正方形的定义和性质探究
三年级数学认识正方形与其特征
三年级数学认识正方形与其特征在数学学科中，正方形是一个非常重要的几何形状，它有着独特的特征和属性。
正方形在三年级的数学学习中也是一个重要的内容，通过对正方形的认识和理解，可以帮助学生建立对几何形状的概念，培养他们观察、分析和总结的能力。
本文将从正方形的定义、性质以及应用等方面，详细介绍三年级数学中认识正方形与其特征的内容。
一、正方形的定义正方形是指四条边长度相等、四个内角都是直角的四边形。
正方形有着独特的特征，其中包括以下几个方面：1. 边长相等：正方形的四条边长度都相等，这是正方形的最基本的特征。
2. 内角都是直角：正方形的四个内角都是直角，即每个角的度数是90度。
3. 对角相等：正方形的对角线长度相等，也就是说，连接正方形两个相对顶点的线段长度相等。
二、正方形的性质除了上述的基本特征外，正方形还有一些重要的性质，这些性质在数学运算中也是非常有用的。
1. 面积计算：正方形的面积可以通过边长的平方来计算，即面积=边长×边长，或者记作S=a^2，其中S表示面积，a表示边长。
2. 周长计算：正方形的周长可以通过边长乘以4来计算，即周长=4×边长，或者记作C=4a，其中C表示周长。
3. 对角线长度：正方形的对角线长度可以根据边长来计算，即对角线长度=边长×√2。
三、正方形的应用正方形作为一种常见的几何形状，在我们的生活中有着广泛的应用。
1. 日常生活中：正方形的形状在我们的生活中随处可见，比如蛋糕、瓷砖、书本等等，这些物品的形状多为正方形，对于我们日常生活中的购买、使用等活动都有着直接的影响。
2. 建筑设计：在建筑设计中，正方形常常被用于规划、设计建筑物的基本结构，它能够提供稳定的支撑结构和美观的外观效果。
3. 艺术设计：正方形的简洁和稳定性使得它在艺术设计中也得到广泛的应用，例如画框、拼贴艺术等等。
四、认识正方形的教学方法为了帮助三年级的学生认识正方形，我们可以运用一些有效的教学方法：1. 观察实物：通过让学生观察周围环境中的正方形实物，如书本、纸张等，引导学生发现正方形的特征和性质。
正方形的特征与性质了解正方形的定义特征和性质
正方形的特征与性质了解正方形的定义特征和性质正方形是一种常见的几何形状，具有一些独特的特征和性质。
了解正方形的定义、特征和性质，有助于我们对几何学的理解和应用。
本文将对正方形的特征和性质进行详细阐述。
一、定义正方形是一种特殊的四边形，它的四边相等且四个角均为直角。
也就是说，正方形是一个具有四个相等边长和四个直角的几何形状。
正方形的定义直观简单，我们可以根据这个定义来判断一个图形是否为正方形。
二、特征1. 边长相等：正方形的四条边长度相等，这是正方形最基本的特征。
我们可以用字母a来表示正方形的边长。
当一条边的长度确定时，其余三条边的长度也随之确定。
2. 角度为直角：正方形的四个角均为直角，即每个角都是90度。
这个特征可以直接由正方形的定义得知。
3. 对角线相等且互相垂直：正方形的对角线互相垂直且相等。
设对角线长度为d，则我们可以使用勾股定理来计算边长 a 与对角线长度 d之间的关系： a^2 + a^2 = d^2。
由此可得，该正方形的对角线长度为d = √2a。
三、性质1. 周长公式：正方形的周长可以通过将四条边长相加来求得。
因为正方形的四条边长度相等，所以周长 C = 4a。
2. 面积公式：正方形的面积可以通过边长的平方来计算。
面积 A =a^2。
3. 对角线性质：- 对角线相等：正方形的两条对角线相等，即d = √2a。
- 对角线相交于中点：正方形的两条对角线相交于正方形的中心点。
- 对角线互相垂直：正方形的两条对角线互相垂直，即对角线间的夹角为90度。
4. 判断正方形：- 利用边长：当一个四边形的四条边相等时，且四个角均为直角时，该四边形就是正方形。
- 利用对角线：当一条四边形的两条对角线相等且互相垂直时，该四边形就是正方形。
综上所述，正方形具有边长相等、角度为直角、对角线相等且互相垂直的特征和性质。
掌握了这些特征和性质，我们可以进行正方形相关的几何计算和应用。
对于数学、物理等学科的学习和实际问题的解决，正方形的特征和性质是非常重要的基础知识。
正方形的认识
正方形的认识正方形作为几何形状中的一种特殊形式，具有独特的性质和广泛的应用。
本文将从正方形的定义、性质、应用以及实际生活中的例子等方面进行探讨，以加深对正方形的认识。
一、正方形的定义正方形是指四条边相等且四个角都为90度的四边形。
它是一种特殊的长方形，也是一种特殊的菱形。
正方形的特点是四条边相等，每条边的内角都是90度，对角线相等且互相垂直。
二、正方形的性质1. 边长和角度：正方形的四条边相等，每条边的内角都是直角（90度）。
这意味着正方形的所有内角都是90度。
对角线相等且相互垂直，对角线的长度等于边长的根号2倍。
2. 周长和面积：正方形的周长等于四条边的长度之和，即4个边长的和。
正方形的面积等于边长的平方，即边长乘以边长。
3. 对称性：正方形具有4个对称轴，包括两条互相平行的对称轴和两条互相垂直的对称轴。
这使得正方形在几何构造和设计中具有重要地位。
4. 利用性质：正方形具有对角线对称的性质。
在许多实际问题中，可以利用正方形的对称性简化计算和解决问题。
三、正方形的应用1. 建筑设计：正方形具有稳定和均衡感，因此在建筑设计中经常采用正方形的形状。
例如，许多城市广场和公园的设计基本上采用正方形的布局，给人以和谐和美感。
2. 绘画艺术：正方形也是绘画艺术中经常运用的形状。
艺术家可以运用正方形来组合、分割和排列画面，创造出独特的视觉效果。
3. 数学推理：正方形常用于数学推理和证明中。
由于正方形的性质已知，对正方形进行推导和计算可以帮助解决其他几何问题。
4. 电子显示器：在电子技术领域，许多显示器的像素点排列通常采用正方形的形状。
正方形的像素可以在水平和垂直方向上均匀排列，使得显示效果更加清晰和准确。
5. 地理测量：地理测量中，正方形可以用作参考框架或基准线。
通过在地图上划定正方形的边界，可以更好地测量和定位地理区域。
四、实际生活中的例子1. 邮票和硬币：许多邮票和硬币的外形为正方形，例如中国的邮票和一些特定面额的硬币。
正方形的认识与性质
正方形的认识与性质正方形是一种具有特殊性质和独特美感的几何图形。
本文将从正方形的定义、性质及相关应用等方面详细介绍正方形。
一、正方形的定义正方形是指四边相等且四个内角均为90度的四边形。
简单来说，正方形就是一个特殊的长方形，它的四边相等且四个角都是直角。
正方形是几何学中最基本的形状之一，具有非常广泛的应用。
二、正方形的性质1. 边长和内角正方形的四条边相等，每个内角都是90度。
这是正方形与其他四边形的明显区别，也是它的基本性质。
2. 对角线正方形的两条对角线相等且互相垂直交叉于中心点。
对角线的长度等于边长的平方根乘以根号2，即对角线长度等于边长的√2倍。
3. 对称性正方形具有对称性，即对于任意一点O在正方形内，以O为中心旋转180度后，正方形仍然能够保持原状。
这种对称性不仅使得正方形美观，也为一些设计和建筑提供了便利。
4. 面积和周长正方形的面积等于边长的平方，周长等于边长的四倍。
这一性质常常在计算中得到应用，尤其在涉及到面积和边长的计算时。
5. 关联性质正方形还与一些其他几何图形存在关联性质。
例如，正方形可以看作是菱形的特殊情况，也可以看作是长方形的特殊情况。
在平面几何中，正方形与其他图形之间的关联性广泛而有趣。
三、正方形的应用1. 建筑设计正方形常常被用于建筑设计中，尤其是对称性要求较高的场所。
例如，大门、窗户等元素常常以正方形的形式出现，给人一种稳重、均衡的感觉。
2. 工艺品和装饰品正方形也常常被运用于工艺品和装饰品中。
例如，瓷砖、摆件等常常选择正方形的形式设计，使得作品更加美观、规整。
3. 数学教育正方形是数学教育中的重要内容之一。
学生在学习几何的初级阶段，不仅需要了解正方形的定义和性质，还需要通过绘制、计算等方式进行实际操作，从而深入理解正方形的特点和应用。
四、总结正方形是一种具有独特性质的几何图形，它的四边相等、每个内角为90度、对角相等且垂直，具有对称性。
正方形不仅在建筑设计、工艺品和装饰品等领域得到广泛应用，也是数学教育中不可或缺的内容。
正方形的概念
正方形的概念正方形是一个几何形状，具有特殊的性质和特征。
它是一种特殊的矩形，其四个边长相等且四个角均为直角。
在数学中，正方形是一种重要的几何形状，具有丰富的应用和研究价值。
1. 正方形的定义正方形是指具有相等边长的四边形。
其特点是四条边相等且四个角为直角。
根据这个定义，正方形是一种特殊的矩形，也是一种特殊的平行四边形。
正方形可以看做是矩形的一种特例，具有更明显的对称性和规律性。
2. 正方形的性质（1）四边相等：正方形的四条边具有相等的长度，即所有边长相等。
（2）四角为直角：正方形的四个角都为直角，即每个角度为90度。
（3）对角相等：正方形的对角线相等，即两条对角线的长度相等。
（4）对角线垂直：正方形的对角线互相垂直，即两条对角线相交成直角。
（5）对称性：正方形具有四个对称轴，即任意两条边垂直平分另外两条边，具有较强的对称性。
（6）面积计算：正方形的面积可以通过边长的平方来计算，即面积=边长^2。
（7）周长计算：正方形的周长等于四条边的长度之和，即周长=4×边长。
3. 正方形的应用正方形在数学、建筑、绘画等领域都有广泛的应用。
（1）数学：正方形作为基础的几何形状，被广泛应用于几何证明、计算面积和周长等数学问题的解决。
（2）建筑：正方形的对称性和稳定性使其成为建筑中常见的形状，如建筑物的平面设计、窗户的布置等都可以采用正方形来增加美感和稳定性。
（3）绘画：正方形在绘画中可以用作画布的形状，也可以用作框架的形状，使得作品更加整齐和协调。
（4）编程：正方形的概念也在计算机编程中有应用，如图形绘制、游戏设计等，正方形作为基本形状之一，可以用于构建复杂的图形和界面。
综上所述，正方形是一种具有特殊性质和特征的几何形状。
它的四边相等、四角为直角、对角线相等且垂直等特点，使得正方形在数学、建筑、绘画等领域具有广泛的应用。
掌握正方形的概念和性质，对于几何学的学习和实际应用都具有重要的意义。
正方形的性质与判定
正方形的性质与判定正方形是一种特殊的四边形，具有特定的性质和判定条件。
本文将对正方形的性质进行分析，并介绍如何判定一个四边形是否为正方形。
一、正方形的定义和性质正方形是一种具有四条相等边和四个直角的四边形。
以下是正方形的一些性质：1. 边长相等：正方形的四条边长度相等，记为a。
2. 直角：正方形的四个角都是直角，即90度。
3. 对角线相等：正方形的对角线相等，记为d。
4. 对角线垂直：正方形的对角线互相垂直，即两条对角线的夹角是直角。
二、正方形的判定条件如何判定一个四边形是否为正方形呢？下面是几种常见的判定条件：1. 边长相等且对角线相等：如果一个四边形的四条边长度相等且对角线相等，则这个四边形是正方形。
2. 边长相等且对角线互相垂直：如果一个四边形的四条边长度相等且对角线互相垂直，则这个四边形是正方形。
3. 内角相等且边长相等：如果一个四边形的四个内角都是直角（90度），且四条边长度相等，则这个四边形是正方形。
三、应用举例1. 例1：已知一个四边形的边长都是5厘米，并且对角线相等，判断这个四边形是否是正方形。
根据判定条件1，边长相等且对角线相等，则可以判断这个四边形是正方形。
2. 例2：已知一个四边形的边长都是4厘米，并且对角线互相垂直，判断这个四边形是否是正方形。
根据判定条件2，边长相等且对角线互相垂直，则可以判断这个四边形是正方形。
3. 例3：已知一个四边形的内角都是直角，且边长相等，判断这个四边形是否是正方形。
根据判定条件3，内角都是直角且边长相等，则可以判断这个四边形是正方形。
四、正方形的应用领域正方形作为一种特殊的四边形，具有独特的性质，在很多领域都有广泛的应用：1. 建筑设计：正方形的对称性使得它在建筑设计中常用于布局规划，例如正方形的房间、庭院等。
2. 绘画和艺术：正方形作为一种几何图形，在绘画和艺术作品中常常被用作构图元素，营造平衡和和谐感。
3. 数学研究：正方形是数学研究中的重要对象，与其他几何形状有着密切的联系，深入研究正方形的性质可以推广到其他领域。
正方形的概念与性质
正方形的概念与性质正方形是几何学中一种特殊的四边形，它的四边长度相等，且四个内角都为直角。
正方形是矩形的一种特殊形式，也是一种具有丰富性质和广泛应用的几何图形。
本文将重点介绍正方形的概念及其性质。
