高中数学第五章三角函数5.2.1三角函数的概念课时作业(含解析)新人教A版必修第一册

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高中数学第五章三角函数5-2三角函数的概念5-2-1三角函数的概念课时作业新人教A版必修第一册

5.2.1 三角函数的概念必备知识基础练1．[2022·北京五中高一期末]在直角坐标系xOy 中，已知sin α＝－45，cos α＝35，那么角α的终边与单位圆⊙O 的交点坐标为( )A ．(35，－45)B ．(－45，35)C ．(－35，45)D ．(45，－35)2．已知角α的终边过点P (－2，3)，则tan α＝( ) A ．－32 B ．－23C ．－31313D ．313133．[2022·湖南衡阳高一期末]已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若点M (－3，4)是角θ终边上一点，则cos θ＝( )A ．35B ．－35C ．45D ．－45 4．sin (－1 380°)的值为( ) A ．－12B ．12C ．－32 D ．325．下列各式的值为负的是( )A ．tan 288°cos 158°B ．sin 305°cos 460°C ．cos 378°sin 1100°D ．tan 400°tan 470°6．[2022·广东茂名高一期末](多选)若sin α·cos α<0，则α终边可能在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7．[2022·山东济宁高一期末]在平面直角坐标系xOy 中，已知角θ的始边是x 轴的非负半轴，终边经过点P (－1，2)，则sin θ＝________．8．计算cos (－1 410°)＝________．关键能力综合练1．已知点P (x ，1)为角α终边上一点．若角α是第二象限角，sin α＝33，则x 的值为( )A ． 3B ．－ 3C ． 2D ．－ 22．已知α是第四象限角，P (3，y )是角α终边上的一个点，若cos α＝35，则y ＝( )A ．4B ．－4C ．±4D ．不确定3．[2022·广东佛山高一期末]已知点P (tan θ，sin θ)是第三象限的点，则θ的终边位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知角α终边经过点(－1，m )，且sin α＝－35，则tan α＝( )A.±34 B ．34 C ．－34 D ．435．[2022·湖北武汉高一期末]已知角α的终边经过点(2a ＋1，a －2)，且cos α＝－35，则实数a 的值是( )A ．－2B ．211C ．－2或211D ．－16．[2022·河北秦皇岛高一期末](多选)已知点P (m ，－2m )(m ≠0)是角α终边上一点，则( )A ．tan α＝－2B ．cos α＝55C ．sin αcos α<0D ．sin αcos α>07．[2022·江苏南京高一期末]已知角θ的终边经过点P (x ，1)(x >0)，且tan θ＝x .则sin θ的值为________．8．已知角α终边上一点P 的坐标为(sin 4，cos 4)，则α是第________象限角，cos α＝________．9．求下列各式的值： (1)cos 25π3＋tan (－15π4)；(2)sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°.10．[2022·山东德州高一期末]已知角α的终边上一点P 的坐标是(5m ，12m )，其中m ≠0，求sin α，cos α，tan α的值．核心素养升级练1．[2022·江苏常州高一期末]赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为100，小正方形的面积为20，若直角三角形较小的锐角为α，则sin αcos α的值为( )A ．15B ．25 C ．55 D ．2552．点P 从圆心在原点O 的单位圆上点(1，0)出发，沿顺时针方向运动34π弧长，到达点Q ，则点Q 的坐标是________．3．(1)已知θ是第二象限角，试判断tan (sin θ)tan (cos θ)的符号； (2)若sin (cos θ)cos (sin θ)<0，求θ的终边的位置．5．2.1 三角函数的概念必备知识基础练1．答案：A解析：因为sin α＝－45，cos α＝35，所以角α的终边与单位圆⊙O 的交点坐标为(35，－45).2．答案：A解析：因为角α的终边过点P (－2，3)，所以tan α＝3－2＝－32.3．答案：B解析：因为点M (－3，4)是角θ终边上一点，所以cos θ＝－39＋16＝－35.4．答案：D解析：由三角函数的诱导公式，可得sin (－1 380°)＝sin (－4×360°＋60°)＝sin 60°＝32. 5．答案：D解析：对于A 选项，由tan 288°<0，cos 158°<0，可知A 选项不正确；对于B 选项，由sin 305°<0，cos 460°<0，可知B 选项不正确；对于C 选项，由cos 378°>0，sin 1 100°>0，可知C 选项不正确；对于D 选项，由tan 400°>0，tan 470°<0，可知D 选项正确． 6．答案：BD解析：因为sin α·cos α<0，若sin α>0，cos α<0，则α终边在第二象限；若sin α<0，cos α>0，则α终边在第四象限． 7．答案：255解析：由题设，sin θ＝2（－1）2＋22＝255. 8．答案：32解析：由三角函数的诱导公式，可得cos (－1 410°)＝cos (－4×360°＋30°)＝cos 30°＝32. 关键能力综合练1．答案：D解析：利用三角函数的定义列方程，化简求得x 的值．因为sin α＝1x 2＋1＝33，解得x ＝2(α是第二象限角，舍去)或x ＝－ 2. 2．答案：B解析：依题意α是第四象限角，所以y <0， ⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝332＋y 2＝35y <0⇒y ＝－4. 3．答案：D解析：因为点P (tan θ，sin θ)是第三象限的点，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan θ<0sin θ<0，故θ的终边位于第四象限．4．答案：B解析：因为角α终边经过点(－1，m )，且sin α＝－35，所以m1＋m2＝－35，所以m 21＋m 2＝925，且m <0，解得m ＝－34，所以tan α＝m －1＝－m ＝34.5．答案：A解析：r ＝（2a ＋1）2＋（a －2）2＝5（a 2＋1），cos α＝2a ＋15（a 2＋1）＝－35， ∴9(a 2＋1)＝5(2a ＋1)2且2a ＋1<0，解得a ＝－2. 6．答案：AC解析：因点P (m ，－2m )(m ≠0)是角α终边上一点，则r ＝|OP |＝m 2＋（－2m ）2＝5|m |，于是得tan α＝－2mm＝－2，A 正确；cos α＝m5|m |，当m >0时，cos α＝55，当m <0时，cos α＝－55，B 不正确；又sin α＝－2m 5|m |，则sin αcos α＝－2m 5|m |·m5|m |＝－25<0，C 正确，D 不正确．7．答案：22解析：由于角θ的终边经过点P (x ，1)(x >0)，所以tan θ＝1x＝x ，得x ＝1，所以sin θ＝112＋12＝22. 8．答案：三 sin 4解析：由于π<4<3π2，所以sin 4<0，cos 4<0，故点P 在第三象限，也即α为第三象限角，由三角函数的定义有cos α＝sin 4sin 24＋cos 24＝sin4. 9．解析：(1)cos 25π3＋tan (－15π4)＝cos (8π＋π3)＋tan (－4π＋π4)＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°＝sin (2×360°＋90°)＋tan (3×360°＋45°)＋cos (360°＋60°)＝sin 90°＋tan 45°＋cos 60°＝1＋1＋12＝52.10．解析：令x ＝5m ，y ＝12m ，则r ＝x 2＋y 2＝（5m ）2＋（12m ）2＝13|m |， ①当m >0时，r ＝13msin α＝y r ＝12m 13m ＝1213，cos α＝x r ＝5m 13m ＝513，tan α＝y x ＝125；②当m <0时，r ＝－13msin α＝y r ＝－12m 13m ＝－1213，cos α＝x r ＝－5m 13m ＝－513，tan α＝y x ＝125.核心素养升级练1．答案：B解析：设直角三角形的短边为x ，一个直角三角形的面积为100－204＝20，小正方形的面积为20，则边长为2 5.大正方形的面积为100，则边长为10. 直角三角形的面积为12·x (x ＋25)＝20⇒x ＝2 5.则直角三角形的较长边为4 5. 故sin α＝2510，cos α＝4510.即sin αcos α＝25.2．答案：(－22，－22)解析：因为点P 从圆心在原点O 的单位圆上点(1，0)出发，沿顺时针方向运动34π弧长，到达点Q ，如图所示：由图象知∠AOQ ＝π4，OQ ＝1，AQ ＝OA ＝22，所以Q (－22，－22). 3．解析：(1)∵θ是第二象限角， ∴0<sin θ<1<π2，－π2<－1<cos θ<0，∴tan (sin θ)>0，tan (cos θ)<0， ∴tan (sin θ)tan (cos θ)<0.(2)∵－π2<－1≤sin θ≤1<π2，∴cos (sin θ)>0.又sin (cos θ)cos (sin θ)<0，∴sin (cos θ)<0. ∵－π2<－1≤cos θ≤1<π2，∴cos θ<0，∴θ的终边在第二、三象限或在x 轴的负半轴上．。

