数学建模作业 垂钓问题及回归模型假设检验
回归模型的参数估计与假设检验
回归模型的参数估计与假设检验回归模型的参数估计主要包括最小二乘估计和极大似然估计两种方法。
最小二乘估计是以最小化残差平方和为目标，通过对样本数据进行拟合，求得最优的回归系数。
极大似然估计则是基于对数据样本概率分布的假设，利用最大化似然函数来估计回归模型的参数。
最小二乘估计是最常用的参数估计方法之一、它的基本思想是通过最小化实际观测值与模型预测值之间的差异，来估计回归模型的参数。
具体而言，对于简单线性回归模型（y=β0+β1x+ε），最小二乘估计通过最小化残差平方和来求解β0和β1的估计值。
最小二乘估计方法具有许多优点，如解析解存在、估计结果具有线性无偏性、效率性好等。
在最小二乘估计的基础上，还可以进行各种统计检验，用于检验回归系数的显著性。
常见的假设检验方法包括t检验和F检验。
t检验用于测试回归系数是否与零有显著差异。
在回归模型中，t统计量的计算公式为：t=估计值/标准误差其中，估计值是通过最小二乘法得到的回归系数估计值，标准误差则是估计标准误差的估计值。
t统计量的值越大，说明回归系数与零的差异越显著。
F检验用于测试回归模型整体的显著性。
F统计量的计算公式为：F=（回归平方和/自由度）/（残差平方和/自由度）其中，回归平方和表示回归模型能够解释的样本数据方差之和，残差平方和表示回归模型无法解释的样本数据方差之和。
自由度则表示相关统计量中所用到的自由参数个数。
通过计算F统计量的值，可以得到一个关于回归模型整体显著性的p 值。
p值小于给定的显著性水平（通常为0.05或0.01），则拒绝“回归模型无效”的原假设，即认为回归模型整体显著。
回归模型的参数估计和假设检验是回归分析的核心步骤，可以帮助研究者理解因变量和自变量之间的关系，并通过假设检验来进行推断和判断。
这些方法不仅在社会科学和经济学领域有广泛应用，也在相关学科的研究中具有重要意义。
回归模型的参数估计与假设检验讲解
回归模型的参数估计与假设检验讲解回归模型是统计学中常用的一种分析方法，用于研究两个或多个变量之间的关系。
参数估计和假设检验是回归模型中重要的概念和方法，用于推断变量之间的关系是否显著。
在回归模型中，参数估计是利用样本数据来推断回归方程中的参数值，从而描述和预测变量之间的关系。
具体来说，对于简单线性回归模型，我们可以通过最小二乘法来估计回归方程的参数，即使得模型的误差平方和最小。
最小二乘法的计算方法可以简洁地表达为：$\min \sum{(y_i - (\beta_0 + \beta_1x_i))^2}$其中，$y_i$表示观测到的因变量的值，$x_i$表示观测到的自变量的值，$\beta_0$和$\beta_1$分别是截距和斜率的估计值。
通过求解这个最小化问题，我们可以得到最佳的参数估计。
而假设检验则是用来评估回归模型中参数估计的显著性。
在假设检验中，我们对参数的假设提出一个原假设和一个备择假设。
原假设通常是参数等于一个特定的值，而备择假设则是参数不等于该值。
假设检验的步骤包括计算检验统计量、确定临界值、进行推断。
常用的假设检验方法有t检验和F检验。
在简单线性回归模型中，假设检验通常用于评估斜率参数$\beta_1$的显著性。
例如，我们可以设定原假设为斜率等于零，备择假设为斜率不等于零。
然后，通过计算t统计量和查表得到拒绝或接受原假设的结论。
在多元回归模型中，假设检验可以用于评估各个自变量的显著性，或者评估整个模型的显著性。
对于自变量的显著性评估，常用的方法是利用t检验确定各个参数的置信区间，判断参数是否显著不为零。
对于整个模型的显著性评估，常用的方法是利用F检验检验回归方程的整体显著性，即检验自变量对因变量的解释程度是否显著。
除了参数估计和假设检验，回归模型还可以进行模型诊断和模型选择。
模型诊断用于检验回归模型的合理性和假设的满足情况，主要包括检验误差项的正态性、异方差性和自相关性等。
模型选择则是在多个可能的模型之间选择一个最佳的模型，常用的标准包括最小二乘法、最大似然法和贝叶斯信息准则。
数学建模实验报告最优捕鱼策略
最优捕鱼策略一.实验目的：1、了解与熟练掌握常系数线性差分方程的解法；2、通过最优捕鱼策略建模案例，使用MATLAB软件认识与掌握差分方程模型在实际生活方面的重要作用。
二.实验内容：（最优捕鱼策略）生态学表明，对可再生资源的开发策略应在事先可持续收获的前提下追求最大经济效益。
考虑具有4个年龄鱼：1龄鱼，…，4龄鱼的某种鱼。
该鱼类在每年后4个月季节性集中产卵繁殖。
而据规定，捕捞作业只允许在前8个月进行，每年投入的捕捞能力固定不变，单位时间捕捞量与个年龄鱼群条数的比例称为捕捞强度系数。
使用只能捕捞3、4龄鱼的13mm网眼的拉网，其两个捕捞强度系数比为:1.渔业上称这种方式为固定力量捕捞。
该鱼群本身有如下数据：1．各年龄组鱼的自然死亡率为（1/年），其平均质量分别为,,,（单位：g）；2．1龄鱼和2龄鱼不产卵，产卵期间，平均每条4龄鱼产卵量为ⅹ105（个），3龄鱼为其一半；3．卵孵化的成活率为ⅹ1011/（ⅹ1011 + n）（n为产卵总量）；有如下问题需要解决：1）分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时各年龄组鱼群不变），并在此前提下得到最高收获量；2）合同要求某渔业公司在5年合同期满后鱼群的生产能力不能受到太大的破坏，承包时各年龄组鱼群数量为122,,,（ⅹ109条），在固定努力量的捕捞方式下，问该公司应采取怎样的捕捞策略，才能使总收获量最高。
三. 模型建立假设a、鱼群总量的增加虽然是离散的，但对大规模鱼群而言，我们可以假设鱼群总量的变化随时间是连续的；b、龄鱼到来年分别长一岁成为i + 1龄鱼，i = 1，2，3；c、4龄鱼在年末留存的数量占全部数量的比例相对很小，可假设全部死亡。
d 、连续捕获使各年龄组的鱼群数量呈周期性变化，周期为1年，可以只考虑鱼群数量在1年内的变化情况。
（且可设x i （t ）：在t 时刻i 龄鱼的条数，i = 1，2，3，4；n ：每年的产卵量；k ：4龄鱼捕捞强度系数；2a i0：每年初i 龄鱼的数量，i = 1，2，3，4；）进而可建立模型如下：max （total （k ））=⎰⎰+3/203/2043)(99.22)(42.0dt t kx dt t kx)(8.0)(11t x dtt dx -= t ∈[0，1]，x1（0）= n ×n +⨯⨯11111022.11022.1 )(8.0)(22t x dt t dx -= t ∈[0，1]，x2（0）= x1（1）)()42.08.0()(33t x k dt t dx +-= t ∈[0，2/3]，x3（0）= x2（1） . )(8.0)(33t x dt t dx -= t ∈[2/3，1]，x3（32-）= x3（32+）)()8.0()(44t x k dt t dx +-= t ∈[0，2/3]，x4（0）= x3（1）)(8.0)(44t x dt t dx -= t ∈[2/3，1]，x4（32-）= x4（32+）)]32()32(5.0[10109.1435++⨯=x x n四. 