一、正方形的概念正方形是指四边相等且每个内角为90度的四边形。
与一般的四边形不同，正方形的每条边都是平行且相等的。
它具有边数、内角和对角线等几何属性。
正方形通常用图形符号表示，即一个四边形每个顶点上都有一个小正方形。
二、正方形的性质1. 边长性质：正方形的四条边长度相等。
设正方形的边长为a，则正方形的周长为4a。
2. 内角性质：正方形的每个内角均为90度。
即正方形的四个内角分别是直角。
3. 对称性质：正方形具有四个对称轴，分别是两条相互垂直的对角线和两条互相平行的边。
4. 对角线性质：正方形的对角线相等且互相垂直。
设正方形的对角线长度为d，则$d = a\sqrt{2}$，其中a为正方形的边长。
5. 面积性质：设正方形的边长为a，则正方形的面积为$A = a^2$。
6. 垂直性质：正方形的对角线相互垂直且平分对角线。
这意味着每条对角线的中点都是正方形的中心。
7. 正方形的对角线同时也是它的对称轴。
这意味着正方形可以通过对角线进行对称。
正方形具有以上性质，这些性质使得正方形在几何学中具有广泛的应用。
下面将介绍一些正方形的应用场景。
三、正方形的应用场景1. 建筑和城市规划：正方形常用于建筑设计和城市规划中的街区规划。
方形的形状有助于街道的交通流畅和建筑物的整齐布局。
2. 艺术和设计：正方形被广泛运用于艺术创作和设计领域，如绘画、摄影、平面设计等。
正方形的对称性和稳定性能够给作品带来平衡美和和谐感。
3. 数字应用：正方形在计算机图形学和数字图像处理中被广泛使用。
比如像素点可以按照正方形的形式排列，形成一幅图像。
4. 游戏和拼图：正方形被应用于拼图游戏和益智游戏中的棋盘、拼图块等部分。
正方形的规则性和对称性方便了游戏的设计和操作。
正方形的性质
正方形的性质正方形是几何学中的基本图形之一，具有独特的性质和特点。
本文将系统地介绍正方形的性质，并探讨其在数学、建筑等领域的应用。
一、定义：正方形是一种具有四个相等边和四个相等角的四边形。
其内角均为90度。
正方形具有如下定义和性质：1. 边长相等：正方形的四条边长度相等，用a表示。
2. 内角相等：正方形的四个内角均为90度，即直角。
3. 对角线垂直且相等：正方形的两条对角线相等且垂直于彼此。
二、性质：正方形具有多项重要性质，下面将逐一展开讨论：1. 周长和面积：正方形的周长可以通过边长乘以4得到，即P = 4a。
而正方形的面积可以通过边长的平方得到，即A = a^2。
2. 对角线长度：正方形的对角线长度可以通过边长乘以根号2得到，即d = a√2。
3. 对称性：正方形具有多个对称轴，包括中心对称、垂直对称和对角线对称。
这些对称性质使得正方形在设计和绘画中具有广泛的应用。
4. 角平分线和中垂线：正方形的各个顶点处的角平分线和中垂线均相等，且相互垂直。
这些线段的交点是正方形的中心点，也是对角线的中点。
5. 切割性：正方形可以通过两条对角线的交点将其分成四个全等且全切割的直角三角形。
这种特性在建筑和切割工艺中有重要的应用。
三、应用：正方形作为几何学中的基本图形，在数学和现实生活中有广泛的应用。
1. 几何学：正方形是许多数学证明和几何问题的基础。
例如，证明对角线相等、垂直、角平分线相等等等。
2. 建筑设计：正方形的对称性和美观性使其成为建筑设计中常用的形状之一。
例如，许多建筑和广场的地面铺设采用正方形瓷砖，创造出整齐有序的效果。
3. 绘画艺术：正方形在绘画艺术中也发挥重要作用。
例如，一些艺术家使用正方形画布，将作品划分为不同的区域，创造出独特的视觉效果。
4. 计算机图形学：在计算机图形学中，正方形作为基本图形之一，被广泛应用于生成图像、图像处理和图形渲染等领域。
总结：正方形作为一种具有独特性质和特点的几何图形，具有广泛的应用领域。
正方形的性质
正方形的性质正方形是一种具有特殊性质的四边形，它拥有独特的内部结构和几何特征。
下面我将详细介绍正方形的性质，并探讨其在几何学和实际生活中的应用。
1. 基本定义正方形是一个特殊的长方形，四条边长度相等且四个内角均为90度。
正方形的对角线相等且垂直，且对角线也是正方形的轴对称线。
例如，当边长为a时，正方形的周长为4a，面积为a^2。
2. 对称性正方形具有多种对称性质。
首先，它是轴对称的，即以中心点为对称中心，可将正方形分成两个相等的部分。
其次，正方形也是旋转对称的，即围绕中心点旋转180度或90度都可得到相同的正方形。
3. 内角性质所有正方形的内角均为90度。
这意味着正方形的四个角均相等，并且每个角的补角也是90度。
无论正方形怎样旋转或翻转，其内角性质不会改变。
4. 相关定理正方形的性质也产生了一些重要的几何定理和性质。
以下是一些常见的相关定理：a. 对角线定理：正方形的对角线相等，并且垂直于彼此。
这个定理十分重要，因为它不仅适用于正方形，还适用于其他一些四边形。
b. 垂直性质：正方形的内角都是直角，因此四条边都彼此垂直。
这使正方形在建筑工程和制图中得到广泛应用。
c. 角平分线定理：正方形的对角线同时也是相邻两个角的平分线。
这个定理可以用来计算正方形内部角的大小。
d. 定比分点定理：正方形的对角线将其内部分为两个等比例的三角形。
这个定理可以用来解决一些相关题目，如计算正方形内部具体点的坐标等。
5. 实际应用正方形作为一种具有独特性质的几何图形，在实际生活中得到了广泛应用。
以下是一些实际应用的例子：a. 建筑设计：正方形具有稳定而坚固的结构特征，因此在建筑设计中被广泛使用。
例如，许多大型建筑物的基础是正方形的，以确保其稳定性和平衡性。
b. 绘画和艺术：正方形是一种简单而美观的形状，常被艺术家用于创作各种艺术作品。
作为图形的基本元素，正方形可以为作品带来平衡和和谐感。
c. 瓷砖和地板设计：正方形的瓷砖和地板设计在家居装饰中非常常见。
正方形的性质与判定(教案)
正方形的性质与判定教学目标：1. 理解正方形的定义及其性质。
2. 学会使用正方形的性质进行判定。
3. 培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 正方形的性质。
2. 正方形的判定方法。
教学难点：1. 正方形性质的灵活运用。
2. 正方形判定方法的掌握。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 正方形模型或图片。
3. 练习题。
教学过程：第一章：正方形的定义1.1 引入：展示正方形模型或图片，引导学生观察并猜测正方形的定义。
1.2 讲解：正方形是四条边相等且四个角都是直角的四边形。
1.3 互动：让学生举例说明生活中常见的正方形，如棋盘、正方形纸等。
第二章：正方形的性质2.1 引入：展示正方形模型或图片，引导学生观察正方形的性质。
2.2 讲解：正方形的性质包括：四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等。
2.3 互动：让学生运用正方形的性质解决问题，如计算正方形对角线的长度。
第三章：正方形的判定3.1 引入：展示非正方形的模型或图片，引导学生思考如何判断一个四边形是否为正方形。
3.2 讲解：正方形的判定方法包括：四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等。
3.3 互动：让学生举例说明如何判断一个四边形是否为正方形。
第四章：正方形的应用4.1 引入：展示正方形应用的例子，如正方形图案设计、正方形桌面等。
4.2 讲解：正方形在实际生活中的应用，如建筑设计、电路板设计等。
4.3 互动：让学生举例说明正方形在实际生活中的应用。
第五章：总结与练习5.1 总结：回顾本节课所学的内容，强调正方形的定义、性质和判定。
5.2 练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。
教学反思：本节课通过展示正方形模型或图片，引导学生观察和思考正方形的性质和判定。
通过互动和举例，让学生更好地理解和应用正方形的性质。
在教学过程中，要注意引导学生主动参与，培养他们的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
第六章：正方形边的性质6.1 引入：通过正方形模型或图片，引导学生关注正方形边的性质。
正方形的概念与性质
正方形的概念与性质正方形是平面几何中的一种特殊形状，它具有独特的概念和性质。
在本文中，我们将探讨正方形的定义、性质以及一些相关的内容。
一、正方形的定义正方形是在平面上的一种四边形，其四条边相等且四个角皆为直角的特殊图形。
正方形的定义可以简述为：具有四条相等边长且四个角度均为90度的四边形。
二、正方形的性质正方形具有多个性质，包括：1. 对角线相等：正方形的对角线相等长，且互相垂直。
2. 对角线平分角：正方形的对角线能够将正方形的内角平分成两个相等的角度。
3. 直角边：正方形的任意一条边都与其相邻边垂直，即正方形的每条边都是直角边。
4. 等边等角：正方形的四边相等，四个内角度也相等，每个内角度均为90度。
5. 最大对称性：正方形具有最大的对称性，可通过旋转或翻转得到完全相同的图形。
三、正方形的应用正方形广泛应用于各个领域，包括建筑、设计和科学等。
以下是一些常见的应用场景：1. 建筑设计：许多建筑物中的空间布局或者地基设计需要使用正方形的概念和性质，以确保结构的稳定性和均衡性。
2. 数学和几何研究：正方形是基础几何图形之一，在代数、几何和计算几何等数学分支中有重要的应用。
3. 程序设计：在计算机图形学中，正方形经常用于显示和处理图像、窗口和屏幕等方面。
4. 游戏开发：在游戏设计和开发过程中，正方形常用于设计游戏界面和定义游戏区域。
5. 装饰艺术：正方形在设计和装饰领域中被广泛运用，如平面设计、室内设计和产品设计等。
四、与正方形相关的概念和图形1. 矩形：矩形是正方形的一种特殊情况，其具有相对较长和相对较短的两条相邻边，且所有内角均为90度。
2. 菱形：菱形是另一种与正方形相关的概念，其拥有四个相等的边长，但不同于正方形的是，菱形的内角不一定为90度。
3. 正方形的切线：在正方形的每个顶点，都存在一条与正方形接触且垂直于相邻边的切线。
综上所述，正方形是一种具有特殊定义和性质的几何图形。
在不同领域中，正方形的概念和性质都具有广泛的应用。
正方形的认识与性质
正方形的认识与性质正方形是一种具有特殊性质的四边形，它在几何学中占据了重要的地位。
正方形不仅在日常生活中广泛应用，而且在数学领域有很多独特的性质和特点。
本文将详细介绍正方形的认识与性质。
一、正方形的定义及特点正方形是一种具有四条边的四边形，其中每条边的长度相等且每个角的度数均为90度。
根据这个定义，我们可以得出以下正方形的特点：1. 边长相等：正方形的四条边长度相等，称为边长，用a表示。
2. 90度角：正方形的四个内角均为90度。
3. 对角线相等：正方形的两条对角线相等，且相互垂直。
二、正方形的性质与推论1. 周长和面积公式：正方形的周长等于四条边的长度之和，由于四条边长度相等，所以周长可以表示为4a。
正方形的面积等于边长的平方，即a^2。
2. 对角线长度：正方形的对角线长度等于边长的√2倍，根据勾股定理可得出这个结论。
3. 对角线的垂直平分线：正方形的对角线相互垂直，并且互为对方的垂直平分线。
4. 内切圆与外接圆：正方形的内切圆与外接圆均可以轻松构造出来。
内切圆的半径等于正方形边长的一半，而外接圆的半径等于正方形的一半。
这个性质在几何推导和计算中经常被使用。
5. 对角线平分内角：正方形的对角线平分了两个相邻内角，并且每个内角都等于90度的一半。
6. 等腰直角三角形：正方形的对角线将其分为两个等腰直角三角形，其中每个直角三角形的两边长相等。
7. 平行四边形：正方形是一种特殊的平行四边形，其四边都相等且相互平行。
三、应用与拓展正方形在日常生活和工作中有广泛的应用。
在建筑设计中，很多建筑物的平面布局采用正方形的形式，这不仅能够使整体结构更加稳定，还能够节约空间。
在绘画和艺术中，正方形的画框和画布常常被用于呈现作品。
在信息技术领域，正方形的像素点和屏幕比例也得到了广泛应用。
此外，正方形在数学领域还有很多有趣的拓展。
例如，可以通过正方形的展开图形得到二维的立方体，再通过展开图形得到三维的正方体。
正方形还可以作为基础形状衍生出其他形状，如在几何变换中可以通过旋转正方形得到更多多边形。
正方形的性质与构造
正方形的性质与构造正方形作为一种特殊的四边形，具有其独特的性质与构造方法。
本文将探讨正方形在数学中的重要性质，以及如何进行正方形的构造。
