弹性需求的平衡交通分配问题模型_谌永荣

为边集， Rw 为 OD(O 是指起点，D 是指终点)对 w 间 的 路 径 集 , w W , xa 为 路 段 a 上 的 流 量 ；
ar
x (, xa , ) 为路网中所有路段流量构成的向量， ta ( x) 为路段 a 上的行驶时间，t (, ta ( x), ) ； f rw
零。这恰好与 Wardrop 用户平衡准则相吻合。
3 变分不等式模型
对于非对称的路段相互影响的交通平衡问题 可以表示为如下的变分不等式问题：
c ( f ) T u 价。其中 H ( f , u ) 。 f D (u )
证明： 如果 ( f , u ) 满足(1),(2),(3), 显然它一定是
t ( x)T ( x x) D 1 (q)T (q q) 0 ,
其中 ( x, q) x f , f q, f 0 . 由于 x f , t ( x) c( f ) ，上面的变分不等式 问题也可化为如下形式： 求向量 ( f , q) F ，使得
[1] Wardrop J G. Some theoretical aspects of Roac Traffic Research[J]. Proc. Inst. Civil Engineers,1982, PartⅡ: 278-325. [2] Facchinei F, Pang-S. Finite-Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems:Vol. I and II [M]. New York:Springer2003.
T
f 0, r Rw , w W ,
w w xa ar f r , a . w r
事实上，变分不等式(4)的 KKT 条件为：
上述约束优化问题所对应的 Lagrange 函数为
c ( f ) T 0 ， D 1 (q) 0 ，
L ta ( y )dy
0 c( f ) T u f 0, f D(u ) 0,
此处 L Rp R k 。
0 cr ( f ) uw f r 0, r Rw , w W ，
rRw
(1) (2) (3)
f
r
qw d w (u ), w W ，
q D(u ) , 本文假定每个需求函数都有反函数且所
w 有反函数组成的向量记为 D 1 (q) , ar 为关系变量，
为 OD 对 w 间第 r 条路径上的流量，f w (, f rw , ) 为 OD 对 w 间 的 所 有 路 径 流 量 构 成 的 向 量 ，
1 当路径r经过路段a ； 否则 0
(wr ) 为 OD 对路径关联矩阵，
wr
描述为[1]：
1 当路径r属于OD对w ; 否则 0
min Z ta ( y )dy
xa a 0 w
qw 0
1 Dw ( y )dy
s.t.
w r
f
w
w r
qw , w W ,
C ( f )T ( f f ) D 1 (q)T (q q) 0, ( f , q) F ，
(4)
此处 F f f q, f 0 , C ( f ) t (f ) 。
第 32 卷第 6 期 2011 年 11 月
Vol.32 No.6 Nov. 2011
井冈山大学学报(自然科学版)
井冈山大学学报(自然科学版) Journal of Jinggangshan University (Natural Science)
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文章编号：1674-8085(2011)06-0019-03
弹性需求的平衡交通分配问题模型
谌永荣
（中南民族大学数学与统计学学院，湖北，武汉 430074 ）
摘
要：平衡交通分配是交通分配问题中一个重要的研究方面，本文主要介绍了带弹性需求的确定性用户平衡分
配问题的各种模型，针对不同网络情形可以建立不同的平衡分配模型，有助于平衡分配问题的研究。 关键词：交通平衡分配；弹性需求；用户平衡 中图分类号：O221.2 文献标识码：A
( f , u ) 使得(1),(2),(3)成立。
定理 若 路 径 费 用 函 数 cr ( f ) 和 需 求 函 数
1 Dw (qw ) ，即使用的路径 r 上的行驶时间必等于最
1 小 行 驶 时 间 Dw ( qw ) ； 而 如 果
t ( x )
a A a a
w ar