模型求解（含经调试后正确的源程序）1. 先建立一个的M 文件：function y=buyu(x);global a10 a20 a30 a40 total k;syms k a10;x1=dsolve('Dx1=*x1','x1(0)=a10');t=1;a20=subs(x1);x2=dsolve('Dx2=*x2','x2(0)=a20');t=1;a30=subs(x2);x31=dsolve('Dx31=-+*k)*x31','x31(0)=a30');t=2/3;a31=subs(x31);x32=dsolve('Dx32=*x32','x32(2/3)=a31');t=1;a40=subs(x32);x41=dsolve('Dx41=-+k)*x41','x41(0)=a40');t=2/3;a41=subs(x41);x42=dsolve('Dx42=*x42','x42(2/3)=a41');t=2/3;a31=subs(x31);nn=*10^5**a31+a41);Equ=a10-nn**10^11/*10^11+nn);S=solve(Equ,a10);a10=S(2,1);syms t;k=x;t3=subs(subs(int*k*x31,t,0,2/3)));t4=subs(subs(int(k*x41,t,0,2/3)));total=*t3+*t4;y=subs((-1)*total)2.再建立一个的M文件：global a10 a20 a30 a40 total;[k,mtotal]=fminbnd('buyu',0,20);ezplot(total,0,25);xlabel('');ylabel('');title('');format long;ktotal=-mtotal;a10=eval(a10)a20=eval(a20)a30=eval(a30)a40=eval(a40)format shortclear五．结果分析1．鱼总量与时间图：x 10405101520252.可以看出捕捞强度对收获量的影响：实验输出数据：y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =y =+011k =total =+011a10 =+011a20 =+010a30 =+010a40 =+007则k=时，最高年收获量为total=×1011（克），此时每年年初1，2，3，4年龄组鱼的数量分别为：×1011×1010×1010×107六．实验总结本次实验的目的是了解差分方程（递推关系）的建立及求解，以及掌握用差分方程（递推关系）来求解现实问题的方法。
鲈鱼数学建模实验报告材料
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（3） 假设由于工业污染使卵的成活率降低 25%，幼鱼的成活率降 低 15%，成年鱼的成活率降低 10%，对鲈鱼年龄分布结构进 行特征分析，并预测种群的发展趋势：经过几年后，可捕捞 的鱼数减半.
（4） 能否将模型简化？对简化的模型进行特征值分析，并讨论达 到稳定的年龄分布的时间.将所得结果与(1)，(2)进行比较。
的比例的
（1） 当 ＞1 时，鱼数目最终是递增的.
（2） 当 ＜1 时，鱼数目最终是递减的.
（3） 当 =1 时，鱼数目是稳定的. 当由于工业污染的影响，使不同年龄组的鱼的成活率降低的时候， 只需要改变相应的 和 的大小，使用同样的模型进行求解。
五、 模型求解
（1） 利用 matlab 中的 eig 函数求矩阵的特征值，从特征值中选取 最大的即为矩阵的最大特征值 . 在 matlab 中输入如下指令
0
0
0 0 0 00
0 0 0 0 0.5688 0 0 0
0
0
0 0 0 00
0 0 0 0 0 0.5688 0 0
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0
0
00
0 0 0 0 0 0 0 0.5688
记
X(0)= X(0)=
数学建模—最佳捕鱼方案
三、 符号说明
;当k 1 x ：表示 i 龄鱼第 j 年的年初（或年末）的鱼量（ k 0或1， 当k 0时， 表示年初 时表示年末。 i 1,2,3,4; j 1,2, ） 条 ； r ：表示各年龄组鱼群的死亡率： 0.8(1 年) ； ：表示 4 龄鱼的捕捞强度系数，则 3 龄鱼的捕捞强度系数为 0.42 ； n ：产卵总量 个 ； Z：捕鱼总重量 g ； xij t ：表示第 j 年 t 时刻 i 龄鱼的数量 条 ； j ：表示第 j 年的捕鱼总量；
4
年 收 获 总 量 （ g）
4.2 4.15 4.1 4.05 4 3.95 3.9 3.85
x 10
11
3.8 0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
死 亡 率 （ 1/ 年 ）
由上图可直观地看出：死亡率与年收获总量成正比例关系，即当死亡率增加时， 年收获总量则减少；反之，增加。由此可知，死亡率对年收获总量有显著的影响。 2．对模型中捕捞强度系数 的灵敏度分析 模型中其它因素不变， 只考虑 从 10 变到 19 时最大的年收获总量的变化情况， 分析 的变化对模型的影响（见下图）
年 收 获 总 量 （ g）
3.95 x 10
11
3.9
3.85
3.8
3.75
3.7
3.65
3.6
3.55
3.5 10
11பைடு நூலகம்
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4龄 鱼 的 捕 捞 强 度 系 数
由上图可直观地看出：捕捞强度系数也是影响年收获总量的重要因素，年收获总量 随捕捞强度系数的增加而增加。只是增长速率逐渐减慢。 七、 模型评价与推广 模型的评价： 优点：1. 本文建立的模型与实际相联系，考虑到一些实际情况，从而使模型较贴近实 际；通用性.，推广性较强。 2．模型方便、直观，可以实现计算机模拟。 缺点： 1．模型虽然考虑到了很多因素，但为了建立模型，忽略了一些影响因素，具有 一定的局限性。 2．在建模过程中，简化了一些因素，得到了最优方案可能与实际有一定的出入。 模型的推广： 模型建立思想不但适合捕鱼方面，而且适合其它相关方面，只需稍加改动即可。
数学建模作业垂钓问题及回归模型假设检验
数学建模作业垂钓问题及回归模型假设检验****⼤学学⽣数学建模作业指导教师作者姓名班级学号上交⽇期2010-12-24注：上课时间周六上午第⼀讲1、⼀垂钓俱乐部⿎励垂钓者将钓上的鱼放⽣，打算按照放⽣的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了⼀把软尺⽤于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的⽅法，假定鱼池中只有⼀种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼⾝的解：我们假定池中只有⼀种鱼。
