动点最值问题
初一动点最值的题目
初一动点最值的题目有多种,这里给出部分典型例题。
1.数轴上点A,B所表示的数为-1和3,则A,B两点间的距离是 _______;若
点P也是数轴上的点,P到点A,B的距离之和为5,则点P表示的数是 _______.2.已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3,点P为数轴上一动点,其对应
的数为x。
(1) 若点P到点A、点B的距离相等,求点P对应的数;
(2) 数轴上是否存在点P,使点P到点A、点B的距离之和为6?若存在,请
求出x的值;若不存在,说明理由;
(3) 现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同
时向右运动,点P以6个单位长度/秒的速度同时从O点向左运动。
当点A 与点B之间的距离为3个单位长度时,求点P所对应的数是多少?
请注意,这些问题可能需要一些数学基础知识来解决,例如数轴的概念、距离的计算等。
在解题时,要仔细阅读题目,理解问题的要求,并灵活运用所学知识进行求解。
动点最值题精讲
动点最值题精讲动点最值问题是数学中一个非常重要的问题,它表示了在动态变化中,某个参数随时间而变化时可能取到的最大或最小值。
在这个过程中,我们需要找到这个参数随时间变化的规律,并且计算出这个参数的最大最小值,这需要我们掌握动点最值问题的方法和技巧。
在本文中,我们将更深入地探讨这个问题,并提供几个常见的例子和解决方案。
1. 动点最值问题的基本原理动点最值问题在数学中的表现形式是,一个点 P 在过程中不断变化,变化规律可以表示为:X=f(t), Y=g(t)。
其中 X,Y 分别表示点 P 的横坐标和纵坐标,t 表示时间。
我们需要确定 t 的范围,然后求出 X 和 Y 的最小值和最大值。
解决这个问题的基本方法是通过求导数,在函数的关键点处判断函数的值。
由于我们要求的是最大最小值,所以我们需要找到 f(t) 和 g(t) 的导数。
求导可能比较复杂,但是十分必要。
我们将在下文中讨论如何求解动点最值问题的各个方面。
2. 解决动点最值问题的技巧我们将解决动点最值问题分为以下几个步骤。
第一步,使用物理学的方法。
从物理学(运动学)的角度分析问题,求出变化过程中的速度和加速度等参数。
这种方法适用于解决一个物体在直线或平面上运动的问题。
我们可以将问题抽象为一个物理学问题,然后使用速度和加速度的公式来解决问题。
第二步,使用数学方法。
这是更为常见的方法,也是本文的核心部分。
在这种情况下,我们需要找到一个函数来表示参数的变化过程,然后对该函数求导,找到关键点,最终确定最大最小值。
第三步,使用计算机方法。
现代计算机很擅长解决动点最值问题,因为它们能够计算复杂的函数和大量的数据。
我们可以使用计算机做出模拟,然后找到最大或最小点。
这种方法往往需要程序员或科学家具备一定的计算机技能。
第四步,使用统计学方法。
在某些情况下,使用统计学方法可能更好。
例如,当我们面对大量数据时,我们可以用统计方法来确定数据变化的趋势。
在这种情况下,我们可能使用回归方法或其他统计学方法来找到变化过程的规律,最终决定最大最小值。
动点最值问题的常用解法
动点最值问题的常用解法动点最值问题是数学中一个很有趣的问题,它往往涉及到最大值或最小值的求解,难度并不小。
针对这种问题,数学家们提出了各种不同的解法,本文将介绍其中一些常用的方法。
一、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种利用约束条件求函数的最值的方法。
其基本思路是利用不等式的等式条件,将约束条件和目标函数融合,建立拉格朗日函数,最后对其求导,解出最优解。
这种方法的优点是精度高,适用条件广。
但是,由于需要解方程组,所以计算量比较大。
举个例子,要求函数 $f(x,y)$ 在方程 $g(x,y) = 0$ 的限制下的最大值,我们可以建立拉格朗日函数:$$L(x,y,\lambda) = f(x,y)+\lambda g(x,y)$$其中 $\lambda$ 为拉格朗日乘数。
对拉格朗日函数分别对$x,y,\lambda$求偏导数,并使它们等于0,得到以下方程组:$$\begin{cases}\nabla f(x,y) + \lambda \nabla g(x,y) = 0\\g(x,y) = 0\end{cases}$$解出这个方程组,就可以得到函数 $f(x,y)$ 在 $g(x,y)=0$ 限制下的最优解了。
二、图像解法图像解法是一种简单直观的方法,适合于几何意义比较明显的问题。
它的基本思路是将问题转化为图像,然后利用图像来求解最值问题。
例如,要求函数 $f(x,y)$ 在直线 $y=kx$ 上的最大值,我们可以将其转化为函数 $g(x) = f(x,kx)$ 的最大值问题。
接下来,我们可以利用图像解法,通过观察函数$g(x)$ 在 $[a,b]$ 区间的图像,来确定它的最大值点。
显然,最大值点的横坐标为$x_0$,纵坐标为 $f(x_0,kx_0)$,即可得到函数 $f(x,y)$ 在 $y=kx$ 上的最大值。
三、证明解法证明解法也是一种常用的方法,它的基本思路是通过分析问题的性质,得到问题的最值解,并给出相应的证明过程。
动点问题最值
动点问题(最值)1.如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=5米,AC=12米.M点在线段CA上,从C向A运动,速度为1米/秒;同时N点在线段AB上,从A向B运动,速度为2米/秒.运动时间为t秒.(1)当t为何值时,∠AMN=∠ANM?(2)当t为何值时,△AMN的面积最大?并求出这个最大值.2.如图,A、B两点的坐标分别是(8,0)、(0,6),点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动,速度为每秒3个单位长度,点Q由A出发沿AO(O为坐标原点)方向向点O作匀速直线运动,速度为每秒2个单位长度,连接PQ,若设运动时间为t(0<t<103)秒.解答如下问题:(1)当t为何值时,PQ∥BO?(2)设△AQP的面积为S,①求S与t之间的函数关系式,并求出S的最大值;②若我们规定:点P、Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则新坐标(x2﹣x1,y2﹣y1)称为“向量PQ”的坐标.当S取最大值时,求“向量PQ”的坐标.3.