数学建模作业 垂钓问题及回归模型假设检验

****大学学生

数学建模

作业

指导教师

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班级学号

上交日期2010-12-24

注：上课时间周六上午第一讲

1、一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法，假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的

解：我们假定池中只有一种鱼。对于这一种鱼其体型和形状是相似的，密度也大体上是相同的。

一、模型建立

主要符号说明如下:

W——鱼的重量、l——鱼的身长、d----鱼的胸围即鱼的最大周长、

K1---第一种数学估计模型中的系数

K2---第二种数学估计模型中的系数

１，建立的第一种数据估计模型为：

重量ｗ与身长ｌ的立方成正比，即W＝K13l

2，建立的第二种数据估计模型为：

横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，即W=K22d l

（一）第一种数据估计模型

对于同一种鱼，不访认为其整体形状是相似的，密度也大体上相同，所以重

量w与身长l的立方成正比，即W＝K13l,K1为比例系数。

把实际测得的数据代入W＝K13l计算比例系数K1。

计算出实际测得的身长的平均值为: 36.8

计算出实际测得的重量的平均值为：765.375

把W=765.375,l=36.8代入W＝K13l计算得：K1≈0.0153

（二）第二种数据估计模型

常调得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待，如果只假设鱼的模截面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，

于是W=K22d l，K2为比例系数。

把实际测得的数据代入W=K22d l计算比例系数K2。

计算出实际测得的胸围的平均值为：24.5875

把W=765.375,d=24.5875, l=36.8,代入W=K22d l计算得：K2≈0.0344 （三）第一种数据估计模型和第二种数据估计模型与实际情况的比较

比较第一种数据估计模型和第二种数据估计模型与实际情况的差别，并计算误差。计算结果如表1所示：

计算出第二种数据估计模型与实际情况的误差为2.50%

由上述计算结果知，第二种数据估计模型与实际情况的误差小于第一种数据估计模型与实际情况的误差。所以，应选用W=K22d l来建立数学模型。

（2）以显著性水平a=0.05，检验假设H。b=0

（3）求广告费x=35时，销售额的点预测和区间预测。

解：（1）本题是要分析广告费x与销售额y的关系，首先根据题中所给的数据可以发现y随x的增加有比较明显的线性关系。所以可以用线性模型

y=b1+b2*x+ε

其中b1，b2为回归参数，ε为随机误差。再根据题中给定的数据用matlab统计工具箱中的regress命令求解，使用

[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)

求解出b1，b2的估计值 b1=319.0863 b2=4.1853

所以得到回归分析模型的预测方程

y=319.0863+4.1853*x

（2）对模型的检验

由于R^2= 0.5908 表示变量y的59.08%可以由模型确定

F=14.4384远远超过F的检验临界值，p= 0.0035 远远小于a=0.05，因而模型从整体上来看还可以。

（3）模型预测

由于模型预测方程为

y=319.0863+4.1853*x

当x=35时，带入模型预测方程可以的求出

y=319.0863+35*4.1853

得到点预测值 y= 465.5718

由于销售额y的置信度为95%的预测区间为[442.2932, 490.0756]

matlab程序如下：

x=[40 25 20 30 40 40 25 20 50 20 50 50]';

y=[490 395 420 475 385 525 480 400 560 365 510 540]';

x=[ones(12,1),x];

[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)

3 某银行经理计划用一笔资金进行有价证劵的投资，可供购进的证劵以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证劵的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制：

(1)政府及代办机构的证劵总共至少要购进400万元；

(2)所购证劵的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小，信用程度越高)；

(1)若该经理有1000万元，应如何投资？

(2)如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？

(3)在1000万元资金的情况下，若证劵A的税前收益增加为4.5%，投资应否改

变？若证劵C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？

解：1、首先分析这个问题。对于投资问题，当然是投入一定的资金使收益最大。然而本题对于各种投资又有一定的限制，因此可以用线性规划来求解最大收益。对于每种证券只有投资和不投资两种情况，这样就可以引入0——1规划（即对于第i种证券，投资则yi值取1，不投资则yi取值0）。可以设对第i种证券的投资金额为xi。再根据每种投资的收益和税收的关系pi和总投资金额c可以建立出线性规划模型。

根据题意建立目标函数

∑=yi *xi *pi max

根据题意得到约束条件

（1） 政府及代办机构的证劵总共至少要购进400万元，这样可以建立个

约束条件

400yi *x i 4

2>=∑

（2）所购证劵的平均信用等级不超过1.4。因为对于投资多少的不同，与投资者对这项投资关注程度不同。因此引用程度与投资多少成比例，再由第i 种证券的信用等级qi ，这样建立约束条件

∑<=4.1yi/c *xi *qi

（3）所购证劵的平均到期年限不超过5年,这个与信用差不多，令第i 中

投资的到期年限为ri ，同理可以建立约束条件

∑<=5yi/c *xi *ri

（4）由于投资者的资金有限 这样可以建立对资金的约束条件 1000xi <=∑

（5） 对每种证券选与不选符合0——1变化，即建立约束条件

@bin (yi)

再用lingo 来求解出投资的最大值利润与对各种证券的投资情况

即投资者的1000万投资情况是：对A 投资233.333万，对C 投资683.333万，对E 投资83.333万。这样的总利润是 30.86667万

第一问的lingo 程序

max =x1*0.043*y1+x2*0.054*0.5*y2+x3*0.025*y3+x4*0.022*y4+x5*0.045*y5; x1*y1+x2*y2+x3*y3+x4*y4+x5*y5<=1000;

x2*y2+x3*y3+x4*y4>=400;

2*y1*x1/1000+y2*x2/1000+y3*x3/1000+y4*x4/1000+3*y5*x5/1000<=1.4;

9*y1*x1/1000+15*y2*x2/1000+4*y3*x3/1000+3*y4*x4/1000+2*y5*x5/1000<=5; @bin (y1);

@bin (y2);

@bin (y3);

@bin (y4);

@bin (y5);

End

2、对于第二问，即是投资的投资资金可以在增加不到100万的情况下使利润达到最大。

假设投资金额为z 。第二问即是在第一问的情况下增加约束条件

Z<=100

这样是目标函数变为

0.0275*z yi *xi *pi max -=∑