相速度和群速度》课件
它并不等于波的能量 或信息传播的速度， 这是群速度的概念。
相速度的物理意义
相速度决定了波在介质中的传 播速度，即波峰和波谷的运动 速度。
它决定了波的相位变化和干涉 、衍射等物理现象的发生。
在某些情况下，相速度可以接 近无穷大，例如在无损介质中 传播的波。
相速度的计算方法
根据波动方程和介质的物理性质，可以求解波的相速度。
影响因素不同
相速度只与介质性质有关，而群速度不仅与介质性质有关，还与频 率有关。
在某些介质中的行为不同
在色散介质中，相速度可以超过光速，而群速度不能超过光速。
相速度与群速度的联系
在某些情况下，两者可能相等
01
在无色散介质中，波的相速度和群速度是相等的。
两者都是描述波动现象的重要参数
02
相速度和群速度分别从不同的角度描述了波动现象，对于理解
展望
未来研究方向
随着科技的发展，相速度和群速 度的研究将更加深入，未来可以 进一步探索其在不同领域的应用
，如量子力学、生物医学等。
技术发展与挑战
随着通信、信号处理等技术的快速 发展，对相速度和群速度的研究将 面临更多挑战，需要不断探索新的 理论和方法。
跨学科合作与交流
相速度和群速度的研究涉及到多个 学科领域，未来需要加强跨学科的 合作与交流，促进相关领域的发展 。
波动现象的本质和传播规律具有重要意义。
两者都是波动方程的解
03
无论是相速度还是群速度，都是波动方程的解，用于描述波动
在介质中的传播行为。
PART 04
相速度和群速度的应用
REPORTING
通信领域的应用
相速度的应用
在通信领域中，相速度控制着信号的相位信息传递。通过调 整相速度，可以实现对信号的相位调制，如调相（PM）和调 频（FM）等，从而实现更高效、更可靠的数据传输。
相速度和群速度的定义
相速度和群速度：你真正了解它们吗？
我们都知道物体在空间中移动是有速度的，而我们可以将速
度分为许多种。
其中，最常见的包括如下三种：
1. 位移速度：物体在空间中移动的距离与时间的比值。
2. 平均速度：物体在一个时间段内移动的总距离与总时间的
比值。
3. 瞬时速度：物体某个时间点的移动速度。
其中，位移速度和平均速度都是我们平常接触比较多的速度。
但是，当涉及到波动传播时，我们就需要了解另外两种速度：相速度
和群速度。
相速度：
相速度是指相对参考点的波峰或者波谷的传播速度。
简单来说，就是波的“前沿”传播速度，它的大小只和波的频率和介质的性
质有关。
相速度通常又称作局部速度，因为它反映了波在局部的传播
特性。
群速度：
群速度是指相对参考点的波包的传播速度。
波包是由许多不
同频率的小波组成的，而群速度表示的是这些小波传播形成的波包的
移动速度。
换句话说，群速度是指波包整体传播的速度，它的大小和波包形状、波长、频率都有关系。
相速度和群速度有区别，也有联系。
相速度与频率和介质的性质有关，群速度与波包的构成和形状有关，但是在某些情况下，群速度和相速度是相等的。
当波包的形状对称、波长分布较为连续时，群速度与相速度就变得相等。
在实际应用中，我们需要根据具体的情况来选择使用相速度还是群速度。
在需要研究波的局部特性时，我们可以使用相速度；而当我们需要研究波包整体的移动时，我们需要使用群速度。
同时，群速度还有着广泛的应用，如电磁波通讯等。
相速度和群速度的关系公式
相速度和群速度的关系公式
有关相速度和群速度之间的关系，科学家和物理学家对此讨论颇深，通过不断实验分析发现，它们之间有一定规律性可循。
科学家指出，相速度和群速度之间的关系可用下式表示：V=V1+V2+V3+…+Vn，其中V为群速度，V1~Vn为相速度。
即所谓的群速度就是由几个或几十个相速度构成，受到每个相速度的分量力的共同作用，形成的总体运动方向上的总速度。
因此，当每个相速度方向一致时，群速度相应提高；而各相速度方向相反时，群速度就会降低。
换句话说，相速度和群速度之间的关系就是算法型的，它们之间的关系由相互关联的定律来描述。
只有当知道每个相速度多少以及它们的方向，才能计算出群速度具体的数值。