对于这⼀种鱼其体型和形状是相似的，密度也⼤体上是相同的。
⼀、模型建⽴主要符号说明如下:W——鱼的重量、l——鱼的⾝长、d----鱼的胸围即鱼的最⼤周长、K1---第⼀种数学估计模型中的系数K2---第⼆种数学估计模型中的系数１，建⽴的第⼀种数据估计模型为：重量ｗ与⾝长ｌ的⽴⽅成正⽐，即W＝K13l2，建⽴的第⼆种数据估计模型为：横截⾯积与鱼⾝最⼤周长的平⽅成正⽐，即W=K22d l（⼀）第⼀种数据估计模型对于同⼀种鱼，不访认为其整体形状是相似的，密度也⼤体上相同，所以重量w与⾝长l的⽴⽅成正⽐，即W＝K13l,K1为⽐例系数。
把实际测得的数据代⼊W＝K13l计算⽐例系数K1。
计算出实际测得的⾝长的平均值为: 36.8计算出实际测得的重量的平均值为：765.375把W=765.375,l=36.8代⼊W＝K13l计算得：K1≈0.0153（⼆）第⼆种数据估计模型常调得较肥的鱼的垂钓者不⼀定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待，如果只假设鱼的模截⾯是相似的，则横截⾯积与鱼⾝最⼤周长的平⽅成正⽐，于是W=K22d l，K2为⽐例系数。
把实际测得的数据代⼊W=K22d l计算⽐例系数K2。
计算出实际测得的胸围的平均值为：24.5875把W=765.375,d=24.5875, l=36.8,代⼊W=K22d l计算得：K2≈0.0344 （三）第⼀种数据估计模型和第⼆种数据估计模型与实际情况的⽐较⽐较第⼀种数据估计模型和第⼆种数据估计模型与实际情况的差别，并计算误差。
数学建模捕鱼模型
绘制算法流程图
——学习一种经典算法（例如求解最短路问题的Dijkstra算法），绘制出该算法的流程图。
解：最短路问题的Floyd算法：Floyd算法的基本思想是：问题分解，先找出最短的距离.然后在考虑如何找出对应的行进路线。
用到动态规划的知识，对于任何一个城市而言，i到j的最短距离不外乎存在经过i与j之间的k和不经过k两种可能，所以可以令k=1，2，3，...，n(n是城市的数目)，在检查d(ij)与d(ik)+d(kj)的值；在此d(ik)与d(kj)分别是目前为止所知道的i到k与k到j的最短距离，因此d(ik)+d(kj)就是i到j经过k的最短距离。所以，若有d(ij)>d(ik)+d(kj)，就表示从i出发经过k再到j的距离要比原来的i到j距离短，自然把i到j的d(ij)重写为d(ik)+d(kj)，每当一个k查完了，d(ij)就是目前的i到j的最短距离。重复这一过程，最后当查完所有的k时，d(ij)里面存放的就是i到j之间的最短距离了。
若将h=rN/4代入模型求解，可得 ，其中c由初始值确定，若x（0）<N/2,t趋近于无穷时，x(t)不会趋向N/2，即 不稳定。
(2)由图可知，要获得最大持续产量，应使池场鱼量x>N/2,且尽量接近N/2。
2.
模型为 ，如上图所示，有两个平衡点：x=0和 。可证x=0不稳定， 稳定（与ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ和r的大小无关）。最大持续产量为 ，相对应的 ，
设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为h=Ex。讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量 及获得最大产量的捕捞强度 和渔场鱼量水平 。
解：
1．
模型为 。
（1）平衡点由F（x）=0确定；当h<rN/4时，有2个平衡点 (<N/2), (>N/2).经判断得 不稳定， 稳定。当h=rN/4时，平衡点 =N/2。由 不能判断其稳定性，但因为对于x> 及x< 均有F（x）<0,及 <0,所以 不稳定。
数学建模课程设计_最佳捕鱼方案
数学建模论文姓名: 文勇学号：201315020220论文标题：最佳捕鱼方案1.问题的提出一个水库，由个人承包，为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库的杂鱼做一次彻底清理，因此放水清库。
水库现有水位平均为15米，自然放水每天水位降低0.5米，经与当地协商，水库水位最低降至5米，这样预计需要二十天时间，水位可达到目标。
据估计水库内尚有草鱼25000余公斤，鲜活草鱼在当地市场上，若日供应量在500公斤以下，其价格为30元/公斤；日供应量在500—1000公斤，其价格降至25元/公斤，日供应量超过1000公斤时，价格降至20元/公斤以下，日供应量到1500公斤，已处于饱和，捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元/公斤。
同时随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为10%。
承包人提出了这样一个问题：如何捕捞鲜活草鱼投放市场，效益最佳？2.问题分析通过简单的分析和思考，该问题可以归为一个数学规划问题。
条件（1）（2）是针对目前状况的约束，条件（3）是通过卖鱼可以获得的利润，条件（4）是对成本的约束。
在四个条件约束的情况下，我们可以建立模型。
由于对损失率的理解不同，我们进行了不同的假设，并在这些假设下建立了模型一和模型二、三。
模型一中，损失率是基于水库草鱼的总量，草鱼的损失是一些定值的累加。
而在模型二、三中，为了更接近现实生活中的情况及人们的认知观，我们对第n天草鱼的损失率的理解是基于第n-1天剩下的草鱼而言。
模型二将不考虑日供应量超过1500kg的情况，而模型三考虑。
模型三的建立采用多目标的规划方法进行求解。
3.条件假设1、日供应量不受外界条件的变化而变化，是一定的。
2、当天售出的草鱼数量等于当天捕捞的草鱼。
3、水位的变化除了每天的自然放水，不考虑蒸发等其他的情况。
4、假设在放水清库的过程中，随着水位的下降,捕捞成本成呈递减等差数列，而草鱼的损失成递增等差数列。
捕鱼模型
最优捕鱼策略1、基本假设如下:(1) 只考虑这一种鱼的繁殖和捕捞, 鱼群增长过程中不考虑鱼的迁入和迁出。
(2) 各年龄组的鱼在一年内的任何时间都会发生自然死亡。
(3) 所有的鱼都在每年最后的四个月内完成产卵和孵化的过程。
孵化成活的幼鱼在下一年初成为一龄的鱼, 进入一龄鱼组。
(4) 产卵发生于后四个月之初, 产卵期鱼的自然死亡发生于产卵之后。
(5) 相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的, 也就是说, 第k 年底第i 年龄组的鱼的条数等于第k+ 1 年初第i+ 1 年龄组鱼的条数。
(6) 四龄以上的鱼全部死亡。
(7) 采用固定努力量捕捞意味着捕捞的速率正比于捕捞时各年龄组鱼群中鱼的条数, 比例系数为捕捞强度系数。