如图,在O A B C中,点A在x轴上,∠A O C=60o,O C=4c m.O A=8c m.动点P从点O出发,以1cm/s的速度沿线段OA→AB运动;动点Q同时..从点O出发,以acm/s的速度沿线段OC→CB运动,其中一点先到达终点B时,另一点也随之停止运动.设运动时间为t秒.(1)填空:点C的坐标是(______,______),对角线OB的长度是_______cm;(2)当a=1时,设△OPQ的面积为S,求S与t的函数关系式,并直接写出当t为何值时,S的值最大?* (3)当点P在OA边上,点Q在CB边上时,线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P 为顶点的三角形与△OAB相似,求a与t的函数关系式,并直接写出t的取值范围.4.如图,⊙C 的内接△AOB 中,AB=AO=4,tan∠AOB=43,抛物线2y ax bx =+经过点A(4,0)与点(-2,6)(1)求抛物线的函数解析式. (2)直线m 与⊙C 相切于点A 交y 轴于点D ,动点P 在线段OB 上,从点O 出发向点B 运动;同时动点Q 在线段DA 上,从点D 出发向点A 运动,点P 的速度为每秒1个单位长,点Q 的速度为每秒2个单位长,当PQ⊥AD 时,求运动时间t 的值(3)点R 在抛物线位于x 轴下方部分的图象上,当△ROB 面积最大时,求点R 的坐标.。
动点问题最值
GFD AEA C BD FBACDB动点问题最值最值问题有四种情形:定点到动点的最值,动点在圆上或直线上,就是点到圆的最近距离,和点到直线的最近距离;三角形两边之和大于第三边的问题,当两边成一直线最大;几条线段之和构成一条线段最小;还有就是对称点最小问题。
一、定点到动点所在圆的最大或最小值,动点在一个定圆上运动,其实质是圆外一点到圆的最大或最小距离,就是定点与圆心所在直线与圆的交点的两个距离。
方法:证明动点在圆上或者去找不变的特殊三角形,证明两个三角形相似,求出某些边的值。
1.如图,△ABC 、△EFG 均是边长为2的等边三角形,点D 是边BC 、EF 的中点,直线AG 、FC 相交于点M .当△EFG 绕点D 旋转时,线段BM 长的最小值是( ) A .32-B .13+C .2D .13-提示:点M 在以AC 为直径的圆上2.(2015•咸宁)如图,已知正方形ABCD 的边长为2,E 是边BC 上的动点,BF ⊥AE 交CD 于点F ,垂足为G ,连结CG .下列说法:①AG >GE ;②AE =BF ;③点G 运动的路径长为π;④CG 的最小值为﹣1.其中正确的说法是 ②③ .(把你认为正确的说法的序号都填上)提示:G 在以AB 为直径的圆上:正确答案是:②④3、如图,正方形ABCD 的边长为4cm,正方形AEFG 的边长为1cm ,如果正方形AEFG 绕点A旋转,那么C 、F 两点之间的最小距离为 4、如图,在边长为2的菱形ABCD 中,∠A=60°,M 是AD 边的中点,N 是AB 边上一动点,将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ,连接A ′C ,则A ′C 长度的最小值是 5、如图,等腰直角△ACB ,AC=BC=5,等腰直角△CDP ,且PB=2,将△CDP 绕C 点旋转.(1)求证:AD=PB(2)若∠CPB=135°,求BD ;(3)∠PBC= 时,BD 有最大值,并画图说明; ∠PBC= 时,BD 有最小值,并画图说明.分析:在△ABD 中有:BD ≤AB+AD ,当BD=AB+AD 时BD 最大,此时AB 与AD 在一条直线上,且AD 在BA 的延长线上,又△ACB 是等腰直角三角形,∠CAB=45°,由(1)知∠PBC=∠CAD=180°-45°=135° BD ≥AB-AD ,当BD=AB-AD 时BD 最小,此时,AB 与AD 在一条直线上,且AD 此时∠CAD=45°,所以∠PBC=∠CAD=45°6、如图,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,∠BAE=135°,AD=1,2,F 为BE 中点.(1)求CF 的长(2)将△ADE 绕A 旋转一周,求点F 运动的路径长; (3)△ADE 绕点A 旋转一周,求线段CF 的范围.CO ABPE ABC DFD A BC EHGF DAEH G FDA Exy MCM 1M 2A PO B A提示:本题根据中点构造三角形相似,△BOF ∽△BAE,且122OF AE == 7、如图,AB=4,O 为AB 中点,⊙O 的半径为1,点P 是⊙O 上一动点,以点P 为直角顶点的等腰△PBC (点P ,B ,C 按逆时针方向排列)则线段AC 的取值范围 2≤AP ≤32 提示:发现定等腰直角△AOC 与等腰直角△OBE ,从而得到相似。
初中动点最值问题题型
初中动点最值问题题型1. 什么是动点最值问题?初中数学中的动点最值问题是指给定一个动点在某个区域内移动的情况,我们需要找出在这个过程中,某个量的最大值或最小值。
这个问题涉及到数学中的函数、图像和变量的运动等概念。
2. 动点最值问题的解决思路要解决动点最值问题,我们需要经过以下几个步骤:步骤一:明确问题首先,我们需要明确问题,确定要求解的量是什么。
常见的量包括距离、时间、面积等。
步骤二:建立模型接下来,我们需要建立一个数学模型来描述动点的运动情况。
这通常涉及到函数和变量的运用。
可以根据具体情况选择直角坐标系或极坐标系来建立模型。
步骤三:求解最值通过对模型进行分析和计算,可以得到函数表达式。
然后使用数学方法求解该函数的最大值或最小值。
常见的求解方法有导数法、平方差法等。
步骤四:验证答案得到答案后,我们需要验证它是否符合实际情况。
可以通过数学推导、图像观察等方式进行验证。
3. 动点最值问题的例子下面以一个具体的例子来说明动点最值问题的解决思路:例子:一个人在河边沿着一条弯曲的小路行走,他从A点出发,经过B、C、D三个点,最后到达E点。
小路的形状如下图所示:我们需要求解以下两个问题:1.从A点到E点的最短距离是多少?2.从A点到E点经过的路径是什么?步骤一:明确问题1.最短距离2.路径步骤二:建立模型我们可以将小路看作一个连续函数,使用直角坐标系来建立模型。
假设小路的函数表达式为y = f(x)。
步骤三:求解最值1.最短距离:我们需要求解函数f(x)在区间[AB]、[BC]、[CD]和[DE]上的最小值。
2.路径:根据求解出来的最小值,可以确定经过哪些点构成了最短路径。
步骤四:验证答案1.最短距离:通过计算和比较,可以验证最小值是否正确。