一、正方形的基本定义与性质正方形是一种特殊的四边形，具有以下性质：1. 边相等性质：正方形的四条边长度相等。
2. 角相等性质：正方形的四个内角均为90度。
3. 对角相等性质：正方形的对角线相等且垂直。
二、正方形性质的证明1. 边相等性质的证明：设正方形ABCD的边长为a，连接AD和BC两条对角线。
由对角线的长度相等性质可知，AD = BC = a。
同样由对角线的长度相等性质可知，AC = BD = a。
因此，四边形ABCD的四条边相等，即正方形的边相等。
2. 角相等性质的证明：由正方形的定义可知，其四个内角均为直角，即90度。
3. 对角相等性质的证明：由边相等性质可知，AD = BC = a。
同样由边相等性质可知，AB = CD = a。
由此可得，正方形的对角线相等。
由于正方形的对角线是边等长的，通过连接对角可以将正方形分成两个相等的直角三角形。
所以，正方形的对角线在交点处垂直。
三、正方形的构造方法构造正方形的方法有多种，下面将介绍两种常见的构造方法。
1. 以边为基准的构造方法：给定一条边AB，要构造一个正方形，可以按照以下步骤进行：（1）以A为圆心，以AB为半径画一个圆。
（2）以B为圆心，以BA为半径画一个圆，并且将圆与第一个圆的交点命名为C。
（3）连接AC和BC，得到正方形ABCD。
2. 以对角线为基准的构造方法：给定一条对角线AC，要构造一个正方形，可以按照以下步骤进行：（1）以A为圆心，以AC为半径画一个圆。
（2）以C为圆心，以CA为半径画一个圆，并且将圆与第一个圆的交点命名为B和D。
（3）连接AB、BC、CD和DA，得到正方形ABCD。
这些构造方法可以通过尺规作图或者使用传统的画图工具完成。
综上所述，正方形作为一种特殊的四边形，其性质独特且重要。
正方形的边相等、角相等以及对角线相等且垂直是其最基本的性质。
6、正方形的判定和性质 - 答案
正方形的判定和性质探索活动1、思考：你能类比矩形、菱形的概念给正方形下个定义吗?正方形的概念：____________并且____________的_________是正方形。
2、探究：（1）比较平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系（2）探索正方形的性质请大家思考正方形有哪些性质?正方形是一个特殊的平行四边形，正方形形具有平行四边形的所有性质；正方形还是特殊的矩形，也是特殊的菱形，所以正方形具有矩形、菱形的所有性质正方形的性质：从对称性看：正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形从边看：正方形的四边相等，对边平行从角看：正方形4个角都是直角从对角线看：正方形的两条对角线相等且互相垂直平分；每一条对角线平分一组对角思考：正方形具有而一般矩形不具备的性质：正方形具有而一般菱形不具备的性质：探索正方形的判定方法：问题：有一个角是直角的是正方形；有一组邻边相等的是正方形；对角线相等的是正方形；对角线垂直的是正方形；对角线的四边形是正方形。
思路：（1）先说明这个平行四边形是，再说明这个矩形也是；（2）先说明这个平行四边形是，再说明这个菱形也是。
归纳总结例1.如图，四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，试探索BG 与DE 的关系.例2.在正方形ABCD 中，点E、F、G、H 分别在各边上，且AE=BF=CG=DH．四边形EFGH 是正方形吗?为什么?题型一：正方形的性质-求角度1．如图，正方形ABCD O，则AOB ∠的度数是（）A．30︒B．45︒C．60︒D．90︒【答案】D 【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥，∴90AOB ∠=︒，故选：D．2．如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 上一点，连接BE ，BE 交对角线AC 于点F，连接DF ，若35ABE ∠=︒，则CFD ∠的度数为（）A．80°B．70°C．75°D．45°【答案】A 【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴,45BC CD BAC ACB ACD =∠=∠=∠=︒，∵35ABE ∠=︒，∴80BFC ABE BAC ∠=∠+∠=︒，在BCF △和DCF 中，BC CD ACB ACD CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BCF DCF ≌△△，∴80CFD CFB ∠=∠=︒，故选：A．3．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边ADE V ，则AEB ∠=．【答案】15︒【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90BAD ∠=︒，∵ADE 是等边三角形，，∴AD AE =，60DAE ∠=︒，∴AB AE =，150BAE ∠=︒，∴()1180150152AEB ∠=︒-︒=︒，故答案为：15︒．4．如图，正方形ABCD 中，E 在BC 延长线上，AE，BD 交于点F，连接FC，若32E ∠= ，那么BCF ∠的度数是．【答案】58°【详解】解：∵在正方形ABCD，AD=CD，∠ADF=∠CDF=45°，DF=DF，∴△ADF≌△CDF（SAS），∴∠DAF=∠DCF，又∵AD∥BC，∠E=32°，∴∠DAF=32°，∴∠DCF=32°，∴∠BCF=∠DCB－∠DCF=90°－32°=58°．故答案为：58°．5．如图，在正方形ABCD 中，M 是正方形内一点，且MC MD AD ==．求BAM ∠的度数．【答案】15︒【详解】解：在正方形ABCD 中，90ADC BAD ∠=∠=︒，AD DC =，MC MD AD ==，AD DC MD MC ∴===，在DMC 中，DM DC MC ==，则DMC 是等边三角形，60MDC ∴∠=︒，30MDA ∴∠=︒，在ADM △中，30ADM ∠=︒，MD AD =，则()118030752DAM ∠=︒-︒=︒；90907515BAM DAM ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．6．如图，BF 平行于正方形ADCD 的对角线AC，点E 在BF 上，且AE=AC，CF∥AE，求∠BCF.【答案】105°【详解】作AO⊥FB 的延长线,BQ⊥AC∵BF∥AC,∴AO∥BQ 且∠QAB＝∠QBA＝45°∴AO＝BQ＝AQ＝12AC ∵AE＝AC ∴AO＝12AE∴∠AEO＝30°∵BF∥AC∴∠CAE∠AEO＝30°∵BF∥AC,CF∥AE∴∠CFE∠CAE＝30°∵BF∥AC∴∠CBF∠BCA＝45°∠BCF＝180°－∠CBF－∠CFE＝180°－45°－30°＝105°题型二：正方形的性质-求长度1．正方形的一条对角线长为8，则正方形的边长为（）A．2B．4C．D．【答案】C【详解】解：设正方形的边长为a，∵正方形的一条对角线之长为8，a a+=，∴2228∴a=，故选C．2．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1和3，则正方形的边长是．.【详解】试题分析：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∠ABM+∠CBN=90°.∵AM⊥MN，CN⊥BN，∴∠BAM=∠CBN，∠AMB=∠CNB=90°.∴△AMB≌△BCN（AAS）.∴BM=CN.∵点A、C到直线L的距离分别是1和3，即AM=1，CN=3，∴BM=3.∴AB ==3．如图，在边长为ABCD 中，30∠=︒CDE ，DE CF ⊥则AF 的长为（）A．4-B．4C．4-D．4-【答案】D 【详解】解∶∵四边形ABCD 是正方形，∴90FBC DCE CD BC ∠=∠=︒==，Rt DCE V 中，30∠=︒CDE ，∴12CE DE =，设CE x =，则2DE x =，根据勾股定理得∶222DC CE DE +=，即(()2222x x +=，解得∶4x =±（负值舍去），∴4CE =，∵DE CF ⊥，∴90DOC ∠=︒，∴60DCO ∠=︒，∴906030BCF CDE ∠=︒-︒=︒=∠，∵DCE CBF CD BC ∠=∠=，，∴()ASA DCE CBF ≌，∴4BF CE ==，∴4AF AB BF =-=-．故选∶D．4．如图，边长为6的正方形ABCD 中，M 为对角线BD 上的一点，连接AM 并延长交CD 于点P.若PM PC =，则AM 的长为（）A．)31B．)32C．)61D．)62【答案】C【详解】∵边长为6的正方形ABCD ，∴,,90BA BC ABM CBM DAB ADC BCD =∠=∠∠=∠=∠=︒，∵BA BC ABM CBM BM BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABM CBM ≌，∴BAM BCM ∠=∠，∴9090BAM BCM ︒-∠=︒-∠，∴DAM DCM ∠=∠，∵PM PC =，∴PMC DCM ∠=∠，∴22APD PMC DCM DCM DAM ∠=∠+∠=∠=∠，∴390APD DAM DAM ∠+=∠=︒，∴30DAP ∠=︒，∴2AP DP =，∵222AP DP AD =+∴()22226DP DP =+，解得DP =∴262AP DP PM PC CD DP ====-=-∴)661AM AP PM =-==，故选C．5．如图，在正方形ABCD 中，将边BC 绕点B 逆时针旋转至BC '，连接CC '，DC '，若90CC D '∠=︒，5AB =，则线段C D '的长度为．【详解】解：过点B 作BE CC '⊥于点E ，四边形ABCD 是正方形，BC CD ∴=，90BCD ∠=︒，90BCE C CD '∴∠+∠=︒，90BCE CBE ∠+∠=︒ ，C CD CBE '∴∠=∠，又BEC CC D '∠=∠ ，在BCE 和'CDC △中，CBE C CD BEC CC D BC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠='⎨'⎪⎩，()AAS BCE CDC '∴≌ ，CE C D '∴=，将边BC 绕点B 逆时针旋转至BC '，5BC BC CD '∴===，又BE CC '⊥ ，CE C E C D ''∴==，222C D C C CD ''+= ，2525C D '∴=，C D '∴=，6．如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，点E 是线段OD 上一点，连接EC ，若BF CE ⊥于点F ，BF 是DBC ∠的角平分线，6AB =，则OE 的长为．【答案】6-【详解】解： 四边形ABCD 是正方形，6BC AB ∴==，90ABC ∠=︒，在Rt ABC △中，AC === 正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O，1122BO BD AC ∴===BF CE ⊥ 于点F ，90BFE BFC ∴∠=∠=︒，BF 是DBC ∠的角平分线，EBF CBF ∴∠=∠，在BFE △和BFC △中，90EBF CBF BF BF BFE BFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴(ASA)BFE BFC ≌ ，6BE BC ∴==，6OE BE BO ∴=-=-故答案为：6-．题型三：正方形的性质-求周长和面积1．正方形一条对角线为2，则正方形的面积为．【答案】2【详解】解： 正方形的一条对角线的长为2，∴这个正方形的面积21222=⨯=．故答案为：2．2．如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线相交于点O，过点O 的直线分别交AD 、BC 于E、F，则阴影部分的面积是．【答案】1【详解】解：在正方形ABCD 中，AD BC ∥，OD OB =，∴ODE OBF ∠=∠，又DOE BOF ∠=∠，∴()ASA DEO BFO ≌△△，DEO BFO S S ∴=△△，阴影面积=BOC S 12112=⨯⨯=．