2、符号和数据符号t——时间(以年计) , t∈R + ;k ——年份, k= 0, 1, 2 , ⋯N (k)i ——第k+ 1 年初i 龄鱼总条数,N (k )i ∈R + ;x i ( t) ——t 时刻i 年龄组的鱼群的大小;r——鱼的自然死亡率;f i——i 年龄组鱼的产卵力;w i——i 年龄组鱼的平均重量;E i——i 年龄组的捕捞强度系数;ai——i 龄鱼的生育率, 即平均每条i 龄鱼在一年内生育的鱼数, ai≥0 ;bi——i 龄鱼的存活率, 即i 龄鱼经过一年后到i+ 1 龄鱼数与原鱼数之比, 0<bi< 1, i= 1, 2, 3 ;n——年产卵总量;b0——卵成活率;R ——净繁殖率, 它表示平均每条鱼一生所产卵并成活为1 龄鱼的条数。
3、解题过程（1）设 N (k ) = {N (k )1 , N (k)2 , N (k)3 , N (k)4 }T;X ( t) = {x 1 ( t) , x 2 ( t) , x 3 ( t) , x 4 ( t) }T;(f 1, f 2, f 3, f 4) T= (0, 0, 0. 5 c0, c0) T;{W 1,W 2,W 3,W 4}T= (5. 07, 11. 55, 17. 86,22. 99) T;(E 1, E 2, E 3, E 4) T = (0, 0, 0. 42E , E ) , 称E 为捕捞努力量;r= 0. 8, S= 2/3 (产卵时刻) , c0= 1. 109×105,c1= 1. 220×1011, c2= exp (- r) = 0. 449 33 , c3= exp(- r S) = 0. 586 65 .（2）鱼生长期是连续的, 组建微分方程组模型:d X ( t)/d t= f (X ) , t∈[ 0, + ∞) .来描述鱼死亡随时间连续发生并具有季节性的繁殖和捕捞。
数学建模——最优捕鱼模型
最优捕鱼模型一.问题的重述捕鱼业在当今社会中十分重要的行业，捕鱼量的大小决定着捕鱼的经济效益，其中捕鱼量与捕鱼时间有着密切关联. 所以如何利用数学模型了解捕鱼量与捕鱼时间之间的关系，是一个具有现实意义的问题.现假设在一个鱼塘中投放若干鱼苗，鱼苗尾数随着时间的增长而减少，且相对减少率为常数；每尾鱼的重量随着时间增长而增加，且由于喂养引起的每尾鱼重量增加率与鱼的表面积成正比，由于消耗引起的减少率与其重量本身成正比. 分析如下问题：问题一：建立尾数和时间的微分方程并求解；问题二：建立每尾鱼重量和时间的微分方程并求解；问题三：用控制网眼的方法不捕小鱼，从一定时刻开始捕捞，用尾数的相对减少率表示捕捞能力，分析开始捕鱼的最佳时刻，使得捕获量最大，并建立相关模型.二.问题分析1.针对问题一，根据相对减少率的数学定义，可以建立鱼尾数和时间的微分方程；2.针对问题二，将鱼体假设为球体，得出鱼的表面积与它重量的关系，使得鱼的重量完全成为一个关于时间的函数，进一步建立出鱼重量与时间的微分方程；3.针对问题三，将捕捞行为看作连续的过程，瞬时捕捞量与瞬时捕鱼尾数、每尾鱼瞬时重量呈正相关关系，瞬时捕鱼尾数与捕捞能力有关，每尾鱼瞬时重量可由对问题二的解答得出，总捕捞量即为瞬时捕捞量关于时间的积分.三.基本假设1．假设自然因素不会对鱼的尾数产生影响；2．假设在整个捕捞过程中鱼没有繁衍行为；3．假设每尾鱼都均衡生长；4．假设在捕捞过程中鱼的条数连续；5．假设鱼为球体.四．符号表示五．模型建立与求解模型一. 鱼苗尾数的相对减少率为常数r . 由相对减少率的定义得()()()t t t t n n rn t +∆-=-∆ 即()()()00lim lim t t t t t t n n rn t +∆∆→∆→-=-∆ 即()t dn rn dt=- 解得0rt n n e -=模型二. 假设鱼为球体，体积为V ，表面积为S ，半径为R ，重量为G ，初始重量为0G ，鱼的密度为ρ;且每尾鱼的重量随着时间增长而增加，其中由于喂养引起的每尾鱼重量增加率与鱼表面积成正比（比例系数为1k ），由于消耗引起的减少率与其重量本身成正比（比例系数为2k ）. 由343V R π=，2=4S R π，G V ρ=得2233S G ρ⎛⎫= ⎝⎭令23=b ρ⎛⎫ ⎝⎭又由于12=-dG k S k G dt,=0t ，0G G =所以231-11322+k t k b k b G e k k ⎡⎤⎫=⎢⎥⎪⎭⎣⎦模型三. 控制网眼不捕小鱼，鱼塘中瞬时鱼尾数用(t)n 表示，捕捞能力（E ）可以用尾数的相对减少率1dn n dt表示，从T 时刻开始捕捞，使得捕捞量W 能够最大.其中减少量包括自然减少量（即第一模型中的减少量）和捕捞量.此时，-(t)0(t)=-at n n e En-0-0(e )11=-=-=a e at at d n dn E n dt n dt所以，--00(t)==1+(1+)at aT T Tan e an W En dt dt e a a a ∞∞=⎰⎰ 则，在此模型下，捕捞时间越早，捕捞量越大.模型四. 建立在模型三的基础上，捕捞量的大小不仅取决于鱼尾数(t)n ，还取决于鱼的重量G .即(t)TW En Gdt ∞=⎰所以，231--0113(t)22=+1+at k t T T an e k b k b W En Gdt e dt a k k ∞∞⎡⎤⎫=⎢⎥⎪⎭⎣⎦⎰⎰ 可根据此函数求得最大捕捞量所对应的时刻T .感谢下载!欢迎您的下载，资料仅供参考。
数学建模案例——最佳捕鱼方案
最佳捕鱼方案摘要：本文解决的是一个最佳捕鱼方案设计的单目标线性规划问题，目的是制定每天的捕鱼策略，使得总收益最大。
根据题设条件，结合实际情况，我们设计了成本与损失率随天数的增加成反比变化的函数曲线（见图三所示），并导出总收益的表达式： 212121111i i i i i i i i W w p s q m =====⨯-⨯∑∑∑。
由于价格是关于供应量的分段函数（见图一所示），我们引入“0－1”变量法编写程序（程序见附录一），并用数学软件LINGO 求解，得到最大收益(W)为441291.4元，分21天捕捞完毕。
其中第1～16天，日捕捞量在1030～1070公斤之间，第17～21天的日捕捞量为1610～1670公斤之间（具体数值见正文）。
由结果分析，我们对模型提出了优化方向，例如人工放水来降低成本。
关键词：“0-1”整数规划，单目标线性规划，离散型分布。
一． 问题重述一个水库，由个人承包，为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库里的杂鱼做一次彻底清理，因此放水清库。
水库现有水位平均为15米，自然放水每天水位降低0.5米，经与当地协商水库水位最低降至5米，这样预计需要二十天时间，水位可达到目标。
据估计水库内尚有草鱼二万五千余公斤，鲜活草鱼在当地市场上，若日供应量在500公斤以下，其价格为30元/公斤；日供应量在500—1000公斤，其价格降至25元/公斤，日供应量超过1000公斤时，价格降至20元/公斤以下，日供应量到1500公斤处于饱和。
捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元/公斤。
同时随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为10%。
承包人提出了这样一个问题：如何捕捞鲜活草鱼投放市场，效益最佳？二． 模型假设1．池塘中草鱼的生长处于稳定状态，不考虑种群繁殖以及其体重增减，即在捕捞过程中草鱼总量保持在25，000公斤不变。
