动点最值问题
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动点最值问题
问题分类:
1.双线段之和最短,单对称模型(将军饮马问题);
技巧:作定点关于动点所在直线对称点。
2.三线段之和最短,①双对称模型;
①费马点:技巧---绕任意顶点向外旋转60°
3.单线段最短(一动一定):①在直线上运动;
①在圆上动(“圆”形毕露)
4.单线段最大值:利用三角形三边关系。
例一、
1、如图,要在河边修建一个水泵站,分别向张村A和李庄B送水,已知张村A、李庄B到河边的距离分别为2km和7km,且张、李二村庄相距13km.
(1)水泵应建在什么地方,可使所用的水管最短?请在图中设计出水泵站的位置;
(2)如果铺设水管的工程费用为每千米1000元,为使铺设水管费用最节省,请求
出最节省的铺设水管的费用为多少元?
2. 点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上,建立平面直角坐标系如图所示.若P是x轴上使得 |PA -PB|的值最大的点,Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点,则P点的坐标为 Q 的坐标为.
1、如图所示的平面直角坐标系中,点P 是直线y=x 上的动点,A (1,0),B (2,0)是x 轴上的两点, 则PA+PB 的最小值为
2、如图,两点A 、B 在直线MN 外的同侧,A 到MN 的距离AC=8,B 到MN 的距离BD=5,CD=4,P 在直线 MN 上运动,则PA PB 的最大值等于
3.如图,圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ,在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜,此时一 只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm .
4.如图,在平面直角坐标系中,Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上,顶点B 的坐标为(3,3),点C 的坐标为(2
1,0),点P 为斜边OB 上的一动点,则PA +PC 的最小值为 .
1题 2题 3题 4题 5、如图,在矩形ABCD 中,AB =6,BC =8,点E 是BC 中点,点F 是边CD 上的任意一点,当△AEF 的周长最小时,则DF 的长为
6、如图,正方形ABCD 中,AB=4,E 是BC 的中点,点P 是对角线AC 上一动点,则PE+PB 的最小值为 .
7、如图,已知点A(1,1)、B(3,2),且P 为x 轴上一动点,则△ABP 的周长的最小值为 .
5题 6题 7题
A B C
D
P
M N
(基本题型)1、在△ABC中,AB=AC=5,BC=6.若点P在边AC上移动,则BP
的最小值是.
自我练习
1、如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上一个动点,若PA=3,则PQ的最小值为
2、如图,已知点P是∠AOB角平分线上的一点,∠AOB=60°,PD⊥OA,M是OP的中点,DM=4cm,如果点C是OB上一个动点,则PC的最小值为
3、如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=4,连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若P是BC边上一动点,则DP长的最小值为.
4、如图,已知点A的坐标为(2,0),点B在直线y=x上运动,则当线段AB最短时,点B的坐标为______.
1题 2题 3题 4题
自我练习
1、如图,正方形ABCD的边长是4,∠DAC的平分线交DC于点E,若点P、Q分别是AD和AE上的动点,则DQ+PQ的最小值
2、如图,在ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD是BC边上的中线,M是AC边上的动点,则CM+EM的最小值为
3、如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=5cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,△PMN周长的最小值是5cm,则∠AOB的度数是
4、如图,点P是∠AOB内一定点,点M、N分别在边OA、OB上运动,若∠AOB=45°,OP=32,则△PMN 周长的最小值为 .
1题 2题 3题 4题
N
M
O
P
B
5、如图,在△ABC中,ACB
=90°,AC=6,BC=8,AD是∠BAC的平分线.若P,Q分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ
的最小值是
6、如图,已知∠DAE=22.5°,点C是射线AE上一点,且线段AC=3,若点M和点N 分别是射线AD和线
段AC上的两个动点,则MN+MC的最小值是。
7、如图,已知∠AOB=30°,点C是射线OB上一点,且线段OC=3,D是射线OA上一点,且OD=1若点M
和点N 分别是射线AD和线段AC上的两个动点,则DM+MN+NC的最小值是
5题 6题 7题
8、如图,四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,使△AMN
周长最小时,则∠AMN+∠ANM的度数为
例三、
农场里有一条小河,里面养了很多鱼。在河的两岸有两个加工厂,农场主经常要在这两个工厂之间来回
奔波。农场新买了一辆汽车,想在农场内建造一条马路,同时在河上修建一座桥。要求桥与河岸垂直,
可是桥应该建在何处,才能使两个加工厂之间的路程最短?
问题的延伸:如果有两条河,需要建造两座桥,又该如何呢?如图,把A向下平移到A’的位置,使线
段AA’等于河L1-L2的宽度;把B向上平移到B’的位置,使线段BB’等于河L3-L4的宽度。连接线
段B’A’,交L2于点C,交L3于点F。过C、F分别作垂线段CD、FE,就是建桥的位置。如果有三条河
又如何?更多的河流建更多的桥又如何呢?
A
B
L2
L1