5.2.1三角函数的概念课件高一数学(人教A版必修第一册)

【解析】射线 = − 3 < 0 经过第二象限，
在射线上的取点 −1, 3 ，
即角的终边经过点 −1, 3 ，
则 =
−1
2
+
3
2
= 2，
利用三角函数定义可得
sin =

=
3
，cos
2
tan =

=
3
−1
3
2
所以sin =
=

=
−1
2
1
=− ，
2
= − 3；
1
, cos = − 2 , tan = − 3.

（3）在角− 的终边上取一点 , − ，即 = , = −, = ，

= − , −

（4）在角的终边上取一点

则 −
则 =

,

=−
=

,

−

= −；
−, ，即 = −, = , = ，

当 = 或

时，点的坐标是(, )和(− ， )

一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
∀ ∈ , 其终边与单位圆交点的横坐标, 纵坐标唯一确定.
新知1：三角函数的定义
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，
即 = .
π

转 3 弧度，滚珠按顺时针方向每秒钟转 6 弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠，第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；

【2019版新教材】高中数学A版必修第一册第五章全章节教案教学设计+课后练习及答案(名师推荐精编版)

【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第五章教案教学设计+课后练习及答案5.1.1《任意角和弧度制---任意角》教案教材分析：学生在初中学习了o 0～o 360，但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广.教学目标与核心素养：课程目标1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2.逻辑推理：求区域角；3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.教学重难点：重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程：一、情景导入初中对角的定义是：射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o 0～o 360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本168-170页，思考并完成以下问题1．角的概念推广后，分类的标准是什么？2．如何判断角所在的象限？3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．四、典例分析、举一反三题型一任意角和象限角的概念例1(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°，②855°，③－510°.【答案】（1）①（2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．(2) 作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．解题技巧：（任意角和象限角的表示）1．判断角的概念问题的关键与技巧．(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．2．象限角的判定方法．(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．跟踪训练一1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C【答案】D【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．题型二终边相同的角的表示及应用例2(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．【答案】（1）(－3)×360°＋195°，（2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.解题技巧：(终边相同的角的表示)1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止．2．运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．跟踪训练二1.下面与－850°12′终边相同的角是( )A ．230°12′B ．229°48′C ．129°48′D ．130°12′【答案】B【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．【答案】{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}．【解析】落在第二象限时，表示为k ·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k ·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}．题型三任意角终边位置的确定和表示例3 (1)若α是第一象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第一、三象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角(2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】(1)B (2) ①终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}．②故该区域可表示为{γ|－30°＋k ·360°≤γ≤135°＋k ·360°，k ∈Z}．【解析】(1) 因为α是第一象限角，所以k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，所以k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．所以α2是第一、三象限角．(2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示）1．表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．2．nα或所在象限的判断方法：的范围；(1)用不等式表示出角nα或αn所在象限．(2)用旋转的观点确定角nα或αn跟踪训练三1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本171页练习及175页习题5.1 1、2、7题.教学反思：本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生从旋转方向和旋转度数熟悉角的概念，象限角，终边相同的角等，并且掌握其应用.5.1.2《任意角和弧度制---弧度制》教案教材分析：前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养：课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点：重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