2．第一天捕捞时水位为15m ，每天都在当天的初始水位捕捞草鱼，水库水位每天按自然放水0.5m 逐渐降低，20天后刚好达到最低要求水位5m 。
6.5捕鱼业的持续收获 数学建模
1、问题陈述
对于一个渔场，若渔民们捕捞过度，可能 会导致鱼类资源枯竭。若捕捞的量过少，可 能经济效益比较少。如何控制捕捞力度，能 使鱼类资源持续发展下去？
6.4微分方程稳定性理论简介 6.4微分方程稳定性理论简介
对于形如 x′(t ) = f ( x) ⋯ (4) 效 益 模 型 ： E R = (1 − 2 PN
C ) ⋯ ⋯ ⋯ (5) 捕捞过度：ES =r (1 − PN
二、捕鱼业的效益模型
1、模型假设 (1)设捕鱼的成本与捕捞率成正比，比例系数 (1)设捕鱼的成本与捕捞率成正比，比例系数 为C。 (2)鱼的销售单价为常数P (2)鱼的销售单价为常数P (3)单位时间所获利润为R(E) (3)单位时间所获利润为R(E) (4)独家捕捞 (4)独家捕捞
定义1 衡点。 称 f ( x ) = 0的 根 x0为 上 述 微 分 方 程 的 平
定 义2 解满 足
如果当x(t )充分接近x0时，微分方程的 lim x(t ) = x0
t →∞
则 称平 衡点 是稳定 的， 否则 称是 不稳定 的。
二、捕鱼业的产量模型
logistic模 （1）设鱼量的增加符合logistic模型，设r为固有 增长 率，N 为环境允许 的最大鱼量。 设鱼量的增 长率为r ( x), x(t )为t时刻鱼场的鱼量。
（2）设单位时间的捕鱼量为h( x), 与渔场的数量x(t ) 成正比，E为比例系数，即h( x) = Ex(t ), 称E为捕捞 率。
（3）独家捕捞。
x x′(t ) = rx(1 − ) − Ex N
⋯ ⋯ ⋯ (1)
E x0 = N (1 − ) ⋯ ⋯ ⋯ (2) r
数理学院《数学建模》课程设计题目1、鱼群的适度捕捞问题鱼群是一
数理学院《数学建模》课程设计题目1、 鱼群的适度捕捞问题鱼群是一种可再生资源，若目前鱼群的总数为x 公斤，经过一年的成长与繁殖，第二年鱼群的总数变为y 公斤。
反映x 与y 之间相互关系的曲线称为再生产线，记为)(x f y =。
现设鱼群的再生产曲线为)1(Nxrx y -=，)1(>r 。
为使鱼群的数量维持稳定，在捕鱼时必须注意适度捕捞。
问鱼群的数量控制在多大时，才能使我们获得最大的持续捕获量？2、定价问题某公司考虑为某新产品定价，该产品的单价拟从每件 6元、7元、8元和 9元这四个中选取一个，每年允许价格有 1元幅度的变动，该产品预计畅销五年，据预测不同价格下各年的利润如下表所示.每年预计利润额单价 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年7元 8元 9元12 15 16 13 16 17 17 17 16 21 18 15 23 17 143、水厂建造问题某城市拟建A 、B 两个水厂。
从建造和经营两方面考虑，水厂分小、中、大三种规模，日均贮水量分别为30万吨、40万吨及50万吨。
由于水资源的原因，A 、B 两个水厂日进水量总和不超过80万吨。
A 、B 两个水厂共同担负供应六个居民区用水任务，这六个居民区的位置及拥有的家庭户数由表1给出，每户日均用水量为1.0吨，水厂供应居民点用水的成本为1.05元/吨公里。
(1)方案使总成本最低；(2)若A 、B 两个水厂的位置尚未确定，请你确定它们的位置及供水方案使总成本最低；(3)如果该某城市要在平直河岸L(设L 位于横坐标轴)上建一抽水站P ，供应同岸的A 、B 两个水厂。
考虑到输水管道沿线地质情况等原因，假设在修建OA 、OB 、OP 三段管道（如图1）时，每公里的耗资由相应的管道日供水量决定，参见表2。
水厂按超额加价收取水费，即每户日基本用水量为0.6 吨，每吨水费1.2元，超额用水量的水费按基本用水量的水价加价20％。
试确定该城市将供水收益全部用于偿还修建OA 、OB 、OP 三段管道投资费用的最优方案。
数学模型_捕鱼业的持续收获
F ( x) f ( x) h( x)
捕捞情况下 渔场鱼量满足
x ( t ) F ( x ) rx (1
x N
) Ex
• 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件
产量模型
F ( x) 0
x ( t ) F ( x ) rx (1 x 0 N (1 E r
xm x
0
t
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
一阶微分方程的平衡点及其稳定性
x F (x) (1)
一阶非线性（自治）方程
F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点
x
x x0
0 x x0
设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，
都有 lim x ( t ) x 0 , 称x 是方程(1)的稳定平衡点 0 t
x 0 稳定 , x1不稳定
x 0 不稳定 , x1 稳定
E~捕捞强度
r~固有增长率
x0 稳定, 可得到稳定产量
x1 稳定, 渔场干枯
产量模型
在捕捞量稳定的条件下， 控制捕捞强度使产量最大
y hm h
x N
图解法
F ( x) f ( x) h( x)
y=rx y=E*x
P*
f ( x ) rx (1
x s N (1 Es r )
c p
T(E) S(E)
p , c
E s , xs
捕捞过度
0
ER E*
Es r
E
阻滞增长模型(Logistic模型)
dx dt rx
dx dt
r ( x ) x rx (1
鱼捕捞问题(数学建模)
可持续鱼捕捞问题摘要为了保护人赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须湿度。
本文实际上就是为了解决渔业上最优捕鱼策略问题，即在可持续捕捞的前提下，追求捕捞量的最大化。
对于实现可持续捕获量，即每一年初的各年龄组鱼群条数等于前一年鱼群的条数，由于1,2龄鱼无法捕捞，所以对于1，2龄鱼的数量就是3,4龄鱼产卵中成活的数量总和，而3,4龄鱼则是1,2龄鱼成长的加上原本存在的数量。
从题中可以看出，所使用的捕捞渔网只捕捞3,4龄鱼，不捕捞1,2龄鱼，这在一方面也保护的鱼群的延续，在整体分析实现鱼捕捞可持续的最大量时，使用MATLAB软件进行计算与模拟。