并且，凡是处在同一个群体内的任何个体，其群体的群速度，都受到这些个体的总合影响而形成。
因此，我们可以得出结论，相速度和群速度之间的关系就是
V=V1+V2+V3+…+Vn，群速度受到个体相速度的共同影响而形成。
相速度与群速度
相速度与群速度群速度和相速度是导波理论中的重要概念，也是导波的主要参数。
群速度（c g ）是指脉冲波的包络上具有某种特性(如幅值最大)的点的传播速度，它是波群的能量传播速度。
通俗的说，群速度是关于一族频率相近的波的传播速度。
而相速度（c p ）是波上相位固定的一点传播方向的传播速度。
值得注意的是，导波以其群速度向前传播。
Lord Rayleigh 曾说过：“群速度的概念常用下面这个例子说明，即当一族波列到达一个静止水面时，波群的速度比它所包含的每一个子波的速度都要小；这些子波仿佛通过波群前进，当达到其内部极限时而消失。
”群速度和相速度的意义可以通过波的叠加引出。
谐波是最简单的波，一个谐波的振动方程可以表示成式（2.1）的形式。
()t kx Acos u ω-=（2.1）式中： u----质点振动的位移A----振幅k----波数，k=2π/λ，λ为波长 ω---振动的角频率 x----波传播的位置矢量 t----时间变量最简单的分析法是考虑两个振幅相同，频率ω1和ω2略有差异的谐波的传播问题，有)()t x k Acos t x k Acos u 2211ωω-+-=（2.2）式中，k 1=ω1/c 1；k 2=ω2/c 2。
通过三角变换和如下代换 △ω=ω2-ω1 △k=k 2-k 1 ωA V =1/2(ω2+ω1) k A V =1/2(k 2+k 1) c A V =ωA V /k A V则()t x k cos t21kx 212Acos uAV AV ωω-⎪⎭⎫⎝⎛∆-∆=注意到低频项有一传播速度，群速度定义为 C g =△ω/△k 取极限为C g =d ω/dk 。
高频项同样有一传播速度，相速度定义为 C p =ω/k频率相近的一族波的叠加导致了图 2.2中的典型结果。
不同的谐波以不同的相速度C p 传播，但叠加起来之后的波群以群速度C g 传播。
超声导波总是以群速度传播的，但由于实际应用中往往只能得到导波的相速度，群速度C g 可以由相速度C p ，利用公式dkd c g ω=得到，将k=ω/c p 代入上式，得图2-2 群速度、相速度示意图)fd (d dc)fd (c c d dcc c c dc cd d c d d c p2p 2ppp 2p2ppppg -=-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ωωωωωωω因此)fd (d dc)fd (c c c p2p 2pg -=(2.3)此时就可以通过式 2.3得到导波的群速度[51]。
相速度与群速度
相速度与群速度奥地利物理学家哈斯认为，光速是粒子机械运动速度的极限，但是机械波的传播速度可以超过光速，其描述公式为vu=c,式中c为光速，v为机械速度，u为与机械速度相伴产生的波动速度.在量子力学中，由于进入原子因的波包前端早已触发了原子的跃迁，群速度超过光速就不足为奇了.1932年,贝尔实验室发现“光子在穿越势垒时不需要任何时间”.1991年，意大利国家电磁波研究院做了一个实验，他们使一束微波通过波导管.随着波导管的加长，他们发现有一部分微波以超光速穿过了波导管..奥地利维也纳技工大学也做了类似实验，他们用高频大功率激光脉冲实现高精度时间解析后发现，不管势垒有多厚，光子穿越其间的时间都是固定的.美国加州大学赵雷蒙等人利用一种新发明的、极其巧妙的干涉仪，准确地测量出光在一种势垒中的速度是真空光速的1.7倍.因为波粒二象性不仅有光子，而且任何微粒子都有波粒二象性，任何微粒子2它们都有质量m，光子的电磁质量上式(1.1)中h为普朗克常数，f为光子的频率，c为光速.