故答案为：1．3．如图，正方形ABCD 中，AB=1，点P 是对角线AC 上的一点，分别以AP、PC 为对角线作正方形，则两个小正方形的周长的和是．【答案】4cm．【详解】解：设小正方形的边长为x，则较大的正方形的边长为1-x，故两个小正方形的周长和=4x+4（1-x）=4cm．4．如图，正方形ABCD 和正方形EFGO 的边长都是2，正方形EFGO 绕点O 旋转时，两个正方形重叠部分的面积是（）A．1B．2C．3D．4【答案】A 【详解】解：如图，设AB 与OE 交点N，BC 与OG 交点M，∵四边形ABCD 和四边形EFGO 都是正方形，∴,45,90OB OC OBA OCB BOC EOG =∠=∠=︒∠=∠=︒，∴BON MOC ∠=∠．在OBN △与OCM 中，OBN OCM OB OC BON COM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA OBN OCM ∴≌ ，OBN OCM S S ∴= ，1122144OBC ABCD OMBN S S S ∴===⨯⨯=正方形四边形 ．故选：A．5．正方形ABCD 的边长为2，将该正方形绕顶点A 在平面内旋转45︒，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（）A．4B．4-C．10-D．8-【答案】A 【详解】解：设C D ''交BC 于点M ，连AM ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，2AD AB ∴==，90D B BAD ∠=∠=∠=︒，由旋转得AD AD '=，D D '∠=∠，45DAD '∠=︒，AD AB '∴=，90D B '∠=∠=︒，45BAD BAD DAD ''∠=∠-∠=︒，在Rt AD M '△和Rt ABM 中，AM AM AD AB=⎧⎨'=⎩，∴Rt Rt (HL)AD M ABM '△≌△，122.52MAD MAB BAD ''∴∠=∠=∠=︒，在AB 上截取BE BM =，连接EM ，则45BEM BME ∠=∠=︒，22.5EMA BEM MAB ∴∠=∠-∠=︒，EMA MAB ∴∠=∠，AE ME ∴=，∴2BE +=，2BM BE ∴==，1122)222AD M ABM S S AB BM '∴==⋅=⨯⨯=-△△，224AD M ABM S S S '∴=+=-+-=-△△阴影，故选：A．6．如图，已知正方形,ABCD G 为CD 边上一点（不与端点重合），以CG 为一边作正方形CGFE ，连接,,BD BF DF ，若4AB =，则BDF V 的面积为．【答案】8【详解】解：连接CF ，∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形，∴45DBC FCE ∠=∠=︒，∴BD CF ∥，∴1144822BDF BDC ABCD S S S ===⨯⨯= 正方形，故答案为：8．7．如图，边长为12的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为1S 、2S ，则12S S +的值为．【答案】68【详解】解：如图所示，连接BQ FH EG ，，，过点F 作FR AD ⊥于点R ，过点G 作GK CD ⊥于点K ，∵四边形ABCD ，四边形EFGH ，四边形BPQS 是正方形，AC 是对角线，BQ 是对角线，∴90SQP CSQ QPA ∠=∠=∠=︒，45BCA BAC CQS PQA SQB PQB SBQ PBQ ∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒，∴,,,APQ QPB BQS CSQ △△△△是等腰直角三角形，且APQ QPB BQS CSQ ≌≌≌△△△△，同理，,,,,,,,,ARF ERF EOF EOH EDH HOG HKG GKC GOF △△△△△△△△△是等腰直角三角形，且ARF ERF EOF EOH EDH HOG HKG GKC GOF ≌≌≌≌≌≌≌≌△△△△△△△△△，∴149ADC S S =△，212ABC S S =△，12ADC ABC ABCD S S S +=正方形△△，∴124111121212123236689222S S +=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=，故答案为：68．题型四：正方形的性质运用1．菱形、矩形、正方形都具有的特点是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角线平分对角【答案】C【详解】解：A.矩形的对角线不一定互相垂直，故不符合题意；B.菱形的对角线不一定相等，故不符合题意；C.菱形、矩形、正方形的对角线互相平分，故符合题意；D.矩形的对角线不一定平分对角，故不符合题意；故选：C．2．下列性质中，平行四边形，矩形，菱形，正方形共有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角线互相平分D．对角线平分内角【答案】C【详解】解：∵平行四边形的对角线互相平分，∴矩形，菱形，正方形的对角线也必然互相平分．故选：C．3．在学习了“中心对称图形——平行四边形”之后，平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系可以用下面的关系图表示，则②处所填图形的名称应为．【答案】正方形【详解】解：由题意可知，④是平行四边形，①和③分别是矩形和菱形，②是正方形．故答案为：正方形．4．如图，以ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ADEB 、ACGF ，连接DC 、BF 相交于M ，DC 、AB 相交于N ．(1)从旋转的角度看，ADC △是绕点逆时针旋转度，可以得到ABF △；(2)CD 与BF 有何关系，请说明理由．【答案】(1)A ，90(2)CD BF =，DC BF ⊥，理由见解析【详解】（1）解：由题意知，从旋转的角度看，ADC △是绕点A 逆时针旋转90度，可以得到ABF △；故答案为：A ，90；（2）解：CD BF =，CD BF ⊥，理由如下：∵四边形ADEB 、四边形ACGF 均为正方形，∴90AD AB AC AF DAB CAF ==∠=︒=∠，，，∴DAB BAC CAF BAC ∠+∠=∠+∠，即DAC BAF ∠=∠，∵AD AB DAC BAF AC AF =∠=∠=，，，∴()SAS DAC BAF ≌，∴CD BF =，CDA FBA ∠=∠，∵180CDA DAN DNA FBA BMN BNM ∠+∠+∠=︒=∠+∠+∠，DNA BNM ∠=∠，∴90BMN DAN ∠=∠=︒，∴DC BF ⊥．题型五：最值问题1．如图，四边形ABCD 为正方形，M ，N 分别是AB ，BC 边的中点，请在对角线AC 上找一点P ，使PM PN +的值最小（不写作法，保留作图痕迹）．【答案】见解析【详解】解：如图所示，点P 即为所求．连接BD 交AC 于O，连接NP 并延长交AD 于T，由正方形的对称性可知M T 、关于AC 对称，∴PM PT =，∴PM PN PT PN +=+，∴当P T M 、、三点共线时，PT PN +最小，即PM PN +最小，此时点P 与点O 重合．2．如图所示，正方形ABCD 的面积为9，ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（）A．4.5B．9C．2.5D．3【答案】D 【详解】解：设BE 与AC 交于点P'，连接BD ，DP '，∵点B 与D 关于AC 对称，∴''P D P B =，∴''''P D P E P B P E BE +=+=∵正方形ABCD 的面积为9，∴3AB =，又∵ABE 是等边三角形，∴3BE AB ==．故选：D3．正方形ABCD 中，点E 在AB 上，3AE =，1BE =，点P 在AC 上，EP BP +的最小值．【答案】5【详解】如图，连接BD 交AC 于点O ，连接ED 与AC 交于点P，连接PB ，∵四边形ABCD 是正方形，∴BD AC ⊥，且OB OD =，∴BP PD =，则BP EP ED +=，此时最短，∵3AE =，134AD =+=，∴根据勾股定理得22222234255ED AE AD =+=+==，∴5ED BP EP =+=，即BP EP +的最小值为：5，故答案为：5．4．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 的中点，在对角线AC 上有一点P，则PD PE +的最小值是．【详解】连接BP ，BE ，因为正方形ABCD 关于对角线AC 对称，点B 与点D 是对称点，∴PB PD =，PD PE PB PE+=+当点P 在线段BE 上时，PD PE PB PE BE +=+=，为最小值．∵正方形ABCD 的边长为2，∴2BC CD ==，∵点E 是CD 的中点，∴112CE CD ==，∵在正方形ABCD 中，90BCD ∠=︒，∴在Rt BCE 中，BE ==∴PD PE +5．如图，在正方形ABCD 中，点E AB 上一点，且2AE =，4BE =，点P 是边AD 上的动点（P 与A ，D 不重合），则PE PC +的最小值是．【答案】10【详解】解：作点E 关于AD 的对称点E '，连接CE '交AD 于点P ，∴PE PE '=，AE AE '=，∴PE PC PE PC CE ''+=+≥，即PE PC +的最小值为CE '，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC =，90CBA ∠=︒，∵2AE =，4BE =，∴4228BE BE AE AE ''=++=++=，642B E C AB BE A +=+===，在Rt BCE '△中，10CE '===，∴PE PC +的最小值是10．故答案为：10．题型六：正方形的判定定理1．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O，且OA OC =，OB OD =，下列说法错误的是（）A．若AC BD ⊥，则ABCD 是菱形B．若AC BD =，则ABCD 是矩形C．若AC BD ⊥且AC BD =，则ABCD 是正方形D．若90ABC ∠=︒，则ABCD 是正方形【答案】D【详解】解：∵OA OC =，OB OD =，∴四边形ABCD 是平行四边形，若AC BD ⊥，则四边形ABCD 是菱形，故A 选项不符合题意；若AC BD =，则四边形ABCD 是矩形，故B 选项不符合题意；若AC BD ⊥且AC BD =，则四边形ABCD 是正方形，故C 选项不符合题意；若90ABC ∠=︒，则四边形ABCD 是矩形，故D 选项符合题意；故选：D．2．如图所示，在ABC 中，在90ACB ∠=︒，CD 平分ACB ∠，DE AC ⊥于E，DF BC ⊥于F，求证：四边形CEDF 是正方形．【答案】∵CD 平分ACB ∠，,DE AC DF BC ⊥⊥，∴DE DF =，90DFC DEC ∠=∠=︒，又∵90ACB ∠=︒，∴四边形CEDF 是矩形，∵DE DF =，∴矩形CEDF 是正方形．3．矩形ABCD 四个内角平分线组成四边形MFNE ，求证：四边形MFNE 是正方形．【答案】 四边形ABCD 是矩形，90BAD ADC BCD ABC ∴∠=∠=∠=∠=︒，AD BC =，AM ，DM ，CN ，BN 分别是四个内角平分线，45BAE EAD ADM CDM DCN BCN CBN ABN ∴∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒，AE BE ∴=，90AEB N DFC AMD ∴∠=∠=∠=∠=︒，∴四边形MFNE 是矩形，在ADM △和BCN △中，MAD CBN AD BC ADM BCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA ADM BCN ∴ ≌，AM BN ∴=，AM AE BN BE ∴-=-，EN EM ∴=，∴矩形MFNE 是正方形．4．