数学教案人教a版必修第一册同步备课第5章第2小节三角函数练习题

5.2 三角函数的概念5.2.1 三角函数的概念最新课程标准：(1)借助单位圆理解任意角的三角函数定义．(2)掌握三角函数在各象限的符号．(3)掌握诱导公式一并会应用．(4)会用三角函数线表示角的正弦、余弦和正切.知识点一任意角的三角函数的定义前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y余弦x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x正切yx叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx(x≠0)三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数.状元随笔三角函数的定义(1)三角函数是一个函数，符合函数的定义，是由角的集合(弧度数)到一个比值的集合的函数．(2)三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合．知识点二正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数定义域sin αRcos αRtan α{α∈R|α≠kπ＋π2，k∈Z}知识点三三角函数线状元随笔 (1)三角函数线的方向．正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与角α的终边或其反向延长线的交点．(2)三角函数线的正负：三条有向线段凡与x 轴或y 轴同向的，为正值，与x 轴或y 轴反向的，为负值．知识点四三角函数值在各象限的符号状元随笔对三角函数值符号的理解三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r 总是正值．根据三角函数定义知：(1)正弦值符号取决于纵坐标y 的符号； (2)余弦值的符号取决于横坐标x 的符号；(3)正切值的符号是由x ，y 符号共同决定的，即x ，y 同号为正，异号为负．知识点五诱导公式一(1)语言表示：终边相同的角的同名三角函数的值相等． (2)式子表示⎩⎪⎨⎪⎧sin (α＋k·2π)＝sin α，cos (α＋k·2π)＝cos α，tan (α＋k·2π)＝tan α，其中k∈Z.状元随笔诱导公式一(1)实质：是说终边相同的角的三角函数值相等. 即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次．(2)结构特征：左、右为同一三角函数；公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α.(3)作用：把求任意角的三角函数值转化为求0 ～2π(或0 °～360 °)角的三角函数值．体现了“大化小”“负化正”的数学思想． [教材解难]正确认识三角函数线(1)正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，凡与x 轴或y 轴同向的为正值，反向的为负值．(2)三角函数线的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角a 的三角函数线的画法，即先找到P ，M ，T 点，再画出MP ，OM ，AT.(3)三角函数线的作用三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基础． [基础自测]1．如图所示，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )A ．正弦线PM ，正切线A′T′B ．正弦线MP ，正切线A′T′C ．正弦线MP ，正切线ATD ．正弦线PM ，正切线AT解析：α为第三象限角，故正弦线为MP ，正切线为AT ，所以C 正确．答案：C2．sin 780°的值为( ) A ．－32 B.32C ．－12 D.12解析：sin 780°＝sin(2×360°＋60°)＝sin 60°＝32，故选B. 答案：B3．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，则sin α的值为( ) A ．－32 B ．－12C.32 D.12解析：根据任意角的正弦定义，可得sin α＝y ＝－12.答案：B4．若α是第三象限角，则点P(sin α，cos α)在第________象限．解析：∵α为第三象限角， ∴sin α<0，cos α<0，∴P(sin α，cos α)位于第三象限．答案：三题型一三角函数的定义及应用[教材P 178例1] 例1 求5π3的正弦、余弦和正切值．【解析】在直线坐标系中，作∠AOB＝5π3(如图)．易知∠AOB 的终边与单位圆的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.所以sin 5π3＝－32，cos 5π3＝12，【解析】角3π4的终边(如图)与单位圆的交点为P.作PM 垂直于x 轴，垂足为M ，过A(1,0)作单位圆的切线AT ，与3π4的终边的反向延长线交于点T ，则3π4的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT.先作单位圆再作角，最后作出三角函数线．方法归纳三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．(2)作正切线时，应从A(1,0)点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T ，即可得到正切线AT.跟踪训练2 作出－5π8的正弦线、余弦线和正切线．解析：如图：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π8＝MP ， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π8＝OM ， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π8＝AT. 作单位圆、作角、画出三角函数线．题型三三角函数在各象限的符号[经典例题]例3 若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A.第一象限角 B ．第二象限角应用诱导公式一时，先将角转化到0 ～2π范围内的角，再求值. 对于特殊角的三角函数值一定要熟记．课时作业 29一、选择题1．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，则tanα的值为( )A ．－43B ．－34C ．－45D ．－35解析：由正切函数的定义可得，tan α＝45－35＝－43.答案：A2．sin(－140°)cos 740°的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不确定解析：因为－140°为第三象限角，故sin(－140°)<0. 因为740°＝2×360°＋20°，所以740°为第一象限角，故cos 740°>0，所以sin(－140°)cos 740°<0.故选B. 答案：B3．若sin θcos θ<0，则角θ是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角 D ．第二或第四象限角解析：设角θ终边上一点的坐标为(x ，y)，该点到原点的距离为r(r>0)，则sin θcos θ＝y r ·xr <0，即xy<0，所以角θ终边上点的横、纵坐标异号，故角θ是第二或第四象限角．答案：D4．使sin x≤cos x 成立的x 的一个区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4 D.[]0，π解析：如图所示，画出三角函数线sin x ＝MP ，cos x ＝OM ，由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，sin π4＝cos π4，为使sin x≤cos x 成立，由图可得在[－π，π)范围内，－3π4≤x≤π4.答案：A 二、填空题5．sin(－1 380°)＝________.解析：sin(－1 380°)＝sin[60°＋(－4)×360°]＝sin 60°＝32. 答案：326．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是________．解析：∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0. ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2.答案：27．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是________．解析：如图，sin 1＝MP ，cos 1＝OM. 显然MP>OM ，即sin 1>cos 1. 答案：sin 1>cos 1 三、解答题8．已知角α的终边为射线y ＝－34x(x≥0)，求角α的正弦、余弦和正切值．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－34x ，x 2＋y 2＝1，得x 2＋916x 2＝1，即25x 2＝16，即x ＝45或x ＝－45.∵x≥0，∴x＝45，从而y ＝－35.∴角α的终边与单位圆的交点坐标为(45，－35)．∴sin α＝y ＝－35，cos α＝x ＝45，tan α＝y x ＝－34.9．判断下列各式的符号： (1)sin 105°·cos 230°；(2)cos 3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3. 解析：(1)因为105°，230°分别为第二、第三象限角，所以sin 105°>0，cos 230°<0.于是sin 105°·cos 230°<0.(2)因为π2<3<π，所以3是第二象限角，所以cos 3<0，又因为－2π3是第三象限角，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3>0，所以cos 3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3<0. [尖子生题库]10．利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合： (1)tan α＝－1；(2)sin α≤－22. 解析：(1)如图①所示，过点(1，－1)和原点作直线交单位圆于点P 和P′，则OP 和OP′就是角α的终边，所以∠xOP＝3π4＝π－π4，∠xOP′＝－π4，所以满足条件的所有角α的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝－π4＋kπ，k∈Z.5.2.2同角三角函数的基本关系最新课程标准：理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x ＝tan x.知识点同角三角函数的基本关系式状元随笔 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)关系式的逆用及变形用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. [教材解难]同角三角函数的基本关系(1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)，关系式都成立，与角的表达形式无关，如：sin 23α＋cos 23a ＝1.(2)sin 2α是(sin α)2的简写，不能写成sin α2.(3)在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如：式子tan 90°＝sin 90°cos 90°不成立．再如：sin 2α＋cos 2β＝1就不一定恒成立． [基础自测]1．若α为第二象限角，且sin α＝23，则cos α＝( )A ．－53 B.13C.53 D ．－13解析：∵α是第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－53. 答案：A2．已知tan α＝12，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin α的值是( ) A ．－55 B.55C.255 D ．－255解析：∵α∈(π，3π2)，∴sin α<0.由tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝－55. 答案：A3．化简：(1＋tan 2α)·cos 2α等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2αcos 2α·cos 2α＝cos 2α＋sin 2α＝1.答案：C4．已知tan α＝－12，则2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是________．解析：2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝2tan αtan 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－1＝43. 答案：43题型一利用同角基本关系式求值[经典例题] 例1 (1)已知sin α＝15，求cos α，tan α；(2)已知tan α＝3，求3sin 2α－cos 2α2sin 2α－6cos 2α. 【解析】 (1)因为sin α＝15>0，且sin α≠1，所以α是第一或第二象限角．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧cos x ＋sin x ＝－355，cos x －sin x ＝55，解得cos x ＝－55，sin x ＝－255，所以2sin 2x －sin xcos x ＋cos 2x ＝2×45－25＋15＝75.1.把cos x －sin x ＝55平方 2．注意x 的范围3．分别求出sin x 、cos x课时作业 30一、选择题1．已知α是第二象限角，且cos α＝－1213，则tan α的值是( )A.1213 B ．－1213 C.512 D ．－512解析：∵α为第二象限角，∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12132＝513，∴tan α＝sin αcos α＝513－1213＝－512. 答案：D2．已知cos α－sin α＝－12，则sin αcos α的值为( )A.38 B ．±38 C ．－34 D ．±34。

新教材高中数学第五章三角函数5.5.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式课时作业(含解析)新人教A版必修第一册