实验表明上式(1.1)也适用于任何一个微观粒子，由式(1.1)可推出任何一个微观粒子表现的波特性的频率为实验还表明，任何微观粒子都能显示出波浪的波浪特征长为在上面的公式（1.3）中，P是粒子的动量，V是粒子的速度，所以这个波（de布罗意波）的波速为二，因为粒子的运动态速度V小于或等于光速C，所以C/V≥ C、也就是说，粒子的德布罗意波的波速实际上可以超过光速，这就是微观粒子的德布罗意波的群速度时频,（v为粒子运动速度，c光速.）德布罗意波的空间角频率1德布罗意波的波速可以从方程（2.1）和（2.2）中得到.因为从(2.1)与(2.2)式知ω与k都现在我们来分析德布罗意波的波速的动态变化，求出公式（2.1）和公式（2.2）的导数,然后，根据等式（2.4）和（2.5），时间角频率ω，相对于空间角频率K的瞬时变化率应为.德布罗意发现德布罗意波是一个巨大的贡献。
关于相速度,群速度,信号速度
关于相速度、群速度、信号速度作者：自出洞来读了"对《这是编译还是胡编？--评新浪科技的一则新闻》的说明"一文后，觉得有些内容，特别是文中故儒的附文"误解可能来自一些量子力学课本"的描述，给广大读者造成了混乱。
在此觉得有必要澄清一下概念。
首先声明本人是著名（或曾经很著名）重点大学物理系毕业，如所言有错，欢迎广大新语丝网友批评指正。
关于到底是相速度还是群速度可以超过真空中的光速（以下简称c），正确答案是复杂的，这里涉及到反常色散（和介质的吸收带有关）的问题。
所谓相速度，指的是单一频率的波的传播速度，在正常色散的情况下它不可能超过c。
但是实际存在的波不是单频的，媒质对这个（或这些）波必然是色散的，那么，传播中的波由于各不同频率的成分运动快慢不一致，会出现扩散，但假若（注意这个假设）这个波是由一群频率差别不大的简谐波组成，这时在相当长的传播途程中总的波仍将维持为一个整体，以一个固定的速度运行。
这个特殊的波群称为"波包"，这个速度称为群速度。
与相速度不同，群速度的值比波包的中心相速度要小，并且二者的差值同中心相速度随波长而变化的平均率成正比。
群速度是波包的能量传播速度，也是波包所表达信号的传播速度（这是在上述假设的基础上）。
这也是Bohm的《量子理论》中写的（见故儒的附文）：In general, the phase velocity has little physical significance; for example, the speed of transmission of a signal through a dielectric is given by the group velocity, as is also the speed of transport of energy.Bohm写得没错，在一般情况下确实如此，他并没有混淆群速度与信号传送速度。
群速度 相速度计算公式
群速度相速度计算公式
群速度是指一个物体表面上相对于另一个物体表面的速度，是物体表面之间的运动量，因此在物理学中是一个重要概念。
而物体表面上的运动，它会反映出两个物体间相互受力作用的结果，因此群速度也可以被用来表示物体之间的相对运动量。
群速度可以表示为：
v = |v2 - v1|，其中v2表示第二个物体的速度，v1表示第一个物体的速度。
这里的“|”符号表示取绝对值，因此如果v2大于
v1，则群速度就是v2减去v1的绝对值。
而相速度计算公式，就是用来计算群速度的一种方式，它用矢量表达法来表示：
v = |v2 - v1| =((v2x - v1x)^2 + (v2y - v1y)^2) 其中，v2x和v2y分别表示第二个物体在x和y方向上的速度；v1x和v1y分别表示第一个物体在x和y方向上的速度。
这里的“^”是指幂运算，根号中的计算结果表示在x方向和y方向上，两个物体的速度差，而最后的根号则表示求出二者之间的绝对值，从而得出群速度的结果。
另外，在实际的群速度计算中，如果不是正交坐标系，而是曲线坐标系，则需要根据该曲线坐标系的计算公式来计算群速度。
一般而言，群速度可以用来衡量两个物体之间的相对运动，其实现在它也被广泛应用于人类日常生活中。