如图，已知Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，先把△ABC 绕点C 顺时针旋转90°至△EDC 后，再把△ABC 沿射线BC 平移至△GFE，DE、FG 相交于点H．(1)判断线段DE、FG 的位置关系，并说明理由；(2)连接AG，求证：四边形ACEG 【答案】(1)DE⊥FG，理由见解析(2)见解析【详解】（1）解：DE⊥FG，理由如下：∵把△ABC 绕点C 顺时针旋转90°至△EDC，∴∠BAC＝∠CED，∵把△ABC 沿射线BC 平移至△GFE，∴∠ABC＝∠GFE，∵∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠CED+∠GFE＝90°，∴∠FHE＝90°，∴DE⊥GF；（2）解：∵把△ABC 沿射线BC 平移至△GFE，∴AC＝GE，AC∥GE，∴四边形ACEG 是平行四边形，∵把△ABC 绕点C 顺时针旋转90°至△EDC，∴AC＝CE，∠ACE＝90°，∴四边形ACEG 是正方形．5．如图：已知：AD 是ABC 的角平分线，DE AC ∥交AB 于E ，DF AB ∥交AC 于F ．(1)求证：四边形AEDF 是菱形；(2)当ABC 满足什么条件时，四边形AEDF 是正方形？【答案】(1)见解析(2)90BAC ∠=︒【详解】（1）解：证明：//DE AC ，//DF AB ，//DE AF ∴，//DF AE ，∴四边形AEDF 是平行四边形（有两组对边相互平行的四边形是平行四边形），EAF EDF ∴∠=∠（平行四边形的对角相等）；又AD 是ABC ∆的角平分线，∴∠EAD=∠FAD，∵DE∥AC，∴∠EDA=∠FAD，EAD EDA ∴∠=∠，AE DE ∴=（等角对等边），∴四边形AEDF 是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）；（2）解：由（1）知，四边形AEDF 是菱形，当四边形AEDF 是正方形时，90EAF ∠=︒，即90BAC ∠=︒，ABC ∴∆的90BAC ∠=︒时，四边形AEDF 是正方形．课后练习1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，下列说法错误的是（）A．若AC⊥BD，四边形ABCD是菱形B．若AB＝BC，AC＝BD，四边形ABCD是正方形C．若AC＝BD，四边形ABCD是矩形D．若∠ABC＝90°，四边形ABCD是正方形【答案】D【详解】解：∵四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD为平行四边形．A．∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故该选项不符合题意；B.∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形，∵AC=BD，∴菱形ABCD是正方形；故该选项不符合题意；C.∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故该选项不符合题意；D．∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故该选项符合题意；故选：D．2．如图，在正方形ABCD外作等边ADE∠=︒．，则BED【答案】45【详解】解： 四边形ABCD 是正方形，90BAD ∴∠=︒，AB AD =，又ADE 是等边三角形，AE AD ∴=，60AED DAE ∠=∠=︒，AB AE ∴=，9060150BAE ∠=︒+︒=︒，15ABE AEB ∴∠=∠=︒．BED AED ABE ∴∠=∠-∠45=︒，故答案为45∶．3．如图，在正方形ABCD 中，E，F 是对角线BD 上的点，且AB BF DE ==，求EAF ∠的度数．【答案】45︒【详解】解：在正方形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒，45ABD ADB ∠=∠=︒．又∵AB BF DE ==，∴AD DE =，AB BF =，∴18(27)06.5DAE DEA ADB ∠=∠=︒-∠÷=︒，18(27)06.5BAF BFA ABD ∠=∠=︒-∠÷=︒，∴180180267.545EAF BFA DEA ∠=︒-∠-∠=︒-⨯︒=︒．4．如图，在正方形ABCD 中，延长BC 至E ，使CE CA =．求CAE ∠的度数．【答案】22.5︒【详解】解： 在正方形ABCD 中，90BCD ∠=︒，对角线AC 平分BCD ∠，∴90DCE BCD ∠=∠=︒，45ACB ∠=︒，CE CA =，ACE ∴ 是等腰三角形，ACB ∠ 是ACE △的一个外角，2ACB CAE E CAE ∴∠=∠+∠=∠，即245CAE ∠=︒，解得22.5CAE ∠=︒，故答案为：22.5︒．5.在正方形ABCD中，两条对角线相交于O，∠ACD的平分线交BD于P，若正方形ABCD的周长是16cm，则PB＝___________cm.【答案】46．如图，正方形ABCD 的面积为2，菱形AMCN 的面积为1，则,M N 两点间的距离为（）A．1B．2【答案】A【详解】解：如图，连接AC ，∵正方形ABCD 的面积为2，∴2122AC =，解得：2AC =，∵菱形AMCN 的面积为1，∴⋅=112AC MN ，即⨯⨯=1212MN ，解得：1MN =．故选：A．7．如图，已知正方形ABCD ，E 是AD 上一点，过BE 上一点O 作BE 的垂线，交AB 于点G ，交CD 于点H ．6BE =，则GH =．【答案】6【详解】解：过点A 作GH 的平行线，交DC 于点F，如图所示：∵ABCD 是正方形，∴AG FH ∥，BA AD =，90BAE D ∠=∠=︒，∴90FAD AFD ∠+∠=︒，∵GH BE ⊥，AF GH ∥，∴AF BE ⊥，四边形AFHG 是平行四边形，∴90FAD BEA ∠+∠=︒，∴BEA AFD ∠=∠，∴()AAS BAE ADF ≌，∴BE AF =，∴GH AF =，∴6GH BE ==，故答案为：6．8．如图，直线1l ，2l ，3l 分别过正方形ABCD 的三个顶点A ，D ，C ，且相互平行，若1l ，2l 的距离为1，2l ，3l 的距离为2，则正方形的边长为．【详解】解∶如图，过点D 作1EF l ⊥交1l 于点E，交3l 于点F，∵123l l l ∥∥，∴32,EF l EF l ⊥⊥，∴90AED ADC CFD ∠=∠=∠=︒，1,2DE DF ==，∴90,90ADE DAE ADE CDF ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴DAE CDF ∠=∠，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD =，∴ ≌ADE DCF ，∴2,1AE DF DE CF ====，AD ==9．如图，有三个正方形ABCD ，DEFG ，FHMN ，点B ，C ，G ，H ，M 都在同一直线l 上，若正方形ABCD ，DEFG 的面积分别为3和8，则正方形FHMN 的面积为（）A．4B．5C．6D．11【答案】B 【详解】解：∵四边形ABCD ，DEFG ，FHMN 都是正方形，∴DG FG =，90DCG GHF DGF ∠∠∠===︒；∴90CDG CGD CGD HGF ∠∠∠∠+=+=︒，∴CDG HGF ∠∠=，∴CDG HGF ≌（AAS ），∴CD GH =，CG FH =，∵正方形ABCD ，DEFG 的面积分别为3和8，∴2238CD DG ==，，∴正方形FHMN 的面积22835FH CG ===-=．故选∶B．10．若正方形的边长为a ，M 是BC 的中点，则图中阴影部分的面积是多少？【答案】213a 【详解】解：设ABE S S =△，M 是BC 中点，又因为ABE 和△同高，∴12BME S S =△，2311244AMB ABCD S S S a ===△正方形，则216S a =，∴阴影部分的面积2211263a a =⨯=．11．如图，正方形ABCD 的边长为2，H 在CD 的延长线上，四边形CEFH 也为正方形，则△DBF 的面积为()A．4C．D．2【答案】D 【详解】解：设正方形CEFH 的边长为a，根据题意得：21114422222()()BDF S a a a a a ∆=+-⨯---+22211222a a a a a =+-+--=2．故选：D．12．如图，在矩形ABCD 中，BE 平分ABC ∠，CE 平分DCB ∠，//,//BF CE CF BE ．求证：四边形BFCE 是正方形．【答案】∵//,//BF CE CF BE ，∴四边形BECF 是平行四边形．∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC ∠=︒，90DCB ∠=︒．又∵BE 平分ABC ∠，CE 平分DCB ∠，∴1145,4522EBC ABC ECB DCB ∠=∠=︒∠=∠=︒．∴EBC ECB ∠=∠．∴EB EC =．∴BECF 是菱形（菱形的定义）．在EBC 中，∵45,45EBC ECB ∠=︒∠=︒，∴90BEC ∠=︒．∴菱形BECF 是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．13．如图，ABC 中，AB AC =，AD 是BAC ∠的角平分线，点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E，使OE OD =．连接AE ，BE ．(1)求证：四边形AEBD 是矩形；(2)当90BAC ∠=︒时，猜想四边形AEBD 是什么图形？说明理由．【答案】（1）证明：∵点O 为AB 的中点，OE OD =，∴四边形AEBD 是平行四边形，AB AC = ，AD 是BAC ∠的角平分线，AD BC ∴⊥，90ADB ∴∠=︒，∴平行四边形AEBD 是矩形；（2）解：当90BAC ∠=︒时，四边形AEBD 是正方形，理由如下：AB AC = ，AD 是BAC ∠的角平分线，BD CD ∴=，90BAC ∠=︒ ，12AD BC BD \==，由（1）可知，四边形AEBD 是矩形，∴矩形AEBD 是正方形．14．已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连接BG并延长交DE于F．（1）求证：△BCG≌△DCE；（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠BCD=90°．∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠BCD=∠DCE=90°．又∵CG=CE，∴△BCG≌△DCE．（2）解：四边形E′BGD是平行四边形．理由如下：∵△DCE绕D顺时针旋转∴CE=AE′．∵CE=CG，∴CG=AE′．∵四边形ABCD是正方形，∴BE′∥DG，AB=CD．∴AB﹣AE′=CD﹣CG．即BE′=DG．∴四边形E′BGD是平行四边形．15．已知：如图，在ABC中．(1)分别以AB 、AC 为边向形外作正方形ABDE 、ACFG ．求证：①CE BG =；②CE BG ⊥；(2)分别以AB 、AC 为边向形外作正三角形ABD △、ACE △．求证：①CD BE =；②求CD 和BE 所成的锐角的度数．【答案】证明：①在正方形ABDE ACFG 中，AE AB =，AC AG =，90EAB GAC ∠=∠=︒，∴EAC BAG ∠=∠，在EAC 和BAG △中，EA BA EAC BAG AC AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS EAC BAG ≌，∴CE BG =，②如图，记BG ，CE 的交点为H ，BG ，AC 的交点为T ，∵EAC BAG △≌△，∴ACE AGB ∠=∠，∵90AGT ATG ∠+∠=︒，ATG CTH ∠=∠，∴90ACE CTH ∠+∠=︒，∴1809090GHC ∠=︒-︒=︒，∴CE BG ⊥．