2.路径:通过观察图像和计算距离,可以验证路径是否正确。
4. 总结初中动点最值问题是数学中常见的一类问题,需要运用函数、图像和变量的概念来建立模型,并通过数学方法求解最大值或最小值。
有限制条件的动点最值问题(一)
有限制条件的动点最值问题(一)有限制条件的动点最值问题1. 问题定义动点最值问题是指在一定的限制条件下,寻找函数在某个区间内的最大值或最小值。
有限制条件的动点最值问题则是在问题定义中增加了特定的限制条件,进一步限制了解的范围。
2. 相关问题线性约束下的动点最值问题在问题解决过程中,需要考虑线性约束条件给解的空间带来的限制。
例如,给定一个函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续, 在区间的两个端点上的函数值已知,求函数在该区间上的最大值或最小值。
非线性约束下的动点最值问题如果约束条件是非线性的,即给定的限制条件与 x 的关系不满足线性关系,代表了更加复杂的约束条件。
解决这类问题通常需要运用较为复杂的数学方法,如拉格朗日乘子法等。
多约束条件下的动点最值问题多约束条件下的动点最值问题通常指同时满足多个限制条件下的最优值。
这类问题的解决需要将多个约束条件转化为一个综合条件,从而求出最优解。
动点最大/最小值问题的实际应用动点最值问题在实际生活中有广泛的应用。
例如,在生产过程中确定某种材料的最佳用量,以达到最大效益;在投资过程中找到最佳的投资组合,以最大化收益等。
3. 解决方法解决有限制条件的动点最值问题通常需要采用数学方法进行求解,具体方法根据问题的特点选择。
其中,常见的解决方法包括但不限于:- 求导法:对给定的函数进行求导,寻找函数的极值点,从而得到最大/最小值。
- 极值判定法:通过判定函数在区间内各个端点处的值以及在极值点处的值来确定最值。
- 条件转化法:将给定的约束条件进行转化,使其成为易于计算的形式,再寻求最值。
4. 总结有限制条件的动点最值问题是求解函数在给定约束条件下的最大值或最小值。
针对不同的约束条件,采用不同的数学方法可以解决这类问题。
在实际应用中,有限制条件的动点最值问题能够辅助我们做出更优的决策,提高效益。
动点和最值问题
动点和最值问题基本图形:一:两定一动型(“两个定点,一个动点”的条件下求最值。
例如上图中直线l的同侧有两个定点A、B,在直线l上有一动点)例1、1、以正方形为载体如图,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形内,在对角线AC上有一动点P,使PD+PE的值最小,则其最小值是2√32、以直角梯形为载体例2:如图,在直角梯形中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=DC=5,点P在BC上移动,当PA+PD取得最小值时,△APD中AP边上的高为8√17/173、以圆为载体:如图,AB、CD是半径为5的⊙O的弦,AB=8,CD=6,MN为直径,AB⊥MN于E,CD⊥MN于F,P为EF上的任意一点,则PA+PC的最小值为4、以直角坐标系为载体如图,一次函数y=kx+b的图像与x、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4).(1)求函数的解析式.(2)O为坐标原点,设OA、AB的中点分别是C、D,P为OB上一动点,求PC+PD的最小值为y=-2x+4 ,此时P点的坐标为(0,1)5、以抛物线为载体已知y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=-1,与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中A(-3,0),C(0,-2),若在x=-1上存在点P,使得△PBC的周长最小,则P 的坐标为(-1,-4/3)二、一定两动型(“一个定点”+“两个动点”)1、以三角形为载体如图,在阅角△ABC中,AB=4√2,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N 分别是AD、AB上的动点,则BM+MN的最小值是|2、以正方形、圆、角为载体正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是AC上的一动点.连接BD,则PB+PE 的最小值是√5如图,⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB, ∠AOC=60°,P是OB上的一动点,则PA+PC的最小值是2√3如图,∠AOB=45°,P是∠AOB内一点,PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点,求△PQR周长的最小值是10√2 .三、两定两动型(两个定点+两个动点).恩施州自然风光无限,特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷(A )和世界级自然保护区星斗山(B )位于笔直的沪渝高速公路X 同侧,AB=50km,A 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A 、B 两景区运送游客.小民设计了两种方案,图10(1)是方案一的示意图(AP 与直线X 垂直,垂足为P),P 到A 、B 的距离之和S 1=PA+PB ; 图10(2)是方案二的示意图(点A 关于直线X 的对称点是A',连接BA'交直线X 于点P),P 到A 、B 的距离之和S 2=PA+PB.(1).求S 1 、S 2 ,并比较它们的大小.、(2).请你说明S 2=PA+PB 的值为最小.(3).拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直,建立如图所示的直角坐标系,B 到直线Y 的距离为30km,请你在X旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q,使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.解:⑴图10(1)中过B 作BC ⊥AP,垂足为C,则PC=40,又AP=10,[∴AC=30 . 1分在Rt △ABC 中,AB=50 AC=30 ∴BC=40∴ BP=24022=+BC CPS 1=10240+ 2分⑵图10(2)中,过B 作BC ⊥AA ′垂足为C ,则A ′C=50,又BC=40∴BA'=4110504022=+图11(1) X A BY B'由轴对称知:PA=PA'∴S 2=BA'=4110 3分∴1S ﹥2S 4分(2)如 图10(2),在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA',由轴对称知MA=MA' :∴MB+MA=MB+MA'﹥A'B∴S 2=BA'为最小 7分(3)过A 作关于X 轴的对称点A', 过B 作关于Y 轴的对称点B',连接A'B',交X 轴于点P, 交Y 轴于点Q,则P,Q 即为所求 8分 过A'、 B'分别作X 轴、Y 轴的平行线交于点G, A'B'=5505010022=+ ∴所求四边形的周长为55050+ 10分。