Dw (u ) 均非负，且对任意 OD 对 w W ，如果
则(6)意味着至少有一个 r Rw ， 使得 f r 0 ， 再由(5) 则意味着 f r cr ( f ) 0 ，产生矛盾。故 ( f , u ) 也满
rRw
足(1),(2),(3)。
5 混合互补模型
定理 若路径费用函数 cr ( f ) 0, r R ，则
NCP ( H ) 与混合互补问题 MCP ( H , L ) 等价，其中 MCP ( H , L ) 定义为：
Abstract: Traffic equilibrium assignment is an important aspect in traffic assignment, in this paper, several
models of deterministic user equilibrium assignment are introduced. Different network can build a different model, various models contribute the research of traffic equilibrium assignment.
NCP ( H ) 的解。
反之，若 ( f , u ) 是 NCP ( H ) 的解，由非线性互
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补的定义知，只需证明 f r Dw (u ), w W 。假
rRw
证明：由 NCP ( H ) 显然可得到 MCP ( H , L ) ，反 之若 cr ( f ) 0 ，则对每个 OD 对存在某个 r Rw 使
f c (f)
uw cr ( f ) 0 ，由于 Dw (u ), cr ( f ) 都是非负的，
rRw
6 结束语
本文讨论了带弹性需求的平衡交通分配问题 的数学规划模型、变分不等式模型、非线性互补模 型和混合互补模型，不同情形使用不同的模型，为 这类问题的研究奠定了基础。 参考文献：
DOI:10.3969/j.issn.1674-8085.2011.06.006
MODELS OF TRAFFIC EQUILIBRIUM ASSIGNMENT PROBLEM WITH ELASTIC DEMAND
CHEN Yong-rong
(School of Mathematics and Statistics, South-central University for Nationalities, Wuhan, Hubei 430074, China)
Key words: traffic equilibrium assignment; elastic demand; user equilibrium
1
符号描述
给定一个交通网络 G ( N , A) ，N 为节点集，A
rs ak
1, 当OD对w间第k 条路径经过a ； 否则 0,
( ar ) 为路段路径关联矩阵，
20
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2 数学规划模型
当交通网络中每条路段的行驶时间只与该条 路段的流量有关而与其他路段无关即 ta ( x) 可以写 为 ta ( x a ) 时，交通平衡问题可以用如下的数学规划 模型来描述：
求向量 ( x, q) ， 使得对所有的 ( x, q ) 都 有：
aA
f xa )
其 KKT 条件为：
[c( f ) T D 1 (q)]T f 0 , f q, c( f ) T D 1 (q ) 0, f 0
上式即说明变分不等式的解 f， q 满足 Wardrop 用户 平衡(1),(2),(3)。
ta ( xa ) a 0 u v w w 0 a ar w r aA 1 Dw ( qw ) u w 0 w vr 0, f rw 0, vrw f rw 0 f rw qw rRw w w ar f r xa wW rRw
1 由上式可见， Dw (qw ) 是 OD 对 w 间所有路径
4 非线性互补模型
n 已 知 函 数 F : R Rn ， 则 非 线 性 互 补 问 题
NCP( F ) 定义为[2]：寻找向量 x R n 使得
0 x F ( x) 0
由前面讨论可知交通平衡问题即是寻找向量
w 的最小行驶时间；且若 f rw 0 ，则 ta ( xa ) ar a A
f (, f w , ) 为路网中所有 OD 对间的路径流量
构成的向量；cr ( f ) 为路径 r 上的行驶时间， 是向量
满足 Wardrop 第一原理的用户平衡交通的数学
f 的函数，它们组成的向量记为 c( f ) , qw d w (uw )
为 OD 对 w 间的需求量，它们组成的向量记为
xa wW
qw 0
uw ( f rw qw )
rRw a wW rRw w ar w r
aA
0
D 1 ( y )dy
wW
wW rRw
vrw f rw
T f 0, 0, f 0 ，
f q ，
将上述ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱKKT 条件整理后得
(
uw 0, w W .
收稿日期：2011-09-18；修改日期：2011-10-20 基金项目：中南民族大学中央高校基本科研业务费专项资金(ZZQ10007) 作者简介：谌永荣(1975-)，女，讲师，主要从事系统优化与管理决策研究(E-mail: yongrongchen2000@).
rRw
D (qw ) ，则 f r 0 ，即路径 r 上的行驶时间若大
1 w
w

f r cr ( f ) 0, f 0 f r 0, r Rw ， (5)
1 于最小行驶时间 Dw (qw ) ，则其上的路径流量必为
那么条件 (1),(2),(3) 与非线性互补问题 NCP( H ) 等
设对某个 w W ，有
rRw

f r Dw (u )
rRw r r
(6)
得 f r 0 ， 再 由 MCP ( H , L ) 中 互 补 性 条 件 知 即由 MCP ( H , L ) 也可得到 NCP ( H ) 。 uw cr ( f ) 0 ， 定理得证。
则 由 互 补 条 件 知 uw 0 ， 且