（2）①如图，记CD ，BE 的交点为O ，∵等边ABD △和等边ACE△∴AE AC =，AD AB =，60CAE BAD ADB ABD ∠==∠=∠=︒，∵BAE BAC CAE ∠=∠+∠，CAD BAC BAD ∠=∠+∠，∴BAE CAD ∠=∠，∴ABE ADC △≌△，∴CD BE =；②∵ABE ADC△≌△∴ABE ADC ∠=∠，∴60BDO ABE BDO ADC ADB ∠+∠=∠+∠=∠=︒∴()18018060DOB DBO BDO ABD ABE BDO ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠+∠=︒∴CD 和BE 所成的锐角的度数为60︒．16．在学习对称的知识点时，我们认识了如下图所示的“将军饮马”模型求最短距离．问题提出：(1)如图1所示，已知A，B 是直线l 同旁的两个定点．在直线l 上确定一点P，并连接AP 与BP ，使PA PB +的值最小．问题探究：(2)如图2所示，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连接EP 和BP ，则PB PE +的最小值是___________；问题解决：(3)某地有一如图3AOB ，已知45AOB ∠=︒，P 是AOB 内一点，连接PO 后测得10PO =米，现当地政府欲在三角形空地AOB 中修一个三角形花坛PQR ，点Q R ，分别是OA OB ，边上的任意一点（不与各边顶点重合），求PQR 周长的最小值．【详解】（1）解：如图所示，当P 点在如图所示的位置时，PA PB +的值最小；（2）解：如下图所示，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC 垂直平分BD ，∴PB PD =，由题意易得：PB PE PD PE DE +=+≥，当D、P、E 共线时，在ADE V 中，根据勾股定理得，DE =（3）解：如下图所示，分别作点P 关于OA ，OB 的对称点M N ，，连接OM ON MN ，，，MN 交OA ，OB 于点Q R ，，连接PR PQ ，，此时PQR 周长的最小值等于MN ．由轴对称性质可得，10OM ON OP MOA POA NOB POB ===∠=∠∠=∠，，，∴224590MON AOB ∠=∠=⨯︒=︒，在Rt MON △中，MN =即PQR 周长的最小值等于。
探索正方形认识正方形的性质和特点
探索正方形认识正方形的性质和特点正方形是一种具有特殊性质和特点的几何形状。
本文将探索正方形及其相关性质和特点，分析其在数学和日常生活中的应用。
一、定义和性质正方形是一种具有四条相等边长且四个角均为直角的四边形。
它是矩形的特殊情况，也是菱形的特殊情况。
由于正方形具有相等边长，因此它的周长可以简单地计算为4倍边长。
同时，正方形的对角线长度也具有特殊性质，即对角线互相垂直且相等。
二、面积计算正方形的面积可以通过边长的平方来计算。
即面积 = 边长 ×边长 = 边长²。
这个性质非常简洁，便于在计算中应用。
在日常生活中，我们经常需要计算一些正方形的面积，比如绘制地图、铺砖地板等。
正方形之间可以无缝拼接，因此在设计中能够提供更大的灵活性和方便性。
三、应用领域正方形的性质和特点在数学和其他领域中有广泛的应用。
1. 数学领域正方形作为一种简单而特殊的几何形状，被广泛地应用在数学教育中。
从小学到高中，学生都会接触到正方形的概念和相关性质。
正方形不仅作为基础知识的一部分，还是其他几何形状的基础。
2. 工程和建筑正方形的形状稳定且易于处理，因此在工程和建筑领域中经常用到。
比如，正方形的瓷砖被广泛用于地板和墙壁的装饰，利用其规则性和易于布局的特点。
3. 规划和设计在城市规划和建筑设计中，正方形的概念被用于规划城市街道和道路网格。
正方形的道路布局有利于交通的组织和规划，提高城市的交通效率。
4. 数字图像处理在数字图像处理领域，正方形的像素被广泛应用。
图像处理算法通常基于正方形的像素阵列，便于计算和处理。
5. 游戏设计在游戏设计中，正方形图块常用于构建游戏场景和角色。
典型的例子如俄罗斯方块游戏，其中的方块由四个小正方形组成，通过不同的组合方式形成游戏的挑战和乐趣。
总结：正方形作为一种具有特殊性质和特点的几何形状，在数学和日常生活中有广泛的应用。
它的定义和性质简洁明了，便于计算和处理。
探索正方形的认识，不仅能够深化对其性质的理解，还能够应用到实际问题中，提高问题解决的效率和准确性。
正方形的性质与判定
正方形的性质与判定正方形是几何学中常见的一个形状，具有许多独特的性质和特点。
本文将探讨正方形的性质与判定方法。
一、正方形的定义正方形是一种四边相等且四个角均为直角的特殊四边形。
它既是矩形，也是菱形，同时也是正多边形。
正方形的特点使其在几何学中具有重要的地位。
二、正方形的性质1. 边长性质正方形的四条边长度相等，即AB=BC=CD=DA。
2. 角度性质正方形的四个内角均为直角，即∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°。
3. 对称性质正方形具有各种对称性质。
其中包括中心对称、对角线对称和轴对称。
正方形可绕其中心旋转180°得到一模一样的图形。
4. 对角线性质正方形的对角线相等且垂直平分对方的角。
即AC=BD=2r，且AC⊥BD。
5. 对应边平行性质正方形的对边是平行的，即AB∥CD，BC∥AD。
三、正方形的判定方法确定一个四边形是否是正方形可以根据以下几种常见的判定方法。
1. 边长判定如果一个四边形的四条边长度均相等，则可以判定为正方形。
2. 角度判定如果一个四边形的四个内角均为直角，则可以判定为正方形。
3. 对角线判定如果一个四边形的对角线相等且垂直平分对方的角，则可以判定为正方形。
4. 组合判定可以结合使用边长、角度和对角线的性质来判定一个四边形是否是正方形。
例如，如果一个四边形的对边平行且相等，并且对角线垂直且相等，则可以判定为正方形。
四、应用举例正方形的性质和判定方法在几何学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景。
1. 建筑设计在建筑设计中，正方形的对称性和稳定性使其成为设计方案中常见的形状之一。
例如，一些公共广场的地面铺装常采用正方形的铺砖方式。
2. 基础几何证明正方形的性质经常被用于解决数学几何证明问题。
例如，可以利用正方形的对角线性质证明勾股定理。
3. 计算机图形学在计算机图形学中，正方形常被用作显示屏幕的基本像素单位，通过在像素网格中填充正方形像素来构建图像。
探讨正方形的性质：正方形教案探究分析
探讨正方形的性质：正方形教案探究分析。
一、正方形的基本性质1.边长相等：正方形的四条边相等，这是正方形最基本的特征之一。
因为正方形的四条边长度相等，所以当我们知道一个正方形的边长时，就可以根据这个长度求出正方形的周长。
2.对角线相等：正方形的两条对角线相等。
这个性质的证明可以通过应用勾股定理得到。
假设正方形的边长为a，则对角线的长度为√2a。
因此，正方形的两条对角线相等。
3.角度相等：正方形的四个内角都是直角，每个角的度数为90度。
这个性质可以通过证明正方形是一个长方形和等腰直角三角形的组合得到。
因为正方形的对边相等且平行，所以它是一个长方形；同时，因为正方形的对角线相等，所以正方形可以看作是两个相等的等腰直角三角形组成的。
在这两个形状中，每个角度数为90度。
4.对称性：正方形具有四种不同的对称方式。
这意味着正方形可以通过不同的轴来对称。
例如，可以通过正方形的中心来对称，也可以通过正方形的中心和任意一条边垂直的直线来对称。
这个性质在计算正方形的面积和周长时非常有用。
二、正方形的应用正方形虽然表面上看起来是一个简单的几何图形，但是它具有许多重要的应用。
下面是一些例子：1.正方形的面积和周长：由于正方形的边长相等，因此可以使用公式S = a^2来计算它的面积，其中a表示正方形的边长。
同样，正方形的周长可以用公式P = 4a来计算。
2.正方形的对角线长度：正方形的对角线长度可以用勾股定理计算。
因为正方形的两条对角线相等且互相垂直，所以可以使用定理a^2 + b^2 = c^2来求出对角线的长度。
在这种情况下，a和b表示对角线的一半长度，c表示对角线的长度。
3.正方形的切线：正方形的切线是一条从正方形外部穿过正方形的直线。
因为正方形的四条边都是相互垂直的，所以切线的长度可以用勾股定理计算。
4.黄金比例：正方形的黄金比例是指一条直线在正方形内分成两条线段，其中较小的线段与较大的线段之比等于整个边长与较小线段之比。
正方形的性质及判定
1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3．正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．一、正方形的性质【例1】 正方形有 条对称轴．【例2】 已知正方形BDEF 的边长是正方形ABCD 的对角线，则:BDEF ABCD S S =正方形正方形【例3】 如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且20AE AF AF ⊥=，，则BE 的长为FE D CBA【例4】 如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若1AG =，2BF =，90GEF ∠=︒，则GF 的长为 ．正方形的性质及判定正方形菱形矩形平行四边形【例5】 将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点12...n A A A ，，，分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为【例6】 如图，正方形ABCD 中，O 是对角线AC BD ，的交点，过点O 作OE OF ⊥，分别交AB CD ，于E F ，，若43AE CF ==，，则EF =OFE DC BA【例7】 如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧交对角线BD 于点E ，连接CE ，P 是CE 上任意一点，PM BC ⊥于M ，PN BD ⊥于N ，则PM PN +的值为PNME DC BA【例8】 如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE CE =．EDCBA【例9】 如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F .求证：AP EF =.F EPDCB A【例10】 如图所示，正方形ABCD 对角线AC 与BD 相交于O ，MN ∥AB ，且分别与AO BO 、交于M N 、．试探讨BM 与CN 之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程．M N CDO B A【例11】 如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ∆为等边三角形，那么DCP ∠=PDCBA【例12】 已知正方形ABCD ，在AD 、AC 上分别取E 、F 两点，使2ED AD FC AC =∶∶，求证：BEF ∆是等腰直角三角形．GEHDFCBA【例13】 如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交于M 、N ，若50EAF ∠=︒，则CME CNF ∠+∠= ．NMFEDCBA【例14】 如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作正方形ABE ，CE 与BD 相交于点F ，则AFD ∠=FEDCBA【例15】 如果点E 、F 是正方形ABCD 的对角线BD 上两点，且BE DF =，你能判断四边形AECF 的形状吗？并阐明理由．E CDFBA【例16】 如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F ，使DE AD =，DF BD =．连结BF 分别交CD ，CE 于H ，G ．求证：GHD ∆是等腰三角形．3142FE GHCDBA【例17】 如图，过正方形顶点A 引AE BD ∥，且BE BD =．若BE 与AD 的延长线的交点为F ，求证DF DE =．