新教材高中数学第五章三角函数5.5.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式课时作业（含解析）新人教A 版必修第一册一、选择题1．已知sin α＝35，cos α＝45，则sin 2α等于( ) A.75 B.125C.1225D.2425解析：sin 2α＝2sin αcos α＝2425. 答案：D2．计算2sin 2105°－1的结果等于( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32解析：2sin 2105°－1＝－cos 210°＝cos 30°＝32. 答案：D3．已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为( )A ．2B ．－2 C.34 D ．－34解析：因为sin α＝3cos α，所以tan α＝3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－32＝－34. 答案：D4．已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝12，则cos 2α的值为( ) A ．±74 B.74 C ．－74 D ．－34解析：因为sin α＋cos α＝12，α∈(0，π)，所以1＋2sin αcos α＝14，所以sin 2α＝－34，且sin α>0，cos α<0，所以cos α－sin α＝－1－2sin αcos α＝－72，所以cos 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－74.故选C. 答案：C二、填空题5.1－tan 215°2t an 15°等于________．解析：原式＝1tan 30°＝133＝ 3. 答案： 3 6．已知sin θ2＋cos θ2＝233，那么sin θ＝________，cos 2θ＝________. 解析：∵sin θ2＋cos θ2＝233， ∴⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22＝43，即1＋2sin θ2cos θ2＝43，∴sin θ＝13， ∴cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79. 答案：13 797．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝________. 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝2cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝－79. 答案：－79三、解答题8．求下列各式的值．(1)2cos 2π12－1； (2)tan 30°1－tan 230°； (3)cos π12cos 5π12； (4)cos π7cos 3π7cos 5π7. 解析：(1)2cos 2π12－1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝cos π6＝32. (2)tan 30°1－tan 230°＝12×2tan 30°1－tan 230°＝12tan 60°＝32. (3)cos π12cos 5π12＝cos π12sin π12＝12sin π6＝14. (4)cos π7cos 3π7cos 5π7＝cos π7·⎝⎛⎭⎪⎫－cos 4π7·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 2π7 ＝2sin π7cos π7cos 2π7cos 4π72sin π7＝sin 2π7cos 2π7cos 4π72sin π7＝sin 4π7cos 4π74sin π7＝sin 8π78sin π7＝－18. 9．化简：(1)11－tan θ－11＋tan θ； (2)2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α. 解析：(1)原式＝1＋tan θ－(1－tan θ)1－tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝tan2θ(2)原式＝2cos 2α－12sin (π4－α)cos (π4－α)·cos 2(π4－α) ＝2cos 2α－12sin (π4－α)cos (π4－α) ＝cos 2αsin (π2－2α)＝cos 2αcos 2α ＝1[尖子生题库]10．证明：1＋sin 2θ－cos 2θ1＋sin 2θ＋cos 2θ＝tan θ. 证明：证法一左边＝sin 2θ＋(1－cos 2θ)sin 2θ＋(1＋cos 2θ)＝2sin θcos θ＋(1＋1－2cos 2θ)2sin θcos θ＋(1＋2cos2θ－1)＝sin θcos θ＋1－cos 2θsin θcos θ＋cos 2 θ＝sin θcos θ＋sin 2θsin θcos θ＋cos 2θ ＝sin θ(cos θ＋sin θ)cos θ(sin θ＋cos θ)＝tan θ＝右边． ∴原式成立．证法二：左边＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin 2θ＋sin 2θ－cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＋sin 2θ＋cos 2θ－sin 2θ＝sin 2θ＋2sin 2θsin 2θ＋2cos 2θ＝2sin θ(sin θ＋cos θ)2cos θ(sin θ＋cos θ)＝tan θ＝右边．∴原式成立．证法三：左边＝(1＋sin 2θ)－cos 2θ(1＋sin 2θ)＋cos 2θ＝(sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ)－(cos 2θ－sin 2θ)(sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ)＋(cos 2θ－sin 2θ) ＝(sin θ＋cos θ)2－(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)(sin θ＋cos θ)2＋(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ) ＝(sin θ＋cos θ)(sin θ＋cos θ＋sin θ－cos θ)(sin θ＋cos θ)(sin θ＋cos θ＋cos θ－sin θ)＝sin θcos θ＝tan θ＝右边．∴原式成立．。

5.2.1三角函数的概念同步练习-2021-2022学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

答案5．2.1 三角函数的概念必备知识基础练1．解析：∵α的终边经过点P (1，－1)，∴sin α＝－112＋－12＝－22.答案：D2．解析：当a >0时，sin α＝35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝25；当a <0时，sin α＝－35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝－25.故2sin α＋cos α的值是25或－25. 答案：B3．解析：cos α＝－513<0，则α的终边在第二或第三象限，又点P 的纵坐标是正数，所以α是第二象限角，所以m <0，由5m 25m 2＋144＝－513，解得m ＝－1.答案：－14．解析：因为点P 在第四象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧tan α>0，cos α<0，由此可判断角α的终边在第三象限．答案：C5．解析：因为α是第三象限角，所以2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z .所以k π＋π2<α2<k π＋3π4，所以α2在第二、四象限．又因为⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，所以cos α2<0，所以α2在第二象限．答案：B6．解析：∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0. ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2. 答案：C7．解析：cos 405°＝cos(45°＋360°)＝cos 45°＝22.答案：C8．解析：sin 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋8π＋tan ⎝⎛⎭⎫π4－4π＝sin π3＋tan π4＝32＋1. 答案：32＋19．解析：原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. 答案：1＋64关键能力综合练1．解析：cos 1 110°＝cos(3×360°＋30°)＝cos 30°＝32.答案：B2．解析：因为cos α＝－32<0，所以x <0，又r ＝x 2＋22，由题意得x x 2＋22＝－32，所以x ＝－2 3.故选D. 答案：D3．解析：因为r ＝2sin 22＋－2cos 22＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝y r＝－cos 2.故选D. 答案：D4．解析：因为－π2<α<0，所以cos α>0，且sin α<0，所以点Q (cos α，sin α)在第四象限，选D. 答案：D5．解析：当角α的终边在第一象限时，可设直线上一点P (1,2)，sin α＝25＝255；当角α的终边在第三象限时，可设直线上一点P (－1，－2)，此时sin α＝－25＝－255，∴sin α＝±255.答案：C6．解析：由sin x ≥0，－cos x ≥0，得x 为第二象限角或y 轴正半轴上的角或x 轴负半轴上的角，所以2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z .答案：B7．解析：由三角函数的定义得r ＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－322＝14＋34＝1，则sin α＝y r ＝－32，cos α＝12.答案：－32 128．解析：原式＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π6＋tan ⎝⎛⎭⎫2π－5π3＝cos π6＋tan π3＝32＋3＝332. 答案：3329．解析：由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，解得－2<a ≤3. 答案：(－2,3]10．解析：当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P (1,1)，由r ＝2，得sin α＝22，cos α＝22，tan α＝1；当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q (－1，－1)，由r ＝2，得sin α＝－22，cos α＝－22，tan α＝1.学科素养升级练1．解析：对于A ：由题意知，tan α＜0且cos α＜0，∴α是第二象限角，正确；对于B ：A ，B ∈(0，π)，∴sin A ＞0，cos B ＜0，正确；对于C ：∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0，C 错误；对于D ：∵π2＜3＜π，π＜4＜32π，3π2＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，sin 3·cos 4·tan 5＞0.D 正确，故选A ，B ，D. 答案：ABD2．解析：由三角函数定义可得Q ⎝⎛⎭⎫cos 2π3，sin 2π3，cos 2π3＝－12，sin 2π3＝32. 答案：A3．解析：(1)由1|sin α|＝－1sin α，可知sin α<0，由lg(cos α)有意义可知cos α>0，所以角α是第四象限角．(2)∵|OM |＝1，∴⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45.又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45.由正弦函数的定义可知sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.。

第5章-5.2.1-任意角三角函数的定义高中数学必修第一册湘教版

位圆上，所以
+ 2
2
3
cos sin = ± ．
4
1
− ，
2
=−
= 1，解得 = ±
3
，即cos
2
3
，即sin
2
=
=±
1
1
− .因为点 ,
2
2
3
，所以
2
在单
题型2 三角函数值的符号的判断
例7 判断下列各式的符号：
（1）tan 120∘ sin 269∘ ;
【解析】∵ 120∘ 是第二象限角,∴ tan 120∘ < 0.
方法帮丨关键能力构建
题型1 利用定义求三角函数值
例4 已知角的终边经过点 2, −3 ，则sin