初中数学动点最值问题
初中数学动点最值问题动点最值问题,听起来有点复杂,但其实就像是在追逐一个小精灵,想要抓住它最美的瞬间。
想象一下,你在操场上,看到一个小球在地上滚动,突然停下来了,这个瞬间就是它的“最值”。
你心里想,这个小球到底能滚多远,能停在哪个地方?这就是我们今天要聊的事情,动点和最值,听着是不是有点小激动呢?好啦,首先我们要明白动点是什么。
动点,就像是一个在平面上随意移动的小家伙,想去哪就去哪。
可能它是个调皮的孩子,也可能是一只自由的小鸟,飞来飞去。
无论它怎么动,我们的任务就是观察它,并且找出它在某个范围内能达到的最远或最近的地方。
比如说,我们把它限制在一个圈里,那它能飞得多远呢?能停在哪里呢?这些问题可真让人好奇。
最值问题就来了。
最值,就像是大海里的珍珠,可能是最亮的、最美的,甚至是最难找到的。
我们要做的就是在众多选择中,找到那个“最”的东西。
想象你在找最美的花,或者是最甜的水果,都是这个道理。
数学里也有这样的挑战,动点在某个条件下,它的坐标要达到一个最高或最低点。
就像你想找一个能够给你最大快乐的游乐设施,或者最美的风景,都是为了追寻那一刻的“最值”。
而这其中,几何图形就像是我们的舞台。
我们把动点的路径画出来,就像是在纸上画了一幅美丽的画。
它在直线上移动,有时候它在曲线中徘徊。
你会发现,只要我们把动点的路径画出来,它就会让我们的思路更加清晰。
就像是绘画,越详细,越好理解。
找到动点的最值,也就像是画出那幅画的关键部分,让整幅画变得生动起来。
再说说具体的方法。
我们可以用一些简单的数学工具,比如导数。
听起来复杂?其实就是找出动点的变化率。
如果你把动点的运动过程写成一个方程,导数就像是这方程的“教练”,告诉你在某一点它的变化有多快,甚至是最慢。
就像运动员在比赛中要知道自己的速度一样,动点也需要这个“教练”来指导它,找到最佳的表现。
动点不只是停留在数学课本里,它还跟我们的生活息息相关。
比如说,你在跑步的时候,想要找到最省力的方式,或者在玩游戏时想要找到最快的过关路线,这些都跟动点的最值问题有着千丝万缕的联系。
专题动点问题——线段最值(含答案)
动点问题——线段最值动点问题中,经常要求线段的最值。
首先要弄清动点的运动轨迹,从哪里到哪里,是直线还是曲线,有没有特殊位置;然后根据图形特征找解决问题途径。
一般来说,能找到图中求最值的位置,就按特殊位置的特征求最值;若找不到图中最值的特殊位置,最好建立函数,用函数思想解决最值问题。
一、找到特殊位置,求线段最值(或动点路程)1、(2019泰安)如图,矩形ABCD 中,AB =4,AD =2,E 为AB 的中点,F 为EC 上一动点,P 为DF 中点,连接PB ,则PB 的最小值是。
分析:取DE ,DC 中点分别为M ,N .点F 从E 运动到点C ,则点P 从点M 运动到点N .根据“垂线段最短”,当BP 垂直于MN 时,PB 最小。
作BH ⊥MN 垂足为H .当点P 与点H 重合时,PB 最小。
PB =BH∠CEB =∠EBH =045 122PB DE =+ 12222=⨯+ 22=说明:从起点到终点,先找出点P 的运动轨迹,再分析最值。
2、(2019宿迁)如图,正方形ABCD 的边长为4,E 为BC 上一点,且BE =1,F 为AB 边上的一个动点,连接EF ,以EF 为边向右侧作等边三角形EFG ,连接CG ,则CG 的最小值为 分析:点F 在起点B 处时,作等边'EBB ∆,连接'B G ,得射线''B F ,点G 在其上运动。
∵ 'BE B E =,'''BEB B EF FEG B EF ∠+∠=∠+∠,EF EG =∴△EBF ≌△'EB G∴∠'GB E =∠FBE =090. 当点'B 在EF 上时,CG ⊥'B G ,CG 最小。
(根据“垂线段最短”) 35122CG =+= 3、(2019桂林)如图,在矩形ABCD 中,AB =3,AD =3,点P 是AD 边上的一个动点,连接BP ,作点A 关于直线BP 的对称点1A ,连接1A C ,设1A C 的中点为Q ,当点P 从点A 出发,沿边AD 运动到点D 时停止运动,点Q 的运动路径长为。
动点与最值问题解题技巧
动点与最值问题解题技巧【实用版4篇】篇1 目录1.动点与最值问题概述2.动点与最值问题的解题技巧3.动点与最值问题的应用篇1正文一、动点与最值问题概述动点与最值问题是数学中的一类常见问题,主要涉及到点在平面直角坐标系中的运动以及函数的最值求解。
这类问题通常需要结合几何知识、函数知识以及代数知识进行求解。
二、动点与最值问题的解题技巧1.理解问题:仔细阅读题目,理解问题的含义和限制条件,明确求解的目标。
2.建立模型:根据问题建立合适的数学模型,可以使用函数、方程、几何图形等方法。
3.求解模型:使用数学工具和方法求解模型,得到结果。
4.验证结果:验证所得结果是否符合问题要求,是否具有实际意义。
三、动点与最值问题的应用动点与最值问题在生活和工程中有着广泛的应用。
例如,在建筑设计、桥梁设计、道路设计等领域中,需要考虑动点的运动和最值问题,以保证设计的合理性和可行性。
篇2 目录1.动点与最值问题概述2.动点与最值问题的解题技巧3.动点与最值问题的应用篇2正文一、动点与最值问题概述动点与最值问题是数学中的常见问题,涉及到的知识点包括几何、函数、导数等。
这类问题具有综合性强、难度较大的特点,需要学生具备扎实的基础知识和灵活的解题技巧。
二、动点与最值问题的解题技巧1.理解问题本质:首先需要仔细阅读题目,理解问题的本质,确定动点的运动方式和约束条件。
2.建立数学模型:根据题目中的几何关系和函数关系,建立数学模型,使用几何或函数的方法描述问题。