综合得到以下结论：1.每一年各龄鱼各自的存活量；2.4龄鱼存活量为原有的加上1,2,3龄鱼成长的；3.考虑各龄鱼每一年不同的变化，实现鱼塘的可持续发展关键词：改变，增加，变化，减少，可持续发展1.捕捞采用固定努力量捕捞，即只允许每年的1-8月捕捞，产卵和孵化器为每年的后四个月；2.产卵期时鱼的自然死亡率发生在产卵之后；3.4龄鱼和3龄鱼每年只产卵一次，且产卵集中在9月份，到十二月份孵化完毕;4.使用1.3mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1，且每年投入的捕捞能力固定不变；5.只考虑该鱼的繁殖和捕捞，鱼群增长过程中不考虑鱼的迁入和迁出，也不考虑其他方面的影响；6.自然死亡的鱼也在捕捞范围之内，即计入捕获量，并且能够全部捕捞符号说明F表示i龄鱼在T年的数量；i（T）F表示i龄鱼在T年初的数量；i,0（T）r表示自然死亡率；n表示4龄鱼产卵量；k表示固定捕捞系数；m表示卵的成活率；如何在满足可持续捕捞的前提下，实现每一年捕鱼的最大量（重量），文中给出各龄鱼在年底转化的具体情况：1龄鱼数量由3龄鱼和4龄鱼的产卵孵化而来；2，3龄鱼的数量分别由上一年龄段的鱼经自然死亡以及捕捞生长而来；4龄鱼是由上一年段3龄鱼经自然死亡以及捕捞后生长的和原有的4龄鱼组成的，并且规定只在每年的前八个月出船捕捞。
鱼群捕捞问题数学建模
问题一鱼群捕捞问题一、问题的提出大量的海洋生物（例如鱼、虾等）为人类所消费。
如果捕捞率大于自然增长率，则海洋生物群将减少，甚至可能导致某种群的灭绝。
许多国际机构极为关心这类问题，他们想知道能否捕捞某种特定的种群，如果允许捕捞应有什么样的限制。
试建立一个数学模型，它将有助于这些机构作出敏感性的决定。
假设某种鱼（海洋生物中的一个种群）分4个年龄组，称1龄鱼，……，4龄鱼。
各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17086，22.99（克），各年龄组鱼的自然死亡率为0.8，这种鱼为季节性集中产卵反之，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率为1龄鱼条数与产卵量之比。
渔业管理部门规定只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。
如果每年投入的捕捞能力（如鱼船数等）固定不变，这个单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数称捕捞强度。
常使用一种只能捕捞3龄鱼和4龄鱼的网，并且其捕捞强度系数之比为0.42：1，渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。
现在考虑对这种鱼的最优捕捞策略，使得在可持续捕获的前提下年收获量最高。
二、问题的假设与分析1. 问题假设（1）鱼群总量的增加虽然是离散的，但对大规模鱼群而言，我们可以假设鱼群总量的变化随时间是连续的。
（2）查阅有关鳀鱼的资料发现，鳀鱼一般在每年8月开始产卵，从而可以假设鱼群每年在8月底瞬间产卵完毕，卵在12月底全部孵化完毕。
（3）龄鱼到来年分别长一岁成为i + 1龄鱼，i = 1，2，3。
（4）4龄鱼在年末留存的数量占全部数量的比例相对很小，可假设全部死亡。
（5）连续捕获使各年龄组的鱼群数量呈周期性变化，周期为1年，可以只考虑鱼群数量在1年内的变化情况。
2. 问题分析 （1）符号说明x i （t ）：在t 时刻i 龄鱼的条数，i = 1，2，3，4； n ：每年的产卵量； k ：4龄鱼捕捞强度系数；2a i0：每年初i 龄鱼的数量，i = 1，2，3，4； （2）对死亡率的理解题中给出鱼的自然死亡率为0.8（/年），它指平均死亡率，即单位时间鱼群死亡数量与现有鱼群数量的比例系数，由假设知，它是一个与环境等其它因素无关的常数；另一方面，鱼群的数量是连续变化的，且1，2龄鱼在全年及3，4龄鱼在后4个月的数量只与死亡率有关。
数学建模捕鱼
最优捕鱼策略的数学模型舒兰1，杜文胜1，彭碧琛21武汉大学数学与统计学院；2武汉大学计算机学院摘要本文针对渔业的合理开发和利用问题，通过分析，将渔场的鱼按年龄分组，做出合理的假设，综合解决这一问题。
对问题（1），考虑时间连续而年龄离散的实际情况，达到实现可持续捕获。
运用微分方程方法建立目标函数是最大收获量的非线性约束模型，并使用Matlab 求解。
求出最优捕捞努力量应为17.36429，该年的最大收获量为3.88656×1011千克。
对问题（2），分别从产量和为稳态两个方面进行了讨论使渔场的生产能力既未受到太大破坏又使5年的总收获量最高。
通过α-法，将多目标规划转化为单目标规划，并使用Matlab求解。
得到了固定努力量为17.4687时，3、4龄鱼的总捕获量最高为1.60545×1012千克。
并分析讨论了平衡点的稳定性问题。
通过模拟的方法对原始数据进行了分析。
最后讨论了模型的优缺点及改进方向。
关键词：最大捕捞量；捕捞强度系数；α-法；稳态目录1.问题的重述 (1)2.模型的假设与符号表示 (1)2.1模型的假设 (1)2.2符号说明 (2)3.问题的分析 (2)4.模型的建立与求解 (3)4.1在持续收获前提下追求最大产量的模型 (3)4.1.1建立鱼群的变化及每年的收获量的微分方程模型 (3)4.1.2模型求解 (5)4.1.3对4龄鱼全部死亡的合理性分析 (5)4.2承包5年的最优捕捞模型 (6)4.2.1多目标规划模型 (6)4.2.2模型求解 (7)5.模型优缺点及改进方向 (9)5.1模型的优缺点 (9)5.2模型的改进方向 (9)参考文献 (9)附录 (10)。
(完整word版)数学建模 估计湖中鱼群的数量
课程论文首页估计湖中鱼的数量摘要本文是针对捕捞湖中鱼群并对鱼群数量进行估计的问题。
由于题目当中给出条件有两次从湖中钓出鱼，第一次是给鱼做上记号，而题目就是要从第二次从湖里钓出的x 条标有记号的鱼来估计湖中鱼的数量，由于第二次钓出的s 条鱼中情况复杂，有可能还没等有标记的和没标记混合时就开始捕捞，就会导致x 偏大，而相反的x 有可能又会偏小，所以我们必须通过假设，放回湖中的鱼在湖中是分布均匀的，这样就可以保证第二次钓出的带有标记的x 条鱼就是个随机变量，从而更加可以达到我们实验的准确性。
模型一：之后我们发现x 是服从超几何分布，用L(x,N)来表示，则通过使L 取到极大值的N 来作为估计值，运用概率统计中的极大似然原理，通过比值法最后可求出个极大值，最后可以确定它的估计值为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡x rs 或1rs +⎥⎦⎤⎢⎣⎡x 。
模型二：我可以在假设放回湖中有标记的鱼分布是均匀的基础上，认为湖中整个鱼群中含带有记号的鱼群比例与湖中任意一部分鱼群中含带有记号的鱼群比例完全相同，最后可以直接得到与模型一结果相同的一个结果，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x rs N .关键词：数理统计 极大值 比值法一：问题的提出题中问题可更明确的表示成：第一次从湖中钓出r 条鱼进行标记后放回，第二次再从湖中钓出s 条鱼，s 条鱼中有x 条鱼标有记号。
问：从两次的捕捞中如何更好地估计湖中鱼群的数量。
二：问题的分析由于鱼群的分布情况十分的复杂，在分布均匀的前提下，可以使用概率论与数理统计的模型，随即运用概率统计中的极大似然原理。
所以首先就可以确定其属于超几何分布，写出其公式，之后在通过比值法求比值A 的变化可以求出极大值，即可作为所求的估计值。