−
____．

−
=_______，cos

=_____，tan

=

【解析】因为 = 2， = −3，所以点到原点的距离 =
sin =

=
−3
13
=
3 13
（2）tan >
3
.
3
【解析】如图5.2.1-8，过单位圆与轴正半轴的交点作轴的
3
，过点和作一条直线，
3
3
此时终边落在直线上的角的正切值为 .在[0,2π)内，
3
π
7π
3
tan = tan = ，
6
6
3
垂线，在垂线上取一点，使得 =
由图可知，满足条件的角的终边在图中阴影部分（不包括边
π
由题意，知−
2
D.sin 2 < 0

2019-2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.2.1三角函数的概念

[思路导引] 利用三角函数在各象限的符号判断．
[解] (1)因为 105°，230°分别为第二、三象限角，所以 sin105°>0，cos230°<0.
于是 sin105°·cos230°<0.
π
2π
(2)因为 2 <3<π，所以 3 是第二象限角，所以 cos3<0，又因为－ 3 是第三象限角，
( ) ( ) 2π
2π
－
－
所以 tan 3 >0，所以 cos3·tan 3 <0.
判断三角函数值正负的 2 个步骤 (1)定象限：确定角 α 所在的象限． (2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．注意：若 sinα>0，则 α 的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在 y 轴的非负半轴上．
[答案] D
( )π
－ 5．给出下列函数值：①sin(－1000°)；②cos 4 ；③tan2，其中符号为负的个数
为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] ①sin(－1000°)＝sin(－1080°＋80°)
＝sin80°>0
( )π
－ ②cos 4 >0
π ③∵ 2 <2<π，∴tan2<0，只有③符合，∴选 B.
一、选择题
( ) 3 4
－， 1．已知角 α 的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边过点 5 5 ，则
tanα 的值为( )
4 A．－3
3 B．－4
4 C．－5
3 D．－5
4 5 34 － [解析] 由正切函数的定义可得，tanα＝ 5＝－3.