比如在测量船只运行时的速度时，可以使用群速度计算公式来测量船只的速度；又比如在研究空
气动力学时，可以根据空气中物体的速度，来测量出它们之间的群速度和相速度。
因此可以看出，群速度及相速度计算公式在实际生活中是很实用的，可以被应用在很多方面。
同时，它们也被广泛应用在物理学中，帮助我们研究物体之间的相对运动量，从而有助于我们更好地理解物理现象。
相速度与群速度
相速度与群速度群速度和相速度是导波理论中的重要概念，也是导波的主要参数。
群速度（c g ）是指脉冲波的包络上具有某种特性(如幅值最大)的点的传播速度，它是波群的能量传播速度。
通俗的说，群速度是关于一族频率相近的波的传播速度。
而相速度（c p ）是波上相位固定的一点传播方向的传播速度。
值得注意的是，导波以其群速度向前传播。
Lord Rayleigh 曾说过：“群速度的概念常用下面这个例子说明，即当一族波列到达一个静止水面时，波群的速度比它所包含的每一个子波的速度都要小；这些子波仿佛通过波群前进，当达到其内部极限时而消失。
”群速度和相速度的意义可以通过波的叠加引出。
谐波是最简单的波，一个谐波的振动方程可以表示成式（2.1）的形式。
()t kx Acos u ω-= （2.1）式中： u----质点振动的位移A----振幅k----波数，k=2π/λ，λ为波长ω---振动的角频率x----波传播的位置矢量t----时间变量最简单的分析法是考虑两个振幅相同，频率ω1和ω2略有差异的谐波的传播问题，有()()t x k Acos t x k Acos u 2211ωω-+-= （2.2）式中，k 1=ω1/c 1；k 2=ω2/c 2。
通过三角变换和如下代换△ω=ω2-ω1△k=k 2-k 1ωA V =1/2(ω2+ω1)k A V =1/2(k 2+k 1)c A V =ωA V /k A V则()t x k cos t21kx 212Acos uAV AV ωω-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆=注意到低频项有一传播速度，群速度定义为C g =△ω/△k 取极限为C g =d ω/dk 。
高频项同样有一传播速度，相速度定义为C p =ω/k频率相近的一族波的叠加导致了图2.2中的典型结果。
不同的谐波以不同的相速度C p 传播，但叠加起来之后的波群以群速度C g 传播。
超声导波总是以群速度传播的，但由于实际应用中往往只能得到导波的相速度，群速度C g 可以由相速度C p ，利用公式dkd c g ω= 得到，将k=ω/c p 代入上式，得图2-2 群速度、相速度示意图)fd (d dc )fd (c c d dc c c c dc c d d c d d c p 2p 2p p p 2p 2p p p pg -=-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ωωωωωωω因此 )fd (d dc )fd (c c c p2p 2pg -= (2.3)此时就可以通过式2.3得到导波的群速度[51]。
相速度和群速度
相速度和群速度提起速度，乍一想起来似乎多么简单，实际上，它却涉及到一个非常复杂的物理概念，即相速度和群速度。
相速度和群速度是指一群物体的速度，在物理学中，这是一种不可忽视的概念，有助于我们理解多个物体之间的运动。
首先，什么是相速度？相速度是指两个物体之间的速度差。
例如，一辆摩托车的速度是30公里/小时，另一辆摩托车的速度是25公里/小时，那么两辆摩托车之间的相速度就是5公里/小时。
可以看出，两个物体之间的相速度可以是零或非零，也可以是负数。
其次，什么是群速度？群速度是指一群物体的速度加权平均值。
例如，一群摩托车，每辆摩托车的速度分别是20公里/小时，25公里/小时，30公里/小时。
那么，这一群摩托车的群速度就是25公里/小时（20+25+30）/3=25公里/小时。
