动点最值问题

动点最值问题

问题分类：

1.双线段之和最短，单对称模型（将军饮马问题）；

技巧：作定点关于动点所在直线对称点。

2.三线段之和最短，①双对称模型；

①费马点：技巧---绕任意顶点向外旋转60°

3.单线段最短（一动一定）：①在直线上运动；

①在圆上动（“圆”形毕露）

4.单线段最大值：利用三角形三边关系。

例一、

1、如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A和李庄B送水，已知张村A、李庄B到河边的距离分别为2km和7km，且张、李二村庄相距13km．

（1）水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中设计出水泵站的位置；

（2）如果铺设水管的工程费用为每千米1000元，为使铺设水管费用最节省，请求

出最节省的铺设水管的费用为多少元？

2. 点A、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P是x轴上使得 |PA -PB|的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点，则P点的坐标为 Q 的坐标为．

1、如图所示的平面直角坐标系中，点P 是直线y=x 上的动点，A （1，0），B （2，0）是x 轴上的两点， 则PA+PB 的最小值为

2、如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC=8，B 到MN 的距离BD=5，CD=4，P 在直线 MN 上运动，则PA PB 的最大值等于

3.如图，圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一 只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm ．

4.如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（3，3），点C 的坐标为（2

1，0），点P 为斜边OB 上的一动点，则PA ＋PC 的最小值为 .

1题 2题 3题 4题 5、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点E 是BC 中点，点F 是边CD 上的任意一点，当△AEF 的周长最小时，则DF 的长为

6、如图，正方形ABCD 中，AB=4，E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，则PE+PB 的最小值为 ．

7、如图，已知点A(1，1)、B(3，2)，且P 为x 轴上一动点，则△ABP 的周长的最小值为 ．

5题 6题 7题

A B C

D

P

M N

（基本题型）1、在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP

的最小值是．

自我练习

1、如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为

2、如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为

3、如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为．

4、如图，已知点A的坐标为（2，0），点B在直线y=x上运动，则当线段AB最短时，点B的坐标为______．

1题 2题 3题 4题

自我练习

1、如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值

2、如图,在ABC中,AB=AC=5，BC=6,AD是BC边上的中线，M是AC边上的动点，则CM+EM的最小值为

3、如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是

4、如图,点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 周长的最小值为 .

1题 2题 3题 4题

N

M

O

P

B

5、如图，在△ABC中，ACB

=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ

的最小值是

6、如图，已知∠DAE=22.5°，点C是射线AE上一点，且线段AC=3，若点M和点N 分别是射线AD和线

段AC上的两个动点，则MN+MC的最小值是。

7、如图，已知∠AOB=30°，点C是射线OB上一点，且线段OC=3，D是射线OA上一点，且OD=1若点M

和点N 分别是射线AD和线段AC上的两个动点，则DM+MN+NC的最小值是

5题 6题 7题

8、如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN

周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为

例三、

农场里有一条小河，里面养了很多鱼。在河的两岸有两个加工厂，农场主经常要在这两个工厂之间来回

奔波。农场新买了一辆汽车，想在农场内建造一条马路，同时在河上修建一座桥。要求桥与河岸垂直，

可是桥应该建在何处，才能使两个加工厂之间的路程最短？

问题的延伸：如果有两条河，需要建造两座桥，又该如何呢？如图，把A向下平移到A’的位置，使线

段AA’等于河L1－L2的宽度；把B向上平移到B’的位置，使线段BB’等于河L3－L4的宽度。连接线

段B’A’，交L2于点C，交L3于点F。过C、F分别作垂线段CD、FE，就是建桥的位置。如果有三条河

又如何？更多的河流建更多的桥又如何呢？

A

B

L2

L1