高一数学(必修一)《第五章三角函数的概念》练习题及答案解析-人教版

高一数学(必修一)《第五章三角函数的概念》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．点P 从(2,0)出发，逆时针方向旋转43π到达Q 点，则Q 点的坐标为（）A ．1,2⎛- ⎝⎭B ．(1)-C ．(1,-D ．21⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭2．角α的终边过点()3,4P -，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．2425- B ．725- C ．725D ．24253．已知函数1log a y x =和()22y k x =-的图象如图所示，则不等式120y y ≥的解集是（）A ．(]1,2B ．[)1,2C ．()1,2D ．[]1,24．已知(0,2)απ∈，sin 0α<和cos 0α>，则角α的取值范围是（） A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭5．已知α是第二象限角，则（） A ．2α是第一象限角 B ．sin02α>C ．sin 20α<D ．2α是第三或第四象限角6．已知直线l 1的斜率为2，直线l 2经过点(1,2),(,6)A B x --，且l 1∥l 2，则19log x ＝（） A ．3B ．12C ．2D ．12-7．已知()1cos 3αβ-=，3cos 4β=与0,2παβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭和0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则（）．A ．0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．()0,απ∈D ．0,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭8．已知点()tan ,sin P αα在第四象限，则角α是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角二、解答题9．设α是第一象限角,作α的正弦线､余弦线和正切线,由图证明下列各等式. (1)22sin cos 1αα+=; (2)sin tan cos ααα=. 如果α是第二､三､四象限角,以上等式仍然成立吗? 10．已知()()()()3sin cos 2cos 2cos sin 2f ππαπαααπαπα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭.(1)化简()f α；(2)若α是第三象限角，且()1sin 5απ-=，求()f α的值.11．已知|cosθ|=-cosθ，且tanθ<0，试判断()()sin cos θcos sin θ的符号.12．不通过求值，比较下列各组数的大小： (1)37sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭与49sin 3π⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)sin194︒与()cos 160︒.13．（1）已知角α的终边经过点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求()()()πsin tan π2sin πcos 3παααα⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭+⋅-的值；（2）已知0πx <<，1sin cos 5x x +=求tan x 的值． 14．已知角θ的终边与单位圆在第四象限交于点1,2P ⎛ ⎝⎭． (1)求tan θ的值；(2)求()()cos cos 22sin cos πθθπθπθ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭++的值．15．在平面直角坐标系xOy 中角θ的始边为x 轴的正半轴，终边在第二象限与单位圆交于点P ，点P 的横坐标为35. (1)求cos 3sin 3sin cos θθθθ+-的值；(2)若将射线OP 绕点O 逆时针旋转2π，得到角α，求22sin sin cos cos αααα--的值.三、多选题16．给出下列各三角函数值：①()sin 100-；②()cos 220-；③tan 2；④cos1.其中符号为负的是（） A ．①B ．②C ．③D ．④四、双空题17．已知55sin ,cos 66P ππ⎛⎫⎪⎝⎭是角α的终边上一点，则cos α=______，角α的最小正值是______. 参考答案与解析1．C【分析】结合已知点坐标，根据终边旋转的角度和方向，求Q 点坐标即可.【详解】由题意知，442cos ,2sin 33Q ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即(1,Q -. 故选：C. 2．B【分析】化简得2sin 22cos 12παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用三角函数的坐标定义求出cos α即得解.【详解】解：2sin 2cos 22cos 12πααα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭由题得3cos 5α==-，所以237sin 22()12525πα⎛⎫+=⨯--=- ⎪⎝⎭. 故选：B 3．B【分析】可将12,y y 图象合并至一个图，由12,y y 同号或10y =结合图象可直接求解.【详解】将12,y y 图象合并至一个图，如图：若满足120y y ≥，则等价于120y y ⋅>或10y =，当()1,2x ∈时，则120y y ⋅>，当1x =时，则10y =，故120y y ≥的解集是[)1,2故选：B 4．D【分析】根据三角函数值的符号确定角的终边的位置，从而可得α的取值范围.【详解】因为sin 0α<，cos 0α>故α为第四象限角，故3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭故选：D. 5．C∴2α是第三象限，第四象限角或终边在y 轴非正半轴，sin20α<，故C 正确，D 错误. 故选：C ． 6．D【分析】由已知结合直线平行的斜率关系可求出x ，然后结合对数的运算性质可求．【详解】解：因为直线l 1的斜率为2，直线l 2经过点(1,2),(,6)A B x --，且l 1∥l 2 所以6221x +=+，解得3x =所以2113991log log 3log 32x -===-故选：D ． 7．B【分析】由已知得()0,απ∈，再利用同角之间的关系及两角差的余弦公式计算cos 0α<，即可得解.()0,απ∴∈又cos cos()cos()cos sin()sin ααββαββαββ=-+=---13034=⨯=< ,2παπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭故选：B 8．C【分析】由点的位置可确定tan ,sin αα的符号，根据符号可确定角α终边的位置.【详解】()tan ,sin P αα在第四象限tan 0sin 0αα>⎧∴⎨<⎩，α位于第三象限.故选：C. 9．见解析【解析】作出α的正弦线､余弦线和正切线（1）由勾股定理证明；（2）由三角形相似PMO TAO ∆∆∽证明．若α是第二､三､四象限角,以上等式仍成立.【点睛】本题考查三角函数线的应用，考查用几何方法证明同角间的三角函数关系．掌握三角函数线定义是解题基础．10．(1)()cos f αα=-.【分析】(1)根据诱导公式直接化简即可;(2)由()1sin 5απ-=,可以利用诱导公式计算出sin α,再根据角所在象限确定cos α,进而得出结论.【详解】(1)根据诱导公式()()()()3sin cos 2cos 2cos sin 2f ππαπαααπαπα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()sin cos sin sin sin ααααα⋅⋅-=⋅cos α=-所以()cos f αα=-;(2)由诱导公式可知()sin sin απα-=-,即1sin 5α=-又α是第三象限角所以cos α==所以()=cos f αα-=【点睛】本题主要考查诱导公式的运用,属于基础题.使用诱导公式时,常利用口诀“奇变偶不变,符号看象限”进行记忆. 11．符号为负.【分析】由|cosθ|=﹣cosθ，且tanθ＜0，可得θ在第二象限，即可判断出．【详解】由|cosθ|=-cosθ可得cosθ≤0，所以角θ的终边在第二、三象限或y 轴上或x 轴的负半轴上;又tanθ<0，所以角θ的终边在第二、四象限，从而可知角θ的终边在第二象限.易知-1<cosθ<0，0<sinθ<1，视cosθ、sinθ为弧度数，显然cosθ是第四象限的角，sinθ为第一象限的角，所以cos(sinθ)>0，sin(cosθ)<0，故()()sin cos θcos sin θ<0故答案为符号为负.【点睛】本题考查了三角函数值与所在象限的符号问题，考查了推理能力，属于基础题． 12．(1)3749sin sin 63ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)sin194cos160︒>︒【分析】根据诱导公式及函数的单调性比较大小. (1)由37sin sin 6sin 666ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭49sin sin 16sin 333ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又函数sin y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增所以sin sin 63ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3749sin sin 63ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)由()sin194sin 18014sin14︒=︒+︒=-︒()cos160cos 9070sin70︒=︒+︒=-︒又0147090︒<︒<︒<︒所以sin14sin70︒<︒，即sin14sin70-︒>-︒ 所以sin194cos160︒>︒.13．（1）54；（2）4tan 3x =- ．【分析】（1）由三角函数定义易得4cos 5α=，再利用诱导公式和基本关系式化简为()()()πsin tan π12sin πcos 3πcos ααααα⎛⎫- ⎪-⎝⎭⋅=+-求解；（2）将1sin cos 5x x +=两边平方得到242sin cos 025x x =-<，进而求得7sin cos 5x x -=，与1sin cos 5x x +=联立求解.【详解】解：（1）P 点到原点O的距离1r =由三角函数定义有4cos 5x r α== ()()()πsin tan πcos tan 152sin πcos 3πsin cos cos 4ααααααααα⎛⎫- ⎪-⎝⎭⋅=⨯==+---；（2）∵0πx <<，将1sin cos 5x x +=两边平方得112sin cos 25x x +=∴242sin cos 025x x =-<，可得ππ2x << ∴sin 0x > cos 0x < ∴sin cos 0x x ->∵()()22sin cos sin cos 2x x x x -++= ∴7sin cos 5x x -=，联立1sin cos 5x x +=∴4sin 5x = 3cos 5x =-∴4tan 3x =-． 14．(1)(2)2.【分析】（1）根据三角函数的定义tan yxθ=，代值计算即可；（2）利用诱导公式化简原式为齐次式，再结合同角三角函数关系和（1）中所求，代值计算即可. （1）因为角θ的终边与单位圆在第四象限交于点1,2P ⎛ ⎝⎭故可得tan yxθ==（2）原式=()()cos cos 22sin cos πθθπθπθ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭++ sin cos sin cos θθθθ+=-tan 1tan 1θθ+=-由（1）可得：tan θ=tan 12tan 1θθ+==-. 15．(1)35(2)1925-【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan α的值，再利用同角三角函数的基本关系，计算求得所给式子的值．（2）由题意利用诱导公式求得3tan 4α=，再将22sin sin cos cos αααα--化为22tan tan 1tan 1ααα--+，即可求得答案． (1)P 在单位圆上，且点P 在第二象限，P 的横坐标为35，可求得纵坐标为45所以434sin ,cos ,tan 553θθθ==-=-，则cos 3sin 13tan 33sin cos 3tan 15θθθθθθ++==--． (2)由题知2παθ=+，则3sin()cos 5sin 2παθθ=+==-，24cos cos()sin 5παθθ=+=-=-则sin 3tan cos 4ααα== 故22222222sin sin cos cos tan 1sin sin cos cos sin cos tan tan 1ααααααααααααα------==++ 2233()443()1241951--==-+.16．ABC【分析】首先判断角所在象限，然后根据三角函数在各个象限函数值的符号即可求解. 【详解】解：对①：因为100-为第三象限角，所以()sin 1000-<；对②：因为220-为第二象限角，所以()cos 2200-<；对③：因为2弧度角为第二象限角，所以tan20<；对④：因为1弧度角为第一象限角，所以cos10>；故选：ABC. 17．125π3【解析】根据三角函数的定义，求得cos α的值，进而确定角α的最小正值. 【详解】由于55sin ,cos 66P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭是角α的终边上一点，所以cos α=5πsin 5π1sin62==.由于5π15πsin0,cos 0626=>=<，所以P 在第四象限，也即α是第四象限角，所以π2π3k α=-，当1k =时，则α取得最小正值为5π3.故答案为：（1）12；（2）5π3【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查特殊角的三角函数值，考查终边相同的角，属于基础题.。

新教材高中数学第五章三角函数5.5.2简单的三角恒等变换课时作业含解析新人教A版必修第一册

新教材高中数学第五章三角函数5.5.2简单的三角恒等变换课时作业含解析新人教A 版必修第一册一、选择题1．已知cos α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A ．－1010 B.1010 C.310 3 D ．－35解析：因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，π，所以sin α2＝1－cos α2＝110＝1010. 答案：B 2．若sin 2α＝14，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则cos α－sin α的值为( ) A.32 B.34C ．－32 D ．－34 解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以cos α<sin α，(cos α－sin α)2＝1－sin 2α＝34，所以cos α－sin α＝－32. 答案：C3．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a解析：由已知可得a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，所以a <c <b .答案：C4．若α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π4，2π，则 1＋cos 2α2－1－cos 2α2等于( )A ．cos α－sin αB ．cos α＋sin αC ．－cos α＋sin αD ．－cos α－sin α解析：因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π4，2π，所以sin α≤0，cos α>0，则 1＋cos 2α2－1－cos 2α2＝cos 2α－sin 2α ＝|cos α|－|sin α|＝cos α－(－sin α)＝cos α＋sin α.答案：B二、填空题5．若cos 22°＝a ，则sin 11°＝________，cos 11°＝________.解析：cos 22°＝2cos 211°－1＝1－2sin 211°，所以cos 11°＝1＋cos 22°2＝1＋a 2. sin 11°＝1－cos 22°2＝1－a 2. 答案： 1－a 2 1＋a 2 6．已知cos α＝－35，且180°<α<270°，则tan α2＝________. 解析：因为180°<α<270°，所以90°<α2<135°，所以tan α2<0，所以tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2. 答案：－2 7．若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝32，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－12，则cos(α＋β)的值等于________．解析：∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝32，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－12，∴α－β2＝±π6，α2－β＝－π6. ∴2α－β＝±π3，α－2β＝－π3. α＋β＝(2α－β)－(α－2β)＝0或2π3(0舍去)．∴cos(α＋β)＝－12.答案：－12三、解答题8．化简：2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.解析：方法一原式＝cos 2α－sin 2α2·1－tan α1＋tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π4cos α＋cos π4sin α2＝(cos 2α－sin 2α)(1＋tan α)(1－tan α)(cos α＋sin α)2(复角化单角，进一步切化弦)＝(cos 2α－sin 2α)(cos α＋sin α)(cos α－sin α)(cos α＋sin α)2＝1(使用平方差公式)．方法二原式＝cos 2α2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α(利用π4－α与π4＋α的互余关系)＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α(逆用二倍角的正弦公式)＝cos 2αcos 2α＝1.9．求证：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.证明：∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝sin[(α＋β)－α]＝sin β，两边同除以sin α得sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.[尖子生题库]10．已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值．解析：(1)f (x )＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 由题意知－π3≤x ≤m ，所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6. 要使得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为1. 所以2m －π6≥π2，即m ≥π3. 所以m 的最小值为π3.。