而模型二是直接通过客观的假设，假设湖中整个鱼群中含带有记号的鱼群比例与湖中任意一部分鱼群中含带有记号的鱼群比例完全相同的情况下，直接得出的一个结果三：模型的假设对模型一的假设：必须假设放回湖中的有标记的鱼在湖中的分布是均匀的，即与没标记的鱼混合和分布均匀。
数 学 建 模-捕鱼业问题
数学建模问题： 关于捕鱼业，当捕捞量最大时，利润不是最大的原因。
模型 记时刻t 渔场中鱼量为()t x , r 是固有增长率，N是环境容许的最大鱼量，()x f 表示单位时间的增长量，比例常数E 表示单位时间捕捞率（捕捞强度），则单位时间的捕捞量为 ()Ex x h = ， 而此时渔场鱼量满足方程()Ex N x rx t x -⎪⎭⎫⎝⎛-=1 ，令()Ex N x rx t x -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1= 0得到两个平衡点 x 0= N(( 1 –rE ), x 1= 0不难算出()r E x x -=0, x (x 1) =E r - ，由平衡点稳定性准则知 E < r （若捕捞过度即E>r 时 , 渔场鱼量将趋向x 1=0 ，则持续产量为0，不符合捕捞要求）,因E 是捕捞率，r 是最大增长率，要使渔场鱼量持续产量最大， 则x x 0=, ()Ex x h = ，设鱼的销售量单价为常数p ,单位捕捞率（如每条出海渔船）的费用为常数c, 那么单位时间的收入T 和支出S 分别为()p E x x ph T ==,cEs = ，单位时间的利润为cE pEx S T R -=-=，在稳定条件x x 0= 下，()()()cE r E pNE E S E T E R -⎪⎭⎫⎝⎛-=-=1 ，根据 ()()⎪⎭⎫⎝⎛-==N x rx t f t x 1 , ()Ex x h = ，作抛物线()x f y =和直线()Ex x h y == , 得 最大持续产量的坐标图如下所示：由图知 ，当x = 2N 时， h （x ）= h m时 ,捕捞量达到最大。
由 f ( x ) = rx ( 1 -Nx ) ,()Ex x h = ，x = 2N 联立方程组可得 h m=4rN ， E = 2r此时利润⎪⎭⎫⎝⎛-=-=c pN r cr rpN E R 2224)( ，由 ()cE r E pNE E R -⎪⎭⎫⎝⎛-=1令 R ′( E ) = 0, 得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=pN c r E R 12，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=N p c h rN R 22214 <h m将上式代入 ()cE r E pNE E R -⎪⎭⎫⎝⎛-=1 ，得()pNr c pN r E R c 4222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-= >⎪⎭⎫⎝⎛-c pN r 22 ,以上分析表明 ，当捕捞量 ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=N p c rN x h 22214 时 ，利润 R ( E )达到最大值 ，而此时的捕捞量小于捕捞量最大值h m ， 显然 ，当利润达到最大时，捕捞量不是最大；同样，当捕捞量达到最大时，利润不是最大 。
回归模型的假设检验(附)
第6章 回归模型的假设检验1，区间估计—基本概念假设对消费函数回u Y C ++=21ββ归分析之后，得出边际消费倾向2β的估计值为0.509。
这是对未知的总体MPC 2β的一个单一的点估计。
这个点估计可不可靠？虽然在重复抽样中估计值的均值可能会等于真值))ˆ((22ββ=E ，但由于抽样波动，单一估计值很可能不同于真值。
在统计学中，一个点估计量的可靠性有它的标准误差来衡量。
因此，我们不能完全依赖一个点估计值，而是围绕点估计量构造一个区间。
比方说，在点估计量的两旁各划出宽为2或3个标准误差的一个区间，使得它有95%的概率包含着真实的参数值。
这就是取件估计的粗略概念。
假定我们想知道宽竟，比方说，2ˆβ离2β有多“近”。
为了这个目的，试求两个正数δ和a ,10<<a ，使得随机区间)ˆ,ˆ(22δβδβ+-包含2β的概率为a -1。
a -=+≤≤-1)ˆˆPr(222δββδβ （1） 如果存在这个区间，就称之为置信区间，)1(a -称置信系数或置信度，a 称为显著水平。
置信区间的端点称临界值。
上限和下限。
0.05，0.01。
比方说05.0=a ，（1）式就可读为：试中的区间包含真实的2β的概率为95%。
2，回归系数的置信区间一元回归时，在i u 的正态性假定下，OLS 估计量21ˆ,ˆββ本身就是正态分布的，其均值和方差已随之列出。
以2ˆβ为例 2ˆ22ˆβββS Z -=--（2） 2ˆβ的方差∑-=22)(X X σ这是一个标准化正态变量。
因此，如果知道真实的总体方差2σ已知，就可以利用正态分布对2β作概率性表达。
当2σ已知时，以μ为均值，2σ为方差的正态变量有一个重要性质，就是σμ±之间的面积约占68%，95%，99%。
但是2σ很少能知道，在现实中用无偏估计量2σ来确定。
用σˆ代替σ，（2）可以改写为 )ˆ(ˆ222βββS t -= （3）这样定义的t 变量遵循自由度为n-2的t 分布。
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****大学学生
数学建模
作业
指导教师
作者姓名
班级学号
上交日期2010-12-24
注：上课时间周六上午第一讲
1、一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法，假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的
解：我们假定池中只有一种鱼。
对于这一种鱼其体型和形状是相似的，密度也大体上是相同的。
一、模型建立
主要符号说明如下:
W——鱼的重量、l——鱼的身长、d----鱼的胸围即鱼的最大周长、
K1---第一种数学估计模型中的系数
K2---第二种数学估计模型中的系数
１，建立的第一种数据估计模型为：
重量ｗ与身长ｌ的立方成正比，即W＝K13l
2，建立的第二种数据估计模型为：
横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，即W=K22d l
（一）第一种数据估计模型
对于同一种鱼，不访认为其整体形状是相似的，密度也大体上相同，所以重
量w与身长l的立方成正比，即W＝K13l,K1为比例系数。
把实际测得的数据代入W＝K13l计算比例系数K1。
计算出实际测得的身长的平均值为: 36.8
计算出实际测得的重量的平均值为：765.375
把W=765.375,l=36.8代入W＝K13l计算得：K1≈0.0153
（二）第二种数据估计模型
常调得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待，如果只假设鱼的模截面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，