3.寻找解题方法:根据具体问题选择合适的方法,如代数方法、几何方法、微积分方法等。
4.优化解题过程:在解题过程中,要善于利用各种技巧,如配方、拆项、代入数值等,使解题过程更加简洁。
三、动点与最值问题的应用动点与最值问题在日常生活和工程中都有广泛的应用,如建筑工程中的最短路径问题、交通规划中的最优路径问题等。
篇3 目录1.动点与最值问题的联系与区别2.动点问题的解题技巧3.最值问题的解题技巧篇3正文一、动点与最值问题的联系与区别动点问题与最值问题都是中学数学中常见的几何问题,它们在解题思路上有许多相似之处,但也有一些区别。
初中几何动点最值问题难题集锦
初中几何动点最值问题难题集锦初中几何动点最值问题是初中数学中的一道难题类型。
动点最值问题考察动点在几何形状内运动时,某一量的最大值或最小值的求解方法。
下面是一些初中几何动点最值问题的难题集锦。
1.【问题描述】在一个矩形ABCD中,点P动态地沿着矩形的边移动,求线段AP的最长长度。
【解答】假设矩形ABCD的边长为a和b(a<b),点P动态地沿着矩形的边移动。
我们可以观察到,当点P处于矩形的顶点A或D时,线段AP的长度为a;当点P处于矩形的顶点B或C时,线段AP的长度为b。
因此,线段AP的最长长度为b。
2.【问题描述】在一个圆形O内,点P动态地沿着圆的周长移动,求线段OP的最长长度。
【解答】设圆的半径为r,点P动态地沿着圆的周长移动。
根据三角形的性质,可以知道线段OP的长度最长时,点P应该位于圆的周长上的与点O相对的点,即直径上的点。
因此,线段OP的最长长度为2r。
3.【问题描述】在一个正方形ABCD内,点P动态地沿着正方形的边移动,求线段BP的最长长度。
【解答】设正方形ABCD的边长为a,点P动态地沿着正方形的边移动。
由于线段BP的长度等于点P距离B点的距离,所以线段BP的最长长度为正方形的对角线长度,即√2a。
4.【问题描述】在一个等腰直角三角形ABC中,点P动态地沿着三角形的边移动,求线段AP的最长长度。
【解答】设等腰直角三角形ABC的等腰边长为a,点P动态地沿着三角形的边移动。
可以观察到,当点P处于顶点B或C 时,线段AP的长度为a;当点P处于顶点A时,线段AP的长度为0。
因此,线段AP的最长长度为a。
5.【问题描述】在一个梯形ABCD中,点P动态地沿着梯形的边移动,求线段CP的最长长度。
【解答】设梯形ABCD的上底长为a,下底长为b(a>b),点P动态地沿着梯形的边移动。
可以观察到,当点P处于梯形的底端点C或顶端点D时,线段CP的长度为0;当点P处于梯形的上底端点A时,线段CP的长度为ab。
中考数学复习:专题三:动点或最值问题
点拨:在 Rt△AOB 中,∵∠ABO=30°,AO=1,∴AB=2,BO = 22-12= 3,①当点 P 从 O→B 时,如图 1、图 2 所示,点 Q 运动的 路程为 3;②当点 P 从 B→C 时,如图 3 所示,这时 QC⊥AB,则∠ACQ =90°,∵∠ABO=30°,∴∠BAO=60°,∴∠OQD=90°-60°= 30°,∴cos30°=ACQQ,∴AQ=cosC3Q0°=2,∴OQ=2-1=1,则点 Q 运动的路程为 QO=1;③当点 P 从 C→A 时,如图 3 所示,点 Q 运动的 路程为 QQ′=2- 3;④当点 P 从 A→O 时,点 Q 运动的路程为 AO=1, ∴点 Q 运动的总路程为 3+1+2- 3+1=4,故答案为 4
【点评】 本题主要考查轴对称的应用,利用最小值的常规解法确定 出点A的对称点,从而确定出AP+PQ的最小值的位置是解题的关键,利 用条件证明△AA′D是等边三角形,借助几何图形的性质可以减少复杂的 计算.
[对应训练] 2.(1)(2016·贵港)如图,抛物线 y=-112x2+32x+53与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C.若点 P 是线段 AC 上方的抛物线上一动点,当 △ACP 的面积取得最大值时,点 P 的坐标是( B ) A.(4,3) B.(5,3152) C.(4,3152) D.(5,3)
解决最值问题的两种方法: (1)应用几何性质: ①三角形的三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边; ②两点间线段最短; ③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短; ④定圆的所有弦中,直径最长. (2)运用代数证法: ①运用配方法求二次三项式的最值; ② 运用一元二次方程根的判别式.
【例 2】 (2016·雅安)如图,在矩形 ABCD 中,AD=6,AE⊥BD, 垂足为 E,ED=3BE,点 P,Q 分别在 BD,AD 上,则 AP+PQ 的最小 值为( D )
中考数学复习:专题三:动点或最值问题
(2)(2016·泸州)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),B(1-a ,0),C(1+a,0)(a>0),点P在以D(4,4)为圆心,1为半径的圆上运动 ,且始终满足∠BPC=90°,则a的最大值是___6_.
专题三 动点或最值问题
动点问题是指以几何知识和图形为背景,渗入运动变化观点的一类问 题,常见的形式是:点在线段、射线或弧线上运动等.此类题的解题方 法:
1.利用动点(图形)位置进行分类,把运动问题分割成几个静态问题, 然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题.
2.利用函数与方程的思想和方法将要解决图形的性质(或所求图形面 积)直接转化为函数或方程.
点拨:∵点 A,B 的坐标分别为(8,0),(0,2 3),∴BO=2 3,AO =8,由 CD⊥BO,C 是 AB 的中点,可得 BD=DO=12BO= 3=PE, CD=21AO=4,设 DP=a,则 CP=4-a,
延长 BP 交 CE 于 F,当 BP 所在直线与 EC 所在直线第一次垂直时, ∠FCP=∠DBP,又∵EP⊥CP,PD⊥BD,∴∠EPC=∠PDB=90°,∴ △EPC∽△PDB,∴DPEP=DPCB,即 a3=4-3a,解得 a1=1,a2=3(舍去), ∴DP=1,又∵PE= 3,∴P(1, 3)
【点评】 本题主要考查轴对称的应用,利用最小值的常规解法确定 出点A的对称点,从而确定出AP+PQ的最小值的位置是解题的关键,利 用条件证明△AA′D是等边三角形,借助几何图形的性质可以减少复杂的 计算.