GFEBDA【例18】 如图所示，在正方形ABCD 中，AK 、AN 是A ∠内的两条射线，BK AK ⊥，BL AN ⊥，DM AK ⊥，DN AN ⊥，求证KL MN =，KL MN ⊥.K NMLDCB A【例19】 如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接,BE DG ，求证：BE DG =.GC FEDBA【例20】 （2007年三帆中学期中考试）如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上的一点，F 为BC 延长线上的一点，CE CF =，30FDC ∠=︒，求BEF ∠的度数.BDCAEF【例21】 已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE CG =，连接BG 并延长交DE 于F ．（1）求证：BCG DCE ∆∆≌；（2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90︒得到DAE '∆，判断四边形E BGD '是什么特殊四边形？并说明理由．【例22】 若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，3BE =，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF AE =，则BM 的长为 ．【例23】 如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，HA EB FC GD ===，连接EG 、FH ，交点为O ． ⑴ 如图2，连接EF FG GH HE ，，，，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论；⑵ 将正方形ABCD 沿线段EG 、HF 剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD 的边长为3cm ，1cm HA EB FC GD ====，则图3中阴影部分的面积为_________2cm ．图3图1图2H DGC FEBAOH GFEDC BA【例24】 如图，正方形ABCD 对角线相交于点O ，点P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，AQ DP ⊥，求证：（1）OP OQ =；（2）OP OQ ⊥.ABCDEF E 'GBO D CA QP【例25】 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，求证：AM AD =．MFEDCBA【例26】 如图，正方形ABCD 中，E F ，是AB BC ，边上两点，且EF AE FC DG EF =+⊥，于G ，求证： DG DA =G FEC DBA【例27】 如图，点M N ，分别在正方形ABCD 的边BC CD ，上，已知MCN ∆的周长等于正方形ABCD 周长的一半，求MAN ∠的度数NMDCBA【例28】 如图，设EF ∥正方形ABCD 的对角线AC ，在DA 延长线上取一点G ，使AG AD =，EG 与DF交于H ，求证：AH =正方形的边长．HEG CDF B A【例29】 把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．GCHF EDB A【例30】 如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，l 是AD 的垂直平分线，交AD 于点M ，以腰AB 为边作正方形ABFE ，作EP l ⊥于点P ，求证22EP AD CD +=.lPM FE DC BA【例31】 如图所示，ABCD 是正方形，E 为BF 上的一点，四边形AEFC 恰好是一个菱形，则EAB ∠=______. ABCDEF二、正方形的判定【例32】 四边形ABCD 的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形EFGH ，求证：⑴四边形EFGH 对角互补；⑵若四边形ABCD 为平行四边形，则四边形EFGH 为矩形． ⑶四边形ABCD 为长方形，则四边形EFGH 为正方形．HEFG DCBA【例33】 如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE∆是等边三角形．⑴ 求证：四边形ABCD 是菱形；⑵ 若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．OEDCBA【例34】 已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，AN 是ABC ∆外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ． ⑴ 求证：四边形ADCE 为矩形；⑵ 当ABC ∆满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．M ENCDBA【例35】 如图，点M 是矩形ABCD 边AD 的中点，2AB AD =，点P 是BC 边上一动点，PE MC ⊥，PF BM ⊥，垂足分别为E 、F ，求点P 运动到什么位置时，四边形PEMF 为正方形．PMF EDC BA【例36】 如图，ABCD 是边长为1的正方形，EFGH 是内接于ABCD 的正方形，AE a AF b ==，，若23EFGH S =，则b a -=H GFEDCBA【例37】 如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为27cm 和211cm ，则CDE∆ 的面积为GFEDCB A【例38】 如图，在正方形ABCD 中，点1P P ，为正方形内的两点，且11PB PD PB AB CBP PBP ==∠=∠，，，则1BPP ∠= P 1PDC BA【例39】 如图，若在平行四边形ABCD 各边上向平行四边形的外侧作正方形，求证：以四个正方形中心为顶点组成一个正方形．PRQ S NMFEDCBA【例40】已知：PA4PB=，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应∠APB的大小.PDCBA。
第三讲正方形的性质与判定
第三讲正方形的性质与判定（一）正方形的定义与性质1.正方形的定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做菱形.2.正方形的性质:①:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.②正方形的对角线相等且互相垂直平分.3.特殊平行四边形的包含关系典例分析知识点1：利用正方形的性质计算例1：如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC交AC于点F，若BE=2，则CF长为．知识点2：利用正方形的性质证明例2：已知：如图1，正方形ABCD中，对角线的交点为O．（1）E是AC上的一点，过点A作AG⊥BE于G，AG、BD交于点F．求证：OE=OF．（2）若点E在AC上的延长线上（如图2），过点A做AG⊥BE交EB的延长线于G，AG的延长线交BD于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．知识点3：利用正方形的性质求面积例3：（1）如图，正方形ABCD的边长为2，MN∥BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是．例3（1）图例3（2）图（2）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG 的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A．a2B．a2 C．a2D．a2知识点4：利用正方形解决最短路径问题例4：如图，正方形ABCD的边长为6，E为BC上的一点，BE=2，F为AB上的一点，AF=3，P为AC上一点，则PF+PE的最小值为．（二）正方形的判定1.正方形的判定定理.(1)有一组邻边相等的矩形是正方形.(2)有一个角是直角的菱形是正方形.(3)对角线垂直的矩形是正方形.(4)对角线相等的菱形是正方形.2..判定一个四边形是矩形的方法与思路是:典例分析知识点5:先证矩形再证正方形例5.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．知识点6：先证菱形再证正方形例6：如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA=EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠DAC=∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．（三）中点四边形1.定义：以四边形的各边中点为顶点所组成的新四边形2.决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系.(1)若原四边形的对角线相等,则中点四边形EFGH为菱形;(2)若原四边形的对角线互相垂直,则中点四边形EFGH为矩形;(3)若原四边形的对角线既相等又垂直,则中点四边形EFGH为正方形;(4)若原四边形的对角线既不相等也不垂直,则中点四边形EFGH为平行四边形知识点7：中点四边形形状的确定例7：（1）以四边形的各边中点为顶点可以组成一个什么图形?如果以菱形或矩形各边的中点为顶点呢?:（2）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=1，BC=3，求正方形EFGH的边长．（四）正方形的性质与判定的综合应用例8：如图，正方形ABCD边长为6．菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，且AH=2，连接CF．（1）当DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；（2）设DG=x，试用含x的代数式表示△FCG的面积．例9：如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为E、F．（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明你的结论．（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，为什么？例10：如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE=BC=1．（1）求证：CE=CF；（2）若G在AD上，连接GC，且∠GCE=45°，求∠GCF的度数；（3）在（2）的条件下，求GC的长度．例11:如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．（1）求证：AD=AF；（2）如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．例12：（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC 延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAB=∠MAE．（下面请你完成余下的证明过程）（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X，请你作出猜想：当∠AMN=时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）夯实基础：1.下列说法中，正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是菱形B．对角线互相垂直的菱形是正方形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．一组邻边相等的平行四边形是正方形2.已知正方形的边长为2cm，则其对角线长是（）A．