这里也可以看出，群速度是由多个物体之间的速度综合而得到的，它也可以是零或非零，也可以是负数。
说明了相速度和群速度之后，接下来我们来看看它们有什么区别。
从本质上讲，相速度和群速度都是物体之间的速度差，但是最大的不同在于，相速度指的是两个物体之间的速度差，而群速度则指的是一群物体之间的速度的平均值。
相速度和群速度在物理学中都有着非常重要的作用。
它们都是有帮助我们理解客观世界的重要概念，尤其是多物体之间的力学规律，有助于我们更好地预测物体之间的运动变化，进而更好地利用它们来改善物理学理论。
从另一个角度，相速度和群速度也涉及到一些技术和科学的应用，如空间导航技术，它们可以用来研究控制卫星或太空探索器的运动，这样就可以准确地判断出卫星或探索器的精确位置和状态。
总而言之，相速度和群速度是物理学中不可忽视的重要概念，是客观世界中不同物体之间运动变化的重要变量，且应用非常广泛，特别是在航空航天领域。
作为物理学家，我们应当深刻学习和掌握这两个概念，努力更好地掌握它们，以此加深我们对物理学的理解。
相速度与群速度
相速度与群速度振动状态在空间的传播速度称为波速，又称相速度。
如沿x轴正方向传播的平面简谐波，其表达式为式中（ωt-kx）称为波相，当（ωt-kx）一定时，则ξ值一定。
当t增大时，x必须增大，才能保持（ωt-kx）不变。
这意味着用（ωt-kx）描述的振动状态随着时间的推移向x的正方向传播。
相速度即波相传播的速度，等于x对t的变化率，令ωt-kx＝常量将上式两边微分，经整理可得（1）u即所求相速度。
这里ω=2πv，，代入则得此即大家熟悉的相速度的公式。
从根本上讲，相速度的大小取决于媒质的性质。
弹性波由弹性媒质的力学性质决定，电磁波由媒质的折射率决定。
实验和理论证明，相速度的大小还与波的频率有关。
光的色散现象就是波速与频率有关的明显例证。
通常把相速度与频率无关的媒质称为无色散媒质；把相速度随频率而变的媒质称为色散媒质。
在无色散媒质中，只要用相速度描述波的传播即可，但是在色散媒质中，要描述任意一种波(如图1所示的非简谐波)的传播只有相速度就不够了，需要引入群速度的概念。
p/dλ≠0，vg≠vp），并且在正常色散区域（dvp/dλ＞0，dn/d λ＜0），群速度小于相速度（vg＜vp）；在反常色散区域（dvp/dλ＜0，dn/d λ＞0），群速度则大于相速度（vg＞vp）。
只有在无色散介质或真空中（dvp/dλ=0，dn/d λ=0），群速度才等于相速度（vg=vp）。
根据付里叶分析，任何一个复杂的波，都可以分解成许多不同频率成分的简谐波的叠加。
在色散媒质中，不同频率的简谐波传播速度不同，那么这许多简谐波合成的波是以什么速度传播呢？为了方便，以两个频率相近的等振幅简谐波的合成波的传播为例说明群速度的概念。
设合成波为（2）式（2）中或，或k2,所以变化缓慢，如图中虚线所示的包络线；而表示图中一个个小的波形。
令，，，，则式（2）可改写为在波传播过程中，一个个小的波形在向前传播的同时，整个波形即包络也在向前移动，二者移动速度可如下求得：令＝常量等式两边微分，可求得小波形移动的速度为（3）同样可求得包络移动的速度或称波群移动的速度为一般表示为：（4）U g即群速度。
群速度和相速度的关系
群速度和相速度的关系
群速度和组速度是指在特定物体群中，每个物体变化的速度。
它们之间存在密切的关系，可以相互影响。
群速度是指群中物体在空间和时间方面变化的平均速度。
它是通过群中每个物体单独运动的累积速度来计算的。
群速度可以揭示群中物体分布状况，也可以帮助理解群中物体总体运动特征。
组速度是每个物体的特定速度，它指的是物体单独运动的速度，可以进一步揭示群中物体的个体运动特征，例如方向和速度等。
群速度和组速度之间存在着相互影响的关系。
当组速度发生变化时，总体的群速度也会发生变化，因此组速度是影响群速度的一个重要因素。
当物体的组速度相似时，群的整体运动的速度也是一致的；而当各个物体的组速度不同时，群的运动特性也将有很大差异。