[对应训练] 2.(1)(2016·贵港)如图,抛物线 y=-112x2+32x+53与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C.若点 P 是线段 AC 上方的抛物线上一动点,当 △ACP 的面积取得最大值时,点 P 的坐标是( B ) A.(4,3) B.(5,3152) C.(4,3152) D.(5,3)
动点问题最值
v1.0 可编辑可修改动点问题最值最值问题有四种情形:定点到动点的最值,动点在圆上或直线上,就是点到圆的最近距离,和点到直线的最近距离;三角形两边之和大于第三边的问题,当两边成一直线最大;几条线段之和构成一条线段最小;还有就是对称点最小问题。
一、定点到动点所在圆的最大或最小值,动点在一个定圆上运动,其实质是圆外一点到圆的最大或最小距离,就是定点与圆心所在直线与圆的交点的两个距离。
方法:证明动点在圆上或者去找不变的特殊三角形,证明两个三角形相似,求出某些边的值。
1.如图,△ABC、△EFG均是边长为2的等边三角形,点D是边BC、EF的中点,直线AG、FC相交于点M.当△EFG绕点D旋转时,线段BM长的最小值是()A.33-2-B.13+C.2D.1提示:点M在以AC为直径的圆上2.(2015•咸宁)如图,已知正方形ABCD的边长为2,E是边BC上的动点,BF⊥AE交CD 于点F,垂足为G,连结CG.下列说法:①AG>GE;②AE=BF;③点G运动的路径长为π;④CG的最小值为﹣1.其中正确的说法是②③.(把你认为正确的说法的序号都填上)提示:G在以AB为直径的圆上:正确答案是:②④3、如图,正方形ABCD的边长为4cm,正方形AEFG的边长为1cm,如果正方形AEFG绕点AAB 旋转,那么C、F两点之间的最小距离为4、如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,N是AB边上一动点,将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN,连接A′C,则A′C长度的最小值是5、如图,等腰直角△ACB,AC=BC=5,等腰直角△CDP,且PB=2,将△CDP绕C点旋转.(1)求证:AD=PB(2)若∠CPB=135°,求BD;(3)∠PBC= 时,BD∠PBC= 时,BD分析:在△ABD中有:BD≤AB+AD,当BD=AB+AD时BD最大,此时AB与AD在一条直线上,且AD在BA的延长线上,又△ACB是等腰直角三角形,∠CAB=45°,由(1)知∠PBC=∠CAD=180°-45°=135°CABAACCBD ≥AB-AD ,当BD=AB-AD 时BD 最小,此时,AB 与AD 在一条直线上,且AD 在线段AB 上,此时∠CAD=45°,所以∠PBC=∠CAD=45°6、如图,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,∠BAE=135°,AD=1, ,F 为BE 中点. (1)求CF 的长(2)将△ADE 绕A 旋转一周,求点F 运动的路径长; (3)△ADE 绕点A 旋转一周,求线段CF 的范围.提示:本题根据中点构造三角形相似,△BOF ∽△BAE,且227、如图,AB=4,O 为AB 中点,⊙O 的半径为1,点P 是⊙O 上一动点,以点P 为直角顶点的B ,C 按逆时针方向排列)则线段AC提示:发现定等腰直角△AOC 与等腰直角△OBE ,从而得到相似。
动点最值问题方法+经典例题
动点最值问题方法+经典例题
动点最值是初中数学的难点内容,它考察的知识点很多,动点最值有很多类型,本次课程我们不仅总结了解决最值问题的基本方法,还给大家准备了经典例题基本方法
1最经济问题2利用三角形两边差求最值
3转化垂直求最值4平移构造平行四边形求最值5勺子形连两端求最值6对称连两端求最值
7构造两定边求最值8转化构造两定边求最值
9面积转化法求最值10相似转化法求最值
11系数化一法求最值12胡不归原理13轨迹最值14三动点的最值三角形15费马点今天就讲到这儿,还有很多内容我一下子没办法讲完,只能一点点讲。
同学们,下课。
动点问题中的最值问题
动点问题中的最值问题动点问题中的最值问题,听起来是不是有点学术范儿?不过,别担心,今天咱们就像聊家常一样,轻松聊聊这个话题。
想象一下,一个小球在一个平面上自由地滚动,嘿,它的轨迹可能像一条蛇,弯弯曲曲的。
这小球一会儿高一会儿低,正是我们要寻找的“最值”。
说到最值,就是在这条曲线上,哪一点是最高的,哪一点又是最低的。
这就像咱们生活中的起起伏伏,有时候高兴得像个小鸟,有时候又低落得像被压扁的饼干。
我们来看看这个“动点”的概念。
动点就像是你我,都是在不断变化的,瞬息万变。
想象一下,你在操场上奔跑,身边的小伙伴们也是四处跑动,谁快谁慢,谁高谁低,哎,动点问题就是要把这种变化给抓住。
这其中有趣的是,动点的位置和速度总是有关系的。
速度快了,位置就变了,正如我们生活中,抓住机遇的时刻总是稍纵即逝。
所以,要想找到最值,就得对这个动点的路径进行深度剖析,像侦探一样,追踪它的每一个动作。
接着咱们聊聊这个最值问题。
最值就像是人生的巅峰,做的每一个选择都可能导致不同的结果。
有时候我们要爬上高峰,想要达到理想的状态;而嘿,低谷也未必是坏事。
回想一下,考试的时候,复习得特别认真,结果出来后,发现自己意外地得了高分,爽呆了。
但有时候明明准备得很充分,却还是不尽如人意。
最值问题在这里就像一根红线,把我们的经历串联起来,让我们明白如何在这条曲线中找到那个闪光点。
不过,要想在这条动点的曲线上找到最值,得掌握一些小窍门。
得会画图。
对,就是简单的画图。
用纸和笔把动点的轨迹给勾勒出来,像艺术家一样把心中的画卷展现出来。
你会发现,有些地方高得让人咋舌,有些地方则低得令人心痛。
就像在生活中,有些事情让人欢喜,另一些则让人唏嘘。
通过这种方式,我们就能在这幅图中,找出那个“最值”所在。
公式也是不可或缺的。
是的,公式听上去有点乏味,但它们就像调味料,给我们的分析添了不少风味。
比如说,导数的概念,简单来说,就是观察动点在某一点的变化率。
利用导数,我们就能找到那些极值点,找到动点在什么时候达到最高或最低的状态。
动点问题最值
GFD ABCEA'MCDABNPCB动点问题最值最值问题有四种情形:定点到动点得最值,动点在圆上或直线上,就就是点到圆得最近距离,与点到直线得最近距离;三角形两边之与大于第三边得问题,当两边成一直线最大;几条线段之与构成一条线段最小;还有就就是对称点最小问题。