4cm B．8cm C．cm D．2cm3.如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C至直线l的距离分别为2和3，则此正方形的面积为（）A．5 B．6 C．9 D．13第3题第4题第5题4.如图，在正方形ABCD中，AB=1，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（）A．B．4 C．2 D．5.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．66.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°第6题第7题7.如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（）A．﹣4+4B．4+4 C．8﹣4D．+18.如图，在正方形ABCD中，AB=2，延长AB至点E，使得BE=1，EF⊥AE，EF=AE．分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（）A．2B．3C．D．第8题第9题9.如图，G为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BG，CF⊥BG，垂足分别为点E，F．已知AD=4，则AE2+CF2=．10.已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF ∥BE．求证：四边形BECF是正方形．11.如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；（2）当∠A=90°时，试判断四边形DFAE是何特殊四边形？并说明理由．13.．如图1，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上（不与A、O重合）的一个动点，过点P作PE⊥PB且交边CD于点E．（1）求证：PB=PE；（2）过点E作EF⊥AC于点F，如图2，若正方形ABCD的边长为2，则在点P 运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，请直接写出这个不变的值；若变化，请说明理由．14.已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）。
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正方形性质教学设计梁镇辉 2017年3月28日课题：正方形的定义与性质探究科目：数学教学对象：初二年级课时： 1课时提供者：梁镇辉单位：广州市第十六中学一、教学内容分析本教学设计通过展示生活中的正方形，回忆关于正方形定义，对正方形定义从矩形、菱形角度再次理解分析后，重新定义正方形，并在重新定义过程中自主探究获取正方形性质。
正方形的性质探究是在已学矩形和菱形的基础上，在研究它们的特殊情况，教材给出了正方形的概念，让学生自己研究正方形的性质定理。
观整个教材，《正方形的性质》是在学生掌握了平行线、三角形、平行四边形、矩形、菱形等有关知识及简单图形的平移和旋转等平面几何知识，并且具备有初步的观察、操作等活动经验的基础上出现的。
目的在于让学生通过探索正方形的性质，进一步学习、掌握说理和进行简单推理的数学方法。
这一节课既是前面所学知识的延续，又是对平行四边形、菱形、矩形进行综合的不可缺少的重要环节。
教材从学生年龄特征、文化知识实际水平出发，先让学生动手做，动脑思考，然后与同伴交流、探索、总结归纳，升华得出正方形的概念，再由概念去探索正方形的性质。
这样的安排使学生在整个学习过程中真正享受到探索的乐趣。
二、教学目标：（一）知识目标：1、要求学生掌握正方形的概念及性质；2、能正确运用正方形的性质进行简单的计算、推理、论证；（二）能力目标：1、通过本节课培养学生观察、动手、探究、分析、归纳、总结等能力；2、发展学生合情推理意识，主动探究的习惯，通过对正方形性质推理论证的过程，逐步掌握说理的基本方法；（三）情感目标：1、让学生树立科学、严谨、理论联系实际的良好学风；2、培养学生互相帮助、团结协作、相互讨论的团队精神；三、学习者特征分析学生已经历平行四边形、矩形、菱形性质与判定的探究，具有正方形性质研究的基础，即从边长、角、对角线角度研究正方形性质就顺理成章。
学生可能对平行四边形、矩形、菱形的性质有所混乱（6班更容易混乱，4班稍好）四、教学策略选择与设计本课主要通过学生挖掘正方形定义的关键要素：四边相等、四个直角，重新定义正方形，发现、归纳、整理正方形与矩形、菱形、平行四边形的关系。
重点从正方形定义出发，理解正方形的性质特点（为什么有这种性质）。
加强学生自主探究发现正方形的定义，并按照个人理解进行定义表达；全体学生通过观察、讨论、归纳、总结出正方形性质定理，最后以课堂练习加以巩固定理，并通过一一组题目对定义、性质理解、巩固加以升华。
充分发挥学生兵教兵的优势。
教师始终给学生提供发言的机会，又始终围绕正方形定义适时引导启发。
根据正方形具有菱形、矩形的性质，采用框图或表格形式帮助学生整理正方形性质。
五、教学重点、难点、关键重点：正方形的定义和性质难点：正方形性质的应用关键：正方形定义六、教学过程教师活动学生活动设计意图导入（1）用课件展示生活中的正方形。
（2）问学生：你还能举出生活中有关正方形的例子吗？观察、举例生活中正方形的例子。
通过生活正方形例子引入教学主题：正方形。
引导学生关注生活，感受数学源于生活，学习数学就是理解生活的一种思维方式。
让学生树立科学、严谨、理论联系实际的良好学风。
1、探究正方形定义（1）直接给出课本有关正方形定义：（2）提问学生：①四条边都相等的是什么图形？在学案上根据正方形定义深入分析正方形是特殊的菱形、正方形是特殊的矩形、正方形是特殊的平行四边形。
学生通过对正方形定义引导学生分析正方形定义，点出本课要探讨的一个重要问题--如何重新给正方形下定义。
让学生了解正方形有关边、角的②四个角都是直角的是什么图形？③正方形是平行四边形吗？④你能够根据对正方形定义的分析，重新给正方形下定义吗？（3）教师把学生自由表述的正方形定义进行记录和点评。
（教师参与其中，始终抓住定义中的四边相等、四直角启发引导，必要时举一例）的深入理解，重新给正方形下定义，并进行自由表述。
定义，为完成后面正方形性质探究做铺垫，四个小问题的设计，既能帮助学生生动地了解研究正方形性质的线索是正方形是特殊的矩形也是特殊的菱形，也能使学生发现他们所学的矩形、菱形、平行四边形性质具有很强的应用意义，从而能调动学生最近思维发展区，激发学生的学习兴趣，营造和维持学生学习过程中积极的心里氛围。
同时使学生进一步了解四边形性质研究的一项基本思路，即从边、角、对角线三方面分析。
2、运用图式进一步研究正方形定义。
（1）提问学生：你能使用框图表示正方形、矩形、菱形、平行四边形的关系吗？（2）教师需要解释什么是框图。
学生按照对正方形的理解，运用框图表示四种特殊四边形之间的关系图。
在学生对正方形字面定义层次理解正方形后，让学生使用框图梳理正方形、矩形、菱形、平行四边形之间的关系。
通过对比、类比四个特殊四边形的关系，发展学生合情推理意识，主动探究的习惯，逐步掌握说理的练习1，下列说法错误的是（）A.正方形是平行四边形B.正方形是菱形C.正方形是矩形D.菱形和矩形都是正方形学生自主思考回答问题。
基本方法；落实知识目标中有关正方形定义本质“正方形既是矩形也是菱形”。
检验学生对正方形定义的理解是否到位，是否正确辨析四种特殊四边形的关系。
为教师引导学生进行正方形性质探究提供“前测”作用，调整后面教学安排。
3、正方形性质的探索。
（1）提问学生思考，根据正方形的定义，你能说出正方形的性质吗？（2）请你在下列表格填写正方形性质。
教师巡堂观察学生填写表格，适时点拨学生对正方形性质思考的方向。
（3）展示、提问学生填写后的表格，点拨完善学生有关正方形性质。
学生根据教师提问，根据正方形定义自主探究正方形性质，填写表格。
学生大胆展示、表述个人填写后的表格，分析表述正方形性质的探究过程。
本目内容较容易找错、找漏正方形性质。
通过引导学生从定义出发研究，就是为了让学生在已有的学习经验基础上循序渐进分析探究正方形的性质。
从不同学生材料的展示以及学生有关性质探究的表述，则是利用学生互相启发的作用，从听中学，从听中思，从听中完善个人有关正方形性质的建构。
培养学生的读书讲能力，图形性质分析能力，归纳（4）练一练。
练习2，矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A.对角线相等B.对角线互相平分C.每条对角线平分一组对角D.对角线互相垂直练习3，正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A.对角线相等B.对角线互相平分C.每条对角线平分一组对角D.对角线互相垂直练习4，正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A.四个角相等B.对角线互相平分C.每条对角线平分一组对角D.四条边相等学生自主完成练习，能够根据各种不同的答案思辨四种特殊四边形性质之间的关联，辨析号正方形的性质。
总结能力以矩形、菱形、正方形性质之间的对比设计三道题目，即一组有关图形性质的变式题目，给学生对四种特殊四边形性质进行辨析的机会，有利于学生梳理知识脉络，构建有关正方形性质的知识脉络体系。
问题的设计与前面有关正方形定义的学习相关联，是对正方形定义的再次理解，更是有利于学生深入理解正方形性质。
4、正方形性质的应用。
例题：已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O。
边长是1.①正方形的周长是_______②对角线AC长_________③线段OB长__________④∠OBC度数是_______⑤图中有哪些等腰直角三角形___⑥△AOD的面积与正方形面积之比为_____学生先独立在学案上完成练习，然后展示答案，并叙说根据正方形哪个性质获得答案。
例题以正方形的边、对角线、角性质设计前四个小问，从图形观察角度考察学生对正方形各项性质整体把握设计了后两小问。
简易的题目设计能够让学生快速应用正方形性质，进一步梳理正方形性质，落实“双基”，落实教学目标。
练习5，如图，正方形ABCD，延长BC至E，使AC=CE，AE交CD于F，①求∠E的度数；②证明AE平分∠DAC。
练习6，如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E。
证明EB=ED。
练习7，如图正方形ABCD中，AC、BD交于点O，MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM=CN。
练习8，如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，连接BE，CE。
①求证：BE=CE；学生快速解决练习5、6、7、8，并进行过程口述。
练习5考察学生运用正方形边、对角线、角性质，进行角度计算。
练习6考察正方形边、对角线进行三角形全等证明。
练习7考察正方形对角线性质进行全等证明。
练习8结合正方形、等边三角形性质进行角度计算以及全等证明。
练习5、6、7、8是从通过“兵带兵”形式展示、口述解决问题的过程，其余学生可以进行补充提问，培养学生互相帮助、团结协作、相互讨论的团队精神②求∠BEC。
练习9，如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE翻折得到△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG。
①证明△ABG≌△AFG。
②求BG的长。
（教师在学生解题过程中始终引导学生关注正方形的图形性质，点拨学生展示的答案）学生经历先独立解决问题，到互相交流，在老师引导下进一步落实问题的解决。
练习9从2010年中考原题出发，从翻折的图形变化角度考察学生综合运用正方形性质进行全等证明；通过结合勾股定理考察学生运用方程思想进行线段计算。
培养学生观察、动手、探究、分析、归纳、总结等能力；课堂总结。
结合板书，师生共同完成七、板书设计一、正方形定义。
例题：二、正方形性质：①②...三、小结。