于是W=K22d l，K2为比例系数。
把实际测得的数据代入W=K22d l计算比例系数K2。
计算出实际测得的胸围的平均值为：24.5875
把W=765.375,d=24.5875, l=36.8,代入W=K22d l计算得：K2≈0.0344 （三）第一种数据估计模型和第二种数据估计模型与实际情况的比较
比较第一种数据估计模型和第二种数据估计模型与实际情况的差别，并计算误差。
计算结果如表1所示：
计算出第二种数据估计模型与实际情况的误差为2.50%
由上述计算结果知，第二种数据估计模型与实际情况的误差小于第一种数据估计模型与实际情况的误差。
所以，应选用W=K22d l来建立数学模型。
（2）以显著性水平a=0.05，检验假设H。
b=0
（3）求广告费x=35时，销售额的点预测和区间预测。
解：（1）本题是要分析广告费x与销售额y的关系，首先根据题中所给的数据可以发现y随x的增加有比较明显的线性关系。
所以可以用线性模型
y=b1+b2*x+ε
其中b1，b2为回归参数，ε为随机误差。
再根据题中给定的数据用matlab统计工具箱中的regress命令求解，使用
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)
求解出b1，b2的估计值 b1=319.0863 b2=4.1853
所以得到回归分析模型的预测方程
y=319.0863+4.1853*x
（2）对模型的检验
由于R^2= 0.5908 表示变量y的59.08%可以由模型确定
F=14.4384远远超过F的检验临界值，p= 0.0035 远远小于a=0.05，因而模型从整体上来看还可以。
（3）模型预测
由于模型预测方程为
y=319.0863+4.1853*x
当x=35时，带入模型预测方程可以的求出
y=319.0863+35*4.1853
得到点预测值 y= 465.5718
由于销售额y的置信度为95%的预测区间为[442.2932, 490.0756]
matlab程序如下：
x=[40 25 20 30 40 40 25 20 50 20 50 50]';
y=[490 395 420 475 385 525 480 400 560 365 510 540]';
x=[ones(12,1),x];
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)
3 某银行经理计划用一笔资金进行有价证劵的投资，可供购进的证劵以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。
按照规定，市政证劵的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。
此外还有以下限制：
(1)政府及代办机构的证劵总共至少要购进400万元；
(2)所购证劵的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小，信用程度越高)；
(1)若该经理有1000万元，应如何投资？
(2)如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？
(3)在1000万元资金的情况下，若证劵A的税前收益增加为4.5%，投资应否改
变？若证劵C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？
解：1、首先分析这个问题。
对于投资问题，当然是投入一定的资金使收益最大。
然而本题对于各种投资又有一定的限制，因此可以用线性规划来求解最大收益。
对于每种证券只有投资和不投资两种情况，这样就可以引入0——1规划（即对于第i种证券，投资则yi值取1，不投资则yi取值0）。
可以设对第i种证券的投资金额为xi。
再根据每种投资的收益和税收的关系pi和总投资金额c可以建立出线性规划模型。
根据题意建立目标函数
∑=yi *xi *pi max
根据题意得到约束条件
（1） 政府及代办机构的证劵总共至少要购进400万元，这样可以建立个
约束条件
400yi *x i 4
2>=∑
（2）所购证劵的平均信用等级不超过1.4。
因为对于投资多少的不同，与投资者对这项投资关注程度不同。
因此引用程度与投资多少成比例，再由第i 种证券的信用等级qi ，这样建立约束条件
∑<=4.1yi/c *xi *qi
（3）所购证劵的平均到期年限不超过5年,这个与信用差不多，令第i 中
投资的到期年限为ri ，同理可以建立约束条件
∑<=5yi/c *xi *ri
（4）由于投资者的资金有限 这样可以建立对资金的约束条件 1000xi <=∑
（5） 对每种证券选与不选符合0——1变化，即建立约束条件
@bin (yi)
再用lingo 来求解出投资的最大值利润与对各种证券的投资情况
即投资者的1000万投资情况是：对A 投资233.333万，对C 投资683.333万，对E 投资83.333万。
这样的总利润是 30.86667万
第一问的lingo 程序
max =x1*0.043*y1+x2*0.054*0.5*y2+x3*0.025*y3+x4*0.022*y4+x5*0.045*y5; x1*y1+x2*y2+x3*y3+x4*y4+x5*y5<=1000;
x2*y2+x3*y3+x4*y4>=400;
2*y1*x1/1000+y2*x2/1000+y3*x3/1000+y4*x4/1000+3*y5*x5/1000<=1.4;
9*y1*x1/1000+15*y2*x2/1000+4*y3*x3/1000+3*y4*x4/1000+2*y5*x5/1000<=5; @bin (y1);
@bin (y2);
@bin (y3);
@bin (y4);
@bin (y5);
End
2、对于第二问，即是投资的投资资金可以在增加不到100万的情况下使利润达到最大。
假设投资金额为z 。
第二问即是在第一问的情况下增加约束条件
Z<=100
这样是目标函数变为
0.0275*z yi *xi *pi max -=∑
变化的约束条件还有对于投资者的资金有限这样可以建立对资金的约束条件
∑
<=
1000
xi+
z
这样仿照第一问的求解过程可以用lingo求解出
求解得出z=100说明贷款100万，对A投资150万，对C投资875万，对E 投资75万。
总利润是31.7万，笔贷款钱获利多了。
3）第三问就是单个的某种证券的税前收益发成了变化，这样把变化的收益带入程序就可以得出投资情况。
若证劵A的税前收益增加为4.5%得到投资情况求解得出对A投资233.3333万，对C投资683.3333 万，对E投资83.33333万。
总利润是31.33333万。
若证劵C的税前收益减少为4.8%得到投资情况得出对A投资233.3333万，对C 投资683.3333 万，对E投资83.33333万。
总利润是30.18333万
这两种变化只是使利润发生了变化，对投资情况没有影。