一、定点到动点所在圆得最大或最小值,动点在一个定圆上运动,其实质就是圆外一点到圆得最大或最小距离,就就是定点与圆心所在直线与圆得交点得两个距离。
方法:证明动点在圆上或者去找不变得特殊三角形,证明两个三角形相似,求出某些边得值。
1.如图,△ABC 、△EFG 均就是边长为2得等边三角形,点D 就是边BC 、EF 得中点,直线AG 、FC 相交于点M .当△EFG 绕点D 旋转时,线段BM 长得最小值就是( ) A .32-B .13+C .2D .13-提示:点M 在以AC 为直径得圆上2.(2015•咸宁)如图,已知正方形ABCD 得边长为2,E 就是边BC 上得动点,BF ⊥AE 交CD 于点F ,垂足为G ,连结CG .下列说法:①AG >GE ;②AE =BF ;③点G 运动得路径长为π;④CG 得最小值为﹣1.其中正确得说法就是 ②③ .(把您认为正确得说法得序号都填上)提示:G 在以AB 为直径得圆上:正确答案就是:②④3、如图,正方形ABCD 得边长为4cm,正方形AEFG 得边长为1cm ,如果正方形AEFG 绕点A旋转,那么C 、F 两点之间得最小距离为 4、如图,在边长为2得菱形ABCD 中,∠A=60°,M 就是AD 边得中点,N 就是AB 边上一动点,将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ,连接A ′C ,则A ′C 长度得最小值就是5、如图,等腰直角△ACB ,AC=BC=5,等腰直角△CDP ,且PB=2,将△CDP 绕C 点旋转、CABAAA GDDA E(1)求证:AD=PB(2)若∠CPB=135°,求BD ;(3)∠PBC= 时,BD 有最大值,并画图说明; ∠PBC= 时,BD 有最小值,并画图说明、PBC=∠AB 上,6、如图,△ABC 与△ADE °,AD=1,,F 为BE 中点、(1)求CF 得长(2)将△ADE 绕A 旋转一周,求点F 运动得路径长; (3)△ADE 绕点A 旋转一周,求线段CF 得范围、提示:本题根据中点构造三角形相似,△BOF ∽△BAE,且7、如图,AB=4,O 为AB 中点,⊙O 得半径为1,点P 得等腰△PBC (点P ,B ,C 按逆时针方向排列)则线段AC AOC 中,AE-CE ≤AC AE ∥BC 交⊙O 于E ADE9、AB=4,E 为形外一点,且∠点,求BF 连AC,取DC 中点中点H ,则△FGH ∽△∴12GH AD ==∠DEA=90°,∴点F 在以GH 小距离。
动点最值问题
两条线段求最值PA+K*PB型1.PA+PB型1.1 两定一动(将军饮马)此类在学生学完对称后就可以适当进行讲解了出现一个动点的解题方法这类试题的解决方法主要是通过轴对称,将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个,映射到直线的另一侧。
当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时,由“两点之问线段最短”可知线段和的最小值,最小值为定点线段的长。
引:如图在直线 l 上找一点 P 使 AP+BP 最短。
解:(1)如果两点在直线异侧,如图(1),连接 AB 交直线 l 于点 P,则点 P 为所示作的点;(2)如果两点在直线同侧,如图(2),可通过轴对称把问题转化为两点在直线异侧的情况。
证明:如下图所示,从 B 出发向河岸引垂线,垂足为 D,在 BD 的延长线上,取 B 关于河岸的对称点 B',连结 AB',与河岸线相交于 P,则 P 点就是所求作的点,只要从 A 出发,沿直线到 P,再由 P 沿直线走到 B,所走的路程就是最短的。
如果在河边的另外任一点 C, 则CB=CB’,但是,AC+CB=AC+CB'>AB'=AP+PB'=AP+PB。
可见,在 P 点外任何一点 C,它与 A、B两点的距离和都比 AP+PB 都长。
本质:两点之间,线段最短。
【牛刀小试】1.如图,正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 AB 的中点,P 是 AC 上一动点.则PB+PE 的最小值是____________.2.如图所示,正方形 ABCD 的面积为 12,△ABE 是等边三角形,点 E 在正方形 ABCD 内,在对角线 AC 上有一点 P,使 PD+PE 的和最小,则这个最小值为__________.3.如图,MN 是半径为 1 的⊙O 的直径,点 A 在⊙O 上,∠AMN=30°,B 为AN 弧的中点, P 是直径MN 上一动点,则 PA + PB 的最小值为_________.4.如图,AB 是⊙O 的直径,AB=8,点 M 在⊙O 上,∠MAB=20°,N 是弧 MB的中点,P 是直径 AB 上的一动点.若 MN=1,则△PMN 周长的最小值为________.5.已知 A(-2,3),B(3,1),P 点在 x 轴上,若 PA+PB 长度最小,则最小值为____________.6.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠B=60°,点 D 是 BC 边上的点,CD=1,将△ABC 沿直线 AD 翻折,使点 C 落在 AB 边上的点 E 处,若点 P 是直线 AD 上的动点,则△PEB 的周长的最小值是__________。
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动点最值问题
问题分类:
1.双线段之和最短,单对称模型(将军饮马问题);
技巧:作定点关于动点所在直线对称点。
2.三线段之和最短,①双对称模型;
①费马点:技巧---绕任意顶点向外旋转60°
3.单线段最短(一动一定):①在直线上运动;
①在圆上动(“圆”形毕露)
4.单线段最大值:利用三角形三边关系。
例一、
1、如图,要在河边修建一个水泵站,分别向张村A和李庄B送水,已知张村A、李庄B到河边的距离分别为2km和7km,且张、李二村庄相距13km.
(1)水泵应建在什么地方,可使所用的水管最短?请在图中设计出水泵站的位置;
(2)如果铺设水管的工程费用为每千米1000元,为使铺设水管费用最节省,请求
出最节省的铺设水管的费用为多少元?