2021_2022学年新教材高中数学第五章三角函数5.1.1任意角课时作业(含解析)新人教A版必修第

5.1.1 任意角一、选择题1．以下角中，终边在y轴非负半轴上的是( )A．45° B．90°C．180° D．270°解析：根据角的概念可知，90°角是以x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了90°，故其终边在y轴的非负半轴上．答案：B2．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )A．120° B．－120°C．240° D．－240°解析：一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是－240°，应选D.答案：D3．与－457°角终边一样的角的集合是( )A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}解析：263°＝－457°＋360°×2，所以263°角与－457°角的终边一样，所以与－457°角终边一样的角可写作α＝k·360°＋263°，k∈Z.答案：C4．假设α为锐角，那么以下各角中一定为第四象限角的是( )A．90°－α B．90°＋αC．360°－α D．180°＋α解析：∵0°<α<90°，∴270°<360°－α<360°，应选C.答案：C二、填空题5．图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________.解析：图(1)中的角是一个正角，α＝390°.图(2)中的角是一个负角、一个正角，β＝－150°，γ＝60°.答案：390° －150° 60°6．角α与2α的终边一样，且α∈[0°，360°)，那么角α＝________.解析：由条件知，2α＝α＋k ·360°，所以α＝k ·360°(k ∈Z )，因为α∈[0°，360°)，所以α＝0°.答案：0°7．如图，终边在阴影局部内的角的集合为________．解析：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，那么得{α|30°＋k ·360°≤α≤150°＋k ·360°，k ∈Z }．答案：{α|30°＋k ·360°≤α≤150°＋k ·360°，k ∈Z }三、解答题8．在0°～360°范围内，找出与以下各角终边一样的角，并指出它们是第几象限角：(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.解析：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有一样的终边．(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有一样的终边．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°.因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有一样的终边．9．α与240°角的终边一样，判断α2是第几象限角．解析：由α＝240°＋k ·360°，k ∈Z ，得α2＝120°＋k ·180°，k ∈Z . 假设k 为偶数，设k ＝2n ，n ∈Z ，那么α2＝120°＋n ·360°，n ∈Z ，α2与120°角的终边一样，是第二象限角；假设k 为奇数，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，那么α2＝300°＋n ·360°，n ∈Z ，α2与300°角的终边一样，是第四象限角．所以，α2是第二象限角或第四象限角． [尖子生题库]10．如下图，分别写出适合以下条件的角的集合：(1)终边落在射线OM 上；(2)终边落在直线OM 上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．解析：(1)终边落在射线OM 上的角的集合为A ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }．(2)由(1)得终边落在射线OM 上的角的集合为A ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }，终边落在射线OM 反向延长线上的角的集合为B ＝{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }，那么终边落在直线OM 上的角的集合为A ∪B ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．(3)终边落在直线ON 上的角的集合为C ＝{β|β＝60°＋n ·180°，n ∈Z }，那么终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S ＝{α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．。

高中数学第五章三角函数5-2三角函数的概念5-2-1三角函数的概念课件新人教A版必修第一册

sin α cos α tan α
助学批注批注❶ 是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．批注❷ 三角函数值在各象限的符号由α的终边所在的象限决定．批注❸ 作用在于可将求任意角的三角函数值，转化为求0～2 π(或 0°～360°)范围内的三角函数值．
基础自测 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)sin α表示sin 与α的乘积．( × ) (2)设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin α＝yr，且y越大，sin α的值越大．( × ) (3)已知α是三角形的内角，则必有cos α＞0.( × ) (4)若sin α＞0，则α一定在第一或第二象限．( × )
136π＋tan
(－173π)＋sin
33
6π＝____2____．
解＝c析os：π6c＋osta1n36ππ3＋＋tsainn
(－173π)＋sin 2π
6π＝cos
(2π＋π6)＋tan
(－6π＋π3)＋sin
(4π＋2π)
＝
3 2
+
3＋0
＝323.
方法归纳
判断三角函数值符号的步骤
巩固训练2 已知角α为第三象限角，则点P(tan α，sin α)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案：D
解析：∵角α为第三象限角，tan α＞0，sin α＜0， ∴点P(tan α，sin α)在第四象限．
题型 3 诱导公式一的应用
5.2.1 三角函数的概念
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标准 (1)理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值．(2)掌握任意角三角函数在各象限的符号．(3)掌握三角函数诱导公式一并会应用．