可以说群速度和组速度之间有着密切的关系，它们的变化都可以影响到群的运动特性，因此组速度的研究对于群论研究来说也是一个重要的部分。
电磁波群速度与相速度原理
电子信息工程学院Quency Chen 之宇文皓月创作1.相速度与群速度如果只考虑均匀介质中的小幅度的波，可利用描述介质的方程和麦克斯韦方程得到一常系数方程组，求解可得到解为：)exp(t j r k j ω-⋅ (1)的解其中k 为波矢量，r 为空间位置矢量，ω为角频率。
式(1)中的ω和k 满足：0),(=ωk F (2)的关系，这个关系只与介质的特性有关，称为色散关系。
式(1)描述的电磁波，ω表征波的时间变更，波矢量k 描述波的空间变更。
λπ2=k (3)式(3)中λ为波长，因此波矢量k=1/λ暗示单位距离有多少个波，即波的数量，然后再乘以2π暗示单位距离内波的总相位，若把空间相位变更2π相当于一个全波，则k 暗示单位距离内全波的数目，k 也被称为电磁波的相位常数，因为它暗示传播方向上波行进单位距离时相位变更的大小，注意这里相位单位为弧度制。
将(1)式变形为：)]()(exp[t t j r r jk ∆+-∆+⋅ω (4)若满足0=∆-∆t r k ω (5)，则式(4)和式(3)一样，这说明在空间距离延长Δr 的位置处，若在时间上也滞后Δt 则信号相位与r 处t 时刻的相位坚持一致。
这说明r 处的波相位在Δt 时间后传播到r+Δr 处，因此将式(5)变形可得到t rk V ∆∆==Φω(6),暗示波的相速度由角频率和波矢量共同决定。
在真空中电磁波的相速度为c 。
折射指数n 定义为：ωkc V c n =Φ= (7)，由于介质中电波相速度既可能小于真空光速，也可能大于真空光速，所以折射指数也可能大于1，也可能小于1。
如果限制ω是实数，若有一解，使得k 和n 也是实数，则代表无衰减的波传播。
若k 和n 为纯虚数，则相应的波是消散波。
波场强度随距离指数地减小。
如果将介质等效为阻抗负载，则实数负载代表介质从输入端口全部吸收能量，然后又从输出端口全部放出能量，类似传输线特性；如果负载为虚数，则代表负载从输入端口全部吸收能量后，又从输入端口全部释放出去，因此电波就不克不及传播，只能到达一定的深度后就反射出去了，类似界面反射。
相速度和群速度
1)复色波的相速度 若令（73）式的复色波相位为常数( t kz 常数 )， 则某时刻等相位面的位置 z 对时间的变化率即为等 相位的传播速度——复色波的相速度，且
dz = dt k
(74)
EE （z, t )cos （t kz）
(73)
2）复色波的群速度 由复色波表示式（73）可见，它的振幅是时间和 空间的余弦函数，在任一时刻，满足 m t km z 常数 的 z 值，代表了某等振幅面的位置，该等振幅面 位置对时间的变化率即为等振幅面的传播速度— —复色波的群速度，且
ds = d t r0
t (r )=常数 d d r 0
dr dt dr 0 dt dt d r 0
dt dr 0
dr＝ r0 ds
ds = d t r0
1. 单色光波的速度 当 r0 垂直于等相位面，即 r0 / 时，上式值 最小，其值为
dz m g = = dt km k
EE （z, t )cos （t kz）
E （z,t )=2E0 cos （mt km z）
(73)
m t km z =常数
dz m k m 0 dt dz m dt km
1 1 m = (1 2 )= 2 2 1 1 km = (k1 k2 )= k 2 2 dz m
dn g = 1+ n d (78)
d g = d
(77)
该式表明，在折射率 n 随波长变化的色散介质中， 复色波的相速度不等于群速度。
2)复色波的群速度
对于正常色散介质(dn／d＜0)，＞g； 对于反常色散介质(dn／d＞0)， <g ； 在无色散介质(dn／d ＝0)中，复色波的相速度等 于群速度，实际上，只有真空才属于这种情况。
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2)复色波的群速度