2. 点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上,建立平面直角坐标系如图所示.若P是x轴上使得 |PA -PB|的值最大的点,Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点,则P点的坐标为 Q 的坐标为.
1、如图所示的平面直角坐标系中,点P 是直线y=x 上的动点,A (1,0),B (2,0)是x 轴上的两点, 则PA+PB 的最小值为
2、如图,两点A 、B 在直线MN 外的同侧,A 到MN 的距离AC=8,B 到MN 的距离BD=5,CD=4,P 在直线 MN 上运动,则PA PB 的最大值等于
3.如图,圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ,在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜,此时一 只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm .
4.如图,在平面直角坐标系中,Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上,顶点B 的坐标为(3,3),点C 的坐标为(2
1,0),点P 为斜边OB 上的一动点,则PA +PC 的最小值为 .
1题 2题 3题 4题 5、如图,在矩形ABCD 中,AB =6,BC =8,点E 是BC 中点,点F 是边CD 上的任意一点,当△AEF 的周长最小时,则DF 的长为
6、如图,正方形ABCD 中,AB=4,E 是BC 的中点,点P 是对角线AC 上一动点,则PE+PB 的最小值为 .
7、如图,已知点A(1,1)、B(3,2),且P 为x 轴上一动点,则△ABP 的周长的最小值为 .
5题 6题 7题
A B C
D
P
M N
(基本题型)1、在△ABC中,AB=AC=5,BC=6.若点P在边AC上移动,则BP
的最小值是.
自我练习
1、如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上一个动点,若PA=3,则PQ的最小值为
2、如图,已知点P是∠AOB角平分线上的一点,∠AOB=60°,PD⊥OA,M是OP的中点,DM=4cm,如果点C是OB上一个动点,则PC的最小值为
3、如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=4,连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若P是BC边上一动点,则DP长的最小值为.
4、如图,已知点A的坐标为(2,0),点B在直线y=x上运动,则当线段AB最短时,点B的坐标为______.
1题 2题 3题 4题
自我练习
1、如图,正方形ABCD的边长是4,∠DAC的平分线交DC于点E,若点P、Q分别是AD和AE上的动点,则DQ+PQ的最小值
2、如图,在ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD是BC边上的中线,M是AC边上的动点,则CM+EM的最小值为
3、如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=5cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,△PMN周长的最小值是5cm,则∠AOB的度数是
4、如图,点P是∠AOB内一定点,点M、N分别在边OA、OB上运动,若∠AOB=45°,OP=32,则△PMN 周长的最小值为 .
1题 2题 3题 4题
N
M
O
P
B
5、如图,在△ABC中,ACB
=90°,AC=6,BC=8,AD是∠BAC的平分线.若P,Q分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ
的最小值是
6、如图,已知∠DAE=22.5°,点C是射线AE上一点,且线段AC=3,若点M和点N 分别是射线AD和线
段AC上的两个动点,则MN+MC的最小值是。
7、如图,已知∠AOB=30°,点C是射线OB上一点,且线段OC=3,D是射线OA上一点,且OD=1若点M
和点N 分别是射线AD和线段AC上的两个动点,则DM+MN+NC的最小值是
5题 6题 7题
8、如图,四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,使△AMN
周长最小时,则∠AMN+∠ANM的度数为
例三、
农场里有一条小河,里面养了很多鱼。
在河的两岸有两个加工厂,农场主经常要在这两个工厂之间来回
奔波。
农场新买了一辆汽车,想在农场内建造一条马路,同时在河上修建一座桥。
要求桥与河岸垂直,
可是桥应该建在何处,才能使两个加工厂之间的路程最短?
问题的延伸:如果有两条河,需要建造两座桥,又该如何呢?如图,把A向下平移到A’的位置,使线
段AA’等于河L1-L2的宽度;把B向上平移到B’的位置,使线段BB’等于河L3-L4的宽度。
连接线
段B’A’,交L2于点C,交L3于点F。
过C、F分别作垂线段CD、FE,就是建桥的位置。
如果有三条河
又如何?更多的河流建更多的桥又如何呢?
A
B
L2
L1
自我练习
1.如图,已知平面直角坐标系,A 、B 两点的坐标分别为A (2,-3),B (4,-1).若C (a ,0),D (a+3,0)是x 轴上的两个动点,则当a= 时,四边形ABDC 的周长最短.
2、如图,当四边形PABN 的周长最小时,a= .
3、如图,在边长为10的菱形ABCD 中,对角线BD=16.点E 是AB 的中点,P 、Q 是BD 上的动点,且始终保持PQ=2.则四边形AEPQ 周长的最小值为 .(结果保留根号)
1题 2题 3题
例四、
1、如图,∠MON=90°,矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ,ON 上,当B 在边ON 上运动时,A 随之在边
OM 上运动,矩形ABCD 的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中,点D 到点O 的最大距离为
2、在△ABC 中,∠BAC=120°,AB=AC=4,M 、N 两点分别是边AB 、AC 上的动点,将△AMN 沿MN 翻折,A 点的对应点为A ′,连接BA ′,则BA ′的最小值是_________.
N (
a +2,0)
P (a ,0)B (4,-1)A (1,-3)
O y
x
A'
N
M
C
B A
自我练习
1. 在Rt △ACB 中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,P 、Q 两点分别是边AC 、BC 上的动点,
将△PCQ 沿PQ 翻折,C 点的对应点为C',连接A C',则A C'的最小值是_________.
2、如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=2,点A 、C 分别在x 轴、y 轴上,当点A 在x 轴上运动时,点C 随之在y 轴上运动,在运动过程中,点B 到原点的最大距离是 .
3、如图,E ,F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点,满足AE =DF .连接CF 交BD 于G ,连接BE 交AG 于点H .若正方形的边长为2,则线段DH 长度的最小值是 .
1题 2题 3题 4题
4、如图,在等腰△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,P 是线段BC 边上的任意一点(与A,B,C 不重合),连接AP,以AP 为边向两边做等边三角形,分别与边AB 、AC 相交于点M,N ,则PM+PN 的最小值为 。
5、如图,在三角形ABC 中,∠A =45°,∠B =60°,AB=6,在AB ,BC 、CA 上分别找一点F 、D 、E , 则△DEF 周长的最小值为
C'
C Q P
B A
A y x O C B。