人教A版(2019)高中数学必修第一册第五章5.2.1三角函数的概念(第二课时)教案

《5.2.1 三角函数的概念（第二课时）》教学设计1．掌握三角函数值的符号；2．掌握诱导公式一，初步体会三角函数的周期性．教学重点：函数值的符号、诱导公式一．教学难点：对诱导公式的发现与认识．PPT课件．资源引用：【知识点解析】三角函数值在各象限的符号、【知识点解析】对三角函数值符号的理解（一）创设情境引导语：前面学习了三角函数的定义，根据已有的学习函数的经验，你认为接下来应研究三角函数的哪些问题？预设的师生活动：先由学生发言．一般而言，学生会直接把问题指向“图象与性质”．教师可以在肯定学生想法的基础上，指出三角函数的特殊性：预设答案：因为单位圆上点的坐标或坐标比值就是三角函数，而单位圆具有对称性，这种对称性反映到三角函数的取值规律上，就会呈现出比幂函数、指数函数和对数函数等更丰富的性质．例如，我们可以从定义出发，结合单位圆的性质直接得到一些三角函数的性质．设计意图：明确研究的问题和思考方向．一般地，学生不习惯于借助单位圆的性质研究三角函数的性质，所以需要教师的讲解和引导．（二）新知探究1．三角函数值的符号问题1：由三角函数的定义以及任意角α的终边与单位圆交点所在的象限，你能发现正弦函数、余弦函数和正切函数的值的符号有什么规律吗？如何用集合语言表示这种规律？预设的师生活动：由学生独立完成．预设答案：用集合语言表示的结果是：当α∈{β|2k π＜β＜2k π+π，k ∈Z }时，sin α＞0；当α∈{β|2k π+π＜β＜2k π+2π，k ∈Z }时，sin α＜0；当α∈{β|β=k π，k ∈Z }时，sin α=0．其他两个函数也有类似结果．设计意图：在直角坐标系中标出三角函数值的符号规律不难，可由学生独立完成．用集合语言表示，可以复习象限角、终边相同的角的集合表示等．例1 求证：角θ为第三象限角的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＜0，①tan θ＞0．② 预设的师生活动：先引导学生明确问题的条件和结论，再由学生独立完成证明．预设答案：先证充分性．因为①式sin θ＜0成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的负半轴重合；又因为②式tan θ＞0成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限．因为①②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限．于是角θ为第三象限角．再证必要性．因为角θ为第三象限角，由定义①②式都成立．设计意图：通过联系相关知识，培养学生的推理论证能力．2．诱导公式一问题2：联系三角函数的定义、象限角以及终边相同的角的表示，你有发现什么？师生活动：学生在问题引导下自主探究，发现诱导公式一．追问：（1）观察诱导公式一，对三角函数的取值规律你有什么进一步的发现？它反映了圆的什么特性？（2）你认为诱导公式一有什么作用？预设答案：（1）诱导公式一体现了三角函数周期性取值的规律，这是“单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”的特征的反映．（2）利用公式一可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π角的三角函数值．同时，由公式一可以发现，只要讨论清楚三角函数在区间[0，2π]上的性质，那么三角函数在整个定义域上的性质就清楚了．设计意图：引导学生通过建立相关知识的联系发现诱导公式一及其体现的三角函数周期性取值的规律，这是“单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”的特征的反映．在此过程中，可以培养学生用联系的观点看待问题，发展直观想象等素养．例2 确定下列三角函数值的符号，然后用计算器验证：（1）cos 250°；（2）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4π；（3）tan (－672°)；（4）tan 3π．解：（1）因为250°是第三象限角，所以cos 250°＜0；（2）因为4π-是第四象限角，所以sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4π＜0；（3）因为tan (－672°)＝tan (48°－2×360°)＝tan 48°，而48°是第一象限角，所以tan (－672°)＞0；（4）因为tan 3π＝tan (π+2π)=tan π，而π的终边在x 轴上，所以tan π=0．例3 求下列三角函数值：（1）sin 1 480°10′（精确到0.001）；（2）cos4π9；（3）tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6π11．解：（1）sin 1480°10′=sin (40°10′+4×360°)=sin 40°10′≈0.645；（2）9πππcos cos(2π)cos 444=+==（3）11πππtan()tan(2π)tan 6663-=-==．师生活动：以上都是教科书中的例题，难度不大，可以由学生独立完成，并作课堂展示．教师可以鼓励学生采用不同的变形方法得出答案．在用计算器验证时，提醒学生注意角度制的设置．（三）课堂练习教科书第182页练习第1，2，3，4，5题．（四）布置作业教科书习题5.2第1，3，4，5，7，8，9，10题．（五）目标检测设计1．求下列三角函数的值：（1）cos （－23π6）；（2）tan 25π6．设计意图：考查诱导公式一，特殊角的三角函数值．2．角α的终边与单位圆的交点是Q，点Q的纵坐标是12，说出几个满足条件的角α．设计意图：考查正弦函数的定义，诱导公式一．3．对于①sin θ＞0，②sin θ＜0，③cos θ＞0，④cos θ＜0，⑤tan θ＞0与⑥tan θ＜0，选择恰当的关系式序号填空：（1）角θ为第二象限角的充要条件是________；（2）角θ为第三象限角的充要条件是________．设计意图：考查三角函数值的符号规律．。

人教A版高中学案数学必修第一册精品课件第五章三角函数的概念第2课时三角函数值的符号与诱导公式一

第五章
5.2 三角函数的概念
5.2.1 三角函数的概念
第2课时三角函数值的符号与诱导公式一
A级必备知识基础练
1.sin (−330∘ ) =() A
1
3
1
3
A. B. C.− D.−
2
2
2
2
2.下列各式的符号为正的是( C
A.cos 3B.sin
5π
cos
3
)
π
(− )
6
C.sin 2 − cos 2D.tan
8.已知() = sin (π + ) + cos (π + ) + 2,其中,,,为常数.若(2) = 1,则
1
(2 020) =___.
[解析]∵ () = ( + ) + ( + ) + = + + = ,
解由（1）知 = 0或 = ± 5,当 = 0时,cos = −1,tan = 0,所以
cos + tan = −1；当 = 5时,cos = −
cos + tan = −
cos + tan = −
6
−
4
6
+
4
15
；当
3
15
.
3
6
,tan
4
= − 5时,cos
16
.
25
4
5
= ,cos =

3
5
= ,tan =

4
3
= .
B级关键能力提升练
10.（多选题）已知角的终边经过点(−2, − 3),且与的终边关于轴对称,则

高中数学5-2三角函数的概念5-2-1三角函数的概念第2课时三角函数值的符号及公式一课件新人教A版必

π
3
3
2
3
2
π
6
＋tan
1
2
3
3
＝．
2
2
π
−4π +
4
5
4
＝sin cos ＋tan cos ＝ × ＋1× ＝．
cos 4π +
π
3
•
•
•
•
反思领悟利用诱导公式一进行化简求值的步骤
(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z．
(2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值．
• ＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2ab cos 0°
• ＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2．
• 3．化简下列各式：
• (2)sin
[解]
11π
−
6
sin
11
− π
6
＝sin −2π
＝sin
＋cos
π
+
6
π
1
＋0＝．
6
2
12
π·tan
5
＋cos
＋cos
4π．
12
π·tan
5
2
π·tan
5
0
4π
03
学习效果·课堂评估夯基础
1．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是(
)
A．第一象限角
B．第二象限角
√
C．第三象限角
D．第四象限角
B
[由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限
角．故选B．]
1
2
3
4
2．sin (－315°)的值是(

高中数学5.2三角函数的概念课时作业44三角函数的概念人教A版必修第一册

答案 D
解析由 sinθ·cosθ<0，可知 sinθ，cosθ 一正一负，又 sinθ<cosθ，可知 cosθ>0，sinθ<0，则 θ 为第四象限角，故选 D．
知识对点练
课时综合练
答案
解析
6．α 是第三象限角，且cosα2＝－cosα2，则α2所在象限是(
)
A．第一象限 B．第二象限
知识对点练
课时综合练
答案
课时综合练
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
一、选择题
1．cos1110°的值为( )
A．12
B．
3 2
C．－12
D．－
3 2
答案 B
解析
cos1110°＝cos(3×360°＋30°)＝cos30°＝
3 2.
知识对点练
课时综合练
答案
解析
2．若 tanα>0，则( )
知识对点练
课时综合练
答案
解析
3．已知角 α 的终边经过点 P(5m,12)，且 cosα＝－153，则 m＝________.
答案－1 解析 cosα＝－153<0，则 α 的终边在第二或第三象限，又点 P 的纵坐标是正数，所以 α 是第二象限角，所以 m<0，由 25m52m＋144＝－153，解得 m ＝－1.
C．第三象限 D．第四象限
答案 B 解析因为 α 是第三象限角，所以 2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈Z. 所以 kπ＋π2<α2<kπ＋34π，所以α2在第二、四象限．又因为cosα2＝－cosα2，所以 cosα2<0，所以α2在第二象限．