（2）波群在介质中传播时，由于介质的色散效应， 使得不同单色光波的传播速度不同。因此，随着传 播的推移，波群发生“弥散”，严重时，其形状完 全与初始不同。 （3）由于光波的能量正比于电场振幅的平方， 而群速度是波群等振幅点的传播速度，所以在群速 度有意义的情况下，它即是光波能量的传播速度。
d z m g = = dt km k
2）复色波的群速度
当Δ 很小时，可以写成
d g dk (75)
由波数 k＝ / ，g 可表示为
d(k ) d g = +k dk dk (76)
2)复色波的群速度
由 k=2 / ，有dk＝－(2 / 2)d ，可将上式变为
1. 单色光波的速度 dt dr 0
设 r0 为 dr 方向上的单位矢量，并写成 dr＝ r0 ds，则 ds = d t r0
当 r0 垂直于等相位面，即 r0 / 时，上式值 最小，其值为 (r ) (70) 该 (r) 就是等相位面的传播速度，简称为相速度。 对于波矢量为 k 的平面单色光波，其空间相位项为
d g = λ dλ (77)
由＝c／n，有d ＝－ (c／n2)dn，上式还可表示为
dn g = 1+ n d (78)
该式表明，在折射率 n 随波长变化的色散介质中， 复色波的相速度不等于群速度。
2)复色波的群速度 对于正常色散介质(dn／d＜0)，＞g；对于反常 色散介质(dn／d＞0)， <g ；在无色散介质 (dn／d ＝0)中，复色波的相速度等于群速度，实 际上，只有真空才属于这种情况。
1.4 相速度和群速度 2. 复色波的速度 如前所述，实际上的光波都不是严格的单色光波， 而是复色波，它的光电场是所包含各个单色光波电场 的叠加，即
E E0l cos(l t kl z )
l =1 N
（72）
二色波的光电场为
E E01 cos(1t k1 z ) +E02 cos(2 t k 2 z )
若 E01 E02 E0 且 1 2
1、 2 ，则
（73)
EE （z , t ) cos （ t kz）
2. 复色波的速度
式中
E （z ,t )=2E0 cos （m t km z） 1 1 m = (1 2 )= 2 2 1 1 km = (k1 k2 )= k 2 2 1 = (1 2 ) 2 1 k = (k1 k2 ) 2
2. 复色波的速度 该式表明：这个二色波是如图所示的、频率 为 、振幅随时间和空间在 0 到 2E0 之间缓慢变化 的光波。这种复色波可以叫做波群或振幅调制波。 x
1 2
(b)
2. 复色波的速度
对于上述复色波，其传播速度包含两种含义： 等相位面的传播速度和等振幅面的传播速度，前者 也称为相速度，后者称为群速度。光波速 这个物理量，下面讨论它 的具体含义。
1. 单色光波的速度 假设单色光波电场的表示式为
E E0 cos[(t (r )] （69）
( r ) 是随距离变化的相位项，相应于 式中，
t (r )=常数
的空间曲面为该单色光波的等相位面，满足该式的 r 是这个相位状态在不同时刻的位置。将上式两边 对时间求导数，得
(r )=k r 0
1. 单色光波的速度 因此
k
所以，平面单色光波的相速度为
c = k r r
(71)
应当注意，相速度是单色光波所持有的一种速 度，由于它表示的不是光波能量的传播速度，所以 当 n r r 1 时，例如在色散介质的反常色散区， 就有相速度大于真空中光速度 的情况，这并不违 背相对论的结论。
1)复色波的相速度
若令(73)式的复色波相位为常数( t kz 常数 )，则 某时刻等相位面的位置 z 对时间的变化率即为等相位 的传播速度——复色波的相速度，且
dz = dt k (74)
2. 复色波的速度
2）复色波的群速度 由复色波表示式（73）可见，它的振幅是时间和 空间的余弦函数，在任一时刻，满足m t km z 常数 的 z 值，代表了某等振幅面的位置，该等振幅面 位置对时间的变化率即为等振幅面的传播速度— —复色波的群速度，且